Rekenproject: Wiskobas Bulletin

Ben Wilbrink


rekenproject thuis
wetenschapsopvattingdebat
    observeren
    drogredenensectarismenapratenpublic relationsWiskrantWisobas Bulletin
    constructivismegeen empirisch onderzoek doenontwikkelingsonderzoek
        constructivisten Spiro & DeSchryver


Ik beschik niet over een complete set Wiskobas Bulletins. De Koninklijke Bibliotheek heeft evenmin een complete set. De bibliotheek van het Snellius Laboratorium in Leiden heeft niets, evenmin als de bibliotheek Sociale Weetenschappen. Hopelijk heeft het Freudenthal Instituut nog wel een complete verzameling op de planken staan. Het tijdschrift moet destijds op grote schaal zijn verspreid, maar desondanks blijkt het lastig om exemplaren op de kop te tikken. Wie mij kan helpen aan exemplaren die nog in mijn collectie ontbreken: graag.

Ik beschrijf in deze pagina allereerst de inhoud van de Wiskobas Bulletins in mijn bezit, of waarvan ik over een kopie beschik.


Bijdragen van Hans Freudenthal stan keurig opgesomd: http://goo.gl/MzQwx (Noord-Hollands Archief).


Wiskobas Bulletin, jaargang 1, nr. 4, juni 1972




H. Freudenthal: Ontsporingen. 242-245.


Grappig en nuttig stuk over de dikdoenerij met ‘verzamelingen’ in rekenmethoden.



Adri TreffersDe voetbaltabel en de drie fasen in de leerplanontwikkeling. 263-268.


De inktvlek. Ik seiger iedere keer weer als ik het zie. Waar is dit begonnen? ‘Matematiseren’.

De leerlingen ontdekken bij de WISKUNDEAANPAK de regelmatighden zelfstandig.

“Op lange termijn zal Wiskobas een onderwijs-leerstofpakket uitwerken voor de leerlingne van 4-12 jaar.

De aanzet tot het ontwerpen van deze pakketten geschiedt in 1976. Leerjaar voor leerjaar zal de opbouw geschieden. Pas in de tachtiger jaren zal het totale pakket klaar zijn. Maar, zoals gezegd, het voorlopige einddoel ligt in 1975. De publikatie van het integratieplan is dan in 1976 te verwachten..”

Er moeten toch in de zeventiger jaren wel mensen zijn geweest die de megalomanie van dit project onder woorden hebben gebracht? Met de verwachting dat het vrijstellen van een groep didactische amateurs om het rekenonderwijs opnieuw vorm te geven wel moet leiden tot het overspoelen van het onderwijsveld met ingewikkelde materialen en reclame voor de eigen zaak?



Harry Stroomberg: Doelstellingenonderzoek en rekenonderwijs. 287-291.



Koos van Deursen: Rekendoelstellingen en schooltoetsen. 293-297.


Dit korte artikel werpt enig licht op de Cito Eindtoets Basisonderwijs in de eerste jaren van zijn bestaan. Omdat de onderliggende rapporten (Cito-publikaties en Cito-memo’s) moeilijk vindbaar zijn (als ze al ergens nog beschibaar zijn), zal ik maar gewoon grote delen van het hoofdstukje van Koos van Deursen onertypen. Koos: als je dit ziet, laat even weten of het wat jou betreft oké is.

Sinds 1970 verzorgt het CITO een schooltoetsprogramma voor het eind van het basisonderwijs. De toetsuitslagen worden op minstens twee manieren gebruikt:

  1. als evaluatie van het gegeven onderwijs,
  2. als onderdeel van de toelatingsprocedure van het voortgezet onderwijs.

Het programma bestaat uit 300 opgaven, waarvan er 90 liggen op het gebied van het rekenen.

De rekenopgaven worden gemaakt door een kommissie die bestaat uit vier hoofden van scholen, een leerplandeskundige [G. Boomsma van het Kohnstamm Instituut] en een toetsdeskundige.

De kommissie is zich bewust dat de inhoud van de rekentoets van invloed is het rekenonderwijs in de hogere leerjaren van het basisonderwijs. In 1971 deden bijna 60.000 leerlingen mee. Dat betekent dat een kleine 2000 scholen bij hun rekenonderwijs letten op de inhoud van de toets,

De kommissieleden proberen de beruchte ‘toetsnaald-effekten’ te vermijden en richten zich bij het maken van de opgaven op algemeen aanvaarde rekendoelstellingen. Zij willen opgaven (items) maken die gemiddeld door 80% van de leerlingen goed gemaakt worden: zij willen minimumeisen toetsen, geen maksimum.

Het grote probleem is nu echter dat we in Nederland geen lijst met algemeen aanvaarde rekendoelstellingen hebben en dat we niet weten wat de minimumeisen zijn.

Vraag voor dit artikel is nu hoe de kommissie aan haar rekendoelstellingen komt en of zij erin slaagt daarbij items te maken die de minimumeisen toetsen.

( . . . )

Reakties uit het onderwijs

Elk jaar publiceert de kommissie een verantwoording [CITO-publikatie nr. 7 Verantwoording inhoud 1971, dec. 1970. CITO-publikatie nr. 13 Verantwoording inhoud 1972, de. 1971] van haar beslissingen en vraagt zij aan het onderwijs om kritiek. Uit een enquête in 1970 [CITO-memo nr. 5 Verslag van de enquête ‘Inhoud schooltoets 1970’. CITO-memo nr. 30 Verslag van de enquête ‘Inhoud schooltoets 1971’.] blijkt o.a. het volgende:

De kommissie vond dat renteberekeningen, koopmansrekenen en zeker mengsommen in het shraplijstje hoorden. ‘Talstelsels’ achtte ze nog niet algemeen aanvaard.

Enkele resultaten van de enquête 1971:

Buiten de enquête om, kwam veel kritiek op de normerende voorschriften bij ‘datumnotering’. De kommissie besloot het probleem bij de toetsing te vermijden. De kommissie vond het niet nodig om op dit punt nu eens echt ‘door te drammen’. Hetzelfde standpunt werd ingenomen bij ‘de volgorde van bewerkingen’. Vooral over de volgorde van vermenigvuldigen en delen bestaat verschil van mening.

Bij de samenstelling van een nieuwe toets houdt de kommissie rekening met de reakties op de voorgaande toets. Op deze wijze ttracht zij te bereiken dat de toets minstens datgene toetst, wat ook in feite onderwezen wordt. Zij gaat hierbij dus eigenlijk uit van het principe ‘geen tegenstemmers’. De moeilijkheid is nu dat nieuwe, misschien wel zeer wenselijke zaken, niet gemakkelijkeen kans krijgen o in de toets te worden opgenomen. Zie bijvoorbeeld de eenzame stemmen die vragen o talstelsels, en de reaktie van de kommissie.

Daarom volgt de kommissie niet altijd het principe van ‘geen stemmen tegen’.

Op het moment echter dat de kommissie bij haar beslissingen haar eigen mening laat prevaleren ontstaat spanning. Voorbeeld hiervan is de rubriek ‘schatten’. De kommissie hecht veel waarde aan deze vaardigheid en neemt zes items op in haar toets (zie tabel 1 [hier niet overgenomen, b.w.]). Bij de enquête 1971 blijkt deze rubriek ernstige kritiek te ondervinden in de vorm van ‘niet belangrijk’m ‘niet onderwezen’.

Toch handhaaft de kommissie haar mening. Op dit punt wil zij wel ‘doordrammen’.

Zij vindt de vaardigheid ‘schatten’ zo belangrijk dat zij de kritiek vor lief neemt.

Het probleem ‘wanneer mag de kommissie wel haar eigen mening laten prevaleren, wanneer niet’ is niet objectief op te lossen. ‘Het wordt overgelaten aan de prudentie van de leden’, zegt men in zo’n geval.


Wat is minumeis?

De schooltoetsen zouden uit items moeten bestaan die wat betreft moeilijkheidsniveau, aanvaardbaar zijn voor alle leerlingen van het lager onderwijs.

Om dit te bereiken kan men uitgaan van de mening van eksperts, hetgeen een gevaarlijke zaak is. Zulke meningen zijn namelijk opgebouwd uit minstens twee overwegingen:

  1. de verwachting van de moeilijkheidsgraad van een item,
    en
  2. de normerende instelling van ‘dit zouden de leerlingen eigenlijk moeten kunnen of kennen’.

Na een oordeel van een ekspert weet men dus nog niet hoe moeilijk een item in feite zal zijn: het kan meevallen, maar ook tegenvallen. Meestal valt het tegen. Zie als voorbeeld (er zijn op dit gebied veel meer aanwijzingen) de moeilijkheid van de rekentoetsen.


Tabel 2. De moeilijkheid van de rekentoets ‘Schooltoetsen basisonderwijs’, uitgedrukt in percentages goede antwoorden.


1967           65

1968           63

1969           67

1970           61

1971           70



De schooltoetsen blijken moeilijker dan bedoeld. De itemschrijvers, die toch een grote ervaring hebben op dit gebied, overschatten de leerlingen.

Bij een onderzoekje bleek dat de gemiddelde moeilijkheidsgraad van een aantal rekenitems .59 was, d.w.z. 59% van de leerlingen maakten de items goed.

Bij een schatting vooraf dachten 4 eksperts dat de gemiddelde moeilijkheidsgraad zou zijn: resp/ .66; .71;. .62; .62.

Overschatting van de leerlingen!

Het is dan ook een gelukkige ontwikkeling dat de toetskonstrukteurs de schooltoetsitems sinds kort kunnen uitproberen in een proefafname. [Een proefafname is niet alleen nuttig voor het bepalen van de moeilijkheidsgraad (zie CITO-memo nr. 7 ‘Proeftoets 1970’ en CITO-memo nr. 29 ‘Proefagname 1971’.)]

De konstrukteur krijgt hierbij enig zicht op wat zijn verwachtingen waard zijn in de praktijk.

( . . . ) [Van Deursen geeft hier een aantal voorbeelden; in het vierde voorbeeld zitten verschrijvingen. Voor een goede indruk van de inhoud van deze rekentoetsen is op zijn minst de beschikbaarheid van de toetsen zelf nodig. b.w.]


Moeilijkheidsgraad per onderdeel

Het lijkt me tenslotte nog interessant voor de lezers na te gaan hoe moeilijk de verschillende onderdelen van het rekenen gebleken zijn. In 1971 was dit, geordend van moeilijk naar gemakkelijk, als volgt:


Tabel 3 moeilijkheid rekentoets 1971 per onderdeel (zie ook tabel 1 [niet door mij overgenomen, b.w.])


  2.3       .56       schatten

  2.1       .58       hoofdrekenen

  2.5       .60       schalen/grafieken

  2.4       .62       procenten

  1.3       .65       decimalen

  3.1       .66       maten/gewichten

  2.2       .70       verhoudingen

  1.4       .75       herleidingen

  1.2       .78       breuken

  1.6       .79       rekenk. termen

  1.5       .82       cijferen

  1.1       .89       nat. getallen



Het verschil tussen de twee uiterste is nog groot. Toch kunnen we niet zonder meer konkluderen dat ‘schatten’ een veel moeilijker varadigheid zou zijn dan ‘inzicht in natuurlijke getallen’.

Immers de gemiddelde moeilijkheidsgraad van elk onderdeel in tabel 3 is opgebouwd uit de moeilijkheidsgraad van elk item dat bij dit onderdeel hoorde. Zoals we gezien hebben kan men een bepaald onderdeel operationaliseren in gemakkelijke en in moeilijke items. Als nu een onderdeel toevallig gerepresenteerd is in allemaal zeer moeilijke items dan is uiteraard de gemiddelde moeilijkheidsgraad voor dat onderdeel laag. Zouden er toevallig allemaal gemakkelijke items bij gemaakt zijn dan was de gemiddelde moeilijheidsgraad hoog geweest. De plaats in de rangorde-lijst is dus niet zo zeker: konklusies vanuit de items naar het onderdeel moeten met de nodige voorzichtigheid gemaakt worden.

Vervolgens moeten we beseffen dat de moeilijkheid van een item geen absolute eigenschap is. Het is een relatief gegeven: het geeft het verband aan tussen een bepaalde groep leerlingen en een item.

Als die leerlingen weinig onderwijs hebben genoten in de vaardigheid, die door het item wordt gevraagd, dan zal het item moeilijk blijken. Anderzijds: als de leerlingen veel onderwijs hebben gehad in die vaardigheid, dan wordt het item gemakkelijk.

Met het nodige voorbehoud zouden we uit tabel 3 iets kunnen konkluderen over de mate van aandacht die de verschillende onderdelen bij het rekenonderwijs ontvangen. Het is dan toch minstens opvallend dat de meer traditionele onderwerpen, zoals breuken en cijferen, gemakkelijk zijn en de nieuwee onderwerpen zoals schatten, schalen en grafieken moeilijk!

Uit het artikel blijkt hopelijk dat het werk van een toetskommissie een boeiende bezigheid kan zijn, met implikaties voor leerplanontwikkeling en vernieuwing. Het zou de kmissieleden dan ook spijten als zij hun werk alleen moesten verrichten. Belangstelling, hulp en kritiek van ieder, die geinteresseerd is in de ontwikkeling van het rekenonderwijs op de basisschool is zeer welkom.

In dit artikel komt nog een verwijzing voor naar een artikel van Dolf Kohnstamm in Ouders van nu, mei 1971: De schooltoets kritisch bekeken door ouders.

Het artikel demonstreert de onmacht van het Cito, op dit moment in de tijd, om een heldere uiteenzetting over de Eindtoets Basisonderwijs te produceren. Vooral in de afsluitende paragraaf gaat Van Deursen wel heel erg keuvelend tewerk.



Rob de Jong: Voor ons een vraag . . . . voor u een weet? 301-304.


“We zijn op zoek gegaan naar motiveringen van leerstofkeuze en van breuken in het bizonder.”

De Jong heeft er een aantal rekenmethoden op nageslagen: De grondslg - Rekenen - Ik reken - Niveaucursus rekenen - Nieuw reknenen voor het basisonderwijs . En Proeve van een leerplan voor het basisonderwijs (Nutsseminarium, moet ik aannemen: interessant dat deze Proeve kennelijk wel bekend is bij het Wiskobas-team, in 1972)



Jan van den Brink en Leen Streefland: Geografische oriëntatie. 308-318.



Adri Treffers: Alles nog eens op een rijtje. 319-323.

Bij Treffers slaat de verwarring toe: ‘breuken als machientjes’.

“Merk nogmaals op, dat breuken iets bewerken.”

Dit lijkt me op voorhand een tamelijk rampzalig didactisch idee: het drijft de leerlingen weg van een algebraïsch begrijpen van breuken en verhoudingen Niet alleen het gelijk-teken, maar ook de breuk is dan een opdracht om iets te gaan doen. Juist bij dit soort ideeën is er op zijn minst een empirisch anker nodig: kunnen we uitsluiten dat dit idee van ‘breuken als machientjes’ later tot obstakels in het verdere reken- en wiskundeonderwijs leidt? Kunnen we de doeltreffendheid van deze didactische invalshoek, in vergelijking met andere methodieken, empirisch bepalen?



Jan Nieland: Frontale aanval. Een leergang voor breuken. 324-330.

“Een aantal jaren geleden hebben wij aan onze kweekschool een steekproef afgenomen over het gebruik van de omkeerregel bij mensen van allerlei slag: een dokter, een politiekommissaris, en loketbeambte, een fietsenmakenr, een ingenieur ( . . . ). Alleen de ingenieur kwam er uit door de getallen eerst decimaal te maken en een rekenliniaal te pakken. Sommigen wisten nog iets van omkeren, anderen bekenden eerlijk dat ze alles kwijt waren. Geen van hen had een idee van de grootte van het antwoord, uitgezonderd de ingenieur.”

Nieland geeft niet aan welke opgaven aan deze toevallige passanten werden voorgelegd. Ik vraag mij af hoeveel invloed anecdotes zoals deze hebben gehad op de ontwikkeling van het realistisch rekenen. Het is zo verdraaid makkelijk om uit anecdotes zoals deze meteen maar sterke conclusies te trekken. En zo bloedlink.

In een onmiddellijk daarop volgende passage geeft Nieland voorbeelden van breukenopgaven en hoe deze typisch worden uitgewerkt door aankomende studenten van de P.A.: domweg uitrekenen in plaats van eerst even de getallen en de opgave op je in te laten werken. Maar ook dat is weer anecdotisch, en laat niet vanzelfsprekend sterke conclusies toe over het onderwijs dat deze leerlingen hebben gehad.

Het voorstel van Nieland is vooral een worsteling met de New Math, lijkt het. In ieder geval is het zeker dat de behandeling van breuken een didactische uitdaging van jewelste is, een uitdaging die m.i. alleen over de band van de cognitieve psychologie goed valt uit te spelen (experimenteel-psychologisch dus ook), vanzelfsprekend op basis van een verstandige inventarisatie waar het bij het onderwijs in breuken, decimaalgetallen, en verhoudingen allemaal om gaat(kunnen we de wirwar terugbrengen tot twee of drie principes die de leerlingen zich in de loop van de jaren eigen moeten maken?).



H. Bolt: Een onderzoek in Veenendaal. 335-337.

Dat laatste is toch interessant. Immers, de Inspectie kwam maart 2011 met een rapport waarin nogal wat opheft werd gemaakt over de mate waarin scholen naast hun rekenmethode gebruik maakten van ander oefenmateriaal! Zo uit mijn hoofd: de cijfers van 2011 zijn niet wezenlijk anders dan die van 1972. Maar dat zou dus kunnen betekenen dat het gebruik maken van ander oefenmateriaal niet iets hoeft te zijn dat voortvloeit uit een inherent tekort van op realistische rekenleest geschoeide methoden, vergeleken met de methoden rond 1970. Het tijdsgewricht in de zestiger jaren was, wat rekendidactiek betreft, bepaald niet rustig, wat geleid kan hebben tot op de markt gebrachte rekenmethoden waar scholen zich niet echt goed in konden vinden (zoals de tevredenheidscijfers van Bolt ook suggereren: maar 1 school is zeer tevreden over de eigen rekenmethode [Naar zelfstandig rekenen]).


Wiskobas Bulletin, jaargang 2, nr. 2, januari 1973



Wiskobas Bulletin, jaargang 3, nr. 1, november 1973



Wiskobas Bulletin, jaargang 3, nr. 4/5, juni 1974



alleen bijvoegsel Wiskobas Bulletin, jaargang 5, nr. 4:



Louis Gilissen, Ed de Moor, Adri Treffers en Edu Wijdeveld (1976). Bussen en blokken. Werkbladen voor wiskundeonderwijs in de basisschool. Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs. geen isbn. 92 blz. quarto.


Denk bij die blokken aan het tellen van de blokken in een stapel, zoals ik meen vraag 48 in voorbeeldrekentoets-3F van het Cito, 2012.

Bussen en blokken is de derde in een serie leerplanpublikaties van wiskobas. De eerste publikatie, ‘De kiekkas van wiskobas’, betrof uitgangspunten en doelstellingen van wiskundeonderwijs, en de tweede publikatie bood daarbij een ‘Overzicht van wiskundeonderwijs op de basisschool’.”


alleen bijvoegsel Wiskobas Bulletin, jaargang 5, nr. 5/6:



Jan van den Brink, Johan van Bruggen, Louis Gilissen, Fred Goffree, Hans ter Heege, Rob de Jong, Ed de Moor, Adri Treffers en Edu Wijdeveld (1976). Inter-lokaal. Werkmateriaal voor wiskundeonderwijs in de basisschool. Leerplanpublikatie 4 wiskobas. Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs. geen isbn. 124 blz. quarto.


Wiskobas Bulletin, jaargang 6, nr. 4:



Betsy Blok, Jan van den Brink, Johan van Bruggen, Marjan Buenk, Abbes Dekker, Hans Freudenthal, Fred Goffree, Hans ter Heege, Huub Jansen, Leen Streefland en Adri Treffers (1977). De abakus. Een belangrijk leermiddel voor het wiskundeonderwijs op de basisschool. Leerplanpublikatie 6. Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs. geen isbn. 112 blz. quarto.


Wiskobas Bulletin, jaargang 1, nr. 4, juni 1972



Wiskobas Bulletin, jaargang 1, nr. 4, juni 1972



Wiskobas Bulletin, jaargang 1, nr. 4, juni 1972



Wiskobas Bulletin, jaargang 1, nr. 4, juni 1972



Wiskobas Bulletin, jaargang 1, nr. 4, juni 1972



Wiskobas Bulletin, jaargang 1, nr. 4, juni 1972



Wiskobas Bulletin, jaargang 1, nr. 4, juni 1972




28 juli 2012 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/wiskobasbulletin.htm