Breuken (rationale getallen)

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden‘cijferen’
    optellenaftrekkenvermenigvuldigendelenbreukenmeten
    meetkundealgebra en rekenenkans (en combinaties)
    materialen
    woordproblemen




De actuele problematiek van het breukenonderwijs is dat het deels is afgeschaft, zonder rekening te houden met de gevolgschade daarvan. Dat die gevolgschade er is, laat een recent artikel van Siegler cs. zien, zie enkele aantekeningen bij deze sleutelpublicatie hier




Jan van de Craats (website 20 maart 2008). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Zwartboek rekenonderwijs. pdf.


David E. Rumelhart and Donald A. Norman: Analogical processes in learning. In John R. Anderson (Ed.) (1981). Cognitive skills and their acquisition. Erlbaum. (335-360) (geen online versie gevonden 2013, enkele pagina's in Google http://goo.gl/Bln0J2 maar er is wel een scan van een conceptversie http://goo.gl/beuy5S)) (o.a. een korte beschouwing over het leren van breuken met de pizza-analogie, leerzaam! Geen onderzoek, maar dat lijkt ook niet nodig ;-)



Ronald Keijzer (2003). Teaching formal mathematics in primary education . Fraction learning as mathematising process. Proefschrift Vrije Universiteit. CD-&zelig; Press. isbn 9073346525


  1. Introduction
  2. Theoretical background
  3. Learning for mathematical insight: a longitudinal comparative study on modelling
  4. Keijzer & Terwel: Audrey's acquisition of fractions: a case study into the learning of formal mathematics. Learning & Instruction (in press)
  5. Keijzer & Terwel (2001). The fraction learning process in low-achieving students:Shirley's choice and use of strategies in primary mathematics. Educational Studies in Mathematics, 47, 53-73.
  6. Effects of an experimental fraction programme in primary mathematics: a longitudinal analysis
  7. Theoretical reflection
  8. Conclusion and discussion



Liesbeth van der Plas-Eskes (website). Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs. Een kleine analyse van het wiskunde onderwijs binnen twee generaties. pdf.




Liesbeth van der Plas: Breuken voor de Basisschool, Vmbo, Havo, VWO en Pabo. [oefen-dvd] oefen-dvd



Joost Hulshof (12 september 2011). Doorlopende leerlijnen breuken lopen niet door. Voordracht SLO, Enschede.

Hulshof wijst er onder andere op dat breuken met noemers anders dan veelvouden van twee en vijf uit het onderwijs dreigen te verdwijnen, onder invloed van bijvoorbeeld het referentiekader rekenen van de commissie-Meijerink, een kader dat is vastgelegd in de Wet op de referentieniveaus taal en rekenen.





G. Bruin-Muurling (2010). The development of proficiency in the fraction domain. Affordances and constraints in the curriculum. Technische Universiteit Eindhoven. abstract [de volledige tekst is (nog?) niet online beschikbaar]

Onderwijs in breuken: in de lijn van de opvattingen van RR heeft Geeke Bruin-Muurling (2010) onderzocht hoe dit onderwijs in de praktijk reilt en zeilt. Als ik het in de gauwigheid goed heb gezien, geeft de passage in bovenstaande box de kern van haar resultaten weer. Ik kan daar niet uit afleiden dat het RR is geslaagd op zijn eigen doelen, en het valt dan te vermoeden dat de eenvoudige rekenvaardigheid met breuken verwaarloosd blijkt te zijn. Het lastige met dit onderzoek is dat het noodzakelijkerwijs alleen op RR-gebaseerd rekenonderwijs onderzoek berust (ander onderwijs was er immers niet of nauwelijks), zodat het ongewis blijft hoe de resultaten van het onderzoek zijn te duiden in termen van geslaagd zijn van de missie van het RR. In beginsel kan een onderzoek zoals dit wel degelijk inzichten in de effectiviteit van tal van varianten binnen het RR in de klas opleveren, ik ben dus wel benieuwd wat verdere lezing van dit proefschrift nog op gaat leveren.



K. P. E. Gravemeijer, G. Bruin-Muurling & M. van Eijck (2009). Aansluitingsproblemen tussen primair en voortgezet onderwijs — geen doorgaande lijn voor het vermenigvuldigen van breuken. Panam-Post pdf.

Ik denk toch dat dit zó moet worden gelezen dat het realistisch rekenonderwijs in de basisschool op een paar verkeerde paarden heeft gewed. Nee hoor, Gravemeijer c.s. vinden dat het VO zelf een aansluitingsprobleem heeft: het goede werk dat op de basisschool is gedaan, moet in het VO worden afgerond om een goede overgang naar de wiskunde te krijgen.

En ik maar denken dat hier staat dat de leerlingen bij de overgang van het rekenen van hun basisschool naar de wiskunde in het VO een paar verkeerde gewoonten weer moeten afleren.



M. Koopman,  G. Bruin-Muurling,  P.J. den Brok (2013). Ook bij breukenonderwijs maakt de leraar het verschil. Didactief, 43 #10, 44-45. [Heb ik dit artikel over het hoofd gezien?]



Ron Aharoni (2009). Kinderen leren rekenen. Boom.



Merlyn J. Behr, Richard Lesh, Thomas R. Post & Edward A. Silver: Rational-number concepts. in Richard Lesh & Marsha Landau (Eds.) (1983). Acquisition of Mathematics Concepts and Processes (91-126). Academic Press. pdf



Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen - tussendoelen Annex Leerlijnen Bovenbouw Basisschool Noordhoff. isbn 9789001851064. [nog niet gezien, KB ter inzage]



S. Kuipers (2004). De leerlijn rekenen/breuken - voor groep 6 en hoger. cd-rom (is dit een boek of alleen een cd-rom?)(nog niet gezien)



Boomsma (). Resultaten van het onderwijs in breuken op de lagere school. Wolters (nog niet gezien)



Liesbeth van der Plas (2007). Wiskunde interactief - breuken voor de Basisschool, Vmbo, Havo/VWO en Pabo. Karakter Uitgevers. (nog niet gezien)



Hessel Pot (2005). Breuken, wat zijn dat eigenlijk voor dingen? Euclides, 82 #2 [inhoudsopgave Euclides 81; dit artikel niet online beschikbaar]



F. Goffree, A. A. Hiddink & J. M. Dijkshoorn (1970 4e). Rekenen en didactiek. Wolters-Noordhoff.


Breuken worden behandeld in hoofdstuk 6, kommagetallen in hoofdstuk 8, verhoudingen en evenredigheden in hoofdstuk 15, telkens met twee hoofdrekentoetsen.

15.B.6. Hoofdrekentest (zesde klas) Tijd: 5 min.


30 x 4 12 =          25 - 34 =          9 x 25 =
17 - 23 =            13 x 72 =          7 x 12,5 =
27 : 4 =              8 x 13,5 =          27 + 38 =
13 - 15 =            9 x 4,5 =           92 - 47 =
12 12 + 1 14 =      7 x 8,5 =           21 : 4 =
4 x 27,5 =            43 : 5 =            56 - 13 =
16 x 125 =            44 st. = .. gld.    28 rijksd. = ƒ . . .
36 kw = ƒ . . .       1/5 x 120 =         40 rijksd. = ƒ . . . 

Voor een hoofdrekentoets zie 2.A.8. zie hier



Treffers, A. Treffers, L. Streefland & E. de Moor (1994). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 3A. Breuken. Zwijsen. isbn 9027633398



Soo Jin Lee, Rachael Eriksen Brown & Chandra Hawley Orrill (2011): Mathematics Teachers' Reasoning About Fractions and Decimals Using Drawn Representations. Mathematical Thinking and Learning, 13, 198-220. abstract



Thomas P. Carpenter, Elizabeth Fennema & Thomas A. Romberg (Eds.) (1993). Rational Numbers. An Integration of Research. Erlbaum.



Amy Fleeger Hillen (2005). Examining Preservice Secondary Mathematics Teachers' Ability to Reason Proportionally prior to and upon Completion of a Practice-Based Mathematics Methods Course Focused on Proportional Reasoning. Dissertation University of Pittsburg. Approved by Ellen Ansell, Ellice Forman & Gaea Leinhardt. pdf.



Steven A. Hecht & Kevin J. Vagi (2010). Sources of Group and Individual Differences in Emerging Fraction Skills. Journal of Educational Psychology, 102, 843-859.



Darcy Hallett, Terezinha Nunes & Peter Bryant (2010). Individual Differences in Conceptual and Procedural Knowledge When Learning Fractions. Journal of Educational Psychology, 102, 395-406.



E. M. Meyers (1928). Vergelijkingen met breuken in middeleeuwse rechtsteksten. Mededelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Letterkunde, Deel 66 Serie B, No. 6. 25 blz brochure

J. Versluys (1906). Deelbaarheid en repeteerende breuken. Amsterdam: A. Versluys.



L. Streefland (1988). Realistisch breukenonderwijs. Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. proefschrift RUU.



Catherine Sophian (2007). The origins of mathematical knowledge in childhood. Lawrence Erlbaum.



Steven A. Hecht & Kevin J. Vagi (2010). Sources of Group and Individual Differences in Emerging Fraction Skills. Journal of Educational Psychology, 102, 843-859.



Darcy Hallett, Terezinha Nunes & Peter Bryant (2010). Individual Differences in Conceptual and Procedural Knowledge When Learning Fractions. Journal of Educational Psychology, 102, 395-406.



Kristie Jones Newton (2008). An extensive analysis of preservice elementary teachers' knowledge of fractions. American Educational Research Journal, 45, 1080-1110. abstract



R. S. Siegler, G. J. Duncan, P. E. Davis-Kean, K. Duckworth, A. Claessens, M. Engel, M. I. Susperreguy & M. Chen (2012). Early predictors of high school mathematics achievement. Psychological Science, 23, 691-697. concept





Joke Torbeyns, Michael Schneider, Ziqiang Xin & Robert S. Siegler (2014). Bridging the gap: Fraction understanding is central to mathematics achievement in students from three different continents. Learning and Instruction, 37, 5-13. pdf




Siegler, R., Carpenter, T., Fennell, F., Geary, D., Lewis, J., Okamoto, Y., Thompson, L., & Wray, J. (2010). Developing effective fractions instruction for kindergarten through 8th grade: A practice guide (NCEE #2010-4039). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education. Retrieved from whatworks.ed.gov/ publications/practiceguides. pdf



Robert S. Siegler, Clarissa A. Thompson & Michael Schneider (2011). An integrated theory of whole number and fractions development. Cognitive Psychology. abstract en pdf



Siegler, R. S. & Lortie-Forgues, H. (in press 2015) Conceptual knowledge of fraction arithmetic. Journal of Educational Psychology. http://dx.doi.org/10.1037/edu0000025 concept


Daniel Willingham blogged Computational Competence Doesn't Guarantee Conceptual Understanding in Math. No, of course it doesn’t. What, then, is the point of the Siegler & Lortie-Forgues article?

Robert Siegler, of course, is a prolific reseacher on things mathematical in education. See Bryan Penfound's blog http://bryanpenfoundsmathblog.blogspot.ca/2015/04/more-time-in-mathematics-for-pre.html?m=1 on the importance of conceptual mastery of fracion arithmetic in education.



Laetitia Desmet, Jacques Grégoire & Christophe Mussolin (2010). Developmental changes in the comparison of decimal fractions. Learning and Instruction, 20, 521-532. abstract



Susanne Prediger (2008). The relevance of didactic categories for analysing obstacles in, conceptual change: Revisiting the case of multiplication of fractions. Learning and Instruction, 18, 3-17. pdf



Morris Kline (1980). Mathematics. The loss of certainty. Oxford University Press.



Linda Fisher (2007). Learning About Fractions from Assessment, by Linda Fisher In Alan H. Schoenfeld: Assessing mathematical proficiency. Cambridge University Press. pp 195-211 pdf



Susan B. Empson (1999). Equal Sharing and Shared Meaning: the Development of Fraction Concepts in a First-Grade Classroom. Cognition and Instruction, 17, 283-342. questia

Andrew Iszák (2011). Mathematical knowledge for teaching fraction multiplication. Cognition and Instruction, 26, 95-143.

Bárbara M. Brizuela (2006). Young children's notations for fractions. Educational Studies in Mathematics, 62, 281-305. pdf

T. W. Boyer, Levine, S. C., & Huttenlocher, J. (2008). Development of proportional reasoning: Where young children go wrong. Developmental Psychology, 44, 1478-1490.

Bright, G., Behr, M., Post, T., & Wachsmuth, I. (1988). Identifying fractions on number lines. Journal for Research in Mathematics Education, 19, 215-232.



Fujimura, N. (2001). Facilitating children’s proportional reasoning: A model of reasoning processes and effects of intervention on strategy change. Jour­nal of Educational Psychology, 93, 589-603.abstract

Jitendra, A. K., Star, J. R., Starosta, K., Leh, J. M., Sood, S., Caskie, G., . . . Mack, T. R. (2009). Improving seventh grade students’ learning of ratio and proportion: The role of schema-based instruction. Contemporary Educational Psychology, 34, 250-264.

Susan B. Empson (1999). Equal sharing and shared meaning: The development of fraction concepts in a first-grade classroom. Cognition and Instruction, 17, 283-342. abstract

Geoffrey B. Saxe, Maryl Gearhart & Michael Seltzer (1999). Relations between classroom practices and student learning in th edomain of fractions. Cognition and Instruction, 17, 1-24. abstract



Hessel Pot (2009). Zijn breuken en verhoudingen nou wel of niet hetzelfde? Studiedag NVvW - 7 november 2009.abstract



Darcy Hallett, Terezinha Nunes & Peter Bryant (2010). Individual Differences in Conceptual and Procedural Knowledge When Learning Fractions. Journal of Educational Psychology, 102, 395-406.



Steven A. Hecht & Kevin J. Vagi (2010). Sources of Group and Individual Differences in Emerging Fraction Skills. Journal of Educational Psychology, 102, 843-859. abstract



Gerhard F. Steiner & Markus Stoecklin (1997). Fraction calculation — a didactic approach to constructing mathematical networks. Learning and Instruction, 7, 211-233. abstract



Yujing Ni & Yong-Di Zhou (2005): Teaching and Learning Fraction and Rational Numbers: The Origins and Implications of Whole Number Bias, Educational Psychologist, 40:1, 27-52 abstract



http://benwilbrink.nl/projecten/wijdenes_1924_breuken.jpg

De afbeelding: enkele breukensommen voor de zesde klas, 1924, voor leerlingen die toelating voor mulo, hbs of gymnasium willen gaan doen.

P. Wijdenes (1924). Voorlooper op de rekenboeken voor de H.B.S en voor M.U.L.O., tevens slotstukje voor het rekenonderwijs op de lagere school. P. Noordhoff.



Lonneke Boels (2011). Breuken op de basisschool. Euclides, 86, 244. abstract

Hoe zit het met die breuken bij de overgang bo-vo, wat kunnen en kennen deze leerlingen? Zij noemt alleen enkele Nederlandse publicaties, geen empirisch onderzoek.



Hans Freudenthal heeft eind zeventiger jaren met veel moeite een opzet voor een cursus breuken gemaakt, daar is nooit iets mee gedaan, ook niet gepubliceerd als ik het goed heb



Tal-team (2005). Breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen. FI/Wolters/Noordhoff [niet in mijn bezit]



P. van den Brom-Snijders e.a. (2006). Gebroken getallen Reken/wiskundedidactiek. ThiemeMeulenhof [voor de Pabo; niet in mijn bezit]



P. M. van Hiele (1973). Begrip en inzicht. Werkboek van de wiskundedidactiek. Muusses. Zie ook de pagina met aantekeningen bij werk van Van Hiele html

Hoofdstuk 22. Zouden we het rekenen met breuken misschien kunnen afschaffen? Ik heb mij laten informeren dat dit hoofdstuk van Van Hiele gebazel is. Nog een citaat uit een ander hoofdstuk:


De voornaamste oorzaak van het mislukken van het onderwijs in breuken op de basisschool is, dat de leerlingen vrijwel niets met de breuken kunnen doen: de kennis van de breuken maakt hun leven niet rijker.

blz. 225


Verhoudingen verhoudingstabel



P. M. van Hiele (1973). Begrip en inzicht. Werkboek van de wiskundedidactiek. Muusses. Zie ook de pagina met aantekeningen bij werk van Van Hiele html

Hoofdstuk 1. Evenredigheden gaat over de evenredigheidsmatrix.


Men is gewoon een evenredigheid te lezen als een gelijkheid van quotiënten: 2 : 5 = 6 : 15. Deze evenredigheid is juist, want 2/5 = 6/15.

Deze beschouwingswijze maakt de leer der evenredigheden moeilijker dan wel nodig is. Breuken hebben twee nadelen: 1e het getal in de noemer kan niet gelijk zijn aan nul; 2e het rekenen met breuken is minder eenvoudig dan het rekeen met produkten.

Het kan heel gemakkelijk anders. Verschillende didaktici die zich bezig hielden met het rekenen in het basisonderwijs hebben al een lans gebroken voor het werken met ‘verhoudingsblokken’. Men treft deze gedachte o.a. aan bij Dreckhahn in zijn ‘Arbeitsbuch für den Rechenunterricht’ en bij Turkstra en Timmer in ‘Rekendidactiek, 1e deel’. Het komt erop neer, dat men twee rijtjes getallen onder elkaar zet:


2     4     7   12   -2   -5

6   12   21   36   -6   -15


Het tweede rijtje wordt uit het eerste verkregen door alle getallen met eenzelfde getal te vermenigvuldigen.

Het belangrijkste van deze metode is, dat er nergens een bewerkingsteken geplaatst is: de getallen staan in een rechthoekig blok, zij vormen een evenredigheidsmatrix.

blz. 1



Rainer Kaenders & Klaas Landsman (2010). Interview Chris Zaal. Wiskunde opstuwen in de vaart der volkeren. Nieuw Archief Wiskunde, 5/11 nr 1


“( .. ) Het hele probleem met het realistische wiskundeonderwijs zoals het FI dat maakt, is hun idee dat de abstractie wel vanzelf komt als je maar genoeg contexten aanbiedt. Almaar aansluiten bij de gedachtenwereld van de leerlingen. B-leerlingen vragen dan na een tijdje: ‘Waarom zeggen ze niet gewoon wat ze bedoelen?’ Dit zie je ook terug in de lespakketjes van het FI: daarin wordt eindeloos verkend, maar het gewenste einddoel blijft achter de horizon. De zogenaamde ‘didactische modellen’ maken het nog erger. Een ‘verhoudingstabel’ geeft de leerling in het begin steun, maar blokkeert uiteindelijk de wiskundige ontwikkeling omdat de vervolgstap van verhoudingstabel naar algebraïsch rekenen niet gemaakt wordt. Al heet het instituut naar Freudenthal met zijn Mathematik als pädagogische Aufgabe—het pedagogisch inzicht ontbreekt. Door de realistische didactiek blijft de ontwikkeling van de leerling in een initieel stadium steken.”

blz. 43



Robert A. Reeve and Philippa E. Pattison (1998). The Referential Adequacy of Students’ Visual Analogies of Fractions. Mathematical Cognition, 2, 137-169. pdf



Andrew Iszák, Erik Jacobsons, Sandra de Araujo & Chandra Hawley Orrill (2012). Measuring mathematical knowledge for teaching fractions with drawn quantities. Journal for Research in Mathematics Education, 43, 391-427. preview


Seems to be nonsense research, applying irt-modelling to data from a handful of teachers. Dumped my copy of the article.



Jimmy de la Torre (2009). A cognitive diagnosis model for cognitively based multiple-choice options. Applied Psychological Measurement, 33, 163-183. abstract


Het gebruikte voorbeeld is een breukenopgave 2 4/7 - 7/12. Het lijkt me wel interessant en van belang om te zien hoe dit ‘cognitief-psychologisch’ wordt geanalyseerd. De psychometrie van een en ander is meer arcaan van karakter, wat mij betreft met weinig realiteitswaarde.



Theo Thijssen (1941). In de ochtend van het leven. Jeugdherinneringen. Van Dishoeck.




Joh. H. Wansink (1957 8e). Reken- en stelkunde. Leerboek der algebra voor het middelbaar en voorbereidend hoger onderwijs. Deel I J. B. Wolters.


Hoofdstuk III: Deelbaarheid, merkwaardige produkten, ontbinding in factoren 82-116; Hoofdstuk IV: Het gebroken getal. 117-137; Hoofdstuk V: Evenredigheden 138-159



Van Steenbrugge, H., Valcke, M., Lesage, E., Desoete, A. & Burny, E. (2015). Preservice elementary school teachers’ knowledge of fractions: A mirror of students’ knowledge? Manuscript submitted for publication in Journal of curriculum studies abstract of hfdst 4 in deze pdf




Hendrik van Steenbrugge (2012). Teaching Fractions in Elementary School. Dissertation Gent. Promotor: Martin Valcke. Copromotor: Annemie Desoete. pdf




Hendrik Van Steenbrugge, Janine Remillard, Lieven Verschaffel, Martin Valcke and Annemie Desoete (2015). Teaching Fractions in Elementary School An Observational Study. The Elementary School Journal, 116, 49-75. abstract


Ad 1. Multiple solution pathways. Is there any evidence for effectivenes of stressing multiple solutions in education? Gearhart et al 1999 is mentioned here; it is research changingen a lot of things at the same time, however, without measurement of effects — it is an observational study. Another study, Kazemi and Stipek (2001, using 4 teachers as subject, only ‘suggested’ importance of, again among others, ‘understanding the relations among multiple stategies’. Another study Cramer et al 2002) is claimed to have demonstrated positive results compared to a control group of the Rational Numbers Project Curriculum. That’s all in terms of support mentioned in the research literature.



Anja Eichelmann · Susanne Narciss · Lenka Schnaubert · Erica Melis (2012). Typische Fehler bei der Addition und Subtraktion von Brüchen – Ein Review zu empirischen Fehleranalysen J Math Didakt (2012) 33:29–57 pdf




H. Wu (April 30, 1998). Teaching fractions in elementary school: A manual for teachers. (revised 2010) pdf




H. Wu (August 4, 2011; revised February 8, 2014). Teaching Fractions According to the Common Core Standards. pdf




Ben Wilbrink (October 24 2015). Teaching fractions, or fractionated teaching? ‪http://www.jstor.org/stable/10.1086/683111‬ 5 myths taken seriously? Twitter


As far as I know none of these 5 instruction strategies has been proven to be superior to strategies based on learning psychology proper. Those strategies are approximately nine in number, as described by Stellan Ohlsson in his 2011 ‘Deep Learning’: Twitter + picture



Danny Beckers & Harm Jan Smid (1828/2003). Grondbeginselen der rekenkunde. Uitgegeven door het wiskundig genootschap, Onder de Zinspreuk Mathesis Scientiarum Genitrix, te Leyden. isbn 9065507442 abstract


Dit facsimile is het deeltje over breuken. Voor decimalebreuken waren immers gouden tijden aangebroken met het ingevoerde decimale stelsel.



Resnick, Ilyse; Jordan, Nancy C.; Hansen, Nicole; Rajan, Vinaya; Rodrigues, Jessica; Siegler, Robert S.; Fuchs, Lynn S. (May 2016). Developmental growth trajectories in understanding of fraction magnitude from fourth through sixth grade. Developmental Psychology, 52, 746-757. abstract [I haveno access]




abstract




abstract




17 juli 2016 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/breuken.htm http://goo.gl/bsQjV