De motie Dijkgraaf - Van der Ham (zie hierbeneden), om gebruik van (grafische) rekenmachines in het onderwijs terug te dringen, raakt een kernpunt van de rekenproblematiek waar Nederland zich mee ziet geconfronteerd. Het is dus niet ten onrechte dat de minister zich heeft laten adviseren over de betekenis die al dan niet gebruiken van rekenmachines in het onderwijs kan hebben voor de resultaten van het rekenonderwijs — ook de resultaten zoals die bij 18-jarigen kunnen worden vastgesteld.
De adviezen die aan het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschappen (verder: OCW) zijn uitgebracht door het College voor Examens (CvE, http://goo.gl/04Mfv) en de Stichting Leerplanontwikkeling (SLO, website), ieder met een eigen nadruk op respectievelijk examens en leerplannen, geven aanleiding om een en ander van commentaar en meer achtergrond te voorzien. Een eerste ronde van commentaar is overigens al te vinden in de bijlagen van het SLO-rapport pdf, waar wiskundigen uit de universitaire wereld zich in soms scherpe bewoordingen afzetten tegen de lijn van advisering van SLO.
Vertrekpunt is de stelling — de overweging — vervat in de motie Dijkgraaf-Van der Ham.
Om greep op de thematiek te krijgen, is het verstandig om keuzen te maken die het veld inperken. Mijn keuzen zijn waarschijnlijk anders dan die van het CvE of van de SLO, daarom is het ook nodig om ze expliciet te maken. Bij het uitwerken van de onderstaande punten blijkt dat zij gezamenlijk mij al dwingen tot wat mijn advies aan OCW is: nut en noodzaak van gebruik van de rekenmachine in het onderwijs zijn niet aannemelijk gemaakt. Blijft nog het probleempje dat CvE en SLO anders adviseren: zijn de argumenten onder die adviezen deugdelijk? Uit de kamerbrief blijkt dat de minister de adviezen niet, althans niet geheel, overneemt.
De problematiek van de rekenmachine in het onderwijs is een andere dan die van de grafische rekenmachine. Ik zal in deze webpagina eigenlijk alleen de problematiek van de rekenmachine behandelen. Voor de grafische rekenmachine: zie Henk Tijms, Stichting Goed Rekenonderwijs, in de bijlage van de SLO-notitie, en het advies van de Resonansgroep Wiskunde (2007, vz. Van de Craats, advies 2.). De Resonansgroep:
Om toch een indruk te geven van de gekkigheid rond het gebruik van de grafische rekenmachine in eindexamens: twee wiskundeopgaven uit 2011 aan het eind van deze webpagina.
De rekenmachine is een vreemdeling die het rekenonderwijs binnen is komen zeilen. Discussie over de plaats van die rekenmachine is dus niet symmetrisch: voorstanders van gebruik van de rekenmachine zullen met overtuigende argumenten moeten komen, tegenstanders moet niet worden opgedrongen dat zij aannemelijk moeten maken dat het rekenonderwijs beter verschoond kan blijven van de rekenmachine. Het is voor een publiek debat, in de Kamer of elders, voor tegenstanders van gebruik van de rekenmachine, zoals Dijkgraaf en Van der Ham, voldoende om te laten zien dat de argumenten van voorstanders niet voldoende of niet adequaat zijn. Of gewoon afwezig zijn.
De rekenmachine heeft geen nadrukkelijke eigen plek in het onderwijs, behalve op enkele specifieke doelen zoals bewerkingen die vooral met een rekenmachine goed uitvoerbaar zijn — nut en noodzaak van dergelijke subdoelen zijn evenwel betwistbaar, en ontberen mogelijk een onderbouwing zoals in 1. bedoeld. In het voortgezet onderwijs is de rekenmachine in algemeen gebruik geraakt bij de leerlingen, met waarschijnlijk als gevolg dat eindexamenkandidaten hun rekenvaardigheden minder goed beheersen dan zij op 12-jarige leeftijd deden (vergelijkbaar met hun taalverzorging, die ook is verminderd: o.a. onderzoek Jannemieke van de Gein). Een geheel andere ontwikkeling is ingezet met de referentieniveaus rekenen, en de daar weer op volgende rekentoetsen (waar die referentieniveaus niet voor waren bedoeld), waar door de commissie-Schmidt over gebruik van de rekenmachine keuzen zijn gemaakt die haaks staan op de intenties van de wetgever (zie de Handelingen van 31 maart 2010, de Wet op de referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen). Het is al met al nogal een chaotische situatie, waarvan valt te zeggen dat de motie Dijkgraaf-Van der Ham er juist helderheid kan scheppen.
Bepalend voor de discussie over de motie Dijkgraaf - Van der Ham is uiteraard het zorgelijk teruggelopen niveau van de basale rekenvaardigheid van Nederlandse leerlingen (PPON 2004, Van Putten; promotieonderzoek Hickendorff; ook Marja van den Heuvel-Panhuizen geeft in haar oratie aan dat deze ontwikkeling er is, en zorgelijk is). De rekenmachine heeft daarin ongetwijfeld een bepaalde rol, zodat het van belang is om die expliciet te maken. In het primair onderwijs is de tijd besteed aan basale rekenvaardigheid ernstig teruggelopen mede op basis van argumenten (Adri Treffers en anderen; De Proeve, rond 1990) dat in de samenleving van de 21e eeuw dat basale rekenen niet meer echt belangrijk is — want iedereen heeft wel een rekenmachientje. Leerlingen die hun basale rekenvaardigheid niet op orde hebben, zullen makkelijk bezwijken onder de verleiding dat rekenen dan maar op de rekenmachine te doen — het probleem in het voortgezet onderwijs. Rekentoetsen als onderdeel van de eindexamens, met gebruik van de rekenmachine, geven het signaal af dat gebruik van de rekenmachine oké is, waarmee de cirkel gesloten lijkt. Of is het een negatieve spiraal? Merk op dat het bij het primair onderwijs gaat om het formele curriculum, bij het voortgezet onderwijs om het informele curriculum, en bij de examens (lees: rekentoetsen) om nieuw beleid dat zijn uiteindelijke vorm nog niet heeft gevonden. Dit complex is ongetwijfeld tevens de achtergrond van de motie Dijkgraaf - Van den Ham.
Aan de orde is niet zozeer het dictum van de motie Dijkgraaf - Van der Ham, maar juist de overweging die eraan voorafgaat:
In de mate waarin deze overweging in overeenstemming is met de feitelijke stand van zaken, volgt daaruit de noodzaak van het het in het dictum gestelde: terugdringen van het gebruik van de rekenmachine bij toetsen en examens. Omdat de minister zich waarschijnlijk niet bevoegd zou verklaren (zoals eerder bij een advies van de Resonansgroep gebeurde door de staatssecretaris), is de motie geformuleerd als opdracht aan de minister tot overleg met het College voor Examens (CvE), de bevoegde instantie waar het gaat om het al dan niet toelaten van bepaalde hulpmiddelen bij examens.
Voor het theoretisch kader gaat het dus niet direct over de examens en het al dan niet gebruiken van rekenmachines daarbij, maar over de mogelijk complexe relaties tussen het gebruik van een rekenmachine in het onderwijs — ook bij andere vakken dan wiskunde — en de beheersing van basale rekenvaardigheden. Merk op dat deze problematiek waarschijnlijk slechts zijdelings heeft te maken met de kerntaak van de SLO: leerplanontwikkeling. Het is wel van belang om dit te constateren, omdat mogelijke backwash effecten van gebruik van rekenmachines in toetsen en examens hiermee niet direct aan de orde zijn. Invoeren van toetsen met gebruik van rekenmachines zal leiden tot gebruik van rekenmachines in het onderwijs, daarmee zijn we meteen terug bij de stelling van Dijkgraaf en Van der Ham. Merk op dat de problematiek van de motie Dijkgraaf - Van der Ham dus nauwelijks iets heeft te maken met de kerntaak van het CvE: de zorg voor de eindexamens (en de Eindtoets Basisonderwijs ‘nieuwe stijl’).
Wat de nog in te voeren rekentoetsen bij de examens betreft: die hebben nog geen backwash effect gehad, en komen in beginsel in het adviestraject pas aan de orde bij het in het dictum gestelde: als het advies is dat de overweging in de motie empirische grond heeft, dan volgt daaruit de wenselijkheid van de actie zoals in het dictum aangeduid, inclusief de tot de examens behorende (toekomstige) rekentoetsen. De thematiek is, mede in reactie op de voorstellen van de commissie-Schmidt, door Wilbrink en Hulshof (2011) aangekaart (in Examens. Tijdschrift voor de Toetspraktijk, september 2011. zie hier voor de concept-tekst).
Het kader wordt zodoende gevormd door onderzoek dat relaties tussen gebruik van de rekenmachine en uiteindelijk bereikte vaardigheidsniveaus rekenen in kaart brengt, en wel in situaties die vergelijkbaar zijn met die in Nederland (zie hierboven punt 3. waar en wanneer). Het ligt voor de hand om meteen te bladeren in John Hattie (2009). Visible Learning. A synthesis of over 800 meta-analyses relating to achievement. Routledge. Daar komt eigenlijk alleen uit dat Ellington in 2003 een zogenaamde meta-analyse over gebruik van de rekenmachine heeft gepubliceerd. De ‘meta-analyse’ moeten we met de nodige korrels zout nemen: het gaat om een beperkt aantal onderzoeken van zeer diverse pluimage. Ellington gooit ze dan ook niet op één hoop, maar op een fors aantal kleine hoopjes. Je weet voortdurend niet wat je leest. De upshot van een en ander is waarschijnlijk dat er geen onderzoek is dat nut en noodzaak van het gebruik van de rekenmachine bij het rekenonderwijs in het primair onderwijs of bij het rekenen in het voortgezet onderwijs aantoont.
Het voorgaande is een directe aanval op de vraag: is die rekenmachine nuttig en noodzakelijk? Er zijn natuurlijk ook indirecte wegen om de vraagstelling te analyseren. Vanuit zowel de psychologie, als de wiskunde, valt waarschijnlijk het nodige te postuleren over de juistheid van argumenten die ten gunste van het gebruik van de rekenmachine naar voren zijn gebracht, bijvoorbeeld in de adviezen van CvE en SLO aan OCW).
Het boek van Stellan Ohlsson is zeker van belang, evenals werk in de school van John Anderson (ACT-R theorie zie hier voor Lebiere & Anderson, enzovoort) over het belang van het geautomatiseerd beschikbaar hebben van elementaire rekenfeiten, en hoe dat onderhouden moet worden.
Stellan Ohlsson (2011) Deep Learning Cambridge University Press, lijkt in het geheel niet aan de orde: het gaat bij rekenen en rekenmachines immers om basale vaardigheden? Ah, toch wel. Voor de complexere leerprocessen is immers een voorwaarde dat de basale vaardigheden in geautomatiseerde vorm aanwezig zijn. Het is moeilijk denkbaar dat studenten op een behoorlijke wijze het hoger onderwijs kunnen doorlopen wanneer zij voor de eenvoudigste rekenfeiten telkens naar hun rekenmachine moet grijpen omdat zij die kennis niet beschikbaar hebben en onzeker zijn van hun hoofdrekenen.
Aryn A. Pyke & Jo-Anne LeFevre (2011). Calculator use need not undermine direct-access ability: The roles of retrieval, calculation, and calculator use in the acquisition of arithmetic facts. Journal of Educational Psychology, 103, 607-616. abstract en pdf
Het onderzoek van Pyke & LeFevre gaat over het leren optellen van getallen beneden 10, dat is heel ver weg van de eindexamens. De titel van het artikel is dus een tikje te suggestief. Het onderzoek zelf laat zien hoe vraagstukken over het effect van al dan niet een rekenmachine gebruiken, of dat nu is in groep drie of in klas zes, stevig onderzoekbaar zijn, en dus niet in de vergaderzaal beslist moeten worden. In Pyke & LeFevre is een van de condities: de rekenmachine die zonder meer beschikbaar is; die conditie lijkt op het inprenten van de tafels van optellen en vermenigvuldigen door klassikaal opzeggen. De conditie zonder rekenmachine is ook duidelijk: leerlingen rekenen de optelsom uit door verder te tellen, òf ze weten het antwoord al. De derde onderzochte conditie is interessant: de leerlingen proberen eerst zelf het antwoord te geven, en pas als dat niet lukt gebruiken ze de rekenmachine: de rekenmachine is pas na 2 seconden beschikbaar.
Op welke manier is dit specifieke onderzoek misschien toch direct relevant voor de kwestie die Dijkgraaf en Van der Ham aansnijden?
(1) Denk aan de onzekerheid van leerlingen eind VWO over simpele rekenopgaven, zoals 7 x 8, waar ze al gauw de rekenmachine voor pakken. Dat lijkt verdraaid veel op de door Pyke en LeFevre onderzochte leerconditie. Met dit verschil dat deze VWO-leerlingen niet leren van dit gebruik van hun rekenmachine (als dat wel zo was, zouden ze hem niet meer gebruiken voor 7 x 8).
(2) Wie geen stevige rekenopgaven meer maakt, zoals 482 x 861, krijgt te weinig gelegenheid om zijn eenvoudige rekenfeiten te oefenen; als de 12-jarige die rekenfeiten stevig heeft geautomatiseerd (wat in het huidige rekenonderwijs niet vaak meer het geval is), zal die geautomatiseerde rekenkennis door de VWO-jaren heen wegslijten als er niet regelmatig gelegenheid is deze bij te houden.
Is het erg om basale (reken)feiten niet meer geautomatiseerd tot je beschikking te hebben? Ja, dat is belemmerend voor het verder functioneren in vervolgonderwijs en samenleving. Pyke en LeFevre merken er in hun laatste alinea over op:
Natuurlijk, de eindexamenkandidaat die 7 x 8 op zijn rekenmachine ‘opzoekt’ verliest kostbare tijd, en is even zijn focus op het gestelde probleem kwijt. Dat mag eens een keer gebeuren, maar wie altijd tot dit geklungel is veroordeeld, gaat gehandicapt door het leven.
Motie van de leden Dijkgraaf en Van der Ham (1-12-2011). pdf
Een recent artikel dat direct prikt op het pijnpunt van het gebruik van de rekenmachine, namelijk dat het rekenlui maakt en kan leiden tot het niet automatiseren van rekenvaardigheid, of het verlies van geautomatiseerde rekenvaardigheid, is het volgende. Dat artikel geeft natuurlijk geen antwoord op alle vragen, maar het is waarschijnlijk een goede ingang tot de relevante onderzoekliteratuur.
The present results also have implications for learning beyond the domain of arithmetic. Routinely attempting to recall a piece of information before we resort to an external source (e.g., calculator, dictionary, map, website, teacher) may be the key to internalizing this information and ultimately freeing ourselves from permanent dependence on the external source. Such internalization is advantageous not only because direct memory access is faster than external access but because the internalization of information presumably facilitates our ability to form spontaneous mental links and leaps across concepts.
Motie Dijkgraaf - Van der Ham
Vaststelling van de begrotingsstaten van het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap (VIII) voor het jaar 2012
Nr. 116
MOTIE VAN DE LEDEN DIJKGRAAF EN VAN DER HAM
Voorgesteld 1 december 2011
De Kamer,
gehoord de beraadslaging,
overwegende, dat veel leerlingen en studenten elementaire rekenvaardigheden en wiskundige bewerkingen niet meer beheersen door het gebruik van een (grafische) rekenmachine;
verzoekt de regering in overleg te treden met het College voor Examens over het uitsluiten van het gebruik van de rekenmachine bij toetsen in het basisonderwijs en het drastisch beperken van het gebruik van een (grafische) rekenmachine bij toetsen en examens in het voortgezet onderwijs,
en gaat over tot de orde van de dag.
Dijkgraaf
Van der Ham
Brief van minister Van Bijsterveldt-Vliegenthart (OCW) het gebruik van een rekenmachine bij toetsen en examens. 5-4-2012 brief en bijlagen hier ophalen, of de kamerbrief direct: pdf
Bij het bekend worden van de kamerbrief heeft Joost Hulshof een blog geschreven over de nu ontstane situatie: zie hier op het forum van BON.
Het SLO-advies is een interessant maar veel te lang stuk: zie in ieder geval ook de als bijlagen toegevoegde commentaren van door SLO geraadpleegde deskundigen. Het advies van het CvE is in vergelijking kort, zonder bijlagen. Boeiend is om in de kamerbrief te zien wat OCW uit de adviezen overneemt, en wat niet. Ik zal aan de hand van deze stukken een aantal korte analyses maken, want daar is zowel bij de kamerbrief als de beide adviezen wel enige aanleiding toe.
De motie Dijkgraaf / Van der Ham begint met een constatering (de overweging) waar Van Bijsterveldt niet op ingaat, behalve met de gemeenplaats dat het rekenen de voortdurende aandacht heeft (dat is ook de taak van de overheid, daarom is het een gemeenplaats). Lees die overweging nog eens terug (hierboven).
Door de overweging in de motie te negeren, kan de minister schrijven dat er op tal van fronten al gewerkt wordt in een richting die (in de verte) dezelfde is als voorgesteld in de motie.
Een probleem is nu met de suggestie die de minister wekt — dat er al ontwikkelingen zijn in de door de motie voorgestelde richting — dat dit feitelijk niet juist is. Er worden rekentoetsen ingevoerd die volgens de toetswijzercommissie-Schmidt voor het overgrote deel van de mogelijk te behalen punten uit rekenopgaven bestaan waarbij de leerlingen de beschikking over een rekenmachine hebben.
Invoeren van rekentoetsen met gebruik van een rekenmachine is dus een ontwikkeling die tegenovergesteld is aan de in de motie bepleite terugdringing van rekenmachinegebruik
Een aantal van de deskundigen die door SLO zijn gevraagd om de concept-notitie te beoordelen hebben een eigen deskundige analyse gegeven, inclusief een waardering van de notitie zoals de SLO die in concept had voorgelegd.
In deze situatie heeft de SLO de moed gehad om de zo geleverde kritische analyses, die direct de kern van het in de motie Dijkgraaf-Van der Ham gestelde raken, integraal als bijlagen bij de notitie op te nemen. Dat was inderdaad moedig, omdat SLO zich hier zag geconfronteerd met een in krachtige termen geformuleerde oppositie van wiskundigen uit de universitaire wereld, ieder overigens direct betrokken bij belangrijke ontwikkelingen in het onderwijsveld van primair- en voortgezet onderwijs. Een heuse tweedeling dus, een tweedeling die ongetwijfeld ook sporen heeft nagelaten in het advies van het CvE (maar daar wordt niet gerapporteerd wat eventueel de inbreng van deskundigen is geweest). De tweedeling is betrokkenen in dit veld al wel bekend uit eerdere botsingen, zoals binnen de KNAW-commissie over het rekenonderwijs (commissie-Lenstra), in de door de commissie-Schmidt gehouden expert-meeting in april 2011, en in de expertmeeting over de tussendoelen in september 2011.
Het feit van deze gang van zaken zegt veel meer dan de inhoud van de notitie zelf. Wat SLO precies heeft gedaan met de inbreng van bijvoorbeeld Jan Karel Lenstra, is niet duidelijk: de notitie zegt er niet direct iets over, en lezen van de notitie is een moeizame klus die ik voortdurend voor mij uit zit te schuiven. Op blz. 13 zegt SLO wel een en ander over de ontvangen kritische bijdragen, maar niet of het zich de geuite kritiek heeft aangetrokken. Ik moet dus aannemen dat de kritische bijdragen van Lenstra en anderen, door SLO terzijde zijn gelegd.
Per saldo weet de lezer van de notitie van SLO dus niet hoe de SLO inhoudelijk reageert op de deskundige maar kritische inbreng van Lenstra, Van de Craats, Tijms en Hulshof.
Over rekentoetsen en rekenmachines daarbij zaaien zowel de SLO als het CvE verwarring. Ik herinner aan de behandeling van de Wet op de referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen, 31 maart 2010, waar de kamerleden kennelijk veronderstellen dat rekentoetsen zonder rekenmachine worden gemaakt, en (destijds) staatssecretaris Van Bijsterveldt expliciet opmerkt dat deze rekentoetsen ‘met het koppie’ moeten worden gemaakt, in onderscheid met de wiskunde-examens. Zie blog 7577 op het forum van Beter Onderwijs Nederland voor de details uit de Handelingen.
De commissie-Schmidt gaat dwars in tegen de opvattingen van de wetgever zoals in de handelingen van de Tweede Kamer terug te lezen, door voor het overgrote deel van de rekentoetsen op F-niveau gebruik van de rekenmachine mogelijk te maken.
Wat doet nu SLO in de notitie: zij stelt het voor alsof deze rekentoetsen een bijdrage leveren aan het terugdringen van het gebruik van de rekentoets, door voor een klein deel van de rekenopgaven geen gebruik van de rekenmachine toe te staan. [Ik meen dat het CvE een vergelijkbare formulering geeft, ik moet dat nog checken]
Maar dat kan niet juist zijn. Die rekentoetsen zijn geen bestaande toetsen, maar ze moeten juist nog worden ingevoerd. Wat de commissie-Schmidt betreft gaat het om een invoering waarbij, in strijd met de bedoeling van de wetgever, rekenmachinegebruik voor 80% of meer van de te behalen punten is toegestaan. Dat is geen terugdringen, maar juist opdringen van gebruik van de rekenmachine.
Een petitie van een Amerikaanse ouder, gehouden onder wiskundedocenten in het eerste jaar in het hoger onderwijs in de VS, geeft problemen aan zoals die ook in de dissenting opninions in de bijlagen van het SLO-advies zijn opgenomen: webpagina
Een deel van de moeizaamheid van de discussie over wel of geen rekenmachines is hierin gelegen dat wiskundeleraren weliswaar vertrouwd zijn met de diverse vreemde manieren waarop rekenmachines een rol spelen in eindexamens (wiskunde), maar de buitenwereld (waar ik toe behoor) daar geen flauwe notie van heeft. Ik kreeg enkele voorbeelden aangereikt, en houd me aanbevolen voor meer voorbeelden. Ik kan daar ook zelf wel naar gaan zoeken, omdat in Euclides uitvoerige besprekingen van examenopgaven plegen te worden gegeven. Op de website van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren is er rond de eindexamens en voorafgaand aan het correctiewerk, een forumdiscussie in de aanloop naar diverse besprekingsbijeenkomsten in het land.
Saillant is natuurlijk dat het CvE verantwoordelijk is voor de examens, dus ook voor opgaven van het soort zoals hierbeneden vermeld. Datzelfde CvE adviseert dus de onmisbaarheid van de grafische rekenmachine!
advies CvE aan OCW, 28-3-2012 http://goo.gl/04Mfv
Alle informatie over het examen Wiskunde B VWO 2011: hier. In het volgende gaat het over het gebruik van de grafische rekenmachine (GR) bij de examens. Natuurlijk kan de GR ook als gewone rekenmachine worden gebruikt om 7 x 8 te bepalen, maar dat aspect blijft in het volgende buiten beschouwing.
Eveneens terzijde: ik kan mijn ogen niet geloven dat de nummering van de vragen ONDER de informatie staat die bij de betreffende vraag is opgegeven.
Ik heb mij laten vertellen dat ‘Beschrijven hoe de integraal kan worden berekend’ zoiets betekent als (afhankelijk van de gebruikte GR?):
Commentaar van een wiskundeleraar bij deze opgave 8:
1) de juiste formule weten
2) weten wat je zelf moet uitrekenen en wat de GR voor je moet uitrekenen
3) opschrijven wat je intypt in je GR.
Het eigenaardige van opgave 8 (totaal te behalen punten: 8!!) is dat je met de GR moet werken, maar dat het - gebruikersonvriendelijke - ding op tilt slaat wanneer je hem alles laat uitrekenen. Heel erg gekunsteld dus. Het lijkt me meer iets voor een lts-er die moet leren werken met een machine.
Bijkomend bij opgave 8 is dat bij het uitrekenen van de waarde van A mijn leerlingen hebben gekozen voor - onnodig - algebraïsch oplossen. Onnodig, ja je leest het goed. ”
Wat voor een buitenstaander absoluut niet evident is uit opgave en modelantwoord, is het volgende, met dank aan de al eerder aangehaalde wiskundeleraar.
“Nog een kleine toelichting. Wanneer er in het correctievoorschrift staat:
Beschrijven hoe de vergelijking .... kan worden opgelost
is het de bedoeling dat de leerlingen opschrijven wat ze in de GR intypen. Bv:
Y1=50
Y2=119*e^-0,0161*e^0,0595X
Gsolve, ISCT
Ja, het is echt waar.”
Commentaar van een wiskundeleraar bij deze opgave 10:
Commentaar van nog een wiskundeleraar bij deze opgave 10:
Tenslotte nog een beeld van een eindexamen in zijn geheel, waar het om gebruik van de GR gaat. Ik citeer enkele passages uit de analyse die twee wiskundeleraren maakten van het eindexamen wiskunde B vwo 2010, 2e tijdvak (herkansing). Zij geven tevens aan wat het aantal punten is dat gemoeid is met GR-opgaven, en dat aantal vind ik bepaald fors.
De theorie die bij opgave 4 en 5 wordt gepresenteerd (dus tijdens het examen) is geen examenstof en is dus ook nooit behandeld. De leerlingen zullen het dus moeten doen met hun tekstbegrip en ervaring met het gebruik van hun GR.
Opgave 4. Erg makkelijk, intypen en aflezen.
Opgave 5. De oppervlakte onder een curve moet worden berekend. Ofwel: ingetypt. [Er zit een fout in het correctiemodel, maar dit terzijde]
Conclusie bij opgave 3,4 en 5: voor deze opgaven zijn 12 punten (van de 80) te behalen voor begrijpend lezen en correct gebruik van de GR. Enig begrip is hier natuurlijk wel voor nodig, je moet een beetje weten wat een exponentiële functie is en wat een integraal is.
Opgave 7: GR, goed voor 4 punten. Hierbij is wel enig inzicht nodig. Ik vind deze toepassing van de GR wel acceptabel, aangezien het echt een onderzoeksvraag is.
Opgave 9: GR, goed voor 4 punten. Hierbij is weinig inzicht nodig. je kunt gewoon beide functies invoeren in je GR, het snijpunt bepalen en vervolgens de integraal intypen. (..) Gemakkelijk voor iemand die de handleiding van de rekenmachine bestudeerd heeft.
(..) eindoordeel: 20 punten (van de 80) voor gebruik van GR, waarvan 4 punten acceptabel.
[2e leraar] Ik kwam voor het recente examen 2011-I op 10 van de 81 punten, dat is gunstiger (maar ik zei het al: de eerste tijdvakken zijn beter, minder slecht, dan de tweede tijdvakken. (..).)
Het casus van de leercurve bij vraag 3, 4 en 5 is overigens vooral onzinnig; dit is sarren van eindexamenkandidaten. Laat ik een paar uur terug toevallig een klassiek hoofdstuk over leercurven op deze pagina gezet hebben . . . . Newell & Rosenbloom 1981.
Ik moet zeggen dat ik niet had verwacht dat de GR zo’n grote rol zou spelen in de eindexamens wiskunde. Mijn dank aan de wiskundeleraren die mij deze informatie hebben gestuurd, want het is niet mogelijk om deze informatie uit de examenpagina’s te halen wanneer je zelf je wiskunde niet meer paraat hebt.
In relatie tot de kernvakkenregeling hebben we hier toch wel een zorgelijk punt te pakken: straks zullen meer leerlingen voor hun eindexamen zakken, en alle kans dat foutjes bij het hanteren van de GR daar een rol bij spelen. Is dat verdedigbaar?
De volgende reactie lijkt me ook zeer ter zake:
“Overigens, de GR is volkomen overbodig als je toegang hebt tot het internet. Ik typte bijvoorbeeld
Int_(-2)^(2) sqrt(1+(9*x^2/4))dx
in WolframAlpha (http://www.wolframalpha.com/) in, en kreeg onmiddellijk het antwoord 7.53685, plus een mooie grafiek. Probeer het maar.
En voor je leerlingen die het algebraïsch willen doen: zonder grenzen krijg je de primitieve te zien. Probeer het maar via
Int(sqrt(1+(9*x^2/4)))dx
Dit is allemaal zeer gebruikersvriendelijk en overzichtelijk. Die GR is echt volkomen achterhaald.
(...) belangrijkste punt is eigenlijk dat het gebruik van de GR op school UITSLUITEND nog kan worden gerechtvaardigd doordat het ding bij de eindexamens gebruikt moet worden. In het gewone wiskundeonderwijs zijn er op het internet veel gratis ICT-middelen aanwezig die VEEL BETER en VEEL GEBRUIKSVRIENDELIJKER zijn. Desgewenst kun je daar in je lessen gebruik van maken. Dit geldt trouwens niet alleen voor de wiskunde, maar voor alle vakken.
”
Toch even geprobeerd; de eerste formule:
Jan van de Craats (2012). WolframAlpha gratis op het internet. html
SLO heeft in het advies aan OCW geprobeerd om gegevens van TIMSS 2007 te gebruiken om te laten zien dat gebruik van rekenmachines op zijn minst niet schadelijk zou zijn: zie bijlage 4 bij het advies. Uit de SLO-notitie zelf zijn de volgende uitspraken te noteren:
“
Uit de TIMSS-analyse blijkt dat beperking van het gebruik van de rekenmachine beheersing van algebraïsche vaardigheden en paraatheid van rekenkundige kennis en vaardigheden kan bevorderen, maar dat in het domein Getallen en bij het 'Toepassen van en redeneren met rekenkundige kennis, inzicht en vaardigheden' van beperking van de rekenmachine niet veel effect verwacht hoeft te worden.”
“De TIMSS-analyse geeft geen aanleiding te veronderstellen dat een maatregel tot beperking van het gebruik van de rekenmachine leidt tot versterking van de basale rekenvaardigheid (met uitzondering van algebraïsche vaardigheden). Uit de analyse blijkt wel dat leerlingen die frequent berekeningen zonder rekenmachine uitvoeren beter basale rekenvaardigheden beheersen, maar dat maatregelen die tot doel hebben dit af te dwingen weinig effect lijken te hebben. Een mogelijke verklaring hiervoor is dat dwangmaatregelen (onbekende) neveneffecten hebben die een te verwachten positief effect teniet doen.
”
Strikt genomen is de eerste geciteerde zin niet onjuist. Maar strikt genomen gaat het daar niet om, maar om de veronderstelling in de motie Dijkgraaf - Van der Ham — dat is iets anders. Wat SLO hier verder beweert over invloed van gebruik van de rekenmachine, en wat het gebruik van de rekenmachine bevordert, of dat er weinig effect te verwachten is, is allemaal buiten het boekje van TIMSS, eenvoudig omdat TIMSS een internationale toetsing van 14-jarigen is, een momentopbname, en dus niet een experimenteel onderzoek naar effecten van gebruik van de rekenmachine in onderwijs en/of toets. Dergelijk onderzoek lijkt zeldzaam te zijn, Bridgeman, Harvey & Braswell (1995) — ik kom er straks op terug — is zo’n zeldzaam onderzoek.
Het probleem met de SLO-analyse is dat de TIMSS-data geen stellige conclusies over effecten van het gebruik van rekenmachines toelaten, om tal van methodologische redenen. De bijzondere omstandigheid waar de SLO-analyse gebruik van probeert te maken is dat het gebruik van rekenmachines in de diverse deelnemende landen verschilt, en dat bovendien op de TIMSS zelf het gebruik van rekenmachines is toegestaan in landen waar in het onderwijs zelf ook rekenmachines worden gebruikt. De claim op de website van de TIMSS 2007 is dat de rekenopgaven zodanig zijn ontworpen dat al dan niet beschikbaar hebben van een rekenmachine geen verschil maakt in de beantwoording van de vragen. Wat dit precies betekent is mij niet duidelijk, maar SLO wijst erop dat rond de afname in 2003 een onderzoek heeft plaatsgevonden waaruit blijkt dat al dan niet gebruiken van de rekenmachine geen verschil maakt. Als dit waar is, dan hebben we hier dus een situatie waarin SLO helemaal niets heeft te analyseren over rekenmachinegebruik, omdat de TIMSS zèlf zo ontworpen blijkt dat de scores precies op dit punt geen informatie bieden. Afijn, SLO denkt hier anders over. Wat ik vermoed, maar ik heb dat verder niet uitgezocht, is dat de TIMSS bestaat uit opgaven waarin het rekenen zelf heel simpel is, zodat veel leerlingen niet eens gebruik maken van de rekenmachine die ze tot hun beschikking hebben. Dat is een situatie die bekend voorkomt: immers bij de PPON 2004 is hetzelfde het geval. Met dien verstande, dat gebruik maken van kladpapier hier de plaats inneemt van gebruik maken van de rekenmachine. De rekenopgaven van de PPON blijken volgens de voorbeelden ervan in het proefschrift van Marian Hickendorff inderdaad van een verbluffende simpelheid te zijn. Niet voor de leerlingen, trouwens, want hoewel velen denken de opgaven wel uit het hoofd te kunnen maken, doen ze dat met foute afloop. Iets dergelijks vermoed ik bij de TIMSS.
Een spannend gegeven is nu dat SLO de mogelijk enige onderzoekpublicatie heeft gemist over precies het onderwerp van al dan niet rekenmachines gebruiken in onderwijs respectievelijk rekentoets (vier condities): Bridgeman, Harvey & Braswell (1995).
Bent Bridgeman, Anne Harvey & James Braswell (1995). Effects of calculator use on scores on a test of mathematical reasoning. Journal of Educational Measurement, 32, 323-340. abstract
Dit is een experimenteel onderzoek naar het effect van al dan niet gebruiken van een rekenmachine, op de scores op afzonderlijke items en hun totaal. Gebruikte toets: 70 wiskundeopgaven van de SAT (lees: rekenopgaven). De SAT is een test die bij de overgang van high school naar vervolgonderwijs een stevige rol speelt: de Scholastic Aptitude Test van Educational Testing Service, waar de auteurs zelf in dienst zijn. Voor de nitty gritty details zie het artikel zelf, waarvan helaas geen gratis versie online beschikbaar is.
The use of calculators resulted in a modest score increase on a test composed of the type of mathematical reasoning items found on the SAT, although effects on individual items ranged from positive through neutral to negative. Within the sample of college-bound students who took the experimental test, most
students across ethnic and gender groups were experienced calculator users. Except for the somewhat larger effect in the Latino sample, ethnicity and gender seemed to have little impact on the size of the calculator effect. Nevertheless, prior experience in using calculators in testing situations appeared to be very beneficial. The results suggest that students who want to maximize their performance on a test that permits calculator use should take courses in which they have ample practice using calculators in testing situations.
In this study, calculator effects were found on items at all difficulty levels, and calculators were beneficial for students at all ability levels. However, the analyses of individual items made it clear that in any given test calculators might benefit either high-scoring or low-scoring students. If access to a calculator changed a difficult conceptual problem into a routine calculation problem, lowscoring students would be benefitted. But if the calculator eliminated routine computational errors within a difficult conceptual problem, high-scoring students would be benefitted, which would result in a widening of the gap between the high- and low-scoring groups. Thus, it is naive to make generalizations about which groups will be helped or hurt, relative to other groups, on tests that permit calculator use; different sets of items can produce very different results.
As the analysis of individual items shows, construct validity may be decreased for some items and increased for others when calculators are permitted. Questions that measure estimation skills or that require some mathematical insight in a no-calculator group might measure trivial computational skills when calculator use is permitted. Other items might become purer measures of mathematical reasoning when calculators are used to reduce computational errors that are secondary to the main focus of the items. As long as test developers give attention to these issues, permitting calculators on mathematics tests has the potential for increasing construct validity and making the test more equitable for students who have been taught to rely on calculators for routine computations.
Dit onderzoekje — het is maar een enkel onderzoek — is heel informatief, maar de hier in zijn geheel geciteerde paragraaf met de conclusies moet wel heel zorgvuldig worden gelezen. Het onderzoek gaat dus NIET over het gestelde in de overweging van de motie Dijkgraaf - Van der Ham, en geeft daar evenmin indirect een antwoord op. De informatie uit dit onderzoek dient in ieder geval als nuancering of weerlegging van de conclusies die SLO trekt uit zijn TIMSS-analyse.
Merk op dat Bridgeman, Harvey & Braswell (1995) met dit onderzoek tevens demonstreren dat er een verschil is tussen het toetsen van rekenvaardheid, en van vaardigheid in het gebruiken van de rekenmachine. Zie de opmerking van Jan Karel Lenstra daarover, in zijn commentaar op het concept van de SLO-notitie.
Ik heb overigens nog geen literatuur gevonden waarin rechtstreeks het probleem aan de orde is dat verwaarlozing van elementaire rekenvaardigheid na het primair onderwijs, tot problemen bij het toetreden tot het hoger onderwijs leidt. [Pardon. Er is een pre-publicatie van Siegler e.a. die aan de hand van longitudinale data uit Amerikaanse en Engelse cohortstudies laten zien dat de de vaardigheid in delen en breueken voorspellend is voor latere prestaties in wiskunde, ook wanneer voor verschillen in intelligentie en sociale achtergrond is gecontroleerd. De omineuze betekenis daarvan is dat rekenonderwijs waarin de breuken en de staartdeling zijn verwaarloosd, leidt tot minder keuzen van leerlingen voor leerlijnen met wiskunde, en dus ook opleidingen in het HO met sterke wiskudne-componenten. Zie mijn pagina projecten/breuken.htm voor annotaties bij dit artikel] Misschien is daar ook helemaal geen onderzoek voor nodig, en volstaat het om te kijken hoe ontvangende opleidingen omgaan met de tekorten in rekenvaardigheid van hun aankomende of juist aangekomen studenten. Maar toch blijft ook dan de vraag: zijn bijspijkercursussen voldoende? Zijn er studenten die zèlf al uit hun gebrekkige rekenvaardigheid de conclusie trekken dat ze maar beter geen exacte opleiding kunnen kiezen?
Brenda H. Loyd (1991). Mathematics test performance: The effects of item type and calculator use. Applied Measurement in Education, 4, 11-22. abstract [nog ophalen]
Mark N. Bing, Susan M. Stewart & H. Kristl Davison (2009). An investigation of calculator use on employment tests of mathematical ability. Effects on reliability, validity, test scores, and speed of completion. Educational and Psychological Measuement, 69, 322-350 abstract
Dennis M. Roberts (1980). The impact of electronic calculators on educational performance. Review of Educational Research, 50, 71-98. abstract [nog ophalen]
Christina L. Sheets (July 2007). Calculators in the classroom: Help or hindrance? Math in the Middle Institute Partnership Action Research Project Report. in partial fulfillment of the MAT Degree Department of Mathematics University of Nebraska-Lincoln. pdf
Penelope Dunham (n.d.). Hand-held calculators in mathematics education: A research perspective. [no details on publication] webpagina.
Allen Newell & Paul S. Rosenbloom (1981). Mechanisms of skill acquisition and the law of practice. In Anderson, J. R. (Ed.): Cognitive skills and their acquisition. Hillsdale, N. J.: Erlbaum. 1-55.pdf
Eerste passage: “Practice makes perfect. Correcting the overstatement of the maxim: Almost always, practice brings improvement, and more practice brings more improvement.”
Allen Newell (1990). Unified theories of cognition. Cambridge, Mass.: Harvard University Press. In de fantastische Allen Newell Collection hoofdstuksgewijs beschikbaar, bijvoorbeeld 1st draft chapter 1
Lionel G. Standing, Robert A. Sproule & Ambrose Leung (2006). Can business and economics students perform elementary arithmetic? Psychological Reports, 98, 549-555. abstract
The D’Amore Test (from W. E. Hume, 1932, ‘The Opprtunity Plan: Arithmetic, Senior Third Class.’. Toronto: Thomas Nelsen & Sons. As cited in Standing, Sproule & Leung, 2006)
Please complete the D’Amore Test below, in writing.
[No calculators are allowed, but you can write rough work on this form or the back.]
Lionel G. Standing, Robert A. Sproule & Ambrose Leung (2006). Why Johnny can’t add: Predictors of university students’ performance on an elementary arithmetic test. Social Behavior and Personality an international journal, 34, 151-160. abstract. [uit het abstract begrijp ik dat een gestandaardiseerde toets uit 1932, bedoeld voor 3e klas lager onderwijs, is afgenomen: met diep treurige resultaten]
Ruth Rustemeyer & Heidrun Stoeger (2007). Does hand calculator use explain why university students cannot perform elementary arithmetic? Psychological Reports, 100, 1270-1272. abstract
C. L. Ballard & M. F. Johnson (2004). Basic math skills and performance in an introductory economics class. Journal of Economic Education, 35, 3-23. abstract
We administered this test of elementary math skills during the second week of an introductory course in microeconomics. The results of the quiz were interesting because they indicated that substantial numbers of college students were unable to solve even very basic math problems. In addition, we found that the scores on this test had a strong and statistically significant effect on performance in the introductory economics course. The relationship between basic math skills and success in an introductory economics course was further confirmed by the fact that, even after controlling for other variables, students who were required to take a remedial math course did significantly worse in the economics course than did students who were not required to take this course.
( . . . )
The mean score on the math quiz was 7.76 out of 10 [de quiz is in zijn geheel in het artikel afgedrukt, b.w.]. Some 20 percent of the
students could not solve x = a /b for b , given that x = 4 and a = 8 (Table 1). Further,
28.5 percent could not divide 1/2 by 2/3; 33.4 percent of the students could
not find the area of a right triangle; and between 24 percent and 29 percent could
not find the slope of a line, depending on whether the line slopes upward or
downward. These results suggest that a significant number of students would
probably have difficulty interpreting graphs, computing and using elasticities and
consumer surpluses, and so forth.
( . . . )
Our fourth conclusion is that mastery of extremely basic quantitative skills is
among the most important factors for success in introductory microeconomics.”
G. Mulhern & J. Wylie (2004). Changing levels of numeracy and other core mathematical skills among psychology undergraduates between 1992 and 2002. British Journal of Psychology, 95, 355-370. abstract
Thomas C. Noser, John R. Tanner & Situl Shah (2008). Have basic mathematical skills grown obsolete in the computer age: Assessing basic mathematical skills and forecasting performance in a business statistics course. Journal of College Teaching & Learning, 5 # 4. pdf
International Numeracy Survey. A Comparison of the Basic Numeracy Skills of Adults 16-60 in Seven Countries. pdf [nog ophalen].
Mathematics counts Report of the Committee of Inquiry into the Teaching of Mathematics in Schools under the Chairmanship of Dr WH Cockcroft. London: Her Majesty's Stationery Office. full report
Making Mathematics Count. The Report of Professor Adrian Smith’s Inquiry into Post-14 Mathematics Education. February 2004
Loel N. Tronsky (2005). Strategy use, the development of automaticity, and working memory involvement in complex multiplication. Memory & Cognition, 33, 927-940. preview
Anderson, J. R. (1982). Acquisition of cognitive skill. Psychological Review, 89, 369-406. pdf hier ophalen
Anderson, J. R., Fincham, J. M., & Douglass, S. (1997). The role of examples and rules in the acquisition of a cognitive skill. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 23, 932-945. pdf
Richard Cowan, Chris Donlan, Donna-Lynn Shepherd, Rachel Cole-Fletcher, Matthew Saxton & Jane Hurry (2011). Basic calculation proficiency and mathematics achievement in elementary school children. Journal of Educational Psychology, 103, 786-803. abstract
Anderson, J. R., Reder, L. M. & Simon, H. (1996). Situated learning and education. Educational Researcher, 25: 5, 5-11. pdf
Anderson, J. R., Reder, L. M. & Simon, H. (1998). Radical constructivism and cognitive psychology. In D. Ravitch (Ed.) Brookings papers on education policy 1998. Washington, DC: Brookings Institute Press. pdf
Anderson, J. R., Reder, L. M., & Simon, H. A. (2000). Applications and misapplications of cognitive psychology to mathematics education. Texas Educational Review, 1, 29-49. pdf
Het is ongetwijfeld passend om Anderson, Reder & Simon (2000) te betrekken bij de theoretische analyse van de thematiek in de overweging van de motie Dijkgraaf - Van der Ham. De beweging van ‘het nieuwe leren’, ‘ontdekkend leren’, het constructivisme, en in Nederland specifiek ook het realistisch rekenen, hebben met elkaar gemeen dat het automatiseren van basale kennis en vaardigheden niet meer zo nodig wordt gevonden, en dat de tijd beter kan worden besteed aan het leren wiskundig te denken, problemen oplossen, en contextopgaven maken. Anderson, Reder & Simon zetten zich in scherpe bewoordingen af tegen deze vooral idealistisch geïnspireerde stromingen die in vele landen een sterke greep op het reken- en wiskundeonderwijs hebben gekregen, zoals in de VS (NCTM-standards) en Nederland (de invloed van het Freudenthal-Instituut die reikt tot en met de kerndoelen basisonderwijs, de referentieniveaus rekenen, en de rekentoetsen op F-niveau).
De auteurs van dit artikel zijn niet van de straat: zij zijn van Carnegie Mellon University. John Anderson is de auctor intellecualis van een van de sterkste — zo niet het sterkste — van de cognitieve modellen: het ACT-R model. Herbert Simon heeft de nobelprijs gekregen voor zijn werk op onder andere het gebied van probleemoplossen. Lynne Reder leidt nu het Memory Lab aan de genoemde universiteit.
The Cockcroft Report (1982). Mathematics counts
http://www.benwilbrink.nl/projecten/dijkgraaf_vanderham.htm
http://goo.gl/ver8l