Rekenproject: Historisch — rekendidactiek

Ben Wilbrink

rekendidactiek
    ontwikkelingen in het rekenonderwijs
        historisch: rekendidactiek — historisch: rekenopgaven
        van Hiele — Freudenthal — Treffers

Natuurlijk is daar al een overzicht van: matheducation.dutch.htm. Mogelijk is er aanleiding om toch bepaalde publicaties binnen het rekenproject op een verhoginkje te zetten.

A. Treffers & M. van den Heuvel-Panhuizen (2012). Lessen uit het verleden – traditionele rekenmethodes en hun leeropbrengsten. Panama-post, 31(1) 3-13.

Jere Confrey (1990). A review of the research on student conceptions in mathematics, science and programming. Review of Research in Education, 16, 3-56).

• Dit lijkt me een heel nuttig overzicht. Wat ik er in de gauwigheid van heb gelezen, bevat glasheldere gedachten. Inheldere gedachten, zeg maar. De stadia van Piaget en hoe iedereen daramee aan de haal is gegaan, vooral in de VS, om kinderen sneller te leren, geheel tegen de geest in van Piaget zelf, die juist benadrukt dat het er om gaat hoe ver kinderen kunnen komen in hun leren, niet hoe snel ze dat doen. Die snelheidsduivels zien het probleempje over het hoofd dat de hersneontwikkeling zijn eigen tempo heeft. Afijn, die niveaus van Pierre van Hiele hebebn ook te maken met wat Confrey hier beschrijft.

Fred Goffree (2002). Wiskundedidactiek in Nederland. Een halve eeuw onderzoek. NAW 5/3 nr. 3 september 2002 233-343. pdf

Fred Goffree (2002). Wiskundedidactiek in Nederland. De opbrengst. NAW 5/3 nr. 4 december 2002 333-345. pdf

F. Goffree, A. A. Hiddink & J. M. Dijkshoorn (1970 4e). Rekenen en didactiek. Wolters-Noordhoff.

De eerste editie is 1966, de tweede voegt in 1968 een aanhangsel over logiblokken enz. van Dienes toe, met een beschouwing over het belang van verzamelingen in de rekendidactiek. Waarschijnlijk geeft ook de eerste editie al die belangrijke rol aan verzamelingen. In deze zin is het boek een tijdsdocument. Ik zie overigens niet dat die verzamelingen echt een rol spelen in deze didactiek, behalve ergens in het begin kot niets eravn terug zodra er echt gerekend gaat worden. Het boek lijkt me historisch vooral van belang omdat het, even afgezien van de verzamelingen-hype, een beeld geeft van het denken over rekendidactiek op het moment dat de wiskobasgroep zijn activiteiten begint.

Bijzonder is dat er tal van hoofdrekentestjes worden gegeven, met de typisch benodigde tijd erbij. Dertig opgaven maken in vijf minuten of 8 minuten bijvoorbeeld. Schitterend. Van Bijsterveldt kan er zo mee aan de slag.

Voor hoofdrekentoets zie 2.A.8. zie hier

Voor een hoofdrekentoets breuken zie hier

Hessel Turkstra en Jan Karel Timmer (1956 2e druk). Naar een nieuwe didactiek in de lagere school. Wolters. twee delen [aanwezig in de KB] De pdf-bestanden met scans zijn omvangrijk (20 Mb of meer): scan Ia - scan Ib - scan IIa - scan IIb

L. van Gelder, E. J. Wijdeveld & F. Goffree (1968). Moderne wiskunde en het basisonderwijs. Wolters-Noordhoff.

Googelen levert nauwelijks hits op: de Freudenthal-groep heeft dit werk vergeten. Ik moet het zeker opvragen en doornemen. En waarom zou Goffree het niet in zijn proefschrift hebben vermeld? Het kan natuurlijk zijn dat dit boek van 80 blz. een niemendalletje is, maar dat moet ik nog zien.

L. Bouwman (1871). Het rekenen uit het hoofd in de lagere school. De Schoolbode. Tijdschrift voor Onderwijs en Opvoeding, 308-320.

• Er is vandaag de dag weinig nieuws onder de zon, zo blijkt onmiddellijk uit deze beschouwing van de auteur van 'Handleiding bij 't rekenen uit het hoofd.' Bouwman rekent zich tot de oudere garde, als ik dat zo mag zeggen, en grijpt ook terug naar herinneringen hoe het in zijn eigen schooldagen met het rekenen toeging, bv.:
  p style='text-indent: 0em'>"Toen begonnen we met cijfers; thans vangen onze leerlingen aan met aanschouwen. Toen rekenden we in verouderde en onbruikbare cijferboeken, waarin een goede leergang gemist werd; thans hebben de onderwijzers eene ruime keuze uit zeer goede rekenboeken, waarin methode heerscht. Toen leerden we alles werktuiglijk; thans leert onze schooljeugd met oordeel werken. Toen werden we alleen geoefend in het cijferen; thans houdt men zich op vele scholen ok bezig met het rekenen uit het hoofd."
  p style='text-indent: 0em'>Zou er halverwege de 19e eeuw ook een 'Freudenthal' actief zijn geweest? De Gelder misschien? Het overigens van aardige voorbeelden voorziene artikel van Bouwman geeft geen enkele aanwijzing.

Mineke van Essen (2006). Kwekeling tussen akte en ideaal. De opleiding tot onderwijzer(es) vanaf 1800. SUN.

Jozef Vos & Jos van der Linden (2004). Waarvan akte. Geschiedenis van de MO-opleidingen, 1912-1987. Van Gorcum.

W. A. Brownell (1935). Psychological considerations in the learning and the teaching of arithmetic. In D. W. Reeve (Ed.), The teaching of arithmetic (Tenth yearbook, National Council of Teachers of Mathematics, pp. 1–50). New York, NY: Bureau of Publications, Teachers College, Columbia University.

R. V. Jordan & M. V. O’Shea (1933?). Everyday life problems in arithmetic. Standardized. An experience course in arithmetic. McKnight & McKnight. full view

• Een schoolboekje 5e klas. Amerikaans.

Aberdeen Orlando Bowden (1929). Consumers Uses of Arithmetic. An Investigation to Determine the Actual Uses made of Arithmetic in Adult Social Life, Exclusive of Vocational Uses. full view

• Dit proefschrift van 54 blz (met bijlagen 69) is besproken door P. A. Diels (1930). Het rekenen in de practijk des levens. Paedagogische Studiën, 11, 284-285.
• Voor een dupliek op een Amerikaanse bespreking, zie http://www.jstor.org/discover/10.2307/27951312?uid=3738736

E. L. Thorndike (1922). The psychology of arithmetic. New York: Academic Press. pdf 8Mb

Voor annotaties zie matheducation.htm#Thorndike, voor een opmerkelijke beschouwing over het belang van het werk van Thorndike zie matheducation.htm#Cronbach Suppes

Hessel Pot (2009). Zijn breuken en verhoudingen nou wel of niet hetzelfde? Studiedag NVvW - 7 november 2009.abstract

Hessel Pot geeft een enorme collectie vindplaatsen uit de literauur, tot ver in het verleden.

Valeer van Achter (1969). De modernisering van het rekenonderwijs op de basisschool. Malmberg. 107 blz. [UB Leiden gesloten magazijn.] [nog niet gezien]

B. Koster (1974). Nieuwe wiskudnepogramma’s voor de basisschool. Wolters-Noordhoff.

Teunissen behandelt eerst de ‘synthetische rekendidactiek’. En maakt daarbij halfbakken opmerkingen zoals (blz. 4):

Teunissen verwijst naar de leerpsychologie van Van Parreren. Maar het is mij een raadsel waar Teunissen op doelt: hij ziet spoken. Teunissen noemt geen namen bij die synthetische rekendidactiek, dat maakt het wat lastig om uit te vinden waar hij het over heeft. Ik ga even niet verder met dit stuk van nep-psycholoog Teunissen. (hij was van 19691970 supervisor van een SVO-project: literatuuronderzoek, door het Pedagogisch Instituut Utrecht). Alfred North Whitehead (1929/1949). The Aims of Education. Mentor Books.

• Ch 6: The mathematical curriculum. 83-95.

  “ . . . . The subject [mathematics] as it exists in the minds and in the books of students of mathematics is recondite. It proceeds by deducing innumerable special results from general iedeas, each result more recondite than the preceding. It is not my task this afternoon to defend mathematics as a subject for profound study. It can very well take care of itself. What I want to emphasise is, that the very reasons which make this science a delight to its students are reasons which obstruct its use as an educational instrument—namely, the boundless wealth of deductions from the interplay of general theorems, their complication, their apparent remoteness from the ideas from which the argument started, the variety of methods, and their purely abstract character which brings, as its gift, eternal truth.

  Of course, all these characteristics are of pricesless value to students; for ages they have fascinated some of the keenest intellects. My only remark is that, except for a highly selected class, they are fatal in education. The pupils are bewildered by a multiplicity of detail, without apparent relevance either to great ideas or to ordinary thoughts. The extension of this sort of training in the direction of acquiring more detail is the last measure to be desired in the interest of education.

  The conclusion at which we arrive is, that mathematics, if it is to be used in general education, must be subjected to a rigorous process of selection and adaptation. I do not mean, what is of course obvious, that however mucht time we devote to the subject the average pupil will not get very far. But that, however limited the progress, certain characteristics of the subject, natural at any stage, must be rigorously excluded. The science as presented to young pupils must lose its aspect of reconditeness. It must, on the face of it, deal directly and simply with a few general ideas of far-reaching importance.

  Now, in this matter of the reform of mathematical instruction, the present generation of teachers may take a very legitimate pride in its achievement. It has shown immense energy in reform, and has accomplished more than would have been thought possible in so short a time. It is not always recognized how difficult is the tast of changeing a well-established curriculum entrenched behind public examinations.

  But for all that, progress has been made, and, to put the matter at its lowest, the old dead tradition has been broken up. I want to indicate this afternoon the guiding idea which should direct our efforts at reconstruction. I have already summed it up in a phrase, namely, we must aim at the elimination of reconditeness from the educational use of the subject.

  Our courses of instruction should be planned to illustrate simply a succession of ideas of obvious importance. All pretty divagations should be rigorously excluded. The goal to be aimed at is that the pupil should acquire familiarity with abstract thought, should realise how it applies to particular concrete circumstances, and should know how to apply general methods to its logical investigation. With this educational ideal nothing can be worse than the aimless accretion of theorems in our textbooks, which acquire their position because the children can be made to learn them and examiners can set neat questions on them. The bookwork to be learnt should all be very important as illustrating ideas. The examples set—and let there be as many examples as teachers find necessary—should be direct illustrations of the theorems, either by way of abstract particular cases or by way of application to concrete phenomena. Here it is worth remarking that it is quite useless to simplify the bookwork, if the examples set in examinations in fact require an extended knowledge of recondite details. There is a mistaken idea that problems test ability and genius, and that bookwork tests cram. This is not my experience. Only boys who have been specially crammed for scholarships can ever do a problem paper successfully. Bookwork properly set, not in mere snippets according to the usual bad plan, is a far better test of ability, provided that it is supplemented by direct examples. But this is a digression on the bad influence of examinations on teaching.

  The main ideas which lie at the base of mathematics are not at all recondite. They are abstract. But one of the main objects of the inclusion of mathematics in a liberal education is to train the pupils to handle abstract ideas. The science constitutes the first large group of abstract ideas which naturally occur to the mind in any precise form. For the purposes of education, mathematics consists of the relations of number, the relations of quantity, and the relations of space. This is not a general definition of mathematics, which, in my opinion, is a much more general science. But we are now discussing the use of mathematics in education. These three groups of relations, concerning number, quantity, and space, are interconnected.

  Now, in education we proceed from the particular to the general. Accordingly, children should be taughtthe use of these ideas by practice among simple examples. My point is this: The goal should be, not an aimless accumulation of special mathematical theorems, but the final recognition that the preceding years of work have illustrated those relations of number, and of quantity, and of space, which are of fundamental importance. Such a training should lie at the base of all philosophical thought. In fact elementary mathematics rightly conceived would give just that philosophical discipline of which the ordinary mind is capable. But what at all costs we ought to avoid, is the pointless accumulation of details. As many examples as you like; let the children work at them for terms, or for years. But these examples should be direct illustrations of the main ideas. In this way, and this only, can the fatal reconditeness be avoided. . . . . ”

F. Bärmann (1970/1973). Rekenen in de aanvangsklassen. Bosch & Keuning.

• op basis van Johannes Wittmann (Theorie und Praxis eines ganzheitlichen, analytisch-synthetischen Unterrichts. 1933), en van wat Hans Aebli(Psychologische Didaktik, Didaktische Auswertung der Psychologie von Jean Piaget, 1963 en Kurt Resag (Kind und Zahl, 1962) overnamen uit het werk van Piaget

Arnold Fricke & Heinrich Besuden (1970). Mathematik. Elemente einer Didaktik und Methodik. Ernst Klett Verlag.

• “Wenn an dem zu lernenden Stoff ‘stärker als bisher die Fähigkeit entwickelt werden (mu&szelig;), mathematisch zu denken und mathematische Wege selbständig zu beschreiten’, so gehört eine Untersuchung über die Struktur des kindlichenDenkens und Lernens an den Anfang alle Überlegungen zur Unterrichtsform. Hier liefers die Arbeiten Piagets nach wie vor gültige Aussagen, aus denen die notwendigen Folgerungen für den mathematischen Unterricht gezogen werden können. ”

  3

Joy Taylor (1976). The Foundations of Maths in the Infant School. George Allen & Unwin.

• Namen: Zoltan P. Dienes, Jean Piaget

• “ ”

• “ ”

• “ ”

• “ ”

W. L. van de Vooren (1934). Grenswaarden. Eene inleiding tot de differentiaal- en integraalrekening. Noordhoff.

Jean Piaget, Kurt Resag, Arnold Fricke, P. M. van Hiele & Karl Odenbach (1964). Rechenunterricht und Zahlbegriff. Westermann Tascenbuch.

• Karl Odenbach: Zur Einführung 7-22 [historisch overzicht, gekoppeld aan de huidige auteurs]
• Kurt Resag: Die Bildung des Zahlbegriffes beim Kind 23-49 [eerder in Westermanns Pädagogischen Beiträgen, 7. Jg 1955, Heft 10][vertaling van van voordracht in 1949, gepubliceerd in Initition au calcul (4. Aufl. 1956)]
• Jean Piaget: Die Genese der Zahm beim Kind 50-72 [eerder in Westermanns Pädagogischen Beiträgen, 10. Jg 1958, Heft 9]
• Arnold Fricke: Operatives Denken im Rechenunterricht als Anwendung der Psychologie von Piaget 75-104 [eerder in Westermanns Pädagogischen Beiträgen, 11. Jg 1959, Heft 3]
• P. M. van Hiele: Piagets Beitrag zu unserer Einsicht in die kindliche Zahlbegriffsbildung 105-131 [eerder in Westermanns Pädagogischen Beiträgen, 10. Jg 1958, Heft 10]
• Arnold Fricke: Operative Zahlerfassung 132-169 [Originalbeitrag]

E. W. A. de Moor (1999). Van vormleer naar realistische meetkunde. Een historisch-didactisch onderzoek van het meetkundeonderwijs aan kinderen van vier tot veertien jaar in Nederland gedurende de negentiende en twintigste eeuw. CD beta Press. Proefschrift Universiteit Utrecht.

• Annotaties zie tezijnertijd hier.

Ed de Moor (1999). Vroeger. 40 historische columns over het rekenonderwijs. NVORWO. isbn 9075586027

Het leren denken is een thema dat in veel van deze stukjes in de een of andere vorm terugkeert. Dat zet mij aan het denken, zal ik maar zeggen. Ik koppel deze denkbeelden uit een ver verleden aan het actuele boek (2009) van James Flynn over wat anderen het Flynn-effect hebben genoemd. In de analyse van James Flynn speelt een heel belangrijke rol dat nog maar eeuw geleden veel mensen op een heel concreet niveau met de wereld omgingen, en dus moeite hadden om abstract te denken. Natuurlijk waren ze even intelligent als hun achterkleinkinderen zijn, maar ze gebruikten die intelligentie veel minder voor problemen van abstracte aard, van wetenschappelijke aard. Naarmate het dagelijks leven complexer werd, verwetenschappelijkte zou je bijna kunnen zeggen, gingen de mensen in hun denken daarin mee, deels natuurlijk via hun schoolloopbaan. Om terug te komen op de aanleiding: wanneer in de negentende eeuw pedagogen spreken over ‘leren denken’, bedoelen zij daarmee waarschijnlijk wel ongeveer hetzelfde als wat we er nu onder verstaan, maar zij zagen om zich heen dat zonder onderricht in dat ‘leren denken’ leerlingen bleven steken in denken op heel concreet niveau (en abstracte verbanden gewoon uit hun hoofd leerden, denk ik er maar bij).

• Dit is een prachtig boekje. Ik zal proberen online bestanden te vinden van oude rekenboekjes die De Moor noemt.
• De column over Jan en Willem Verlsuys: zie hier
• Over Jan Versluys, oudoom van Ed de Moor, zie ook dit artikel van Harm Jan Smid in Euclides

J. Versluys (1898). Handleiding bij het rekenonderwijs. Vijde gedeelte. Tweede druk. schoolmuseum online

• Interest-rekening
• Verhoudingen
• Evenredigheden
• Gezelschapsrekening
• Tijdrekening
• Menging
• Winst en verlies
• Samengestelde-interestrekening
• Spoorwegvraagstukken

Ed de Moor (1994). Jan Versluys en het ontstaan van de vakdidactiek. Nieuwe Wiskrant, 14, 8-14 [niet online gevonden, 2013] annotatie

• Jan Versluys (1874). Methoden bij het onderwijs in de wiskunde en bij de wetenschappelijke behandeling van dat vak. P. Noordhoff. [Ik heb nog geen online versie gevonden] [de KB heeft een exemplaar, maar daar kan alleen de microfiche van worden geraadpleegd]

• Beginselen der nieuwere meetkunde, het eerste boek dat Versluys in 1868 publiceerde, blijkt een bewerking te zijn van een stuk uit de Traité de géométrie van E. Rouché en Ch. de Comberousse, waarvan soms stukken vrijwel letterlijk vertaald zijn en tekeningen overgenomen zijn.

  
  In de inleiding van dit boek geeft Versluys geen enkele verwijzing. Overigens is deze bewerking heel kundig geschied. Ook zijn interessante boek "Over methoden bij het oplossen van meetkundige vraagstukken" [niet in KB, b.w.][3e druk 1898 integraal online: http://archive.org/details/overmethodenbij00versgoog b.w.][4e druk 1920 bezorgd door Wijdenes in eigen bezit, b.w.] is gebaseerd op het werk van Duhamel en van Rouché en Comberousse. Versluys, die zelf graag anderen op dergelijke ‘faux pas’ betrapte, had hierin op zijn minst iets voorzichtiger te werk mogen gaan. Niettemin heeft hij met het laatste werk iets gepubliceerd, dat ook nu nog de moeite waard is om te bestuderen. Het komt qua idee het dichtst bij How to solve it? van George Polya, dat na de Tweede Wereldoorlog ten onzent opgang maakte.

  p. 12-13

• Jan Versluys (1874). Methoden bij het onderwijs in de wiskunde en bij de wetenschappelijke behandeling van dat vak. P. Noordhoff. [Ik heb nog geen online versie gevonden] [de KB heeft een exemplaar, maar daar kan alleen de microfiche van worden geraadpleegd]
• Jan Versluys (1868). Beginselen der nieuwere meetkunde

• Chapters: Robert Recode - Samuel Pepys - Philip Doddridge - Charles Hutton - Augustus de Morgan - Thomas Tate - James Wilson - Charles Godfrey - Elizabeth Williams - appendix: a selection of examination papers, syllabuses, etc.
• Robert Recorde, born about 1512, writer of the fist arithmetics texts in the vernacular English, such as The ground of artes, The pathway to knowledge and The whetstone of witte pdf [the other texts not for free online, quite medieval].
• p. 19: "It must be stressed here that Recorde did not include exercises for the reader: this was an eighteenth-century development." Is that so? Or is it specific for England? It would be quite remarkable. Somewhat earlier it must have been the case that students did lots of exercises in preparation for disputations in logic, so much so that it hurt the essential character of the disputations themselves (I probably got this from Rashdall. History of universities.)
• p. 20. No exercises. Yet exercise is deemed important. Howson: “Yet he did expect the eader to practise on his own.” Recorde: “Howbeit I will yet exhote you now to remembre ... to exercise yourselfe in the practice of it: for rules without practice; is bu a light knowledge: and practice it is, that maketh men perfect and prompte in all thynges.”

  the student writes his own exercises, and exercises them!

  Master. So may you if you have marked what I have taught you. But because thys thynge (as all other) must be learned [surely] by often practice, I wil propounde here ii examples to you, whiche if you often doo practice, you shall be rype and perfect to subtract any other summe lightly ...

  Scholar. Sir, I thanke you, but I thynke I might the better doo it, if you did showe me the woorkinge of it.

  M. Yea but you muste prove yourselfe to do som thynges that you were never taught, or els you shall not be able to doo ny more then when you were taught, and were rather to learne by rote (as they cal it) than by reason.

  geciteerd door Howson, p. 20

  Howson p. 21: “Asking the learner to ‘practice’ without supplying him with carefully raded exercises would today strike us as odd. Yet Recorde id something to ameliorate the difficulties arising from this omission by stressing the need to check answers. ... he demonstrated two methods: first, checking by inverse operations — a subtraction by an addition — and secondly by ‘casting out nines’ (or, in modern nomenclature, repeating the problem in arithmetic modulo nine). In his Whetstone he argued the use of arbitrary numbers to check algebraic operations rather than inverse operations.” [checking your sums, not by repetion of the algorithm but b using another algorithm, is common in early arithmetics texts, b.w.]

• eerst oefening, dan begrip

  “(...) it is not easy for a man that shall travaile in anstraunge arte, to understand at the beginninge bothe the thing that is taught and also the juste reason whie it is so.”

  geciteerd door Howson, p. 21

  p. 21. Recorde emphasized the difference between mastering a technique, and understanding it. He was convinced that it is not a good idea to aks the novice learner to both at once. Better is to master sme technique first, and than attend to the reasons why the technique delivers the desired results.
• In the early 19th century many editions of Euclid had “no exercises, for the student was expected to memorise not to act. Gradually, however, the custom of including exercises grew and, for example, Potts’ edition, intended ‘for the use of the higher forms in public schools and students in the universities’, contained a selection of questions from pas Tripos and college examination papers.” (Howson, p. 131)

Ellerton Nerida; Clements MA (Ken) (2012). Rewriting the History of School Mathematics in North America 1607-1861. Springer. details

H. Hemkes (1862). Handleiding voor kweekelingen, aankomende en jeugdige onderwijzers en onderwijzeressen. Vierde, naar de Wet op het Lager Onderwijs van 13 Augustus 1857 gewijzigde en vermeerderde druk. Te Delft, bij W. N. C. Roldanus. KB geheel online

• ACHTSTE HOOFDSTUK. Verstandsoefeningen. Noodzakelijkheid. Opmerken en denken. Vormleer. Vergelijken en onderscheiden. Spreekoefeningen. Getallenleer. Versjes. Spreuken. 67-78
  TWAALFDE HOOFDSTUK. Rekenen. Getallenleer. Tafel van Vermenigvuldiging. Rekenboeken. Gewone en tiendeelige breuken. Stelsel van maten en gewigten. Regel van drieën. Gronden en uitgebreidheid. Opmerkingen. 113-127

Nieuwe bijdragen ter bevordering van het onderwijs en de opvoeding voornamelijk met betrekking tot de lagere scholen . . . . 1810-1867KB online meerdere (maar niet alle) jaargangen

• [1810, boekbesprekingen] Assuerus Doijer: Nieuwe manier van onderwijs in de rekenkunst. p. 205-209

Nederlandsch tijdschrift voor onderwijs en opvoeding, inzonderheid ten dienste van ouders, onderwijzers en de plaatselijke commissien van toevoorzigt op het onderwijsKB online 1849 -1854 (6e-11e jaargang)

Arnoldus Bastiaan Strabbe, Coenraad Wertz & Jacobus van Wijk (Roelandszoon) (1818). Het vernieuwde licht des koophandels, of Grondig onderwijs in de koopmans rekenkunst, leerende hoe de voornaamste gevallen des koophandels, op eene korte, klare, en bevattelijke wijze, volgens wiskunstige gronden, moeten berekend worden: in deze orde geschikt, ten dienste dergene, welk zich op de negotie begeeren toe te leggen, en tot een nuttig gebruik voor kantoorbedienden, en liefhebbers der rekenkunst./b> Te Amsterdam, bij Schalekamp en van de Grampel. 336 blz. KB online