Christiaan Bokhove (2011). Use of ICT for acquiring, practicing and assessing algebraic expertise.

Aantekeningen door Ben Wilbrink

Christian Bokhove (12 december 2011). Use of ICT for acquiring, practicing and assessing algebraic expertise. Proefschrift Universiteit Utrecht. pdf van het hele proefschrift hier ophalen [NB: de foute formules op p. 98 en 144 (wortel u moet wortel nu zijn) zijn opgenomen in de errata]

Promotor: J. A. van Maanen; co-promotor: P. H. M. Drijvers.
Utrecht, Academiegebouw 12:45-13:30, Senaatszaal
Ongetwijfeld in relatie tot het promotieonderzoek van Christian Bokhove: minisymposium op 13 december 13:00-17:00, zie http://www.fi.uu.nl/fisme/nl/projecten/minisymposiumalgebraict/
ppt presentatie
Website Algebra met Inzicht
Het proefschrift bestaat uit de bundeling van vijf publicaties, omsloten door de Inleiding en de Conclusie, met samenvattingen. Ik zal de publicaties hier noemen, omdat deze mogelijk wel online beschikbaar zijn, althans via universiteitsbibliotheken.
1. pm Introduction
2. C. Bokhove & P. Drijvers (2010). Digital tools for algebra education: criteria and evaluation. International Journal of Computers for Mathematical Learning, 15, 45-62. abstract - open access pdf
3. C. Bokhove & P. Drijvers (2010). Symbol sense behavior in digital activities. For the Learning of Mathematics, 30, 43-49. read pdf abstract
4. C. Bokhove (2010). Implementing feedback in a digital tool for symbol sense. International Journal for Technology in Mathematics Education, 17, 121-126. pdf
5. C. Bokhove & P. Drijvers (submitted 2011). Effects of feedback in an online algebra intervention.
6. C. Bokhove & P. Drijvers (accepted 2011). Effects of a digital intervention on the development of algebraic expertise. Computers & Education. abstract
7. pm. Conclusion.
8. pm. Summary & Samenvatting. Geen online-versie gevonden.

Eerste indruk: Bokhove presenteert het onderzoek als ontwikkelingsonderzoek, verwijzend naar een publicatie van Jan van den Akker. Het zou zomaar kunnen dat Bokhove met dit onderzoek inderdaad dicht bij het ideaalbeeld van Jan van den Akker komt: een goede mix/opeenvolging van kwalitatief en kwantitatief onderzoek. Het zou mij zeker genoegen doen wanneer ik dat kan bevestigen.

Dat de co-promotor bij vier van de vijf publicaties als mede-auteur optreedt, is opmerkelijk. Het brengt Christian Bokhove in de ongemakkelijke positie om uit te moeten leggen dat deze reeks onderzoeken voornamelijk zijn academische verdienste zijn, niet die van Drijvers.

Hoewel dit onderzoek gaat over algebraonderwijs, is het toch ook van belang voor het rekenonderwijs, en hoe dat te onderzoeken.

Het eerste hoofdstuk geeft het theoretisch kader voor het onderzoek in zijn geheel.

Het eerste dat me opvalt is dat Bokhove niet expliciet onderscheidt tussen onderwijsactiviteiten waarbij specifieke ICT nuttig kan zijn (want doeltreffender en/of doelmatiger dan andere instructiemethoden of -middelen), en het nut van specifieke ICT voor onderwijs (waarbij nog valt te bezien of met die ICT bepaalde taken inderdaad doeltreffender en/of doelmatiger kunnen dan anders het geval zou zijn). Ik zal op dit punt terugkomen bij bespreking van het concluderend hoofdstuk. Het is natuurlijk altijd legitiem om te onderzoeken in hoeverre een specifieke techniek of een bepaald hulpmiddel inzetbaar is in onderwijs, in die zin zal ik dit promotieonderzoek dan ook lezen.
Het eigenlijke theoretisch kader valt uiteen in het gebruik van ICT-instrumenten, wat het algebraïsche expertise is, en beoordelen en terugkoppeling van resultaten. Ik geef onmiddellijk toe dat het lastig is om voor deze drie gebieden de juiste theoretische kaders te vinden omdat ze bepaald niet dicht bij de eigen discipline van Bokhove liggen, maar met adequate begeleiding had het toch kunnen lukken. Nu zijn er drie deelkaders geschetst die niet raken aan de kern van wat de wetenschappelijke literatuur op deze terreinen te bieden heeft. Bokhove is zijn ontwikkelingsonderzoek daarmee begonnen zonder op de schouders van reuzen te staan, wat zeker een handicap is, maar goed onderzoek niet in de weg hoeft te staan.

Het tweede hoofdstuk beschrijft de ontwikkeling van een evaluatie-instument voor beschikbare algebra-corseware, en op basis daarvan de keuze van een pakket waar Bokhove verder mee in zee wil gaan.

Enige lippendienst aan het uitgangspunt dat een onderwijskundig ontwerp van het algebra-onderwijs het vertekpunt moet zijn (Bokhove verwoordt dat anders). Maar in essentie komt de oefening in dit hoofdstuk erop neer dat er wordt gezocht naar onderwijsvervangende courseware, zonder dat expliciet wordt gemaakt aan welke eisen die courseware dan moet voldoen. Dat klinkt alsof ik het hoofdstuk niet heb gelezen, maar dat heb ik wel degelijk. Bekijk de lijst op p. 39-40, en zie vele criteria die bepaald onzinnig zouden zijn als we bijvoorbeeld de eisen voor een ontstane vacature voor wiskundeleraar zouden formuleren.
Dit hoofdstuk 2 gelezen hebbend, voorspel ik dat alle kosten bij elkaar opgeteld (voor de leerlingen, de leraren, de instelling) niet opwegen tegen de meerwaarde van het gebruik van het gekozen pakket, als er al een meerwaarde aantoonbaar is.
Meerwaarde ten opzichte van wat: ten opzichte van goed regulier algebraonderwijs. Bokhove en Drijvers hebben al onraad geroken: met de te kiezen courseware moeten leerlingen op dezelfde manier kunnen werken als met potlood en papier. Een moedige maar wel onthullende kwaliteitseis voor courseware!
Ik ben ervan overtuigd dat voor specifieke doeleinden bepaalde software wel degelijk meerwaarde kan hebben, maar Bokhove zoekt kennelijk naar courseware die ongeveer heel het algebraonderwijs voor zijn rekening kan nemen, van lesinhoud tot en met afsluitende toetsing. Een recept voor rampen. Bokhove heeft nog vier hoofdstukken om mijn voorspelling te logenstraffen. Als hij uiteindelijk heeft laten zien voor welke specifieke doeleinden bepaalde courseware meerwaarde heeft boven beschikbare alternatieven, na kosten, dan ben ik ook tevreden met dit onderzoek.

Hoofdstuk 3 is een artikel over number sense. Om te beginnen een enkele algemene opmerking.

De opgaven die Bokhove gebruikt om te toetsen op number sense doen mij sterk denken aan ‘handig rekenen’: zou dit een vorm van ‘handige wiskunde’ kunnen zijn, of is het misschien omgekeerd zo dat uitgaand van deze wiskundeopgaven het duidelijk wordt op welke manier het idee dat ‘handig rekenen’ doel van rekenonderwijs zou kunnen zijn, een misvatting moet zijn? Christian Bokhove zet me hier onbedoeld op een goed spoor, zie handig_rekenen.htm#bullet, waarvoor alvast mijn dank. Ik kom er hier beneden op een andere manier nog op terug, omdat dit hoofdstuk 3 gaat over wat in de psychologische literatuur aanpakgedrag van nieuwelingen heet. Over dat laatste is een mooie dubbelpromotie van Kees Mettes en Albert Pilot, over probleemoplossen in het vak thermodynamica. C. T. C. W. Mettes & A. Pilot (1980). Over het leren oplossen van natuurwetenschappelijke problemen. Dubbelproefschrift Twente. CDO.
Wat in dit hoofdstuk 3 wordt gerapporteerd, is geen wetenschappelijk onderzoek. Het is dus de vraag of dit hoofdstuk een cruciale rol speelt in het promotieonderzoek, en zo ja, hoe dan. Het antwoord zal uit de vervolghoofdstukken moeten komen. Waarom is dit hoofdstuk geen wetenschappelijk onderzoek: het geeft een vier-categorieën indelingssysteem (op zwakke gronden, daarover straks meer) waarvan vervolgens bij enkele proefpersonen wordt bekeken of die categorieën herkenbaar zijn in de probleemaanpak. Ja, dat zal best, maar wat zegt dat? Ik zie geen voorspelling die hout snijdt, en geen empirische toetsing op zo’n voorspelling.

Ieder artikel heeft weer een eigen theoretisch kader. Ik wil er nu in detail naar kijken, omdat in dit hoofdstuk toch een paar bijzondere onderwerpen spelen, onderwerpen waar ik moeite mee heb. Bovendien is dit artikel op zichzelf eigenlijk een theoretisch kader.

De eerste verwijzing is naar een boeiend artikel van Schoenfeld (2004) over de Math Wars, in Educational Policy abstract. Bokhove verwijst er in vier hoofdstukken naar, in drie daarvan is dat al in de tweede zin. Zoekt hij naar een verzoening tussen realisten en hun opponenten? In drie hoofdstukken, waaronder hoofdstuk 3, is dat op het onderwerp van ‘procedural skills’ versus ‘conceptual understanding’, zeg maar: oefenen versus begrijpen. Ik heb Schoenfeld gelezen, zie hier voor enkele aantekeningen, vind hem overtuigend, maar heb ook gezien dat het Amerikaans debat radicaal anders is dan het Nederlandse. Ik zie niet in waarom Schoenfeld (2004) relevant is voor Bokhove.
De tweede referentie van Bokhove is U.S. Department of Educaion 2007, een tussentijds commissierapportje; dat is niet adequaat. Er zitten prima externe leden in de commissie, maar die kunnen best ondergesneeuwd zijn door andere commissieleden, wie weet? Commissierapporten horen niet thuis in theoretische kaders voor wetenschappelijk onderzoek, anders dan onderzoek over commissies. Ook deze verwijzing is naar de Amerikaanse rekenoorlog, maar dat heeft niets met het onderzoek van Bokhove te maken.
Dan is ICT aan de beurt: de eerste verwijzing is naar een Amerikaans rapport van NCTM. Alweer een commissiestuk. En waarom moet het Amerika zijn? Afijn, op blz. 1 van dat rapport staat
NCTM Position

Technology is an essential tool for learning mathematics in the 21st century, and all schools must ensure that all their students have access to technology. Effective teachers maximize the potential of technology to develop students’ understanding, stimulate their interest, and increase their proficiency in mathematics. When technology is used strategically, it can provide access to mathematics for all students.
Met alle respect, maar waarom zo’n onzinnige missiestatement onderschrijven? Christian? Voor het leren van wiskunde is er maar één wezenlijk gereedschap: aandacht en hersens. ICT, potlood en papier, griffel en papier, boeken: het zijn allemaal hulpmiddelen. Schrijven kan ook op het strand (bij eb). Dat leerkrachten potentieel moeten maximaliseren is ofwel een open deur, ofwel een onzinnige uitspraak. Laat die Amerikanen hun eigen ding maar doen, loop er niet klakkeloos achteraan. De NCTM maakt hier reclame voor de computerindustrie: “Calculators and other technological tools, such as computer algebra systems, interactive geometry software, applets, spreadsheets, and interactive presentation devices, are vital components of a high-quality mathematics education.”. Schande.
Nog steeds over ICT: een verwijzing naar Zorn (2002). Maar dat is een niet gepubliceerd stukje, wat moeten we daarmee? Wie is Paul Zorn dan wel? Ha, President van de Mathematical Association of America. Op zijn website: het artikel is een paper voor een conferentie in 2002, gepubliceerd in AMS Notices (is dat gerefereerd?). Zijn artikel is een opiniestuk (Zorn geeft dat ook aan, het is wat hij denkt over een aantal zaken), waarom zou je daar een theoretisch kader op bouwen? Niet doen. Zijn stuk gaat over wiskunde voor college students, springt van de hak op de tak, bewijst niets, en bevat geen enkel empirisch gegeven.
Terug naar ‘oefenen versus begrijpen’ refereert Bokhove opnieuw aan een commissierapport: Kilpatrick, Swafford, & Findell (2001). Adding it up. Ik ga daar dus niet verder op in, maar niet zonder op te merken dat dit dikke boekwerk een verhaal is waarin uitspraken niet strak aan de onderzoekliteratuur zijn gekoppeld: waardeloos dus, want oncontroleerbaar. Bokhove ontleent hieraan (p. 116) een nietszeggend indeling in pseudo-psychologische categorieë: “the comprehension of mathematical concepts, operations, and relations”. Pseudo-psychologie. Bijvoorbeeld: iets ‘begrijpen’ noemen, verklaart ongeveer niets. Er zal nog gelegenheid voldoende zijn om hier verder op in te gaan.
Met de verwijzing naar twee artikelen van Arcavi komen we hopelijk op serieus terrein. Arcavi wordt veel genoemd in de literatuur, tijd dus om eens kennis te maken. Zijn 1994 is online beschikbaar. Van zijn (2005) is alleen de eerste blz. vrij online in te zien (Hele artikel: via de KB, JSTOR). Het laatste artikel is geen onderzoek, maar een congrestoespraak. Het eerste artikel is mogelijk een aardige compilatie uit de literatuur om een nieuw begrip ‘symbol sense’ invulling te geven, maar het is geen onderzoek (het Wenger-citaat staat erin, Whitehead komt langs, het idee van een ‘Gestalt’, de misvatting (van Arcavi) dat een tautologie niet zinvol is (de wetten van Newton zijn tautologieën . . . . ). Ik zal het laatste artikel moeten lezen, omdat Bokhove er kennelijk veel uit overneemt. Meteen in de eerste alinea stopt Arcavi van alles en nog wat in ‘getalbegrip’, zodat dit begrip betekenisloos wordt. Dat is geen aansporing om Arcavi verder te lezen. Dat doe ik dan ook niet. Arcavi is niet behulpzaam bij het opzetten van een adequaat theoretisch kader. Dat deze twee artikelen “provided a breakthrough in the thinking on procedural skill and conceptual understanding in algebra” is overdrijving van Bokhove: het zijn columns, geen rapportages van behoorlijk onderzoek.
Dan komen we bij expertise in algebra. In de psychologische literatuur (o.a. Anders Ericsson) is redelijk afgebakend wat het is om expertise te hebben, of dat juist niet te hebben, zoals met nieuwelingen het geval is. Bokhove grijpt terug op artikelen van Drijvers; dat lijkt me niet adequaat, maar ja, Drijvers is mede-auteur van dit hoofdstuk 3. Drijvers (2006) is online beschikbaar; het is een betoog (ik zal het zeker bestuderen), maar geen stof voor een theoretisch kader. Een regelrechte blamage is de volgende uitspraak in Drijvers (2006, p. 202): “In de vakliteratuur wordt voor dit alles het begrip symbol sense gebruikt [6-8].” Wat is dan die vakliteratuur: de twee artikelen van Arcave (lichtjaren van onderzoek verwijderd), en een artikel van Drijvers zelf, in de buurt van die van Arcavi. Het is heel vervelend voor Bokhove dat zijn dissertatie met dergelijke onzin is belast. Laat ik afspreken dat symbol sense voortaan nonsense is. De volgende referentie is mij even een raadsel: Drijvers, Goddijn & Kindt (2010). Dit is een hoofdstuk in een Engelse vertaling van Drijvers (Red.) (2006). Wat a is dat kun je niet weten. Het boek is besproken door Rainer Kaenders. Uit deze bespreking begrijp ik dat ook Drijvers, Goddijn & Kindt (2010) een betoog is, een realistisch betoog. De Engelse vertaling blijkt trouwens online in te zien: hier. Wat nu? Moet ik zelf aangeven wat de relevante literatuur voor expertise is, en zo mogelijk ook voor expertise in wiskunde, of beter: expertise in de onderwezen wiskunde in het vo? Ik doe een greep uit wat snel beschikbaar is:
K. Anders Ericsson, Neil Charness, Paul J. Feltovich & Robert R. Hoffman (Eds) (2006) The Cambridge Handbook of Expertise and Expert Performance. Cambridge University Press. Introduction, contents [Ch. 32. Mathematical Expertise 553 Brian Butterworth ] [Michelene T. H. Chi (2006). Methods to assess the representations of experts' and novices' Knowledge. pdf available on Michele Chi's website]

K. Anders Ericsson (Ed.) (2009). Development of professional expertise: Toward measurement of expert performance and design of optimal Learning Environments. Cambridge University Press. contents

Robert Sternberg (2003). What is an 'expert student?' Educational Researcher, 32, #8, 5-9.
Other articles in the same journal:
Patricia A. Alexander (2003). The development of expertise: The journey from acclimation to proficiency. 10-14
Philip L. Ackerman (2003). Cognitive ability and non-ability tratit determinants of expertise. 15-20
Susanne P. Lajoie (2003). Transitions and trajectories for studies of expertise. 21-25

Gaea Leinhardt: Development of an expert explanation: An analysis of a sequence of subtraction lessons. In Lauren B. Resnick (Ed.) (1989). Knowing, learning, and instruction. Erlbaum.

Paul Boekhout, Tamara van Gog, Margje W. J. van de Wiel, Dorien Gerards-Last and Jacques Geraets (2010). Example-based learning: Effects of model expertise in relation to student expertise. British Journal of Educational Psychology (2010), 80, 557-566. abstract

Gobbo, C., & Chi, M. T. H. (1986). How knowledge is structured and used by expert and novice children. Cognitive Development, 1, 221-237. pdf

Chi, M. T. H., Glaser, R. & Rees, E. (1982). Expertise in problem solving. In R. Sternberg (Ed.), Advances in the Psychology of Human Intelligence (Vol. 1, pp. 7-76). Hillsdale, NJ: Erlbaum. pdf

Modelling for Life: Developing Adaptive Expertise in Mathematical Modelling From an Early age Wim Van Dooren, Lieven Verschaffel, Brian Greer, and Dirk De Bock. In Lieven Verschaffel, Filip Dochy, Monique Boekaerts and Stella Vosniadou (Eds) (2006). Instructional psychology: Past, present, and future trends. Sixteen essays in honour of Erik de Corte. Elsevier.

Kenneth Koedinger and John Anderson: Abstract planning and perceptual chunks: elements of expertise in geometry. In Janice Glasgow, N. Hari Narayanan, and B. Chandrasekaran (Eds) (1995). Diagrammatic reasoning. Cognitive and computational perspectives. MIT Press.

Britton, B.K., L. van Dusen, S. Gulgöz, & S.M. Glynn, Instructional texts rewritten by five expert teams: revisions and retention improvements. Journal of Educational Psychology, 1989, 81, 226-239

Michelene T. H. Chi, Robert Glaser, and Marshall J. Farr (Eds) (1989). The nature of expertise. Hillsdale: Erlbaum.

K. Anders Ericsson (Ed.) (1996). The road to excellence. The acquisition of expert performance in the arts and sciences, sports and games. Erlbaum. [Richman, Gobet, Staszewski, Simon: Perceptual and memory processes in the acquisition of expert performance: The EPAM Model.]

Ericsson, K. Anders, & Smith, Jacqui (Eds) (1991). Toward a general theory of expertise. Prospects and limits. Cambridge: Cambridge University Press.

Ericsson, K. Anders, & Charness, Neil (1994). Expert performance: its structure and acquisition. American Psychologist, 49, 725-747. The effects of extended supervised practice from an early age are more far-reaching than is commonly believed. Basic limits of working memory and sequential processing can be exceeded, and anatomical changes can also result.

Koeno Gravemeijer (1997). Mediating between concrete and abstract. In P. Bryant and T. Nunes: Learning and teaching mathematics: An international perspective. Hove, England: Psychology Press.
my comments, b.w.:
Explains Realistic Mathematics Education in a rather clumsy way.
The problem, again, is sloppy theory and the lack of empirical research.
However sympathetic the idea of guided discovery of mathematizing abstractions, it is still a very long shot from a full grown curriculum theory with proven applicability.
One of the crucial things missing is research on implementation processes and how they affect the effectiveness of RME.
The intentions of the protagonists place RME in my direct hits category, only to immediately get disqualified. Be warned that RME is a world wide hype in math education, however.
The chapter bristles with naive notions about problem solving, expertness, what it is that mathematicians do when they mathematize, etcetera, etcetera. It is a pity to see some good ideas drowned in irrelevance. Koeno Gravemeijer is not the one to blame, the RME movement itself seems to be the source of the problems mentioned.

E. F. Redish (2005). Problem solving and the use of math in physics courses. To be published in Proceedings of the conference World View on Physics Education 2005, Delhi India. pdf

R.J. Sternberg, Intelligence as developing expertise, Contemporary Educational Psychology 24 (1999), pp. 359-375. Een bijzonder interessante constructie van het begrip intelligentie.

Robert J. Sternberg Practical Intelligence and Tacit Knowledge: Advancements in the Measurement of Developing Expertise. In James C. Kaufman & Elena L. Grigorenko (Eds.) (2009). The essential Sternberg. Essays on intelligence, psychology, and education. Springer.

Gardner, H. (1995). Why would anyone become an expert? American Psychologist, 50, 802-803. Met dupliek van Ericsson, K. A., & Charnes, N. (1995). Abilities: evidence for talent or characteristics acquired through engagement in relevant activities? American Psychologist, 50, 803-804.

Merim Bilalic, Peter McLeod & Fernand Gobet (2009). Specialization effect and its influence on memory and problem solving in expert chess players. Cognitive Science, 33, 1117-1143. [uit het abstract: "Their problem-solving strategy also changed depending on whether the problem was within their area of specialization. When it was, they searched more in depth and less in breadth; with problems outside their area of specialization, the reverse. The knowledge that comes from familiarity with a problem area is more important than general purpose strategies in determining how an expert will tackle it. These results demonstrate the link in experts between problem solving and memory of specific experiences and indicate that the search for context-independent general purpose problem-solving strategies to teach to future experts is unlikely to be successful."]
De volgende referentie is Wenger (1987), een overzichtshoofdstuk. Ik heb op google.books een paar bladzijden kunnen lezen. Wenger is wiskundige, hij maakt gebruik van wat cognitief-psychologisch onderzoek heeft te melden over het soort onderwijsproblemen dat hij bij zijn eigen studenten zag. Mijn indruk is dat Wenger (1987) relevant is voor het onderzoek van Bokhove. Jammer dat hij kennelijk de referenties in Wenger (1987) niet heeft opgevolgd en geactualiseerd, het zou hem behoed hebben voor trivialiteiten in dit hoofdstuk 3.
Tenslotte de verwijzing naar Kirshner & Awtry (2004) pdf. Dat gaat kennelijk over de Gestalt-idee, waarover Kirshner al eerder publiceerde. Omdat dit de kern raakt van wat Bokhove in dit hoofdstuk op verkennende wijze onderzoekt, neem ik een kleine time-out om het werk van Kirshner te bestuderen. Dat symbolische notatie van enorm belang is om op doelmatige wijze wiskunde te beoefenen, dat is wel zeker. Wie in het bezit is van de recente, tevens de eerste, vertaling van het hoofdwerk van Fibonacci, hoeft dat boek maar op een willekeurige plaats open te slaan om het meteen te zien: schier onleesbare lappen tekst, en toch al in de marges schematische figuren als voorlopers van latere ontwikkelingen in symbolische notatie. Ik ben dus positief gestemd, maar hoop dat de Gestalt-psychologie erbuiten wordt gelaten. Dat laatste is niet omdat ik door bestuderen van het handboek van Koffka in mijn studietijd getraumatiseerd zou zijn: de inzichten van Koffka, Köhler en anderen betreffen echter maar een beperkt aspect van het cognitieve functioneren.
Ik heb Kirshner & Awtry (2004) proberen te lezen, maar mijn indruk is dat ze een ondoorgrondelijke hutspot maken van de literatuur. Ik kan het niet lezen: voor mij is het een ondoorgrodnelijke aaneenschakeling van korte stukjes waarvan ik ook al niet kan doorzien wat de relevantie ervan voor het geheel is. Het gekke is dat de literatuurlijst prachtig en relevant werk bevat, maar ik zie dat in het artikel niet terug. Ik moet hier passen, mijn geduld is niet eindeloos. Misschien moet ik eens kijken naar wat anderen over de onderzoekslijn van Kirshner en Awtry hebben te melden. Mis ik iets? Misschien is mijn probleem dat ik op voorhand achterdochtig ben: misvattingen bij het maken van algebrasommen hebben weinig te maken met schrijfwijze, al speelt schrijfwijze per definitie altijd een rol. Mijn gevoel is dat het onderzoek van Kirshner en Awtry nergens over gaat, ik heb gezocht naar aanwijzingen voor het tegendeel, maar die heb ik niet kunnen vinden in dit 2004-artikel. Overigens heb ik hetzelde type probleem ondervonden bij het proberen te begrijpen wat Anna Sfard in een recent boek schrijft ((2008). Thinking as communicating. Human development, the growth of discourses, and mathematizing.). Ook Alan Newell en Herbert Simon komen bij Kirshner & Awtry even langs, wat op zich al een aanwijzing is dat er iets fout zit; het gaat om de Turing-lezing, gegeven in 1975, met een interessant overzicht van hun werk. Maar interessant of niet, het is secundaire literatuur, zij het ook dat het opgeschreven is door de primaire onderzoekers zelf. Het totaal andere werk van Jonh Anderson, het ACT-R-model, komt ook even langswaaien. Maar zo kan dat natuurlijk niet. Vandaar mijn betiteling: ‘hutspot’. Toch houd ik wel van hutspot, vooral met een beetje flauwekul erin, zoals mijn oma wel eens opmerkte.
Per saldo ga ik dus volstrekt niet mee in de hypothetische gedachte van Christian Bokhove dat het zinvol is om zoiets als ‘pattern salience’ en ‘local salience’ als theoretische noties te postuleren. Ik zie daar geen ondersteuning voor in de onderzoekliteratuur, en los van die literauur ben ik ook niet in staat om te begrijpen wat Bokhove ermee bedoelt. Het is mijn waarnemingspsychologie die me hier in de weg zit, vermoed ik. Ik kan die niet verbinden met de opstelling van Bokhove. Ik wil heel hard roepen: laat de psychologie erbuiten. Maar Bokhove doet een onderzoek naar een didactiek, en kan de psychologie er daarom niet buiten houden.
Dan de technologie (p. 48). De eerste verwijzing is naar Artigue, 2002, maar dat is een persoonlijke bespiegeling. Bedoelt Bokhove hier te verwijzen naar een lijn van onderzoek? En waarom dan? Lees de zin warin de verwijzing voorkomt: wat staat daar precies?
Onmiddellijk daarop: het is belangrijk om pen-en-papier-technieken te verzoenen (reconcile) met ICT. O ja? Is pen-en-papier niet voldoende? De verwijzing is hier naar Kieran & Drijvers (2006 pdf). Ik kan daar kort over zijn: er is waarschijnlijk veel werk in dat onderzoek gaan zitten, maar iets dat op een deugdelijk theoretisch kader lijkt, zie ik niet in Kieran & Drijvers: het verhaal rust op de persoonlijke reflectie van Artigue 2002. Dat is geen wetenschappelijk kader. Het schiet allemaal niet op, laat ik nu maar gewoon gaan kijken wat Bokhove hier aan onderzoek rapporteert (p. 49 e.v.).
Tja, hier stuit ik op mijn eigen beperking dat ik niet vertrouwd ben met het algebraonderwijs. Wat ik zie is een analogie met het denken van de schaker, zoals onderzocht door A. D. de Groot (proefschrift, 1946, integraal beschikbaar op dbnl.nl): de schaakmeester ziet in een gegeven stelling de zaken die van strategisch belang zijn, waar de nieuweling die niet zo scherp of helemaal niet ziet en misschien geneigd is om een zet te doen die een directe positiewinst op lijkt te leveren. Ik vind het dus niet zo geweldig wat in dit hoofdstuk 3 allemaal wordt geconstrueerd rond het visuele van de aangeboden symbolische formules of vergelijkingen. De beschouwing die volgt onder het kopje ‘Conclusies’ maakt het er allemaal niet beter op. Ik steiger bij voortduring tegen onvoorzichtige formuleringen. En dat maakt het voor mij moeilijk om deze hoofdstukken te lezen, ik kom er zo ook niet op tijd doorheen.
Bokhove, in hoofdstuk 3, geeft van de relatie oefenen versus begrijpen een plat beeld —Adri Treffers zou zeggen: een horizontaal beeld. Ik vind het wel opvallend dat Bokhove buiten beschouwing laat dat wiskunde, zeker wiskunde als schoolvak, hiërarchisch is opgebouwd: met vrucht de stof op een hoger niveau bestuderen eist een goede geoefendheid op de stof op een lager niveau. Als die hiërarchische relatie buiten beschouwing blijft, dan is een zinvolle discussie over de relatie tussen oefenen en begrijpen gedoemd te mislukken. Ik ben benieuwd hoe Schoenfeld (2004) dit dan behandelt. Laat ik er op basis van mijn psychologische intuïtie het volgende aan toevoegen (tezijnertijd zal het me lukken de relevante literatuur erbij te zetten, waarschijnlijk vooral Stellan Ohlsson 2011: Deep Learning). De tegenstelling oefenen — begrijpen is oneigenlijk, bovendien is in de psychologische theorie het nog niet zo simpel om uberhaupt oefenen en begrijpen van elkaar te scheiden. In de disputaties in de middeleeuwen, waar onze hedendaagse promotieplechtigheid nog een flauwe afspiegeling van is, werd zo’n schijnbare tegenstelling zo goed mogelijk opgelost door verdere nuancering aan te brengen, een bepaald perspectief te kiezen, or whatever. Dat kan ook met oefenen versus begrijpen: we kunnen net doen alsof we begrijpen wat ermee is bedoeld (no pun intended), en opperen dat de tegenstelling alleen maar schijnbaar is omdat de oefening van vandaag evident gebeurt op basis van wat gisteren voor het eerst werd begrepen. Enzovoort. Een interessante bespiegeling, ik meen in het eerste artikel van Arcavi, is dat het begrijpen van een compleet onderwerp zoals analytische meetkunde, vaak wordt voorafgegaan door het leren beheersen van relevante onderdelen en technieken. Enzovoort. Het is zeker van belang om deze thematiek helder neer te zetten, al was het maar om de flauwe woordenstrijd voor eens en voor al te beëindigen.

3 mei 2012 \ contact ben apenstaartje benwilbrink.nl

http://www.benwilbrink.nl/literature/bokhove2011.htm