Rekenproject: Model opstellen

Ben Wilbrink

Dit is een pagina over een sub-thema van het gebruik van contexten in het onderwijs, voor dat laatste zie contexten.htm.

Het opstellen van geschikte modellen bij woordproblemen — contextopgaven — wordt waarschijnlijk door vele serieuze onderzoekers benadrukt als een expliciet te nemen stap in de aanpak van deze problemen, een stap die als zodanig de enige bedoeling van de opgave zou kunnen zijn, en misschien maar beter kan zijn: dus met weglaten van daarna volgende berekening. Onder andere Lieven Verschaffel is een pleitbezorger van meer aandacht voor dit aspect van woordproblemen.

Toch ligt het in de praktijk allemaal nog niet zo geweldig voor de hand. Recent stelde Joost Hulshof (wiskundige analyse, VU) voor, op een expertmeeting bij gelegenheid van de presentatie van voorbeeld-rekentoetsen voor de komende eindexamens havo/vwo (12-4-2011, commissie-Schmidt), om woordproblemen te ontwerpen op precies dit opstellen van geschikte rekenmodellen, niet altijd ook op de rekenkundige uitwerking daarvan. Dit voorstel werd met algemene instemming overgenomen, maar zal waarschijnlijk nog niet een twee drie een adequate praktische uitwerking krijgen. (De definitieve Rekentoetswijzer 3F maakt geen onderscheid tussen opstellen van het rekenmodel, en het uitrekenen ervan)

In de literatuur over probleemoplossen is het opstellen van een plan van aanpak, te vergelijken met het opstellen van een geschikt rekenmodel, natuurlijk altijd al aan de orde geweest, zoals in het experimentele programma van Alan Newell en Herbert Simon.

Na de eerste opzet van deze pagina, in juli 2011, is er niets meer mee gebeurd. Ik ben met andere onderwerpen bezig geweest, zeg maar. Opeens staat het dan weer op de agenda: ik heb met Hulshof en Pfaltzgraff de stelling betrokken dat de contextopgaven in de rekentoets 3F vooral verschillen in intelligentie toetsen, vanwege hun specifieke contextkarakter. Het specifieke zit hem erin dat de contexten typisch niet rekenkundig zijn, maar alledaags, en er dus wereldkennis voor nodig is om er iets zinvols mee te kunnen doen richting wat er aan rekenbewerkingen wordt gevraagd. Ik moet dat trouwens allemaal nog wel hard maken, en doe er dus goed aan de komende weken te besteden aan gericht literatuuronderzoek.

Ben Wilbrink, Joost Hulshof & Henk Pfaltzgraff (2012 in druk). De rekentoetsen zijn niet valide. Dat wordt nog wat, met die rekentoetsen! Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk, 9 #3 september. 2e concept.

In dit artikel wordt o.a. de stelling gelanceerd dat de contexten in de contextopgaven geen rekenkundige contexten zijn, maar alledaagse. Het gaat dus om het oplossen van alledaagse problemen met een reken-aspect. Bovendien zijn het altijd denkbeeldige problemen, en om die reden dus ook abstracte problemen. Als dat allemaal waar is, dan testen deze contextopgaven dus verschillen in abstractievermogen, naast of in plaats van rekenvaardigheid. De auteurs onderbouwen de stelling niet ter plekke, maar wijzen erop dat het Cito en CvE gehouden zijn om onomstotelijk aan Nederland duidelijk te maken dat deze contextopgaven géén intelligentietestopgaven zijn.

Sanne Schaap, Pauline Vos, Ton Ellermeijer en Martin Goedhart (2011). De vertaalslag van een situatie naar een wiskundige formule; een studie naar vraagstellingen en leerlingprestaties op het centraal examen wiskunde B1. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 28, 31. model, tekstbegrip-->

De titel geeft het al aan: dit gaat precies over het onderwerp van deze webpagina. Op hoog (eindexamen-)niveau.

Timothy Gowers (2002). Mathematics. A Very Short Introduction. Oxford University Press.

Gowers is Fields Medal winner. Leuk boekje, maar ook wel van belang: hfdst 1 over modellen, 2 over abstracties, 3 over bewijzen. Voor het modelleren van een probleemstelling moet er nogal wat worden vereenvoudigd. Pas dat eens toe op de alledaagse problemen in de contextopgaven zoals die in veel rekentoetsen zijn te vinden! Dat is een oefening die ik maar eens moet gaan doen; dus niet denken vanuit wat de ontwerper van de vraag wel zal hebben bedoeld, maar serieus naar de gegeven context kijken. Hoeveel veronderstellingen zitten daar impliciet al in, enzovoort.

Andrzej Sokolowski, Bugrahan Yalvac & Cathleen Loving (2011): Science modelling in pre-calculus: how to make mathematics problems contextually meaningful, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 42, 283-297. abstract

Dit artikel adresseert het probleem dat het toepassen van wiskundige kennis bij opgaven in de zaakvakken vaak neerkomt op het oppervlakkig manipuleren van de juiste formules. Draai het om: bouw de instructie op rond opgaven waarbij op een niet-triviale wijze vanuit de beschikbare of te verzamelen gegevens een geschikt wiskundig model moet worden opgebouwd.

Dédé de Haan (2001). Praktische opdrachten bij wiskunde: verslag van een onderzoek. Nieuwe Wiskrant 20-3/maart pdf

Jacob Perrenet & Bert Zwaneveld (2011). Diversiteit in representatie van de wiskundige modelleercyclus bij studneten en docenten. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 28, 49-74.

Bart Ormel (2011?). Het natuurwetenschappelijk modelleeren van dynamische systemen. Naar een didactiek voor het voortgezet onderwijs. Proefschrift. Bespreking door Sylvia van Borkulo. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 28, 75-78.

Gjalt Prins (2011). Teaching and learning of modelling in chemistry education. Authentic contexts as contexts for learning. Proefschrift. Bespreking door Sylvia van Borkulo. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 28, 79-84.

  http://www.benwilbrink.nl/projecten/model.htm