het titel-citaat uit: Paul van der Bijl (september 2004). Het schoolplein opmeten. Realistisch rekenen in het speciaal onderwijs. Didaktief Special Rekenen en wiskunde, in opdracht van het Freudenthal Instituut.
Bij de titel: Wat in de zeventiger jaren een praktische opstelling was — niet eerst wetenschappelijk onderzoek, maar meteen nieuw rekenonderwijs ontwerpen — is ten onrechte ook in de erop volgende decennia het credo van OW&OC/Freudenthal Instituut/FIsme gebleven.
direct naar dagelijks bijgewerkte lijst eventuele aandachtspunten
direct naar aantekeningen bij HF
Hans Freudenthal was medeoprichter van Educational Studies in Mathematics, verschenen vanaf 1968. Ik heb dit tijdschrift vanaf 1968 doorgevlooid, omdat het een belangrijk publicatiemedium voor de Utrechtse groep rond HF moet zijn geweest, en omdat die groep op de hoogte moet zijn geweest van de internationale bijdragen aan dit tijdschrift. Ook de Review of Educational Research (het tijdschrift, niet de jaarboeken) loop ik voor de laatste decennia door, omdat alle belangrijke thema’ er zeker een of meermalen in overzichtsartikelen zijn behandeld, maar dan los van de specifieke context van het rekenonderwijs. Want hier ligt één van de problemen van de RR-ontwikkelaars, is het niet: dat zij in een niche van onderwijsontwikkeling werken, zonder stevig ingebed te zijn in mainstream onderwijsonderzoek en instructietheorie. Wie artikelen wil downloaden, moet dat via de eigen UB doen. Wie daar geen toegang toe heeft: word voor twee tientjes vriend/lid van de Koninklijke Bibliotheek, dan heb je via bestand JSTOR de mogelijkheid om gewoon thuis te downloaden (van dit tijdschrift alleen artikelen ouder dan vijf jaar). Wat is JSTOR? [link, publieke toegang wel abstracts, maar niet artikelen zelf]
Not: research of education. But: research in education.” (150)
Dit is een werkdocument ter voorbereiding van een publicatie. Wil je ideeën hieruit gebruiken, neem dan contact met mij op.
stop met cultuur-relativistische beschouwing van RR tegenover alternatieven
Schematische opzet van het artikel
inhoud 1: kwalitatieve aspecten van RR-methoden in de klas
inhoud 2: rekenprestaties van Nederlandse leerlingen
inhoud 3: doel-middel omdraaiing in de rekenpraktijk
inhoud 4: doel-middel omdraaiing in de theorie van het RR
Punten die eventueel voor behandeling in aanmerking komen (een zich uitbreidende lijst)
Resultaten van RR in de RR-literatuur
Adri Treffers: 2010. Aantekeningen
Hickendorff, Van Putten, Verhelst & Heiser (2010) aantekeningen
Marja van den Heuvel Panhuizen oratie 2009 aantekeningen
Jan Karel Lenstra (Vz.) (2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. KNAW: aantekeningen
Mijn speurtocht naar de fundamenten van de RR-leerstukken heeft de afgelopen verrassende resultaten opgeleverd, tot en met de teleurstelling na close-reading van het rapport van de commissie-Lenstra dat de commissie niet in staat bleek heldere uitspraken te doen (wat de commissie uitspreekt is zeker nuttig, maar er is een probleem van wetenschappelijkheid in de RR-onderneming die niet op de horens wordt genomen). Ik wil proberen de diverse losse draden terug te vinden, en opnieuw te verbinden, in een aantal stukjes.
Kan dit de titel van het artikel worden? Het drukt uit, en hopelijk voelt de lezer dat intuïtief aan, dat het gedachtengoed van RR, of afzonderlijke uitspraken daaruit, als open contextopgave aan het Nederlandse publiek voorgelegd zijn te denken, met de vraag: is dit juist, kan dit kloppen, is het waar, is het voldoende ondersteund, is het een goede stelling, whatever. Dit impliceert de stelling dat iedere Nederlander met een behoorlijke opleiding, in staat moet zijn met de beantwooding van deze contextopgave(n) een heel eind te komen, al dan niet ‘handig’, of happend redenerend. Althans: dat is mijn stelling. Het gaat natuurlijk niet op voor alles wat psychologisch is, of filosofisch, maar dat zijn onderwerpen die ik apartzet voor een ander artikel.
Ik voer een nieuw thema in: Wat de commissie-Lenstra niet aandurfde, kan in beginsel iedere vwo-scholier met een goede handleiding argumentatieleer: onderzoek het Realistisch Rekenen op de waarde van zijn claims. Neem niets voor zoete koek of als vanzelfsprekend aan. Als Freudenthal zegt dat kolomrekenen de helft van de instructietijd bespaart, zoek uit welke bron hij gebruikt, neem uitspraken in die bron op dezelfde wijze onderhanden.
Waarom? De claims van het realistisch rekenen zijn nogal eens oppervlakkig, extreem (Freudenthal’s 50%) en idiosyncratisch (kolomrekenen, happend delen, het belang dat aan ‘handig’ rekenen wordt toegekend). Het zijn claims waar bewijsplaatsen bijhoren, bewijsplaatsen die meestal ontbreken, of niet als bewijs kunnen gelden (wat voor ontwikkelingsonderzoek geldt). Het Realistisch Rekenen, als beweging, is hierin ongetwijfeld niet uniek, maar dat het ontbreken van behoorlijke onderbouwing een stelselmatig probleem is in de historie van het RR is mij pas gaandeweg door stapels boeken duidelijk geworden. Ik kan het op basis van die kennis nu dus omdraaiien, en de lezer voorstellen meteen te beginnen met het RR op iedere stelligheid te toetsen, en dat kan vaak op heel eenvoudige wijze. Het meest eenvoudig: als er geen onderbouwing of bronverwijzing is, dan is het al heel simpel: streep erdoor. Het probleem is dat de onderzoeker dan toch wordt gedwongen zelf naar bronnen te gaan zoeken, omdat er anders meteen al weinig of niets van de leer van het RR blijft staan.
Ik ben als psycholoog opgegeleid en gevormd met het adagium dat wat je beweert, je moet onderbouwen, bij voorkeur in het psychologisch laboratorium. Ik kan geen publicaties vanuit het Freudenthal Instituut lezen zonder voortdurend op dit adagium geprikkeld te worden, en dat heeft ook tot de huidige zoektocht naar (de wortels van) het gedachtengoed van Realistich Rekenen geleid.
De lezer van dit werkdocument heeft nu een ongelooflijke hoeveelheid kritische tekst van mij gezien, over uitspraken uit RR-hoek. Daar zijn heel wat autoriteitsargumenten bij, omdat sommige idiotie een uitleg van het waarom niet waard is: er een vlaggetje bij planten moet voldoende zijn. Mijn stijl van werken is om argumenten te leveren die de lezer zelf onmiddellijk kan navoelen, of kan naslaan. Ik ben benieuwd of de lezer die transparantie heeft ervaren, en natuurlijk nog benieuwder naar argumenten die als zodanig niet overtuigen, maar worden geaccepteerd onder uitroepen dat ik wel gelijk zal hebben (niet doen). Laat iets horen.
Samenvattend: ik wil in het artikel al in de inleiding inbouwen dat we geen KNAW-commissie nodig hebben om de waarde van het Realistisch Rekenen te kunnen toetsen. Iedereen kan dat in beginsel zelf doen (dat kan in het geval van RR omdat het RR niet stevig gefundeerd blijkt te zijn; het gaat beslist niet met theorie die goed in zijn empirische vel zit), en ik wil laten zien hoe zo'n toetsing eruit kan zien. Behoorlijk gestyleerd, natuurlijk, maar die geest zou ik graag in de tekst inbrengen.
De aanleiding is het struikelen over middel-doel-omkeringen in RR-publicaties, en nog wat vergelijkbaar ongerief (het Van de Craats-verhaal). De achtergrond is het afnemend vermogen van leerlingen om adequaat te rekenen (PPON), en het gegeven dat anno 2010 vrijwel alle rekenmethoden RR-geïnspireerd zijn. De stelling kan dan eenvoudig zijn dat het RR weliswaar niet de oorzaak van deze prestatiedaling hoeft te zijn (rapport-Lenstra), maar dat een onvoldragen theorie die onkritisch door vrijwel het hele veld is gevolgd, op zich geen positieve bijdrage aan Nederlandse rekenprestaties gaat leveren. Dit artikel wil dus de theorie van het RR wél kritisch volgen, op een beperkt aantal in het oog springende praktische punten (De Jong heeft een lijst avn 22) , zoals daar zijn
Dit hoeft allemaal alleen exemplarisch uitgewerkt te worden, als er in het werkdocument maar een veelvoud van extra voorbeelden aanwezig is. Het gaat alleen om praktische zaken, de psychologische en filosofische punten zijn voor een tweede artikel, daar dus vooral de 'vijf beginselen' van RR. Het onderscheid is niet altijd scherp te trekekn, het belang dat RR toedicht aan contexten heeft zowel praktische gevolgen, als een zwakke theoretische grondslag (als die al bestaat).
De conclusie uit deze analyse zal dezelfde zijn als die uit het tweede artikel over de gebrekkige psychologische en filosofische fundamenten onder het RR. Tentatief het volgende, zeg maar de hypothese: Het wiskobas-project is een goede poging geweest binnen het onderwijsveld zelf, vooral de pabo's, om het denken over het rekenonderwijs op te schudden. Ergens gedurende de rit, rond 1980 waarschijnlijk, is er een eigen dynamiek ontstaan waarin het was toegestaan om in de PR te overdrijven (inclusief zwartmaken van mogelijke concurrerende partijen), en producten als wetenschappelijk te presenteren zonder dat daar de bijbehorende waarborgen voor aanwezig waren. Nederland heeft dat laten gebeuren, hoewel kinderen eenvoudig konden zien dat deze keizer geen kleren droeg (bezinning 1). Het is een voor Nederland kostbare oefening geweest, ook omdat er al die tijd voor andere mogelijke ontwikkelingen in de didactiek van het rekenonderwijs minder gelegenheid is geweest.
Is deze voorlopige conclusie te zwaar aangezet? Dan zoek ik een diplomatieker tekst.
31 januari. Een paar kwartjes beginnen nu te vallen, na lezing van 1976 (EdStMath), Goffree 1995, en nog wat vindplaatsen. Het RR is rond 1980 in zijn belangrijkste karakteristieken gevormd, mogelijk zelfs al eerder in Treffers (1973): Kiekkast, en in 1984 ook door Freudenthal zelf verwoord. Na de opheffing van het IOWO in 1981 veranderen naambordjes, wiskobas wordt reconstructiref rekenen (Proeve, 1989), wordt ‘realistisch rekenen’, wordt Nederlands rekenonderwijs (Didaktief thema september 2004 pdf). De uitgangsposities van RR zijn nooit onderworpen aan empirische toetsing, want De Jong constateert in zijn proefschrift (1986, blz. 2) dat extern onderzoek van enige importantie er niet was, reden voor zijn promotieonderzoek. Dat promotieonderzoek van De Jong (1986) is, zoals zovele proefschriften over wiskobas en realistisch rekenen, geen extern onderzoek, maar intern onderzoek. Dat laatste hoeft natuurlijk geen probleem te zijn, maar er zijn in de geschiedenis van wiskobas en RR wel meer van dergelijke zaken die op zich geen probleem hoeven zijn, maar die in hun gezamenlijkheid toch wel zorgen baren.
In 1976 bestaat het IOWO vijf jaar, halverwege de periode die het instituut heeft gekregen om het Nederlandse rekenonderwijs een nieuw elan te geven. Een themanummer van Educational Studies in Mathematics doet verslag van deze eerste periode, vooral met een demonstratie van belangrijke uitgewerkte contexten voor het rekenonderwijs. De toon van het verslag is bescheiden. Er is hard gewerkt. Tijd voor een behoorlijke onderzoekcyclus is er niet geweest: er is meteen begonnen met het ontwikkelen van materialen. Geen probleem, dat moet kunnen. Wat ontbreekt is een kijkje op het theoretisch kader van wiskobas: er wordt verwezen naar het belangrijkste document, het stuk van Treffers (1973), de kiekkas. Opvallend is dat ik niet heb gelezen dat het boek van Freudenthal (1973), Mathematics as an Educational Task, dat theoretisch kader geeft. Want Hans Freudenthal, directeur van het IOWO, is toch het wetenschappelijk baken en geweten van de groep ontwikkelaars, zal iedere buitenstaander denken. Ik ga daar zeker ook van uit.
Waar staan we dan. Empirisch toetsend onderzoek van het ‘realistisch rekenen’ is niet gedaan, tot op de dag van vandaag niet, althans niet vanuit het IOWO, OC&OW/FI. Een verantwoording, in de vorm van deugdelijk theoretisch kader, heb ik nog niet gezien: de ‘vijf principes’ van het ‘realistisch rekenen’, die in verschillende gedaante maar ongeveer dezelfde vage inhoud doorheen de geschiedenis in de geschriften zijn te vinden, hebben geen wortels in de wetenschappelijke literatuur gekregen, of het moet zijn op plaatsen die door in latere publicaties aan de vergetelheid zijn prijsgegeven. Dat geldt trouwens ook voor het belangrijke adagium dat van Hans Freudenthal is overgenomen: wiskunde is mensenwerk, en moet dus een menselijke maat hebben (ik parafraseer) (zie Freudenthal in de eerste bladzijde van Educational Studies in Mathematics, volume 1, nummer 1/2, 1968. Ik ben dus nog op zoek naar desnoods snippers van dat funderend theoretisch kader, mogelijk vind ik aanwijzingen in de proefschriften van Treffers (de engelstalige uitgave heeft een extra hoofdstuk over de theorie) en De Jong.
Wat zegt dit alles over het wetenschappelijke karakter van het werk van de IOWO-, respectievelijk (OW&OC)FI-groep? Want dat is de hamvraag in deze overpeinzing. De IOWO-groep is gewoon aan de ontwikkelslag gegaan, heeft zich niet bekommerd om het theoretisch fundament daarvoor — Freudenthal zag immers dagelijks toe op de werkzaamheden — en is aan toetsing van de effectiviteit van wiskobas niet toegekomen. Oké, dat is geen probleem, het IOWO heeft er zeker geen gehei van gemaakt dat zij op deze wijze tewerk is gegaan. Dan gaan medewerkers schrijven aan proefschriften, die vooral beschrijvend van aard zijn; De Jong werkt met beoordelaars van onderwijsmaterialen, daar komen mogelijk geen concrete prestaties van leerlingen aan te pas (ik moet dit uitvoerige proefschrift nog doornemen). Met deze promoties krijgt wiskobas alsnog een soort wetenschappelijk keurmerk, waarvoor de respectievelijke promotoren en promotiecommissies borg staan. Ook de voortzetting van een deel van de IOWO-activiteiten door een kleine groep medewerkers in de vakgroep OW&OC, geeft onmiddellijk wetenschappelijke statuur aan wiskobas. Opvallend is dat deze uiterlijke verwetenschappelijking gepaard is gegaan met verruwing van zeden die bepaald onwetenschappelijk is: de tachtiger jaren leveren publicaties op waarin de zegeningen van wiskobas breed worden uiteengezet, alsof deze gesteund zouden zijn door empirisch onderzoek, terwijl in één adem door tradionele rekenmethoden worden weggezet als reproductief of mechanistisch en eigenlijk ethisch dus onverantwoord. Deze stijl van communiceren met de buitenwereld wordt tot op de dag van vandaag volgehouden. Het Freudenthal Instituut heeft in de loop van de jaren deze zelf-promotie stevig vorm gegeven, niet alleen in publicaties en tijdschriften in eigen beheer, maar het heeft bijvoorbeeld ook Didaktief gebruikt voor deze zelf-promotie (themanummer rekenen en wiskunde, september 2004; de redactie van Didaktief heeft de opdrachtrelatie wel vermeld, maar laat de lezer gissen naar de mate waarin de redactie hier onafhankelijk tewerk is gegaan: wie goed leest moet concluderen van niet).
Ik ben op zoek naar de goede toon voor een artikel dat als thema heeft dat de kritische consument van rekenmethoden al van meet af aan zelf had kunnen uitvinden dat wiskobas en ‘realistisch rekenen’ vooral voortkomen uit vele goede bedoelingen en een hoop creativiteit, maar een degelijke onderbouwing en toetsing missen. Dat leidt dan vanzelf tot de conclusie die vele betrokkenen anno 2010 al hebben getrokken: behoud het goede van dit werk, maar waarborg het degelijke in het rekenonderwijs.
Voor het ontwerpen van toetsvragen rekenen of wiskunde is het de ontwerper aan te raden een grondige kennis van het te toetsen onderwerp te hebben. Mijn eigen positie is lastiger: ik wil deze ontwerper handreikingen doen voor het ontwerpen van deze toetsvragen, en heb daarom zelf enig inzicht nodig in wat het is om rekenen of wiskunde te leren, respectievelijk te beheersen. Ik ben dus al enige jaren op zoek naar sleutelpublicaties die mij op weg kunnen helpen, zie mijn pagina’s matheducation.htm en de specifiek op Nederland gerichte pagina matheducation.dutch.htm. Het kan niet missen, of ik kom op deze speurtocht het werk van Hans Freudenthal tegen, en dat van het Freudenthal Instituut (FI). Wat mij als psycholoog en onderwijsonderzoeker daarin opvalt is dat de psychologie niet lijkt te kloppen, dat degelijk empirisch onderzoek vooral ontbreekt (ontwikkelwerk in het veld — design research — is echt iets anders, ook al kan dat op zich onderzoekmatig gebeuren), en dat het FI het onderwijsveld, inclusief uitgeverijen, aan het eigen lot lijkt over te laten. De combinatie van gebrekkige psychologie, ontbrekend empirisch onderzoek, en gebrekkige of ontbrekende nazorg in het onderwijsveld kan rampzalig uitwerken. In dit artikel wil ik de vraag beantwoorden of in die onderwijspraktijk de uitgangspunten van het FI voor ‘realistisch rekenen’ mogelijk op hun kop zijn komen te staan. In een parallel-artikel zijn vooral de psychologische opvattingen achter het ‘realistisch’ rekenen het onderwerp van kritische analyse: hoe verhouden deze opvattingen zich tot de stand van zaken in de cognitieve psychologie?
pm. design research: Anthony E. Kelly, Richard A. Lesh, John Y. Baek (xxxx). Handbook of Design Research Methods in Education Innovations in Science, Technology, Engineering, and Mathematics Learning and Teaching. Routledge.
Het gekozen thema bestrijkt deels hetzelfde gebied dat onderwerp van onderzoek is geweest voor de commissie-Lenstra (2009) pdf, maar doet dat vanuit een stellingname die kritisch is naar het werk vanuit IOWO en OW&OC/FI, waarbij de kritiek niet de behandeling van de wiskunde betreft, maar de opvattingen over hoe het rekenonderwijs ingericht moet zijn. Waar de commissie-Lenstra, om begrijpelijke redenen, moeilijk los kon komen van een cultuur-relativistische beschouwing van RR tegenover andere opvattingen over rekenonderwijs, zal ik in dit werkdocument laten zien dat het IOWO en zijn opvolger meer dan vier decennia het Nederlandse onderwijsveld onvolledige informatie heeft verschaft. Ik zal dat onmiddellijk toelichten. De eerste paar keren dat je als relatieve buitenstaander bijvoorbeeld ‘de vijf uitgangspunten’ van RR leest, probeer je je voor te stellen wat ze zouden kunnen betekenen, en zet je er als het ware je eigen literatuurkennis achter. Maar dan begint het op te vallen dat in de RR-geschriften zelden of nooit voor stellige beweringen de nodige onderbouwende verwijzingen worden gegeven. Ook verder graven in de publiek beschikbare publicaties, zoals die van Hans Freudenthal, en de wiskobas-RR-proefschriften, laat de onderzoeker naar de bronnen van de ‘vijf uitgangspunten’, kolomrekenen, en happend delen, met lege handen staan. Wel daagt het inzicht dat het IOWO enz. eigenlijk nooit enig empirisch toetsend onderzoek heeft gedaan, zich van meet af aan daarvan heeft afgeschermd door zich erop te beroepen alleen onderwijsontwikkelend onderzoek te doen, later uitvergroot door claims op een wetenschappelijke status voor design research (laatstelijk: het proefschrift van Kees Buijs, 2008). De situatie blijkt dus mogelijk tamelijk ernstig te zijn: er is in Nederland vier decennia lang een praatcircuit van IOWO/FI en het onderwijsveld geweest, waarbinnen iedereen elkaar naar de mond praatte, en waar communicatie naar en van de boze buitenwereld ontbrak. Een typerend voorbeeld daarvan is een onafhankelijk empirisch toetsend onderzoek naar verschillen in effectiviteit tussen rekenmethoden, resulterend in het Groningse proefschrift van Harskamp (1988), dat wonder boven wonder geen rimpeling binnen het gemelde praatcircuit lijkt te hebben veroorzaakt Maar zie Goffree 1988, 1995). Ondanks voor RR gunstige operationalisaties, bleken de geclaimde enorme voordelen van RR boven andere methoden onvindbaar in de empirische uitkomsten. Ik moet nog nagaan of Hans Freudenthal kennis heeft genomen van dit onderzoek, en hoe hij er dan op heeft gereageerd. Ondertussen heeft dat RR een enorme greep gekregen op bijna alles wat het rekenonderwijs in ons land betreft, is zijn invloed terug te zien in standaarden en leerlijnen, landelijke toetsen en zelfs internationale toetsen. In dit laatste fenomeen zit overigens ook mijn drive om een aantal opvallende zaken (zoals de niet-wiskundige wiskundevragen in peilingsonderzoeken) eens grondig uit te zoeken op hun wortels in de wiskobas- en RR-beweging.
F. Goffree (1988). Onderzoek van rekenen: zoek de nuance. In Harskamp & Hoeben, Leermethoden in het onderwijs, (91, 105). Swets & Zeitlinger/RION. [Dit heb ik nog niet kunnen traceren. Zie Goffree 1995 hierover]
F. Goffree (1995). Onderzoek en ontwikkeling: vàn en vóór het reken-wiskundeonderwijs in Nederland. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 13, 165-200. pdf
Deanna Kuhn (2005) is een goed voorbeeld van een onderzoekster die een gedurfd standpunt inneemt over wat de moeite waard is om in een combinatie van ontwikkelingsonderzoek en empirisch toetsend onderzoek te ondernemen. Ik noem haar boek hier, omdat zij een aardige beschouwing geeft over hoe adolescenten vast kunnen zitten in cultuur-relativistische opvattingen: als de ene groep zus, en de andere groep zo denkt over fenomeen Y, dan is dat prima, en zal de ene groep niet meer gelijk hebben dan de andere. De autonome denker en onderzoeker is daar overheen gegroeid, en kan inzien dat bij verschillende culturele posities de ene beter kan zijn dan de andere. De positie van RR is, zoals vanuit IOWO enz. gepropageerd, gewoon onjuist. De kwalificatie ‘zoals . . . gepropageerd’ geeft aan dat ik niet uitsluit dat een vergelijkbare positie wel degelijk goed valt te onderbouwen, maar dan ook op geheel andere voorstellen voor inrichting van het rekenonderwijs uit zal komen dan die welke uit het IOWO/FI zijn voortgekomen.
Deanna Kuhn (2005). Education for thinking. Harvard University Press. excerpt
Toen begonnen we met cijfers; thans vangen onze leerlingen aan met aanschouwen. Toen rekenden we in verouderde en onbruikbare cijferboeken, waarin een goede leergang gemist werd; thans hebben de onderwijzers eene ruime keuze uit zeer goede rekenboeken, waarin methode heerscht. Toen leerden we alles werktuiglijk; thans leert onze schooljeugd met oordeel werken. Toen werden we alleen geoefend in het cijferen; thans houdt men zich op vele scholen ook bezig met het rekenen uit het hoofd.
L. Bouwman (1871). Het rekenen uit het hoofd in de lagere school. De Schoolbode. Tijdschrift voor Onderwijs en Opvoeding, 308-320
De sleutelpublicaties over de praktijk van het ‘realistisch rekenen’ (RR) zijn het artikel van Jan van de Craats, zoals gepubliceerd in het Nieuw Archief voor Wiskunde (NAW), 2007, en het werk van Kees van Putten over de prestaties en de strategieën van leerlingen op opgaven over delen, met daarop in Psychometrika (2009) en NAW (2010) reacties van het FI. Op het artikel van Van de Craats, althans op de daarin verwoorde kritiek op het RR, is in diverse publicaties vanuit het FI gereageerd, niet alleen in het NAW (Uittenbogaard, 2008), maar onder andere ook in de oratie van Van den Heuvel-Panhuizen (2007), en de autobiografie van Treffers (2010). In Didaktief is een samenspraak van Marja van den Heuvel-Panhuizen en Jan van de Craats gepubliceerd (Bea Ros, 2009). Het artikel van Van de Craats vraagt om een inbedding in de recente geschiedenis van het rekenonderwijs, hopelijk geeft Harskamp (1988) daar uitsluitsel over, en er is natuurlijk de eerstafgenomen PPON.
E. G. Harskamp (1988). Rekenmethoden op de proef gesteld. Proefschrift Rijksuniversiteit Groningen. RION.
Het thema voor dit artikel heeft zich pijlsnel gevormd nadat ik onmiddellijk na elkaar de oratie van Van den Heuvel-Panhuizen en het genoemde artikel van Jan van de Craats had gelezen. Van de Craats heeft het over de praktijk van het rekenonderwijs, Van den Heuvel-Panhuizen over het door het FI uitgedragen realistisch rekenen. Proef hier maar uit dat de beide auteurs langs elkaar heen praten: Van de Craats valt het FI niet aan, Van den Heuvel-Panhuizen ziet het daarentegen vooral als een aanval op het werk van het FI. Van de Craats signaleert onhandige en ondoelmatige onderwijspraktijken die niet de bedoeling van het FI geweest kunnen zijn, terwijl Van den Heuvel-Panhuizen de gedachten achter het ‘realistisch rekenen’ verwoordt op een manier die ver verwijderd lijkt te zijn van de uitgangspunten van destijds Wiskobas. Het gaat hier niet zozeer om de filosofie of psychologie van een en ander, maar om wat een gepokt en gemazeld onderwijsonderzoeker opvalt als bijzondere tegenstellingen tussen theorie en praktijk, en zelfs binnen de theorie van het FI, met evident negatieve gevolgen voor diezelfde praktijk van het rekenonderwijs.
Kerst Boersma, Harrie Eijkelhof, Ton Ellermeijer, Kees de Glopper, Martin Goedhart, Koeno Gravemeijer, Marja van den Heuvel-Panhuizen, Jan de Lange, Jan van Maanen, Albert Pilot, Robert Jan Simons, Diederik A.Stapel, Anne van Streun, Adri Treffers, Jan Vermunt, Theo Wubbels, Bert Zwaneveld, Jan van den Akker. 'Realistisch rekenen' niet goed? Kinderen presteren juist beter. De Volkskrant Opinie, 27 oktober 2008 html.
Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.
Fred Goffree (1979). Leren onderwijzen met Wiskobas. Onderwijsontwikkelingsonderzoek 'Wiskunde en Didaktiek' op de pedagogische akademie. Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht.
Fred Goffree (1982/1994). Wiskunde & didactiek 1. Wolters-Noordhoff.
Fred Goffree (1992). Wiskunde & didactiek 2. Wolters-Noordhoff.<
Fred Goffree (1993). Kleuterwiskunde Wolters-Noordhoff.
M. van den Heuvel-Panhuizen (1996). Assessment and realistic mathematics education. CD-beta Press, Center for Science and Mathematics Education. Thesis Universiteit Utrecht. pdf 4Mb
Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf
Marja van den Heuvel-Panhuizen. (2010?). Reform under attack — Forty years of working on better mathematica thrown on the scrapheap? No way! Keynote presentation, MERGA33: Shaping the Future of Mathematics Education [niet meer online, 3 oktober 2012].
Marja van den Heuvel-Panhuizen & Adri Treffers (2010). Cijfer positieve prestaties in rekenen niet weg. NAW [Dit artikel is eerder verschenen in Tijdschrift voor Orthopedagogiek, jaargang 49, nr. 2, pp. 53-62.] pdf
Marja van den Heuvel-Panhuizen, Alexander Robitzsch, Adri Treffers and Olaf Köller (2009). Large-Scale Assessment of Change in Student Achievement: Dutch Primary School Students’ Results on Written Division in 1997 and 2004 as an Example. Psychometrika, 74, 367-374. pdf
Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). Solution Strategies and Achievement in Dutch Complex Arithmetic: Latent Variable Modeling of Change. Psychometrika, 74, 331-350. open access pdf
Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). How to Measure and Explain Achievement Change in Large-Scale Assessments: A Rejoinder. Psychometrika, 74, 367-374. free access pdf ophalen
Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract
C. M. van Putten (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). Cito. pdf
C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27, nr 1. pdf
Bea Ros (2009). Staartdelen of happen? Een pittig tweegesprek over rekenen. Didaktief, 39 nr. 1-2, p. 4-8. pdf
Leen Streefland (Ed.) (). The legacy of Hans Freudenthal. Springer. [reprinted from Educational Studies in Mathematics, 1994, vol. 25, #1, 2] inhoud o.a., zie hier
Adrian Treffers (1978/1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Reidel. [Een vertaling van zijn proefschrift uit 1978, met belangrijke toevoegingen over de theorie]
Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.
A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijsonderwijsop de basisschool (1), (2). pdf, resp. pdf
Treffers, A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel I. Overzicht einddoelen. Zwijsen. isbn 9027613982
Treffers, A. Treffers & E. de Moor(1990). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 2. Basisvaardigheden en cijferen. Zwijsen.
Treffers, A. Treffers, L. Streefland & E. de Moor (1994). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 3A. Breuken. Zwijsen.
Treffers, A. Treffers, L. Streefland & E. de Moor (1996). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 3B. Kommagetallen. Zwijsen.
Willem Uittenbogaard (2008). Geen catechismus leren, maar nadenken. Nieuw Archief voor Wiskunde 5/9 nr 1 pdfUit zijn lead: “In dit artikel worden enkele kanttekeningen bij het betoog van Van de Craats geplaatst: hij baseert zijn uitspraken op oppervlakkige, onvolledige en eenzijdige percepties en laat duidelijk merken geen weet te hebben van onderzoek en ontwikkelwerk van reken-wiskundeonderwijs in de afgelopen dertig jaar.” Uittenbogaard steekt hier de nek toch iets te ver uit. Ik kom op deze, het FI typerende, stijl van discussie elders op deze pagina nog terug.
Het Nederlandse rekenonderwijs zit in de problemen. De oratie van Van den Heuvel-Panhuizen heeft een mooie figuur die dat aangeeft: ‘leuke’ doelen uit het RR doen het goed in de peilingen (PPON), de basale rekenvaardigheden zijn dramatisch gedaald (bron van de figuur: PPON-verslaglegging Cito). Hickendorff e.a. (2010) laten zien dat leerlingen voor het delen niet meer in staat zijn om er een degelijk algoritme voor te gebruiken; bovendien blijkt een belangrijke groep leerlingen het hoofdrekenen en schattend rekenen op te vatten als goed genoeg om exacte opgaven mee op te lossen. Internationaal lijken de prestaties van Nederland nog redelijk op orde, maar een analyse op klassikaal niveau (Huang, 2009) laat zien dat teveel leerlingen niet meekomen en zijn weggezet in het vmbo. Wat gebeurt er in de klassen van het basisonderwijs: Van de Craats (2007) laat aan de hand van de rekenboeken op ‘realistische’ basis zien dat het rekenonderwijs in feite chaotisch is.
Kortom, er gaapt een diepe kloof tussen de mooie theorie van het RR, en de manier waarop het Nederlandse rekenonderwijs op basis van deze theorie vorm is gegeven door uitgeverijen en uiteindelijk door leerkrachten.
Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.
Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf
Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract
Min-Hsiung Huang (2009). Beyond horse race comparisons of national performance averages: math performance variation within and between classrooms in 38 countries. Educational Research and Evaluation, 15, 327- 342.
De kloof tussen de theorie van het RR bestaat er (onder andere) uit dat in de praktijk van het rekenonderwijs de middelen die het RR aangeeeft, tot doelen zijn geworden, en de doelen uit het zicht zijn verdwenen. Dat valt niet alleen het veld — uitgeverijen, leraren — aan te rekenen, maar ook het Freudenthal Instituut, dat uitdraagt dat middelen zoals handig rekenen zeker ook een doel op zichzelf zijn. Intrigerend, en van groot belang, is het tot doel verklaren van probleemoplossen als intellectuele vaardigheid, een omkering van de bedoeling van George Polya voor wie probleemoplossen een middel is om wiskundige kennis op te bouwen, en die daar dan ook zijn heuristische benadering van wiskundig probleemoplossen op bouwt (Polya, 1945; Treffers, 2010; Milgram, 2007).
“IOWO is no research institute; its members do not regard themselves as researchers but as producers of instruction, as engineers in the educational field, curriculum developers.”
Freudenthal, 1976, Educational Studies in Mathematics, 7 #3, preface
Dat het FI zich te weinig heeft bekommerd om de wijze waarop de mooie theorie landt in het veld (niet alleen dat deel van het veld waar zij intensief mee samenwerkt), is een bijzonder punt van aandacht: het gedachtengoed van Hans Freudenthal en de zijnen is dat een wetenschappelijke wijze van werken in IOWO en OW&OC/FI het niet nodig heeft om empirisch toetsend onderzoek te verrichten (Freudenthal, 1976; het bijna totale gemis aan dergelijk onderzoek in de Freudenthal-school), dat het volstaat om ontwikkelingsonderzoek te doen samen met het veld, het RME-paradepaard van design research. Dat is een bijzondere omdraaiing van wetenschappelijke waarden. Ontwikkelingsonderzoek dat geen onafhankelijke toetsende momenten kent, is vrij-zwevend onderzoek. Uit actuele verdedigende publicaties vanuit het FI (Van den Heuvel-Panhuizen, Treffers), blijkt dat men zich daar niet realiseert dat er de afgelopen veertig jaar geen empirische evidentie over de effectiviteit van het RR is opgebouwd.
Hans Freudenthal (1976). Preface. Educational Studies in Mathematics, 7 special issue on 5 year IOWO. summary citaat
Een subthema zou de stelling kunnen zijn dat de kloof tussen FI en het veld is ontstaan en in stand gehouden door het eenzijdig werken op basis van design research — met scholen en leraren die zijn geïnteresseerd in de ontwikkeling van het rekenonderwijs zoals in Wiskobas op zich bijzonder goed is gedaan — onder verwaarlozing van onderzoek naar de mogelijkheden om dit nieuwe onderwijs met succes uit te rollen over Nederlandse scholen met leraren die niet om die vernieuwing hebben gevraagd.
Marja van den Heuvel-Panhuizen. (2010?). Reform under attack — Forty years of working on better mathematica thrown on the scrapheap? No way! Keynote presentation, MERGA33: Shaping the Future of Mathematics Education.
R. James Milgram (2007). What Is Mathematical Proficiency? In Alan H. Schoenfeld:. Assessing mathematical proficiency (pp. 31-58). Cambridge University Press. pdf
G. Polya (1957/1971). How to solve it. A new aspect of mathematical method. Princeton, New Jersey, Princeton University Press. [reprinted 2004]
Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.
De lijst mogelijke rekenonderwerpen wil ik beperken tot het delen. Het kan best zijn dat een uitstapje naar breuken van pas komt (proefschrift Streefland 1988, idem Bruin-Muurling 2010; Keijzer & Terwel (2003)), maar voor een heldere lijn in de analyse ligt de keuze van de (staart)deling voor de hand omdat
Mogelijk kan ik harde conclusies uit de analyse van het delen toetsen op een of meer andere onderwerpen waarover onderzoekliteratuur beschikbaar is, zoals over het breukenonderwijs in ‘realistische’ zin.
L. Streefland (1988). Realistisch breukenonderwijs. Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht. [Fractions in Realistic Mathematics Education. Springer]
G. Bruin-Muurling (2010). The development of proficiency in the fraction domain. Proefschrift Technische Universiteit Eindhoven. [geen online versie beschikbaar] [promotor: Koeno Gravemeijer] [Zie voor een korte annotatie: promotieonderzoek.htm#Bruin
Ronald Keijzer & Jan Terwel (2003). Learning for mathematical insight: a longitudinal comparative study on modelling. Learning and Instruction, 13, 285-304. pdf [Keijzer heeft een deeltijdaanstelling bij het FI; voorbeeld van empirisch toetsend onderzoek waar het FI wél bij is betrokken]
De historische dimensie wil ik hierbij expliciet meenemen, al was het maar omdat het FI zich nadrukkelijk afzet tegen een wat zij labelt als ‘mechanistisch’ rekenonderwijs in de zestiger jaren. Baggett & Ehrenfeucht (n.d.) beschrijven mechanistisch rekenen als een in de 18e-eeuw nog bestaand fenomeen. Het ‘mechanistisch rekenen’ van het FI is een drogreden, een stroman die opgericht is om er ongestraft op te kunnen schieten. Het ironische van de historie is dat juist dat 18e-eeuwse mechanistische onderwijs tegelijkertijd extreem realistisch is, want op de directe beroepspraktijk van de koopman etcetera gericht. Ik heb even snel wat literatuur bijeengezocht Leen (1961, proefschrift); Beckers (2003, gebaseerd op zijn proefschrift); Smeur (1960, mogelijk gebaseerd op een proefschrift); Kool (1999, proefschrift); Fauvel & Van Maanen (Eds, 2000, de summiere index maakt het onmogelijk op 'division' te zoeken).
Uit de volgende literatuur, schrik niet, wil ik proberen wat materiaal te halen dat direct relevant is voor het algoritmiseren van het delen en de huidige discussie daarover.
Patricia Baggett & Andrzej Ehrenfeucht (not dated). Content and teaching methods in elementary school mathematics. pdf
A. Treffers (1978). Wiskobas doelgericht. Een methode van doelbeschrijving van het wiskundeonderwijs volgens wiskobas. Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht. [Ik heb zijn proefschrift ook maar even geleend, het Engels in de latere vertaalde uitgave is moeizaam te lezen. Het onderwerp is beperkt tot doelformuleringen, maar dat is bij uitstek ook relevant voor de beide op te zetten artikelen]
R. A. de Jong (1986). Wiskobas in methoden. Vernieuwing van reken/wikundemehtoden voor het Nederlandse basisonderwijs (1965-1985). Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht. [Co-promotor is Adri Treffers. Verrassend: een proefschrift over de doorvertaling van Wiskobas in rekenmethoden. Dat wijst erop dat althans Treffers zich bewust moet zijn van de problematiek inherent in de stappen van RR naar methoden naar hoe leraren de laatste gebruiken in de klas]
Hans Freudenthal (1973). Mathematics as an educational task. Dordrecht: Reidel. zie hier voor annotatie
A. Leen (1961). De ontwikkeling van het rekenonderwijs op de lagere school in de 19e en het begin van de 20ste eeuw. Groningen; Wolters. Proefschrift Vrije Universiteit Amsterdam. Citeert op p. 87 Zernike: “Hoofdrekenen is dat rekenen, waarbij noch de gegeven getallen, noch de gedeeltelijke, noch de eind-uitkomsten worden opgeschreven.” Zo, die zit. Leen, p. 47: “Het vlug toepassen van kunstgrepen werd een eis van het hoofdrekenen. B.v. om een getal met 95 te vermeerderen, telt men er eerst 100 bij en trekt van de uitkomst 5 af; met 25 vermenigvuldigen geschiedt het gemakkelijkst door met 100 te vermenigvuldigen en het komende product door 4 te delen. (. . .) Zernike geeft toe, dat, zolan het hoofdrekenen tot de eenvoudigste gevallen beperkt blijft, het zonder twijfel van enig belang is. Maar in de praktijk heeft men in de regel wel iets bij de hand, om een paar getallen op te schrijven. De meest praktische mensen rekenen het mins uit het hoofd.” Zernike lijkt hier de uitkomsten van het onderzoek van Hickendorff e.a. (2010) te voorspellen! Zernike publiceert rond 1900. Interessant is het pleidooi van Zernike voor de zelf-zoekende leervorm bij het rekenonderwijs, constructivisme-avant-la-lettre, al geeft hij ruiterlijk toe dat die slechts voor de betere leerlingen is weggelegd. Leen citeert hem, p. 86: “De waarheden der rekenkunde dragen alle het karakter van noodzakelijke waarheden. Zij liggen in de menselijke geest opgesloten en de taak van de onderwijzer is alleen ze te voorschijn te roepen. Vandaar dat slechts zeer weinig behoeft te worden medegedeeld; het meeste kan en met door de leerling worden gevonden: de zelf-zoekende leervorm kan bij het rekenonderwijs het meest stelselmatig worden toegepast.”
Over De z.g. denksommen p. 133 e.v. zegt Leen: “In de tijd, dat de methode Bouman en Van Zelm nog heer en meester was, stelde menigeen zich de vraag: “Is de lagere school met de z.g. denksommen op de goede weg?’
In ‘De Aansluiting tussen het lager en het voortgezet en middelbaar onderwijs in Nederlands-Indië (1934)’ meent de sub-commissie voor rekenen, dat de lagere school daarmee noch de maatschappij, noch de middelbare school en wel allerminst het kind zelf dient. Deze commissie meen, dat de maatschappij vraagt:
a. een zo goed mogelijke cijfertechniek, bestaande in een volkomen beheersing van de hoofdbewerkingen met gehele en decimale getallen;
b. een vlot kunnen toepassen van deze cijfertechniek op eenvoudige rekenvragen van maatschappelijke aard.
Voor dit maatschappelijk rekenen is naar haar mening het onderwijs in de ‘denksommen’ eer een belemmering dan een steun. Ter illustratie neemt ‘De Aansluiting’ uit het toen veel gebruikte Rekenboek van Bouman en Van Zelm het volgende vraagstuk van een toelatingsexamen H.B.S. over:
‘Aan een gemeenschappelijke dis neemt de eerste gast 1/3 van een rondgaand gerecht en iedere volgende gast neemt 1/3 van wat hij nog op de schotel vindt. Als nu de vierde gast 47,5 gram van dat gerecht minder krijgt dan de eerste, hoeveel gram liet hij dan nog voor de overige gasten over?’
Volgens ‘De Aansluiting’ moet de wiskundeleraar op de middelbare school talloze malen constateren, dat het mislukken van een proefwerk te wijten is aan gebrek aan voldoende cijfertechniek. Naar onze mening speelt slordigheid van de leerlingen een voorname rol. We lieten destijds enkele malen aan schriftelijk cijferwerk een schrijfoefening van cijfers voorafgaan en konden een aanmerkelijke verbetering in het accuraat werken constateren [vgl Hickendorff e.a. 2010!] Nu is de cijfertechniek er zeker niet beter op geworden, nadat het rekenen van de troon gestoten is.” Leen gaat nog uitgebreid verder in op de hematiek van de denksommen, o.a. aan de hand van Philip Kohstamm, en van Waterink (‘ de z.g denksommen doen een beroep op een denkrichting, waarover het kind nog niet beschikt.’ en: ‘De z.g. denksommen zijn gehandhaafd door de onjuiste conclusie uit het feit, dat vele kinderen deze sommen toch zo goed leerden maken. In werkelijkheid zijn het opgaven voor het geheugen, speciaal voor het ordegeheugen.’)
Marjolein Kool (1999). Die conste vanden getale. Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Hilversum: Verloren. Frank J. Swetz (1987) Capitalism & arithmetic. The New Math of the 15th century covers somewhat the same ground, in a much smaller number of pages (not counting the full edition of the Treviso Arithmetic of 1478). There is a remarkable characteristic of arithmetics in the 15th and 16th century, probably throughout the 18th century also (see the Bartjens edition of 1779, almost the same as the first one of 1604): all problems are word problems, all examples of procedures are word examples. Almost all word problems are vocational problems. The exceptions are traditional puzzle-like word problems, copied from earlier arithmetics texts, or somewhat art-like solutions to bizarre problems. This means that context-free arithmetics as such did not figure in these books, even though the procedural solutions strongly resemble context-free algorithms.
A. J. E. M. Smeur (1960). De zestiende-eeuwse Nederlandse rekenboeken. 's-Gravenhage: Nijhoff. David Baker, Hilary Knipe, John Collins, Juan Leon, Eric Cummings, Clancy Blair and David Gamson (2010). One Hundred Years of Elementary School Mathematics in the United States: A Content Analysis and Cognitive Assessment of Textbooks From 1900 to 2000. Journal of Research in Mathematics Education, 41, 383-423. [I have not yet seen the article itself] abstract A content analysis of over 28,000 pages from 141 elementary school mathematics textbooks published between 1900 and 2000 shows that widely used mathematics textbooks have changed substantially. Textbooks from the early part of the century were typically narrow in content but presented substantial amounts of advanced arithmetic and also asked students simultaneously to engage with material in effortful and conceptual ways. Implications of these findings are discussed in terms of the historical study of mathematics and curriculum in U.S. schools.
D. J. Beckers (2000). ‘My little arithmeticians’ Pedagogic ideals in Dutch mathematics 1790-1840. Paedagogica Historica, 36, 979-1001. pdf or alternatively: pdf
Benchara Branford (1908). A study of mathematical education; including the teaching of arithmetic. Clarendon Press. http://www.archive.org/details/1921studyofmathe00branuoft
Ubiratan D'Ambrosio (2003). Stakes in mathematics education for the societies of today and tomorrow. Monographie de L'Enseignement Mathématique 39 (2003), p. 301—316 pdf The title suggests otherwise, but in fact this is a review of the emergence of mathemamtics in the school curriculum, beginning in the early 19th century.
Florian Cajori (1928,1929/1993). A history of mathematical notations. Vol. I Notations in elementary mathematics; Vol II Notations mainly in higher education. Dover re-issue.
E. L. Thorndike (1922). The psychology of arithmetic. New York: Academic Press. pdf 8Mb
My own copy is 1924, New York: The Macmillan Company, copyright 1922 by the macmillan Company, published 1922. This arithmetic does seem confused .... . Thorndike's preface is dated April 1, 1920.
Read Patrick Suppes (1982) on the tremendous influence of Thorndike on the American arithmetics curriculum: On the effectiveness of educational research. pdf
Fantastic book, at least as far as the design of achievement test items is concerned, and then especially the enormous contrast between the logically clean design principles of Thorndike, and the chaotic methods in use in textbooks around 1900.
David C. Berliner (1993) places Thorndike and his work, also his work on the psychology of arithmetic, in the context of the times. 'The 100-year journey of educational psychology. From interest, to disdain, to respect for practice.' html (in T. K. Fagan & G. R. VandenBos: Exploring applied psychology: Origins and critical analysis. Washington DC: American Psychology Association.). Thorndike is the key figure in this journey, also the man related to the 'disdain' in the article. Thorndike was not known to have ever set a professional foot in any classroom.
Lee J. Cronbach and Patrick Suppes (Eds) (1969). Research for tomorrow's schools: Disciplined inquiry for education. London: Collier-Macmillan Limited. Zie aantekeningen bij dit boek: " target='_blank'>hier
Oliver Lodge (1905). Easy Mathematics, Chiefly Arithmetic. Being a Collection of Hints to Teachers, Parents, Self-Taught Students, and Adults and Containing a Summary or Indication of Most Things in Elementary Mathematics Useful to be Known. London: Macmillan 1905. Hele boek [ik moet het nog inzien]: http://ia700401.us.archive.org/10/items/easymathematicsc00lodgrich/easymathematicsc00lodgrich.pdf
Het feit dat vanuit het FI of een van zijn voorgangers het voorgestane vernieuwde rekenonderwijs ‘realistisch rekenen’ is genoemd, is op zichzelf een daad van onvoldoende wetenschappelijke terughoudendheid, en als zodanig meen ik ook eens betreurd door Adri Treffers. Dit in tegenstelling tot de oude benaming ‘Wiskobas’, die niet zichzelf op de borst kloppend is. De discussie over het Nederlandse rekenonderwijs heeft een euforische fase gekend, weinig kritisch naar zichzelf, en is het afgelopen decennium beland in een fase waarin de zuiverheid van het debat niet altijd even hoog is geweest. Ik wil dit niet als afzonderlijk onderwerp in het artikel meenemen, maar ik zal wel tendentieuze naamgeving, winkelen in empirische gegevens, en het gebruik van drogredenen expliciet signaleren omdat dit evenzovele mechanismen zijn waarom de voorstanders van RR menen te kunnen volharden in opvattingen die op zijn minst niet stroken met de werkelijkheid van alledag in de Nederlandse klaslokalen. Hier zit ook een internationale dimensie aan: ik ben benieuwd of het beeld dat vanuit het FI internationaal is neergezet, wel evenwichtig is (bijvoorbeeld publicaties van Gravemeijer, zoals aangehaald in Langrall e.a., 2008; Van den Heuvel Panhuizen, 2010).
Cynthia W. Langrall, Edward S. Mooney, Steven Nisbet & Graham A. Jones (2008). Elementary students’ access to powerful mathematical ideas. In Lyn D. English: Handbook of International Research in Mathematics Education (p. 121, sectie over ‘realistic mathematics education’ RME) Routledge.
Het inhoudelijke deel van het artikel is te denken als opgebouwd uit circa vier onderdelen: 1) een kwalitatief signalement van problemen in het huidige rekenonderwijs, zoals die onder andere zijn af te lezen uit de rekenmethoden (Van de Craats, 2007), 2) een karakteristiek van huidige rekenprestaties van Nederlandse leerlingen zoals die blijken uit o.a. de PPON-onderzoeken en uit specifiek op het delen gericht onderzoek van Hickendorff e.a. (2010), 3) de contrasten tussen de bevindingen in 1) en 2) met wat van behoorlijke rekenonderwijs mag worden verwacht, gezien de literatuur en in het bijzonder ook de doelen of althans sommige doelen die men vanuit het FI ziet voor het rekenonderwijs, en 4) de contrasten die kunnen blijken tussen huidige posities van het FI en posities die aanvankelijk in het Wiskobas-project zijn ingenomen.
De uitwerking van een en ander volgt waarschijnlijk het zojuist aangegeven patroon, maar het kan blijken dat voor het uiteindelijke artikel een andere ordening beter is: op onderscheiden onderwerpen zoals handig rekenen, de hap-methodiek, probleemoplossen. Zoals wel vaker in de wiskunde heeft het creatieve proces een andere vorm dan de communicatie van de uitkomsten ervan.
De stelling dat RR bij het vermenigvuldigen en delen het hulpmiddel ‘kolomrekenen‘ en de ‘hapmethode’ tot doel van het rekenonderwijs heeft gemaakt, is ook in RR-kring niet onbekend. Kees Buijs (2009, sheet 28): “Het aanleren van rekenstrategieën lijkt soms meer een ‘doel in zichzelf’ dan een ‘middel om’ te zijn”. De eerste en belangrijkste omdraaiing in het RR, kolomrekenen verheven tot doel waar het alleen middel hoort te zijn, is hiermee niet iets dat alleen buitenstaanders opmerken, maar is ook het FI al enige tijd bekend.
“Kern van het bedoelde probleem betreft het feit dat het tot op heden niet goed gelukt is om een op realistische leest geschoeid onderwijsleertraject voor het gebied van het meercijferige vermenigvuldigen te ontwikkelen waarbij de informele en veelal nog omslachtige oplossingswijzen die leerlingen bij de eerste verkenningen van dit gebied tentoonspreiden, op een natuurlijke en praktisch goed uitvoerbare manier uitgebouwd worden tot efficiënte, breed toepasbare procedures in de sfeer van het gestileerde hoofdrekenen; en waarbij de leerlingen geschikte notatievormen ontwikkelen die, ook in het geval een leerling niet tot het hoogste beheersingsniveau van zo’n procedure doordringt, gebruikt kunnen worden om op een redelijk efficiënte en inzichtelijke manier tot een oplossing te komen.”
Buijs, 2008, p. 14
In de eerste bladzijden van zijn proefschrift over leren vermenigvuldigen geeft Buijs aan dat het RR er eigenlijk nooit in is geslaagd om een bevredigende didactische uitwerking van het ‘progressief schematiseren’ te geven, precies dat belangrijke uitgangspunt dat geleid zou hebben tot 50% tijdwinst bij het leren vermenigvuldigen en delen (Freudenthal, 1984). Dat is spannend, want hoe kan een didactisch uitgangspunt dat niet goed didactisch valt uit te werken, rond 1980 al leiden tot zulk een enorme tijdwinst in het leren van vermenigvuldigen en delen? Vooreerst gaat het er even om dat het in de kringen van RR-protagonisten wel degelijk bekend is dat de kolomdidactieken bij vermenigvuldigen en delen niet goed kunnen werken omdat er geen behoorlijke didactische uitwerkingen beschikbaar zijn. Dit laatste punt is in de literatuur wel eens stiefmoederlijk behandeld, door het probleempje door te schuiven naar de eigen verantwoordelijkheid van de leraar om een en ander in het eigen rekenonderwijs zelf de gewenste concrete uitwerkingen te geven. [ik moet de vindplaatsen voor dat laatste terug zien te halen uit mijn geheugen]
Kees Buijs (2008). Leren vermenigvuldigen met meercijferige getallen. Proefschrift. download pdf
Kees Buijs (2009). Leren vermenigvuldigen — enkele sleutelkwesties uit een onderzoek.pdf sheets)
Het rekenonderwijs gebeurt in klassen, door leraren die daarvoor meestal gebruik maken van een rekenmethode van deze of gene uitgever. Dit rekenonderwijs kan en zal verschillen van het rekenonderwijs zoals dat in publicaties over ‘realistisch’ rekenonderwijs (RR) is te vinden. Het gaat nu even niet over die verschillen, maar over de praktijk van het klaslokaal en over het drukwerk van onderwijsuitgevers. Het gaat er ook niet om hierin volledig te zijn: het voldoet om een representatieve indruk te hebben. In 2007 waren vrijwel alle rekenmethoden gebaseerd op het RR van het FI. Jan van de Craats (2007) heeft enkele daarvan kritisch beschreven, een beschrijving die wat zijn feitelijke basis betreft niet is aangevochten vanuit het FI, als ik het goed heb. Ik wil hier inventariseren welke punten hieruit van belang zijn voor het te schrijven artikel.
“Hier worden vier verschillende aanpakken van vermenigvuldigopgaven getoond in denkwolkjes. Elk van de opgaven vraagt in feite om een eigen aanpak. Maak alle opgaven en kies bewust voor een aanpak. Wee je zeker dat je de handigste manier hebt gekozen?”
Thema 1. RR: een veelvoud aan mogelijke aanpakken, die kunnen verschillen in ‘handigheid&rsquo, waarbij het de opgave is om van de mogelijke aanpakken de handigste te kiezen. (tekst in bovenstaand box, en illustratie in vdC figuur 1 linksboven). (zie ook vdC 'mythe 3' p. 133)
Dus niet een enkele goede methode die altijd tot een oplossing leidt (vergissingen daargelaten).
Hier wordt het rekenonderwijs op zijn kop gezet, omgedraaid. De leerlingen leren niet de goede aanpak, maar moeten een improviserende aanpak leren. De omkering zit hem hierin dat het didactisch verantwoord kan zijn (middel) om uit te gaan van het begrip dat de leerling van de nieuwe techniek (vermenigvuldigen) heeft, eventueel bij geschikt gekozen ‘handige’ getallen, maar het doel is om hem de goede methode te laten begrijpen en leren, de methode die ook bij ‘onhandige’ getallen de oplossing biedt. Voor het delen kan het didactisch verantwoord zijn om uit te gaan van eenvoudige stappen die de leerling zelf al kan bedenken (middel), maar uiteindelijk moet het doel zijn dat de leerling de algemene methode begrijpt en toepast. De verwarring bij de methodenontwikkelaars is best te begrijpen wanneer we zien hoe vanuit het FI dat ‘handig’ wel degelijk als doel op zich wordt gezien (o.a. in Treffers, 2010).
“Omdat het cijferend rekenen binnen het basisschoolprogramma een minder grote aandacht zal krijgen en meer het kolomsgewijs rekenen centraal gaat staan, zal eerst dit onderdeel geoefend worden.”
Rekenwijzer, p. 23, geciteerd door vdC p. 135, die eraan toevoegt dat de standaardalgoritmen vervolgens niet worden behandeld.
Thema 2. RR: kolomsgewijs rekenen (hapmethode bij delen). Onderscheidt zich van het ‘handig’ rekenen in deze zin dat het wel altijd valt toe te passen. Het probleem is dat het een methode is die bij wat reëlere getallen al gauw ononoverzichtelijk is, en alleen al om die reden didactisch onwenselijk. In de theorie van het RR is dit een middel om uiteindelijk tot beheersing van de standaard-algoritmen zoals de staartdeling te komen, maar is het niet erg wanneer niet alle leerlingen dat halen. Dat laatste lijkt al behoorlijk bedenkelijk, want het beekent dat voor sommige leelringen het handmatig kunnen uitvoeren van een deling als een niet op de basisschool haalbaar doel wordt gezien. Wat vinden we dan in de RR-rekenmethoden: is daar het standaardalgoritme nog steeds het uiteindelijke doel, of is dat kolomgewijs rekenen geworden, is ook hier het doel vervangen door het middel? Zie bovenstaande box, die laat zien dat sommige Pabo-studenten straks voor de klas staan zonder te weten wat een staartdeling is.
De Moor en Uittenbogaard (2009). Basisvaardigheden Rekenen voor de Pabo, Wolters-Noordhoff, heeft een verbijsterende inhoudsopgave, waarin voor het rekenen alleen kolomsgewijs rekenen wordt behandeld:
http://www.basisvaardighedenrekenen.wolters.nl/7122_basisvaardigheden_rekenen/_assets/7122d02.pdf
Thema 3. Eerst begrijpen, dan oefenen. Dit koppelt vdC (p. 133, mythe 1) niet direct aan het RR. Blijft dus even pro memorie staan, tot ik vindplaatsen heb die dit principe in het RR geven. Hiertegenover stelt vdC dat oefenen en begrijpen meer gelijkop gaan. Als psycholoog wil ik het aanscherpen: leerlingen zullen altijd proberen op hun eigen wijze te begrijpen, zin te geven aan wat de leraar doet of uitlegt, en dat begrijpen zal vaak verkeerd zijn (misvattingen, overgeneralisatie, ondergeneralisatie etc). Oefeningen en elkaar helpen, uitleggen en corrigeren zullen het begrip scherper maken. Ik weet niet of dit thema wel past in de 'omdraaiing', zo niet, dan kan het in het filosofie-artikel.
Thema 4. RR: geen rijtjes sommen (rijtjessommen) (mythe 2: leerlingen haten rijtjessommen). Ook hier geeft vdC geen bronnenmateriaal. Er lopen bij vdC een paar subthema’s door elkaar. In RR-methoden zouden leerlingen bij iedere nieuwe rekenopgave met een niuew probleem worden geconfronteerd, waardoor ze geen gelegenheid krijgen zelfvertrouwen op te bouwen waar het gaat om de beheersing van een rekenmethode. En daar komt ook de RR-ovatting over het belang van leren probleemoplossen (als competentie, dus los van het rekenen) om de hoek kijken: onderwerp voor het andere artikel filosofie/psychologie. Dit thema 4 dus ook nog even pro memorie.
Thema 5. Dit moet ik nog onderzoeken, want dit artikel van Jan geeft er geen houvast voor: is het gebruikelijk in RR-methoden om de nadruk te leggen op het oplossen van telkens nieuwe probleempjes, om het inoefenen van basale kennis van de getallen onder 10 (optellen, vermenigvuldigen, aftrekken (van getallen onder 20) te verwaarlozen. En zo nog een paar kleinigheden. Ik zal dat wel tegenkomen in de RR-literatuur vanuit het FI. Ik heb enkele lesboeken (Goffree, voor de Pabo, bijvoorbeeld), waaruit dat mogelijk expliciet wordt. Ik moet er de literatuurlijst van het FI ook maar eens op nakijken. Ik heb zelf namelijk het simplistische idee dat zonder vloeiende beheersing van de rekenbewerkingen met getallen onder 9, het met het rekenonderwijs niets kan worden omdat dan iedere nieuwe opgave teveel problemen tegelijk bevat voor de slachtoffers/zwakke rekenaartjes. Waar kan ik dat idee vandaan hebben? Van Lebiere & Anderson waarschijnlijk, in die hoek zit in ieder geval onderzoek dat direct relevant is voor het rekenen met kleine getallen. En rekenen met grote getallen bestaat immers uit het rekneen met kleine getallen, of vergis ik mij daarin?
Aangestipt (NAW):
Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.
Fred Goffree (1979). Leren onderwijzen met Wiskobas. Onderwijsontwikkelingsonderzoek 'Wiskunde en Didaktiek' op de pedagogische akademie. Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht/IOWO. Het notenapparaat is in een afzonderlijk deel van ca 80 bladzijden ondergebracht, en is niet in mijn bezit (ik zal het lenen).
Eerst maar een enkele al wat oudere aantekening. Wat Goffree het ontwikkelingsonderzoek van Wiskobas noemt: werkendeweg knutselen aan een rekenmethodiek die met oude zonden in het rekenonderwijs breekt. Er is geen sprake van enige wetenschappelijke aanpak, geen gebruik van relevante inzichten uit bijvoorbeeld de onderwijspsychologie. Daar waren de deelnemers, onderwijzers en leraren, ook niet voor toegerust, en daar was de tijd ook niet voor beschikbaar. Dan blijft als enige wetenschappelijke inbreng die van de wiskundigen zelf over, met name Hans Freudenthal. Maar was niet juist een hoofdfout in het vroegere rekenonderwijs dat het alleen en uitsluitend vanuit de wiskunde werd gevoed en gestuurd? Dat bedoel ik met onthullend.
Het proefschrift is een onmisbare monumentale beschrijving van de wording van realistisch rekenen, althans enkele belangrijke kanten van die wordingsgeschiedenis.
Hoofdstuk 1 ‘Tussen rekenkunde en didactiek’ beschrijft het rekenonderwijs op de kweekscholen in de vijftiger en zestiger jaren, een nuttig referentiepunt.
“Regeltjes gebruiken voor het oplossen, ezelsbruggetjes kennen voor het onthouden en het uit het hoofd leren van voorgeschreven bewijzen, zijn kenmerken van de algoritmische instelling waarmee de kwekelingen in die tijd [nog voor 1952] kunnen slagen voor voor hun eksamen, om daarmee de bevoegdheid te verwerven tot het geven van rekenonderwijs.”
blz. 29
Goffree heeft hier ongetwijfeld gelijk. Maar het is een kwalitatieve uitspraak: het komt voor dat. In welke mate blijft onzeker. Vergelijk ik met mijn eigen wiskundeonderwijs, eindexamen β 1962, dan kan ik mij absoluut geen trucjesonderwijs herinneren (al moest je voor gonio wel veel betrekkingen ut je hoofd kennen) (analytische meetkunde begreep ik niet, dan ben je afhankelijk van veel weetjes; pas op de dag voor het mondeling examen viel het kwartje, en boekte ik de volgende dag een tien). Ik wijs er toch maar even op dat wat ‘kan’ niet altijd zo gebeurt, en dat het niet volgt dat een kwekeling die het van de uit het hoofd geleerde trucjes moet hebben, op de lagere school trucjes-rekenonderwijs gaat geven. Nogmaals: Goffree geeft hier geen informatie over het karakter van het rekenonderwijs in de basisschool.
Goffree is in dit eerste hoofdstuk aan het worstelen met de worstelingen van studieboekenauteurs en docenten met de rekenkunde en het rekenonderwijs. Dat intrigeert me wel, ik ben het hoofdstuk toch maar gaan lezen. Halverwege gekomen, heb ik de indruk dat Goffree het een goed idee zou vinden dat je de natuurkunde van het fietsen goed begrijpt, voordat je je eigen inderen leert fietsen. Eens zien of die indruk blijft bestaan, want waar ik me geweldig aan stoor in wiskobas is de expliciet uitgedragen filosofie dat de leerlingen in de basisschool wiskundige inzichten moeten verwerven, dat ze wiskunde moeten leren, dat ze moeten leren denken zoals een wiskundige denkt. Ik hoop maar dat ik dat allemaal verkeerd heb begrepen. En dat moet haast wel, anders zou wiskobas algebraïsch rekenonderwijs hebben voorgestaan, waarover Philip Kohnstamm voor de oorlog een discussie probeerde aan te zwengelen, en waar Davydov in de zestiger jaren mee experimenteerde.
Terug naar het rekenen in het LO. Goffree (blz. 40) noemt de kritiek van pedagogiekleraar en direkteur van de kweekschool in Dordrecht op het anno 1946 gegeven rekenonderwijs. Ik selecteer enkele punten, aannemende dat Goffree p zijn beurt Boersma letterlijk citeert:
Kritiek van T. Boersma, in 1946 direkteur van de kweekschool van Dordrecht en leraar rekenpedagogiek. Geciteerd in Goffree, blz. 40
Het in de box geciteerde is kennelijk wat Boersma Goffree heeft verteld, niet een publicatie van Boersma uit 1946. Neem ook in de beschouwing mee dat het lager onderwijs in de dertiger jaren in veel opzicten onvergelijkbaar is met dat in de zeventiger jaren, al was het alleen maar omdat veel leerlingen in armoedige omstandigheden leefden. Merk op dat Boersma een niet geheel coherent beeld geeft: kennelijk is met de examentraining alleen het onderwijs bedoeld aan leerlingen die waarschijnlijk na de lagere school door zouden gaan naar vervolgonderwijs waarvoor toelatingsexamens werden gehanteerd. Ga er rustig vanuit dat die leerlingen kwalitatief beter onderwijs kregen. Bedenk vervolgens dat dit één zegsman is, en dat Goffree er geen onafhakelijke of objectieve gegevens bij verstrekt die het verhaal van Boersma ondersteunen. Voor mij blijft over dat waarschijnlijk op de meeste lagere scholen voor de lagere sociale klassen het rekenonderwijs de door Boersma beschreven trekken vertoonde. Er moeten veel scholen zijn geweest waar gewoon goed rekenonderwijs werd gegeven, of zelfs experimenteel rekenonderwijs (de Kees Boeke-school?).
De tweede helft van dit eerste hoofdstuk beschrijft de wanorde in het rekenonderwijs aan de kweekscholen na het besluit van 1952. En doet dat geheel in stijl: wanordelijk. Het is een wereld die ik niet ken, maar het soort chaos komt me wel bekend voor. Het doet me bijvoorbeeld denken aan de lastige situatie waarin leraren Nederlands zich heel lang hebben bevonden: individueel aan hun didaktische lot overgelaten, en dus individueel genoodzaakt eigen didaktische oplossingen en inhoudelijke programma’s uit te ontwikkelen. Was het Hulshof die dit in zijn oratie heeft beschreven?
Het is goed dat Goffree deze barre wereld van rekendidactische onmacht in de vijftiger en zestiger jaren in enig detail heeft beschreven. Het levert een scherp contrast op met de ordelijk uitgewerkte didactiek zoals die in wiskobas-publikaties van 1975 en later is te vinden (de leerplandokumenten; het eerste dokument, 1975, de ‘kiekkas’ van Treffers, heb ik nog niet onder ogen gehad). Ik kan me wel voorstellen hoe het inhoudelijke succes van wiskobas gevoeld moet hebben voor het wiskobas-team. En ook dat in ieder geval in de zeventiger jaren de noodzaak voor een degelijke empirische onderbouwing van een en ander niet werd gevoeld, nog afgezien van de expliciete afwijzing hiervan zoals door Hans Freudenthal geformuleerd in zijn voorwoord (1973) tot Mathematics as an educational task annotatie.
Hoofdstuk 2 In het kader van wiskobas
Het verhaal van een zoektocht, tot 1976, tamelijk stuurloos als je Goffree mag geloven, geen plan, wel een abstract doel (een leerplan), pas in 1976 daagt het (p. 114-115) dat voor alle reflectie, overleg en verslaglegging van wat er in klassen gebeurt de betrokken docenten en studenten geen taal hebben om zich in uit te drukken, dus ook geen referentiekader op basis waarvan ze beter kunnen observeren wat er gebeurt. Tijd voor theoretische verdieping. Kennelijk bevatte de ‘kiekkas’ van Treffers dat zo nodige kader niet. En Mathematics as an educational task even kennelijk al helemaal niet. Recent promoveerde Oonk (2009) op onderzoek naar de manier waarop leraren in opleiding hun theorietisch kader gebruiken om te beschrijven (zie vooral par. 2.5 en 2.6 over wiskobas en over leren vermenigvuldigen).
Het is moeilijk om zich op basis van de tekst van Goffree een beeld te vormen, anders dan een team dat maar wat probeert, en zo stapje voor stapje probeert verder te komen. Leidraad lijkt het adagium van Hans Freudenthal te zijn: wiskunde als een menselijke activiteit. Het idee is om uit te gaan van de actieve rol van leerlingen, en dat blijkt in de praktijk goed aan te slaan: iedereen gaat daar enthousiast in mee. Hans Freudenthal ook, uit autobiografische opmerkingen elders (Freudenthal 100). Erg samenhangend is het niet, Treffers zal er in 2005 over zeggen dat er vooral thema’s werden uitgewerkt, wat heel herkenbaar is in de tekst van Goffree. Goffree geeft eigenlijk geen voorbeelden van dat materiaal, zie daarvoor de publicatie (1976) ‘Five years IOWO’ in Educational Studies in Mathematics, of als dat toevallig bij de hand mocht zijn: Rob de Jong, Adri Treffers & Edu Wijdeveld (Red.) (1975). Overzicht van wiskundeonderwijs op de basisschool. Model voor een schoolwerkplan. IOWO. Leerplanpublikaties wiskobas 2/3, wiskobas-bulletin december 1975. Circa 350 bladzijden.
Hoofdstuk 3 Wiskobas ‘op de vierkante meter’
Hoofdstuk 4 Leren onderwijzen met wiskobas
Hoofdstuk 5 Wiskobas buiten de grenzen
De commissie-Lenstra van de KNAW pdf heeft dit onderwerp al behandeld (hoofdstuk 3. Rekenvaardigheid). Daar kan ik dus naar verwijzen, en alleen toevoegen wat aan de uiteenzetting van de commissie iets toevoegt. Waartoe mogelijk de volgende zaken in deze sectie.
uit vergelijkend onderzoek van Harskamp, 1988, nog vóór ‘De Proeve’
“Gezien de uitkomsten van het onderzoek menen we te kunnen concluderen dat men, gegeven deze condities aan meer van de moderne methoden voor de prestaties van leerlingen mag twijfelen.
Deze conclusie wordt mede ondersteund door de uitkomsten van verschillende deelonderzoeken gedaan naar bijv. het optellen en aftrekken (Bruins en Bloemkolk 1987) naar vermenigvuldigen (Vrij, Kanselaar en Streefland 1987) en breuken (Beek, Maanen[sic] e.a. 1987) waarin geen verschillen kunnen worden aangetoond tussen moderne rekenmethode en een traditionele rekenmethode wat betreft de uiteindelijke toetsprestaties van leerlingen.”
E. G. Harskamp (1988). Rekenmethoden op de proef gesteld. Proefschrift Rijksuniversiteit Groningen. RION. p. 89
Het onderzoek van Harskamp is een kwarteeuw oud, maar het geeft goed geanalyseerd aan waar vergelijkend onderzoek tussen RR-gebaseerde en andere methoden tegenaan loopt. Een relevant punt is bijvoorbeel dat uit bekend onderzoek (maar niet binnen Nederland verricht) blijkt dat mogelijke verschillen in prestaties maar voor een heel klein deel door verschillen in gebruikte methoden verklaard blijken te kunnen worden. Maar goed, dat zou met RR wel eens heel anders kunnen zijn, de pretenties waren in ieder geval torenhoog. En dan blijken de pretenties van hun voetstuk te vallen.
Dit werk van Harskamp is wat mij betreft nog steeds zeer de moeite waard, hoe gedateerd ondertussen ook. Harskamp doet een geslaagde poging om overzichtelijk te modelleren wat er op de vloer van de klas gebeurt, en slaagt erin dat kwantitatief te maken in een bepaald niet kleinschalig onderzoek. Onafhankelijk van de Utrechtse groep, in Groningen, en met projectgeld van SVO (mogelijk met bemoeienis van het departement ter beschikking gesteld, maar dat is geenszins zeker omdat SVO juist als makelaar van onderwijsonderzoek op enige afstand van departementementale bemoeienis is gezet)
Een punt dat nog wel even de aandacht moet hebben: Harskamp heeft het niet over kolomrekenen en happend delen. Dus op het waarschijnlijk meest kwetsbare punt van de RR-methoden, zijn mogelijk geen metingen verricht in dit vergelijkend onderzoek. Dit is ook weer zo'n voorbeeld hoe lastig het kan zijn om zaken te signaleren die er NIET zijn. Ik vermoed dat Harskamp aan dat kolomgedoe nergens in zijn prettig korte proefschrift aandacht besteedt (behalve in punt 5 en 6 van het lijstje dat hij van De Jong overneemt, op p. 8), wat mogelijk betekent dat het voor de leerkrachten geen issue was (zodat zij dat ook niet implementeerde?). Mogelijk heeft Harskamp nog de beschikking over de details van de beoordeling hoe getrouw methoden zijn uitgewerkt naar de 21 wiskobas-kenmerken van De Jong, waaronder de 'progressieve schematiseringen' van vermenigvuldigen en delen.
“Het intelligentieniveau van klassen (tweede hypothese)
Uit de analyse blijkt een grote directe invloed van de gemiddelde intelligentiescore van klassen (IQ) op de CITOR (b= .65) en RIONT (b= .55). Het totale effect van van IQ op RIONT (direct en indirect via CITOR) is .82. Er is geen andere factor in het model met een dergelijke grote invloed op rekenprestaties. Het intelligentieniveau van een klas speelt een belangrijke rol in de keuze voor een moderne of een traditionele methode. Moderne methoden worden vooral gebruikt bij klassen met een hoger intelligentieniveau (b= .31).”
Harskamp, p. 78.
Niet verrassend, maar wel heel opmerkelijk, ook om het eens onverbloemd in druk te zien: de padcoëfficiënt van verschillen in klassen-IQ-scores naar klassenverschillen op de Cito Eindtoets Basisonderwijs is .65. Dit getal is niet een correlatie, maar geeft aan dat een IQ-score die voor de klas van Marietje een standaarddeviatie hoger is dan voor de klas van Jan, naar statistische verwachting leidt tot een .65 standaarddeviatie hogere klasse-score op de Cito Eindtoets. Voor de rekentoets van het RION komt de totale invloed zelfs op .82.
Nu moet niemand aan deze empirische resultaten absolute waarde toekennen. Dit is onderzoek in een heel slordige onderwijswereld, niet in een laboratorium, met een sterk vereenvoudigd padmodel voor alle mogelijke oorzakelijke samenhangen. De gegevens zijn ook niet direct vergelijkbaar met wat voor verschillen tussen leerlingen zou worden gevonden (heeft Harskamp die analyse later misschien alsnog gedaan?). Klassengemiddelden zijn bepaald andere statistische grootheden dan individuele scores.
Pro memorie zij hier het probleem vermeld dat een belangrijk deel van verschillen in prestaties direct te maken hebben met verschillen in intelligentie, waaronder ook begrepen het fenomeen dat toetsvragen gewoon regelrechte intelligentietestvragen kunnen zijn. Dat hier een probleem ligt, zal iedereen onmiddellijk begrijpen: aan verschillen in intelligentie heeft het onderwijs wel een grote boodschap, maar aan het fenomeen op zich kan ze weinig of niets doen, laat staan leerlingen intelligenter maken. Het onderwijs is er voor iets anders, en dat ‘iets anders’ is wat ook uit peilingsonderzoeken moet kunnen blijken. Het RR zit middenin deze problematiek, omdat mij geen empirisch toetsend onderzoek bekend is dat heeft kunnen aantonen dat alle slimmigheid en handigheid die het RR promoot, onafhankelijk is van verschillen in intelligentie. Dit thema past beter in het parallel-artikel.
bescheidenheid
"Aangezien het onderwijs naar menselijke maat gemeten moet worden, is het noodzakelijk het hiervoor gestelde over de zogenoemde reconstructiedidactiek die aan deze 'Proeve . . .' ten grondslag ligt enigszins te nuanceren en te relativeren.
Ten eerste werden met de reproductiemethodiek en de reconstrutiedidactiek twee extreme onderwijsvisies tegenover elkaar gesteld, terwijl er in de onderwijswerkelijkheid juist meestal tussenvormen worden gepraktizeerd. Of sterker: waar alleen maar mengvormen mogelijk zijn."
Treffers, De Moor en Feys (1989), in de ‘Proeve’ p. 20
Ik weet niet hoe vanuit het OW&OC op dit proefschrift van Harskamp is gereageerd, ik heb er in de geschriften van het OW&OC/FI nog geen verwijzing naar gezien (maar zie Goffree 1988, 1995). Wel is opvallend dat in de Inleiding van De Proeve I (1989) een afsluitende paragraaf is opgenomen, zie het citaat in bovenstaande box, die heel deemoedig is geformuleerd: dat in de praktijk verschillende methoden toch dicht bij elkaar kunnen liggen. Dat neemt niet weg dat in de bladzijden daarvoor de auteurs een schril contrast hebben aangebracht: de grote nadelen van ‘reproductief’ rekenen, de grote voordelen van ‘reconstructief’ rekenen. Dit zwart maken van de producten van de concurrentie, en ophemelen van de eigen producten, is niet geschrapt. In tegendeel, dit is de lijn van de PR die van meet af aan in IOWO t/m FI is gevoerd, tot en met de autobiografie van Adri Treffers (2010). Als daar in volstrekt objectieve zin een oordeel over valt uit te spreken, dat is dat zeker dit: het getuigt van een onwetenschappelijke houding. De jongelui van het IOWO hebben destijds niet opgemerkt dat het notabelen zoals dokters en advocaten destijds niet was toegestaan om reclame voor de eigen zaak te maken. Had iemand ze daar maar eens op gewezen . . .
Een klacht die regelmatig valt te horen en te lezen is dat Nederlandse scholieren van 12 jaar niet meer probleemloos eenvoudige rekenopgaven snel kunnen uitrekenen. Ik leg dit probleem hier maar even in hypothetische zin neer, omdat het nog lastig kan zijn er harde informatie over te verzamelen. Harde informatie kan zijn: systematische analyse van het rekendeel van de Cito Eindtoets Basisonderwijs, zijn de rekenopgaven eigenlijk wel rekenopgaven, is het eigenlijke rekenwerk wel van niveau groep 8, en is de tijd voor deze rekenopgaven misschien zo ruim bemeten dat de leerlingen weg komen met simpele maar tijdrovende oplossingen, zonder dat zij funderende rekenbewerkingen met getallen beneden de tien voldoende hebben geautomatiseerd? Idem van leerlingvolgsystemen voor het basisonderwijs (zie Hickendorff & Janssen pdf voor een onderzoek dat mede hierover gaat)
Ik ben iedere keer weer verbaasd bij zo'n bericht uit de samenleving. Ik kan het ook niet goed plaatsen naast alle berichten dat onze Inspectie zo ijverig de kwaliteit van het basisonderwijs bewaakt.
Kennelijk is het mogelijk dat hele scholen het contact met de werkelijkheid in de loop van de tijd hebben verloren, zelf dus niet corrigerend hebben ingegrepen, en er evenmin van buiten op zijn gewezen dat er iets verschrikkelijk fout is gegaan.
Om op dat laatste punt even door te gaan: de Cito Eindtoets Basisonderwijs zit kennelijk zo in elkaar dat beschikbare tijd en aantal rekenproblemen zó op elkaar zijn afgestemd dat het mogelijk is om wat routinematig vlot opgelost moet kunnen worden, op omslachtige wijze alsnog tot een oplossing te brengen. Alsof je je proefvertaling moet maken door de betekenis van ieder tweede woord op te zoeken in het woordenboek dat je bij je mag hebben.
Want dat is het opmerkelijke: er is bijna niets eenvoudiger te toetsen dan het vermogen om vlot te rekenen (de bewerkingen met enkelcijferige getallen volledig geautomatiseerd te hebben). De vervolgvraag is dan: kennelijk is er in de leerlingvolgsystemen van het Cito evenmin plaats ingeruimd voor toetsen op deze funderende rekenvaardigheden. Het zou een mooie stunt zijn voor de Volkskrant om een landelijke rekenquiz tussen scholen te organiseren en op TV uit te zenden, gericht op eenvoudige rekenvaardigheden. Als vervolg op de Nationale Rekentoetsen 2006 en 2007.
Ik vind het wel een belangrijk punt, en ben er tot nu toe in mijn zoektocht in de publicaties van en over realistisch rekenen eigenlijk te weinig over tegengekomen, behalve Leids empirisch onderzoek (Van Putten, Hickendorff e.a.).
C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27 #1, 37-40. pdf.
http://www.leidenuniv.nl/nieuwsarchief2/1602.html
Bijv. “Alleen sterke rekenaars bleken in 2004 met alle strategieën succesvol op de opgave 99 × 99, maar gemiddelde en zwakke rekenaars boekten alleen succes met de traditionele vermenigvuldiging.” Van Putten constateert een omdraaiing, in het hart van de controverse over Nederlandse rekenresultaten:
Naar mijn mening is deze redenering van Treffers onhoudbaar. Hij gaat uit van veronderstellingen die aantoonbaar niet kloppen en hij zet bovendien de zaak op zijn kop. Om met het laatste te beginnen. Het realistische rekenonderwijs heeft juist als kernpunt de diversiteit aan rekenstrategieën van leerlingen. Die diversiteit zien we dan ook terug in de peilingen: traditionele naast realistische oplossingsstrategieën, volledig uitgeschreven berekeningen naast kleine geheugensteuntjes, en zoals gezegd, ook vele antwoorden zonder enige uitwerking erbij. Zo rekenden de leerlingen anno 2004 en de PPON-resultaten maken daar de balans van op. Te stellen, zoals Treffers doet, dat in PPON de leerlingen geïnstrueerd zouden moeten worden om bij de bewerkingen alleen maar schriftelijk te rekenen, zou peilingen opleveren die niet weerspiegelen hoe leerlingen van nu hebben leren rekenen. Dat zou pas een invalide meting opleveren.”
De slotalinea zegt het niet met zoveel woorden, maar stelt scherp aan de orde dat idealistische uitgangspunten van vernieuwend onderwijs aan het eind van de dag wel empirische toetsing behoeven, en dat dan kan blijken dat de effecten waarschijnlijk omgekeerd zijn aan wat de bedoeling is:
Van Putten reageert op: A. Treffers (2007). De kwaliteit van het rekenonderwijs; een virtueel vraaggesprek. Reken-wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, Panama-Post 26(4), 11-17. pdf Dit stuk lezend is het inderdaad duidelijk dat Treffers de rol van advocaat van het ‘realistisch rekenen’ op zich neemt. Waarom is dat nou nodig? Het gaat Nederland toch niet om het ‘realistisch rekenen’, maar om adequaat rekenonderwijs?
In zekere zin een dupliek en een interview met/tussen Treffers en Van Putten: M. van Zanten & K. Buijs (2009). Aandachtspunten voor verbetering van het reken- wiskundeonderwijs. Een dubbelinterview met A. Treffers en K. van Putten. Panama-Post, 28 #1, 76-83. pdf
F. Goffree (1995). Onderzoek en ontwikkeling: vàn en vóór het reken-wiskundeonderwijs in Nederland. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 13, 165-200. pdf
This article describes an explorative expedition through Dutch educational research in the field of primary mathematics. The core question is: what kind of investigations does inspire a mathematics teacher educator?
p/ 165
Goffree zet het beeld meteen stevig neer in de summary. Onderzoek = ontwikkelingsonderzoek. Goffree gaat het dus niet eens worden met de hardere wetenschappelijke opvatting dat onderzoek = empirisch toetsend onderzoek. Empirisch toetsend: niet in de zin van proberen hoe het kan, maar of generalisaties en vergelijkingen houdbaar zijn. Vergelijkingen: zoals het vergelijkend onderzoek van Harskamp.
Goffree begint meteen te katten: de kwarteeuw voorafgaand aan 1970 heeft niets interessants opgeleverd, pas met wiskobas komt er leven in de brouwerij. Ik moet dus een grote tegenzin overwinnen om dit lange artikel grondig te gaan lezen. Goffree begint met een sectie verongelijkt zijn (sectie 1), ik vergeet dat pijlsnel, zoals ook de gedachten over onderzoek (sectie 2).
In sectie 3 p. 171 geeft Goffree een nuttig overzicht van wat anno 1984 in Nederland aan projecten onderhanden is. Goffree rubriceert een aantal onderzoeken als evaluatieonderzoek (‘onderzoek dus als het ontwikkelingswerk grotendeels afgerond is’), o.a. Rengerink (staartdelen), van Tilburg, Nelissen (dissertatie), Beishuizen (leermiddelen), Treffers (cijferleergangen), de scriptie van Van den Heuvel-Panhuizen krijgt hier ook een vermelding. [Ik wil dit natrekken, behalve die scriptie dan, die is ook niet vermeld in de literatuurlijst, evenmin als Rengerink, van Tilburg, Nelissen (is dat de Nelissen die met Van Parreren in 1977 het boekje Rekenen uitbrengt?), Beishuizen, of Treffers. Nog nooit zoiets meegemaakt. Het nuttig overzicht blijkt een slop te zijn.] Het ‘nationaal plan voor het reken-wiskundeonderwijs’ is dan al een voornemen, zal uit meerdere onderzoeken gaan bestaan “die goed beschouwd tezamen een uniek onderwijs-ontwikkelingsproject vormen”. Ik citeer Goffree hier letterlijk, omdat zijn karakterisering van dat nationaal plan wel treffend is: hij schrijft niet dat het nationaal plan wordt gebouwd op wat zich empirisch heeft bewezen. Goffree zal mogelijk zeggen, gaat dat misschien verderop in het artikel ook zeggen, dat ontwikkelingsonderzoek heeft bewezen dat het werkt zoals beschreven; de onderwijsonderzoeker brengt daartegenin dat daarmee niet is aangetoond dat die effectiviteit generaliseert naar het hele Nederlandse basisonderwijs, bijvoorbeeld.
De voortrekkers laten zich leiden door een globale theorie op de achtergrond, maar in het werk domineert de ontwikkelingscomponent. Niet gestoord door eindeloos getheoretiseer kunnen zij hun didactische uitvindingen doen en de effecten ervan in de schoolklassen onderzoeken.
p. 172
Ik houd wel van uitspraken zoals de hierboven geciteerde: sleutels tot het denken van de auteur. Het is toch opmerkelijk dat Goffree, een enorm ervaren docent en onderwijsontwikkelaar, hier minachtend spreekt over theorie, en serieus meent dat de ontwikkelingsonderzoeker ‘didactische uitvindingen’ doet, en die meteen ook maar even op effecten onderzoekt. Ik ben bang dat Goffree met dat laatste overigens wel gelijk heeft, en dat hij de achilleshiel aanwijst van de wijze van onderwijsontwikkelen die in het wiskobasproject en zijn opvolgers is beoefend. Reflectie van de onderzoeker is voor Goffree van belang. En observaties van de kinderen zelf zijn belangrijk. Hoe kan ik dit met droge ogen lezen: onderwijzers hebben altijd al hun leerlingen geobserveerd, als daar anno 1971 helemaal niets uit is voortgekomen, waarom zouden de observaties van Goffree en de zijnen na 1971 tot beter rekenonderwijs leiden? Het is mij een raadsel. Waarom heeft Goffree zich niet eens samen met een harde empiricus en met zijn concept-tekst een week teruggetrokken op de Veluwse hei? Laat ik ook sectie 4 maar liever vergeten. De tragiek van de Utrechtse groep lijkt te zijn dat zij het belang van empirisch toetsend onderzoek verkeerd begrijpen: zij zien de kunstjes met statistiek en missen de aandacht voor wat er concreet in de klas gebeurt, en beseffen niet dat toetsend onderzoek los moet komen van de bijzonderheden in de klas, en methodologisch goed in elkaar moet zitten omdat er heel, heel veel leergeld is betaald met onderzoek dat op dit punt niet zorgvuldig was (Hawthorne effecten en wat dies meer zij). Maar ook aan het begin van het ontwikkelingsonderzoek is empirisch toetsend onderzoek van belang: de theoretische noties waar het ontwikkelingsonderzoek op berust, moeten bij voorkeur toch zo'n degelijke onderbouwing hebben (het artikel over de psychologie en filosofie achter het RR zal daar vooral op ingaan).
Sectie 5 is de kern van het artikel: het onderzoek in de periode 1985-1995. Veertig onderzoeken, bijna alle onderzoekers hebben meegewerkt aan het project van Goffree om dit onderzoek te beschrijven. Goffree hanteert de volgende indeling:
Iedere lijst heeft zijn beperkingen, en Goffree hecht eigen betekenissen aan termen. Allemaal prima. Op voorhand laat ik al weten dat Goffree het proefschrift van Harskamp (1988) onvermeld laat. Hoe is dat mogelijk? Goffree moet dat toch uit zijn hoofd kennen? Het is ongeveer het enige onderzoek dat echt behoorlijk empirisch mag heten, en hij laat het buiten beschouwing, behalve in een zin die alleen voor insiders te begrijpen is (blz. 167 bovenaan), en dus niet vergezeld gaat van een concrete literatuurverwijzing (behalve naar een stuk van eigen hand, 1988).
Ik sla uit de behandeling van Goffree alles over wat niet echt ter zake is voor de vraagstelling over onderzoek en RR.
Evaluatieonderzoek in 1985-1995
Goffree hanteert de term ‘evaluatieonderzoek’ heel breed. Het proefschrift van R. A. de Jong, Wiskobas in methoden (1986) valt in deze categorie. De Jong stelt wiskobas-profielen op voor alle rekenmethoden in de periode 1965-1985.
Het MORE-onderzoek. Gravemeijer, K., Van den Heuvel-Panhuizen, M ., Van Donselaar, G., Ruesink, N., Streefland, L., Vermeulen, W., Te Woerd, E.en D. van der Ploeg (1993), Methoden in het reken-wiskundeonderwijs, een rijke context voor vergelijkend onderzoek, Utrecht: CD-/β Press (genoemd in rapport-Lenstra; de publicatie lijkt niet online beschikbaar). Goffree meldt er alleen over dat het nieuwe mogelijkheden voor ‘realistisch toetsen’ heeft opgeleverd (ik vind dit wel een beetje eng, eigenlijk). Via Google Scholar brengt dit mij naar Kroesbergen, van Luit en Maas (2004) http://www.jstor.org/pss/3202951 (zie rapport-Lenstra; dat rapport noemt niet het proefschrift van Kroesbergen, 2002)), het proefschrift van Van den Heuvel-Panhuizen (pdf) (niet in rapport-Lenstra, ik neem dus maar aan dat dit proefschrift niet empirisch-toetsend is).
For the record, ik heb niet de beschikking over een pdf: Ton de Jong, Petra Hendrikse & Hans van der Meij (2010). Learning mathematics through inquiry: A large-scale evaluation. In Michael J. Jacobson & Peter Reimann: Designs for learning environments of the future. International perspectives from the learning sciences. Springer. 189-204. books.google.nl geeft een groot deel van de tekst. Het gaat om een experiment met controlegroepen, niet ‘large scale’ maar wel bij elkaar 400 leerlingen. Geen idee waar het eigenlijk over gaat, behalve een soort RR-didactiek vs traditionele didactiek. Onderzoekers zijn blij met hun resultaten, maar zouden terughoudender moeten zijn.
Willemsen, T. (1994), Remediële rekenprogramma's voor de basisschool. Een effectstudie. GION, Groningen. (proefschrift; genoemd in rapport-Lenstra)
Streefland, L. (1991). Fractions in realistic mathematics education. A paradigm of developmental research. Dordrecht: Mathematics Education. (het proefschrift is gewoon in het Nederlands; genoemd in rapport-Lenstra). Rapporteert mooie resultaten voor RR-breukenonderwijs, waar ook Goffree op wijst, maar de commissie Lenstra kan daar niet in meegaan: “Bij gebrek aan informatie was statistische toetsing van de verschillen en het berekenen van effectgroottes niet mogelijk. Ook kon geen rekening gehouden worden met eventuele aanvangsverschillen tussen de groepen leerlingen.” Goffree wijst op een ‘indrukwekkend vervolg’: Treffers, Streefland en De Moor, 1994. Maar dat is de 'Proeve van een nationaal programma', en dus geen onderzoek. Waar is Goffree mee bezig?
Legitimeringsonderzoek in 1985-1995
Ofwel: wat vinden deskundigen ervan. Dus ook: wie is deskundig? Voor de ‘Proeve’ is er veel inbreng van deskundigen geweest. Goffree aarzelt hier of hij dit ook ‘onderzoek’ moet noemen. Niet doen, maar. Ik vermoed dat methodologen niet tot de categorie deskundigen van Goffree behoren. Evenmin wetenschapsfilosofen, epistemologen, psychologen. Als je je zo afschermt van mogelijke kritische geluiden . . . De publicatie is hier: Cadot, J. en D. Vroegindeweij (1986), Tien voor de basisvorming. Rekenen/wiskunde onderzocht, OW&OC, Utrecht. De juiste titel is overigens: 10 voor de basisvorming. Rekenen/wiskunde onderzocht. (Uiteraard niet genoemd in rapport-Lenstra).
Theorievormend onderzoek in 1985-1995
Niets te melden (itt Goffree zelf)
Onderwijsexperimenten in 1985-1995
Voor Goffree gaat het hier (ook) om exploratief onderzoek in de schoolklas. Een geheel eigen gebruik van de term ‘experiment’ dus. Harskamp (1993) vindt geen verschillen tussen remediële programma’s, voor Goffree reden om aan het onderzoekje te twijfelen.
Ontwikkelingsonderzoek in 1985-1995
Dit is de core business van wiskobas/RR. Dat is ook prima, zolang iedereen er de beperkingen van ziet. En dat lijkt nu juist van meet af aan, zeg 1971, niet het geval te zijn. Goffree voelt er wel iets van aan, en laat enkele critici aan het woord (blz. 195), zoals Van Oers (1994) en Kanselaar (1993), die ik helaas geen van beide tot mijn beschikking heb. Zie voor mijn annotaties observeren.htm.
F. Goffree (1988). Onderzoek van rekenen: zoek de nuance. In Harskamp & Hoeben, Leermethoden in het onderwijs, (91, 105). Swets & Zeitlinger/RION. [Dit heb ik nog niet kunnen traceren. Zie Goffree 1995 hierover. Dit moet een repliek zijn op het promotieonderzoek van Harskamp.]
F. Goffree (1995). Onderzoek en ontwikkeling: vàn en vóór het reken-wiskundeonderwijs in Nederland. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 13, 165-200. pdf
“Naast een continu intern formatief evaluatieonderzoek, had slechts incidenteel en op kleine onderdelen extern onderzoek plaats van Wiskobas (Hooft-Leemans en Oonk (1975), NIPO (1978), RION (1983)). Het rapport van de Verkenningscommissie Onderwijsresearch bevatte ook slechts enkele globaal evaluerende opmerkingen over het IOWO (1976, 69 e.v.). Substantiële externe evaluatie van een substantiële dimensie van Wiskobas is tot dusver achterwege gebleven.”
blz. 2 Zie de literatuurlijst van De Jong voor de verwijzingen. Hooft & Oonk is Cito-memo nr 146: een korte proefevaluatie in het kader van het samenwerkingsproject IOWO-CITO. Het NIPO evalueert natuurlijk niet: dat zal en opinieonderzoekje zijn geweest. RION 1983 is een evaluatie van de landelijke ondersteuning (de onderwijsverzorgingsstructuur?). Het rapport van de Verkenningscommissie is mij bekend, of ik nog een exemplaar heb weet ik niet; de commissie heeft verkend, geen onderzoek gedaan.
p.m.: Hickendorff en anderen 2010
Wie een vergelijking met de jaren zestig wil maken: zie Wiegersma & Groen (1968). Nederland deed toen op de nipper mee met de eerste internationale studie, de IEA. Twee groepen leerlingen: 13-jarigen, en eindexamenkandidaten VHMO. De resultaten van die 13-jarigen bieden fantastisch vergelijkingsmateriaal voor rekenvaardigheid in begin zestiger jaren. In Wiegersma & Groen zijn de complete series toetsen afgedrukt. Dat laatste laat meteen al zien, als ik me niet vergis, dat het van de gekke is om het rekenonderwijs anno 1960 als ‘mechanistisch’ weg te zetten. De toetsen zijn overigens niet representatief voor het Nederlandse reken- en beginnend wiskundeonderwijs, want het zijn de vertalingen van de internationaal gebruikte tests. Maar deze IEA-resultaten uit 1964 zouden voor het IOWO als benchmark gediend moeten hebben, en waarom is dat dan niet gebeurd?
S. Wiegersma & M. Groen (1968). Resultaten van wiskundeonderwijs. Een verslag van een onderzoek door het Nederlands Instituut voor Praeventieve Geneeskunde TNO uitgevoerd in het kader van het International Educational Achievement Project. Wolters-Noordhoff.
p.m.: PPON, Van den Heuvel-Panhuizen geeft de vergelijking van de resultaten op de eerste en de laatste PPON (1987-2004, Janssen e.a. 2005) in haar oratie (figuur 5), dat wil ik gebruiken.
Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf
Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). Cito. pdf
Het jubileumnummer van Didaktief meldt (januari 2011, p. 45): “Het GION doet een reviewstudie van interventiestudies in binnen- en buitenland naar leerdoelen voor het rekenonderwijs van leerlingen in de leeftijd van 6-12 jaar. Het gaat om de vraag welke te onderscheiden kenmerken van het rekenonderwijs, inclusief instructiemethoden, effectief en efficiënt zijn voor wlke rekendoelen en welke groepen van leerlingen daarvan speciaal profiteren. ( . . . ) In de literatuurstudie wordt nagegaan welke goede onderzoeken er wereldwijd zijn naar interventies op de deelgebieden. De studie wordt verricht met subsidie van NWO en loopt tot voorjaar 2011. Hij wordt uitgevoerd door Egbert Harskamp, sinds november 2010 bijzonder hoogleraar Effectieve leerogevingen in Groningen.”
Didaktief loopt wat achter, het GION meldt het project 28 januari 2010 hier.
Min-Hsiung Huang (2009). Beyond horse race comparisons of national performance averages: math performance variation within and between classrooms in 38 countries. Educational Research and Evaluation, 15, 327- 342.
Het bijzondere van dit onderzoek is dat het de resultaten uit de international TIMSS-studie analyseert op klassikaal niveau: gemiddelden van afzonderlijke klassen, spreiding tussen klassen, en spreiding binnen klassen.
Op de gemiddelde scores doen Nederlandse leerlingen (2e klas vo) het goed, maar Korea en Japan doen het beter , want zij houden de prestaties van alle leerlingen dichter bij elkaar (TIMSS, geen scandinavische landen, behalve Finland).
De klapper komt bij de analyse van de spreiding van de TIMSS-scores binnen klassen: die spreiding blijkt in Nederland extreem klein te zijn. We zijn zo goed geslaagd in de selectie van 12-jarigen, dat we de wiskunde-prestaties extreem gehomogeniseerd hebben. That is not good at all. Maar er valt wel meer over te zeggen. Ook hier is de vergelijking met Japan en Zuid-Korea interessant: beide laatste landen hadden immers al klassengemiddelden die dicht bij elkaar lagen, maar ze blijken ook een beperkte spreiding binnen klassen te hebben (maar wel meer gespreid dan in Nederlandse klassen). Ik wil graag antwoord op de vraag of Nederland zijn zwakkere leerlingen benadeelt door ze apart weg te zetten in het vmbo, en ze daar kwalitatief minder goed wiskundeonderwijs te geven. Daar komt nog bij dat dergelijke extreme vormen van tracking bewezen ten nadele van zwakkere leerlingen gaan, en slechts in geringe mate de betere leerlingen tot voordeel strekken (de middenschool-discussie is iets anders dan het empirische onderzoek naar effecten van meer of minder heterogene klassen door tracking). Dezelfde Huang (2009) heeft hier eveneens een studie naar gedaan.
Min-Hsiumg Huang (2009). Classroom homogeneity and the distribution of student math performance: A country-level fixed-effects analysis. Social Science Research, 38, 781-791. Uit het abstract: Homoge- neous grouping, relative to heterogeneous grouping, is found to have no significant impact on mean performance, but it does increase performance inequality by benefiting the high achievers at the expense of the low achievers.
H. G. Van de Werfhorst & J. J. B. Mijs (2010). Achievement inequality and the institutional structure of educational systems: A comparative perspective. Annual Review of Sociology, 36, 407-428. concept pdf
Guillermo Montt (2011). Cross-national Differences in Educational Achievement Inequality. Sociology of Education, 84. [Figuur 1 in dit artikel geeft gemiddelden en spreidingen van wiskundescores PISA 2006, 15-jarigen] [“This study focuses on the total achievement inequality in mathematics across nations. Achievement inequality is defined as the variance of student math test scores—or equivalently, the standard deviation—such that countries with more variance in their test scores are more unequal than others.”]
In ieder geval is het van belang om naar de Japanse en Zuid-Koreaanse contexten te kijken. Voor Finland moet ik nog recent onderzoek zien te vinden.
Kristiina Kumpulainen
http://earlymath.erikson.edu/symposium/detail (hier ook: Early Childhood Mathematics Teaching in Japan Kiyomi Akita, Ph.D., Japan) (en ook: Curious Minds as a Starting Point for Reasoning and Problem Solving Jan de Lange, Ph.D., The Netherlands)
http://www.newsweek.com/feature/2010/the-world-s-best-countries.html
http://educationnext.org/teaching-math-to-the-talented/
Yoko Yamamoto and Mary C. Brinton (2010). Cultural Capital in East Asian Educational Systems: The Case of Japan. Sociology of Education, 83, 67
Hyunjoon Park, Soo-yong Byun and Kyung-keun Kim (2011). Parental Involvement and Students' Cognitive Outcomes in Korea : Focusing on Private Tutoring. Sociology of Education 2011 84 [prestaties van 7e-klassers in rekenen en Engels zijn hoger door privé-onderwijs]
Sunhwa Lee & Mary C. Brinton (1996). Elite education and social capital: The case of South Korea. Soiology of Education, 69, 177-192. abstract [universiteit-arbeidsmarkt]
Gerald K. LeTendre (1996). Constructed aspirations: Decision-making processes in Japanese educational selection.. Sociology of Education, 69, 193-216. abstract [middleschool]
Het onderscheid tussen doel-middelomkering in de rekenpraktijk resp. in de theorie van het RR lijkt kunstmatig. Misschien werkt het inderdaad niet, maar voorshands is het adagium dat de leerkracht een eigen verantwoordelijkheid heeft, en de theorie van het RR of de methode niet in alles hoeft te volgen. Anders gezegd: de leerkracht is niet gedwongen om de onhandigheden in theorie en methode van het RR over te nemen. Een andere manier om het onderscheid te maken is dat het in de rekenpraktijk gaat om de prestaties, in de theorie van het RR om de postulaten waarom RR stukken beter moet zijn dan bescheidener rekenmethoden.
Wat zijn mogelijke middel-doelomkeringen?
Wat is geen omkering van middel en doel
Een hele grote omkering, even als voorbeeld, is die van het ‘handig’ rekenen als opstap naar degelijk rekenen. Immers, handig kunnen rekenen is het voorrecht van de goede rekenaar, zoals dat ook in andere leerdomeinen het geval is. Wanneer dan PPON-onderzoeken laten zien dat een belangrijke groep leerlingen wel probeert ‘handig’ te rekenen, maar er niet in slaagt goede antwoorden te geven, dan is de conclusie dat in het onderwijs dat zij hebben gekregen het ‘handig’ rekenen tot doel is geworden, in plaats van middel voor de goede rekenaar. Wanneer Hickendorff e.a. (2010) laten zien dat goede rekenaars wel in staat zijn om op adequate wijze ‘handig’ te rekenen, namelijk vooral bij makkelijke opgaven, dan is dat een mooi resultaat, maar het rechtvaardigt niet een didactiek die ‘handig’ rekenen tot doel promoveert.
RR-claim
“Cijferen leren volgens geïntegreerd progressief schematiseren kost de helft van de tijd die bij het geïsoleerd progressief compliceren wordt uitgetrokken. Misslagen zijn zeldzaam; praktisch alle leerlingen bereiken een aanvaardbaar niveau.”
Freudenthal, 1984, hoofdstuk 4, p. 50.
In het artikel ‘Wiskundig-didactische principes — vanuit het rekenonderwijs gezien.’ (1984) stelt Hans Freudenthal eigenlijk wel alle onderwerpen uit de specieke didactiek van het RR aan de orde, in opsommende zin, niet met empirische onderbouwing.
Het artikel van Freudenthal is gezichtsbepalend, zeg maar, voor de opvattingen in RR-kringen over wat goed rekenonderwijs hoort te zijn. Iets anders is of die opvattingen redelijk zijn en empirisch onderbouwd zijn. Zo heb de afgelopen jaren geen empirische onderbouwing kunnen vinden voor de claim van Freudenthal (en op andere plaatsen door onder andere Treffers) over de buitengewone doelmatigheid van progressief schematiseren bij het leren vermenigvuldigen en delen. Als zo'n onderzoek zou bestaan, zou het de parel van de IOWO-publicaties zijn, geen enkele RR-protagonist zou verzuimen er telkens weer naar te verwijzen. Onderzoekers van buiten de eigen kring van RR zouden het onderzoek gerepliceerd hebben. Niets van dat alles.
[Ik wil hier een verbinding maken met wat Marja van de Heuvel-Panhuizen zegt in haar oratie: dat Nederland nu juist had afgesproken dat cijferen niet belangrijk meer is. Dan gaat het volgens haar niet aan om kunnen cijferen ineens weer op te voeren als criterium voor goed rekenonderwijs
“Ondanks de grote hoeveelheid onderwijstijd die aan het cijferen werd besteed—voor het leren staartdelen waren dat vaak meer dan vijftig lesuren [28]—waren de resultaten mager. Een op de drie kinderen had problemen met de staartdeling en meer dan helft struikelde bij de wat moeilijkere delingsopgaven met nullen in de uitkomst. [29 / 30]”
oratie p. 12
noten: 28 Zie Treffers, De Moor & Feijs (1989, p. 49). De gegevens van de PPON van 1987 over de aan het cijferen bestede tijd komen hiermee overeen. Bij deze PPON werd gevonden dat in de laatste drie jaar van het basisonderwijs gemiddeld een uur per week aan het cijferen met hele getallen en kommagetallen wordt besteed. Dat is voor alle bewerkingen samen. In totaal komt dat op 120 uur (zie Wijnstra, 1988, p. 105). Aangenomen kan worden dat daarvan het grootste deel werd besteed aan het cijferend delen.
29 Zie Treffers & De Jong (1984, p. 2). Als wordt gezegd dat meer dan de helft van de leerlingen over de moeilijkere staartdelingen struikelt, gaat het over “de typische procedurefouten, zoals het niet opnemen van de nullen in het quotiënt, het nemen van een te groot restgetal, niet ‘aanhalen’, invullen van een getal in het quotiënt dat groter is dan tien” (Treffers, 1986, p. 21).
30 Ook de Amerikaanse onderzoeken van die tijd gaven aan dat het staartdelen een groot probleem voor de leerlingen was. Zo liet Bright (1978) zien dat bij de National Longitudinal Study of Mathematical Abilities (NLSMA), die eind jaren zestig is uitgevoerd door de School Mathematics Study Club, slechts 44 procent van de tienjarige leerlingen bij een opgave als 9792 : 32 (uitkomst 306) een goed antwoord had gegeven en dat bij 482 : 24 (uitkomst 20 rest 2) de goedscore lag op 61 procent.
“De eerste Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau (PPON)31 in 1987 liet een groot verschil zien tussen de eenvoudige delingen met kale getallen en deelopgaven gepresenteerd als contextopgaven.
806 : 26 = ________ 85% correcte antwoorden 1987
Jolien heeft 326 vakantiefoto’s.
Er passen 12 foto’s op een pagina.
Hoeveel pagina’s heeft Jolien nodig
om al deze foto’s op te plakken?
________ pagina’s 40% correcte antwoorden 1987
Werd een kale som als 806 : 26 nog door veel leerlingen aan het eind van groep 8 goed gemaakt32, bij contextopgaven zoals die over de vakantiefoto’s waren de prestaties duidelijk minder. Bij deze opgaven gaat het in feite niet om het kunnen staartdelen, maar om het kunnen interpreteren van een rest of van een kommagetal als uitkomst.33 Het was met name het toepassingsaspect dat de leerlingen erg moeilijk vonden.34”
oratie p. 12
noten:
31 Wijnstra (1988).
32 Uit Bokhove en Janssen (1989) is bekend dat 76 procent van de leerlingen een goede beheersing had van deze opgave (dit wil zeggen dat de kans op een goed antwoord 0,8 of groter is), 20 procent een matige beheersing (kans op goed antwoord ligt tussen 0,5 en 0,8) en 4 procent een onvoldoende beheersing (kans op goed antwoord is 0,5 of kleiner). Op basis van deze gegevens kan via 76 x 0,9 + 20 x 0,65 + 4 x 0,25 [is ongeveer] 85, het percentage goede antwoorden geschat worden. Zie ook Treffers (2007b).
33 De Amerikaanse National Assessment of Educational Progress (NAEP) van 1982 (zie Lindquist e.a., 1983) liet zien dat als dertienjarigen dergelijke contextopgaven met een rekenmachine maakten de goedscores sterk terugliepen.
Een conceptversie van dit plan werd in 1984 als 10 voor de basisvorming rekenen/wiskunde36 gepubliceerd en aan een grote groep deskundigen voorgelegd.
Voor cijferen37 werd voorgesteld om:
Ofschoon in de commentaren ook duidelijk werd dat sommige respondenten niet zo optimistisch waren over de tijdwinst die deze nieuwe aanpak zou opleveren en er zorgen waren over de implementatie, was over het geheel genomen sprake van een vrijwel unanieme instemming met de in het conceptplan voorgestelde vernieuwing van het rekenonderwijs. Dit gold niet alleen voor deze groep geraadpleegde deskundigen, maar ook voor de destijds door het bureau Inter/View van Maurice de Hond enquêteerde ouders. Zij vonden rekenen toegepast in het dagelijks leven en hoofdrekenen vaker ‘heel belangrijk’ dan cijferen.40
Ook een verdere analyse van het schriftelijk delen door Hickendorff, Heiser, Van Putten en Verhelst, waarbij de goedscore in samenhang met de toegepaste strategie werd bekeken, maakte duidelijk dat het voor de goedscore zowel in 1997 als in 2004 niet uitmaakte of een kind een realistische of een traditionele strategie had toegepast.60 / 61
p. 19
noot 60 Hickendorff e.a.(2009, p. 16, Online First).
61 Ofschoon dit op het eerste gezicht een conclusie lijkt die al degenen die aan de ontwikkeling en implementatie van realistisch reken-wiskundeonderwijs hebben gewerkt met tevredenheid zal stemmen, kan er moeilijk iets over het effect van de twee werkwijzen gezegd worden als de instructietijd niet constant is gehouden. De ervaringen op de Dreesschool en de resultaten van het onderzoek van Rengerink (1983) wezen uit dat de leerlingen via de leerweg van de kolomsgewijze aanpak in kortere tijd tot betere resultaten konden komen. Hiermee vergeleken vallen de resultaten van Hickendorff e.a. dus eigenlijk tegen. Een probleem van dit onderzoek is dat de factor tijd niet is meegenomen. Hierdoor kan een vertekend beeld van het effect van de twee werkwijzen zijn ontstaan.
Hans Freudenthal (1984). Appels en peren / wiskunde en psychologie. Garant. integraal op dbnl. Hieruit in het bijzonder hoofdstuk 4: Wiskundig-didactische principes — vanuit het rekenonderwijs gezien. html
Ik heb hierboven geschreven over opvattingen over wat goed rekenonderwijs hoort te zijn ‘in RR-kringen’. Als het erop aankomt om internationale literatuur te noemen, dan heeft bijvoorbeeld Treffers (1978) in zijn proefschrift daar geen enkel probleem mee. Maar dat betekent niet dat het ontwikkelwerk van het IOWO stevig is ingebed in die internationale literatuur. Het IOWO gaat in hoge mate zijn eigen Freudenthal-weg, zoals het FI dat nog steeds doet, zij het tegenwoordig met satelliet-groepen in diverse buitenlanden. De wiskobas-ideeën zijn in hoge mate ideeën uit eigen huis. Dat kan heel goed zijn, maar het lijkt toch een tikje onwaarschijnlijk dat een groep jonge ontwikkelaars onder de protectie van een begaafde didacticus, het rekenonderwijs in zijn geheel opnieuw kan uitvinden. Het blijkt evenwel dat ze dat wel degelijk doen, en dan is opnieuw de hamvraag: waar blijft het empirisch toetsend onderzoek dat laat zien dat deze pretentieuze onderneming inderdaad slaagt, dat dit nieuwe rekenonderwijs bestaande methoden op belangrijke criteria verbetert?
Hans Freudenthal (1973). Mathematics as an educational task. Reidel. Zie http://www.benwilbrink.nl/literature/freudenthal.htm#task voor annotatie.
Het gaat mij in eerste aanleg op de wijze waarop Davydov zijn empirisch toetsend onderzoek doet. Dat levert onmiddellijk een teleurstelling op: hij doet dat niet.
C. F. van Parreren & J. M. C. Nelissen (Red.) (1977). Rekenen. Teksten en analyses Sovjetpsychologie 2.. Wolters-Noordhoff.
Welnu, dat is ontwikkelingsonderzoek dat altijd zal slagen, want de werkjes en de toetsen toetsen zeker aan het niveau van de leerlingen worden aangepast. Op deze wijze zal alleen het ongewapende oordeel van direct betrokkenen gaan bepalen of het experiment een succes genoemd mag worden, of niet. Dan kan ik de uitkomst wel voorspellen. Kortom, dit Davydovse voorbeeld van ontwikkelingsonderzoek heeft de eigen benadering van het wiskobasteam langs vergelijkbare lijnen alleen maar kunnen bekrachtigen.
A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel I. Overzicht einddoelen. Zwijsen.
Ik citeer hieronder integraal, met nummering van de zinnen, de openingspagina van paragraaf 2.2 ‘Concrete leerdoelen cijferen’. Ik wil geen millimeter ruimte laten voor een beschuldiging van selectief citeren uit het werk van het FI: deze paragraaf is waar het om gaat bij het rekenen, en dus bij het staartdelen, dit boek is waar het het FI om gaat en waar het destijds brede steun voor heeft gekregen, althans breed genoeg om Nederland vrijwel volledig aan het ‘realistisch rekenen’ te krijgen.
Hoewel ik nog bezig ben om een opzet voor dit artikel te maken, wil ik dit bijzondere punt meteen goed uitwerken, want wat hier gebeurt is heel bijzonder: hier is een tekst die ieder zichzelf respecterend wiskundige als kwetsend slordig zou moeten ervaren. Ik zal dat uitleggen, voorzover dat niet op eerste oogopslag al evident mocht zijn. Wat ik met de tekst van blz. 49 ga doen, is geheel in de geest van de auteurs: zij zouden niet willen dat de lezer gedachtenloos opneemt wat zij beweren, maar integendeel probeert te begrijpen wat er wordt meegedeeld. In het hieronder volgende mijn begripsvolle weg door de tekst. Deze analyse is gemaakt zonder eerst het inleidende hoofdstuk te hebben gelezen, waarin juist de staartdeling is gebruikt om het realtisch rekenen en zijn vijf principes mee uit te leggen. Ik moet later dus terugkomen op die inleiding: mogelijk geeft die informatie die ik bij lezing van deze paragraaf 2.2. juist heb gemist.
Concrete leerdoelen cijferen
[1] Cijferen is kort gezegd rekenen-op-schrift dat voor iedere basisbewerking op één bepaalde manier gebeurt, namelijk volgens de standaardmethode van optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en (staart-)delen ‘onder elkaar’. [2] Meestal cijferen we als het om wat grotere getallen gaat waarmee niet eenvoudig uit het hoofd kan worden gerekend.
De Proeve p. 49
ad 1. Er zijn standaardmethoden voor optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Daar kunnen we het met het FI over eens zijn, ook al zijn er in verschillende landen verschillende vormen voor. Prima.
ad 2. Voor het rekenen met grotere getallen gebruiken we die standaardmethoden. Ook dat zal iedereen eens zijn met het FI. Prima.
Deze punten 1) en 2) zijn van enorm belang. De implicatie is immers dat de leerlingen die niet komen tot beheersing van de standaardmethoden, niet bij machte zijn om met grotere getallen te rekenen, anders dan met gebruik van een abacus of rekenmachine. Het onderwijs zou dus alles op alles moeten zetten om zoveel mogelijk leerlingen zo ver mogelijk te krijgen in de beheersing van deze standaardmethoden (een mooi optimaliseringsprobleem, onder restricties van beschikbare rekenmethoden, onderwijstijd, en lerarenkwalificaties).
[3] Dat cijferende rekenen gebeurt bij iedere bewerking op een nauwkeurig voorgeschreven wijze die we op den duur automatisch volgens voorschrift uitvoeren. [4] En soms weten we niet meer waarom precies die bepaalde rekenhandelingen uitgevoerd moeten worden.
De Proeve p. 49
ad 3. Dat op den duur automatisch uitvoeren is ook de bedoeling, en daar is niets mis mee. Dat laatste suggereert deze zin in De Proeve overigens ook niet. Prima.
Zie voor dit automatiseren, of verkorten, op hoog niveau het proefschrift van Mettes en Pilot over probleemoplossen in het vak thermodynamica. En verder ongeveer alles wat is onderzocht en geschreven over wat het is om expertise te hebben.
ad 4. Als feitelijke mededeling kan iedereen het hier met De Proeve eens zijn. Voor handelingen en inzichten die verkort zijn, geautomatiseerd, geldt in het algemeen dat het wel eens lastig kan zijn om uit te leggen wat en waarom. Dat geldt bijvoorbeeld ook voor topjuristen die niet uit kunnen leggen waarom zij in hun juridische analyse van een bepaald casus de stappen nemen die ze nemen, zie de onderzoekliteratuur daarover. Dat betekent niet dat je topjurist kunt worden door maar wat te roepen. Nee, desgevraagd moeten tussenstappen wel ge(re)construeerd kunnen worden, maar dat is dan analyse-achteraf. Zoals je ook achteraf kunt analyseren waarom je in een onverwachte verkeerssituatie gehandeld hebt zoals je hebt gehandeld, en niet anders.
[5] Wellicht is ook nooit uitgelegd hoe bijvoorbeeld de staartdeling in elkaar zit. [6] In dat geval moeten er heel wat deelvoorschriften worden onthouden, namelijk hoe er gehandeld moet worden als een deling niet opgaat, als er een nul moet worden aangehaald en zo meer. [7] Om op een dergelijke ‘blinde’ manier als een automaat te moeten leren rekenen, zijn in het geval van de staartdeling vaak meer dan vijftig lesuren nodig.
De Proeve p. 49
ad 5. Dit is demagogie.
Als voorzitter van dit debat wijs ik de deelnemers erop dat zij deze opmerking [5] in De Proeve moeten beschouwen als zijnde niet gemaakt.
ad 6. Dit is in tegenspraak met de automatiserings-stelling [3].
Het gaat bij [6] om een sleutel tot het denken binnen het FI. Vlot rekenen, dus wat enigszins tendentieus ‘geautomatiseerd’ rekenen heet in het FI, is natuurlijk alleen mogelijk wanneer niet om de haverklap moet worden nagedacht hoe ook al weer de regel is voor dit of dat. Het is het een of het ander: je rekent vlot, je hoeft dus zelden nog even na te denken over het hoe, of je kunt niet vlot rekenen omdat je telkens weer terug moet naar wat ook alweer de regel was. Het al of niet ‘begrijpen’ van bepaalde regels speelt hier geen geweldige rol. Moet ik bij de regel ‘rechts houden‘ mij altijd realiseren waarom deze regel er is, en waarom het juist ‘rechts’ is en niet ‘links’? Dit levert wonderlijke psychologie op.
“We beogen niet de zogenaamde denkoefeningen in ere te houden, niet te leren rekenen op allerlei manieren, niet allerlei rekenkundige raadseltjes te leren oplossen, niet onderwijs te geven in spreken en stellen, niet allerlei termen aan te leren, die in verschillende takken van handel en bedrijf wel eens voorkomen, maar wèl vaardig en nauwkeurig de vier hoofdbewerkingen met hele en gebroken getallen zowel becijferen als uit het hoofd te leren uitvoeren met toepassing op vraagstukken, waarvan het praktisch leven de oplossing verlangt.”
J. Bok en M. H. Lem (z.j., begin 20e eeuw). Door tellen tot rekenen. Handleiding bij den rekencursus voor de lagere school., geciteerd op p. 71 in Leen (1961).
A. Leen (1961). De ontwikkeling van het rekenonderwijs op de lagere school in de 19e en het begin van de 20ste eeuw. Groningen; Wolters. Proefschrift Vrije Universiteit Amsterdam.
Het irritante van het fulmineren tegen mechanistisch rekenen, zoals dat in publicaties vanuit het FI is te vinden, is het volgende. Wie maar een klein beetje in de geschiedenis van het rekenonderwijs duikt, komt hetzelfde type discussie, standpunten van beide kanten, bij herhaling tegen. Wie de geschiedenis niet kent, is gedoemd deze te herhalen. In historische studies is het evident dat mechanistisch rekenen de benaming is voor het rekenonderwijs onder de gildenstructuur, dus voorafgaand aan de 19e eeuw, waar het voor de leerlingen voldoende was om de voor het eigen ambacht noodzakelijke berekeningen te leren, en die sommetjes dan bijna eindeloos te doen om tot vlot rekenen te komen. Bartjens is hier het typische voorbeeld van, voor de stoffenkoopman.
ad 7. Het taalgebruik is demagogisch. Klaar. Ik weet niet hoeveel tijd in bijvoorbeeld het rekenonderwijs in de zestiger jaren werd besteed aan het delen, mogelijk is dat ongeveer vijftig uur, laat ik daarvan uitgaan. De manier waarop De Proeve het stelt is behoorlijk suggestief: verspilde tijd.
Wat betekent het om vijftig uur, anderhalve week in een zesjarig schoolprogramma, met delen bezig te zijn? Bij het delen is er ook sprake van herhalingsoefeningen optellen, aftrekken, vermenigvldigen, allemaal heel nuttig. Dus ook van steeds verder inoefenen van de tafels van vermenigvuldiging voor getallen beneden 10, ook heel nuttig en noodzakelijk. Er lijkt me weinig tijd verloren te gaan bij stevig onderwijs in het delen dat oploopt tot rond vijftig uur. Waar is de onderbouwing dat die vijftig uur grotendeels verspilde tijd zouden zijn? En wat is het alternatief dan: het kolomsgewijs delen? Levert dat tijdwinst op? Zijn er dan meer leerlingen die kunnen delen? Dat laatste is een empirische vraag, Kees van Putten en anderen hebben zich daarover gebogen.
[8] Deze leergangen van het cijferen, die niet-inzichtelijk zjn opgezet, starten met eenvoudige ‘kale’ rekenopgaven en vervolgen met een serie sommen die volgens opklimmende moeilijkheid zijn georganiseerd. [9] De mate van complexiteit wordt bepaald door de grootte van de getallen, de benodigde inwisselhandelingen en het aantal nullen.
De Proeve p. 49
ad 8 (en 9). De auteurs delen hier mee dat rekenmethoden die standaardmethoden behandelen, ‘niet-inzichtelijk zijn opgezet’, en werken met ‘kale’ rekenopgaven. De eerste beschuldiging gaat wel erg ver. Het tussen aanhalingstekens zetten van ‘kale’ suggereert dat dit een minderwaardig soort rekenopgave is, ook alweer in regelrechte tegenspraak met [2]. Ik neem aan dat het FI niets heeft tegen ‘opklimmende moeilijkheid’ van opgaven, waarmee immers niet is bedoeld hoe moeilijk de opgaven voor de leerlingen zijn (hun p-waarde, zeg maar), maar de complexiteit van de opgaven (zin 9).
Ook deze zin 8 is een sleutelzin: het FI claimt hier een eigen opvatting over wat inzichtelijk, en wat niet inzichtelijk is. Dat mag, natuurlijk. Maar kijk dan niet vreemd op wanneer daar bijvoorbeeld vanuit de psychologie bezwaar tegen wordt gemaakt. Of gewoon omdat het FI hier subjectieve afkeuring uitspreekt over niet met name genoemde rekenmethoden of opvattingen van leraren.
Ik maak even een uitstapje naar natuurkunde. In dat vak is het vaak mogelijk dat leerlingen de opgaven goed kunnen maken, zonder de natuurkunde te begrijpen. Dat wil niet zeggen dat ze zonder begrip werken: ze begrijpen juist heel goed hoe ze de opgaven goed kunnen maken, maar dat is niet het bedoelde begrip van de natuurkunde. (onderzoek van David Hestenes, en vele anderen; Dijksterhuis, in zijn ‘Mechanisering’). Dan is het interssant om eens te analyseren hoe dat bij rekenen gaat, bijvoorbeeld de staartdeling. Stel nu eens dat de leerlingen de ‘trucjes’ feilloos kunnen toepassen, dus de toepassing van de ‘trucjes’ begrijpen. Ze maken dan die staartdelingen meestal goed, zonder te begrijpen waarom hun methode noodzakelijkerwijs goede uitkomsten oplevert. Waarschijnlijk worden deze leerlingen geen grote wiskundigen, maar als boekhouders kunnen zij uitstekend werken. Waar ziet het FI nu het probleem? En dan nog: vraag die leerlingen eens om uit te leggen waarom de standaard-‘trucjes’ correct werken, dan komen ze waarschijnlijk best tot een goede uitleg ervan, waarom niet? Maar die uitleg hebben ze niet bij iedere nieuwe staartdeling weer nodig, dat is het hele punt van de verkorte rekenvaardigheid. Het FI lijkt de filosofie te hanteren dat je de wereld eerst moet begrijpen, voordat je erin kunt handelen; maar dan komt niemand zijn of haar bed meer uit.
Nog een uitstapje, nu naar de logica. Wat te denken van het volgende syllogisme: Alle mensen zijn vissen, Socrates is een mens, dus Socrates is een vis. Hier valt geen ene malle moer aan te begrijpen, maar moeten gewoon de regels van de logica worden toegepast. Het syllogisme is juist. [Voor wie denkt dat ik gek ben: de eerste premisse is onzin, maar het is niet verboden om zo'n premisse te gebruiken] Wat is hier inzichtelijk aan? Pas op met gedachtenloos poneren dat inzicht nodig is , of beter is (dan wat?).
[10] Steeds leren de kinderen per deelgeval de standaardmethode uit te voeren waarop ze dan in een volgend complexer geval kunnen voortbouwen. [11] Een stap-voor-stap-leergangop niet-inzichtelijke grondslag en gemarkeerd door honderden, ja zelfs duizenden sommetjes..
De Proeve p. 49
ad 10. Zo gaat het.
Wat de auteurs er niet bij vermelden: de progressie naar meer complexe opgaven gaat samen met de verkorting of de automatisering die de leerlingen realiseren. Dit is niet de enig mogelijke weg om tot verkorting van de rekenvaardigheid te komen, maar het is er wel een die doeltreffend is.
ad 11. Hier een herhaling van de demagogie uit zin 8: een lukrake beschuldiging van niet-inzichtelijkheid, en een suggestie dat veel opgaven verspilde onderwijstijd zou zijn.
En verder wordt er in deze zin niets meegedeeld dat een argument opbouwt.
[12] Deze onderwijsaanpak nu is niet in overeenstemming met de algemene leerdoelen welke een dergelijke langdurige, regelgeleide training-volgens-voorschrift uitsluiten, omdat deze een volstrekt vertekend beeld van rekenen-wiskunde geeft en de vorming van een wiskundige instelling en een goed aanpakgevdrag belemmeren..
De Proeve p. 49
ad 12. De auteurs laten hun pen hier wel erg de vrije loop. Ik weet niet waar ze het vandaan halen (er is geen verwijzing naar enig document of onderzoek), maar ik zal zelf op onderzoek moeten gaan wat dan wel die algemene leerdoelen zijn: dat moeten dooe het FI zelf opgestelde leerdoelen zijn, dus zeker geen ‘algemene’. Ik geloof er niets van dat die doelen uitsluiten dat voor de basale rekenvaardigheden (tot en met delen, de staartdeling zowel als delen met breuken) een stap-voor-stapleergang wordt gebruikt. Waar komt de ‘wiskundige instelling’ ineens vandaan, is dat mogelijk al eerder in De Proeve behandeld? Een ‘goed aanpakgedrag’ kan ik wel plaatsen: dat slaat op probleemoplossen, niet op het uitvoeren van een deling, is er dus met de haren bijgesleept.
Wat gebeurt hier? Wie willen hier mijn hersenen spoelen?
[13] Dergelijke dril is overigens ook niet nodig om de cijferprocedures automatisch te leren uitvoeren.
De Proeve p. 49
ad 13. Dit is een interessante mededeling: de auteurs zeggen hier impliciet dat ook zij ernaartoe willen dat cijferprocedures automatisch worden uitgevoerd, dus verkort zonder overal bij na te hoeven denken waarom en hoe dan. En zij zeggen ook dat er een andere leerweg mogelijk is dan opbouwend van eenvoudige naar complexe sommen (‘kale rekenopgaven’).
Het is verwarrend dat de auteurs op sommige plekken beweren dat geautomatiseerd rekenen wenselijk is, en dus een doel van het rekenonderwijs moet zijn, en op anere plekken dat het een duivels oorkussen is want zonder inzicht, niet wiskundig, en aanpakgerag ontbreekt .... . Je zou nog kunnen denken dat onderscheid maken tussen het doel en de weg ernaartoe de tegenspraak op zal lossen, maar dat doet het niet. Of zouden de auteurs werkelijk menen dat de vlotte rekenaar kwalitatief anders rekent wanneer hij het rekenen langs traditionele weg heeft geleerd, of langs de weg van het kolomsgewijs rekenen? Ik geloof er niets van. Bizar.
[14] Cijferen is namelijk zeer goed inzichtelijk te leren . . . .
De Proeve p. 49
ad 14. De impliciete kat die hier wordt uitgedeeld is dat onderwijzers in voorgaande decennia niet bij machte waren om de rekenlessen inzichtelijk te laten zijn. Dat lijkt me op voorhand een onzinnige beschuldiging. Dat sommige onderwijzers niet wisten waar ze mee bezig waren, dat is mogelijk, maar dan hoor ik graag van de auteurs welke onderwijzers dat dan waren, en waaruit de onkunde precies heeft bestaan. Zouden de auteurs dat al eens in de voorgaande bladzijden hebben uitgelegd? Ik zal het moeten checken. Goffree, Hiddink & Dijkshoorn (1970), in hun boek voor de kweekschool, kunnen niet van gebrek aan inzichtelijke behandeling worden beschuldigd (p. 164-170). Wie hier een voorloper van kolomsgewijs rekenen in kan ontwaren, moet met een vergrootglas en veel kennis-van-nu kijken.
De Proeve p. 49
F. Goffree, A. A. Hiddink & J M. Dijkshoorn (1970 ongewijzigde herdruk van 1968). Rekenen en didactiek. Wolters-Noordhoff.
Het hangt er maar vanaf wat precies met ‘inzichtelijk’ is bedoeld. Omdat de auteurs dat ‘inzichtelijk leren’ in de volgende bladzijden waarschijnlijk gaan uitwerken, heb ik er nog even geen oordeel over.
[15] Dan moeten we echter niet van de meest verkorte standaardvormen uitgaan maar vanuit de wat ‘langere’ rekenwijzen starten die daarvan de voorstadia vormen; speciaal voor vermenigvuldigen en delen is dit van belang. [16] Een korte kijk in de historie leert ons hoe dat kan..
De Proeve p. 49-50
ad 15. Let op, de auteurs bedoelen hier NIET dat je niet van de meest eenvoudige standaardgevallen moet uitgaan, zoals 3x4, of 9:3. Zij bedoelen dat je niet moet uitgaan van het standaardalgoritme.
Dit is merkwaardig. We hebben na duizenden jaren rekenen de beschikking over eenvoudige standaardalgoritmen die altijd tot een oplssing voeren. Om die op ‘inzichtelijke’ wijze te kunnen leren zou je eerst andere algoritmen moeten leren, waarvan het standaardalgoritme een specifieke variant is. Waarom juist deze omweg, en niet de natuurlijke route van het standaardalgoritme in de meest eenvoudige gevallen, en vandaaraf opbouwend in complexiteit? Waar blijft de onderbouwing, theoretisch zowel als empirisch, van deze positie van de auteurs? Maar goed, ik wacht even af wat ze van de oude Egyptenaren over kunnen nemen (die deden het dus al heel inzichtelijk?). Dit is geen grapje, in figuur 11 op p. 50 geven zij de Egyptische vermenigvuldiging van 12 × 12. Het is prachtig dat er nu een stelling, althans gedeeltelijk, wordt onderbouwd. Dat mag in de krant. na mijn middag zwoegen op één bladzijde van ‘De Proeve’.
Hiermee is bladzijde 49 van ‘De Proeve’ besproken, op de genoemde hangpunten na. De rest van deze paragraaf 2.2., met uitvoerige rekenvoorbeelden, zal ik niet op zinsniveau bespreken, maar er wel de opmerkelijke uitspraken van noteren Ik nummer ze maar door, dus 17, 18 enzovoort.
Kolomsgewijs rekenen komt volgens de auteurs 4000 jaar geleden al voor bij de Egyptenaren. Naar mijn inzicht springen de auteurs nogal wild om met de geschiedenis, en draaien zij deze naar eigen hand. Ik ben wel benieuwd wat de literatuur over de voorlopers van de standaardalgoritmen voor delen heeft te melden. Kan ik snel een en ander vinden?
De papyrus Rhind wordt wel meer gebruikt in het onderwijs. Bijvoorbeeld een opgave over meten van hoeken, gebruikt op een lerarenopleiding in Marokko, dus bepaald iets anders dan in het basisonderwijs. En niet met de bedoeling om de goniometrie van de Egyptenaren voortaan eerst te behandelen als handig opstapje naar de hedendaagse goniometrie.
Hans Niels Jahnke (2000). The use of original sources in the classroom. In Fauvel & Van Maanen (2000). History in Mathematics Education. The ICMI Study. Kluwer Academic Publishers, p. 299 e.v.
‘De Proeve’ ziet in het Egyptische casus van een vermenigvuldiging het bewijs dat “zo’n algoritme op te vatten is als een ‘gestolde’ vorm van handig rekenen (..) die als zodanig inzichtelijk blijkt te zijn”. En gaat dan verder (box):
Wij sturen echter, terecht, in het onderwijs voor iedere bewerking op één werkwijze aan, namelijk de bij ons gangbare standaardprocedure. Dus wat dit angaat volgen we de veelvormige historische ontwikkeling niet. Maar wat inzichtelijkheid, handig rekenen en verkorten betreft, kan de les van de historie naar het onderwijs worden doorgetrokken.
Met alle respect, maar de tekst in bovenstaande box is tendentieus, alsof de oude Egytenaren, of de Nederlandse Bartjens, de idealen van de realstisch rekenaars rechtvaardigen. Ik vermoed dat de geschiedenis hier ook enig geweld wordt aangedaan: Smeur, 1960 (uitgebreider dan Kool, 1999) bespreekt een omslachtige en onoverzichtelijke methode voor het uitvoeren van delingen, die in de 16e eeuw is verlaten, en die dus zeker niet als een handig opstapje naar efficiënte staartdeling valt te zien. Zie Smeur ook over ‘handige’ methoden van dubbelen, respectievelijk halveren, ie eveneens in de 16e eeuw zijn verlaten. Zullen we met de realistisch rekenaars van het FI proberen af te spreken dat ze niet mee selectief winkelen in de geschiedenis van het rekenen?
A. J. E. M. Smeur (1960). De zestiende-eeuwse Nederlandse rekenboeken. 's-Gravenhage: Nijhoff.
Marjolein Kool (1999). Die conste vanden getale. Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Hilversum: Verloren.
‘De Proeve’ gaat verder:
Dit houdt voor strikt cijferend optellen en aftrekken (de eerste methode) in dat de kinderen reeds in een vroeg stadium met relatief grote getallen werken. Alleen voltrekken de berekeningen zihc op een aangepast niveau. Aanvankelijk wordt positiemateriaal, bijvoorbeeld de abacus, gebruikt. Daarna doet een positieschema dienst om eerst nog een tussenstap te kunnen noteren. En tenslotte wordt de standaardmethode met direct inwisselen geleerd, de meest verkorte werkwijze dus (figuur 12.1).
Ik zal figuur 12 hier niet reproduceren, u kunt wel bedenken wat erin staat.
Er is echter nog een tweede methode om de opgaven van figuur 12 op te lossen, namelijk via (kolomsgewijs) hoofdrekenen. Voor optellen gaat dat als volgt: (figuur 12.2).
Voor het aftrekken kan een dergelijke methode ook worden gevolgd indien we de eerlingen laten noteren hoeveel er te kort is: (figuur 12.3).
De werkwijzen (a) en (b) zijn heel natuurlijk, de kinderen vinden ze vaak zelf. Op de tussennotatiewijze 252 (waar 2 duidt op 2 tekort!) van (c) kunnen we desgewenst op den duur aansturen. Ziehier hoe gestileerd hoofdrekenen tot een vorm van cijferen kan voeren. Overigens zijn er andere hoofdrekenmanieren om 396 − 148 uit te rekenen, bijvoorbeeld via aanvullend op-tellen (doortellen) of af-tllen, maar het gaat ons hier om cijferachtige werkwijzen, vandaar dat we ons beperken tot het kolomsgewijze rekenen..
Ik lees in bovenstaande passage dat bij RR het hoofdrekenen niet iets is dat je eventueel kunt doen in plaats van schriftelijk rekenen, maar in zekere zin op schriftelijk rekenen vooruitloopt. Ik vermoed dat dit niet uniek is voor het RR, maar ik vind het wel opvallend, en in psyhologisch opzicht zeker niet vanzelfsprekend. Dit heeft verder onderzoek nodig.
Detail: invoeren van symboliek voor tekortgetallen: even noteren met een streepje eronder, leidend tot absurde notatie zoals: 252. Wat stelt dit voor? Wat is daar de didactische argumentatie achter? Het lijkt mij een voor leerlingen verwarrend gedoe, iets dat ze later weer moet afleren of anders leren. Waarom toch?
Tot nu toe blijft het een open kwestie of in het RR het kolomrekenen en handig worden onderwezen als een opstap/tussenstap naar de standaardmethoden. Er is wel een sterke suggestie dat eerst kolomrekenen en handig rekenen worden onderwezen, gegeven het uitgangspunt dat meteen al met grotere getallen wordt gewerkt. Dat is een verbazingwekkende didactiek, en wil graag weten waar dit idee vandaan komt, en op welke empirische evidentie de veronderstelde werkzaamheid berust. Een open kwestie, vooralsnog, maar een groot vraagteken bij de RR-methode. (ik vind in de winkel van FI het proefschrift van Buys)
Kees Buijs (2008). Leren vermenigvuldigen met meercijferige getallen. Proefschrift. download pdf[nog doornemen. In het voorwoord zegt Buijs dat ten onrechte uit het hoofd uitrekenen van vermenigvuldigingen met grote getallen van meet af aan in dit onderzoek de aandacht heeft gehad. Het onderzoek waar de commissie-Lenstra (2009, pdf) om vroeg, was dus al deels gedaan. Ik ben benieuwd. De commissie Lenstra moet dan toch de resultaten van het onderzoek van Buijs al tot zijn beschikking hebben gehad? Een anonieme recensent, mij overigens wel bekend, bespreekt het proefschrift op de website van BON: hier. Zo’ anonieme bespreking moet het louter van de kracht van de gegeven argumenten hebben, maar die kunnen mij niet overtuigen zonder dat ik het proefschrift zelf heb gelezen. Een behoorlijke bespreking dan: Jacob Perrenet, in Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 25, 2008, p. 83-89. Perrenet heeft vernietigende kritiek op het onderzoek als onderzoek, en ik ben bang dat hij daarin gelijk heeft; dat neemt niet weg dat dit ontwikkelonderzoek belangrijke informatie kan leveren over de denkwereld van realistisch rekenaars als Buijs, en hoe die denkbeelden op de onderwijsvloer kunnen landen, in dit geval onder extreem gunstige omstandigheden (Perrenet vergat Hawthorne-effecten als methodologisch bezwaar aan te voeren, in de slipstream van het terechte bezwaar dat er geen vergelijkingsbasis is gebruikt zoals bijvoorbeeld een controlegroep)]
Buijs (p. 15) ziet zijn onderzoek als een bijdrage aan de verdere ontwikkeling van ontwikkelingsonderzoek. Als dat het inbouwen van empirisch toetsende onderzoeken is, zou dat prachtig zijn.
In de karakterisering van het cijferend optellen en aftrekken, ontbreekt nog één element en dat zijn de toepassingen. Deze kunnen namelijk:
Toepasingsproblemen functioneren dus vanaf het begin van de leergang.
De tekst in de bovenstaande box kan ik niet duiden. Die toepassingsproblemen — waarom heten ze niet gewoon toepassingsopgaven? — maken cijfermethoden toch niet inzichtelijk, helpen toch ook niet bij het verkorten van routines (integendeel, zou ik zeggen, omdat veel aandacht naar de context gaat), en hoe ze de toepasbaarheid van cijfermethoden helpen bevorderen is mij een raadsel. Ik heb hier de sterke indruk dat het gaat om onleesbaar Nederlands. Ik zou best een welwillende interpretatie van deze broddeltekst willen geven, maar ik heb geen idee hoe ik dat voor elkaar krijg.
Wat ik mis — en dat staat zeker niet in de kromtekst in bovenstaande box — is dat het demonstreren van toepassingen motiveert waarom het de moeite waard is om te investeren in het leren beheersen van de rekenmethoden. Ik mis ook het onderscheid tussen modeloplossing en het uitrekenen van antwoorden.
Op blz. 54 een korte passage over (handig) leren vermenigvuldigen, die ik oversla; op de volgende bladzijde is het handig leren delen aan de orde, met als voorbeeld in figuur 15 (die ik hier niet reproduceer; de essentie ervan wordt prima weergegeven in de figuren met delingen zoals gereproduceerd in Van de Craats, 2007) de deling 6394/12.
Ook het staartdelen kan op een dergelijke geleidelijke manier worden geleerd. Eerst is de staart heel lang, figuur 15.1. Maar door steeds handiger rekenen wordt hij verder gedecoupeerd, zoals in 15.2 het geval is, of tot de standaardvorm van 15.3 (die enigszins verschilt van de vroegere standaardvorm). De die berekeningen van figuur 15 zijn van drie leerlingen uit één groep die op dat moment 15 lesuren aan dat onderwerp hebben besteed.
Uit deze tekst op p. 54-55 van ‘De Proeve’ is het perfect duidelijk dat in het RR van het FI het kolomrekenen een vorm van handig rekenen is, en dat het methodisch wordt onderwezen. Is dat laatste een probleem, dan? Jazeker. Wanneer er leerlingen zijn die in staat zijn om direct het standaardalgoritme te leren, dan worden zij opgezadeld met een bijzonder onhandige omweg, als ik dat zo mag zeggen. Hun tijd wordt verspild. Ik laat dan maar even open of voor de andere leerlingen het eerst aanleren van een onhandige methode wè doelmatig kan zijn (dat is een empirische kwestie, het zou handig zijn om hier te verwijzen naar beslissend empirisch onderzoek, onderzoek dat ik op dit moment niet ken).
Zowel bij vermenigvuldigen als delen fungeren toepassingen op dezelfde wijze als bij optellen en aftrekken; ze bieden houvast bij het verkorten, geven steun door bij ‘kale’ opgaven iets ‘aangekleeds’ te denken en verbinden cijferen met het maken van toepassingen.
De Proeve, p. 56
Hier dezelfde wonderlijke tekst over het nut van toepassingsopgaven. Het zou overigens een aardige oefening voor leerlingen zijn om zelf toepassingsopgaven te bedenken, wat hier onvermeld blijft, maar in de Inleiding van ‘De Proeve’ uitgebreid aan de orde komt bij de behandeling van de instructieprincipes van het RR (hartstikke goed, kan uitdagend zijn voor de leerlingen, ze maken zelf iets, leuk, levert waarschijnlijk interessante interacties op, ik kijk ernaar uit om er praktijkvoorbeeldne van te zien).
De zinsnede “verbinden cijferen met het maken van toepassingen” slaat kennelijk op het probleem van transfer, dat is een onderwerp apart dat in rr_filosofie op zijn plaats is. Puur wiskundig beschouwd gaat het hier om een toch wel enigszins zinloze activiteit: het aantal mogelijke toepassingen en toepassingsgebieden is eindeloos, zodat het geen zin heeft om in het onderwijs daar alvast een voorschot op te nemen. Wil je dat laatste toch doen, dan moet je aannemelijk maken dat verschillende toepassingsmogelijkheden algemene kenmerken gemeen hebben, waarop kan worden geoefend zodat de leerlingen erin slagen de bedoelde transfer te realiseren. Niet eenvoudig.
Een delingsvraagstuk geeft vaak specifieke moeilijkheden omdat het antwoord opnieuw geïnterpreteerd moet worden.
Op deze plaats gaat ‘De Proeve’ niet verder op de in de box gestelde complicatie in. Het gaat om problemen waarin met een ‘rest’ van de deling verschillend moet worden gehandeld: als rest laten staan, als decimaal of als breuk opgeven, naar boven afronden, of naar beneden afronden, al naar gelang de precieze opgave. Het is ongelooflijk onhandig om deze intelligentietestopgaven door de rekenopgaven heen te strooien, maar ook dit is een probleem dat in het andere artikel rr_filosofie.htm aan de orde moet komen.
Tenslotte geeft ‘De Proeve’ op p. 57 de Concrete leerdoelen ‘cijferen’: volgens standaardprocedures delen, dat ook in toepassingsituaties kunnen, met een rekenmachine kunnen werken, inzicht hebben in cijferalgoritmen. Dat inzicht in cijferalgoritmen is interessant, afgezet tegen de uitspraak van Uittenbogaard (NAW, 2008) dat algoritmen geen wiskunde zijn.
Dan nu de tekst van het inleidende hoofdstuk van De Proeve
voorbehoud van de auteurs
“Maar de didactische achtergrond van een en ander blijft tamelijk vaag en onuitgesproken.”
Proeve, p. 9
Vreemd. Gaan de auteurs de vele didactische stellingen opvattingen niet toelichten en onderbouwen? Waarom eigenlijk niet? Ze gebruiken wel veel ruimte om nog eens het gedachtengoed van RR te presenteren, dat al in ettelijke voorgaande publicaties is gepresenteerd. En juist de onderbouwing van dit alles, altijd al stiefmoederlijk bedeeld (zoals in het hoofdstuk van Freudenthal, 1984), laten ze hier achterwege? Maar dan maken de auteurs toch één uitzondering: voor de staartdeling, waarvoor zij in deze Inleiding de didactische achtergrond zullen geven, maar dat blijkt niets nieuws toe te voegen aan het bovenstaande, en evenmin blijkt het enige nuancering aan te brengen
elders ga ik in op de scheve voorstelling van zaken in deze Inleiding, als zouden traditionele methoden alleen nadelen, en die van het RR alleen voordelen hebben. Overigens is dit wel een kernpunt in het optreden van het IOWO t/m het FI: de onbeschaamdheid om de eigen zaak te bepleiten en tegelijk die van andere partijen zwart te maken. De naïeve lezer kan eens een paar keer denken dat dergelijke redeneringen berusten op elders gepresenteerd feitenmateriaal, maar dat blijkt dus niet zo te zijn. RR-protagonisten plaatsen zich zo buiten ieder redelijk wetenschappelijk discours.
Het pièce de résistance blijkt voor mij dan toch weer de uiteenzetting te zijn over de Vijf fundamentele leerprincipes van de reconstructiedidactiek (blz. 14-19):
Het blijkt een lijstje van leerbeginselen met telkens een onderwijsprincipe te zijn. Tien principes dan maar? Even later (zie hierbeneden) blijkt het om de 25 combinaties te gaan. Vergeet niet dat onderwijs naar menselijke maat moet zijn. Hebben we dan vijf beginselen, vijf principes, vijfentwintig combinaties, en de menselijke maat, of moet die menselijk maat ook weer op verschillende manieren met die 25 worden verbonden? Kunnen Treffers, De Moor en Feys eigenlijk wel tellen? De tekst bestaat uit pseudo-psychologisch gebakken lucht, zonder enige bronvermelding. Ik vind het niet mijn taak, als kritisch analyticus van RR, om hier mogelijke betekenis aan te geven. Ter illustratie van de negatieve kwalificatie van het RR-klimaat, zie onderstaand citaat.
“Er werd echter ook al eerder gesteld dat de bovengenoemde koppeling in die zin tamelijk willekeurig is dat elk leerbeginsel in principe met ieder onderwijsbeginsel te verbinden is. Neem bijvoorbeeld L2 en O4: aan de hand van de staartdeling kan toegelicht worden hoe in interactief onderwijs de verschillende niveaus naar voren komen in de min of meer verkorte oplossingen en notatiewijzen — — in het voorgaande is dit voldoende uit de doeken gedaan. Of L1 en O5: in de staartdelingbespreking kwam ook al tre sprake dat juist door de vervlechting van delen met de andere basisoperaties er een concrete ingang voor de delingsprocedure gevonden werd, en ook dat er op het abstracte niveau relaties met bijvoorbeeld kommagetallen en meten te leggen zijn. En zo zouden alle L-O-betrekkingen nader uitgewerkt kunnen worden. Maar dat laten we hier maar achterwege, omdat in het voorgaande de basisstructuur van de reconstructiedidactiek voldoende zichtbaar werd.”
De ‘Proeve’ blz. 20
Het verbazingwekkende voor mij, als toeschouwer van buiten het wiskundetoneel, dat deze wartaal niet door Hans Freudenthal al in zijn zeventiger-jaren-kiemen is gesmoord geworden, dat de staf van IOWO en OW&OC elkaar erin heeft bekrachtigd, en dat de rekenmeesters en wiskundeleraren in het veld zich erdoor van de wijs hebben laten brengen. Een kind had hier de was kunnen doen: deze keizer heeft geen kleren.
Marjolein Kool en Ed de Moor (2009). Rekenen is leuker [dan] als je denkt. Bert Bakker.
Een enkel relevant hoofdstukje in Kool en De Moor over delen (het andere hoofdstuk gaat over delen door nul): hoofdstuk 18 (lees ook 17). Delen en de rest. Buurjongen Floris (11 jaar) kan staartdelen. Maar gebruikt er zijn hoofd niet bij, en is dan in de war te brengen over een opgave als
‘Je hebt een rol touw van 10 meter. Daar worden stukken van 35 cm afgeknipt. Hoeveel touw blijft er over?’
Als voor de lezer de ‘context’ bestaat uit het debat over RR, zie je onmiddellijk dat hier de kachel wordt aangemaakt met het standaardalgoritme, dat gedachtenloos kan worden toegepast. Ik krijg daar enorme jeuk van. Dit probleem doet zich namelijk overal op onze aardkloot voor, waar nieuwelingen die net een formule hebben geleerd, deze meteen op onhandige en onjuste manieren proberen toe te passen in concrete situaties.
Deze contextopgave, evenals de meeste andere, vind ik voor rekenonderwijs helemaal niet vanzelfsprekend. Het is een probleem waar ik nog niet helemaal uit ben, en ik noteer het hier dus maar als een agendapunt. Kijk eens naar het academische niveau. Daar wordt wiskunde vooral bedreven omwille van zichzelf. Hetzelfde is het geval met natuurkunde, hoewel dat ritselt van de wiskunde. Maar neem nu het vak van Dijkgraaf: wiskundige natuurkunde. Waar plaats ik nu de contextopgave van Kool en De Moor: is dat een rekenopgave, een natuurkundeopgave, of iets daartussenin? Ik zou een stelling kunnen formuleren, om de kwestie aan te scherpen:
Maar het is een stealth operation, het gebeurt allemaal niet opzettelijk en niet bewust. Maar is dat wel zo? In de beschouwing in 1976, in Educational Studies in Mathematics, 7, #3, wordt expliciet en nadrukkelijk aangegeen dat het in wiskobas gaat om de horizontale verbinding (Treffers) tussen rekenen en de wereld, cincrete contexten, dus ook natuur, geschiedenis, en wat niet al.
Dit is natuurlijk geen kritiek op Kool en De Moor, het geldt immers een groot deel van het gebruik van contexten in het rekenonderwijs (behalve de motiverende contexten). Maar de kritiek slaat wel neer bij de uitgesproken protagonisten van de contextopgaven: de ‘realistisch’ rekenaars. De vraag is dan: is er in de periode van veertig jaar sinds de start van het IOWO materiaal gepubliceerd waaruit aannemelijk valt te maken dat deze specifieke benadering van contextrijk rekenonderwijs de bedoelde resultaten afwerpt? Het lijkt meer een onderwerp voor het andere artikel, over psychologie en filosofie achter wiskobas en RR.
D. J. Beckers (2000). ‘My little arithmeticians’ Pedagogic ideals in Dutch mathematics 1790-1840. Paedagogica Historica, 36, 979-1001. pdf or alternatively: pdf. Hoe auteurs begin 19e eeuw woordproblemen kiezen uit geschiedenis, of uit andere wetenschappen, en dat zelfs op het titelblad van un boeken vermelden (o.a. De Gelder). Maar dat was een heel andere tijd, nog zonder de scherpe scheiding tussen disciplines zoals we die vandaag kennen..
Lucia Grugnetti & Leo Rogers (2000). Philosophical, multicultural and interdiscilinary issues. In John Fauvel & Jan van Maanen (2000). History in Mathematics Education. The ICMI Study. Kluwer Academic Publishers, p. 39-62. (I.h.b. 2.4.3 History of mathematics linkig topics within mathematics)
Ter Heege: Vermenigvuldigen in RR.
te behandelen: Wat is bij RR-methoden de volgorde: eerst schriftelijke beheersing en daarna pas hoofdrekenen en schattend rekenen? Of juist niet, en wat is daar dan de onderbouwing voor? Dat is eenvoudig aan de hand van de literatuur te beantwoorden: de schriftelijke beheersing hobbelt achteraan. Ik vermoed dat uit de cognitief-psychologische onderzoekliteratuur valt af te leiden dat dingen ‘handig’ toch vooral een optie is voor wie de betreffende vaardigheid in zijn standaardvorm goed beheerst, niet voor wie zich daarin juist nog heeft te oefenen. Als zodanig past dit onderp beter in rr_filosofie.htm, maar waar de protagonisten van het RR erover in tegenspraak zijn met zichzelf, zal het meegaan in de ‘omdraaiingen’.
te behandelen: “Maar het toepassen van een algoritme is geen wiskunde!” (Uittenbogaard, 2008). Staat deze opmerking op zichzelf, in de literatuur uit het FI? Is de boodschap aan de leraar dat zoiets als het algoritme van de staartdeling geen rekenen is, en dus niet in het onderwijs thuishoort?
Willem Uittenbogaard (2008). Geen catechismus leren, maar nadenken. Nieuw Archief voor Wiskunde 5/9 nr 1, p. 61 pdf
te behandelen: Er is in de literatuur, bijvoorbeeld in proefschriften over en rond RR, meestal sprake van onzorgvuldig en onvolledig beschrijven van de realistisch-rekenenmethode om eerst ‘handig’ te laten rekenen, soms toegelicht als bedoeld om de leerlingen op een geleide manier zelf werkzame methoden te laten ontdekken (soms reconstrueren genoemd, zoals in de Inleiding van De Proeve), vaak onvermeld latend dat inherent aan de RR-methoden is om meteen maar met niet al te kleine getallen te beginnen. In dit complex van verwarring blijft het vaak onhelder dat de RR-protagonisten iets wonderlijks doen: ze leggen de leerlingen meteen behoorlijk complexe opgaven voor, die boevndien bij voorkeur op ‘handige’ manieren moete worden aangepakt en tot een oplossing gebracht. Het is niet onmogelijk dat onder bepaalde condities voor bepaalde domeinen zoiets kan werken, maar hier wordt de arme nieuweling overladen met informatie en indrukken, en zie daar dan maar eens uit te halen wat de bedoeling is met dat optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen. Ik wil dus echt hierop gericht onderzoek zien, of dit theoretische idee bij empirische toetsing overeidn blijft.
Kortom, op dit onderwerp is het probleem in de literatuur (bijv. De Jong, 1986, in Harskamp 1988 p. 8; Harskamp p. 15 moderne vs traditionele didactiek) dat het zelden op een ter zake doende manier volledig beschreven wordt, en dat is inderdaad ok wel lastig. Het gevolf is wel dat de lezer de informatie dan uit verschillende plaatsen moet halen, soms uit verschillende publicaties.
te behandelen: Tegenstellingen in onderwijsvernieuwing, zijn daar meer voorbeelden van?
Mark Priestley & Walter Humes (2010). The development of Scotland's Curriculum for Excellence: amnesia and déjà vu. Oxford Review of Education, 36, 345 - 361 [“Scotland’s new Curriculum for Excellence (CfE) has been widely acknowledged as the most significant educational development in a generation, with the potential to transform learning and teaching in Scottish schools. In common with recent developments elsewhere, CfE seeks to re-engage teachers with processes of curriculum development, to place learning at the heart of the curriculum and to change engrained practices of schooling. This article draws upon well-established curriculum theory (notably the work of both Lawrence Stenhouse and A.V. Kelly) to analyse the new curriculum. We argue that by neglecting to take account of such theory, the curricular offering proposed by CfE is subject to a number of significant structural contradictions which may affect the impact that it ultimately exerts on learning and teaching; in effect, by ignoring the lessons of the past, CfE runs the risk of undermining the potential for real change.”]
te behandelen: powerful mathematical ideas: mooi hoor, ben ik helemaal voor, maar waar gaat dit eigenlijk over? Ik vermoed dat dit raakvlakken heeft met het thema van dit artikel.: omdraaiing.
Cynthia W. Kangrall, Edward S. Mooney, Steven Nisbet & Graham A. Jones (2008). Elementary students’ access to powerful mathematical ideas. In Lyn D. English: Handbook of International Research in Mathematics Education (p. 121, sectie over ‘realistic mathematics education’ RME) Routledge.
te behandelen: conceptual change: van spontane en mogelijk foute oplosmethoden naar verantwoorde oplosmethoden is een lastige route, maar RR pretendeert/pretendeerde daar een didactiek voor te hebben. Het is natuurlijk simpel om te laten zien hoe RR-methoden en FI-zegslieden dit verzaakt hebben door bijv. algoritmische methoden als onwaardig/onwiskundig/mechanistisch weg te zetten, maar dat laat onverlet de kwestie hoe een verandering in het begrijpen van bijv. hoe je een deling uitvoert, valt te bewerkstelligen. Een mooi voorbeeld uit de natuurkunde: misvattingen over de beweging van vallende voorwerpen (Dilber, Karaman & Duzgun, 2009). Is het denkbaar iets analoogs te doen over misvattingen over het delen? Zou zoiets al eens zijn beschreven?
Dilber, Refik , Karaman, Ibrahim and Duzgun, Bahattin(2009) 'High school students' understanding of projectile motion concepts', Educational Research and Evaluation, 15: 3, 203 - 222
te behandelen: de constructie van contextopgaven in De Proeve en andere RR-documenten: wat is de validiteit van die constructie? Wat ik daarmee bedoel blijkt o.a. uit Embretsen & Gorin (2001), die nadrukkelijk de cognitieve psychologie daarbij betrekken, zoals ook de RR-protagonisten doen (maar dan op onhandige wijze).
Susan Embretson & Joanna Gorin (2001). Improving construct validity with cognitive psychology principles. Journal of Educational Measurement, 38, 343-368.
Suzanne Lane, Mei Liu, Robert D. Ankenman & Clement A. Stone (1996). Generalizability and validity in a mathematics performance assessment. Journal of Educational Measurement, 33, 71-92. [Interssant omdat het laat zien dat er wat te onderzoeken valt. Ik geloof niet dat in dit onderzoek een poging is gedaan om uit te sluiten dat het wiskundig inzicht dat wordt gemeten, vooral algemene intelligentie is.]
Susan E. Embretson (1996). Cognitive design principles and the succesful performer: A study on spatial ability. Journal of Educational Measurement, 33, 29-39. [spatial ability, een intelligentie-factor, is nauw verwant aan het ruimtelijk inzicht dat in RR figureert, en in toetsen van het Cito. Hoe nauw verwant? Daar zal dit artikel geen antwoord op geven, maar het is een aanknopingspunt voor verder zoeken in de literatuur.]
Omdat Treffers aan het eind van zijn autobiografische boek over resultaten van realistisch rekenen overdrijft, heb ik een paar recente sleutelpublicaties nog eens doorgenomen. Zie #rekentheater voor annotaties bij zijn boek.
Drie dingen springen dan in het oog samen te vatten als de grote omdraaiing van het handig rekenen:
1) Het ‘handig rekenen’ is in het FI van een didactisch instrument bij leerlingen die spontaan handig rekenen verworden tot een doel van het realistisch rekenonderwijs.
2) Het FI heeft niet in de gaten dat het in de loop van de tijd die draai heeft gemaakt.
3) Realistische methoden hebben het ‘handig rekenen’ eveneens op een voetstuk gezet: leerlingen moeten handig leren rekenen, in plaats van uit hun handig rekenen doorgroeien naar het beste algoritme.
ad 3): dit is het betoog van Jan van de Craats (Daan en Sanne). Ik heb het met genoegen (maar het is een dramatisch onderwerp, natuurlijk) nog eens gelezen. Ik krijg er geen speld tussen. Het betoog richt zich op wat er feitelijk in de boekjes van de realistische methoden staat. Als het al een aanval op het FI is, dan is het dat indirect.
http://www.math.leidenuniv.nl/~naw/serie5/deel08/jun2007/craats_hr.pdf
Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.
ad 1) Heel expliciet in Adri Treffers (2010) en voortdurend in de teksten van Marjan van den Heuvel-Panhuizen terug te vinden: het is belangrijk dat de leerlingen ‘handig’ leren rekenen. Dat is een heel andere positie dan het uitgangspunt dat leerlingen die spontaan handig rekenen, daarin goed begeleid moeten worden naar verkorting en uiteindelijk het beste algoritme.
Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.
ad 2) Het FI is zich er niet van bewust dat het deze omdraaiing heeft gemaakt. Dat leidt tot paniek, zoals evident in de oratie van Marja van den Heuvel-Panhuizen: in plaats van te erkennen dat er een enorm probleem is in de vormgeving van het realistisch rekenen door onderwijsuitgevers, schuift zij de boodschapper van het slechte nieuws in de schoenen terug te willen naar het rekenonderwijs van de zestiger jaren (door Treffers en de zijnen ‘mechanistisch’ rekenonderwijs genoemd). Etcetera. Het FI ziet kritiek op het rekenonderwijs zoals dat feitelijk in onze schoolklassen plaatsvindt, als kritiek op het gedachtengoed van Hans Freudenthal, ik zal het zo maar even zeggen, en schiet dan volledig in de kramp. Omdat het FI zich er niet van bewust is dat het op het punt van het ‘handig’ rekenen het oorspronkelijke uitgangspunt geheel uit het oog heeft verloren, kan het niet zelf uit die kramp geraken. Laten we het FI helpen.
Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf
Een paar opmerkingen nog, zonder hier naar volledigheid te streven.
a) Het is mogelijk het oorspronkelijke project, Wiskobas, te zien als een goede constructivistische benadering van het rekenonderwijs, zoals kort geschetst door Hickendorff e.a. (2010, p. 439)
b) Teveel van het goede is nooit goed: een in beginsel goede didactiek kan overdreven worden toegepast, door welke krachten dan ook gedreven.
Er is met het realistisch rekenen meer aan de hand. Van de Craats wees in een tussenopmerking op overmatig probleemoplossen in eenvoudige oefenopgaven in plaats van met die opgaven de vaardigheid op te bouwen.
c) In de autobiografie van Treffers blijkt dat hij het probleemoplossen als een vaardigheid op zich ziet, en begeeft hij zich daarmee ver af van wat probleemoplossen bij Polya is: een instrument om wiskundige kennis op te bouwen en te consolideren.
d) Het idee van contexten in het onderwijs is problematisch. Als motivatie voor het rekenen (waar heeft het voor nodig?) is het prima om voorbeelden van nuttige toepassing te laten zien of vinden. In het realistisch rekenen is het maken van contextopgaven mogelijk een doel op zich geworden. Als ik het goed heb is de oorspronkelijke gedachte dat het werken met contexten voorkomt dat later de rekenvaardigheid er wel is, maar in concrete situaties niet wordt gebruikt. Het gebruik van contexten zou het probleem van transfer moeten oplossen. Ik ben nog volop bezig om uit te zoeken hoe dit in het werk van Treffers precies zit.
#rekentheater
Zie ik dit goed?
Ik heb in dit stuk over de omdraaiing de realistische hapmethoden impliciet onder het handig rekenen gerangschikt. Dat is een slordigheid, maar het is misschien geen slecht idee om zowel dat happend rekenen, als het handig rekenen, onder de noemer ‘handig rekenen’ te scharen. Dan blijft de stelling overeind dat het in de wereld van het realistisch rekenen, zowel het FI zelf als wat er in de Nederlandse scholen gebeurt, tot een omdraaiing van waarden is gekomen: het handige is doel geworden, in plaats van middel.
Treffers formuleerde vijf karakteristieke grondprincipes van het realistisch rekenen (Treffers, 1987):
Commissie-Lenstra, p. 25 pdf
In ‘Het rekentheater’ (2010, p. 109-110) formuleert Treffers de vijf principe korter. Te kort.. Het eerste principe is dan verkort tot “De kinderen hebben een belangrijke inbreng, hun eigen producties vormen de basis voor de opbouw van de leergangen (productie).’ Wat mag dit betekenen?
De vijf principes ook in ‘De Proeve&rsquo (1989, 14-19)
Kort in het Engels, op p. 6 in Arthur Bakker (1994). Design research in statistics education On symbolizing and computer tools. Proefschrift Universiteit Utrecht. download pdf
Enkele snelle aantekeningen bij bovenstaand citaat.
De commissie-Lenstra vat het zo samen, en dan gaan mijn wenkbrauwen behoorlijk omhoog (want welbeschouwd en met alle respect: de conclusie in de tweede zin is een non sequitur, en leerlingen aanmoedigen om de wiskunde opnieuw uit te vinden, hoe goed ook begeleid, is een vorm van verstandsverbijstering):
“De realistische rekendidactiek ziet wiskunde als een menselijke activiteit, met een oorsprong in de realiteit en met als doel die realiteit beter hanteerbaar te maken. Contexten spelen daarom een prominente rol in het onderwijsleerproces. Leerlingen worden aangemoedigd hun eigen oplossingsstrategieën te ontwikkelen en daar gezamenlijk op te reflecteren.”
Chris S. Hulleman, Olga Godes, Bryan L. Hendricks & Judith M. Harackiewitz (2010). Enhancing Interest and Performance With a Utility Value Intervention. Journal of Educational Psychology, 102, 880-895.
H. Freudenthal, G. M. Janssen, W. J. Sweers, G. B. van Barneveld, J. N. Bosman, F.J. van den Brink, J. C. van Bruggen, L. J. M. Gilissen, F. Goffree, J. F. de Gooijer-Quint, J.ter Heege, H. M. M. Jansen, R. A. de Jong, W. H. M. Kremers, C. P. Leenders, G. H. Meijer, E.W. A. de Moor, G. Schoemaker, L. Streefland, A. Treffers, G. A. Vonk, E. J. Wijdeveld (1976). Five years IOWO. Educational Studies in Mathematics, 7 #3, 185-367.
“IOWO is no research institute; its members do not regard themselves as researchers but as producers of instruction, as engineers in the educational field, curriculum developers. Engineering needs background research and can produce research as fall out. Though both of them will be visible in the present account, its nucleus is our productive work, represented by a few specimins, and embodies our views on mathematics as a human activity and on curriculum development as a classroom activity, guided by curriculum developers, in a continuous contact with all those interested in mathematics education. ”
Hans Freudenthal, in his preface p. 352
Veel onderwijsmateriaal, en letterlijke verslagen van interacties in de klas. Pas op p. 312 iets van een theoretisch kader, in par. 2.7 met de verschillende stadia die freudenthal onderscheidt voordat kan worden begonnen met een strikt algoritmische benadering. Ik heb hier het probleem mee dat ik dan wil weten: waarom precies deze volgorde, is dat onderzocht, is het doeltreffender wat tijdbesteding betreft, of wat? Ik krijg daar geen informatie over. Ik ben nog wat cynischer, eigenljk: ik wil graag onderbouwing zien van de veronderstelling dat al deze activiteiten noodzakelijk zijn om de leerlingen bepaalde kennis van de wereld bij te brengen, omdat ze die kennis anders niet zouden opdoen. Met andere woorden: leren de kinderen omdat ze onderwijs krijgen, of omdat ze ouder worden en meer van de wereld kunnen begrijpen? Gewoon de vraag of weerlegd kan worden dat dit onderwijs water naar de zee dragen is. Ik wil best geloven dat kinderen bezig houden met leuke concrete situaties nuttig is omdat ze op een bepaalde manier over die wereld leren spreken. Maar hadden ze dat thuis al niet geleerd? Of zouden ze het een jaar later niet als vanzelfsprekend hebben opgepikt zonder expliciet onderwijs? Om welke kennis en inzichten gaat het eigenlijk: is het intelligentie, of gaat het om leren en oefenen? Op welke ‘background reseach’, in de woorden van Freudenthal, berust dit alles?
Mijn achterdocht zit ook hier, ik zeg het maar: is hier niet eenzelfde fenomeen aan de orde als bij het bedenken van quiz- en examenvragen, dat iedereen maar wat doet, totdat je voldoende goed ogend materiaal hebt om mee aan de slag te gaan? Want dat lijkt natuurlijk nergens op, dan heeft de ontwerper van de examenvragen kennelijk geen idee waar het over gaat, behalve wat als ‘de stof’ is gegeven.
Par. 2.8 Didactical models and ratios.
Het is mij niet duidelijk wat de auteurs hiermee willen.
3. On mathematics education - IOWO’s conception
Ha. Helaas, het is een gezellige babbel over hoe we het in Nederland doen, en andere generalisaties en stereotypen. Hier en daar een hint naar theorie, bijvoorbeeld psychologie van het leren, het idee van Freudenthal dat wiskunde een menselijke activiteit is. Geen scherpe formuleringen, geen theoretisch onderbouwd kader, ook dit kabbelt allemaal voort. Dat is heel veilig, critici hebben er minder greep op. De introductie van contexten (p. 326), rijke contexten, is van een verbazingwekkende vanzelfsprekendheid. Het is evident niet de bedoeling om daar eens een vraagteken bij te plaatsen. Niet ‘wat moeten we ermee?’, maar ‘waar vinden we ze?’ De onderwijsontwikkelaar heeft voor dit lastige werk een goede greep op wiskunde en wiskundedidactiek nodig (p. 327). Nee, geen psychologie, kennelijk, of zou dat inbegrepen zijn in de didactiek? Ik krijg op dit verhaal geen vat. Het kan dooien, of het kan vriezen. Wil ik het over dooi hebben, dan blijkt het te vriezen.
Adri Treffer’s Kiekkas (1975) heet hier (p. 330) ‘the most important publication of IOWO on their conception of mathematical instruction’ Waar kan ik die tekst vinden? Het moet gaan om De kiekkas van Wiskobas. Wiskobas-Bulletin, leerplanpublikatie 1. Wie heeft die tekst voor mij? Ik begrijp uit Treffers (2005, in: Freudenthal 100), dat hier het onderscheid in horizontaal en verticaal mathematiseren wordt geïntroduceerd, een zeldzaam verwarrend begrippenpaar wat mij betreft. Treffers (2005, p. 137) karakteriseert de thema’s uit de beginjaren van het IOWO als een wat te enthousiaste nadruk op horizontaal matehmatiseren. Het is goed om het verhaal van 1976 aan te vullen met de volgende observatie van Treffers over die eerste periode.
“Dit onderscheid in horizontaal en verticaal mathematiseren (Treffers, 1975) diende er mede toe om het belang van het geïntegreerde onderwijs dat in de eerste fase tot 1975 zoveel aandacht kreeg, tot de juiste proporties terug te brengen: thema’s zijn belangrijk, maar overaccentuering ervan leidt tot empiristisch wiskundeonderwijs met te weinig aandacht voor verticaal mathematiseren (zie ook De Lange, 1979). De genoemde nadruk was trouwens alleszins begrijpelijk. Ten eerste ging van dit onder- wijs een grote innovatieve werfkracht uit. Ten tweede paste de geïntegreerde benadering perfect bij de nieuwe leerstofdomeinen van meten en meetkunde. En ten derde vroeg het ontwikkelen van thema’s veel minder tijd dan het uitlijnen van nieuwe leergangen. Met name het laatst- genoemde punt was, gelet op het feit dat in 1975 een nieuw voorbeeld van een schoolwerkplan beschikbaar moest zijn, van grote praktische betekenis.”
A. Treffers (2005). De (on)navolgbare Freudenthal. In Freudenthal 100, p. 137.
A. Treffers (1975). De kiekkas van Wiskobas. Wiskobas-Bulletin, leerplanpublikatie 1.
J. de Lange (1979). Contextuele problemen. Euclides, 55 (2), 50-60. [ook deze publicatie heb ik niet tot mijn beschikking, b.w.]
Hoofdstuk 4. Curriculum development — a strategy
Begint meteen maar met de groep van het IOWO te presenteren als een progressieve bende die het Nederlandse rekenonderwijs van de ondergang moest gaan reden (van de New Math???).
“IOWO, and Wiskobas, its project for K-6 education, could not afford to follow some form of RDD strategy: research - development - diffusion. As a matter of fact, within a few months a professional institute must be organised, and something must be done to conjure the menace of chaos. (..) Moreover, it had become clear from the literature on curriculum development and from the history of certain projects (SMSG, Nuffield, UISCM, CSMP) that the RDD-model or any of its variants did not work at all.”
p. 352
Wat niet werkt, moet je natuurlijk niet gaan doen. Groot gelijk.
Ook dit hoofdstuk is uiteindelijk weinig informatief. Overdreven standpunten, zoals die uit latere perioden bekend zijn, komen er niet in echt in voor: geen kolomrekenen, handig rekenen, overdreven aandacht voor transfer, geen afzetten tegen ‘mechanistisch rekenen’. Geen arrogantie, het is eigenlijk heel keurig allemaal. Maar wel al behoorlijke pretenties, waarvoor ook ruimte was omdat een aantal nieuwe onderwerpen aan het rekenprogramma voor het basisonderwijs toegevoegd zouden worden (zeg ik dat zo goe?), onder andere dat vreselijke ruimtelijke inzicht, wat voor mij nog steeds een persoonlijkheidskenmerk is, geen vaardigheid die echt goed is te onderwijzen en trainen.
Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.
Voor een analyse van het werk van ‘realistisch rekenen’ Adri Treffers is het waarschijnlijk een goed idee om te beginnen met zijn autobiografische boek, voor een breed publiek geschreven, dat in 2010 is verschenen, en met de wijsheid van 2010 geschreven moet zijn.
De flap geeft aan dat Treffers wiskunde en onderwijskunde heeft gestudeerd. Als ik het goed begrijp gaat het om wiskunde voor het onderwijs, destijds de akte MO o.i.d. Onderwijskunde is een opleiding die een sterke psychologische component mist, en zeker de leerpsychologie of cognitieve psychologie. Ik mis hier twee dingen, die toch wel van belang zijn: wiskunde op academisch niveau, en psychologie. Het kan zijn dat het werk van Treffers de sporen draagt van dit gemis, al zal Hans Freudenthal op het punt van de wiskunde hem terzijde hebben gestaan. Ik ben zelf evemin wiskundige, ik zal daarom vooral de psychologie van het realistisch rekenen van Treffers van aantekeningen voorzien.
In de eerste hoofdstukken, ook zijn jeugdjaren, is Treffers betoverd door rekenraadsels, rekenproblemen, en probleemoplossen. Als psycholoog vermoed ik bij de voorbeelden die hij hier aanvoert dat zij alleen zijdelings met goed reken- of wiskundeonderwijs hebben te maken. Het zijn problemen die slim opgelost moeten worden, niet op basis van kennis: je kunt er heel goed verschillen in intelligentie mee testen (precies het verwijt dat bijvoorbeeld Robert Sternberg maakt in de richting van Cito-toetsachtige tests). Als hij psycholoog was geweest, zou hij de gelijkenis tussen deze problemen en de problemen uit het psychologische onderzoek van bijvoorbeeld Duncker (1935) hebben gezien, en mogelijk niet zo makkelijk in de val zijn gelopen dat dergelijk problemen iets met onderwijs hebben te maken (intelligentie is niet echt onderwijsbaar).
Karl Duncker (1935/1963). Zur Psychologie des produktiven Denkens. Berlin: Springer. zie hier voor meer info
Hoofdstuk 7 ‘De kortste weg’ is mogelijk de kern van zijn opvattingen over reken- en wiskundeonderwijs. Het gaat over een 'slim probleem' dat hem een 'piekervaring' [Maslov] opleverde en zijn kijk op wiskunde wijzigde.
“Kortom, achter het vraagstuk ‘de kortste weg van A via [een punt op lijn] l naar B’ zit een wiskundige wereld van opgaven die zich goed lenen voor onderzoekend leren en probleemgericht onderwijzen op diverse niveaus zonder dat het bewijs van de kortste weg ingebed is in het systeem van het traditionele meetkundeonderwijs zoals ik dat zelf had gekregen en dat ik tot dan toe ook zo had onderwezen.
Deze onderzoeksgerichte en (nog) niet vaksystematisch bepaalde aanpak die aansluit bij de denkwereld van kinderen was naar mijn stellige overtuiging de juiste benadering van het aanvankelijke meetkundeonderwijs.
Hoe zou de didactiek op het geheel van het reken-wiskundeonderwijs kunnen passen, waaronder het strak gestuurde, aanvankelijke rekenonderwijs dat we nu via onze kinderen leerden kennen? Waarom moeten ze 6 + 7 = .. per se via splitsen bij tien berekenen, 6 + 7 = 6 + 4 + 3 = 10 + 3 = 13, en mogen ze niet met dubbel-6 rekenen zoals ze vaak spontaan doen: 6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13? Dit verzin ik niet, want een dergelijke correctie stond in het schriftje. De kortste rekenweg die ze zo voor zich zien, mogen ze blijkbaar niet volgen. Ze moeten rekenen volgens een strikt voorgeschreven rekenrecept, terwijl de natuurlijke, zelf ontdekte methode wordt onderdrukt.”
Het rekentheater, p. 63-64
Treffers vindt deze gedachten terug in het Wiskobas-project van Wijdeveld en Goffree, waar hij zich in 1969 bij aansluit.
Dat voorbeeld van 6 + 7 verbaast me, maar ik wil wel aannemen dat het als zodanig in een rekenmethode voor kan komen.
Leren optellen kan leerlingen voor raadsels plaatsen: legio mogelijkheden voor het ontwikkelen van misvattingen. Een adequate didactiek zorgt ervoor dat misvattingen meteen blijken, zodat de leerling ze kan corrigeren. Wat een doeltreffende didactiek voor het leren optellen van getallen beneden de tien is, dat weet ik niet, maar ze moet erop zijn gericht dat de leerling deze optellingen goed automatiseert. Misschien heeft Lebiere hier onderzoek naar gedaan (ACT-R-theorie van John Anderson en de zijnen) (zie hier voor verbijsterend exact onderzoek).
De misvatting van Treffers, op dit punt in zijn loopbaan, is dat door leerlingen zelf ontdekte methoden zinvol en waardevol zijn. No way, lijkt me, alleen als uitgangspunt om via correctie en bijschaven onder begeleiding van de leraar uiteindelijk uit te komen op een adequate methode om op te tellen. Wie enig idee heeft van de ontwikkelingen in de wiskunde, bijvoorbeeld te beginnen bij Fibonacci (en hij stond al op arabische schouders), kan niet serieus de gedachte koesteren dat er door leerlingen op zinvolle wijze iets valt te ontdekken, anders dan stevig begeleid.
L. E. Sigler (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer.
Hoofdstuk 8. Een aardig overzicht van de ontwikkeling in de vorige eeuw: van de aanvankelijke ‘denkopgaven’ in het rekenonderwijs, via een niet aangeslagen voorstel van Philip Kohnstamm voor gestructureerde rekenopgaven, het naoorlogse rekenonderwijs dat volgens Treffers vooral mechanistisch is, naar Wiskobas en uiteindelijk realistisch rekenen.
“Polya’s didactische keuze ‘probleemoplossen leer je (waarderen) door problemen op te lossen’ werd ook door Wiskobas onderschreven en uitdrukkelijk als een algemeen, permanent na te streven leerdoel geformuleerd.”
Treffers p. 88-89
Het Wiskobas-team, aldus Treffers, omarmt dan het werk van George Polya (1945) over probleemoplossen als basis voor Wiskobas. Dat lijkt een goede keuze, maar veel hangt af van de interpretatie van wat dat werk van Polya precies behelst, en hijzelf heeft dat laatste nooit in heldere regels vast kunnen leggen: zijn methoden blijven heuristisch van aard, het is spelen met de eigen expertise. Let op: die expertise, hoe gering ook, moet er wel zijn.
In 1945 is het idee van Polya onder andere, evenals leraren klassieke talen dat wel hebben, of schaakmeesters, dat wiskunde tevens het denken vormt. Die opvatting staat los van zijn werk over probleemoplossen, is niet zo handig, en is in ieder geval nooit empirisch getoetst op zijn juistheid. Laten we het houden bij de wel empirisch te toetsen uitspraak van Philip Kohnstamm, aangehaald door Treffers (p. 66) dat dit ‘leren denken door wiskunde’ een hersenspinsel is.
Een nuance verschil: in een citaat uit Polya
“Maar als hij [de wiskundeleraar] de nieuwsgierigheid van zijn leerlingen weet te wekken door hun passende en uitdagende problemen voor te leggen . . . ”
Treffers, p. 88
“But if he [a teacher of mathematics] challenges the curiosity of his students by setting them problems proportionate to their knowledge, . . . ”
How to solve it, 2nd edition, p. v
Het verschil tussen creatief probleemoplossen zoals door Duncker bestudeerd, en het door Polya voorgestane probleemoplossen is dat je voor het eerste snugger moet zijn, voor het tweede goed voorbereid. Wiskunde is een vak dat kennis bouwt op eerdere kennis, en zo is dat ook in het door Polya bepleite probleemoplossen. De vertaling van Treffers moffelt die kennis weg. Doet Treffers dat onbewust? Hij gebruikt een lastig probleem van Polya, in zijn hoofdstuk ‘Aha Polya’, als illustratie van rond problemen gestructureerd onderwijs: een vierkant, in vierkante vlakjes verdeeld, waarvan twee diagonaal tegenover elkaar gelegen hoekvlakjes worden verwijderd; de vraag is dan: kan het overblijvende vlak worden bedekt met dominostenen met de maat van twee van die vierkantjes? Dit is een buitengewoon lastig probleem, maar voor de oplossing ervan is geen wiskundige kennis nodig. Treffers meent serieus (p. 88) dat een dergelijk probleem past in het basisonderwijs, en legt uit hoe. Ik kan niet anders dan concluderen dat het Treffers ernst is met dat probleemoplossen-zonder-achtergrondkennis. Het verbijstert me wel, maar ik heb zijn boek nog niet uit. Om misverstand te voorkomen: Polya heeft met dit probleem een congres van wiskundigen geamuseerd; het is vermoedelijk niet een probleem dat in zijn boeken over wiskundig probleemoplossen figureert. Om nog een misverstand te voorkomen: Treffers ziet wel degelijk wiskunde in dit probleem (p. 84): “Dit probleem verbeeldt in pure vorm wat wiskunde kan inhouden: het ontdekken van structuren om problemen op te lossen. Het laat zien hoe betoverend wiskundig probleemoplossen kan zijn.” Ik verschil hier van mening: er is niets specifiek wiskundigs aan dit probleem, vergelijk de Aha-problemen in het onderzoek van Duncker. Escher zou er niet door worden geïnspireerd; bij Penrose (tiles) zou evenmin een lampje gaan branden.
Wie bekend is met de latere psychologische literatuur over probleemoplossen, zoals Newell & Simon (1972) Human problemsolving, weet dat succesvol probleemoplossen het resultaat is van voorafgaande diepte-investeringen in kennis. Ik heb dat zelf ook op die manier uitgewerkt en gepresenteerd in mijn (1983) Toetsvragen schrijven, hoofdstuk 7 over probleemoplossen. (Voor een in bewerking zijnde herziening zie hier).
Het probleem met de problemen van Polya is dat zijn werk moeilijk valt in te passen in verwant psychologisch onderzoek, althans gezien de schaarste aan serieuze publicaties over zijn werk. Daar is een belangrijke uitzondering op: zijn student Alan Newell is later een grondlegger van het cognitief-psychologisch onderzoek over probleemoplossen, samen met nobelprijswinnaar Herbert Simon. En Newell is zo attent geweest om een uitvoerige beschouwing aan het belang van het werk van Polya te wijden. Wie het werk van Polya als fundament voor onderwijsontwikkeling wil kiezen, doet er goed aan Newell (1983) te bestuderen, evenals het latere (na ‘How to solve it’) in boekvorm verschenen werk van Polya over wiskundeonderwijs. Newell wijst erop dat de heuristieken van Polya erop zijn gericht om voor het probleem relevante informatie uit onze grijze hersencellen op te diepen: heb je dit probleem al eens opgelost, of een analoog probleem, ken je een probleem dat erop lijkt, is er een eenvoudiger probleem met dezelfde kenmerken dat je wel kunt oplossen. Om te beginnen moet je die informatie dus al hebben, uit eerder hard werken aan je wiskunde. Een vervolgens moet je in staat zijn om die informatie ook te vinden, om ze beschikbaar te maken voor het probleem dat je onderhanden hebt. Daar zijn de oplos-heuristieken van Polya heel nuttig voor. Als bijgift van dit probleemoplossen: door op deze manier systematisch met nieuwe problemen bezig te zijn, verstevig je ook de kennis die je al had: die wordt steeds beter onderling verbonden en dus steeds beter bereikbaar. Om die reden bouwt de van zijn strategie en tactiek bewuste schaker al spelend zijn expertise op (zie Max Euwe daarover).
Ergo: leerlingen problemen op laten lossen die geen verbinding hebben met eerdere stof, verspilt hun tijd. Dat doet me denken aan de ervaring van Deanna Kuhn (2005) in scholen in Chicago: in achterstandswijken gaat het grootste deel van de beschikbare lestijd verloren aan wanorde en lawaai, in de betere wijken besteden de leerlingen hun tijd bijna even zinloos aan het maken van talloze werkjes en opdrachten die geen onderlinge verbinding hebben. Ik noem Deanna Kuhn niet toevallig: zij is protagonist van stevig gestructureerd onderwijs dat de tijd van leerlingen niet verspilt aan triviale kennis, maar ze vaardig maakt in (onderzoekmatig) denken. Een medestander van Philip Kohnstamm, maar wel iemand die het vraagstuk bij de wortels aanpakt.
Deanna Kuhn (2005). Education for thinking. Harvard University Press. excerpt
Allen Newell (1983). The heuristic of George Polya and its relation to artificial intelligence. In Rudolf Groner, Maria Groner & Walter F. Bischof: Methods of heuristics. Lawrence Erlbaum.
Alan Newell & Herbert A. Simon (1972). Human problem solving. Prentice Hall.
George Pólya (1945/1957). How to solve it. A new aspect of mathematical method. Princeton University Press.
George Pólya (1954/68). Mathematics and plausible reasoning. Volume I: Induction and analogy in mathematics. Volume II: Patterns of plausible inference. Princeton University Press.
George Polya (1962, 1965). Mathematical discovery. On understanding, learning, and teaching problem solving. Volume I, II. Wiley.
Yvonnesom
Yvonne rekent uit op haar rekenmachine
715,347 + 589,2 + 4,553 = 13091
Bij het opschrijven van het antwoord
is ze de komma vergeten.
Wat moet het antwoord zijn?
Bij de volgende opgave zien we deze blinde regelgeleide aanpak in de vorm van ‘hoofdcijferen’ terug.”
p. 112
De geciteerde opgave is gebruikt in het mondelinge deel (bij 140 leerlngen) van de PPON 1987. Treffers claimt hier dat de meeste leerlingen de fout ingaan, en wel omdat zij een ‘blinde regelgeleide aanpak’ volgen. Ik heb moeite met deze diagnose. Allereerst omdat de opgave geen adequate wiskunde is, aannemend dat van deze leerlingen niet mag worden verwacht dat zij zich relasiren dat het aantal gebruikte decimalen achter de komma de nauwkeurigheid van het betreffende gegeven aanduidt. De ontwerper van deze opgave is als een ongeleid projectiel tewerkgegaan, zodat het me verbaast dat de leerlingen die hier problemen mee krijgen, verweten wordt ‘blind regelgeleid’ tewerk te gaan. Vervolgens omdat ik niet weet wat de ontwerper van de vraag bedoeld heeft te toetsen; gezien het grote aantal ‘foute’ antwoorden, is dit kennelijk een vraag die niet door het genoten rekenonderwijs is gedekt. Is dat juist wat Treffers wil aantonen?
Ik kan me wel voorstellen dat Treffers hier concludeert dat een heel groot deel van de leerlingen met deze vraag niet uit de voeten kan, maar zijn conclusie dat dit komt door een ‘blinde regelgeleide aanpak’ van het genoten rekenonderwijs gaat mij veel te ver. In dit hoofdstukje behandelt Treffers nog drie vragen uit dezelfde PPON.
Prijzenpotsom
In de prijzenpot zit 6327,75 gulden.
Er zijn 8 winnaars die dit met elkaar moeten delen.
Hoeveel geld moet ieder dan ongeveer krijgen?
Rond af op honderd gulden.
p. 112
Prijzenpotson. Delen, uit het hoofd. Goedscore 35%. Treffers heeft ook uitkomsten van schriftelijke beantwoording van dezelfde opgave, dat komt uit op onder de 40% goed. Het ontgaat mij wat Treffers hier wil aantonen, omdat de schriftelijke opgave past bij het gegeven onderwijs waarin 150 uren aan ‘cijferen’ is besteed. Bedoelt hij dat dat ‘cijferend onderwijs’ niet eens de eigen doelstellingen haalt? Dat zou interessant zijn, want dan ben ik benieuwd naar de redenen die Treffers voor dat falen van het ‘cijferend onderwijs’ op eigen terrein opgeeft. Maar er is nog een ander probleem voor Treffers: hoe kan het zijn dat het schattend rekenen zoals in het mondelingen onderzoek een nauwelijks slechtere uitkomst heeft dan het op papier uitrekenen? Dat zou er toch op kunnen wijzen dat expliciet schattend rekenen onderwijs neerkomt op water naar de zee dragen? Ik ben benieuwd hoe dit zich verder ontwikkelt in het verslag van Treffers.
Over de opgave zelf. Die is ingewikkeld. De arme leerling moet veel dingen tegelijk doen/onthouden. Ik neem aan dat de opgave wel op papier staat. Er moet worden gedeeld door honderd (of de komma verschuiven), gedeeld door acht, gefilosofeerd over het probleem dat ‘ongeveer achthonderd’ gulden voor ieder van de acht prijswinnaars evident meer is dan er in de prijzenpot zit (moet je niet helen, en dus uitkomen op zevenhonderd?), zitten er nog verborgen aspecten aan de opgegeven context van een prijzenpot die moet worden gedeeld (wie zegt dat de prijswinnaars gelijkelijk delen?). Treffers geeft hier overigens niet aan wat het ‘juiste’ antwoord op de vraag is, ennelijk is het vanzelfsprekend dat dat ‘achthonderd gulden’ is, maar in het eerder door Treffers behandeld voorbeeld van 30 passagiers te vervoeren in auto’s die ieder vier passagiers kunnen meenemen, was dat toch anders . . . . Ik ben dus wel benieuwd naar de manieren waarop leerlingen naar ‘foute’oplossingen’ toe hebben geredeneerd. Want wiskundeonderwijs is toch: als de leerling inderdaad fout redeneert, dus een verkeerd of een naief inzicht heeft, om de leerling te krijgen tot correctie van die misvatting, tot juist begrijpen?
De twee hoofdstukken ‘De stille rekenrevolutie’ (p. 111-121) zijn deels verwant aan Van den Heuvel-Panhuizen & Treffers (2010), met de claim dat de prestaties van het rekenonderwijs lager zouden zijn geweest, ook wanneer alleen naar cijferend rekenen wordt gekeken, wanneer er geen realistsiche rekenmethodes waren ingevoerd. Die claim zal ik nog onderzoeken, het is het hart van de strijd tussen realisten en anti-realisten. Ik heb evenwel niet de indruk dat de auteurs hier met nieuw materiaal komen: de gegevens komen uit de PPON-rapporten van het Cito, vooral die van 2004 (zie diverse publicaties van Kees van Putten en anderen, tot en met die in Psychometrika).
Marja van den Heuvel-Panhuizen & Adri Treffers (2010). Cijfer positieve prestaties in rekenen niet weg. NAW [Dit artikel is eerder verschenen in Tijdschrift voor Orthopedagogiek, jaargang 49, nr. 2, pp. 53-62.] pdf
In hoofdstuk 15 ‘De stille rekenrevolutie (2)’ enige zelf-prijzing op het stuk van meetkunde weer terug in het onderwijs, en hoe! Ik ben de laatste jaren steevast in rekentoetsen van het Cito opgaven tegengekomen die ruimtelijk inzicht vereisen, en heb daar even steevast altijd de vraag bij gesteld waar de rechtvaardiging voor dit tyope opgaven is gegeven, waar is onderbouwd dat deze opgaven iets te maken hebben hebben met verworven kennis, en niet alles met intelligentie. Ik heb er nog geen antwoord op gekregen of gevonden, dus ik blijf er maar van uitgaan dat deze zogenaamd meetkundige opgaven voornamelijk verschillen in ruimtelijk inzicht meten. Heel onbevredigend, maar ook in dit snorkend geschreven hoofdstukje krijg ik geen antwoord op deze prangende vragen. Waarom is dit alles problematisch: ruimtelijk inzicht als persoonlijkskenmerk is niet of moeilijk te ‘verbeteren‘ door oefening, en dat is ook de reden waarom het in het onderwijs niet aan de toetskant thuishoort, en de didactiek niet beperkt zou moeten inspelen op specifieke intellectuele capaciteiten. Kortom, zie het werk van Sternberg, zoals eerder al opgemerkt.
Ik zal er de ‘Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op d basisschool’ (deel 1, 1989) nog eens op na moeten slaan.
En Edu Wijdeveld (1977). Vierkubers. Leerplanpublicatie 5 Wiskobas. IOWO. Maar ik ben bang dat ik die laatste publikatie moeilijk te pakken kan krijgen (een boekje van 56 blz op Boekwinkeltjes, maar dat lijkt me niet compleet, want alleen het leerplandeel; Ha, de KB heeft het, het is inderdaad maar 56 bladzijden).
anonieme bespreking van J. M. Kraemer Meetkunde op de basisschool. Didactiek, inhoud en structuur van meetkunde in de methode Rekenen & Wiskunde. pdf
E. de Moor, J. Janssen, J. M. Kraemer & J. Menne ( tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 15, #2, 11-19. pdf [En ja hoor, meisjes presteren slechter dan jongens, maar dat weten we al uit depersoonlijkheidspsychologie).
Hoofdstuk 17 ‘Anders naar kinderen kijken (1)’. Over de bekende opgave ‘Hoe oud is de kapitein&’ Treffers keuvelt hier van alles en nog wat bij elkaar, en verwijt onderzoekers een gebrek aan inlevingsvermogen in de leerling die de ‘onmogelijke’ opgave krijgt voorgelegd. Een beetje gelijk heeft hij wel: het gaat meer om een sociaal-psycologisch fenomeen (groepsdruk, of in dit geval: driuk van leraar of proefleider), dan o een rekenfenomeen.
Treffers mist hier een kans voor open doel; hij citeert een aantal fraaie leerlingfantasieën die hun antwoord op de vraag hoe oud de kapitein is, rechtvaardigen. Dit zijn immers spontane oplosmethoden, precies dat waarvan Treffers bij het rekenen zegt dat we die spontane methoden de ruimte moeten geven! Treffers ziet het probleem niet: waarom in het even geval wel, in het andere niet meegaan met spontane oplosmethoden van leerlingen!
Terug naar die domme onderzoekers. Het wordt nu menens:
“De vraag is nu of dit gebrek aan inlevingsvermogen meer in het algemeen voorkomt bij onderzeok op het gebied van rekenen-wiskunde.”
p. 132
Hoofdstuk 18 gaat over een kortzichtigheid in Piagetiaans onderzoek. Treffers verrast me met de mededeling dat de conservatie-experimenten van Piaget grote invloed op het rekenonderwijs in de groepen 1 tot 3 heeft gehad. Het zal wel. Over getalbegrip is de laatste decennia veel onderzoek gedaan, dat zie ik hier niet terug. Treffers slaagt er wel in om in dit hoofdstukje ook weer uit te komen op het belang van handig rekenen, tegenover starre didactiek die maar een bepaalde methode toetstaat. Ik begrijp dit echt niet beter door ettelijke herhalingen van de stelling te lezen, ik wil onderbouwing zien. Ik krijg de kriebels van ‘handig’ rekenen als doel van rekenonderwijs.
Ik ben nu halverwege het boek van Treffers, en ben verbijsterd over het totaal ontbreken van onderbouwing voor de nadruk die de realistisch rekenaars leggen op probleemoplossen, handig rekenen en realistische contexten. Hoe is het mogelijk dat verstandige onderwijsmensen het gebruiken van ‘handige’ oplossingen voor rekenopgaven tot een van de belangrijkste doelstellingen van het rekenonderwijs verheffen? Ik heb nooit anders begrepen dan dat handig rekenen een gevolg is van goede beheersing van het rekenen, en niet andersom. Dit is ook een belangrijk strijdpunt tussen de voor- en tegenstanders van de Freunthal-rekenopvattingen, waarbij de tegenstanders erop wijzen dat het benadrukken van handig rekenen in de weg staat aan het leren rekenen. Mag ik dat illustreren aan een citaat van een Freundenthaler.
“Maar het toepassen van een algoritme is geen wiskunde!”
Willem Uittenbogaard (2008). Geen catechismus leren, maar nadenken. NAW 5/9 nr 1, p. 62. Met uitroepteken en al, onderdeel van een reactie van het FI op een kritisch artikel van Jan van de Craats in NAW (pdf
Laat ik bij dit citaat zomaar denken dat hier geen wiskundige spreekt .... . Wat een kanjer van een misvatting. Een goed algoritme is de meest ‘handige’ werkwijze om een bepaalde klassen van problemen aan te pakken en op te lossen. Hoezo is dit geen wiskunde? Dit is geen toevallige verschrijving, het is een opvatting over oplosmethoden die ik vaker ben tegengekomen. Kijk, dat illustreert het ongenoegen dat ik beleef aan sommige publicaties vanuit het Freundenthal-Instituut, want hoe kan iemand die zo blundert, zinvol werk leveren voor het onderwijs?
Ik kan mij voorstellen dat in de literatuur over wat het is om expert te zijn, onderzoek is te vinden dat juist laat zien dat enige expertise een voorwaarde is om verkortingen en vereenvoudigingen in probleemopgaven te kunnen zien. Ik wil daar wel eens naar kijken.
Hoofdstukje 21 ‘De Engelse ziekte’ over klassikaal onderwijs en zijn varianten: interactief, of zelfstandig lerend. Een grondprincipe van realistisch rekenen is dat dat interactief in de klas gebeurt. Ik moet soms ook wel lachen. Interactief leren is: elkaar dingen voordoen en uitleggen; met elkaar oplossingen doornemen. Dat is niet specifiek voor een richting in de rekenmethodiek. Als Treffers dat als een verdienste van hemzelf wil claimen, gaat hij zijn gang maar. Hij heeft in dit hoofdstuk mogelijk wel een stevig punt te pakken: dat er een belangrijk verschil is tussen dit ‘interactieve’ leren in klassikaal verband (of groepen in de klas), en ‘zelfstandig leren’ dat individueel is, met de leraar als begeleider van al die individueel lerenden. De titel van het hoofdstuk slaat op het Engelse onderwijs, dat individueel is georiënteerd, en volgens Treffers om die reden in internationale vergelijkingen slecht presteert. Dat zou kunnen. Ik ben niet goed op de hoogte van dat ‘zelfstandig leren’ en wie dat om welke redenen in ons land propageren. Mijn vermoeden is dat Treffers gelijk kan hebben dat de dominante opvatting in ons land is dat onderwijs individueel aangepast moet zijn, en ‘dus’ de vorm van zelfstandig leren moet hebben. Dat lijkt me een enorme misvatting (in die dominante opvatting). Ik zie hier geen directe link tussen het interactieprincipe en realistisch rekenen. Treffers ziet die wel, omdat verschillende oplosmethoden van verschillende leerlingen zich immers uitstekend lenen voor klassikale bespreking tussen leerlingen (en leraar) onderling. Treffers legt daarbij de nadruk op het leren van handige oplossingen. Een algemene didactische opstelling hier is een nuance anders: om te verzekeren dat leerlingen geen misvattingen ontwikkelingen, maar vooral om ze gelegenheid te geven het geleerde goed op te nemen en te consolideren, is die klassikale interactie een uitstekend middel. Overigens mag dat ook de waargenomen interactie zijn tussen de leraar en één van de leerlingen: daar leren de andere leerlingen plaatsvervangend bijna evenveel van als wanneer zij zelf in gesprek zijn met de leraar. (Dat is onderzocht. Hoe vind ik de betreffende onderzoekartikelen terug? Wat zou de Engelse term voor ‘plaatsvervangend leren’ kunnen zijn?)
Hoofdstukje 22 over de waarde van 1 : 0. Grappig. Interessant omdat een samenspraak in de klas al gauw de meeste markante punten uit de geschiedenis van dit probleem reproduceert (reden temeer voor de leraar om historisch inzicht te hebben). Treffers gebruikte dit in zijn toespraak bij het afscheid van Fred Goffree. Gaaf. In de perceptie van Treffers raakt het aan het interactieprincipe, mag ik vemoeden. Wat hij in dit hoofdstukje in het voorbijgaan ook laat zien, maar dat benadrukt hij niet, is dat redeneren in concrete contexten een mens uit evenwicht kan brengen. Zijn hoofdpersoon Nicole redeneert dat een taart delen met niemand, de hele taart bewaart, dus is 1 ; 0 gelijk aan 1. Wees niemand, en geniet van de taart.
Hoofdstukje 24 gaat over laaggecijferdheid, door Treffers ook wel ‘rekenkundig analfabetisme’ genoemd. Wat me onzinnig lijkt. Hij gebruikt hier een aantal amusante voorbeelden uit dagbladen, waarvan de dwaasheid door weinig lezers opgemerkt schijnt te worden. Maar dat bewijst geen laaggecijferdheid. Kijk eens naar de argumenten die op het forum van BON worden gewisseld: een poolse landdag van drogredenen; maar dat bewijst nog niet dat de betreffende leraren analfabeet zijn. Allemaal grappig. Maar Treffers wil er serieus iets mee: de leerlingen zo toerusten dat ze in hun latere leven, ook wanneer ze journalist zouden mogen worden, niet meer opschrijven dat de oppervlakte van Nederland 44.000 vierkante meter is. Dit moet Treffers niet willen, althans niet dan nadat hij zich ervan heeft vergewist dat dit probleem van oppervlakkig redeneren met getallen door ander onderwijs kan worden opgelost (wat het onderwijs niet kan). Het gaat dus bepaald ergens over, maar wat is dat ‘ergens’ precies? Waartoe geven wij rekenonderwijs op de basisschool?
Hoofdstukje 28 gaat over het dilemma van de drie dichte deuren, beter bekend als het Monty Hall probleem. Klik op de link als je dit probleem niet kent. En ook als je het wel kent. Een ogenschijnlijk eenvoudig kansprobleem leidt tot scherp verdeelde opvattingen. Ik heb het in mijn hoofdstuk over kwaliteit van toetsvragen gebruikt als tegengif tegen onbuigzame opvattingen van u als docent over de juistheid van antwoorden op uw tentamenvragen. Treffers gebruikt het casus anders: de moraal van zijn verhaal is 1) dat wiskundige inzichten niet zonder meer zijn over te dragen, en 2) dat het correct toepassen van wiskundige kennis een probleem op zich is. Volgens mij zijn 1) en 2) gelijk, laat ik althans het mes van Occam als argument daarvoor gebruiken. Wat Treffers lijkt te betogen is dat het moeilijk is om van inzicht te veranderen. Dat komt mij bekend voor: de lijn van onderzoek over conceptual change. Hij verbindt dit, althans in dit hoofdstukje, niet met de moeilijkheden in het wiskundeonderwijs (en niet alleen daar) om naieve inzichten van leerlingen te veranderen naar de bedoelde wiskundig verantwoorde inzichten. Treffers mist hier een mooie kans, want onderzoek naar conceptual change onderbouwt zijn principe vier, de wenselijkheid van interactief onderwijs.
Welke lessen zijn er eigenlijk te trekken uit het Monty Hall probleem? Er is een recent boek over de geschiedenis ervan, Rosenhouse 2009, in hoofdstukken respectievelijk genaamd Ancestral, Classical, Bayesian, Progressive, Miscellaneous, Cognitive, Philosophical en Final Monty. Het probleem is dus al eens vaker gebruikt om een punt te maken.
Jason Rosenhouse (2009). The Monty Hall problem. The remarkable story of math’s most contentious brain teaser. Oxford University Press.
De fascinatie van Treffers met ‘handig&rsquo rekenen is besmettelijk. Ik kan het moeilijk meer uit mijn gedachten krijgen, en het valt me daardoor op dat hij het Monty Hall probleem behandelt zonder te vervallen in uitwijdingen over ‘handigheidjes’. Ik kijk even terug naar het hoofdstukje over laaggecijferdheid: kennelijk geen probleem vanwege onvermogen om ‘handig’ te rekenen. De vraag wordt dus — en hier trek ik ook op mijn ervaring in onderzoek naar de aansluitingen tussen onderwijs en arbeidsmarkt — of ‘handig’ rekenen in de wereld van de grote mensen ooit een rol van enige betekenis speelt.
Het is van enig belang om deze stelling te onderbouwen met het nodige empirische onderzoek (bevestigend, of ontkrachtend, of beide). Immers, als de stelling niet onderuit valt te halen, betekent het dat al die nadrukkelijke aandacht in het realistisch rekenonderwijs voor ‘handig’ rekenen de kostbare tijd van leerlingen verspilt. En dat niet alleen. Ik breng de stelling van Miller, Galanter en Pribram in herinnering: het korte-termijngeheugen kan maar een beperkte hoeveelheid informatie tegelijk verwerken. Het realistisch rekenonderwijs loopt het risico dat het leerlingen voortdurend belast met het tegelijkertijd teveel verschillende dingen moeten doen: contexten interpreteren, rekenen, opletten of dat rekenen niet handiger kan.
Klinkt dit bekend? In het artikel van Kirschner, Sweller & Clark (2006) kwam ik het werk van Sweller onlangs nog tegen: cognitive load theory. Kirschner cs. gebrukten het wat al te simpel om op probleemoplossen gericht onderwijs af te serveren, maar dat betekent niet dat de theorie van Sweller ondeugdelijk is. Sweller gaat een stukje verder dan Miller (1956): hij claimt dat de mentale overbelasting bij het op teveel dingen tegelijk moeten lette, het leren belemmert. Dat lijkt me geen wereldschokkende claim, maar het is altijd goed om er eens stevige empirische onderbouwing voor te zien. Ik zou het zowel Miller als Sweller moeten bestuderen op relevante zaken voor het rekenonderwijs.
John Sweller (1988). Cognitive load during problem solving: Effects on learning. Cognitive Science, 12, 257-285. pdf
George A. Miller (1956). The magical number seven, plus or minus two: Some limits on our capacity for processing information. Psychological Review, 63, 81-97.pdf.
George A. Miller, Eugene Galanter & Karl H. Pribram (1960). Plans and the structure of behavior. Holt, Rinehart and Winston.
Ben Wilbrink: annotaties bij Kirschner, Sweller & Clark (2006). html
Mijn opzet van de analyse van publicaties van Adri Treffers is om helder te krijgen wat de gedachten in zowel het IOWO (Wiskobas) als het FI zijn over transfer van rekenkennis, en wat dat dan zou betekenen voor de inrichting van het rekenonderwijs. De term ‘transfer’ wordt waarschijnlijk weinig gebruikt, zodat ik zelf goed op moet letten waar het onderwerp opduikt. Het duikt dus op bij de impliciete claim van het realistisch rekenen dat ‘handig’ rekenen van belang is, dat je dat later in het dagelijks leven zou moeten kunnen, en ook doen. De expliciete claim ben ik in dit boek van Treffers tot nu toe nog niet tegengekomen: dat het traditionele rekenonderwijs niet verhindert dat verworven rekenvaardigheden in het dagelijks leven uiteindelijk niet gebruikt blijken te worden, althans te vaak niet. En dat ‘rijk’ rekenonderwijs, onderwijs met contexten, lees: realistisch rekenonderwijs, daar iets aan doet.
Hoofdstukje 33 ‘Het betoverende getallenvierkant’ Dit is een voorbeeld van rekenonderwijs dat Treffers in zijn afscheidscollege gebruikte (die rede moet ik nog opzoeken). Het gaat om een vierkant met negen velden, voor de getallen 1 t/m 9. De opgave: zet de getallen er zo in dat iedere rij, kolom en diagonaal optelt tot 15. De leerlingen kunnen er een hele les druk mee zijn. “De reacties op de lessenserie zijn positief: de kindeen hebben er plezier een beleefd en veel geleerd.” Dat plzi wil ik wel geloven. Maar wat hebben ze hiervan geleerd? Treffers legt het in dit boek niet uit, misschien in zijn rede? Ik kan alleen bedenken dat leerlingen die optellen voor deze getallen net onder de knie hebben er iets aan hebben omdat het hun kersverse vaardigheid verder consolideert? Niet zozee ‘leren’ als wel verder ‘beklijven’ zoals Van Parreren het zou noemen. Het gaat me natuurlijk niet om deze specifieke oefening die een hele les neemt, maar om al dit soort bezig zijn getallen zoals dat in veel voorbeelden in de tweede helft van het boek gebeurt. Wat maakt dit realistisch rekenonderwijs méér dan alleen bezig zijn met getallen? Ik vermoed dat ik voor antwoord op deze vraag elders moet zoeken.
De klap op de vuurpijl komt in hoofdstuk 35, een wat uitgebreider hoofdstuk dat lijkt te betogen dat realistisch rekenen heeft gezorgd voor betere resultaten in de PPON 2004, vergeleken met die van 1987. We moeten hier Treffers op zijn eerlijke ogen geloven, want het is niet evident dat zijn cijfers het complete beeld goed representeren. Treffers heeft natuurlijk de vrijheid om in zijn autobiografische boek een wat lossere stijl van presenteren te gebruiken. Het plaatst mij wel voor puzzels; het zijn de bekende puzzels uit krantenartikelen: op sommige onderdelen zijn de prestaties in 2004 beter, op andere zijn ze dat niet, of zelfs minder. De leerlingen in 2004 hebben allemaal (vrijwel allemaal) realistisch rekenonderwijs gehad, zij het met kwalitatief verschillende methoden en met nauwelijks nageschoolde leraren (zoals Treffers dat noemt). Ik wil het betoog van Treffers serieus nemen: hij is hier zijn eigen redacteur, en heeft dus het best mogelijke betoog kunnen geven dat in het bestek van 12 bladzijden mogelijk is. Ik zal er nogal wat tijd en tekst aan moeten besteden voordat ik helder heb wat Treffers hier precies zegt, en hoe zich dat verhoudt tot bekend onderzoek (t/m Psychometrika 2010).
Katsom
Ad wil graag weten hoeveel zijn kat weegt.
Hij weegt eerst zichzelf en ziet dat de weegschaal 57 kg aangeeft.
Daarna gaat hij samen met zijn kat op de weegschaal staan.
Nu geeft de weegschaal 62 kg aan.
Hoe zwaar is zijn kat?
Timss 2007 groep 6
Treffers: Nederland 85% goed; 36 landen gemiddelde: 60%; VS: 60%; Engeland: 63%; Duitsland: 80%;
p. 234
Ik begin dan altijd maar met me af te vragen of dit een rekenopgave is. Zeker, 62 - 57 is een rekenopgave, maar dat wordt niet gevraagd, althans, het wordt via een omweg gevraagd. Het onhandige van dit type vraag is dat het naar teveel dingen tegelijk vraagt: goed lezen en begrijpen van de opgave, een vertaling maken van de opgegeven context naar wat er precies moet worden berekend, en dan de berekening uitvoeren. Een fout antwoord geeft geen informatie over waar precies de fout is gemaakt, tenzij er kladpapier beschikbaar is of een verslag van een mondelinge afname. Maar dit terzijde. We zullen nog zien dat dit probleem kan spelen bij de verschillende resultaten wanneer leerlingen zoiets uit het hoofd uitrekenen, of op een kladblaadje.
Wat Treffers hier goed doet: Nederlandse prestaties betekenis geven door deze in de internationale context te plaatsen. Prima. Maar hij gebruikt dit voorbeeld op deze plaats anders: om te laten zien dat we in Nederland onze eigen lat voor rekenprestaties misschien te hoog leggen. Daar heeft Treffers mogelijk gelijk in: deskundigen bljken altijd weer de mogelijke prestaties hoger in te schatten dan de werkelijke, en dat is een universeel fenomeen. Treffers trekt meteen door: verbeterde scores op de PPON correleren met de invoering van realistische rekenmethoden. Dat laatste gaat mij veel te snel, maar hij gaat in dit hoofdstuk deze stelling nog onderbouwen. Laten we zien.
Het empirisch materiaal van Treffers bestaat hier uit de PPON 1992, 1997 en 2004, waarvan de resultaten gerapporteerd zijn door het Cito, met in het rapport (2005) een speciale analyse door Kees van Putten.
“De betreffende cijfers mogen dus niet absoluut genomen worden, maar uit de representatieve klassikale peiling komt naar voren dat de gesignaleerde trend in de periode 1987-2004 globaal klopt: getalinzicht, hoofdrekenen en schattend rekenen zijn aanzienlijk gestegen, en de prestaties bij het cijferen zijn vanwege het riskante rekenen uit het hoofd net zo duidelijk gedaald.”
p. 241
Bovenstaand een wonderlijke uitspraak van Treffers. Geeft hij hier toe dat dat schattend rekenen niet zo’n geweldig succes is, omdat het tot teveel slordig uit het hoofd rekenen leidt? Tegelijk zouden hoofdrekenen en schattend rekenen verbeterd zijn? Begrijp ik het verschil tussen ‘rekenen’ en ‘cijferen’ niet? Dat laatste zou kunnen, en mogelijk wil ik dat ook niet begrijpen. Is deze nuance een Wiskobas-uitvinding? Ik ga Hickendorf e.a. (2010) eerst maar eens doornemen.
Hickendorff, Van Putten, Verhelst & Heiser (2010) is een ware hulp. De auteurs geven een korte en heldere beschrijving van het realistisch rekenen en zijn uitgangspunten, in termen die ik als psycholoog meteen begrijp. Heerlijk, niet meer dat zelf uitgevonden jargon van de realistisch rekenaars. Zie voor samenvattingen en annotaties de blog over de promotie van Marian Hickendorff, 25 okber 2011: ‘Marian Hickendorff promoveert 25 oktober in Leiden op onderzoek van rekenonderwijs’ blog 7954.
Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract (df van hele artikel is niet vrijelijk online te downloaden, doe het via de eigen UB)
Wie wind zaait, zal storm oogsten. De stromannen die de realisten hebben opgericht, zouden wel eens terug kunnen schieten! Ook het omgekeerde is problematisch: de rekenopvatting van het FI realistisch noemen. Helaas heeft het FI dat zelf gedaan. Dat wild om je heen slaan met labels als ‘mechanistisch’ en ‘realistisch’ kan het onderwijs enorme schade berokkenen.
Het gevoel bekruipt me dat de club van realistisch rekenaars amateuristisch is omgesprongen met het constructivisme — het cognitief-psychologische gedachtengoed — met beroerde gevolgen voor de implementatie van het realistisch rekenen, en ook voor de verdediging ervan door de medewerkers en leiding van het FI. Voeg daar nog aan toe de onhandige claims over positieve effecten op basis van gebrekkige of geheel ontbrekende onderzoekmethodologie, en de ramp is voor het FI niet meer te overzien (en door henzelf niet te zien, zoals ook zwakke rekenaars niet overzien dat uit het hoofd oplossen van ingewikkelde opgaven niet echt handig is).
C. M. van Putten (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). Cito. pdf
C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27, nr 1. pdf
Over realistisch kolomrekenen enige literatuur met annotaties, n.a.v. Van Putten (2004). hier
Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract (df van hele artikel is niet vrijelijk online te downloaden, doe het via de eigen UB)
Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). Solution Strategies and Achievement in Dutch Complex Arithmetic: Latent Variable Modeling of Change. Psychometrika, 74, 331-350. open access pdf
Marja van den Heuvel-Panhuizen, Alexander Robitzsch, Adri Treffers and Olaf Köller (2009). Large-Scale Assessment of Change in Student Achievement: Dutch Primary School Students’ Results on Written Division in 1997 and 2004 as an Example. Psychometrika, 74, 367-374. pdf
Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). How to Measure and Explain Achievement Change in Large-Scale Assessments: A Rejoinder. Psychometrika, 74, 367-374. free access pdf ophalen
Robert E. Slavin and Cynthia Lake (2008). Effective programs in elementary mathematics: A best-evidence synthesis. Review of Eduational Research, 78, 427-515. An educator's summary: http://www.bestevidence.org/word/elem_math_Nov_25_2008_sum.pdf Full report 2007 text:http://www.bestevidence.org/word/elem_math_Feb_1_2007.pdf
Timss 20032007 [80 Mb!]
Het is weer tijd voor een stelling. Ik weet niet of deze stelling goed valt te onderbouwen voor specifiek het rekenonderwijs, maar het zou een goede zaak zijn om dit maar eens te proberen (moet al lang en breed elders zijn gedaan). De stelling valt me in omdat het FI (Van den Heuvel-Panhuizen e.a. 2009, Psychometrika) van mening is dat hun vernieuwing van het rekenonderwijs is gericht op beter getalbegrip en andere lovenswaardige zaken, tegen mogelijk een prijs in de basale rekenvaardigheden. Dat komt mij voor als een misvatting. Het hele idee is immers dat zielloos rekenonderwijs maar moeilijk leidt tot rekenvaardigheden die tegen de tand des tijds bestand zijn, en dat op begrip gericht rekenonderwijs dat doel wel kan bereiken. In gewoon Nederlands: de pretentie van Wiskobas en realistisch rekenen is, en dat is op basis van wat bekend is uit de cognitieve psychologie een terechte pretentie, dat op begrijpen gericht rekenonderwijs op lange termijn de betere resultaten levert. Dat in de beschrijvende en experimentele onderzoeken van Hickendorff e.a. (2009, 2010) blijkt dat basale rekenvaardigheden ernstig zijn verminderd, terwijl schattend rekenen en mentaal rekenen op zich zijn verbeterd, moet voor het FI een uitdaging vormen om te achterhalen waar dan de problemen liggen: in de methode, in de kwaliteit van het onderwijs, in de kwantiteit van het onderwijs, in het tijdsgewricht, whatever. Voor de constructivist kan het maar moelijk bestaan dat getalinzicht is vergroot, maar concrete rekenprestaties achteruit zijn gegaan. Waar is dat getalinzicht dan goed voor?
Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf
Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.
Adrian Treffers (1978/1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Reidel.
Marja van den Heuvel-Panhuizen & Adri Treffers (2010). Cijfer positieve prestaties in rekenen niet weg. NAW [Dit artikel is eerder verschenen in Tijdschrift voor Orthopedagogiek, jaargang 49, nr. 2, pp. 53-62.] pdf
Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf
Kees Hoogland (2008).Nostalgische terugblik op de staartdeling. NAW 5/9 nr 4, 279-281. pdf
A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel I. Overzicht einddoelen. Zwijsen.
A. Treffers & E. de Moor(1990). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 2. Basisvaardigheden en cijferen. Zwijsen.
Treffers, A. Treffers, L. Streefland & E. de Moor (1994). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 3A. Breuken. Zwijsen.
Treffers, A. Treffers, L. Streefland & E. de Moor (1996). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 3B. Kommagetallen. Zwijsen.
Nicole M. McNeil, Aaron Weinberg, Shanta Hattikudur, Ana C. Stephens, Pamela Asquith, Eric J. Knuth & Martha W. Alibali (2010). A Is for Apple : Mnemonic Symbols Hinder the Interpretation of Algebraic ExpressionsJournal of Educational Psychology, 102, 625-634.
Darcy Hallett, Terezinha Nunes & Peter Bryant (2010). Individual Differences in Conceptual and Procedural Knowledge When Learning Fractions. Journal of Educational Psychology, 102, 395-406.
Steven A. Hecht & Kevin J. Vagi (2010). Sources of Group and Individual Differences in Emerging Fraction Skills. Journal of Educational Psychology, 102, 843-859.
Ronald Keijzer (2010). Stand van zaken bij rekenen-wiskunde en didactiek op de lerarenopleiding basisonderwijs. Tijdschrift voor Hoger Onderwijs.
Jan Karel Lenstra (Vz.) (4 november 2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), Advies KNAW-commissie rekenonderwijs basisschool pdf
http://www.benwilbrink.nl/projecten/rr_omdraaiing.htm
