Rekenproject: Wiskobas Bulletin

“De leerlingen ontdekken bij de WISKUNDEAANPAK de regelmatigheden zelfstandig.”

“Op lange termijn zal Wiskobas een onderwijs-leerstofpakket uitwerken voor de leerlingen van 4-12 jaar.

De aanzet tot het ontwerpen van deze pakketten geschiedt in 1976. Leerjaar voor leerjaar zal de opbouw geschieden. Pas in de tachtiger jaren zal het totale pakket klaar zijn. Maar, zoals gezegd, het voorlopige einddoel ligt in 1975. De publikatie van het integratieplan is dan in 1976 te verwachten.”

Sinds 1970 verzorgt het CITO een schooltoetsprogramma voor het eind van het basisonderwijs. De toetsuitslagen worden op minstens twee manieren gebruikt:

1. als evaluatie van het gegeven onderwijs,
2. als onderdeel van de toelatingsprocedure van het voortgezet onderwijs.

Het programma bestaat uit 300 opgaven, waarvan er 90 liggen op het gebied van het rekenen.

De rekenopgaven worden gemaakt door een kommissie die bestaat uit vier hoofden van scholen, een leerplandeskundige [G. Boomsma van het Kohnstamm Instituut] en een toetsdeskundige.

De kommissie is zich bewust dat de inhoud van de rekentoets van invloed is het rekenonderwijs in de hogere leerjaren van het basisonderwijs. In 1971 deden bijna 60.000 leerlingen mee. Dat betekent dat een kleine 2000 scholen bij hun rekenonderwijs letten op de inhoud van de toets,

De kommissieleden proberen de beruchte ‘toetsnaald-effekten’ te vermijden en richten zich bij het maken van de opgaven op algemeen aanvaarde rekendoelstellingen. Zij willen opgaven (items) maken die gemiddeld door 80% van de leerlingen goed gemaakt worden: zij willen minimumeisen toetsen, geen maksimum.

Het grote probleem is nu echter dat we in Nederland geen lijst met algemeen aanvaarde rekendoelstellingen hebben en dat we niet weten wat de minimumeisen zijn.

Vraag voor dit artikel is nu hoe de kommissie aan haar rekendoelstellingen komt en of zij erin slaagt daarbij items te maken die de minimumeisen toetsen.

( . . . )

Reakties uit het onderwijs

Elk jaar publiceert de kommissie een verantwoording [CITO-publikatie nr. 7 Verantwoording inhoud 1971, dec. 1970. CITO-publikatie nr. 13 Verantwoording inhoud 1972, de. 1971] van haar beslissingen en vraagt zij aan het onderwijs om kritiek. Uit een enquête in 1970 [CITO-memo nr. 5 Verslag van de enquête ‘Inhoud schooltoets 1970’. CITO-memo nr. 30 Verslag van de enquête ‘Inhoud schooltoets 1971’.] blijkt o.a. het volgende:

• 37 van de 68 inzenders missen géén belangrijke onderdelen;
• 77 van de 90 items worden door 70% van de inzenders gewenst en mogelijk geacht;
• uitbreiding gevraagd voor o.a.
  rentebereking 5×
  koopmansrekenen 4×
  mengsommen 1×
  talstelsels 1×

De kommissie vond dat renteberekeningen, koopmansrekenen en zeker mengsommen in het shraplijstje hoorden. ‘Talstelsels’ achtte ze nog niet algemeen aanvaard.

Enkele resultaten van de enquête 1971:

• 107 van de 164 inzenders missen geen belangrijke onderdelen.
• Ongeveer 80% van de inzenders vindt alle rekenitems gewenst en mogelijk
• Er wordt meer aandacht gevraagd voorr cijferen, breuken, metrieken door enekel mensen. Eén persoon wijst op het ontbreken van talstelsels. Vier mensen vragen opgaven voorbereidende wiskunde.

Buiten de enquête om, kwam veel kritiek op de normerende voorschriften bij ‘datumnotering’. De kommissie besloot het probleem bij de toetsing te vermijden. De kommissie vond het niet nodig om op dit punt nu eens echt ‘door te drammen’. Hetzelfde standpunt werd ingenomen bij ‘de volgorde van bewerkingen’. Vooral over de volgorde van vermenigvuldigen en delen bestaat verschil van mening.

Bij de samenstelling van een nieuwe toets houdt de kommissie rekening met de reakties op de voorgaande toets. Op deze wijze ttracht zij te bereiken dat de toets minstens datgene toetst, wat ook in feite onderwezen wordt. Zij gaat hierbij dus eigenlijk uit van het principe ‘geen tegenstemmers’. De moeilijkheid is nu dat nieuwe, misschien wel zeer wenselijke zaken, niet gemakkelijkeen kans krijgen o in de toets te worden opgenomen. Zie bijvoorbeeld de eenzame stemmen die vragen o talstelsels, en de reaktie van de kommissie.

Daarom volgt de kommissie niet altijd het principe van ‘geen stemmen tegen’.

Op het moment echter dat de kommissie bij haar beslissingen haar eigen mening laat prevaleren ontstaat spanning. Voorbeeld hiervan is de rubriek ‘schatten’. De kommissie hecht veel waarde aan deze vaardigheid en neemt zes items op in haar toets (zie tabel 1 [hier niet overgenomen, b.w.]). Bij de enquête 1971 blijkt deze rubriek ernstige kritiek te ondervinden in de vorm van ‘niet belangrijk’m ‘niet onderwezen’.

Toch handhaaft de kommissie haar mening. Op dit punt wil zij wel ‘doordrammen’.

Zij vindt de vaardigheid ‘schatten’ zo belangrijk dat zij de kritiek vor lief neemt.

Het probleem ‘wanneer mag de kommissie wel haar eigen mening laten prevaleren, wanneer niet’ is niet objectief op te lossen. ‘Het wordt overgelaten aan de prudentie van de leden’, zegt men in zo’n geval.

Wat is minumeis?

De schooltoetsen zouden uit items moeten bestaan die wat betreft moeilijkheidsniveau, aanvaardbaar zijn voor alle leerlingen van het lager onderwijs.

Om dit te bereiken kan men uitgaan van de mening van eksperts, hetgeen een gevaarlijke zaak is. Zulke meningen zijn namelijk opgebouwd uit minstens twee overwegingen:

1. de verwachting van de moeilijkheidsgraad van een item,
   en
2. de normerende instelling van ‘dit zouden de leerlingen eigenlijk moeten kunnen of kennen’.

Na een oordeel van een ekspert weet men dus nog niet hoe moeilijk een item in feite zal zijn: het kan meevallen, maar ook tegenvallen. Meestal valt het tegen. Zie als voorbeeld (er zijn op dit gebied veel meer aanwijzingen) de moeilijkheid van de rekentoetsen.

Tabel 2. De moeilijkheid van de rekentoets ‘Schooltoetsen basisonderwijs’, uitgedrukt in percentages goede antwoorden.

1967           65

1968           63

1969           67

1970           61

1971           70

De schooltoetsen blijken moeilijker dan bedoeld. De itemschrijvers, die toch een grote ervaring hebben op dit gebied, overschatten de leerlingen.

Bij een onderzoekje bleek dat de gemiddelde moeilijkheidsgraad van een aantal rekenitems .59 was, d.w.z. 59% van de leerlingen maakten de items goed.

Bij een schatting vooraf dachten 4 eksperts dat de gemiddelde moeilijkheidsgraad zou zijn: resp/ .66; .71;. .62; .62.

Overschatting van de leerlingen!

Het is dan ook een gelukkige ontwikkeling dat de toetskonstrukteurs de schooltoetsitems sinds kort kunnen uitproberen in een proefafname. [Een proefafname is niet alleen nuttig voor het bepalen van de moeilijkheidsgraad (zie CITO-memo nr. 7 ‘Proeftoets 1970’ en CITO-memo nr. 29 ‘Proefagname 1971’.)]

De konstrukteur krijgt hierbij enig zicht op wat zijn verwachtingen waard zijn in de praktijk.

( . . . ) [Van Deursen geeft hier een aantal voorbeelden; in het vierde voorbeeld zitten verschrijvingen. Voor een goede indruk van de inhoud van deze rekentoetsen is op zijn minst de beschikbaarheid van de toetsen zelf nodig. b.w.]

Moeilijkheidsgraad per onderdeel

Het lijkt me tenslotte nog interessant voor de lezers na te gaan hoe moeilijk de verschillende onderdelen van het rekenen gebleken zijn. In 1971 was dit, geordend van moeilijk naar gemakkelijk, als volgt:

Tabel 3 moeilijkheid rekentoets 1971 per onderdeel (zie ook tabel 1 [niet door mij overgenomen, b.w.])

  2.3       .56       schatten

  2.1       .58       hoofdrekenen

  2.5       .60       schalen/grafieken

  2.4       .62       procenten

  1.3       .65       decimalen

  3.1       .66       maten/gewichten

  2.2       .70       verhoudingen

  1.4       .75       herleidingen

  1.2       .78       breuken

  1.6       .79       rekenk. termen

  1.5       .82       cijferen

  1.1       .89       nat. getallen

Het verschil tussen de twee uiterste is nog groot. Toch kunnen we niet zonder meer konkluderen dat ‘schatten’ een veel moeilijker varadigheid zou zijn dan ‘inzicht in natuurlijke getallen’.

Immers de gemiddelde moeilijkheidsgraad van elk onderdeel in tabel 3 is opgebouwd uit de moeilijkheidsgraad van elk item dat bij dit onderdeel hoorde. Zoals we gezien hebben kan men een bepaald onderdeel operationaliseren in gemakkelijke en in moeilijke items. Als nu een onderdeel toevallig gerepresenteerd is in allemaal zeer moeilijke items dan is uiteraard de gemiddelde moeilijkheidsgraad voor dat onderdeel laag. Zouden er toevallig allemaal gemakkelijke items bij gemaakt zijn dan was de gemiddelde moeilijheidsgraad hoog geweest. De plaats in de rangorde-lijst is dus niet zo zeker: konklusies vanuit de items naar het onderdeel moeten met de nodige voorzichtigheid gemaakt worden.

Vervolgens moeten we beseffen dat de moeilijkheid van een item geen absolute eigenschap is. Het is een relatief gegeven: het geeft het verband aan tussen een bepaalde groep leerlingen en een item.

Als die leerlingen weinig onderwijs hebben genoten in de vaardigheid, die door het item wordt gevraagd, dan zal het item moeilijk blijken. Anderzijds: als de leerlingen veel onderwijs hebben gehad in die vaardigheid, dan wordt het item gemakkelijk.

Met het nodige voorbehoud zouden we uit tabel 3 iets kunnen konkluderen over de mate van aandacht die de verschillende onderdelen bij het rekenonderwijs ontvangen. Het is dan toch minstens opvallend dat de meer traditionele onderwerpen, zoals breuken en cijferen, gemakkelijk zijn en de nieuwee onderwerpen zoals schatten, schalen en grafieken moeilijk!

Uit het artikel blijkt hopelijk dat het werk van een toetskommissie een boeiende bezigheid kan zijn, met implikaties voor leerplanontwikkeling en vernieuwing. Het zou de kmissieleden dan ook spijten als zij hun werk alleen moesten verrichten. Belangstelling, hulp en kritiek van ieder, die geinteresseerd is in de ontwikkeling van het rekenonderwijs op de basisschool is zeer welkom.

“We zijn op zoek gegaan naar motiveringen van leerstofkeuze en van breuken in het bizonder.”

“Bussen en blokken is de derde in een serie leerplanpublikaties van wiskobas. De eerste publikatie, ‘De kiekkas van wiskobas’, betrof uitgangspunten en doelstellingen van wiskundeonderwijs, en de tweede publikatie bood daarbij een ‘Overzicht van wiskundeonderwijs op de basisschool’.”