Hans Freudenthal

Aantekeningen bij zijn publicaties

Ben Wilbrink

Inhoud

Publicaties van Hans Freudenthal

Een lijst van 201 publicaties over onderwijs is opgenomen (p. 189-197) in: Hans Freudenthal (1991). Revisiting mathematics education. China lectures. Reidel. pdf van het hele boek. Zie voor een door mij te redigeren lijst onderaan deze pagina

Freudenthal’s geloofsbelijdenis wetenschap 1973: meten is niet nodig

IOWO is geen onderzoekinstituut (1976)

Freudenthal’s geloofsbelijdenis onderwijs 1978: het wiel van onderwijsontwikkeling uitvinden

Freudenthal’s visie op zijn werk voor het onderwijs 1991: de visie van de meester, maar geen wetenschap

Appels en peren, mandje 1984

Over Hans Freudenthal

Tonny A. Springer & Dirk van Dalen (Eds.) (2009?). Hans Freudenthal, Selecta. European Mathematical Society. (Een keuze uit het wiskundige werk van Hans Freudenthal. Kennelijk is ook een bundeling van zijn onderwijspublicaties in voorbereiding.)

Sacha la Bastide-van Gemert (2006): Hans Freudenthal en de didactiek van de wiskunde.

IOWO (1976): Five years IOWO. On H. Freudenthal’s retirement from the directorship of IOWO.

Leen Streefland (1994): The legacy of Hans Freudenthal.

Adri Treffers (2005): De (on)navolgbare Hans Freudenthal. pdf

H. Freudenthal: zijn publicaties staan geregistreerd in het Noord-Hollands Archief:

Freudenthal, Hans Freudenthal. (1961). Exacte logica. Haarlem: Bohn.

• Een ander motief was de zorg, die velen onzer vervult om de toekomst van ons wiskundeonderwijs. Het wiskunde-programma van het VHMO is uitermate verouderd. Krachtige pogingen worden in het werk gesteld, om de inhoud van het programma te vernieuwen. Ik sta er enigszins sceptisch tegenover. Ik meen, dat de mathematische methode aan elk mathematiseerbaar materiaal kan leren. Hetgeen het meest verouderd is in onze VHMO-wiskunde, is niet het wàt, maar het hòè, de formalisering en de verwoording. Ons wiskunde-onderwijs heeft behoefte aan exacte logica, niet als nieuw onderwijsvak, maar als achtergrond, en wie in dit onderwijs werkzaam is, moet in staat zijn, die achtergrond te verkennen — niet alleen ter wille van de wiskunde, maar evenzeer terwille van de didactiek van het vak. Bij didactisch onderzoek, juist in ons land, is gebleken, dat de logische structuur van het leerproces beheerst wordt door de voor de logica en linguïstiek fundamentele relatie van systeem en meta-systeem.

  Ik ben dit boekje begonnen met een geprononceerd mathematisch hoofdstuk, verzamelingenleer, en veel van mijn voorbeelden zijn uit de VHMO-wiskunde afkomstig. Ik geloof niet, dat men exacte logica kan leren, zonder de mathematische context te kennen. Aan de andere kant vindt men er ook veel voorbeelden uit de omgangstaal en wel van een aard, die, naar ik meen, tot nu toe in dit soort boeken niet of nauwelijks te vinden was.

Lees hierin dat Freudenthal van mening is dat het doen van wiskunde het denken aanscherpt en dat voor het begrijpen daarvan het nuttig is om exacte logica als intellectuele bagage te hebben. Niet echt logisch, en deze opvatting is natuurlijk geen kwestie van logica, maar had een kwestie van empirisch onderzoek moeten zijn. Empirisch onderzoek is evenwel een bezigheid waar Hans Freudenthal, en hij is daarin niet de enige wiskundige, weinig affiniteit mee heeft.

Hans Freudenthal (1973). Mathematics as an educational task. Reidel.

Aantekeningen bij misschien wel het belangrijkste document uit de geschiedenis van het Nederlandse rekenonderwijs: het voorwoord dat Hans Freudenthal schrijft bij zijn (1973) Mathematics as an educational task, waarin hij een geharnast onwetenschappelijk standpunt inneemt voor de ontwikkeling van rekendidactiek.

Het gaat niet om het boek, maar om het voorwoord. Daarin legt Hans Freudenthal zijn wetenschapsopvatting neer, waar het gaat om didactiek van de wiskunde, en de ontwikkeling daarvan. Niets bijzonders, zou je denken, maar dat ligt toch iets anders. Zijn wetenschapsopvatting is een uitgesproken onwetenschappelijke, zo niet wetenschapsvijandige. Dat mag, hij komt er zelf voor uit, dat is zijn eigen verantwoordelijkheid. Maar zoals ook het rekenen zelf, moet dit toch in zijn context worden gezien: in 1973 — het eindpunt van de biografie die la Bastide-van Gemert over Hans Freudenthal schreef pdf — geeft Freudenthal leiding aan het werk in het IOWO aan wiskobas: een ingrijpende vernieuwing van het Nederlandse rekenonderwijs, een majeure investering van de overheid. Zijn jonge staf neemt zijn visie over, zijn visie op wat het is om de rekendidactiek op de kaart te zetten. Die visie is tot op de dag van vandaag terug te zien bij de medewerkers van het Freudenthal Instituut, en al degenen die elders het gedachtengoed van het ‘realistisch rekenen’ uitdragen. Ik zal niet het hele voorwoord, maar toch wel een belangrijk merendeel, citeren. En van enig commentaar voorzien : ‘Elke positieve actie begint met critiek’.

De passage in bovenstaande box suggereert dat Freudenthal voor zijn onderwerp een bepaalde stijl van presentatie kiest. In het vervolg blijkt echter dat hij experimenten en psychologie minacht, en dan leest de alinea toch heel anders: de didactiek van de wiskunde heeft niets aan empirisch onderzoek, en dus ook niets aan psychologie. Nee, de wiskundige moet het van zijn ratio hebben, dat zal dan ook wel voor wiskundig didacticus gelden. Ik heb zelden zo'n enorme misvatting gezien, een misvatting die de Nederlanders ondertussen miljarden moet hebben gekost aan gemist menselijk kapitaal. Laten we zien hoe Freudenthal in dit voorwoord het achterste van zijn tong laat zien. Ik beschouw dit voorwoord vooralsnog als het belangrijkste document in de geschiedenis van het Nederlandse rekenonderwijs.

En dat heeft hij gedaan: die bijlage is 15 bladzijden. Ik zal er niet in detail op ingaan, wat mij betreft heeft hij van A tot Z gelijk in zijn kritiek op het onderzoek van Piaget. Maar geldt niet voor vrijwel alle wetenschappelijk onderzoek dat er stapels kritiek op mogelijk is? Het springende punt is natuurlijk dat Piaget geen goeroe is, maar een enorme impuls heeft gegeven aan experimenteel onderzoek in de ontwikkelingspsychologie. Kan Freudenthal dat niet zien? Waar blijft de positieve actie, na al zijn kritiek (titel van zijn biografie door la Bastide-van Gemert)?

Na de psychologie hier afgeschreven te hebben, wordt het een razend interessante vraag waar het team van wiskobas de vijf beginselen van wiskobas/RR vandaan heeft: stuk voor stuk zijn dat psychologische beginselen. Maar welke psychologie? Die van de ongewapende eigen waarneming? Of die van de psychologische theorie die is onderbouwd met het nodige experimentele onderzoek, hoeveel kritiek er op dat onderzoek ook mogelijk is?

Op dit punt is het misschien goed te wijzen op het werk van Nancy Cartwright over de degelijkheid van natuurkundige theorie. Razend interessant, maar natuurlijk geen reden om natuurkundige niet meer serieus te nemen. Googel Scholar "Nancy Cartwright".

Hier neemt Freudenthal zichzelf wat terug, maar dit is dan ook een zeldzame passage in zijn voorwoord waar hij de mogelijkheid open laat dat psychologisch onderzoek nuttig kan zijn. Het boek van Gagné is natuurlijk niet maatgevend (als ik me goed herinner legt hij uit hoe je een les klokkijken kunt uiteenleggen in onderdelen, dat is iets anders dan groepentheorie bestuderen). Wat daarbij in de buurt komt is het door Gage geredigeerde Handbook of Research on Teaching, een kilo of drie overzicht die ik in 1968 voor mijn bijvak onderwijsresearch tot mij heb genomen. En hoe ga je met zo'n boek om: kijk je of je er bevestiging van eigen ideeën in vindt, of neem je de discipline serieus en kijk je achteraf hoe je je eigen inzichten moet bijstellen?

Met andere woorden: Freudenthal vindt het niet nodig om zijn ideeën op de pijnbank van het gecontroleerde experiment te leggen. Terwijl hij weet, zie zijn kritiek op hoe Piaget met zijn proefpersoontjes omgaat, dat het verdraaid lastig is om uit blote observatie van kinderen degelijke informatie te putten.

Waarom kiest Freudenthal ervoor om wegwerpgebaren te maken waar het om empirisch toetsend onderzoek gaat, en dat op zo’n manier te doen dat zijn lezers niet anders kunnen dan concluderen dat dergelijk onderzoek niets heeft bij te dragen aan de onwikkeling van de didactiek van het rekenonderwijs.?

Als het aan Freudenthal ligt, dan is er niets beter dan de ongewapende observatie van de plaatselijke deskundigen. Alsof we niet al enkele eeuwen leergeld op dit leerstuk hebben betaald. Ongelooflijk. Eerlijke analyse is natuurlijk mooi, maar wat is dat wanneer alles wat riekt naar experimenteel onderzoek verdacht is, en er dus geen theorie kan zijn die de eerlijkheid van de analyse stuurt [theorie zonder empirisch fundament is geen theorie]? Freudenthal neemt hier een onverbloemd onwetenschappelijk standpunt in, en doet dat als verantwoordelijke voor een team ontwikkelaars van rekenonderwijs, met overheidssubsidie.

Hans Freudenthal (1976). Preface. p. 189 in Educational Studies in Mathematics, 7 special issue Five years IOWO. On H. Freudenthal’s retirement from the directorship of IOWO. IOWO snapshots. summary

Hans Freudenthal (1978). Weeding and Sowing. Preface to a Science of Mathematical Education. Reidel. (upload / google.books heeft voorbeeldbladzijden)

18 maart 2011. Ik moet nog onderzoek doen naar de receptie van dit boek. Al tegengekomen: een juichende bespreking door J. van Dormolen (1979), in Pedagogische Studiën, 56, p. 328-329. [Van dit tijdschrift zijn pdf-bestanden beschikbaar op de site van de UB Utrecht, zie hier] Joop van Dormolen was in de 70er jaren actief in de didactiekcommissie van de NVvW (zie hier), dat is VO, en had mogelijk in die tijd geen enkele relatie tot wiskobas, waarschijnlijk wel met andere activiteiten van het IOWO.

20 februari 2011. Ik ga deze tekst doornemen op wat van belang is om de ontwikkeling van wiskobas en realistisch rekenen te begrijpen. Dan gaat het niet alleen om ideeën over didactiek van de wiskunde, over wat het is om wiskunde te bedrijven of om wiskunde te leren, maar ook om de nadrukkelijk door HF uitgedragen opvattingen over wetenschappelijk onderzoek dat bij een en ander van belang is, of juist kan worden gemist als kiespijn, en waarom dan.

Freudenthal zoekt de hoge grond, en houdt tegelijk honderd slagen om de arm: “I pledge nothing, but I shall redeem all I pledge. Though it is not in order to make it easier for me to keep my promises that I do not make any, but in order to prevent anything from being raised to the level of a science when it is not one.” (p. vi) Ik zal meteen de toon zetten: het stoort me wanneer ik een logicus duistere taal zie schrijven.

De high ground van HF: I. What is science? II On education. III On a science of education. IV A science of mathematical education. En dat alles zonder literatuurlijst, een uiterst beperkt aantal literatuurverwijzingen in voetnoten. Ik vind zoiets zelden geloofwaardig, en ik geloof HF hier op voorhand niet. Hoe bestaat het dat iemand meent over zoveel eigen wijsheid te beschikken, dat er een heel boek mee is te vullen? Of moet die spatie weg? Ik ga het boek dus als ongelovige te lijf, en zie wel of ik gaandeweg bekeerd raak. Of juist in mijn ongeloof word bevestigd.

Aan ieder hoofdstuk gaat een uitvoerig abstract vooraf. Ik neem eerste deze abstracts door, en pas daarna de eigenlijke tekst.

HF snijdt hier een boeiend thema aan. Ik heb er zelf direct mee te maken gehad (zie Ackermans & De Jong 1991), en sinds die tijd mijn literatuur op dit thema bijgehouden. Het lijkt mij evident dat HF hier een lans breekt voor de wiskobas-werkwijze: eerst maar eens nieuw onderwijs ontwerpen, de wetenschappelijke uitwerking, onderbouwing en research komt later wel. Maar dat miskent een wereld van wetenschappelijke kennis en inzichten die ook al voor dat ontwerpen direct relevant zijn. HF zal tegenwerpen dat hij zijn psychologie en zijn onderwijsonderzoek kent, zoals een boek van Benjamin Bloom dat hij in (1979) Educational Studies in Mathematics aan een kritische analyse heeft onderworpen (wat onderzoek aan de hand van bronnen betreft op bewonderenswaardige wijze: HF heeft dissertaties waarop Bloom steunt, opgevraagd en bestudeerd. HF weet dus heel goed hoe kritische analyse, althans in dit opzicht, werkt). Het probleem met dergelijke kritische beschouwingen over discipline A en B door iemand die thuis is in discipline C, is dat de kritiek al gauw letterlijk misplaatst is. De klok hebben horen luiden, maar niet weten waar de klepel hangt. Overigens is dit probleem van onderscheiden disciplines en hoe hun scheidslijnen te overbruggen/doorbreken/slechten een hoofdthema in het pre-advies van Ackermans & De Jong 1991). Ik ben dus benieuwd of dit eerste hoofdstuk helder maakt waar HF staat.

Hans Freudenthal (1979). Ways to report on empirical research in education. Educational Studies in Mathematics, 10, 275-303. first page [Haal die eerste pagina op. Let op de eerste zin, waar HF onderwijsonderzoek als minderwaardig wegzet: ‘so-called empirical research in education’. Zo maak je geen vrienden, Hans! Klits klats kledder.]

S. T. M. Ackermans & W. A. de Jong, m.m.v. M. C. Roos & B. Wilbrink. Pre-advies Technische Universiteiten. Als bijlage opgenomen in: Adviesraad voor het Wetenschaps- en Technologiebeleid & Adviesraad voor het Hoger Onderwijs (1991) Advies inzake de Technische Universiteiten. Den Haag. html

Hoe krijgt een exact denker zoals HF beide geciteerde zinnen op dezelfde bladzijde in het zelfde abstract? Als de ene uitspraak waar is [kwestie van geloof], dan is de andere onzinnig [waarde moet blijken, empirisch dus], en omgekeerd. Ik krijg hier pukkeltjes van.

Dan wordt in dit hoofdstuk ook nog even het streven naar gelijke kansen in het onderwijs op de hak genomen. Waar is HF nu helemaal mee bezig? Dit is ongeloofwaardig. Afijn, de tekst van het hoofdstuk zal het uitwijzen. Ik ben er op voorbereid, equal opportunity heeft al bijna een halve eeuw mijn speciale aandacht. Natuurlijk gaat HF een heel nieuw licht op deze lastige materie werpen. Toch?

HF heeft zich vaker zo uitgelaten, en daar kennelijk geen kritiek op gekregen. Ik neem zijn uitnodiging om kritiek te leveren dan ook graag aan: ‘There is a terrifying lack of criticism’. Falikante onzin, trouwens, want juist in deze jaren is er sprake van een enorme paradigma-verschuiving van het behaviorisme naar de cognitieve psychologie: dat is pas ‘kritiek’: de tegenpartij compleet van de aardbodem wegvagen. Je moet wel weten waarover je het hebt, HF! Voorzover de geciteerde passage specifiek bedoeld is voor onderwijswetenschap, en niet voor wetenschappen in het algemeen (zie daarvoor de werken van Thomas Kuhn, en van Nancy Cartwright), is het kinderachtige nonsens. HF werkt een en ander uit voor onderwijsdoelen, curriculumtheorie, en evaluatie van onderwijs. Heerlijk, dat is voor mij eigen terrein, dat wordt smullen. Dit abstract is verder, bijna twee bladzijden lang, een ordinaire scheldpartij waar ik geen woorden aan vuil wil maken. Ik zal de tekst zelf van dit hoofdstuk natuurlijk wel doornemen, en proberen te achterhalen wat het is waarover HF zich zo verschrikkelijk opwindt (mijn hypothese: hij minacht sociaal-wetenschappelijk onderzoek, en zoekt daar op eenzijdige wijze bewijsplaatsen voor), in hoeverre hij daar een punt heeft, en welke consequenties hij uit een en ander trekt voor zijn eigen majeure onderwijsproject: wiskobas, althans vernieuwing van het wiskundeonderwijs.

En dat voor een hoogleraar die in Utrecht alle gelegenheid moet hebben gehad om Linschoten te ontmoeten, de man die de fenomenologische koers van de Utrechtse psychologie (zijn eigen proefschrift; Buijtendijk) radicaal verlegde naar die van hard empirisch onderzoek (Idolen van de psycholoog, 1964 integraal op dbnl.nl). Het gegeven citaat is de laatste zin in het warrige abstract voor dit hoofdstuk. Wie de wiskobas-onderneming kent, herkent er de wiskobas-werkwijze in, die op zichzelf bepaald niet warrig was (al zijn er de nodige onzekere episodes geweest), en de pseudo-wetenschappelijke termen die HF erop loslaat niet verdient. Ik zal toch een voorbeeld van dit wonderlijke proza citeren, om duidelijk te maken waar ik kritiek op heb, en zal op de inhoud geen verdere commentaar geven: het spreekt voor zich, zou ik zeggen.

Weeding and Sowing: I. On science

Ik kan over dit hoofdstuk kort zijn: het is onleesbaar en onbruikbaar. De tekst bestaat uit een aaneenschakeling van platitudes en algemeenheden, nergens, maar dan ook echt nergens concreet gemaakt aan de hand van controleerbare voorbeelden. Dat gaat zelfs zo ver dat HF een gebeurtenis die hij zelf heeft meegemaakt, in algemene termen beschrijft, dus zonder enige aanduiding van tijd, plaats, handeling, dader, publicaties, what have you:

Is er bij de juist geciteerde passage dan niet ergens een noot die verwijst naar de publicatie of de toespraak die zoveel aanstoot had gegeven? Nee. Het is ongelooflijk. Ik moet verder illustreren wat het voortdurende generaliseren door HF inhoudt. ‘They’ is een vlag voor zo’n generalisatie, zoals ook in het gegeven voorbeeld. Ik som een aantal generalisaties op die onmiddellijk volgen op dit citaat.

Die generalisaties gaan maar eindeloos door. Nooit krijgt de lezer te horen wie precies dan die ‘them’ zijn, ‘some people’, wie die ‘engineer’ is, wie er dan waarom en waar ‘reluctant’ zijn, wat is bedoeld met ‘the universities’ (alle universiteiten, in Europa, in de 19e eeuw, de bestuurders van die universiteiten, de hoogleraren ervan, gaat het om mastodonten van hoogleraren en wie waren dat dan met name, of bedoelt hij de verstening van de onderscheiden disciplines aan universiteiten en geldt dat dan alle disciplines ongeacht hoe, wie, wat waar of wanneer ??????????).

Ik kan het ook anders zeggen. HF doet in zijn eerste hoofdstuk achter elkaar uitspraken over hoe wetenschap in elkaar steekt, over zijn beoefenaren, enzovoort. Dat zijn empirische uitspraken over de wereld, geen logische uitspraken. Zijn lezers kunnen onmogelijk voetstoots aannemen dat de generalisaties van HF waar zijn: het is immers absoluut zeker dat ze dat niet zijn. De vraag blijft: in welke mate zijn ze dan mogelijk waar? HF geeft daar geen aanwijzing voor, hij vermeldt geen vindplaatsen. Dan blijft maar één conclusie over: HF presenteert zijn persoonlijke opvattingen over wetenschap als de maatstaf waar wetenschappen en zijn beoefenaren aan zijn gehouden — want hij legt er wel de morele zweep over. Maar zo zijn we niet getrouwd. Ik geef de voorkeur aan huwelijkse voorwaarden: laat HF zijn persoonlijke opvattingen binnenshuis houden.

Het gaat niet om de zwakte van de tekst in dit hoofdstuk, maar om het gedachtengoed van de auteur, directeur van het IOWO, dagelijks begeleider van een team niet academisch opgeleide onderwijsontwikkelaars die door het department voor een tiental jaren zijn vrijgesteld om nieuw rekenonderwijs voor het lager onderwijs te ontwikkelen, een verlate Nederlandse reactie op de wake-up call van de Sputnik waar andere landen op reageerden met New Math of varianten daarop.

Gaat hij het goedmaken in de volgende hoofdstukken? Dit eerste hoofdstuk heeft mij in ieder geval gevoelig gemaakt voor zinledige generalisaties — excuus voor het pleonasme — en ik zal in de werken van HF pijlsnel doorbladeren in teksten waarin ik dit kenmerk aantref.

Weeding and Sowing: II. On education

Ik heb leergeld betaald, en ga meteen anders met dit hoofdstuk om dan met het voorgaande. Ik zie geen enkele voetnoot die naar enige bron verwijst. In de tekst wordt Kant’s ‘Kritik der Reinen Vernunft’ genoemd, Klein’s ‘Elementarmathematik’ (maar beide in geen direct functioneel verband met het beweerde in de tekst) en meermalen zijn eigen ‘Mathematics as an Educational Task’ dat HF op p. 43 en in de laatste sectie van dit hoofdstuk zegt te beschouwen als filosofie van het wiskundeonderwijs. In die sectie ook de verzuchting dat dit hoofdstuk vooral uitdrukking van de eigen opvattingen lijkt te zijn. Een goede reflectie van HF, want volkomen raak.

HF vermijdt in het begin van het hoofdstuk de gemeenplaatsen, maar valt de lezer lastig met niet ter zake doende uitwijderij over zijn manier van schrijven: eerst in het Duits, en dat dan vertalen in het Engels. Popper zou zeggen: dat is je vuile wasgoed, houd het bij je. De was gedaan zijnde, kiest HF het thema ‘doelstellingen’, vooral in de brede — Bildung — zin. Ik zal er vliegensvlug overheen gaan, want zegt de auteur niet zelf (p. 41): “The only thing this work has in common with science is that it’s author is a scientist.” Dit is bepaald niet alleen maar onhandigheid in het vertalen van Duits naar Engels. Het is een regelrechte aansporing om het boek meteen dicht te klappen.

Tal van onderwerpen komen losjes langs: het Nederlandse onderwijsstelsel, de middenschool-plannen, gelijke kansen, erfelijkheid van intelligentie. De algemeenheden vliegen de lezer weer om de oren, geen enkel aangrijpingspunt in de vorm van bronvermeldingen, als het al duidelijk zou zijn wat HF exact beweert. Want dat is het probleem met generalisaties: het zijn loze beweringen. Een perverse generalisatie die in de geschriften van de protagonisten van ‘realistisch’ rekenen niet is weg te slaan (let op hoe het citaat begint met de niet nader identificeerbare ‘they’):

Moet ik het nog expliciet zeggen? Dit citaat is schaamteloos proza. Hoe durf je zoiets op te schrijven, en het goed te keuren dat je jonge stafmedewerkers deze kwalijke propaganda blijven verspreiden?

Paragraaf 8 gaat over de heterogene leergroep, een concept dat in wiskobas een belangrijke plaats inneemt. Dit gaat over niveaus, dat zullen dan de van Van Hiele overgenomen niveaus zijn (geen verwijzing hier, natuurlijk niet, waarom zou je. Dit onvermogen van HF om erkenning te geven waar erkenning op zijn plaats zou zijn, heeft Van Hiele gegriefd). “I think I am able to show that the structure of the mathematical learning process I called levels invites learning in heterogeneous groups.” (p. 61) De uiteenzetting van HF over die niveaus en de heterogene leergroep is onbegrijpelijk proza. Ik zal mijn bewering staven met een citaat dat overloopt van de beweringen over psychologische standen van zaken, zonder er empirische evidentie voor aan te reiken:

Dit is gibberish. HF verknalt een belangrijk onderwerp, dat op zich mijn uitgesproken sympathie heeft, door het amateuristisch aan te pakken en er onzin over te beweren.

In de verdere tekst passeren weer vele ‘they’s’. HF verhaalt van de wiskobas-ervaringen met training van pabo-studenten en leerkrachten uit het lager onderwijs, maar doet dat ook al generaliserend.

Weeding and Sowing: III. On a science of education

Eindelijk heeft HF een concreet onderwerp te pakken: de cognitieve taxonomie van Benjamin Bloom en zijn commissie, uit 1956. Bij velen bekend, hoewel mogelijk maar weinigen het boek zelf kennen. HF gaat er nogal onheus tegen tekeer. Denkt hij werkelijk dat Bloom c.s. niet goed bij hun hoofd waren? Hij heeft van blz. 81 tot en met 92 nodig om Bloom c.s. belachelijk te maken. Sla het gerust over. Of geniet van de categorie-fout van HF: hij gaat de meerkeuzevragen kritiseren die als voorbeelden van de cognitieve niveaus dienen. Maar dat is een andere tak van sport — waarin ik overigens graag met HF meesport — dan waar Bloom c.s in 1956 mee bezig zijn. Een andere verwarring bij HF is dat hij niet goed onderscheid maakt tussen de taxonomie zelf, een document dat je ook in de context van zijn tijd moet zien, en het gebruik dat velen ervan maken, waar inderdaad wel het nodige op is aan te merken. Maar niemend dwingt HF en zijn wiskobas-team om langs de lijnen van de cognitieve taxonomie van Bloom te werken, en dat hebben ze gelukkig ook niet gedaan.

HF geeft dezelfde behandeling aan enkele andere publicaties die hij als representatief voor het onderwijsveld en onderwijsonderzoek ziet. De auteurs zijn niet goed bij hun hoofd. Alles wat ergens raakt aan wiskunde, is van de pot gerukt, want geen wiskunde. Er zit een zeker patroon in: HF ziet het wiskundeonderwijs in de houdgreep genomen door onderwijsontwikkelaars en -onderzoekers, vooral ook door toetsontwerpers. En dat komt door de domheid van deze pseudo-professionals. Tjonge. Hans, Hans. Als het deze niet-wiskundigen lukt om het onderwijs te verkloten, dan zijn het toch zeker de wiskundigen die het hebben laten gebeuren! Het onderwijs heeft in de twintigste eeuw een enorme ontwikkeling doorgemaakt, althans is Europa en Noord-Amerika. Spectaculair. Explosief. Daarbij is er veel goed gegaan, en veel is minder goed gegaan. Mijn vermoeden is dat wiskundigen, als beroepsgroep, zich gewoon niet hebben willen bemoeien met het reken- en wiskundeonderwijs, althans niet in voldoende mate om onvermijdelijke ontsporingen binnen de perken te houden. Dat HF de draak steekt met wat er in het onderwijs en in onderwijstoetsen doorgaat voor ‘wiskunde’ — en dan heeft hij het vooral over de situatie in de VS — is niet ten onrechte (zie bijvoorbeeld Milgram, 2007), maar de schuld van de gekkigheid in de schoenen schuiven van andere partijen is niet sjiek. Ik zou dus graag zien, want ik ben nog niet op de helft van dit uitvoerige hoofdstuk, dat HF bij zinnen komt, en zelf het boetekleed aantrekt, plaatsvervangend voor al zijn wiskundige collega’s. De gemeenschap van onderwijsonderzoekers treft natuurlijk ook blaam: op de lange duur gaat het onderbelichten van vakinhouden schade aanrichten in het onderwijs; Shulman (1986) heeft dat uitstekend geanalyseerd. In de VS heeft onderwijsresearch niet zo’n beste track record (Lagemann, 2000), om meerdere redenen, waaronder de commerciële reden dat er met het op de markt brengen van onderwijstoetsen goed geld viel te verdienen (nog steeds, trouwens), tijd voor vernatwoord onderwijsonderzoek blijft er dan niet over. De onderzoekschool van John Dewey, schoolvoorbeeld van betrokken onderwijsontwikkeling, is onder dit geweld ook voortijdig bezweken.

Ellen Condliffe Lagemann (2000). An elusive science: The troubling history of education research. University of Chicago Press.

R. James Milgram (2007). What Is Mathematical Proficiency? In Alan H. Schoenfeld:. Assessing mathematical proficiency (pp. 31-58). Cambridge University Press. pdf

L. S. Shulman (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15 #2, 4-14. pdf

Na nog eens zo'n sectie belachelijk maken, dit keer van stukken van Van Gelder en van Stroomberg, en ophemelen van de verfrissende aanpak van het IOWO, is het mij wel duidelijk dat HF een beperkte visie heeft op zijn hoofdthema in dit hoofdstuk: doelstellingen van onderwijs. Hij kent er een soort absolute waarde of waarheid aan toe, en dan zijn concreet uitgewerkte doelstellingen van deze en gene natuurlijk zelden goed. Maar waar dienen doelstellingen nu voor? De universitair docent zal ze voor het eigen onderwijs niet hoeven maken (hoewel dat wel is geprobeerd door Willem Meuwese, in Eindhoven, de zestiger jaren). Nee, als het gaat om landelijk onderwijs, met gemeenschappelijke doelen, dan is er toch iets nodig om die gemeenschappelijkheid in tot uitdrukking te brengen, zodat iedereen een beetje weet waar hij/zij aan toe is, en wat er van hem/haar mag worden verwacht. Simpel, toch? Mijn eigen voorkeur gaar ernaar uit om de omweg over doelformuleringen te vermijden, en direct een ideaal examen te ontwikkelen dat goed representeert wat realistischerwijze van het onderwijs en zijn leerlingen mag worden verwacht. Kijk bijvoorbeeld naar de eindexamens VO van de laatste vijf jaren, dan weet je meteen waar het in het VO om gaat, althans waar de leerlingen op worden afgerekend; daaroverheen nog eens doelstellingen formuleren is zelden zinvol.

In dit hoofdstuk gaat HF telkens uit van een bepaalde publicatie, die hij vervolgens fileert. Hij heeft het heilloze pad van de generalisatie gelukkig verlaten: het is duidelijk welke Jan, Piet of Benjamin het doelwit van zijn ongenoegen is, met welke publicatie (in par. 6 is het weer een anonieme publicatie ‘It was when I came across a piece of research — the thesis of an outstanding man in the education field . . . . ’. Roddel en achterklap. Waarom valt HF zijn lezers lastig met kwaadsprekerij over een dissertatie die hij niet met name noemt? Dit is niet de enige plaats waar deze ontsporing voorkomt. In par. 7 doet hij het opnieuw: ‘I just analysed a copious collection of diagnostic tests designed for a mathematics course . . . . ’ HF vertikt het om de exacte referentie te geven, maar hij maakt de onbekende auteurs wel belachelijk. Nee, dat zeg ik verkeerd. Hij maakt een hele beroepsgroep hier belachelijk, maar doet dat op zo’n manier dat deze beroepsgroep zich niet kan verdedigen. Hoe noemen we zoiets in eigen land ook alweer?). Terug naar Jan, Piet en Benjamin. Hij presenteert deze Jannen als exemplarisch voor de beroepsgroep, en daar heb ik geen moeite mee (als maar duidelijk is welke Jan het is); zijn keuze van deze Jannen is meestal wel juist. Maar dan blijkt hij vervolgens toch als de eerste de beste nieuweling in dit vakgebied te reageren op allerlei bijzaken en eigen interpretaties van de betreffende teksten. HF ziet door de bomen het bos niet. Het gekke is dat hij dit van zichzelf geweten moet hebben: er zijn vele passages in zijn boek waarin hij zich hardop afvraagt wie er nu gek is: de bekritiseerde auteur, of hijzelf. In vele passages zit bovendien een verwijt van kwade trouw: de auteur wist natuurlijk best dat de wereld in elkaar steekt zoals HF die beschrijft — anders zou hij wel heel dom zijn — maar onthoudt dat willens en wetens aan zijn lezers. Er zijn ook vele passages waarin hij schrijft dat hij niet op de hoogte is van de literatuur op dat bepaalde gebied, en toch meent de morele staf te kunnen breken over die ene auteur — en zijn beroepsgenoten — waarvan hij het boek op zijn bureau heeft liggen. Het heeft voor HF dus heel erg voor de hand gelegen om de conclusie te trekken dat hij in het land van het onderwijsonderzoek een onbekende is, op dezelfde manier waarop hij ziet dat onderwijsontwikkelaars en -onderzoekers in het land van de wiskunde onbekend zijn. Hij heeft in geschrift die conclusie nooit getrokken, voorzover mij bekend.

Het zijn deze herhaalde uitdrukkingen van minachting die het voor mij bijzonder moeilijk maken om dit proza te blijven lezen. Hans Freudenthal gaat hier werkelijk alle vormen van behoorlijk gedrag in academia te buiten. Het is ongelooflijk dat hij een uitgever bereid heeft gevonden om deze scheldpartij te publiceren, en nog wel Reidel, een uitgever die een goede naam heeft te verliezen in wetenschapsfilosofische kring. Hoe ongelooflijk allemaal ook — ik vind het iedere keer weer schokkend om een uitspraak zoals de hierboven geciteerde tegen te komen — het is wel relevant voor inzicht in de manier waarop het rekenonderwijs in Nederland de afgelopen decennia van de regen in de drup is geholpen door de het Utrechtse schip met Freudenthal als kapitein. Dat beweegt mij om door te gaan. Tenslotte wacht mij nog het omvangrijke vierde hoofdstuk, de kern van de zaak, over een wetenschap van het wiskundeonderwijs.

Weet je wat? Uit de veertig bladzijden die mij nog resten van dit hoofdstuk over een onderwijswetenschap, geef ik nog maar eens wat sappige citaten.

Pas op blz 128 aangeland. Dit ga ik niet volhouden. Ik ga diagonaal door de laatste bladzijden van dit hoofdstuk heen, kijken of er nog iets belangrijks te melden is.

Op blz. 139-141 komt HF met een heel lang citaat uit het handboek van Gage. Dat is interessant: HF laat hier blijken dat hij dit handboek kent. Hij laat niet na het in de hoek te schoppen:

Knap kwaadaardig, maar tegelijk toch wel een blunder: dit handboek is helemaal niet bedoeld voor onderwijzers in opleiding, maar voor ervaren onderwijsonderzoekers en wie dat willen worden. Zo heb ik dit boek in 1968 bestudeerd voor mijn bijvak onderwijsresearch. Ter zake. Er staat een hoofdstuk in over wiskunde in het secundaire onderwijs. Auteur Henderson gebruikt in zijn verhaal pseudo-wiskundige taal, en HF valt daar languit overheen. Misschien begrijpelijk, vanuit wiskundig perspectief, maar de auteur heeft geen wiskunde willen schrijven, maar iets over onderzoek van wiskundeonderwijs. Ik ga dat niet checken, ook al staat het handboek nog steeds onder handbereik. HF moet niet zo flauw doen. Hij laat zich hier weer kennen als jager op (vermeende) nonsens-passages in onderwijsliteratuur. Ik heb nog steeds geen idee wie met deze inspanningen van HF gediend is.

N. L. Gage (Ed.) (1963). Handbook of Research on Teaching. McGraw-Hill.

HF komt nog eens uitgebreid te spreken over I.E.A., internationaal vergelijkend onderzoek zoals het tegenwoordige TIMSS en PISA (blz. 142 e.v., 157 e.v.). Hij publiceerde er eerder een ongelooflijk lang artikel over in zijn eigen tijdschrift, en noemt dat artikel ook. Hij zwijgt over de repliek die hij van de directeur van I.E.A. heeft gehad, waarop hijzelf weer reageerde in een dupliek. Het kan interessant zijn om zijn tekst in ‘Weeding and Sowing’ te vergelijken met het origineel van een jaar of wat eerder, om te zien of HF vatbaar is voor voortschrijdend inzicht. Ik ga dat niet doen.

Hans Freudenthal (1975). Pupil’s achievements internationally compared — the IEA. Educational Studies in Mathematics, 6, 127-186. first page

G. F. Peaker (1976). A commentary from IEA on dr. Freudenthal’s article in: Educational Studies in Mathematics, vol. 7, no. 2. Educational Studies in Mathematics, 6, 523-527. first page

H. Freudenthal (1976). Rejoinder. Educational Studies in Mathematics, 6, 529-533. first page

Een voor mij amusante babbel over examens laat ik onbesproken. Dat doe ik toch maar niet met een idee dat HF bij herhaling poneert, en waarmee hij dit hoofdstuk zo’n beetje afsluit.

HF wil dan vooral de sprongen — discontinuities — in die leerprocessen waarnemen; de sprongen tussen niveaus (Van Hiele)? Ik houd het even bij dat waarnemen van leerprocessen: HF is bezig om hier het psychologische wiel opnieuw uit te vinden. Hij voelt het wel aan, maar beseft kennelijk niet dat hij gewoon even een collega uit de faculteit Psychologie had kunnen bellen. In mijn eigen studie psychologie, in Utrecht, legde ik in 1963 tentamen af over geschiedenis van de psychologie, het boring boek van Boring, waarin een aantal worstelingen van psychologen staan beschreven met dit probleem hoe leerprocessen te bestuderen (vooral Duits onderzoek van voor W.O. II). Er zijn op dit terrein wel enkele paradigmawisselingen geweest, maar binnen ieder paradigma was het experimenteel onderzoek (want zo organiseer je bij voorkeur die waarneming van leerprocessen) toch knap eenduidig. Hoe kan iemand als Hans Freudenthal toch zoveel genoegen scheppen in het etaleren van eigen onkunde op vreemde vakgebieden?

Weeding and Sowing: IV. On a science of mathematical education

De eerste twee paragrafen: waar hééft HF het over? Waarom wéér dat beschimpen van hele groepen academici?

Hallo, we zijn er weer.

HF leerde team-work waarderen met het IOWO-team. Een ‘discontinuity’ in het denken van HF?

Hier maakt HF duidelijk dat hij schrijft over het werk in het IOWO. Dat gebeurt dus in nauwe relatie tot het veld, de proefschool.

Dit is proza in typische HF-stijl en HF-inhoud. Een sneer naar een stroman-praktijk — niemand is zo gek om nieuw onderwijs te ontwikkelen buiten iedere proefpraktijk om — tegelijk een open deur intrappend — het is immers vanzelfsprekend dat omvangrijke inhoudelijke vernieuwingen empirische toetsing nodig hebben. Heel riskant ook, het kan een boemerang zijn die hard terugslaat op het team van HF zelf. Immers, dertig jaar later kan niemand meer de ogen sluiten voor de teruglopende rekenprestaties van de Nederlandse leerlingen die dan vrijwel allemaal les hebben gehad op basis van het gedachtengoed van HF: realistisch rekenen. Het feedback path blijkt ineens dertig jaar te zijn. Heeft HF ooit met deze mogelijkheid rekening gehouden? Kijk, dit is nu waar sociale wetenschappen over gaan: bedacht zijn op mogelijke effecten op lange termijn, op tal van mogelijke onbedoelde effecten, op de vele mogelijkheden om disconituities of wat dan ook te zien in leerprocessen, terwijl die er in werkelijkheid niet blijken te zijn, niet repliceerbaar zijn, of berusten op heel andere gronden dan die van de experimentele ingreep.

Interessant is, zie het citaat hierboven, dat HF hier in feite claimt dat hij en zijn team in het IOWO deze fouten niet maken, en dus mogen worden beoordeeld op de in het Nederlandse realistische rekenonderwijs behaalde resultaten. Dat laatste is wat uiteindelijk dan pas in het begin van de 21e eeuw gebeurt — dat had enkele decennia eerder gekund wanneer dat team van het IOWO, OW&OC en FI zich niet voortdurend had afgezet tegen empirisch toetsend onderzoek door het eigen ontwikkelingsonderzoek te promoten als het begin en het einde van wat degelijke onderwijsvernieuwing is.

Ik zal de tekst van HF in deze zin spaarzaam analyseren, want het kan makkelijk een gebed zonder eind worden. Het algemene punt is: HF duikt weg voor de methodologie van de sociale wetenschappen, hoewel hij er wel degelijk van op de hoogte is — HF vindt de wiskunde ervan niet deugen, of verkeerd toegepast (zoals in het voorgaande hoofdstuk besproken, maar ik heb die passages niet van kritische analyse voorzien).

HF beschrijft hier wat zijn teamleden ‘ontwikkelingsonderzoek’ noemen, later ook ‘design research’. Het lijkt onschuldig, maar dat is het absoluut niet: dit is een gesloten circuit van meesters die hun eigen werk keuren. Binnen zo’n gesloten circuit kunnen cruciale aspecten van het ontwikkelingswerk makkelijk ongetoetst blijven, zolang er niemand is die signaleert dat er mogelijk een probleem is. Hoe makkelijk het mis kan lopen, demonstreert HF in zijn boek ongewild zelf aan de lopende band: de ene na de andere empirische uitspraak over onderwijsonderzoek en -ontwikkelingswerk, zonder dat de empirische data erbij worden geleverd. Ook in de publicaties over wiskobas en realistisch rekenen komt dat verschijnsel terug: een waterval van empirische uitspraken over leren, zonder de bijbehorende empirische onderbouwing. Zie vooral de vele teksten over de ‘vijf principes’ van realistisch rekenen.

Dit is dus de kern van het artikel dat ik op stapel zet: over het buiten de deur houden van empirisch toetsend onderzoek, dat uiteindelijk heeft geleid tot ondermijning van het Nederlandse rekenonderwijs. Dat Nederlandse leerlingen nu beter hoofdrekenen en schattend rekenen dan vroeger is zelfs geen schrale troost, omdat er door deze manier van rekenen teveel fouten worden gemaakt. (De kritiek van Van Putten, 2008 Panama-Post; zie ook het gesprek daarover tussen Van Putten en Treffers, 2009 Panama-Post).

C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27 #1, 37-40. pdf. Voor mijn annotatie zie hier

M. van Zanten & K. Buijs (2009). Aandachtspunten voor verbetering van het reken- wiskundeonderwijs. Een dubbelinterview met A. Treffers en K. van Putten. Panama-Post, 28 #1, 76-83. pdfVoor mijn annotatie zie hier

Paragraaf 4, over de theoreticus in het team. Een mystificerend verhaal.

Paragraaf 5. ‘The learning situation as a source of research’ loopt als zilverzand weg tussen mijn vingers.

Paragraaf 6. ‘Language as a vehicle of research’ gaat nergens over.

Paragraaf 7. ‘Motivation’ begint met een uiteenzetting over discontinuities in leerprocessen waar ik geen brood van kan bakken. Van wat discontinuities zijn, bedoel ik. Wat een warboel. Ik zou op basis van wat HF bedoelt met zijn discontinuities geen empirisch onderzoek over die discontinuities kunnen ontwerpen. Soms lijkt hij Aha-Erlebnisse te bedoelen, dan weer een stadium in een ontwikkelingsproces (de baby/peuter die voor het eerst kan staan). Etcetera. En ik had eerder vermoed dat het met de niveaus van Van Hiele te maken heeft, maar dat lijkt HF toch niet te bedoelen. Beroerde psychologie. Dan een warrig verhaal over doelen, waarbij HF kennelijk zoiets als de advance organziers van Ausubel bedoelt, maar dat verband niet legt of niet wil leggen (ik meen dat HF het werk van Ausubel Meaningful Verbal Learning wel kent).

Paragraaf 8. ‘Generality by comprehension and by apprehension’. Ik vrees het ergste. En inderdaad. Het hele universum komt hier voorbij: Hume, begripsmatig leren, de snelheid van licht, de slinger van Foucault, enzovoort. Vergeet dit. Laten we voorwenden dat HF dit nooit heeft geschreven, laten we hem tegen zichzelf beschermen.

Paragraaf 9 ‘Apprehension and paradigm’ De aanstellerij over paradigma’s terzijde, vertelt HF hier over enkele specifieke problemen en hoe jonge leerlingen ermee omgaan. Maar hij doet dat op zo’n warrige wijze, dat ik geen replicatie kan ontwerpen voor wat HF met zijn leerlingen heeft gedaan. Dat hoeft geen probleem te zijn, wanneer er elders een volledig rapport is gepubliceerd, maar HF verwijst naar niets. Maar dan is het heel dit verhaal van HF gewoon kostelijke flauwekul. Ik begrijp ook niet wat de bedoeling van deze opgaven is — zoals: er zijn drie wegen van A naar B en twee van B naar C, op hoeveel manieren kun je van A naar B komen — want HF zegt daar niets over. Dit type probleem komt in de wiskobas-literatuur overiegns veelvuldig ter sprake, ik meen ook al in ‘Mathematics as an Educational Task’. Dit zijn problemen om op te lossen, maar waarom dat voor wat goed is, blijft duister. Bezigheidstherapie voor jonge leerlingen en hun leerkrachten? HF presenteert ze als experimenten, maar voor wie dan, voor HF, of voor de leerlingen? HF blijft verbazingwekkend; hij kan zich kennelijk niet verplaatsen in zijn publiek, en schrijft dus maar voor zichzelf?

Ik ben hier wat langer bij stil blijven staan, want van het soort problemen in deze paragraaf loopt ook wiskobas over, en ook daar heb ik moeite om te ontdekken wat de bedoeling van de ontwerpers van deze probleempjes is. Is daar misschien in later jaren de draai aan gegeven dat leerlingen moeten leren problemen op te lossen, als vaardigheid op zich? En is dan ieder nieuw probleem dienstig voor dit doel? Is dit doel wel bereikbaar? Allemaal empirische kwesties, waar ik graag empirisch materiaal voor zie, niet een aantal anecdotes die vrij-zwevend zijn.

Paragraaf 10 ‘In vain quest for the paradigm’, dat kan kloppen want HF gebruikt de term ‘paradigma’ in een eigen betekenis, zoiets als een oncrete typische toepassing van een wiskundig idee. De par. gaat verder over sets en mappings, maar onduidelijk blijft welk punt HF hier wil maken.

Paragraaf 11 ‘In vain quest for discontinuities in the learning process’, dat kun je wel zeggen. Machteloos gepieker over het leren van het begrip ‘getal’, of is het ‘aantal’? Begin zeventiger jaren was er niet veel onderzoek beschikbaar dat HF houvast zou kunnen geven (maar wel: Piaget; Chomsky) In de negentiger jaren is dat echt anders, en komt er een stroom onderzoek los naar zaken als het verwerven van getalbegrip (zie mijn matheducation.htm pagina; Spelke; DeHaene; Carey). Ik vermoed dat HF sterk onderschat hoe complex een en ander is: je kunt op dit terrein onmogelijk vooruitgang boeken door maar goed te letten op hoe kindertjes jouw eenvoudige puzzeltjes aanpakken. En ik vermoed dat HF hier toch een subtiele vorm van didactische inversie maakt: hij denkt voortdurend vanuit de wiskunde, terwijl het gaat om psychologie. Die equivalentieklassen zitten maar in de weg; de oude Babyloniërs hadden van die theorie geen last, en toch was hun boekhouding prima op orde. Nu kun je het getalbegrip natuurlijk wiskunde noemen, iedereen dus ook HF is vrij om dat te doen, maar is dat handig? Het ontstaan van het getalbegrip is in ieder geval geen wiskunde, tenzij in een wel heel geforceerde wereldvisie. In de schoenen van HF staand, gewapend met het concept van de didactische inversie, lijkt het mij voor de hand te liggen om bij onderzoek en ontwikkeling van rekenonderwijs voor de allerjongste leerlingen alle wiskundige theorie ( = wiskunde) uit te bannen, echt alle. Alle wiskundigen de deur uit. Na afloop mogen ze de resultaten natuurlijk toetsen, ze zijn welkom, maar niet al te veel praatjes hebben.

Ik kan dus helemaal niets met deze tien bladzijden HF-beslommeringen over getalbegrip en het verkrijgen ervan. Evenmin helpt HF mij verder door me op het spoor te zetten van enige relevante literatuur, behalve Piaget, en een obscure verwijzing naar een artikel van A. Kirsch in Die Schulwarte. Het is mij ook een raadsel hoe deze opvattingen van HF het wiskobas-team hebben kunnen helpen bij hun taak om behoorlijk rekenonderwijs opnieuw te ontwerpen.

Paragraaf 12. ‘An apprehending approach to algebra’ is weer een volgende paragraaf met de persoonlijke instructietheorie van HF. Dat levert moeizaam proza op, dat zich op geen enkele manier laat verbinden met mainstream instructietheorie. Met deze idiosyncratische denkbeelden is niemand gediend, maar te vrezen valt dat dit een kenmerk is van de onderneming van wiskobas, en realistisch rekenen. Ik moet toch een citaat van dit proza geven, ik neem de opening van deze paragraaf. Ik begrijp niets van wat hier staat, ook niet na het lezen van de verdere tekst in deze paragraaf:

Nou ja, onschuldig toch? Nee, dat dacht ik toch niet. Want de derde alinea in deze paragraaf begint zo:

Ik lees dit als voorloper van de bekende stroman uit de publicaties van de realistisch rekenaars: het mechanistisch rekenen. Wee degenen die oefening van rekenvaardigheden voorstaan.

Het onderwerp van deze paragraaf blijkt dan het onderwijzen van de beginselen van algebra te zijn, dat HF zegt uitgebreider in ‘Mathematics as an Educational Task’ te hebben behandeld (blz. 224, hfdst XIV). Ik ga dat nu niet naslaan om de tekst voor mijzelf begrijpelijk te krijgen. Ik zie langzamerhand een heel ander probleem opdoemen: HF weet dat hij eigenlijk geen Engels kan schrijven, en doet dat toch, en dat voor onderwerpen zoals algebra waar heel erg veel afhangt van zuiver taalgebruik. Zoals ik me voel bij het lezen van deze tekst van HF, moeten sommige leerlingen met Nederlands als tweede taal zich ook voelen wanneer hun lerares de staartdeling behandelt: voortdurend niet weten wat de woorden precies betekenen. En dan heb ik nog het voordeel dat ik weet dat group een wiskundig begrip is en niet een HF-begrip

Een goede manier om de beginselen van algebra te onderwijzen: dat kun je wel in de wiskundige leunstoel proberen te bedenken, maar is uiteindelijk toch een kwestie van empirische toetsing van de verondersteld betere methode tegen de bestaande methode. Dit laatste mis ik bij HF. Dus wat heb ik aan zijn bespiegelingen? Het gaat psychologie, je kunt dus niet logisch beredeneren welke methode beter zal blijken (pertinente onzin daargelaten, natuurlijk). HF vindt een true experiment ook nodig (blz. 225), maar ik ben bang dat hij een design experiment bedoelt.

Paragraaf 13. ‘The mathematical background of the geometrical approach to algebra’ is een paragraaf wiskunde: “should be read with the eye of the mathematician”. Ik kan het dus overslaan. Het is axiomatiek, en moet in de context van zijn boek een didactische inversie zijn, ik kan dat niet anders zien. Ik begrijp niet wat de functie ervan is in het betoog van HF. Hij is in deze paragrafen aan het stoeien met rekenkundige, algebraische en meetkundige benadering, maar zijn punt met dit alles is mij nog niet duidelijk.

Paragraaf 14. ‘The algebraic versus the arithmetical approach to algebra’. Ha, Davydov! HF heeft werk van hem vertaald voor eigen gebruik, en er een artikel over gepubliceerd (1974). Daar heeft HF me te pakken: ik heb dat artikel over het hoofd gezien.

Deze paragraaf is helder geschreven, alsof er een heel andere auteur is. HF heeft lof voor het experimentele werk van Davydov, ook al heeft het enorme beperkingen. Op basis van deze paragraaf lijkt het mij niet waarschijnlijk dat het werk van Davydov enige impact heeft gehad op wiskobas, maar onmogelijk is het niet. Dit blijft nog even een open vraag. Dat artikel over Davydov zal ik waarschijnlijk ook willen annoteren.

H. Freudenthal (1974). Soviet research on teaching algebra at the lower grades of the elementary school. Educational Studies in Mathematics, 5, 391-412. first page

Paragraaf 15. ‘Levels of language’. Nu gaat HF ook nog de taaldeskundige uithangen, daar heb ik geen geduld voor. Als HF bedoelt duidelijk te maken dat taal een probleem is in het rekenonderwijs, oké, dat is zeker het geval, maar ik kijk er niet van op. Maar dat is niet het onderwerp van HF: hij gaat uitleggen wat de taal van wiskunde is. (blz. 241) En haalt daar weer een leerproces bij, en de bewustwording van dat leerproces. Amateurpsychologie. Leer fietsen; kun je je bewust worden van je leerproces? Alleen oppervlakkig, maar wat schiet je er mee op je bewust te zijn van de zwarte doos, terwijl je nooit bij de inhoud zult kunnen komen? Bedrijft HF hier een vorm van behaviorisme?

Paragraaf 16. ‘Change of perspective’. Beschrijft kort een experimentje van W. Kremers, IOWO. Hartstikke goed, een stukje empirisch onderzoek! Ik moet hier zorgvuldig naar kijken, dit lijkt een critical incident dat licht kan werpen op wat HF beweegt, en waarom, in relatie tot contexten. Het ziet er even heel verrassend uit, ik hoop dat het een verrassing is, een positieve wat HF betreft. Laat het niet toch weer een teleurstelling worden. Acht bladzijden te gaan.

Ik heb die acht bladzijden gelezen. Mijn eerste indruk is toch die van teleurstelling. Ik vermoed dat HF hier worstelt met een fenomeen waarvan hij wel een beetje een vermoeden heeft, maar dat hij toch niet goed kan plaatsen: de sterke opvattingen die kinderen hebben over wat er van hen wordt verwacht bij het maken van schoolse opgaven, waardoor goedbedoelde didactiek in het honderd kan lopen. Ik moet deze paragraaf nog een keer opnieuw doornemen, om te checken of ik mijn hypothese kan laten staan. Let wel: dit heeft te maken met contexten, en mijn hypothese is dat de contexten voor de leerlingen wel eens totaal anders kunnen zijn dan wat wiskobas bedoelt met contextrijke opgaven. In de mate waarin dat het geval is, is er een mismatch tussen didactiek en leerlingen. Dit moet toch eenvoudig empirisch te toetsen zijn. In het onderzoekje van W. Kremers zo'n toets? Hoe gaat wiskobas of het realistisch leren met dit mogelijke probleem om?

Paragraaf 17. ‘The field of tension between global and local perspectives’. Ik vraag me voortdurend af waar HF het over heeft. Dan is er ineens een zin waar ik een geloofsartikel van realistisch rekenen in meen te herkennen:

Is dit denkbeeld rechtstreeks vertaald naar de rekendidactiek, bijvoorbeeld voor delen, die leerlingen meteen confronteert met grote getallen en ingewikkelde (context-)voorbeelden? Overdrijf ik weer eens dat de tekst van HF onleesbaar is? Laat ik dan nog het slot van deze paragraaf citeren.

Voor mij is het toch iets eenvoudiger: asl er geen voorbeelden bij dit briljante idee zijn te vinden, dan is het idee misschien toch niet zo briljant.

Paragraaf 18. ‘The field of tension between quantitative and qualitative perspectives’.

Over rijke contexten. En ontwikkelingsonderzoek. In het denken van HF kennelijk nauw met elkaar verbonden. Een charismatisch stukje tekst, zou je kunnen zeggen, maar op het tweede gezicht is het duidelijk dat hier eigenlijks niets staat, in ieder geval niet iets dat is verbonden met het wetenschappelijk veld in de zestiger en zeventiger jaren. Mijn grote vraag is dan: hoe kan het toch dat ronkende tekst leidt tot een riskante didactiek die vervolgens blijkt andere didactieken uit de onderwijsmarkt te drukken?

Paragraaf 19. ‘Grasping the context — chances’.

In deze paragraaf een ontboezeming over de (on)waarde van empirisch onderzoek naar didactische zaken. Een boodschap aan zijn wiskobas-team: bekommer je niet om empirisch onderzoek, laten we die dwaasheid aan anderen voorbehouden.

Moet ik dit nog uitleggen? HF laat hier zien dat hij geen kaas heeft gegeten van het doen van onderzoek, in ieder geval niet van onderwijsonderzoek en psychologisch onderzoek.

Paragraaf 20. ‘I see it so’.

Over meetkunde. Enkele onthullende uitspraken, voor wie zich afvraagt waar al die tegenwoordige toetsvragen over ruimtelijk inzicht (ook in de Cito Eindtoets Basisonderwijs) hun oorsprong vinden.

Bepaalde aspecten van die meetkunde zijn problematisch, omdat onderwijsmateriaal en toetsvragen evident toetsen op ruimtelijk inzicht. Dat hoeft geen probleem te zijn, wanneer er een goed verhaal en goede empirie achter steekt, maar waar is dat theoretisch kader, en waar is het empirisch onderzoek?

Hans Freudenthal lijkt hier te suggereren dat hij persoonlijk ervoor heeft gezorgd dat meetkundeonderwijs de basisschool binnen is gerommeld. Is dat inderdaad zo? Was meetkundeonderwijs inderdaad afwezig, en evenmin in de wettelijke doelen van het basisonderwijs opgenomen? En als die laatste waar is, hoe kan het dan dat via wiskobas die meetkunde de basisschool en de Cito Eindtoets Basisonderwijs is binnengebracht? Paragraaf 21. ‘An example of didactical phenomenology — ratio and proportion’.

Ik kan helemaal niets met deze paragraaf. Helaas.

‘Epilogue’.

“The present book was virtually written between midsummer 1973 and autumn 1974 — a few sections are of earlier or later date. The original is German; it has been translated into English by the author himself. Its philosophy and instrumental ideas have since then been vastly put to the test in the educational development carried out by the IOWO — which does not mean that they have been corroborated nor that they have served as a handbook or guidelines in the developmental work.”

Hans Freudenthal (1984). Appels en peren /wiskunde en psychologie. Apeldoorn: Van Walraven.

Dit boek is een bundeling van de volgende (delen van) publicaties

1. Onderwijsontwikkeling voor de kleuterschool - cognitief, wiskundig. De Wereld van het Jonge Kind, maart-april 1979, 143-147, 169-172
2. Moedertaal en wiskundetaal. Moer, 1983, 6, 1-7.
3. Appels en peren: wiskunde en psychologie Willem Bartjens 3 (1983/4), 1, 60-65.
4. Wiskundig-didactische principes - vanuit het rekenonderwijs gezien. Samenvattende vertaling van de opstellen: Rechnen - gibt es das noch? Mathematiklehren, november 1983, 4-9, en Didactical principles in mathematics instruction. Aspects of Mathematics and its Applications. Noordhollandse Uitgeversmij 1984, Mathematical Library, volume in honor of Leopoldo Nachbin.
5. Oppervlakte als verschijnsel benaderd. Wiskobas Bulletin, leerplanpublicatie 9, IOWO juli 1978, handleiding, 109-120.
6. Verhoudingen als verschijnsel. Wiskrant 17, mei 1979, 5-9, waarin stukken verwerkt van Didactische fenomenologie van wiskundige structuren. (IOWO-publikatie, te verschijnen bij Vakgroep OW & OC).
7. Meten vanuit wiskundig standpunt. Wiskunde en Didactiek in de Onderwijzersopleiding, blok ‘Meten’ (1976), 8-17.
8. Cognitieve ontwikkeling - kinderen geobserveerd. Jaarverslag over 1977,Provinciaal Utrechts Genootschap (1978), 8-18. Zie voor onderdelen ook Weeding and Sowing, Reidel, 1978, IV 8.
9. Studentenhaver. Willem Bartjens 1 (1981/2), 4, 214-215. Hans

Hans Freudenthal (1984). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures Kluwer.

EDITORIAL PREFACE	vii
A LOOK BACKWARD AND A LOOK FORWARD	ix
1. As an Example: Length	1 
2. The Method	28 
3. Sets	34 
4. Natural Numbers	73 
5. Fractions	133 
6. Ratio and Proportionality	178 
7. Structures: in particular, Geometrical Structures	210 
8. PuttingintoGeometricalContexts	223 
9. Topology as a Geometrical Context	250
10. The Topographical Context	281 
11. Figures and Configurations	296 
12.	Geometrical Mappings	330 
13. MeasuringbymeansofGeometry	351 
14. Topography with Geometry	407 
15. Negative Numbers and Directed Magnitudes	432 
16. The Algebraic Language	461 17. Functions	491
LIST OF THE AUTHOR’S PUBLICATIONS ON MATHEMATICS EDUCATION 579
INDEX 586

Dit boek moet ik nog eens op de kop zien te tikken. Ik meen dat ik het al eens geprobeerd heb te lenen uit de KB, maar daar bleek het zoek te zijn.

Juichend besproken in Educational Studies in Mathematics, 16, 1985, 223-.

Google laat een paar bladzijden zien: ik kan niets met wat ik hier zie. Freudenthal schrijft zijn bedenksels op, alsof hij de alpha en omega is van de filosofie van de wiskunde. Hij babbelt voortdurend over zijn overwegingen, iets wat Popper veroordeelt als horend tot het rijk van de onderbroek, niet dat van de wetenschap. Het is voortdurend ik, ik, ik, ik, ik. En Bastiaan, natuurlijk. Arme Bastiaan.

Naar ik vermoed, beschrijft hij in dit boek (ook) zijn niveautheorie.

Uitvoeriger previews zijn gegeven door Springer. In Frankrijk lijkt hij er school mee te hebben gemaakt:

Hans Freudenthal (1991). Revisiting Mathematics Education. China Lectures Kluwer.

[2006] In the preface Hans, who died in 1990, is declared a saint, not in the least because of his 200 and some publications on the subject of mathematics education. Hans surely would have been the first to acknowledge that saintliness is not determined by sheer numbers. This is his last book, intended by its author to review his work on the subject. Regrettably, this book lacks a strong connection to the (research) literature, in the same way his (1973, see below) did so two decades earlier. What remains is a compilation of opinions and anecdotes by the master, but masterly opinions do not add to science in any way whatsoever, except maybe by suggesting some possibly fruitful lines of investigation. By 1991, however, there had been plenty of opportunity for this kind of research, and I have not seen it referred to in this book. I am seriously doubting that there has been any serious research based on Freudenthal's ideas, that has resulted in the kind of evidence, any evidence, that sound didactics can be based on. Am I being unfair here? I don't think so. See for example the Verschaffel, Greer and De Corte (2000) book, bristling with evidence that is highly relevant to the didactics of mathematics in a most direct way. It is rather frustrating to see him, Freudenthal, elaborating on the question of how children acquire the concept of (cardinal) number, and not mentioning the work of, for example, Susan Carey on the subject. Or take his opinion there never has been any serious research on learning, which proves his disgust of psychology to be so strong that he is not even aware of the work of Thorndike on the subject of the learning of mathematics in the early 20th century, let alone the laboratory work on learning of German psychologists like Ebbinghaus in the nineteenth century. Is there any reason at all to take the opinions of Freudenthal on the subject of teaching mathematics seriously?

Ik neem het boek even diagonaal door op onderwerpen die van belang zijn voor de ontwikkeling van het realistisch rekenen.

Preface

In zijn voorwoord noemt Alan J. Bishop de auteur ‘the great man’. Ik kan maar niet wennen aan deze slijmerij. Gelukkig weet Bishop het te berperken tot anderhalve bladzijde. [sectarisme.htm]

1. Mathematics phenomenologically

1.1 What is mathematics? 1-19

1.1.1 Sure and certain 1

HF babbelt hier maar een eind weg: geen enkele referentie naar wat of wie dan ook, behalve naar Simon Stevin (wat best interessant is, maar niet helpt om het denken van HF te plaatsen). Ik zal waarschijnlijk ook in de nog volgende annotaties spreken over ‘babbelen’ voor passages waarin HF zijn zieleroerselen aan het papier toevertrouwt, maar niet relateert aan het denken in het veld (van wiskundigen, filosofen, of welke beroepsgroep op de inhoud van de overpeinzing iets te melden zou kunnen hebben). Waar HF verwijst naar eerder eigen werk, zal ik dat raadplegen om na te gaan of hij zich daar wel iets gelegen laat liggen aan relevant intellectueel werk van anderen.

1.1.2 Mathematics as common sense 4

De eerste uitspraak in de geciteerde passage is een sleutelgedachte in het denken van HF over didactiek. Zijn persoonlijke overtuiging is natuurlijk niet voldoende voor het vestigen van een didactiek, maar dat is voor de Freudenthal-groep geen beletsel geweest om ook maar enig deugdelijk onderzoek op deze veronderstelling te doen. Dat empirisch onderzoek is door anderen wel gedaan, bijvoorbeeld voor het onderwijs in natuurkunde (David Hestenes, zie ook mijn pagina physicseducation.htm), en meer in het algemeen in de cognitieve psychologie onderzoek van o.a. Vosniadou naar conceptual change. Het recente boek van Stellan Ohlsson (2011) Deep Learning behandelt dit thema bijzonder grondig.

De tweede zin in de geciteerde passage zou een ‘feit’ weergeven, over de ontwikkeling/geschiedenis van wiskunde. Dat lijkt me dus echt nonsens.

Hoewel Cantor, Frege en Russell hier langskomen, heeft dat natuurlijk niets te maken met rekendidactiek. Evenmin het werk van Piaget. Het blijft dus babbelen wat HF hier presenteert. Daarin is de volgende passage van belang, omdat hier een aantal sleutelgedachten in zijn geformuleerd.

Algoritmen, schematiseren, automatiseren, begrijpen, leren; dat alles is hier even aan de orde, en wordt nogal extreem gekarakteriseerd. Dat gebeurt op een manier alsof ieder weldenkend mens toch moet inzien dat dit de werkelijkheid van het rekenonderwijs is. Het gaat hier om een waaier van empirische uitspraken over de rekenwereld, maar zonder dat ook maar enig empirisch toetsend onderzoek op deze stellingen wordt vermeld. Dat is er dus ook niet, mag de lezer concluderen. Althans de lezer die ook zelf nog nadenkt, en niet blind ‘the great man’ napraat.

Het is absurd dat HF hier maar babbelt over common sense , rekenen, en wiskunde, terwijl in andere disciplines dan die van HF er bepaald baanbrekend onderzoek is gedaan. Ook al voordat het IOWO van start ging. HF plaatst zichzelf hiermee vierkant buiten het wetenschappelijke domein. Niks ‘great man’.

1.2 Structure and structures

1.3 Mathematising

2. Didactical principles

2.1 Guided reinvention

2.2 Bonds with reality

2.3 Learning processes

2.4 Long-term learning processes

3. The landscape of mathematics education

3.1 Theory of mathematics education

3.1.1 Theory

1. Domains and theories

HF mijmert over wat ‘theorie’ is.

Ik heb er altijd wat moeite mee wanneer een cultureel artefact, de oneindigheid van de getallenlijn, tot bloot feit wordt gepromoveerd. Ik wil hier maar mee aangeven dat ik het gemijmer van HF vooral als zijn persoonlijke gedachtengoed beschouw, zolang het mij of anderen niet in de weg zit.

Barbara J. Shapiro (2000). A culture of fact. England, 1550-1720. Cornell University Press. [Laat zien dat het idee van een ‘feit’ relatief recent is, en allesbehalve probleemloos]

2. ‘Theory versus practice’

HF mijmert verder, met een verwijzing (zonder paginanummer) naar zijn ‘Weeding and Sowing’

3. Pure versus applied — descriptive versus normative

HF annoteert zichzelf hier. Ik wil er toch het volgende aan toevoegen.

Gezien de annotatie die ik zelf bij Weeding and Sowing heb gegeven (zie hierboven), vermoed ik een eenvoudige verklaring voor het stilzwijgen dat HF heeft ondervonden: de kritiek van HF op andere disciplines en wetenschappelijk onderzoek is vooral off the mark, zoals zijn kritiek op de begrippen ‘betrouwbaarheid’ en ‘validiteit’ in de psychometrie, en vormt als zodanig geen uitnodiging of uitdaging voor wetenschappers, als die zich al aangesproken zouden voelen, om er publiekelijk op te reageren. Ik ben benieuwd naar de uitzonderingen. Een belangrijke uitzondering is de IEA-directeur die op de late aanval van HF op de IEA heeft gereageerd in Educational Studies in Mathematics. Ik weet nog niet wat zijn biografe over dit fenomeen heeft te zeggen, als zij er al op ingaat. Het zou bijvoorbeeld kunnen dat HF in wiskundige kringen wel bijval heeft geoogst voor zijn aanvallen op sociale wetenschappen en wetenschappers, en dat hij kringen van sociale wetenschappers niet heeft opgezocht. Het wiskobas-team was geen academisch team, en heeft voorzover mij nu bekend nooit afstand genomen van dit vreemdgaan van HF buiten zijn eigen vakgebied.

4. Theorising

HF mist hier in zijn mijmering over wat het is om de naam ‘theorie’ te verdienen een belangrijk punt. Een theorie is een goede theorie als hij leidt tot toetsbare voorspellingen. Een wiskundige leeft hier niet dagelijks mee, maar natuur- en sociale wetenschappers wel. Zou HF dit criterium goed voor ogen hebben gehad, dan zou het wiskobasteam in de zeventiger jaren aansluiting hebben kunnen vinden bij meerdere groepen, ook Utrechtse, die met vernieuwend rekenonderwijs bezig waren op de meer wetenschappelijke wijze: door claims ook empirisch te toetsen tegen het alternatief van traditioneel rekenonderwijs. In Pedagogische Studiën in de zeventiger jaren zijn de rapportages te vinden: zij moeten bij het wiskobasteam wel degelijk bekend zijn geweest.

3.1.2 Theoretic frameworks

Het ‘theoretisch kader’ is een uitvinding van Adri Treffers (zijn proefschrift in uitgebreidere Engelse versie, hfdst. 7, par. 3.2). Dat is dus iets anders dan het in de wetenschap gebruikelijke theoretisch kader zoals dat in projectvoorstellen en wetenschappelijke artikelen is te vinden. Treffers construeert zijn theoretisch kader achteraf, dat is heel bijzonder.

Dit is een omkering van wetenschappelijke waarden. Dit hoofdstuk 7 maakt niet eens deel uit van het proefschrift van 1978.

De situatie is natuurlijk een andere dan die waarin Isaac Newton zich bevond: Kepler had zorgvuldige waarnemingen gedaan van de bewegingen van de planeten en kon die goed wiskundig beschrijven; het was nu aan anderen, zoals Newton, om daar een theorie achter te plakken. Wiskobas is het rekenonderwijs volgens de ideeën van het het wiskobas-team en HF. Het theoretisch kader van Wiskobas bestaat dus uit die verzameling van wiskobas- en andere ideeën, niet uit een achteraf erop geplakte theoretische beschouwing. In Utrecht staan de theoretische paarden standaard achter de wagen gespannen?

HF plakt zijn ‘theoretische kaders’ op van alles en nog wat, bijvoorbeeld op wat er in klassen gebeurt. Dat gebruik heeft niets van doen met de wijze waarop wetenschappelijk onderzoekers hun wetenschappelijke kader expliciteren. Dat is toch wonderlijk. De Freudenthal-groep creëert zijn eigen jargon, op de manier die hij juist op de voorgaande bladzijde heeft gehekeld. Bij HF is een theoretisch lader de beschrijving van hoe je zelf over de dingen denkt; in de wetenschappelijke wereld is het de inkadering van je onderzoek in bestande theorie, in het theoretisch netwerk van de discipline zeg maar, je bronnen. Groter contrast is moeilijk denkbaar.

Ik ben niet gediend van dit caricaturiseren van andere onderzoeksgroepen. Maar ik vind het wel heel bijzonder een onderzoekgroep te ontmoeten, een succesrijke onderzoekgroep, die zichzelf caricaturiseert.

3.1.3 Background philosophy

Rustig overslaan.

3.1.4 Pictures of mathematics and mathematics education

Hier is geen touw aan vast te knopen. Komt dat door het gebrekkige Engels van HF, in combinatie met (te) verheven gedachten over wiskundeonderwijs (van hemzelf, of aan anderen toegeschreven)?

3.1.5 Classifying mathematics education

Dit gaat over de verschrikkelijke categorieën van Treffers: horizontaal en verticaal mathematiseren, en mechanistisch, empiristisch, structuralistisch en realistisch onderwijs. Dat levert dan een matrix met acht cellen op. Ook HF heeft zijn grote weerzin tegen dit soort gemakzuchtig gehad, maar is daar uiteindelijk overheen gestapt. Dat laatste ben ik niet van plan te doen, en ik lees geen argument van HF dat mij daarvan kan afbrengen. Deze Treffers-exercitie heeft evident de functie om ‘realistisch rekenen’ uit te tillen boven de drie stroman-concurrenten. Daar trappen wij niet in.

3.1.6 Philosophies of mathematics education

Wat zijn die opvattingen (filosofie is een te groot woord): precies, de vier Treffers-categorieën. Ik ben benieuwd of het HF lukt om ze anders te beschrijven dan als stromannen. Oordeel zelf.

Mechanistisch rekenonderwijs is wat Freudenthalers misprijzend ‘opa’s rekenonderwijs‡rsquol noemen. Een prototypische stroman, al kan het best zo zijn dat het rekenonderwijs in de vijftiger en zestiger jaren van de vorige eeuw meer mechanistische trekjes had dan bijvoorbeeld eind 19e eeuw.

Met structuralistisch rekenonderwijs is de New Math bedoeld, dat in zijn meer extreme vormen vandaag de dag door niemand wordt gepropageerd, vermoed ik.

Wat empiristisch rekenonderwijs is, ontgaat mij. HF maakt het niet duidelijk.

Het ongelukkigerwijs ‘realistisch’ genoemde wiskobas-onderwijs voorziet HF van een voorbeeld dat bij uitstek vijftien jaar later door de mand is gevallen (PPON 2004 en de analyse die Kees van Putten heeft kunnen doen op het rekenen van de leerlingen).

3.1.7 Use of the classification

PR-praat: mechanistische methoden die shoppen bij realistische, moeten worden ontmaskerd. HF onwaardig, dunkt me.

3.1.8 A matter of faith

Een wonderlijke mengeling van hardop denken over hoe realistische methoden op hun effectiviteit zijn te vergelijken met andere, van zelfapplaus, en van het nemen van een verzekering op tegenvallende resultaten. Zie voor dat laatste:

De onhandige uitsmijter van HF:

3.1.9 Learning theories and philosophies

Een zeer uitgebreide sectie, met sub- en subsub-secties. De inleidende bladzijde prijst Treffers’ behandeling van leertheorieën, dat moet hoofdstuk 7 in Three Dimensions zijn. Voor een oude psycholoog, in 1962 voor het eerst geconfronteerd met leerpsychologie, is de babbel van HF gespeend van inhoud; zelfs waar hij verwijst naar zijn Weeding and Sowing gebeurt als slag in de lucht, zonder pagina-aanduiding.

3.1.9.1 Gal’perin, and materialism

Met alle respect, maar de behandeling van Gal’perin is irrelevant voor ons rekenonderwijs. Dat HF belangstelling heeft voor deze theorie, kan ik niet direct plaatsen in de ontwikkelingsgang van realistisch rekenen.

Kennelijk heeft HF een appeltje te schillen met de theorie van Gal’perin, maar wat hebben zijn lezers daarmee te maken?

3.1.9.2 Constructivism, and ‘Kant’

Deze openingsalinea geeft goed aan dat de komende bladzijden de persoonlijke beslommeringen van HF zijn. Ik zal ze lezen, maar het heeft geen zin hier aantekeningen bij te maken. Voor de geschiedenis van het realistisch rekenen is deze sectie niet relevant; HF zou hier op zijn best motivatie-achteraf kunnen presenteren.

3.2 Research in mathematics education

3.2.1 Research

Zo, de sociale wetenschappen even subtiel hun plaats gewezen. Maar ontdekkend leren heeft wel zijn belangstelling:

HF doelt hier mogelijk op Duncker (1935), als ik het goed heb geldt Duncker als geestelijke vader van dit type onderzoek naar ontdekkend leren.

Karl Duncker (1935/1963). Zur Psychologie des produktiven Denkens. Berlin: Springer. zie hier voor meer info

3.2.2 Educational research

1. What is the use of it?

Een babbel van HF. Ik citeer een kenmerkende passage. Kenmerkend: afserveren van onderwijsonderzoek.

2. Methodology

HF maakt hier het vak methodologie, als onderdeel van een opleiding psychologie bijvoorbeeld, belachelijk. Moet ik hier verder nog woorden aan vuil maken? Is A. D. de Groot de stichter van een sekte?

A. D. de Groot (1961). Methodologie. Grondslagen van onderzoek en denken in de gedragswetenschappen. Den Haag: Mouton. [volledige tekst op dbnl]

Een leugentje, maar dat mag toch ook wel een keer?

Het is een leugentje: in zijn eigen tijdschrift Educational Studies in Mathematics heeft HF een ongelooflijk lang artikel gewijd aan kritiek op de IEA studie in de zestiger jaren. Maar daar kwam wel degelijk een serieuze repliek op, door de director van het project, waarop HF niet adequaat reageerde in zijn rejoinder. Akelig is dat HF zijn kritiek op IEA ook in Pedagogische Studiën heeft gepubliceerd, zonder erop te wijzen dat vanuit IEA is geantwoord op deze kritiek. Dit is toch wel wat ik een critical incident zou willen noemen waar het gaat om de wetenschapsopvattingen van HF.

Als uitsmijter voor deze paragraaf kan HF het niet laten om het Coleman-rapport nog even weg te zetten als kostbaar klungelwerk, door zijn eigen sophisticated analysis ontmaskerd (in Ped. Stud. 1976, 53, 465-468.

3. Comparative research

HF gaat rustig verder met methodologen belachelijk maken.

4. Tests

Er valt best het een en ander aan nuttige en nodige kritiek te leveren op de overmaat aan testen en toetsen in het onderwijs, maar dat vind ik niet in deze paragraaf. HF slaat wild om zich heen, signaleert dat er toch wel verbetering is, verwijzend naar uitmuntende werk van Jan de Lange (1987). Ik kan nauwelijks geloven wat ik lees, maar ik moet wel.

Jan de Lange, Jzn (1987). Mathematics — Insight and Meaning. i.h.b. hfdst 4 en 5. [Dit proefschrift nog niet gezien, moet heel bijzonder zijn. Alleen het abstract is online. Uit dit abstract blijkt dat het gaat om een hoop reflectie, ontwikkelingsonderzoek, dus waarschijnlijk wederom een proefschrift uit de Freudenthal-groep dat niet wetenschappelijk mag heten.]

3.2.2 Developmental research

Eigenlijk bedoelt HF onderscheid te maken tussen traditioneel onderwijsonderzoek, zoals in de voorgaan sectie behandeld, en ontwikkelingsonderzoek zoals door hem en zijn groep ontwikkeld. Ik kan het nauwelijks geloven, omdat het Utrechtse ontwikkelingsonderzoek niet voldoet aan minimale eisen van wetenschappelijk onderzoek: het is op zijn best verkennend onderzoek, geen toetsend onderzoek. Dit wordt dus een belangrijke sectie, want dat ontwikkelingsonderzoek is het handelsmerk van wsikobas tot en met realistisch rekenen. Het is dus van belang hoe de meester zelf dit ontwikkelingsonderzoek positioneert, reflecterend op de decennia voorafgaand aan 1989.

1. Change

HF: Alles verandert voortdurend. Overslaan.

2. Errors

HF: Onderzoek naar wiskundeonderwijs is vaak onderzoek naar de fouten van leerlingen. Overslaan.

3. The cradle of developmental research

Nutteloze overpeinzing. HF heeft het in de gaten: “Is this simply a bunch of trivialities?” Overslaan.

4. R & D

Is het nodig hier commentaar bij te geven? Shulman (1986) geeft een verstandige analyse van een fenomeen dat ook HF hier voor ogen kan hebben gestaan: dat over de decennia heen de vakinhoudelijke kant van onderwijs uit het zicht dreigt te verdwijnen, en dat dit mede is te danken aan onderwijsonderzoek dat stelselmatig ophoudt zodra het aan vakinhoud dreigt te raken. Maar dit kan natuurlijk geen argument zijn om dan maar het omgekeerde te bepleiten: uitsluitend aandacht voor de vakinhoudelijke kant van het onderwijs, zonder daar verder onderzoek naar te doen.

L. S. Shulman (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15 #2, 4-14. pdf

5. Cyclicity

Freudenthal-taal. Het is een treffende kenschets van wat ontwikkelingsonderzoek voor HF betekent. Dat ontwikkelingsonderzoek staat bij HF ook een tree hoger op de ladder van aanzien dan traditioneel onderwijsonderzoek. Is het bij HF dan ook wetenschappelijker dan dat gewone onderwijsonderzoek, eerder dan het omgekeerde?

6. Proof by process

Dit lijkt een veelbelovende titel, maar pas op: dat iets is ontwikkeld tot een werkbaar instrument betekent nog niet dat het als instrument beter werkt dan het oude instrument dat het moet gaan vervangen. Daar zal toch een vergelijkend experiment voor nodig zijn, iets dat typisch buiten het bereik van het Freudiaanse ontwikkelingsonderzoek valt. Ik ben dus benieuwd wat deze korte paragraaf op gaat leveren.

Helaas, in deze paragraaf een verwarde uiteenzetting over kennis en het belang van het denkproces dat tot die kennis leidde. Laat Popper het maar niet horen. Nou ja, wat een nonsens. Een theoretisch belangwekkend idee is precies dat: theoretisch belangwekkend. De weg waarlangs onderzoeker F. tot dat idee is gekomen, als hij/zij dat al helder zou weten, is van weinig of geen belang. Niet zo bij HF.

Op een enkel punt kan ik wel meegaan in deze gedachte van HF: ik wil graag begrijpen hoe het heeft kunnen gebeuren dat Nederland zo in de greep van het realistisch rekenen is geraakt, dat het tot economische mega-schade kan leiden. Want dergelijke blunders kunnen we ons niet al te vaak permitteren. Maar hier gaat het er niet om het proces te begrijpen omdat anders het product (realistisch rekenen) niet bruikbaar zou zijn. Dit laatste lijkt me onzin, maar het is wel wat HF beweert, zie deze tekst uit de laatste alinea, vul ‘realistisch rekenen’ in voor ‘product’:

7. Dissemination as an agent of synthesis

Met dit citaat alleen al plaatst HF zich met zijn ontwikkleingsonderzoek vierkant buiten de wetenschap. Maar het lijkt me wel een treffende korte beschrijving van wat de Freudenthal-groep in feite enkele decennia met succes heeft gedaan: publiceren, overdrijven, volgelingen kweken. Ontwikkelingsonderzoek rechtvaardigt zichzelf, in een perfecte tautologie. In de woorden van Freudenthal:

Nederland heeft zich compleet laten bedriegen door deze permanente reflectologen. Natuurlijk zijn er geen vanzelfsprekende ‘harde feiten’ in het ontwikkelingsonderzoek van HF en de zijnen: alles is wat de ontwikkelingsonderzoekers hebben willen zien of hebben gemeend te zien. Over dergelijke ongewapende waarneming is een kort en hard oordeel mogelijk: onwetenschappelijk.

8. The landscape

Hoe fantastisch! Ongelooflijk dat dit onderzoekmodel niet door heel de wereld is omarmd! Stupid world.

9. A bit of history

Over het IOWO, en zijn doodvonnis.

Dit is een zeldzame plaats in de publicaties van HF en zijn groep waarin melding wordt gemaakt van het ontbreken van toetsend empirisch onderzoek — control experiments.

Een associatie die ik bij deze passages maar niet uit mijn hoofd krijg: HF laat niet af om andere onderzoekers kwade trouw in de schoenen te schuiven: zij zouden er alles voor over hebben om maar brood op de plank te houden. Dus ook hun wetenschappelijke integriteit overboord zetten.

Jawel, ik weet heel goed wat het is om met opheffing van je werkplek te worden bedreigd. Ik wil daar absoluut niet makkelijk over doen. Maar pot en ketel kunnen in Utrecht wel iets vriendelijker met elkaar omgaan dan uit de geschriften van de pot blijkt.

10. Developmental research — a conclusion

Het nut van onderzoek is verandering; “ .. how far should research participate in change?” Het credo van HF is dan:

3.3 Practice of mathematics education

3.3.1 Practice

3.3.2 A background of competence

3.3.3 Taught and learned — the subject matter

3.3.4 Taught and learned — the agents

3.3.5 Taught and learned — interlaced

3.3.6 Change

3.3.7 The agents of change

3.3.8 Mathematics for all

Hans Freudenthal ('40-'45/1975). De avonturen van Folie Antje. In Feestboek. Prof. dr. Hans Freudenthal 70 jaar. Mathematisch Instituut/IOWO.

De avonturen van Folie Antje is een verhaal voor zijn kinderen, afgedrukt op de oneven pagina’s van de feestbundel. Op de linkerpagina’s citaten uit tal van publicaties van HF. Een kostelijk boek. Ook zonder tijd om het in zijn geheel door te nemen, het boek willekeurig openslaand, stuit ik op een interessante waarneming van HF. Hoewel ik niets uit het boek mag overnemen zonder toestemming, toch deze passage op blz. 66. Over mechanica, —in het onderwijs.

Het bovenstaande vin dik prachtig. Maar niet als eindpunt van meningsvorming, maar als beginpunt van onderzoek. Want er valt natuurlijk wel een en ander af te dingen op de kritiek van HF. Hij doet hier achter elkaar uitspraken die niet zonder meer duidelijk zijn, en die na verduidelijk op zijn minst toetsbaar gemaakt kunnen worden. En ook moeten worden. Misschien bedoelt HF juist die imperatief: dat we niet te makkelijk moeten denken dat het zo wel kan met de didactiek en met de inhoud van een schoolvak.

Hans Freudenthal (1987). Schrijf dat op, Hans. Knipsels uit een leven Meulenhoff.

HF noemt ergens (China lectures, 1991?) zijn Mathematics as an educational task zijn filosofie van de wiskundedidactiek. Zie het volgende citaat, waar HF de filosofie van het realistisch rekenen — hij noemt het zelf een filosofie — glashelder neerzet, en het een ancestry geeft die terugaag tot begin zestiger jaren, ruim voor de aanvang van Wiskobas.

Let op dat ‘realiteit’ hier gewoon realiteit is, niet iets in de verbeelding van de leerling. De latere interpretatie van het realistische van realistisch rekenen (bv. Koeno Gravemeijer) als iets cognitiefs vindt hier bij HF bepaald geen ondersteuning.

Het probleem met teksten zoals geciteerd: het klinkt heel aardig, maar wat stelt het eigenlijk voor? Dat elimineren van ruis, is dat iets dat in het onderwijs al aan de orde moet zijn, of hoort dat in het beroep van de rekenaar/wiskundige thuis? Rijke contexten zien er prachtig uit, bijna als technologische gadgets, maar in welk onderwijskundig ontwerp passen ze dan? Of wordt hier de didactiek ondergeschikt gemaakt aan die zogenoemd rijke contexten? En dan die vormende waarde: wanneer heeft iets vormende waarde, als HF dat zegt, of wanneer die waarde empirisch aantoonbaar is?

Een wiskunde binnen de realiteit: dat moet hetzelfde idee zijn als dat van wiskunde in menselijke maat, wiskunde als mensenwerk. Dat is allemaal mooi, maar nog duizend schakels verwijderd van een bewezen doeltreffende en doelmatige wiskundedidaktiek.

Over Hans Freudenthal

Nellie Verhoef & Ferdinand Verhulst. Hans Freudenthal als docent en collega. NAW 5/11 nr. 1 maart 2010, 54-56.pdf.

• “Checkte hij bij wiskundigen zijn ideeën over wiskundeonderwijs?
  Kalmijn: Nee, dat waren gescheiden werelden, hij stapte zo van de ene in de andere.
  Springer: Daar heeft hij met mij nooit over gesproken.”
• Duistermaat: “Hijwas zo gewend aan bepaalde inzichten en ook basisvaardigheden dat hij zich niet kon voorstellen dat iemand die niet had. Rekentafels oefenen, niet nodig. Die kende je gewoon. Toch is het de vraag of hij het met de huidige ontwikkeling van het rekenonderwijs eens zou zijn geweest. Begrip stond bij hem bovenaan en ook dat het begrip aansluit bij de belevingswereld van het kind. Er moest echter wel feedback zijn, hij voerde niet voor niets werkcollege’s in, er moest interactie met de practicumleiders komen. Een stelregel van hem was: wiskunde is een doevak.”

Sacha la Bastide-van Gemert (2006). “Elke positieve actie begint met critiek” Hans Freudenthal en de didactiek van de wiskunde. Proefschrift Groningen (promotoren: Van Berkel, Van Maanen) pdf

Hans ter Heege (2005). Freudenthal als eerste redacteur van ‘Educational Studies in Mathematics’. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 17-18. pdf

Rob de Jong & Edu Wijdeveld (2005). De ‘Kolommen’ van Freudenthal. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 23-30. pdf

Martin Kindt (2005). Wat te bewijzen is (30). Vaste rubriek in de ‘Nieuwe Wiskrant’. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 31-35. pdf

Tonny A. Springer (2005). H. Freudenthals wiskundige werk. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 36-40. pdf

Frederik van der Blij (2005). Afstandsonderwijs. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 41-45. pdf

• Over Lincos, de kunsttaal die Freudenthal heeft ontworpen

Marjolein Peltenburg (2005). ‘Common sense’ rekenen-wiskunde. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 51-54. pdf

Dolly van Eerde (2005). Wiskunde en psychologie - de brug en de kloof tussen Freudenthal en Van Parreren. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 55-63. pdf

Ed de Moor (2005). De meetlijn van Freudenthal. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 69-75. pdf

Marja van den Heuvel-Panhuizen (2005). Twee ‘didactikids’ over de lege getallenlijn - Freudenthals observaties als inspiratiebron. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 82-89. pdf

Hans ter Heege (2005). Over memoriseren — ontwikkelingen in het onderwijs in vermenigvuldigen —. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. pdf

Kees Buijs (2005). Wiskunde leren — een kwestie van steeds gezonder verstand —. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. pdf

Koeno Gravemeijer (2005). Revisiting “Mathematics education revisited”. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. pdf

Fred Goffree & Huub Jansen (2005). Professor Freudenthal op de pedagogische academie. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 114-122. pdf

Rijkje Dekker (2005). Gebruik je gezond verstand! In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 123-125. pdf

Dat is mooi, Rijkje, maar dat is typisch niet wat in de Freudenthal-groep gebeurt, tenzij het literatuur uit de eigen groep is.

Fred Goffree & Huub Jansen (2005). Professor Freudenthal op de edagigische academie. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 114-122. pdf

Jo Nelissen (2005). Stilstaan bij enkele grondgedachten uit Freudenthals laatste werk - een recensie in revisie - . In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 126-128. pdf

Arthur Bakker (2005). Celia Hoyles on Freudenthal - an interview. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 129-131. pdf

Ed de Moor (2005). HF en de NVORWO. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 132-134. pdf

Adri Treffers (2005). De (on)navolgbare Freudenthal. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. pdf

Dit is een belangrijk artikel voor wie zicht wil krijgen op de werkwijze van het FI, en ik zal het annoteren met zowel een blik op de tekst, als aandacht voor wat er juist niet in de tekst staat. Denk bij dat laatste aan correcte psychologie (geen amateur-psychologie) (een behoorlijk theoretisch kader dus) en behoorlijke opvattingen over wat het is om wetenschappelijk verantwoord te werken.

Treffers is openhartig over een persoonlijk gesprek tussen Freudenthal en hemzelf, in 1989, waarin Freudenthal zijn twijfels uit over zijn eigen bijdrage aan de ontwikkeling van het rekenonderwijs. Treffers volgt dat op met een beschouwing over de invloed die Freudenthal volgens hem heeft gehad. In dit verband wijs ik nog op de opmerking van de biografe van Freudenthal: dat hij het IOWO ook zag als een mogelijkheid om zijn gedachtengoed te verspreiden. Voor een wetenschapper is dat laatste een beetje wonderlijk: het is vanzelfsprekend dat de wetenschapper de resultaten van zijn onderzoek verspreidt, waarom dan benadrukken dat je belang hecht aan het verspreiden van je eigen gedachtengoed? Het gaat toch niet om een sectarische groep?

Hans Freudenthal heeft bij zijn leven geen gelegenheid onbenut gelaten om academische collega’s uit andere disciplines te beschimpen, kleineren en beledigen. Je zou denken dat Treffers daar plaatsvervangend een excuus voor aan gaat bieden. Maar nee hoor, het eerste citaat dat hij geeft (p. 135) is meteen zo’n scheldpartij. Ik hoop hier verder geen woorden aan vuil te hoeven maken.

De aanvang van het IOWO. Wiskobas was toen al een heel netwerk van enthousiaste direct en indirect bij het rekenonderwijs betrokkenen. Het is een beweging. Dat is wel een heel bijzondere situatie, een situatie ook waar Freudenthal zelf part nog deel aan had, anders dan dat hij deze beweging een institutionele versterking en een onderkomen kon bieden, dankzij staatssecretaris Grosheide die het dufde te financieren (zouden niet tal van andere clubs ook om zo’n instituut gaan vragen? Onbetaalbaar).

Wat was de bijdrage van Freudenthal aan het ontwikkelingswerk in de eerste jaren van het IOWO, waar de nadruk op thema’s lag? (Thema = een specifieke context, daar komt het wel op neer). Treffers citeert nonsens uit ‘Mathematics as an Educational Task’ en zegt dan: “:Het is zonneklaar dat de geëntegreerde, thematische benadering van het reken-wiskundeonderwijs zeer wel bij deze grondgedachte over mathematiseren past, of sterker, er zelfs door gestimuleerd wordt.” Wat is dan de nonsens die zo’n wonderbaarlijke werking heeft:

Knap van Treffers dat hij weet wat hier staat. Ik kan er geen touw aan vast knopen, dus ik pak het boek van Freudenthal er maar even bij. Dat helpt niet echt. Ik weet dat globaal versus locaal Freundenthal-jargon is, van het soort dat ook bij Treffers weer is terug te vinden in zijn onderscheid tussen horizontaal en verticaal mathematiseren, een overbodige en pseudo-wetenschappelijke categorisering. Dit citaat van Freudenthal, en de betekenis die Treffers eraan geeft, illustreert knap wat het probleem is met het theoretisch kader van het realistisch rekenen: dat ontbreekt of bestaat uit vage bespiegelingen. Kijk, het gegeven citaat is nu zo’n voorbeeld van een psychologische uitspraak die bestaat uit psychologische flauwekul. Tegelijk is het een claim op de werkelijkheid: zo zit die in elkaar, en niet anders. Maar waar is het experimentele bewijs? Tja, natuurlijk, een onzinnige uitspraak over de werkelijkheid zal natuurlijk altijd empirische ondersteuning moeten ontberen, maar de bedoeling van de schrijver was een andere, in zijn wereld is deze uitspraak zinvol, zonder dat er een empirische grond voor wordt gegeven die volgens redelijke wetenschappelijke criteria voorlopig kan voldoen.

Treffers zit er niet mee: de empirie ligt immers in uitgewerkte thema’s, zoals deze als ‘IOWO-snapshots’ zijn gepubliceerd in Educational Studies in Mathematics, 7.

Kijk eens aan, eindelijk een concrete verwijzing naar de bron van een RR-idee. Het citaat laat ook een probleem zien dat typisch is voor veel FI-publicaties: een overmaat aan verwijzingen naar eiegn werk uit de FI-stal, dat nogal eens moeilijk is te verkrijgen. Dat laatste probleem wordt dan weer verlicht door de rijke FI-traditie van telkens weer herhalen en telkens weer andere publicaties, overzihcten en herdenkingen. Zo bijvoorbeeld de vijf principes van het realistisch rekenen, die Treffers hier (p. 138) opvoert als voor het eerst als zodanig vermeld (Treffers & Goffree) in 1985, een eind op weg in wat Treffers het post-Wiskobas tijdperk noemt (waarin Freudenthal zich niet meer actief bemoeit met het ontwikkelingsonderzoek). Ik zal ze kort met mijn eigen trefwoorden aanduiden:

1. contextopgaven
2. situatiemodellen
3. zelf-ontdekkend leren
4. interactief leren
5. relaties vormen binnen de stof

Ja, en daar kun je dan een vijfhoek van maken, met binnen die vijfhoek weer een vijfhoek, enzovoort. “ In 1985 waren deze studies zo ver gevorderd dat hun gemeenschappelijke opzet zichtbaar werd en in een theoretisch raamwerk van vijf onderwijsprincipes kon worden geplaatst die in steeds kleinere vijfhoekkaders van leergangen, lessenseries en lessen doorwerken (Treffers & Goffree, 1985, pag.110).” Bij dat ‘theoretisch raamwerk’ moeten we ons die vijfhoek van vijf principes voorstellen; dat zoiets in academische kring geen theoretisch kader mag heten, gaat kennelijk aan Treffers voorbij. Hij zou er geen subsidie van NWO mee hebben kunnen krijgen, zal ik maar zeggen. Je kunt er ook alle kanten mee op, met die vijf principes. Treffers geeft meteen een andere formulering van de eerste drie:

De verwijzing naar zijn 1987 is de Engelse vertaling van zijn proefschrift: ‘Three Dimensions’, waarbij dan de vraag rijst: zijn die drie niveaus gelijk aan die drie dimensies, of hoe of wat? Het valt uit te zoeken, maar waarom die moeite doen?

Dan gaat Treffers over tot bespreken van “ de wijze waarop de betreffende Wiskobasleergangen op basis van een fenomenologische en een conceptuele analyse werden ontworpen en via ontwikkelingsonderzoek in een definitieve vorm gezet.”. Ik ben een en al aandacht, want hier heb ik heel lang naar gezocht. Helaas, de korte zinnen die beide vormen van analyse beschrijven zijn tautologische algemeenheden. (p. 138-139). Er komt een voorbeeld aan de hand van het breukenonderwijs, maar ook dat is zo algemeen dat onderwijsontwikkelaar er onmogelijk mee uit de voeten kan. Ik word er, als lezer, een beetje wanhopig van, en kan alleen maar concluderen dat er in de wiskobas-groep wel erg losjes wordt getheoretiseerd en ontwikkeld. En dan kom ik weer op het bekende punt uit: de groep werkt zonder stevig theoretisch kader, en ontwikkelt dan onderwijs waarbij het enige effectiviteitscriterium lijkt te zijn of iedereen die eraan meedoet tevreden is met de gang van zaken (ontwikkelingsonderzoek). Wat kan ik aanvangen met een brede toegang, een smalle opgang, en een brede voortgang, die een praktisch uitvoerbare aanpak zouden vormen? (p. 139) Dit is onbegrijpelijk. Zolang het onbegrijpelijk is, leent het zich niet voor onderzoek. Probeer het voor onderzoek begrijpelijk te maken, te operationaliseren, en wordt iets heel anders. Maar zo loopt dan heel het theoretisch bouwwerk van realistisch rekenen leeg, ben ik bang.

Adri Treffers gunt ons in dit artikel een kijkje achter de schermen van de ontwikkeling van realistisch rekenonderwijs. Een bijzondere passage is die waarin hij beschrijft hoe Hans Freudenthal hem in 1989 onverwacht zijn persoonlijke twijfels voorlegt over de invloed die hij, Hans, op dat werk heeft gehad: ‘Was ik niet te onpraktisch, te idealistisch? Heb ik de ontwikkeling niet opgehouden?’ Treffers stelde hem uiteraard gerust. In het artikel grijpt hij dit gesprek aan om de invloed van Freudenthal op het wiskobaswerk nog eens kort aan te geven, zoals het observeren van leerprocessen, zijn aandacht voor probleemoplossen, zijn kritische blik op leerprocessen.

• • Maar we waren hem niet in alle opzichten gevolgd en dat was ook niet wat hij zonder meer wilde. Ik herinnerde Freudenthal aan een gesprek in het voorjaar van 1973 tijdens een Wiskobasbijeenkomst in Noordwijkerhout waarin hij mij op het hart drukte dat het Wiskobasteam hem niet als een onaantastbare grootheid moest beschouwen, maar dat ook zijn ideeën kritisch bezien dienden te worden. Dat is, met alle respect, precies wat we deden en waarvoor hij ons alle ruimte had gegeven: praktisch haalbare ontwerpen maken.

Ik vermeld dit alles omdat het in de terugblik van Treffers laat zien hoezeer het denken van Freudenthal en dat van zijn team overeenstemt, ondanks de ook door Treffers aangegeven verschillen, waarvan de meest opmerkelijk is gelegen in de leergang voor breukenonderwijs die Freudenthal met veel moeite had ontworpen maar die niet is uitgevoerd. Maar ik vermeld dit alles vooral om wat er NIET is gewisseld in dat gesprek tussen Freudenthal en Treffers: dat de veelheid van radicale ideeën in het programma van wiskobas en realistisch rekenen nooit empirisch waren getoetst op hun houdbaarheid, anders dan dat ze uitvoerbaar leken in de waarneming in de projectklassen. Was dàt immers niet al te idealistisch geweest? Was dàt geen risico in de ontwikkeling van het Nederlandse rekenonderwijs geworden? In 1989 werd er volop geschreven aan het nieuwe rekenprogramma voor het Nederlandse basisonderwijs dat moest berusten op de vijf uitgangspunten van het realistisch rekenen (zie bijv. voorpublicaties van De Proeve in Panama Post 1987 (pdf, resp. pdf)). Wat is hier aan de hand? Bij het lezen van mijn onderzoekliteratuur ga ik altijd uit van goed vertrouwen totdat het tegendeel is bewezen. Bij het lezen van publicaties uit het FI heb ik het aanvankelijk nog niet al te moeilijk : er wordt weliswaar heel veel beweerd, de psychologie is evident ondeugdelijk, empirisch onderzoek lijkt te ontbreken maar dat zal in het verleden dan wel gebeurd zijn, en de ontwikkelaars van het FI zijn natuurlijk ook verstandige mensen. Neem bijvoorbeeld het hierboven genoemde artikel van Treffers ‘De (on)navolgbare Freudenthal’: bij eerste snelle lezing blijkt het veel informatie te geven; bij tweede lezing blijken hele stukken tekst onbegrijpelijk te zijn, bij derde lezing blijkt ook wat aanvankelijk begrijpelijk leek, geen eenduidig te verstane boodschap te bevatten. Welnu, laat ik dan meer publicaties uit het FI bestuderen, dan zal het beeld wel verbeteren. Dan blijkt dat mijn aanvankelijke lichte onbehagen niet wordt weggenomen, integendeel: het verandert in frustratie want het blijkt steeds lastiger om het gedachtengoed van het realistisch rekenen te begrijpen, er de bronnen van te localiseren, en het eerste empirische toetsingsonderzoek te vinden. Het vermoeden rijst dat het gedachtengoed dat onder het realistisch rekenen ligt afkomstig moet zijn van Hans Freudenthal. Oké, ik ga zijn publicaties over onderwijs lezen, zoals wat hij zijn filosofie van het wiskundeonderwijs noemt: ‘Mathematics as an Educational Task', en het in de jaren 1973 en 1974 geschreven ‘Weeding and Sowing’ (1978). Het beeld dat oprijst uit de publicaties van Freudenthal, van 1968 tot 1984, op het punt van empirisch toetsend onderzoek, is onthutsend. Hij laat niet af om onderwijsonderzoek en leerpsychologie belachelijk te maken en als irrelevant weg te zetten. Oké, maar permanente belediging kan ik nog wel een tijdje leven, beschouw het als een sfeertekening. Het idee van Freudenthal is niet dat hij het onderwijsonderzoek op een hoger plan kan tillen, maar dat onderwijsontwikkeling het prima kan stellen zonder onderwijsonderzoek. Het is voldoende om scherp waar te nemen wat er in de klas gebeurt, en die informatie te gebruiken om de didactiek te verbeteren. Ik geef hierbeneden enkele typerende citaten, uit de annotaties bij Freudenthal‘s (1978) ‘Weeding and Sowing' (zie hier voor de annotaties). En zo is het gegaan met het ontwikkelen van realistisch rekenonderwijs. Tot de dag van vandaag. Het onderwijsveld is er kennelijk in goed vertrouwen van uitgegaan dat het team van Hans Freudenthal voor zijn realistisch rekenprogramma degelijk onderwijsonderzoek had gedaan over de effectiviteit en kwaliteit van dat programma, ook op middellange en lange termijn, in vergelijking tot goede traditionele methoden (zoals in Vlaanderen sinds 1990 weer in gebruik). Dat goede vertrouwen was niet gebaseerd op de werkelijkheid. Wie minder goedgelovig was, had gewoon kunnen zien dat de beweringen van de voorstanders van realistisch rekenen niet werden ondersteund door behoorlijk wetenschappelijk onderzoek naar de juistheid van die claims, en had kunnen vragen: waar is dat onderzoek? Er moeten velen zijn geweest, vooral ook leerkrachten, die hebben gezien dat deze keizer geen kleren droeg, waarom was hun argwaan niet voldoende om het team van Freudenthal te dwingen eerst hun wetenschappelijke huiswerk te doen? Ik krijg op d everdere teksten in dit artikel geen vat.

7 juni: K. Gravemeijer & J. Terwel (2000). Hans Freudenthal: a mathematician on didactics and curriculum theory. Journal of Curriculum Studies, 32, 777-796. pdf

• abstractThe main ideas in the work of Hans Freudenthal (1905± 1990), the Dutch math- ematician and mathematics educator, related to curriculum theory and didactics are described. Freudenthal’ s educational credo, ` mathematics as a human activity’ , is explored. From this pedagogical point of departure, Freudenthal’ s criticism of educational research and educational theories is sketched and ̄ eshed out. Freudenthal’ s approaches to mathematics education, developmental research and curriculum development can be seen as alternatives to the mainstream ` Anglo-Saxon’ approaches to curriculum theory.
• De auteurs laten zich meteen aardig in de kaart kijken: “Looking back from the present, it is of great interest to see how his ideas, which may at the time have seemed to embody recalcitrance for its own sake, have now become widely accepted.”
• ‘mathematizing’ De theoretische verwarring komt helder naar voren in dit fragment: “As a research mathematician, doing mathematics was more important to Freudenthal than mathematics as a ready-made product. In his view, the same should hold true for mathematics education: mathematics education was a process of doing mathematics that led to a result, mathematics-as-a-product. In traditional mathematics education, the result of the mathematical activities of others was taken as a starting point for instruction, and Freudenthal (1973b) characterized this as an anti-didac-tical inversion. Things were upside down if one started by teaching the result of an activity rather than by teaching the activity itself.” Waarom is dit wartaal: wat de expert doet wordt als norm genomen voor het leren dat de novice heeft te doen. Dat mag voor eenvoudige vormen van expertise toereikend zijn, met wiskunde hebben we toch wel iets heel gecompliceerds bij de hand, ook als het om rekenen in de eerste groepen van de basisschool gaat. Daarmee is niet gezegd dat zoiets als ‘guided reinventin’ een onzinnige didactiek is, maar het heeft bepaald een andere onderbouwing nodig dan Freudenthal geeft.
• “Freudenthal stressed that not all students are future mathematicians: for the majority, all the mathematics they will ever use will be to solve problems in everyday-life situations. Therefore, familiarizing students with a mathematical approach to this type of problem-solving deserved to be a highest priority in mathematics education. This goal could be combined with the objective of having students mathematize problem situations that would be experientially real to them.” met daarbij de volgende verbazingwekkende voetnoot: “We stress that the point of departure is not that everyday-life problems will, by definition, be experientially-real for the students, nor that experientially-real problem situations necessarily have to deal with real-life situations. This is a common misunderstanding, evoked by the term ‘realistic mathematics education’. Here, realistic is to be interpreted as referring to experientially-real, not to everyday-life reality.” Er zijn hier twee opmerkelijke zaken: (1)de zeker niet toevallige nadruk op problemen en het oplossen daarvan, en (2) de terugtrekkende beweging in de voetnoot: realistisch is niet altijd realistisch. Ad (1): onder problemen verstaat iedereen, behalve de Freudenthal-groep, de problemen in de klasse-Polya, zo te zeggen. Het uitrekenen van het aantal gereden kilometers op basis van noties van kilometerstanden heeft niets met oplossen van problemen te maken. Ad (2): het realistische is juist ingebracht in het onderwijs als reparatie van het door Freudenthal en onnoemelijk veel anderen gesignaleerde probleem dat volwassenen hun rekenkennis niet altijd te berde brengen, waar dat wel handig zou zijn (het transfer-probleem). Die experientalistische beleving van leerlingen kunnen we er maar beter helemaal buiten laten: theoretische noties die niet nodig zijn en mogelijk onjuist zijn kunnen we missen als kiespijn.
• Dan volgt een hoop in- en uitgepraat over horizontaal en verticaal mathematiseren. Pseudo-wetenschap. Nonsens van de bovenste plank. Gewichtigdoenerij. Deze nep-categorisering wordt vervolgens verheven tot de basis voor een theorie over leren: “Vertical mathematization is the most clearly visible if a student explicitly replaces his or her solution method by one on a higher level. ”
• “Such shifts can be induced by reflecting upon solution methods and underlying understanding. Whole-class discussions of solution methods, interpretations, and insights will enhance the likelihood of those shifts; especially if the problem at hand gives rise to a variety of solution methods on different levels.” Dit is de didactische armoede van het realistisch rekenen kernachtig samengevat. De kromme theorie verheven tot didactisch instrument. Dan volgen nog passages over hoe HF denkt over werken in kleine groepen, en ga zo maar door. Geen moment wordt het denken van de vereerde HF gekoppeld aan enige empirische toetsing. (Die zou voor werken in kleine groepen best positief uit kunnen vallen, daar niet van).
• “Criticism of educational research To some, Freudenthal is perhaps better known for his criticism of ‘traditional’ educational research than for his own ideas and theories. In the Netherlands, he was a dreaded opponent of anyone in the educational research community who used an empiricist methodology and over-sophisticated statistics. He used his powers as a mathematician to show the many flaws in the manner in which mathematics (i.e. statistics) was used in many examples of ‘hard’ empirical research.” Laat me niet lachen. Met wie is HF dan ooit een serieus debat aangegaan? In zijn boeken noemt hij geen namen, behalve waar hij zijn kritiek in artikelen heeft neergelegd (zoals op Bloom, op de IEA).
• “Freudenthal’ s opposition to much educational research was related to his conviction that discontinuities in the learning process are essential.” Moeten leerpsychologen en onderwijsonderzoekers daar echt serieus op ingaan? Dat kunnen Gravemeijer en Terwel toch niet menen.
• “The main criticism of the RME approach is that it is often impossible to proceed from experientially real situations to &lsquomathematics’. Reinvention, in this view, is a waste of time (Verstappen 1991, Keune 1998).” Het probleem is overal dat litertuurverwijzingen zonder pagina-opgaven zijn, ik mag zelf dus gaan zoeken. Verstappen is kennelijk een obscure publicatie. Frans Keune, oratie 1998, heel goed, steen in de vijver. Nog beter: zijn oratie in 2010. Met dank aan Koeno en Jan voor het attenderen.
• “ These criticisms have to be mentioned, but it must also be noted that the opponents of Freudenthal’s ideas are short on empirical evidence for their point of view. While various teaching experiments have shown the value of the RME approach (de Lange 1987, Nelissen 1987, van den Brink 1989, Streefland 1990), the outcomes of several research studies into the effects of mathematics curricula inspired by the ideas of Freudenthal, show clearly that learning mathematics in real-life contexts in heterogeneous learning groups is feasible and effective (Terwel 1990, 1999, Dekker 1991, Terwel et al. 1994, Perrenet 1995, Hoek et al. 1997, 1999, Hoek 1998, Roelofs and Terwel 1999).” Kijk eens aan, wat een empirisch bewijs, dat heeft de commissie-Lenstra allemaal gemist?

Wil Oonk (2005). De verbeelding van het mathematisch-didactisch denken. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 145-150. pdf

Edu Wijdeveld (2005). Freudenthals vervulde toekomstvisie. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. 157-160. pdf

IOWO (1976). Five years IOWO. On H. Freudenthal’ retirement from the directorship of IOWO. IOWO snapshots. Educational Studies in Mathematics, 7 special issue summary

Leen Streefland (Ed.) (1994/..). The legacy of Hans Freudenthal. Springer. [reprinted from Educational Studies in Mathematics, 1994, vol. 25, #1, 2]

Interessante verwijzingen die ik nog wil natrekken:

Polya, G. (2002). The goals of mathematical education (1) en (2). Mathematics Teaching, 181/182, 6-8 en 42-45.

Lijst van artikelen van Hans Freudenthal

[Onderstaande lijst is genomen uit de China Lectures. Ik moet hem nog bewerken, corrigeren, opschonen. Ik heb de beschikking gekregen over een tamelijk volledige verzameling van overdrukken van tijdschriftartikelen, waarvoor mijn dank aan de schenker. Ik kan dus ook de artikelen uit de moeilijk verkrijgbare tijdschriften in mijn onderzoek betrekken, en zal ze om te beginnen kort annoteren.]

Hans Freudenthal (1957). Zur Geschichte der Grundlagen der Geometrie. Nieuw Archief voor Wiskunde derde serie deel V no. 3, 105-142.

Hans Freudenthal (1958). Ist die mathematische Statistik Paradox? International Review of Philosophy of Knowledge, 12, 1-15.

Hans Freudenthal (1958). Didactiek of organisatie. Universiteit en Hogschool, 4, 225-232.

• Freudenthal klaagt zich af. Wie wil weten wat het beeld is dat Freudenthal heeft van de organisatie van universitaire studies en hoe studenten daarmee omgaan, wordt hier volop bediend. Dit stuk staat los van het didactische werk van Freudenthal.

Hans Freudenthal (1958). Report on Methods of Initiation into Geometry Subcommittee for the Netherlands of the International Commission on Mathematical Instruction. J. B. Wolters.

• Hans Freudenthal: Preface 5-7. Zie ook zijn artikel in Euclides, 1959.
• T. Ehrenfest-Afanassjewa: Wie soll man die Geometrie den Anfängerns beibringen? 26-30
• P. G. J. Vredenduin: A method of initiation into geometry at secondary schools 31-45
• D. N. van der Neut: A method of initiation into geometry at secondary schools 46-49
• S. J. Geursen: A method of initiation into geometry at secondary schools 50-63
• H. Turkstra: Psychological comment on the preceding contribution 64-66
• P. M. van Hiele & D. van Hiele-Geldof: A method of initiation into geometry at secondary schools 67-80
• P. J. van Albada: An introductory course of geometry 81-96
• L. N. H. Bunt: A method of initiation into geometry at secondary schools 97-106
• Bruno Ernst: A method of initiation into geometry at advanced primary schools 107-109
• J. K. Timmer: A method of initiation into geometry at advanced primary schools 110-111
• G. Krooshof: A method of initiation into geometry at lower technical schools 112-117

Hans Freudenthal (1959). Report on a comparative study of methods of initiation into geometry. Euclides, 34, 289-306.

• pdf van publicatie van dit artikel in L’Enseignement Mathéque, 5, p. 119-
  • Karakteristiek Freudenthal-proza: hij schrijft maar door, het is niet altijd duidelijk wat hij precies bedoelt, er is geen begin van empirische onderbouwing van zijn uitspraken over wat er in het onderwijs gebeurt. Hij haalt alles overhoop, zodat er geen beginnen aan is om er kritische aantekeningen bij te maken. En mijn laatste opmerking is van een type dat hij zelf ook vaak maakt, in bespreking van andermans werk. Afijn, op deze webpagina zijn voldoende concrete voorbeelden gegeven van onvoldragen uitspraken van Freudenthal, en waarom dat zo is.

  
  

  ---

  Hans Freudenthal (1959). Einige Züge aus der Entwicklung des mathematischen Formalismus I Nieuw Archief voor Wiskunde, 3, 1-9.

  • Een voordracht voor Nederlandse studieadviseurs die een vacantiecursus volgen. Waarschijnlijk zitten hier een aantal thema’s in die in zijn Mathematics as an Educational Task terugkomen. O.a.: lezen doen we van links naar rechts (p. 3, 5); interessant, dat komt later bij leden van de Freudenthal-groep terug als argument waarom kolomrekneen zoveel beter is dan het gewone algoritme.

  
  

  ---

  Hans Freudenthal (Ed.) (1962). Report on the relations between arithmetic and algebra. Subcommittee for the Netherlands of the International Commission on Mathematical Instruction. J. B. Wolters.

  • Joh. H. Wansink: Arithmetic and algebra in the Dutch school system. 5-19
  • Hans Freudenthal: Logical analysis and critical survey 20-41
  • W. J. Bos: Stimulating and motivating the student 42-55
  • P. M. van Hiele: The relation between theory and problems in arithmetic and algebra 56-63
  • Joh. H. Wansink: The extensions of the number concept; the properties of the operations 64-90
  • H. Streefkerk: The introduction and the use of lettters and brackets in algebra 91-98
  • P. G. J. Vredenduin: Functions and relations 99-110
  • W. J. Brandenburg: The mpact of the entrance examination on the mathematics teaching in the first grade of the secondary school 111-115
  • P. G. J. Vredenduin: Test classes 116-121
  • List of textbooks 122-123

  
  

  ---

  Hans Freudenthal (1963). La structure logique de la mécanique statistique (Analyse d&rsqu;un ouvrage récent). Nieuw Archief voor Wiskunde derde serie deel XI no. 3, 95-109.

  Dit is een boekbespreking. Waar ik benieuwd naar ben: gaat HF hier even onterecht tekeer als tegen psychologen en onderwijsonderzoekers? De eerste bladzijde lijkt het er wel op: hij begint met een op ijdele toon gezette beschouwing. Meerdere keren de expliciete vermelding dat hij niet bedoelt om kritiek te leveren, maar . . . . .

  
  

  ---

  Hans Freudenthal (1964?). Gebruik en misbruik van de statistiek. Geloof en Wetenschap. Orgaan van de Christelijke Vereniging van Natuur- en Geneeskundigen in Nederland.[Herdruk van de voordract die prof. dr. H. Freudenthal maandag 20 mei 1963 gehouden heeft in de ‘Sectie van Natuur- en Geneeskundige Wetenschappen van het Provinciaal Utrechts Genootschap van Kunsten en Wetenschappen’ in het Universiteitsgebouw, Domplein te Utrecht. Ze is gepubliceerd in het versag van het verhandeld, gedrukt door Kemink en Zoon .V., 1964, blzz. 41-55. De inhoud daarvan leek de Redactie van zoveel belang voor de lezers van ns blad, waarin aan de begrippen ‘toeval’ en ‘toevallig’ meermalen aandacht is besteed en die juist in de beschouwingen van prof. Freudenthal zo’n grote rol splen, dat zij hem en de directie van het P.U.G. verlof vroeg de voordracht in ‘Geloof en Wetenschap’ te mogen overnemen.]

  • Eigenlijk een pamflet tegen het creationisme. Het gaat dus niet over misbruik van statistiek door politici, of psychologen .... .

  
  

  ---

  Hans Freudenthal (1974). The crux of course design in probability. Educ. Stud. Math. 5, 261-277.

  • Dit is een interessant artikel, omdat het onderwerp van het te ontwerpen onderwijs Freudenthal vertrouwd is, hij heeft er ongetwjfeld zelf onderwijs in gegeven. Het is werkelijk fantastisch om te zien hoe Freudenthal hier een uiteenzetting geeft, uitsluitend gebaseerd op eigen wijsheid. Dat is ofwel bovenmenselijk, ofwel onzin. Is er een derde mogelijkheid? Zie voor relevante publicaties op het hier door Freudenthal aangesneden thema van het ontwerp van onderwijs over kansen en statistiek ook mijn pagina over wiskundeonderwijs.

  
  

  ---

  Hans Freudenthal (1974). Sinn und Bedeutung der Didaktik der Mathematik. Zentralblatt für Didaktik der Mthematik, 74, 122-124.

  • Hier schrijft Hans Freudenthal in kort bestek een hoop onzin bij elkaar. Daaruit citeren zou op zijn plaats zijn, maar dan moet ik ongeveer heel het artikel citeren. De auteur gaat hier als een onvervalste goeroe te werk. Ik geef de kopjes van de paragrafen:
    1. Wissenschaft
    2. Wissenschaft vom Lernen
    3. Beobachten und Analysieren
    4. Etwas Neues?
    5. Versuche
    6. Forschung und Lehre
  • De thematiek is dezelfde als in zijn Weeding and Sowing, dat hij eerst in het Duits in 1974 al ongeveer heeft afgerond, als ik me goed herinner.

  
  

  ---

  Hans Freudenthal (1978). Cognitieve ontwikkeling — kinderen geobserveerd. Prov. Utrechts Genootschap, Jaarverslag 1977, 8-18.

  • Deze voordracht is knullig — een eufemisme voor voor een niet-psycholoog die expliciet pretendeert wel even de maar wel over zijn geliefde thema zoals observeren van leren van kinderen (dat gaat met sprongen). Omdat het Nederlands is, heeft de lezer niet de handicap terug te moeten vertalen uit onhandig Engels wat Hans Freudenthal misschien eerst in het Duits heeft genoteerd. Dit is rechtstreeks. Voor de thema’s observeren en leertheorie is deze publicatie dus een klein kerndocument.

  
  

  ---

  Hans Freudenthal (1979). Telkens vijftig jaren. Nieuw Archief voor Wiskunde derde serie deel XXVII no. 1, 30-49.

  
  

  1. De algebraische en de analytische visie op het getalbegrip in de elementaire
  wiskunde, Euclides 24 (1948), 106-121.
  2. Kan het wiskundeonderwijs tot de opvoeding van het denkvermogen bijdragen?
  Discussie tussen T.Ehrenfest-Afanassjewa en H.Freudenthal. Wiskunde
  Werkgroep WVO. Purmerend 195 1.
  2a. Erziehung des Denkverm.gens (Diskussionssbeitrag), 3 6 (1954), 87-89. --
  Translated extract from 2.
  3. De begrippen axioma en axiomatiek in de wis- en natuurkunde, Simon Stevin
  4. Initiation into Geometry, The Mathematics Student 24 (1956), 83-97.
  5. Relations entre l’enseignement secondaire et l’enseignement universitaire en
  HoIlande,Enseignement math.matique 2 (1956), 238-240.
  6. De leraarsopleiding, Vernieuwing 133 (1956), 173-180.
  7. Traditie en Opvoeding, Rekenschap 4 (1957), 93-103.
  11. Logica als methode en als onderwerp, Euclides 35 (1960), 241-255.
  11a.Logik als Gegenstand und als Methode, Der Mathematikunterricht 13
  12. Trends in modem mathematics, ICSU Review 4 (1962), 54-61.
  12a.Tendenzen in der modemen Mathematik, Der math.u. naturw. Unterricht 16
  14. Enseignement des math.matiques modernes ou enseignement moderne des
  15. Was ist Axiomatik und welchen Bildungswert kann sie haben?, Der Mathe-
  16.The Role of Geometric Intuition in Modem Mathematics, ICSU Review 6
  16a.Die Geometrie in der modemen Mathematik, Physikalische Bl.tter 20
  17. Bemerkungen zur axiomatischen Methode im Unterricht, Der Mathematikun-
  18. Functies en functie-notaties, Euclides 41 (1966), 299-304.
  19. Why to Teach Mathematics so as to Be Useful?, Educ. Stud. Math. 1 (1968), 3-8
  
  20. (ed.) Panel discussion, Educ. Stud. Math. 1 (1968), 61-93.
  21. L’int.gration apr.s coup ou . la source, Educ. Stud. Math. 1 (1969), 327-333.
  22.The Concept of Integration at the Varna Congress, Educ. Stud. Math. 1
  (1969). 338-339.
  23. Braces and Venn Diagrams, Educ. Stud. Math. 1 (1969), 484-492.
  24. Further Training of Mathematics Teachers in the Netherlands, Educ. Stud.
  Math. 1 (1969), 184-492.
  25.A Teachers Course Colloquium on Sets and Logic, Educ. Stud. Math. 2
  (1969), 32-58.
  26. (ed.) ICMI Report on Mathematical Contests in Secondary Education (Olym-
  piads), Educ. Stud. Math. 2 (1969), 80-114.
  27. Allocution au premier Congr.s International de l’Enseignement Math.ma-
  tique, Lyon 24-31 ao.t 1969, Educ. Stud. Math. 2 (1970), 135-138.
  28. Les tendances nouvelles de l’enseignement math.matique, Revue de l’ens.
  sup. 46-47 (1969), 23-39.
  29. Verzamelingen in het onderwijs, Euclides 45 (1970), 321-326.
  30. The Aims of Teaching Probability, The Teaching of Probability & Statistics,
  ed. L.R.de, Stockholm 1970,151-167.
  31. Introduction, New Trends in Math. Teaching II, UNESCO, 1970.
  32. Un cours de g.om.trie, New Trends in Math. Teaching II, UNESCO, 1970,
  309-314.
  33. Le langage math.matique. Rem. S.m. Internat. E.Galion, Royaumont 13-20
  août 1970, OCDL, Paris 1971.
  34. Geometry between the Devil and the Deep Sea, Educ. Stud. Math. 3 (1971),
  413-435.
  35. Kanttekeningen bij de nomenclatuur, Euclides 47 (1972), 138-140.
  36. Nog eens nomenclatuur, Euclides 47 (1972), 181-192.
  37. Strategie der Unterrichtserneuerung in der Mathematik, Beitr.ge z. Mathematikunterricht
  1972,4145.
  38. The Empirical Law of Large Numbers, or the Stability of Frequencies, Educ.
  Stud. Math. 4 (1972), 484-490.
  39. What Groups Mean in Mathematics and What They Should Mean in Mathematical
  Education, Developments in Mathematical Education, Proceedings
  of the Second Internazional Congress on Mathematical Education, 1973.
  40. Mathematics as an Educational Task, Reidel, Dordrecht, 1973.
  40a. Mathematik als p.dagogische Aufgabe I, 11, Klett, Stuttgart, 1973.
  41. Mathematik in der Grundschule, Didaktik d. Math 1 (1973), 2-11.
  42. Nomenclatuur en geen einde, Euclides 49 (1973), 53-58.
  43. Les niveaux de l’apprentissage des concepts de limite et de continuit.. Accad. Linc. 1973, Quad. N. 184., 109-115
  44. De Middenschool, Rekenschap 20 (1973), 157-165.
  45. Waarschijnlijkheid en Statistiek op school. Euclides 49 (1974), 245-246.
  46. Die Stufen im Lemproze. und die heterogene Lerngruppe im Hinblick auf die
  Middenschool, Neue Sammlung 14 (1974), 161-172.
  
  48. Mammoetonderwijsonderzoek wekt wantrouwen, Universiteitsblad U ,
  Utrecht, June 1974.
  49. Mathematische Erziehung oder Mathematik  im Dienste der Erziehung, Uni-
  versit.tswoche Innsbruck 1974.
  50. Kennst du deinen Vater? Der Mathematikunterricht 5 (1974), 7-18.
  51. Lernzielfindung  im Mathematikunterricht. Zeitschr.f.P.d. 20 (1974), 719-
  738.
  53. Soviet Research on Teaching Algebra at the Lower Grades of the Elementary
  School, Educ. Stud. Math. 5(1974), 391-412.
  54. Een internationaal vergelijkend onderzoek over wiskundige studieprestaties,
  Ped. Studi.n 52 (1975), 43-55.
  55. Wat is meetkunde?, Euclides 50 (1975), 151-160.
  56. Een internationaal vergelijkend onderzoek over tekstbegrip van scholieren,
  Levende Talen 311 (1975), 117-130.
  57. Der Wahrscheinlichkeitsbegriff als angewandte Mathematik, Les applications
  nouvelles des math.matiques et l’enseignement secondaire, CIEM conference,
  Echternach June 1973 (1975).
  58. Wandelingen met Bastiaan, Pedomorfose 25 (1975), 51-64.
  
  
  59.Compte rendu du d.bat du samedi 12 avril 1975 entre Mme Krgowska et
  M.Freudenthal, Chantiers de p.d. math. 33, 12-27.
  60. Pupils’ Achievements Intermationally Compared, Educ. Stud. Math. 6
  (1975), 127-186.
  60a.Schülerleistungen in internationalen Vergleich, Zeitschr.f.P.d. 21 (1975),
  889-910. (Translated extract from 60.)
  61. Leerlingenprestaties in de natuurwetenschappen internationaal vergeleken,
  Faraday 45 (1975), 58-63.
  62. Des probl.mes didactiques li.s au langage, Lectures d.livr.es . l’Universit.
  Paris VII (1975).
  63. Variabelen -- Opmerkingen bij het stuk van T.S.de Groot, Euclides 5 1 (1976),
  349-350.
  64. Bastiaan’s Lab, Pedomorfose 30 (1976), 35-54.
  65. De wereld van de toetsen, Rekenschap 23 (1976), 60-72.
  66. De CLM-Wiskunde -- Interview, Euclides 52 (1976), 100-107.
  67. Valsheid in geschrifte  of in gecijfer?, Rekenschap 23 (1976), 141-143.
  68. Studieprestaties -- Hoe worden ze door school en leerkracht be.nvloed? Enkele
  kritische kanttekeningen n.a.v. het Coleman Report, PedStudi.n 53
  (1976), 465-468.
  69. Rejoinder, Educ. Stud. Math. 7 (1976), 529-533.
  70. Wiskunde-Onderwijs anno 2000 -- Afscheidsrede IOWO 14 augustus 1976, Euclides 52 (1977), 290-295.
  71. Annotaties bij annotaties -- Vragen bij vragen, Onderwijs in Natuurwetenschap 2 (1977), 21-22.
  72. Creativity, Educ. Stud. Math. 8 (1977), 1.
  73.Bastiaan's Experiment on Archimedes' Principle, Educ. Stud. Math. 8
  (1977), 3-16. (Translated extract from 64.)
  74. Fragmente, Der Mathematikunterricht 23 (1977), 5-25.
  75. Didaktische Ph.nomenologie - L.nge, Der Mathematikunterricht 23 (1977),
  46-73.
  76. (Review, with J. van Bruggen) 'The Psychology of Mathematical Abilities in
  Schoolchildren' by V.A.Krutetski., Proc. Nut. Acad. Educ. 4 (1977), 235-
  277.
  77. (Review, with J. van Bruggen) 'Soviet Studies in the Psychology of Learning
  and Teaching Mathematics, vol.1-6, ed. by J.Kilpatrick and I.Wirszup’, Proc.
  Nat. Acad. Educ. 4 (1977), 201-234.
  78. Mathematik als p.dagogische Aufgabe I, 2.Aufl. Klett, Stuttgart, 1977. (See
  40a.)
  79. Die Crux im Lehgangentwurf zur Wahscheinlichkeitsrehnung, Didaktik der
  Mathematik, ed.H.G.Steiner, 435-459. Wiss.Buchges. Darmstadt, 1977.
  (Translated from 47.)
  80. Brokjes semantiek, Ped. Studi.n 54 (1977), 461-464.
  
  82.Teacher Training -- An Experimental Philosophy, Educ. Stud. Math. 8
  (1977), 369-376.
  83. La s.mantique du terme "mod.le", La S.mantique dans les Sciences, Coll.
  Acad.Int. Phil.des Sci. 1974, Arch. de l'lnstitut Int. des Sci.Th.or. 21 (1978).
  84. Bastiaan meet zijn wereld, Pedomorfose 37 (1978), 62-68.
  85. Address to the First Conference of IGPME, 29 August 1977, Educ. Stud.
  Math. 9 (1978), 1-5.
  86. Modern wiskunde-onderwijs? Goed wiskunde-onderwijs, Intermediaire 28
  april 1978.
  87. Weeding and Sowing -- A Preface to a Science of Mathematics Education,
  Reidel, Dordrecht, 1978.
  88. Change in Mathematics Education since the Late 1950's - Ideas and Reali-
  sation -- An ICMI Report, Educ. Stud. Math. 9 (1978), 75-78.
  89. Soll der Mathematiklehrer etwas von der Geschichte der Mathematik wis-
  sen?, ZDM 1978,261-270.
  90. Change in Mathematics Education Since the Late 1950's -- Ideas and Real-
  isation -- The Netherlands, Educ. Stud. Math. 9 (1978), 261-270.
  91. Vorrede zu einer Wissenschaft vom Mathematikunterricht, Oldenbourg,
  München, 1978. (Original of 87.)
  92. Nacherfindung unter Führung, Kritische Stichw.rter, ed. D.Volk, Fink Verlag
  1979,185
  93. Rings and String, Educ. Stud. Math. 10 (1979), 67-70.
  94. Lessen van Sowjet rekenondserwijskunde, Fed. Studi.n 56 (1979), 17-24.
  
  94a.Structuur der wiskunde en wiskundige structuren -- een onderwijskundige
  analyse, Ped. Studi.n 56 (1979), 51-60.
  95. Onderwijs voor de kleuterschool -- cognitief: wiskunde, De Wereld van het
  Jonge Kind 1979,143-147,168-172.
  96. Introductory Talk, Congresso Internazionale . . ., 7-15 gennuio 1976, Accad.
  Linc. 326 (1979), 15-32.
  97. Konstruieren, Reflektieren, Beweisen in ph.nomenologischer Sicht, Schriftenreihe Didaktik d. Math., Klagenfurt 2 (1979), 183-200.
  98. How does Reflective Thinking Develop?, Proc. Conference IGPME Warwick
  1979.
  99. Ways to report on Empirical Research in Education, Educ. Stud. Math. 10 (1979), 275-303.
  100.Mathematik als p.dabgogische Aufgabe II,2.Aufl. Klett, Stuttgart, 1979. (See 40a.)
  
  101a.New Math or New Education?, Prospects UNESCO 9 (1979). 321-331.
  101b.Math.matiques Nouvelles ou Education Nouvelles? Perspectives UNESCO 9,339-350.
  101e.Matem.ticas Nuevas o Nueva Educaci.n? Perspectiveas UNESCO 9,337-348.
  102.De waarde van resumerende en tweedehands informatie, Ped. Studi.n 56 (1979), 323-326.
  103.Un’experienza di insegnamento dello lege die Archimede, Collana di testi e
  documenti dell’ Instituto dell’ Enciclopedia Italiana, n.1, Roma, 245-256.
  (Translation of 96.)
  104.Weeding and Sowing - A Preface to a Science of Mathematics Education,
  Reidel, Dordrecht, 1980. (=87.)
  
  105.Invullen - Vervullen, De Pedagogische Akademie 10 (1979), 197-200.
  106.Invullen - Vervullen, Euclides 55 (1979), 61-65. (= 105 abridgded.)
  107.Onderzoek in Onderwijs, Pedomorfose 12 (1980),#47,57-66.
  108.Wiskunde en Onderwijsskunde in de Leraarsopleiding, Resonans 12 (1980), 20-21.
  109.Lemprozesse beobachten, Neue Sammlung 20 (1980), 328-340.
  110.Examenpakket en wiskundige kiespijn, Weekblad NGL 13 (1980), 438-439.
  111.Four Cube House, For the Learning of Mathematics 1 (1980). 12-13.
  112.IOWO -- Mathematik für alle und jedermann, Neue Sammlung 20 (1980), 63 3 -654.
  112a.Wat is onderzoek van onderwijs? -- Een paradigma, De Achterkant van het Moebiusband, IOWO,1980,11-15.
  112b.Legitimering in het cognitief onderwijs, De Achterkant van het Moebiusband, IOWO, 1980,106-112.
  113.Kinder und Mathematik -- Didaktik des Entdeckens und Nacherfindens: Wiskunde op de Basisschool, Grundschule 13 (1981), 100-104.
  114.Fl.cheninhalt in ph.nomenologischer Sicht, Mathematiklehrer 1981, #1,5-10/
  115.Major Problems of Mathematical Education, Educ. Stud. Math. 12 (1981), 133- 158.
  
  116.Verslaggeving over empirisch onderwijskundig onderzoek ten onzent, Ped.
  Studi.n 58 (1981), 141-143.
  117.Hovedproblemer for matematikkundervisning, Normat 29 (1981), 49-66.
  (Translation of 115.)
  118.Should a Mathematics Teacher Know Something about the History of Mathematics?
  For the Learning of Mathematics 2 (1981), 30-33. (Translation of
  89.)
  119.Roltrappen, W.Bartjens 1 (1981),#1,1-4.
  120.Binnen is’t minder, N.Wiskrant 1 (1981), #2,18-20.
  121.Mathematik, die uns angeht: IOWO, Muthematiklehrer 1981, #2,3-4,44.
  122.Wat is er met het aftrekken aan de hand?, W.Bartjens 1 (1982),#2,4-5.
  123.Fifty - fifty, N.Wiskrant 1 (1982), #3,7-8.
  124.Winkel messen und berechnen, Mathematiklehrer 1982, #1,4-5.
  125.Taalfetisjisme, Euclides 57 (1982), 297-299.
  126.Mathematik - eine Geisteshaltung, Grundschule 14 (1982), 140-142.
  
  127.Kinder und Mathematik, Arbeitskreis Grundschule, Beitr.ge ... 50 (1982). (=113.)
  128.Ik was moeder en ik doe boodschappen, W.Bartjens 1 (1982), 131-133.
  129.Differentialen - ja of neen, en zo ja, hoe? N.Wiskrant 1 (1982), #4,15-18,2 (1982),#1, 16-18.
  130.Studentenhaver, W.Bartjens 2 (1982), 214-215.
  131. Matematika kak pedagogiceskaja zadaca I, Prosvescenie 1982. (Abridged translation of 78.)
  132.=127 = 113, Beltz, Praxis.
  133.Fiabilit., validit. et pertinence, Educ. Stud. Math. 13 (1982), 395-408.
  134.Een visie op ons onderwijskundig bezig zijn. Utr. Ped. Verhandelingen 5 (1982),#3,5-13.
  
  135.De kortste weg, N.Wiskrant 2(1982), #2, 19-21.
  136.Inderdaad een oud probleem, Euclides 58 (1982), 395-408.
  137.Die Entwicklung des mathematischwen Denkens der 10-14 J.hrigen. Mathematiklehrer 1982, #3,5-13.
  138.Ganzeborden - andersom, W.Bartjens 2 (1982), 18-19.
  139.Kortste wegen op een krom oppervlak, N.Wiskrant 2(1983), #3,9-11.
  140.Wo f.ngt die Geometrie an?, Mathematiklehrer 1983, #1,3-4.
  141. Pourquoi de la g.om.trie dans l’enseignement primaire?, Coll. internastional
  sur l’enseignement de la g.om.trie. Mons 1982.
  141a.Onbekende en onbepaalde, N.Wiskrant 1 (1982) #1,25-26.
  142.Dat zie je toch z.!, W.Bartjens 2 (1983) #2/3,93-96.
  143.Heuristiek en heuristieken, N. Wiskrant 2 (1983) #4,63-66.
  144. Matematika kak pedagogiceskaja zadaca, 11, Prosvescenie, 1983. (Translation of 78.)
  145.Ga eens even schatten. . ., W.Bartjens 2 (1983) #4,186-190.
  146. Didactical Phenomenology of Mathematical Structures, Reidel, Dordrecht 1983, Math.Educ.Library I.
  
  147.Appels en Peren --- Wiskunde en Psychologie, W.Bartjens 3 (1983/4) #1,60-65.
  148.1s heuristics a singular or a plural ? , Proceedings PME 7 (1983), 38-50.
  149.Wie entwickelt sich reflexives Denken?, Neue Sammlung 23 (1983), 485-
  497.
  150.Borde en matematikl.rare veta n.got om matematikens historia?, Normat 3 1
  (1983),151-157. (Abridged translation of 118.)
  151.Rechnen -- gibt es das noch ?, Mathematiklehren, Nov.1983.
  152.Moedertaal en wiskundetaal, Moer 1983 #6,1-7.
  153.Memoriseren, W.Bartjens 3 (1983/4) #2, 124-125.
  154.L'.chec des coureurs, (abridged) Bull. APMEP 3 (1984), 106-116.
  
  
  155.Onderzoek en Onderwijs -- voorbeelden en voorwaarden, Rekenen, red. Vos,
  Koster, Kingma. Swets & Zeitlinger, Purmerend 1984,7-30.
  156..En todos les niveles: Geometria! 111 Jornadas sobra aprendizaje y ense.an-
  ca de las matematicas, Zaragoza 1983.
  157.Primarlehrerausbildung, Neue Sammlung 24 (1984), 281 - 291.
  158. Appels en Peren -- Wiskunde en Psychologie, Gebundelde opstellen, Van
  Walraven, Apeldoorn, 1984.
  159.Wie alt ist der Kapit.n ? Mathematiklehren 5 (1984), 38-39.
  160. Didactische Fenomenologie van wiskundige structuren I, OW & OC 1984.
  161.Mathematik anwenden lernen, Mathematiklehren 6 (1984), 8.
  162.CITO -- Leerdoelgerichte toetsen, N.Wiskrant 4 (1984) #1, 16-23.
  163 .Nowa matematyka czy nowe jej nauczanie? Roczniki Polskiego Towarzystwa
  matematycznego, serie II, Wiadam.sci matematyczne 25 (1983), 123-141.
  (Revised translation of 101a.)
  164.Het korstmos van de rekenboom. PANAMA Post 3 #2(1984), 17-24.
  165.Muttersprache und Mathematiksprache, Mathematiklehren 9 (1985), 3-5.
  
  166.Wie genau ist die Mathematik?, Der Mathematikunterricht 31, #2,5-13.
  167.Het is niet alles botertje tot "De Rekenboom", W.Bartjens4 (1984/5) #2,88.91. (=164.)
  168.Wat is meetkunde?, Panama Voorjaardag 1985. (=55 corrected and supplemented.)
  169.In het perspectief van het VBaO. W. Bartjens 4 (1985) #3,188-190.
  170.Wat wordt getoetst en kan dat wel ?, Euclides 60 (1985), 363-365.
  171 .The implicit philosophy of mathematics history and education, Proc. Int. Congr. Math. 1983, Warszawa, 1695-1709.
  172.Logica, N.Wiskrant 5 #1 (1985),3-10.
  173.Wissenschaftliche Struktur und Wissenschaftsstrukturen in ihrer Beziehung
  zum Unterricht (Kurzfassung), Untersuchungen zum Mathematikunterricht,
  IDM 12,6-9. Aulis Verlag 1985.
  174.La matematica nel' ed dai 14 ai 18 anni, L'insegnamento della matematica
  e delle scienze sperimentali nella scuola secondaria superiora I, 119-146,
  Fondazione Giorgi Cini, Venezia, Convegno 1983 (1985).
  
  175.Lemen -- ein unerforschtes Land, Friedrich Jahrheft IV, 134-135.
  176."Weshalb ist 4 < 9 ?" --- auch ohne zu gruseln, Mathematiklehren 14 (1986), 1-2
  177.De Wiskunde Werkgroep -- Herinneringen, Vernieuwing 45 #1-2 (1985).
  178.Didactical principles in mathematics instruction, Aspects of Mathematics
  and its Applications, Elsevier Science 1986,351-357.
  179.Algebra in der Grundschule ?, Mathematiklehren 15 (1986), 12-13.
  180.Waarom is 4 < 9 ?, WBartjens 5 (1986) #4,216-217.
  181.Brüche (ed.), Mathematiklehren 16 (1986).
  
  182.Review of: Y.Chevallard, La transposition didactique. . . , EducStud. Math. 17 (1986), 323-327.
  183.Structures scientifiques et structure de la science - qu'est-ce qu'elles signifient
  dans le d.veloppement cognitif et dans l'enseignement?, Rocznik Naukowo-
  Dydaktyczny WSP w Krakowie, Prace z Dydaktyki Matematyki III (1986), 19-39.
  
  184.Was beweist die Zeichnung?, Mathematiklehren 17 (1986). 54-56.
  185.Meetkunde van "ik zie het zo" tot "hoe weet ik het?", N.Wiskrant 6(1987)#2, 32-36.
  186.Theorievorming bij het wiskunde-onderwijs - geraamte en gereedschap, PANAMA Post 5 (1987), 4-15. (Translation of 189.)
  187.Tien jaar leerplanontwikkeling 1975-1985 - het wiskunde-onderwijs (with F.Goffree), SLO 1987.
  188.Vergeten jubilea, Euclides 62 (1987), 284-286.
  189.Theoriebildung zum Mathematikunterricht, ZDM 87,96-103.
  190.Interview, Mathematiklehren 23 (1987), 50.
  191 .Mathematics starting and staying in reality, Proc.UCSMP International Conference on Mathematics Education 1985 (1987), 279-295
  192. Ontwikkelingsonderzoek, Onderzoek, Ontwikkeling, Ontwikkelingsonderzoek, ed. Gravemeijer & Koster. OW&OC (1988), 49-54.
  193.Konstruktivismus -- Konstruktion, Rekonstruktion, Nacherfindung, Entdeckung. ZDM 88,199 - 201.
  194.Aftellen, WBartjens 8 (1988/9), 134 - 135.
  195a.Minuszahlen. Mathematiklehren 35 (1989), 13.
  195b.Einführung der negativen Zahlen nach dem geometrisch-algebraishen
  Äquivalenzprinzip. Mathematiklehren 35 (1989), 26-37.
  196.Review of: A. van Streun. Heuristisch Wiskunde Onderwijs -- Verslag van
  een onderwijsexperiment. Ned. Tijdschrift v. Opvoeding, Vorming en Onderwijs 5 (1989), 302 - 304.
  197.Logic as a subject or as an attitude. Atti degli Incontri di Logica Matematica
  5 (1989). 27-38. (XII Incontro, Roma, 6-9 aprilo 1988: La Logica Matematica
  Nella Didactica.)
  198.Observeren in het onderwijs. Nanda, lerares wiskunde. VALO (1989), 117-
  121.
  199.Sinusfuncties (with S.L.Kemme), N.Wiskrant 9 (1989), 20-22.
  200.Wiskunde fenomenologisch, PANAMA Post 8 (1989),#2, 33-40. #3, 11-20, #4,51-61.
  201 .Zur didaktischen Begründung der Umwelterziehung im Unterricht. Prax.d. Math. 32 (1990), 147-149.
  
  
  
  

  
  

  ---

  11 maart 2015 \ contact ben apenstaartje benwilbrink.nl

  ---

    http://www.benwilbrink.nl/literature/freudenthal.htm http://goo.gl/xqNOp

  ---