http://www.benwilbrink.nl/projecten/aftrekken.htm
http://goo.gl/xHK9p
Aftrekken wordt in de literatuur vaak tegelijk met optellen behandeld. Waar dat het geval is, neem ik die literatuur op in optellen.htm.
Maar aftrekken heeft zo zijn eigen kenmerken en problemen, al zou het maar zijn dat een enkele didacticus een eigen notatie ontwikkelt voor het ‘lenen’.
Het standaardalgoritme voor aftrekken heeft geen geheimen, maar is best ingewikkeld. Ik verwacht dat onderzoekers dit goed in kaart hebben kunnen brengen, en dat didactici zich niet ver uit de buurt van de resultaten van theorie en onderzoek wagen. Voor de Freudenthal-groep zal dat anders liggen: zij willen het rekenonderwijs geheel naar eigen ideeën inrichten; ik verwacht hier ernstige tekorten in empirische onderbouwing van de realistische didactiek.
Als buitenstaander verwacht ik dat het hoofdrekenen zich richt naar het rekenen op papier, dus pas begint wanneer de leerlingen het aftrekken van getallen tot honderd beheersen. Ik ben bang dat de onderwijspraktijk anders is. De realistische rekendidactiek draait het waarschijnlijk om: eerst hoofdrekenen, daarna volgens het standaardalgoritme (althans: voorvormen daarvan), met nadruk op handig rekenen. Ik wil over dit cluster van vragen over het rekenonderwijs (voor aftrekken) uitsluitsel krijgen uit de literatuur. Ik doe er geen systematische zoektocht naar, maar begin gewoon bij wat ik tegenkom, of eenvoudig kan opzoeken.
M. van Zanten & M. van den Heuvel-Panhuizen (2013). Opportunity-to-learn van aftrekken tot 100 in twee reken-wiskundemethodes. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 32, 1-13 abstract
Charalambos Y. Charalambous , Heather C. Hill & Rebecca N. Mitchell (2012). Two negatives don't always make a positive: Exploring how limitations in teacher knowledge and the curriculum contribute to instructional quality. Journal of Curriculum Studies, 44, 489-513. abstract
Gaea Leinhardt: Development of an expert explanation: An analysis of a sequence of subtraction lessons. In Lauren B. Resnick (Ed.) (1989). Knowing, learning, and instruction (67-124). Erlbaum.
Julia Whitburn (1999). Why can't the English learn to subtract?
Greet Peters, Bert De Smedt, Joke Torbeyns, Lieven Verschaffel (2014). Subtraction by addition in children with mathematical learning disabilities. Learning and Instruction, 30,voorpublicatie online? abstract.
Greet Peters, Bert De Smedt, Joke Torbeyns, Pol Ghesquière, Lieven Verschaffel (2011). Children’s use of subtraction by addition on large single-digit subtractions. Educational Studies in Mathematics preview,
Jamie I. D. Campbell (2008). Subtraction by addition. Memory & Cognition, 36, 1094-1102. preview,
Fred Goffree (1994 4e). Wiskunde & didactiek 1. Wolters-Noordhoff.
Hoofdstuk 5, ‘Hoofdrekenen tot honderd’ begint met een rijtje aftrekkingen:
87 - 39 =
52 - 13 =
54 - 27 =
Bovenaan beginnen: 87 - 39 = ; 80 min 30 is 50. Vervolgens loop je vast, want 7 min 9 gaat niet. Ik moet dus lenen . . . maar dat mocht niet bij hoofdrekenen, herinner ik me. Wat nu? Eerst maar wat anders proberen. Ik doe 87 - 40, dat is 47, geen probleem. Maar 40 is 1 te veel, dus heb ik 1 teveel ervan afgetrokken. Correctie: 47 + 1 = 48. Klopt dat? Ja, want 48 + 39 is 70 + 17 = 87. Wat gek eigenlijk dat ik die laatste optelling weer met splitsen heb gedaan. 48 + 39 is ook 48 + 40 - 1 . . . Ik zou wat flexibeler moeten zijn, bedenk ik achteraf.
( . . . )
Over dit rekenwerk handelt dit hoofdstuk. Het gaat over hoofdrekenen tot honderd op basis van parate kennis en rekenstrategieën. En het gaat vooral over de manier waarop kinderen die vaardigheid verwerven. Dat maakt het een van de belangrijkste hoofdstukken van de reken-wiskundedidactiek
Goffree W & D 1 p. 240, 241
Ik ben verbaasd. Goffree behandelt het hoofdrekenen bij getallen tot 100 alsof het rekenen (op papier) met getallen tot honderd nog niet aan de orde is geweest. Is dat ook in de rekenklas de volgorde? Eerst hoofdrekenen met allerlei trucjes, afleidingen en verwarring, en pas daarna het onderwijs in de rekenalgoritmen voor getallen tot 100? En als dat zo is, waarom dan? Is dat een traditioneel gegeven, is het een bewuste keuze? Waar is het onderzoek dat bevestigt dat eerst leren hoofdrekenen tot 100 vooraf moet gaan aan lalgoritmisch leren rekenen tot 100?
Hoofdrekenen:
direct aftrekken: “Een mogelijke strategie
is de directe aftrekstrategie, waarin het kleinste getal afgehaald of afgetrokken wordt van het grootste (vb. 81-79 via 81-70=11 en 11-9=2).” (Peters e.a. 2011, zie beneden).
indirecte optelstrategie: “waarbij men het verschil tussen de termen in de opgave bepaalt door verder te tellen van het kleinste getal naar het grootste” (Peters e.a. 2011, zie beneden).
subtractive negation principle: the understanding that any collection (any
number n ) reduced by itself leaves nothing (n - n = 0). (Baroody, Torbeyns & Verschaffel 2009, zie beneden)
subtractive identity principle: if nothing is removed from a collection (for any number n minus zero) its cardinal value remains unchanged (n - 0 = n ). (Baroody, Torbeyns & Verschaffel 2009, zie beneden)
addition-subtraction inversion (inverse principle): adding an amount (a number b ) to a collection (a number a ) can be undone by subtracting the same amount (the number b ) and vice versa
(a + b - b = a or a - b + b = a ). (Baroody, Torbeyns & Verschaffel 2009, zie beneden)
complement principle: if a + b = c ,
then c - b = a or c - a = b. ( the difference c - b = ? can be efficiently determined by
considering what can be added to b to make c) (Baroody, Torbeyns & Verschaffel 2009, zie beneden)
Greet Peters (einddatum: 2012). Het gebruik van de indirecte optelstrategie door kinderen. Katholieke Universiteit Leuven web
Greet Peters, Bert de Smedt, Joke Torbeyns, , Pol Ghesquière, Lieven Verschaffel (ORD 2011). Gebruiken Vlaamse basisschoolleerlingen de indirecte optelstrategie voor aftrekopgaven in het getaldomein tot 100? Een samenvatting is opgenomen in het congresboek, p. 122-123: www.ord2011.nl= pdf (bijna 600 blz!)
Camilla K. Gilmore & Elizabeth S. Spelke (2008). Children's understanding of the relationship between addition and subtraction. Cognition, 107, 932-945. abstract
Camilla K. Gilmore & Marietta Papadatou-Pastou (2009): Patterns of Individual Differences in Conceptual Understanding and Arithmetical Skill: A Meta-Analysis, Mathematical Thinking and Learning, 11:1-2, 25-40abstract
Joke Torbeyns, Bert De Smedt, Nick Stassens, Pol Ghesquière & Lieven Verschaffel (2009): Solving Subtraction Problems by Means of Indirect Addition, Mathematical Thinking and Learning, 11:1-2, 79-91. abstract
Michael Schneider & Elsbeth Stern (2009): The Inverse Relation of Addition and Subtraction: A Knowledge Integration Perspective, Mathematical Thinking and Learning, 11:1-2, 92-101abstract
T. F. W. P. Willemsen (1994). Remediële rekenprogramma&rsqu;s voor de basisschool: Een effectstudie. Proefschrift RU Groningen. (proefschrift; genoemd in rapport-Lenstra)
De kern van het onderzoek wordt gevormd door twee experimenten in het remediëren van systematische rekenfouten bij cijferend aftrekken: Hoofdstuk 5. Remediëren van systematische rekenfouten bij cijferend aftrekken: Eerste experiment. Hoofdstuk 6. Twee remediële leergangen cijferend aftrekken op effectiviteit vergeleken: Tweede experiment.
Marja van den Heuvel-Panhuizen & Adri Treffers (2009): Mathe-Didactical Reflections on Young Children's Understanding and Application of Subtraction-Related Principles, Mathematical Thinking and Learning, 11:1-2, 102-112. abstract
In dit artikel geven de auteurs een psych-didactische beschouwing over de andere artikelen in het themanummer van Mathematical Thinking and Learning. Ik zal dit zeker analyseren. Het begin van het artikel is immers al veelbelovend, en al gauw is het hallelujah voor handig rekenen:
The studies reported here delve into the foundation that supports operating with numbers and make it clear that learning to calculate is not just a matter of learning a particular calculation procedure, but that it requires an understanding of number relationships and properties of operations. When using this understanding, calculating is not just a case of knowing the counting sequence and having a good memory but also one of thinking. This means that mathematics enters into arithmetic.
van den Heuvel-Panhuizen & Treffers, 2009
Het probleem met dit ongedisciplineerde geschrijf is dat het alles aan alles vast kan knopen, maar vooral in de gewenste richting, omdat de auteurs al deze containerbegrippen prettig ongedefinieerd laten. Met alle respect, maar zulk geschrijf hoort niet thuis in een wetenschappelijk tijdschrift. Het gaat hier niet om een ongelukkig geformuleerde inleiding. Zie bijvoorbeeld op p. 108 de volgende uitspraak, die mijns inziens heel goed weergeeft wat het kernprobleem van het realistisch rekenen is (handig rekenen! Dit citaat moet ik verhuizen naar handig_rekenen.htm!):
One of the core goals of today’s mathematics education is that children learn to calculate. In addition to finding the right answers, they should find these answers in an efficient way by choosing appropriate strategies and tools. How a calculation is carried out depends on the one hand on the ability level of a student—which here means the student’s knowledge of numbers and the repertory of strategies he or she has available—and on the other hand on the nature of the numbers involved and the context of the problem.
van den Heuvel-Panhuizen & Treffers, 2009, p. 108
Hoezo moeten berekeningen zich voegen naar de toevallige karakteristieken van de cijfermatige constellatie van een opgave? Het gaat er toch waarachtig om dat leerlingen leren rekenen, met voldoende inzicht om ook te kunnen signaleren wanneer ze mogelijk een fout hebben gemaakt? Het gaat niet om de kunstjes met bijzondere getallen of combinaties van getallen, die verspillen de tijd van de leerlingen en de middelen van de samenleving. Voor grandiose claims zoals deze, uit de Freudenthal-groep, is empirische onderbouwing nodig, een onderbouwing die de groep nooit heeft willen geven.
Christoph Selter, Susanne Prediger, Marcus Nührenbörger, Stephan Hu&szelig;mann (2011). Taking away and determining the difference—a longitudinal perspective on two models of subtraction and the inverse relation to addition. Educational Studies in Mathematics March 2011 abstract
Marjolein Peltenburg, Marja van den Heuvel-Panhuizen & Alexander Robitzsch (2011). Special education students’ use of indirect addition in solving subtraction problems up to 100—A proof of the didactical potential of an ignored procedure. Educational Studies in Mathematics September 2011, Open Access html
Marjolein Peltenburg & Marja van den Heuvel-Panhuizen (2011). Afhalen of aanvullen? Flexibel oplosgedrag van sbo-leerlingen bij het aftrekken tot 100. Een samenvatting is opgenomen in het congresboek, p. 122-123: www.ord2011.nl= pdf (bijna 600 blz!).
Van orthopedagogen komt steevast de waarschuwing dat zwakke rekenaars maar zeer beperkt in staat zijn tot flexibel oplosgedrag (zie bijv. Milo & Ruijssenaars, 2002). Door vakdidactici wordt juist bepleit om niet uitsluitend voor één aanpak te kiezen, omdat zo’n vaste rekenweg niet altijd de gemakkelijkste manier is om tot een goed antwoord te komen (zie bijv. Van den Heuvel-Panhuizen, Peltenburg, & Menne, 2008). Uitspraken over wat beter is voor zwakke rekenaars vragen om een wetenschappelijke onderbouwing.
Peltenburg en Menne hebben me hier meteen bovenop de kast. Wat mankeert er eigenlijk aan het gegeven dat een standaardmethode niet in àlle gevallen de kortste oplossing biedt? Maar goed, de auteurs zijn ervan overtuigd dat hier wetenschappelijke onderbouwing nodig is. Ik ben benieuwd waar die onderbouwing uit bestaat.
Bij deze leerlingen staat immers veel op het spel. We moeten voorkomen dat zwakke rekenaars door een inadequate rekendidactiek nog meer problemen krijgen. Daarom is het goed om te onderzoeken of deze rekenaars wel over een voldoende basis beschikken om ze ook handige oplossingsmanieren te leren en of met zo’n meersporige aanpak geen onverantwoorde risico’s worden genomen.
Winst: het besef dat onverantwoorde rekendidactiek leerlingen kan benadelen. Treurnis: deze zwakke rekenaars lastigvallen met handig rekenen. Trouwens: waarom zouden deze zwakke rekenaars aftrekopgaven onder 100 uit het hoofd moeten moeten doen? Ligt het niet erg voor de hand om zwakke rekenaars altijd op papier te laten werken? Ik ben benieuwd naar het volledige paper. Zoveel is duidelijk: de conclusie van de auteurs is volstrekt onwetenschappelijk en onverantwoord, tenzij het nadrukkelijk de bedoeling was om hier een nietszeggende uitspraak te doen:
Onze onderzoeksresultaten wijzen uit dat sbo-leerlingen in staat zijn tot eigen oplossingsprocedures en flexibel oplosgedrag.
Marjolein Peltenburg & Marja van den Heuvel-Panhuizen (2011). Taking away or adding on? Special education students’ flexibility in solving subtraction problems up to 100. ORD 2011 full paper
Het volledige paper (waarom moet dat zo nodig in het Engels?) verandert niets aan de indruk die de samenvatting gaf. Volstrekt onverantwoorde conclusies: dat zwakke rekenaars ook wel flexibel kunnen zijn, is geen bewijs dat onderwijs met vaste procedures voor deze leerlingen minder adequaat zou zijn dan de chaotische didactiek van het realistisch rekenen. Rommelig onderzoekje. Druk-op-de-knop-statistiek: multilevel-analyse op een handvol data. Het is al even volstrekt onduidelijk wat hier eigenlijk zo nodig moest worden onderzocht. De nieuwswaarde van dit onderzoekje is nul. Ik wil dit graag vergelijken met het Leuvense onderzoek, dat dezelfde thematiek bestrijkt, maar waar ik de indruk had dat er behoorlijk onderzoek werd gedaan, onderzoek waar ook anderen weer mee verder kunnen, en zonder megalomane conclusies. Voor mij is wel interessant wat er zoal in de literatuurlijst is opgenomen: ik kan weer verder.
Rudolf E. Timmermans, Ernest C.D.M. Van Lieshout & Ludo Verhoeven (2007). Gender-related effects of contemporary math instruction for, low performers on problem-solving behavior. Learning and Instruction, 17, 42-54. abstract
T. F. W. P. Willemsen (1994). Remediële rekenprogramma&rsqu;s voor de basisschool: Een effectstudie. Proefschrift RU Groningen. (proefschrift; genoemd in rapport-Lenstra)
De experimenten van Harskamp betreffen het aftrekken. Voor de remeiële aspecten, zie hier.
Jihyun Lee & James Corter (2011). Diagnosis of subtraction bugs using Bayesian networks. Applied Psychological Measurement, 35, 27-47. abstract
Arthur J. Baroody, Joke Torbeyns & Lieven Verschaffel (2009): Young Children's Understanding and Application of Subtraction-Related Principles, Mathematical Thinking and Learning, 11:1-2, 2-9. abstract Has an appendix on terminology.
Introduction to the special issue consists of five articles and two discussions/commentaries. The first problem I see with this issue: the first term in its title. Why use ‘understanding’ where ‘knowing’ would have been perfectly fitting? A positive surprise is that the editors use ‘understanding’ in a quite restricted sense: a clear definition, so everyone will know what is meant by ‘understanding’ here. Yet calling it ‘knowledge’ would have been more fitting.
‘In this article we react to the studies in this special issue . . . on young children’s understanding and application of subtraction-related principles.’ The article starts with psychological nonsens (on ‘thinking’). I did not read any further, therefore.
Lieven Verschaffel, Joke Torbeyns, Bert De Smedt, Greet Peters & Pol Ghesquière (2010). Solving subtraction problems flexibly by means of indirect addition. Understanding Number Development and Difficulties, 51–63; British Journal of Educational Psychology, monographs abstract
Stellan Ohlsson & Ernest Rees (1988). The Function of Conceptual Understanding in the Learning of Arithmetic Procedures. Cognition and Instruction, 8, 103-179. http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1207/s1532690xci0802_1?journalCode=hcgi20 The article is based on this report, available online: http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a202740.pdf
An important psychological approach to the question of understanding in math education. Cases: couting, and subtraction
http://www.benwilbrink.nl/projecten/aftrekken.htm
http://goo.gl/xHK9p