Handboek wiskundedidactiek

Aantekeningen

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    theoretisch kader
    ‘Handboek wiskundedidactiek’

Ik schrijf deze aantekeningen in eerste aanleg voor eigen gebruik, om te doorgronden waar deze groep wiskundedidactici mee bezig is. Als ik wijdlopig ben, dan is dat wijdlopigheid die ik zelf nodig heb om mijn gedachten te ordenen. Als ik kort door de bocht ga, dan is dat voor meelezers mogelijk te kort door de bocht. Zo zal ik niet iedere uitspraak en stelling opvolgen met literatuurverwijzingen, omdat die meestal voor mijzelf vanzelfsprekend zijn; voor de meelezer zal dat af en toe vraagtekens oproepen: waar heeft hij dàt nou weer vandaan? Gewoon vragen.

Wie ben ik, dat ik denk dit te kunnen doen? En hoe ga ik het doen? Ik ben psycholoog, in mijn studie sterk beïnvloed door Linschoten (Idolen van de psycholoog), afgestudeerd bij Van Parreren (vooral op het thema creativiteit), met al vroeg een specialisatie onderwijsresearch (bij Meuwese). Als onderwijsonderzoeker heb ik aan de UvA gewerkt, met specialisatie toetsvragen ontwerpen, toetsen, examineren, selectie, aansluiting arbeidsmarkt. Hoe zit het met de wiskunde? Ik heb een exacte vo-opleiding gedaan, en ben nog eens een tweede studie econometrie begonnen (en al snel afgebroken, maar dat lag niet aan mijn wiskunde). Ik weet weinig van het actuele wiskundeonderwijs, maar ben niet bang voor de wiskunde. Bij mijn eindexamen analytische meetkunde heb ik ervaren dat wiskunde redelijk goed valt te doen zonder het echt te snappen, en perfect wanneer je het snapt (op de laatste dag voordat je mondeling examen moet doen). Ik zal mijn analyse van de hoofdstukken in dit Handboek vooral doen vanuit het psychologisch perspectief, onder het motto dat didactiek vooral psychologie is. In dit geval komt dat goed uit, omdat veel auteurs nogal nadrukkelijk een psychologisch betoog blijken te houden (waarbij soms de wiskunde ver is te zoeken). Maar wees gewaarschuwd: de psychologie komt in de harde variant, zoals die in de VS onder de ‘sciences’ wordt gerekend: stellige uitspraken over de wereld behoeven empirische onderbouwing.

John Sweller, Richard Clark & Paul Kirschner (2010). Teaching general problem-solving skills is not a substitute for, or a viable addition to, teaching mathematics. Notices of the AMS, 57 #10, 1303-1304. pdf en/of:

John Sweller, Richard E. Clark & Paul Kirschner (2010). Mathematical ability relies on knowledge, too. American Educator, Winter 2010-2011, 34-35. pdf

31 december 2015. En dan blijkt dat de klus ook na twee jaar nog niet is afgemaakt. Het is verdomd lastig om op pseudo-psychologische teksten ter zake doende commentaar te geven: de pseudo-psychologie beweegt zich immers buiten de gebaande paden van de psychologie, er is dus nauwelijks een gemeenschappelijke taal om in te communiceren. De aanpak via commentaar op teksten zelf kan desondanks best wel verhelderend zijn, maar aan het eind van de dag constateer ik er weinig mee te hebben bereikt. Het moet dus anders. Ik moet afstand nemen van het geschrijf van hervormers van reken- en wiskundeonderwijs, en mijn eigen lijn trekken. Een poging daartoe is nu onderweg, zie Thinking and education, will they go together? Ook in het Handboek van Drijvers e.a. draait er heel veel om opvattingen over wat wiskundig denken is. In kringen van wiskundigen heeft dit thema altijd al veel aandacht getrokken, in tal van varianten die gemeenschappelijk lijken te hebben dat denken als een generieke vaardigheid wordt opgevat. Dat is dus de ultieme misvatting. Deze misvatting zien we prachtig terug bij de voorstanders van ‘de vaardigheden van de 21e eeuw’: dat zijn generieke vaardigheden zoals probleemoplossen. Natuurlijk is probleemoplossen een vaardigheid in het vak x of y, maar dan gaat niet om een generieke vaardigheid, maar om een domeinafhankelijke specifieke vaardigheid. De schaakgrootmeester. De nobelprijswinnaar natuurkunde. De concertpianist. Om maar enkele voorbeelden van evidente top-expertise te noemen. Buiten hun vak zijn deze mensen net zulke grote klungels met hun lekke band of vastgelopen laptop als u en ik. Afijn, volg dat project ‘Onderwijs en denken’ op mijn thuispagina bovenaan het menu ‘actueel’. Een mooi 2016 toegewenst.

eerdere wiskundedidactiek

Afgezien van de rekendidactiek die door sommigen ook wiskundedidactiek is genoemd, zijn de volgende publicaties in ieder geval relevant als achtergrond. Ik heb het niet allemaal paraat, maar zal er af en toe op teruggrijpen. Zie dit tevens als mijn beschrijving van wat didactiek is.

Yeping Li & Gabriele Kaiser (Eds.) (2011). Expertise in Mathematics Instruction, An International Perspective. Springer. site

• o.a.
• Expertise in Mathematics Instruction: Advancing Research and Practice from an International Perspective . . . . . . . . . . . . . . 3 Yeping Li and Gabriele Kaiser
• Theoretical Perspectives, Methodological Approaches, and Trends in the Study of Expertise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Michelene T. H. Chi sample pdf of chapter 2. Dit is een uitstekend overzicht van de stand van zaken. Haal het hoofdstuk op, en lees het een paar keer. Michelene Chi heeft veel van haar publicaties — op zichzelf een belangrijk deel van het domein van cognitief psychologisch onderzoek — online op haar website staan.
  • In general, when only exceptional individuals are being examined, it is difficult to validate or refute hypotheses about how they became experts.

    17

    Using this knowledge-search strategy-representation framework, it was typically assumed back in the seventies, that the first and third components of problem solving — knowledge and its representation, were not significant factors that differentiated experts from novices because the problems used in problem solving research were often knowledge-lean puzzle-type problems, such as the Tower of Hanoi.

    20

    In non-toy and knowledge-rich domains, such as chess, it became apparent that search strategies per se did not differ significantly between experts and novices. For example, deGroot (1966) found that Master chess players searched the representation of all possible chess moves only to a depth of two or three levels, much as novice players would.

    23

    The classic study by Chase and Simon (1973) on chess expertise basically proposed that what differed between experts and novices was not merely the amount of knowledge in a specific domain, but more importantly, how that The third component is the component of the representation of a problem. It turns out that when the domain is not a toy knowledge is structured.

    23

    It turns out that when the domain is not a toy domain but an academic domain, representing a problem is quite difficult, and expert and novice problem solvers focused on different elements within a problem when representing it. Chi, Feltovich, and Glaser (1981) found, for instance, that when given the same description of a physics problem to solve, advanced graduate students represented the deep principle-based aspects of a common routine physics problem whereas novice students represented the superficial surface elements of a problem, such as whether it described an inclined plane, a pulley, or friction. ( . . . ) In other words, the differences between experts and novices in their representations of the same problem dictated and resulted in different searches in their problem spaces.

    24

    The idea that experts and novices differ in the depth of their representations was characterized in many subsequent studies on expertise in many different domains.

    A far-reaching implication of representational differences between experts and novices is that this means that teachers will generally have a normatively correct and deeper representation of a topic or concept they are teaching, whereas novice students will have a naïve, shallow, and incomplete representation. The consequence of such lack of correspondence between the representations of teachers and students will undoubtedly lead to misunderstanding of a teacher’s explanations. We have shown consistently in tutoring work that students have difficulty learning from hearing a tutor’s explanations, whereas they learn better when the tutor scaffolds them (Chi, Roy, & Hausmann, 2008). This inefficiency of explanations may be caused by the lack of correspondence in representations.

    25-26

    The critical question remains as to how one becomes an expert in the sense of being able to represent a problem deeply. Little progress had been advanced to understand this difficult issue. Although some attempts have been made to directly teach novice students the way experts categorize problems or to directly teach them to relate key words or explicit cues with one of the deep physics principle (Dufresne, Gerace, Hardiman, & Mestre, 1992), it doesn’t appear as if this kind of training can accelerate or shortcut the achievement of expertise readily, which is typically claimed as requiring 10 years of practice, at minimum.

    26

    Perhaps expertise involves not only the detection of individual cues within a case, but in addition, perhaps the acquisition of expertise requires the development of knowledge of the interaction of multiple cues and their relationship to a specific diagnosis.

    27

    Finally, we still have no obvious insights about how expertise can be taught, or how we can accelerate the acquisition of expertise.

    It is very difficult to say whether deliberate practice is the result of some personality or individual attributes, such as motivation or persistence, or whether it is the nature of the designed deliberate practice task that is critical for achieving elite status. For example, elementary and secondary students seem to fall into two types: intrinsically motivated versus extrinsically motivated (Dweck, 2000). Intrinsically motivated students persist through challenging tasks by adopting highquality learning behaviors, while extrinsically-motivated students tend to adopt tasks and behavior that may produce rewards or satisfies the requirements without worrying about whether they have actually learned. In short, one type of learner might be more likely and inclined to engage in deliberate practice to achieve elite status.

    The second construct that is currently intriguing scholars of expertise is the notion of an adaptive expert. ( . . . ) Adaptive experts, in short, are ones who “understand” the procedure or skill, in the sense of understanding the principles and conceptual knowledge guiding the execution of the procedures or skills. With such deeper understanding, adaptive experts obviously can “generalize” their skills to other non-routine problems. Of course this definition of adaptive expertise requires further elaboration in defining what is meant by “understanding” and “generalization.” ( . . ) Thus, this first idea of adaptive versus routine expertise can be conceptualized as being very much related to the distinctions between conceptual and procedural understanding, a contrast and dilemma that have been around for decades.

    30-31

    In short, one could say that to achieve adaptive expertise is to engage in constructive reflection during practice and performance, and such constructive reflection allows one to further learn, generalize, and acquire deeper conceptual understanding. The real question though, is why some learners engage in such constructive reflection and others do not. We have alluded earlier to the notion that motivation and other social and personal factors might be mitigating reasons, but no evidence addresses these issues directly.

    32

    there are no obvious solutions for how we can train learners to become adaptive and elite experts. Two of the five catalysts mentioned by Martin and Schwartz (2009) seem feasible to implement in training. One is the idea of providing variability instead of reducing variability as usually done in formal instruction. That is, by intentionally introducing variability (as for example, in the condition of rules), then students can see the variability more directly and easily, rather than having to reflect on potential variability, as we postulated above. A second idea is what Martin and Schwartz called “fault-driven adaption”. The idea is that if a situation contains either new crisis or chronic bothersome snags, then an individual or a group might decide to adapt. Fault-driven adaption is essentially an effective change caused by an altered situation, in much the same way as conflict-driven conceptual change. And we can imagine a training regime that can include faults such as new crisis, chronic errors, or bothersome tedious repetitive actions. Both of these ideas can be readily implemented in training so as to produce more adaptive experts.

    33

    Besides the question of how to produce elite and adaptive experts, the more fundamental question of how we can accelerate the acquisition of expertise without a decade of practice, is not a question that has a ready answer.

    33

    Occasionally, there are more mundane reasons for the length of time it takes to acquire expertise, such as the need to encounter unusual situations. In that case, simulations built to mimic the rare incidents would help accelerate the training of novices, since they can encounter those incidents more often in a simulator (Gott, Lesgold, & Kane, 1996).

    34

    The last section of this chapter proposes a new way of thinking about differences between experts and novices. Instead of thinking about experts or more elite and adaptive experts as ones who have conceptual understanding in addition to procedural understanding, or as ones who can generalize their knowledge to nonroutine problems, or as ones who practice deliberately, we might want to explore the source of this greater conceptual understanding or greater generalized understanding. One source might be the achievement of an ontological perspective shift. That is, to achieve a certain level of eliteness and adaptive expertise means that one has acquired another perspective. Viewed this way, it makes sense to consider adaptive expertise at all levels of expertise. To enable the acquisition of adaptive expertise then means that we have to understand what is the perspective of the experts, and develop instruction from this perspective. Whether this approach will be more successful at producing adaptive experts remains an empirical question for now.

    37

• Images of Expertise in Mathematics Teaching . . . . . . . . . . . . . . . 41 Rosemary S. Russ, Bruce Sherin, and Miriam Gamoran Sherin

Trends and issues in high school mathematics: Research insights and needs. Journal for Research in Mathematics Education, 42, 204-219. [hard copy] preview

Sacha la Bastide-van Gemert (2006). “Elke positieve actie begint met critiek” Hans Freudenthal en de didactiek van de wiskunde. Proefschrift Groningen. pdf

Fred Goffree (2005). Wiskundeleraren over hun didactiek. De periode voor de grote veranderingen (1924-1968). In Fred Goffree, Martinus van Hoorn en Bert Zwaneveld: Honderd jaar Wiskundeonderwijs (105-120). Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren.

Fred Goffree (2002). Wiskundedidactiek in Nederland. Een halve eeuw onderzoek. NAW 5/3. n3 3, september. pdf1 pdf2

Aad Goddijn en Martin Kindt (2001). Knelpunten en toekomstmogelijkheden voor de wiskunde in het VO. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 18, 59-94. pdf

• Een artikel dat mij in ieder geval veel informatie geeft. Wat me opvalt, maar ik heb het nog niet helemaal gelezen, is dat de feitelijke didactiek, gedicteerd door een klein aantal voor scholen beschikbare methoden, zo ongelooflijk niet evidence-based is. Niet alleen kan iedereen er dan ongehinderd zijn eigen favoriete meningen op na houden, maar ontbreekt ook de belofte dat er in de toekomst ooit nog iets beters valt te bereiken: immers, op grond van welke evidence zou dat dan moeten?

R. Biehler, R.W. Scholz, R. Strässer and B. Winkelmann (Eds) (2002). Didactics of Mathematics as a Scientific Discipline. Mathematics Education Library. Kluwer Academic Publishers: Dordrecht.

• The e-book version is available on academia.edu (register as a member, it is for free)

Hans Freudenthal (1987). Werken aan onderwijs: Op weg. In zijn: Schrijf dat op, Hans, Meulenhof, p. 335-363. html op dbnl.org

• Dit is een terugblik op zijn ideeën over onderwijs
• F. zegt in de dertiger jaren een didactiek-colloquium te hebben geleid: “ik ben er vast van overtuigd dat ik tien jaar eerder [dan 1942, jaar van een onvoltooid manuscript over rekendidaktiek], toen ik het didactiek-colloquium leidde, ook al de wiskunde als middel tot 'leren denken' afwees.” (p. 338)

Bram Lagerwerf (1982 2e). Wiskundeonderwijs nu. Een op de praktijk gerichte didactische handreiking aan wiskundeleraren. Wolters-Noordhoff.

Lagerwerf geeft zich niet te kennen, in zijn inleiding. Dat is jammer; zijn publiek heeft er toch recht op te weten welk vlees zij hier in de kuip hebben? Lagerwerf is gecharmeerd van het werk van het IOWO, gezien de literatuurlijst achterin het boek, en van dat van Van Hiele. Ook Van Dormolen. Voor de psychologie: Van Parreren, en Skemp.

Bram Lagerwerf (1994). Wiskundeonderwijs in de basisvorming. Een didactische ruggesteun voor wiskundeonderwijs. Wolters-Noordhoff. isbn 9001520227 integrale herdruk 2000

P. M. van Hiele (1973). Begrip en inzicht. Werkboek van de wiskundedidactiek. Muusses.

Helge Lenné (1969). Analyse der Mathematikdidaktik in Deutschland. Nach dem Nachlass hrsg. von Walter Jung. Stuttgart: Ernst Klett Verlag.

Joh. H. Wansink (1966, 1967, 1970). Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren. Drie delen J. B. Wolters.

D. van Hiele-Geldof (z.d.). De didaktiek van de meetkunde in de eerste klas van het v.h.m.o. Meulenhoff/Muusses/Erven Noordhoff/Nijgh & Van Ditmar/Struy, Van Mantgem & Van der Does.

Fred. Schuh (1940). Didactiek en methodiek van de wiskunde en de mechanica. Delft: Waltman.

• Wat didactiek betreft is hij een ervaringsdeskundige, die in dit boek geen kans ziet aan te sluiten bij bestaande literatuur op dit gebied. De aanmatiging gaat nog heel wat verder: het boek sluit af met zes causerieën voor de VARA, in 1936, onder de titel Hoe leert men denken?, ook geheel op eigen denkkracht bedacht. Ik vind het schitterend, het boek is ongetwijfeld een topstuk als het gaat om naïeve didactische inzichten wis- en natuurkunde.

Jan Versluys (1874). Methoden bij het onderwijs in de wiskunde en bij de wetenschappelijke behandeling van dat vak. Het eerste Nederlandse boek over wiskundedidactiek. Het boek is nog niet online beschikbaar (12-11-2012 gegoogeld) (helaas heb ik het zelf niet, wel lesboeken van hem, begin 20e eeuw). Versluys bepleit o.a. de ‘geleide herontdekking’.

Paul Drijvers, Anne van Streun & Bert Zwaneveld (Red.) (2012). Handboek wiskundedidactiek. Epsilon Uitgaven. online bijlagen

Lovende bespreking van het boek, door Johan Deprez. Hij is nogal onder de indruk van halfwas-psychologie in dit handboek.

• Johan Deprez (juni 2013). Beokbespreking Handboek wiskundedidactiek. Gemeenschappelijke inspanning zet wiskundedidactiek op de kaart. Nieuw Archief voor de Wiskunde, 14, 125-129.

Joop van Dormolen heeft het voorwoord geschreven, en ik vind daarin meteen twee ankerpunten voor een kritische annotatie van het boek in zijn geheel.

Ik gebruik meteen maar de boomerang-techniek: deze tekst heeft Van Dormolen klakkeloos opgeschreven, zonder inzicht in de psychologie van leerprocessen. Maar ook blijkt uit zo’n uitspraak het ontbreken van inzicht in de noodzaak om uitspraken over de wereld te voorzien van empirische toetsing. Die empirische toetsing zal keer op keer terugkomen. Empirische toetsing is het hart van de psychologie als wetenschap. Een psychologisch kletsverhaal ophangen kunnen we allemaal wel, maar dat onderbouwen met hard empirisch onderzoek is toch iets lastiger. Het leuke en boeiende van die empirie is dat dan vaak blijkt dat onze naïeve opvattingen geen stand houden en nogal eens volkomen haaks staan op de onderzochte werkelijkheid.

Het tweede ankerpunt is dan de psychologie die Van Dormolen noemt in zijn voorwoord. Hij heeft ruime keuze, maar beperkt zich dan toch tot een boek dat wat psychologie betreft eerder als tertiaire dan als secundaire born valt aan te merken: Skemp (1973). Dit boek heeft ongetwijfeld behoorlijke invloed in het veld van de wiskundedidactiek gehad, en er staat even zeker geen onzin in, neem ik aan. Maar het is niet de psychologie van vandaag. Omdat de cognitieve psychologie een tamelijk complexe discipline is die zich over de laatste halve eeuw, zeg sinds het verschijnen van ‘Het denken van den schaker’ van A. D. de Groot in 1946, enorm heeft ontwikkeld, is het opmerkelijk dat Van Dormolen aan de ontwikkelingen van de laatste decennia voorbij gaat. Het is jammer dat Van Dormolen niet even ingaat op de Nederlandse titel van het boekje: die suggereert dat we de psychologie moeten benutten om wiskunde te leren, terwijl de oorspronkelijke titel gewoon aangeeft dat de psychologie iets heeft te melden over wat het is om wiskunde te leren. Twee totaal verschillende zaken. Dit probleem is de laatste jaren teruggekeerd in de ‘wiskundige denkactiviteiten’ die de laatste jaren het Nederlandse wiskundeonderwijs zijn binnengedrongen.

De uitdaging voor mij is dan om dan om vanuit de cognitieve psychologie te bezien wat de diverse auteurs in dit Handboek aan psychologische analyses geven, en dan vooral Anne van Streun in het funderende eerste hoofdstuk. Van Streun is vertrouwd met sleutelpublicaties uit de cognitieve psychologie, zoals hier (niet voor het eerst) blijkt uit zijn literatuuropgaven, het wordt dus zeker een interessante confrontatie.

Richard R. Skemp (1971). The Psychology of Learning Mathematics. Penguin.

Richard R. Skemp (1971/1973). Wiskundig denken. Aula 501.

A. D. de Groot (1946). Het denken van den schaker. Een experimenteel psychologische studie. Proefschrift Universiteitvan Amsterdam. Amsterdam: Noord-Hollandsche Uitgevers Maatschappij.

In zijn geheel online op dbnl.nl.

Anne van Streun: Leren en onderwijzen van wiskunde. 3-52

Dit eerste hoofdstuk is bedoeld om ‘een theoretisch kader te schetsen van wat er in de laatste vijfentwintig jaar algemeen als wetenschappelijke en voor ons doel relevante kennis is geaccepteerd’. (Inleiding, p. v). Het zou mooi zijn als Van Streun mij kan overtuigen in deze opzet (welwillend geïnterpreteerd) te zijn geslaagd.

Een eerdere versie — katern nul — is online beschikbaar. In mijn aantekeningen ga ik uiteraard uit van het hoofdstuk zoals gepubliceerd in 2012.

Van Streun begint met een citaat van Devlin. Met zo’n citaat wil een auteur iets zeggen. Devlin haalt in dit korte stukje tekst het gebruik van wiskunde, en het ontwikkelen van wiskunde door elkaar. Dat is nogal een behoorlijke blunder, als ik dat zo mag zeggen. En dat is des te ernstiger omdat ik vooral in de ‘realistische wiskunde’ dezelfde categoriefout tegenkom in ongeveer iedere alinea tekst en iedere opgave. Wat Van Streun hier aan mij overbrengt, heeft hij ongetwijfeld niet zo bedoeld: dat hij niet helder is over het onderscheid tussen wiskunde en het gebruik van wiskunde. Vergelijk het onderscheid tussen natuurwetenschappen en technische wetenschappen. Waarmee ik niet gezegd wil hebben dat dat onderscheid altijd even simpel is. Als ik het met een voorbeeld mag verduidelijken, dan zou ik het eerste gedocumenteerde experiment van Galileo Galilei nemen: het valexperiment waarvoor hij een hellingbaan gebruikte, en waarbij hij tijdsintervallen en afgelegde afstanden kwantificeerde. De genialiteit zit niet in de wiskunde — die was al beschikbaar — maar in de natuurkunde. Maar zonder de wiskunde was het niets geworden. Bij Newton wordt het ingewikkelder, omdat hij zelf de wiskunde moest ontwikkelen die hij voor zijn natuurkunde nodig had. De vraag voor de didacticus is dan: willen wij echt van onze leerlingen Newtons maken? De vraag stellen is hem beantwoorden.

In dit eerste hoofdstuk wil Van Streun ‘wetenschappelijk onderbouwde theorieën’ geven, die in andere hoofdstukken ‘worden toegepast in de verschillende deelgebieden van de wiskunde’. Ik ben bang dat we in deze eerste alinea van het eerste hoofdstuk al een probleem zien dat doorheen de hele tekst van het Handboek speelt: onzorgvuldig formuleren. Van Streun bedoelt kennelijk wetenschappelijke theorieën. Maar die theorieën zijn fundamenteel van karakter, zoals die van Ohlsson (2011), en niet zonder meer ‘toepasbaar’ in het wiskundeonderwijs (wat nog weer iets anders is dan de wiskunde). Wees gewaarschuwd dat Van Streun — het Handboek — mogelijk onvoldoende aandacht heeft voor het complexe traject van fundamentele theorie naar didactiek. Vergelijk de natuurkunde (fundamenteel), en technische natuurkunde (toegepast wetenschappelijk).

Wat niet wegneemt dat sommige theorieën inzichten opleveren die wel degelijk voor de praktijk van direct belang zijn. Bijvoorbeeld de theorie van mentale belasting (John Sweller) of het al wat oudere inzicht dat het werkgeheugen een beperkte capaciteit heeft (Miller: 7 +/- 2) waarschuwen leerkrachten en ontwerpers dat het riskant is om leerlingen met veel informatie tegeijk op te zadelen. Bij ‘contextopgaven’ kan dat al gauw een probleem zijn, waardoor verschillen in intellectuele capaciteiten een rol gaan spelen, in plaats van uitsluitend wiskundige kennis. Deze thematiek komt ongetwijfeld nog vaak aan de orde. Merk op: 1) de koppeling van theorie naar praktijk is hier kwalitatief van aard, omdat niet zomaar valt aan te geven waar grenzen liggen van dreigende overbelasting van het werkgeheugen; 2) ik heb een andere theoretische notie geïntroduceerd: er zijn persoonlijke verschillen in die capaciteit van het werkgeheugen, daar is het nodige onderzoek over beschikbaar; ook hier is een koppeling naar de praktijk vooral kwalitatief van aard; 3) tenslotte noem ik hier tussen neus en lippen nog dat contextopgaven problematisch kunnen zijn in het onderwijs, omdat ze teveel van het werkgeheugen kunnen eisen; in onderzoek in de lijn van de Cognitive Load Theory van John Sweller, waarin ook Nederlandse onderzoekers deelnemen, is ook dit punt aan de orde. Al met al wil ik hiermee laten zien dat theorie en praktijk op interessante wijze aan elkaar zijn te koppelen, met ondersteuning van theorie en onderzoek. Ik verwacht van Anne van Streun dat hij in dit hoofdstuk langs eenzelfde lijn zal werken.

In de tweede alinea valt de term ‘betekenisrijk wiskundeonderwijs’. Ik hoop toch echt dat dit Handboek verschoond is gebleven van beladen termen zoals deze. Ook in deze alinea: het gaat om het ontwerpen van wiskundeonderwijs? Is dat hetzelfde als wiskundedidactiek? Voor mij zijn dat weliswaar overlappende, maar toch verschillende terreinen. Gaat dit handboek wel over didactiek?

Van Streun introduceert in de derde alinea het eigen jargon van dit Handboek:

Ik zie hier nog niet direct een didactiek in. Het cognitieve schema is wel enigszins bekend als ‘schematiseren van leerstof’ uit het werk van Joost Breuker, Marcel Mirande en Marianne Elshout, mijn collega’s van het Centrum voor Onderzoek van het Wetenschappelijk Onderwijs van de Universiteit van Amsterdam. Op zijn beurt steunt dat op theorievorming in de cognitieve psychologie. Populaire varianten ervan zijn ‘mind mapping’ enzovoort. Als studietechniek voor leerlingen is dit inderdaad een didactisch instrument, zij het van marginale betekenis.

Ik heb geen flauw idee wat proces-objectdualiteit is, en ik zal deze term zeker niet gaan gebruiken. Bij ‘weten dat, hoe, waarom en over’ heb ik wel een idee waar het over gaat, maar ben ik geneigd deze onderwerpen vooral als psychologie te zien, niet als didactische instrumenten. Maar het kan verkeren. Zo heb ik van Marcel Veerman begrepen dat meta-cognitieve vaardigheden — weten over weten — in het onderwijs zeker van enig belang zijn.

Een andere vraag is: heeft Van Streun hiermee ‘de wiskundedidactiek’ gedekt? Dat lijkt me niet het geval; bijvoorbeeld de verschillende typen leren die de psychologie onderscheidt, zie ik hier niet. Ik mis dus de leerpsychologie, het belangrijkste fundament om er een wiskundedidactiek op te bouwen.

Anne van Streun roept hier een interessante spanning op tussen zijn ideaal van de zelfvoorzienende leraar en ondersteuning van die leraar. Behoorlijk inconsistent dus. Waar wil Van Streun nu naartoe? Voorzover mij bekend heeft de wiskundelaar eigenlijk altijd (behalve in de absolute beginjaren begin negentiende eeuw) de ondersteuning gehad van leerboeken afgestemd op de eisen die de overheid stelde aan het wiskundeonderwijs. Didactische ondersteuning is een ander verhaal, zoals bijvoorbeeld voor onderwijzers beschreven door Goffree in zijn proefschrift: in hun opleiding heeft didactiek heel lang vrijwel ontbroken. In andere vakken, zoals Nederlands, was het nog in de zestiger jaren het geval dat iedere leraar het eigen onderwijs zelf moest zien uit te vinden; verre van ideaal, zou je zeggen.

Wat mij wel een handig onderscheid lijkt: dat tussen zelf ontwerpen van onderwijs (wat niet iedere leraar opnieuw moet hoeven doen), en bijvoorbeeld het verstandig gebruik maken van de onderwijsmaterialen die beschikbaar zijn, evenals van de expertise van collega’s; alsook het kunnen beoordelen van de kwaliteit van toetsen en examens. Aan dat laatste complex van kennis kan het Handboek bijdragen.

mentale voorstelling

Van Streun begint met een casus, wat een goed idee is, en met het begrip ‘mentale voorstelling’ bij een student die een wiskundige opgave moet oplossen. Ik begrijp dit niet. Het vak wiskundige analyse heb ik zelf ooit gedaan, maar ik heb daarbij nooit last gehad van ‘mentale voorstellingen’. Grapje, natuurlijk. Van Streun verwijst naar de online bijlage waarin het begrip verhelderd zou worden. Ik ga dus even kijken hier. Hier stuit ik op het eerste ernstige probleem, en dat is het volgende.

Van Streunt maakt gebruik van een begrip ‘mentale voorstelling’ dat hij niet koppelt aan de actuele wetenschappelijke (primaire) literatuur. Hij noemt wel het werk van Duncker (1935) (hier komt de ‘Aha-Erlebnis’ vandaan), en De Groot (1946, 1965), alle op handreikafstand van mijn bureau. Maar daar houdt Van Streun dan ook op. De overige vermeldingen betreffen secundaire literatuur.

Wat doe ik hiermee? Voorlopig niets, want Van Streun snijdt hier het grote onderwerp probleemoplossen aan, in een paar woorden en enkele literatuurverwijzingen, maar dat is veel en veel te kort door de bocht (al was het maar omdat hier probleemoplossen weer eens verschijnt in de spookachtige gedaante van iets dat is losgekoppeld van expert-kennis in het betreffende domein). Voorlopig moeten we dan maar doen alsof we begrijpen wat hij met ‘mentale voorstelling’ bedoelt (het is misschien typisch Dunckeriaans, over inzicht, wat immers een vorm van zien is; Gestalt psychologie ook, maar dat dekt slechts een marginaal deel van het onderwerp probleemoplossen).

Mijn werkhypothese: Een ‘mentale voorstelling’ is niet iets dat bestaat, het is op zijn best een construct, maar waarschijnlijk gewoon een metafoor. Voor wat is het dan een metafoor?

• Eigenlijk bedoel ik dat ik niet weet wat Van Streun bedoelt met zijn mentale voorstelling.
• Zoals wij de wereld waarnemen, zou je met recht en reden een mentale voorstelling mogen noemen, want geconstrueerd door onze hersenen (zoals ook Kant al zorgvuldig heeft uitgelegd).
• Er is interessant onderzoek over ons vermogen om ruimtelijke figuren denkbeeldig te roteren enzovoort
  • bijv. Stephen M. Kosslyn (1994). Image and brain. The resolution of the imagery debate. MIT Press.
  .
• Mijn probleem met de notie van een mentale voorstelling van Van Streun is ook dat dit suggereert dat alles wat in het werkgeheugen gebeurt beschikbaar zou zijn voor onze introspectie, en dat is het niet.
• Het leuke van annoteren is dat het je op onverwachte gedachten en verbanden kan brengen. Zo ook hier. Een belangrijk menselijk vermogen is om te bedenken wat er gebeurt als . . . . . Dat heeft survival value bij de jacht op de Afrikaanse savannen, tenslotte. Bijvoorbeeld kunnen we in onze leunstoel een gedachtenexperiment over het een en ander uitvoeren (over de vrije val, ik noem maar wat). Of bij het schaken bedenken welke mogelijkheden we de tegenpartij geven bij welke eigen zetten. Counterfactual thinking. Vooral filosofen zijn er verzot op. Psychologen kunnen er niet zo makkelijk mee uit de voeten, want dan moet er met hardop-denk-protocollen worden gewerkt, en daar zitten ook weer bijzondere problemen aan vast. Wat ik zal doen is dus het volgende: ik maak een mental note dat ik op dit thema relevant onderzoek arresteer wanneer ik dat tegenkom. [trefwoorden: thought experiment, counterfactual thinking (maar dan geen sociaal-psychologisch onderzoek); bij Ohlsson: theorie en experiment voor de overgang van mislukte oplossing 1 naar mogelijke oplossing 2 bij probleemoplossen: kan counterfactual thinking daarbij een rol spelen?; over counterfactual thinking zelf: hoe kom je om te beginnen dan op die gedachten?
• Nog even over counterfactual thinking (ik moet toch eens op zoek naar een goede Nederlandse term): dat treedt spontaan op wanneer je ontdekt iets fout te hebben gedaan. Zie bijvoorbeeld dit abstract. Maar dan is dit denken dus essentieel in leerprocessen. En wel in het bijzonder in de theoretische uitbreiding die Stellan Ohlsson in zijn hoofdstuk 7 geeft (meen ik). Dat kijk ik nog na.

Van Streun plakt van alles en nog wat vast aan die ‘mentale voorstelling’ (blz. 6-7), zodat het een verzamelterm wordt voor dat van alles en nog wat. Met andere woorden: Van Streun is hier niet echt bezig met wat de wetenschap ons te melden heeft over probleemoplossen. Terwijl hij prima op de hoogte is van de relevante literatuur: de nu al wat oudere publicaties van Herbert Simon (nobelprijswinnaar) en Allen Newell (te vroeg overleden voor die prijs). Stellan Ohlsson geeft daar recent een uitbreiding aan voor het probleemoplossen dat niet meteen lukt — wat natuurlijk meestal het geval is — en dat ik de cognitieve theorie van Newell nog niet adequaat is gedekt.

werkgeheugen

Wat is (het) werkgeheugen (WG)? Goede vraag. Het WG speelt in zekere zin een hoofdrol in de theorie van mentale belasting van John Sweller en anderen. ‘In zekere zin’, want het gaat hier om een psychologische theorie, niet een biologische. De psychologische vraag is: hoeveel kan een mens (Jan, Marie) tegelijk onthouden? Cijfers bijvoorbeeld. Daar valt heel wat zinvol onderzoek naar te doen, zonder ooit onder de schedelpan te kijken hoe daar de zaken werken. Een belangrijk probleem waar de onderzoekers naar mentale belasting nu tegenaanlopen is dan ook dat het lastig of misschien wel onmoglijk is om goede maten voor die belasting te vinden.

Van Streun wekt hier de indruk dat het WG een orgaan is, waarvan we precies kunnen vaststellen hoeveel informatie het kan bevatten. Dat is niet zo. Het getal zeven heeft een zekere bekendheid op basis van het artikel van de onlangs overleden George Miller (1956). Als Van Streun nog even naar de bron had gekeken, zou hij aan de tiel van het artikel hebben gezien dat zeven geen maximum is.

George A. Miller (1956/1994). The magical number seven, plus or minus two: Some limits on our capacity for processing information. Psychological Review, 63, 81-97. html

Wat Baddeley schrijft, is de kern van de zaak: dat WG is een motor waarvan het vermogen fantastisch ver opgevoerd kan worden door het verwerven van expertise op bepaalde inhoudelijke gebieden. Ha, dat is heel wat anders dan een abstracte capaciteit om ‘problemen te kunnen oplossen’. Houd deze informatie vast, wil ik suggereren.

Waar vinden we informatie over geheugen? Van Streun verwijst naar een leerboek van John Anderson, waarvan volgens mijn universiteitsbibliotheek de laatste editie van 2004 is. John Anderson is top-onderzoeker en grondlegger van de ACT-R theorie. Veel van de wetenschappelijke publicaties in deze lijn van onderzoek zijn vrijelijk online beschikbaar op deze website. Zo niet zijn recente boek, waarin een hoofdstuk speciaal gewijd aan het geheugen (waarin ik het werkgeheugen mis):

John R. Anderson (2009 2nd). How can the human mind occur in the physical universe? Oxford University Press. website OUP

Wie dit boek niet meteen op basis van een enkel hoofdstuk over het geheugen wil aanschaffen, is misschien over de drempel te halen met de belofte van het vijfde hoofdstuk: What does it take to be human? Lessons from high school algebra.. Spectaculair. Dat beloof ik u. Het spectaculaire is onder andere de vergelijking van de cognitieve architectuur van de ACT-R-theorie met de architectuur van de hersenen zelf, in werking, dus bijvoorbeeld bij proefpersoontjes die liggend in een fMRI-scanner eenvoudige algebraïsche vergelijkingen oplossen. De ACT-R-theorie levert een gedetailleerde voorspelling op van wat er in de fMRI-scanner zichtbaar is. Is die voorspelling niet alleen gedetaillerd, maar bovendien in ovreenstemming met wat van milliseconde tot milliseconde in de hersenen is te ‘zien’? Dat lijkt er wel heel sterk op.

Ik zal nog mijn eigen aantekeningen bij het boek van Anderson maken, zie hier.

Wie niet genoeg kan krijgen van de werking van de hersenen, kan nog terecht bij bij deze neurobiologen:

Richard E. Passingham & Steven P. Wise (2012). The Neurobiology of the Prefrontal Cortext. Anatomy, Evolution, and the Origin of Insight. Oxford University Press. website OUP

In de index van dit boek zijn de volgende onderscheidingen in het geheugen te vinden

• autobiographical
• declarative -
• episodic -
• event -
• long-term -
• procedural -
• prospective -
• retrospective -
• semantic -
• source -
• working memory

Deze auteurs gaan theoretisch armpje drukken met onder andere de eerder genoemde Baddeley, en met Paul DeHaene, over de functie van de prefrontale cortex, het gebied waar het WG wel wordt gelocaliseerd. En dat geeft aan dat we misschien wel de anatomie van de hersenen perfect kennen, maar de functies nog niet. Het zit met dat WG waarschijnlijk iets ingewikkelder dan door psychologen wel wordt gedacht, want aan het WG toegedachte functies kunnen deels ook elders in de hersenen zijn belegd. Maar dit alles terzijde.

Van Streun gaat dan op blz. 7 en 8 verder met zijn casus van de probleemoplossende studenten eerstejaars wiskunde. Ik begrijp nog steeds niet waarom Van Streun begint aan deze top van de piramide van kennis en beheersing. Om enkele psychologische begrippen te introduceren? ik heb tot nu toe alleen nog maar de indruk dat Van Streun het vooral over probleemoplossen wil hebben. Als dat inderdaad zo zou blijken te zijn, dan is het project Handboek wiskundedidactiek als mislukt te beschouwen. Ik ben benieuwd.

cognitief schema

Van Streun introduceert in zijn casus dan het begrip ‘cognitief schema’. Ook hier weer suggereert de tekst dat cognitieve schema’s in de hersenen leven, wat natuurlijk niet het geval is. Het gaat om psychologie, niet om neurobiologie. Het is wel belangrijk om het onderscheid scherp te houden. Vergeet de malle figuurtjes die Van Streun tekent (zoals ook op de voorplaat van het boek); zij benadrukken dat het zou gaan om neurofysiologie, wat al helemaal niet het geval is.

Voor het begrip ‘cognitief schema’ verwijst Van Streun naar leerboeken van John Anderson. Op de al genoemde ACT-R-website zijn ongetwijfeld primaire bronnen te vinden over die cognitieve schema’s. Het is overigens een verzamelbegrip voor een aantal verwante begrippen en theoretische noties (ieder met hun bijbehorende corpus van research).

John R. Anderson (1981). Concepts, propositions, and schemata: What are the cognitive units? In J. Flowers: Nebraska Symposium on Motivation. University of Nebraska Press. pdf

Terug naar de tekst. Van Streun gaat verder met het casus (blz. 8-9). Dit is een stuk tekst waar ik geen touw aan vast kan knopen: er wordt hier teveel op een onnavolgbare manier door elkaar gehusseld (heuristieken zoals die van Polya, beginnersproblemen, enkele termen die in de verte lijken te referen aan het probleemoplossen in het onderzoek van Simon en Newell). Mogelijk omdat Van Streun veel te kort samenvat. Hoe dan ook: onnavolgbaar. Als ik er geen zin in kan ontwaren, hoe kunnen leraren in opleiding dat dan? Of is het de bedoeling om ze eerst behoorlijk in verwarring te brengen?

Ik ga heel erg langzaam door de tekst van dit hoofdstuk heen, maar dat geeft niet. Introduceren van relevante vindplaatsen in de literatuur kost even tijd en ruimte. Het tastend zoeken naar waar Van Streun mee bezig is, zal ook nog wel zijn nut gaan afwerpen.

1.2 probleemstelling

Een bang vermoeden wordt hier bevestigd: Van Streun richt zich vrijwel uitsluitend op probleemoplossen. Maar dan is dit Handboek geen Handboek wiskundedidactiek. Ik citeer de vier probleemstellingen van Van Streun volledig:

Dit is ‘one issue’ didactiek, als ik dat zo mag zeggen. Ik ben ook bang dat dit voor leerlingen dodelijk vermoeiend onderwijs oplevert, met als gevolg dat velen afhaken (maar dat is een vermoeden dat ik uiteindelijk empirisch zal moeten staven; er is vast onderzoek dat hier precies op aansluit).

Een goede methode voor het bestuderen van nieuwe leerstof is om eerst zelf eens te bedenken wat die leerstof zou kunnen zijn, gegeven summiere informatie vooraf of een advance organizer zoals deze 4 probleemstellingen. Bij deze:

ad 1). Dit lijkt een categoriefout te zijn. De ontwerper moet goed onderwijs ontwerpen, gegeven de te behandelen leerstof. De inhoud regeert wat er moet gebeuren. Wat Van Streun wil lijkt naïef constructivisme. (de stroming van het constructivisme buiten de psychologie, waar men probeert leerlingen expliciet te laten doen wat hersenen autonoom al doen)

ad 2. Ook dit is in zekere zin een categoriefout: die toepassingsgebieden zorgen wel voor zichzelf, en staan als zodanig buiten het wiskundeonderwijs. Wat niet wegneemt dat er wel eens een motiverend uitstapje naar toepassingen gemaakt kan worden, of er gezocht wordt naar integratie met zaakvakken waarin wiskunde een rol speelt. Naïeve psychologie over nut en noodzaak van transfer, waarvoor de Nederlandse term ‘overdracht’ is.

ad 3. Dit is onzin. Probleemoplossen is een eindfase van het onderwijs. Voorwaarde voor probleemoplossen is dat de leerstof tot op hoog niveau is verwerkt en wordt beheerst. Ik mag toch hopen dat Van Streun niet bedoelt dat leerlingen ‘wiskundig denken’ moeten leren.

ad 4. Dit herhaalt de onzin van 3. Van Streun wil toch niet in alle ernst beweren dat alle onderwijs begint met probleemoplossen?

Ik maak mij grote zorgen over wat de auteurs van dit Handboek zien als wiskundedidactiek, maar ik moet geduld hebben en eerst de uitwerking van Van Streun maar eens volgen. Maar voordat ik verderga, de volgende stelling:

Probleemoplossen als routine is eigenlijk geen probleemoplossen. Maar als probleemoplossen niet routineus kan, ligt er een enorm probleem waar alleen creativiteit helpt (hebben we het dan nog over onderwijs? Zijn we intelligentie aan het testen?). Maar creativiteit is niet iets dat je zo maar even kunt oproepen: het is niet een kwestie van willen of inzet. Wie creatief wil zijn, kan dat eigenlijk alleen maar doen doen zich er goed op te preparen, door deskundigheid te verwerven, door te werken aan de condities die de creatieve vondst mogelijk maken. Zie Stellan Ohlsson (2011).

In deze essentiële zin is het vermogen om problemen op te lossen in feite ook niet op traditionele wijze te toetsen, niet in een examen van beperkte duur.

1.3 probleemverkenning

Bevestiging van een bang vermoeden:

1.3.1 Van wiskunde naar doelen van wiskundeonderwijs

Dit is een mooi thema, waarover ik al een aantal jaren publicaties verzamel op mijn webpagina’s Mathematics education en Mathematics education: the Dutch chapter.

Van Streun brengt onmiddellijk een tegenstelling aan tussen wiskundige vaardigheden en wiskundige competenties. Een rode kaart voor Van Streun, dus. En die kaart is verdiend, want Van Streun zendt in deze paragraaf onverbloemd uit op de golflengte van ‘realistische rekenwiskunde’.

Met alle respect, maar dit is onwetenschappelijke ideologie van Hans Freudenthal. Lees de passage nog eens over, en denk er eens een minuutje over na wat er eigenlijk staat. Hint: het is onzin. Het valt me tegen van Van Streun dat hij hier klakkeloos Hans Freudenthal napraat: de opvattingen van Freudenthal over onderwijs zijn immers precies dat: opvattingen, geen theorie, en zeker geen wetenschappelijke theorie (heeft Freudenthal ooit een onderzoekexperiment gedaan?).

Van Streun schendt hier zijn belofte dat hij dit funderende hoofdstuk zou bouwen op breed gedragen wetenschappelijke inzichten. Voor enige kritische annotaties bij het werk van Freudenthal over onderwijs, zie hier.

Van Streun vindt dat wiskunde de wetenschap van patronen is, en denkt dat de meeste wiskundigen zich in die definitie kunnen vinden. Ik geloof er niets van. Als ondersteuning van zijn opvatting presenteert hij een literauurlijstje ‘Wat is wiskunde en wat zijn wiskundige activiteiten?’. (in de online bijlage bij hoofdstuk 1) Herken ik daar iets in? Een paar boeken over hoe wiskundigen denken over het doen van wiskunde; dat is best interessant, maar hoe interpreteer je die boeiende verhalen? Drie titels over denkprocessen vragen wat meer aandacht:

• Krutetskii, V.A. (1976). The Psychology of Mathematical Abilities in Schoolchildren. University of Chicago Press.
• Sternberg, J., Ben-Zeev, T. (1996). The Nature of Mathematical Thinking, Lawrence Erlbaum.
• Tall, D. (1991). Advanced Mathematical Thinking. Kluwer.

Het boek van Kruteskii ken ik niet. Het wordt nogal eens aangehaald, o.a. door Freudenthal (1983, 1991). Het boek is vertaald door J. Teller. Uit het Russisch? Een artikeltje over hem: Dahlke, E. (1978). Krutetskii — the psychology of mathematical abilities in schoolchildren. Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, 10(2), 84–86.

Wat Carolie Daniel in de laatste zin beweert, is een empirische uitspraak, en hij is niet waar. Maar dit terzijde.

Dit begrijp ik niet van Roorda (ook auteur van een hoofdstuk in het Handboek wiskundedidactiek): de tekst is slordig, de literatuur die hij noemt is niet primair.

Toetsen komt elders in het Handboek nog aan de orde. Bishop et al. is niet een neutrale publicatie over wiskundeonderwijs: het gaat om reformonderwijs, constructivisme, ‘realistic mathematics education’. Het hinderlijke van dergelijke publicaties, zoals ook van het Handboek wiskundedidactiek trouwens, is dat de ideologische gekleurdheid door de auteurs onvoldoende duidelijk wordt gemaakt. Bescheidenheid is niet de sterkste competentie in die kringen. Maar oké, zelf ben ik ook niet echt bescheiden.

Krutetskii wordt voor wonderlijke doeleinden ingezet, puur willekeurig zo te zien:

Genoeg even over Krutetskii, ik zal bij gelegenheid het boek zelf ook eens ter hand nemen. Wat het voor mij als bron voor een wiskundedidactiek zeer twijfelachtig maakt: het is verouderd, komt uit een andere cultuur, en is waarschijnlijk ook nog een tertiaire bron.

Het boek van Robert Sternberg (Van Streun heeft in zijn opgave de ’R.’ vergeten) en Ben-Zeev valt onder de wetenschappelijke literatuur. Ik heb het niet opnieuw ingezien, maar concludeer alvast uit de inhoudsopgave dat het aan aanrader is. Volg de link, dan kan weiliswaar niet de hele tekst, maar wel de eerste pagina van iedere bijdrage worden gelezen. Het boek is wel enigszins gedateerd; zoek bij een interessantee auteur in Scholar naar meer eigentijds onderzoek.

Sternberg lijkt mij hier te waarschuwen tegen het lichtvaardig gebruiken van begrippen als ‘wiskundig denken’. Verstandig. Jammer dat ik geen toegang heb tot de rest van zijn hoofdstuk (boek is niet in de KB, niet in de UB Leiden, niet in de UB van de VU; maar ik heb zelf een kleine verzameling boeken van of geredigeerd door Sternberg, ik vind nog wel relevant materiaal)

Tenslotte is er nog het boek van Tall (1991). Advanced Mathematical Thinking.. Ik ken dat boek niet (het is niet door David Tall geschreven, maar geredigeerd — toch een klein verschil), maar boeiende publicaties van David Tall was ik al wel eerder tegengekomen (op zijn eigen website). Ik weet niet in welke onderzoektraditie David Tall staat (niet die van de cognitieve psychologie, lijkt me, en dat is toch een risico voor hem), en ga dat nu niet even uitzoeken.

1.3.2 Heit en Kees: een voorbeeld van een probleemaanpak

Het mag een authentiek verhaal zijn, hoe Heit, Kees, een fiets en een zak aardappelen thuis zijn gekomen, maar er is als wiskundig probleem natuurlijk niets authentieks aan. Van Streun heeft er achetraf een wiskundig probleem van gemaakt. Dat lijkt me typerend voor veel wat ons als ‘authetieke’ problemen of contexten wordt verkocht.

Ook overigens is heel deze paragraaf een warboel, waar ik niet mee uit de voeten kan, en mij niets duidelijk maakt over probleemaanpak. Want over dat laatste is wel degelijk een algemene theorie met bijbehorend technisch jargon beschikbaar. Volgende paragraaf.

1.3.3 Exponentiële groei: Een voorbeeld van een cognitief schema

Dit is werkelijk fantastisch. Voorbeeld 1. is een niemendalletje, ik zal er geen woorden aan vuilmaken. Voorbeeld 2 (blz. 17) heeft landelijke bekendheid gekregen omdat Van Streun het mogelijk vooral op eigen houtje heeft ingevoegd in de rapportage van de werkgroep-rekenen van de commissie-Meijerink: Over de drempels met rekenen. U weet wel: van de referentieniveaus taal en rekenen. Ik heb er uitvoerig aandacht aan besteed in deze rekenblog op het forum van Beter Onderwijs Nederland. Van Streun heeft in de didactische analyse van dit voorbeeld van 20% en nog eens 10% korting heel wonderlijke schaatsen gereden, en zich daarmee ongelooofwaardig gemaakt. De oplossing van de vraag is immers eenvoudig: 20% plus 10% van de rest = 28%. Van Streun maakt het evenwel ongelooflijk ingewikkeld, door te gaan goochelen met het in de vraag genoemde bedrag, een gegeven dat voor de beantwoording immers niet nodig is. Hoe kan jij dat over het hoofd hebben gezien? Gelukkig ziet hij deze oplossing deze keer niet over het hoofd: blz. 18. in het midden. Maar waar slaat dan het beginnelingen-gedoe met die kostprijs op?

Is deze opgave 2. een goede of authentieke contextopgave? Dat is een empirische kwestie. Je zou het in een garagebedrijf kunnen vragen aan de bezoekers: hebben zij er behoefte aan om de 20% + 10% korting exact uit te rekenen? Ik vermoed het niet. Hoe vaak koopt een leerling een auto van 22.000 euro? Enzovoort.

Meteen in de daaropvolgende alinea schrijft Van Streun dat hij bij opgaven zoals deze opgave 2 gaat om een groeifactor of een vermenigvuldigingsfactor. Leerlingen moeten dat ‘begrijpen en memoriseren’. Maar dat begrijp ik dan weer niet: gaat het Van Streun nu om probleemoplossen, of toch om de andere leerprocessen in het wiskundeonderwijs? Want hij schrijft hier toch klip en klaar dat opgave 2 behoort tot een uitgesproken type opgave, dat leerlingen als zodanig moeten herkennen en vervolgens recht-toe-recht-aan uitwerken. Niks probleemoplossen. Over dat memoriseren zullen we het later nog wel uitgebreid hebben (Van Streun bedoelt hier mogelijk zoiets als automatiseren, en dat is bepaald iets anders dan uit het hoofd leren).

De uiteenzetting van Van Streun gaat dan over cognitieve schema’s in het langetermijngeheugen, maar ik dacht toch echt dat die niet bestaan. Dit soort oppervlakkig schrijven maakt het bepaald niet makkelijker om te achterhalen waar Van Streun het precies over heeft, en dat is exact mijn bezwaar ertegen. Voor aankomende leraren moet dit ook niet echt behulpzaam zijn.

het cognitief schema

Zonder commentaar (uit de oude doos):

1.4 Wat we al weten

Een opmerking vooraf. Het valt me op dat Van Streun nog steeds geen behoorlijke beschrijving heeft gegeven van wat hij onder probleemoplossen verstaat. Dat maak het wel heel erg lastig om bij zijn tekst verstandige kanttekeningen te kunnen plaatsen: ik weet voortdurend niet wat ik lees.

Ik ben bepaald niet voor het eerst in mijn loopbaan met de thematiek van probleemoplossen bezig. In 1983 stond ik voor de vraag wat probleemoplossen in het onderwijs moet betekenen, en hoe dat dan terugkomt in toets- en examenopgaven. Ik steunde daarbij op de op dat moment beschikbare theorie van onder andere Herbert Simon en Allen Newell. Het leidende kenmerk moet zijn dat het hier — in het onderwijs — gaat om probleemstellingen die de leerling met de kennis die hij verondersteld wordt te bezitten, in principe moet kunnen oplossen, zij het mogelijk niet op stel en sprong. Dus: geen nieuwe ontdekkingen vragen, geen intellectuele uitdagingen stellen. Dus precies die dingen niet doen die onderwijsgoeroes zo geweldig belangrijk vinden en iedereen willen opdringen. Zie hoofdstuk 7 in mijn boek van destijds, of beter: de herziene versie waaraan wordt gewerkt:

Ben Wilbrink (1983/in bewerking). Toetsvragen schrijven / Toetsvagen ontwerpen. Aula 809. Hoofdstuk 7: Problemen stellen. webpagina

Wat ik keer op keer signaleer in de tekst van Van Streun, maar ik kan dat nog steeds niet hard maken, is de gedachte dat probleemoplossen een intellectueel vermogen is dat los staat van de specifieke domeinkennis die iemand heeft. Het is een vermogen dat verder is te ontwikkelen door het maar vaak te doen. Domeinkennis is wel van belang, maar die bestaat uit afzonderlijke stukjes infomatie die juist door veelvuldig probleemoplossen met elkaar worden verbonden, of beter met elkaar worden verbonden.

Maar dit is niet iets dat ik een theorie zou durven noemen, en het berust zeker niet op wat we op grond van de cognitieve wetenschappen weten over leerprocessen en wat het is om expertise te hebben. Ziehier mijn uitdaging om helder te maken wat Van Streun in dit funderende hoofdstuk probeert over te brengen. Ik ben op dit punt, nog niet halverwege zijn uiteenzetting, somber gestemd.

Miriam Rosenberg-Lee, Marsha C. Lovett & John R. Anderson (2009). Neural correlates of arithmetic calculation strategies. Cognitive, Affective, & Behavioral Neuroscience, 9, 270-285. pdf

K. Anders Ericsson & Walter Kintsch (1991). Memory in comprehension and problem solving: A long-term working memory. Instute of Cognitive Science, Publication Number 91-13 pdf

James J. Staszewski (1988). Skilled memory and expert mental calculation. In Michelene T. H. Chi, Robert Glaser & Marshall J. Farr: The nature of expertise. Erlbaum.

Michelene T. H. Chi (2006). Methods to assess the representations of experts' and novices' Knowledge. In K. A. Ericsson, N. Charness, P. Feltovich and R. Hoffman (Eds.), Cambridge Handbook of Expertise and Expert Performance (Pp. 167-184). Cambridge University Press. pdf available on Michele Chi's website

Michelene T. H. Chi & Stellan Ohlsson  (2005). Complex declarative learning.  In K. J. Holyoak & R. G. Morrison (Eds.), The Cambridge Handbook of Thinking and Reasoning (Pp. 371-399). Cambridge University Press. pdf

Michelene T. H. Chi, S. A Siler & H. Jeong (2004). Can tutors monitor students’ understanding accurately? Cognition and Instruction, 22(3), 363-387. pdf

W. G. Chase & K. A. Ericsson (1981). Skilled memory. In John R. Anderson: Cognitive Skills and their Acquisition. Erlbaum. [nog opzoeken]

W. G. Chase & K. A. Ericsson (1982). Skill and working memory. In G. H. Bower: The psychology of learniny and motivation (Vol. 16). Academic Press. [nog opzoeken]

John R. Anderson, James G. Greeno, Paul J. Kline & David M. Neves (1981). Acquisition of problem-solving skill. In John R. Anderson: Cognitive skills and their acquisition. Erlbaum (191-230). pdf

John R. Anderson (1987). Skill acquisition: Compilation of weak-method problem solutions. Psychological Review, 94, 192-210. pdf

Dit abstract is redelijk goed te begrijpen voor wie niet thuis is in psychologisch jargon. Alleen het begrip production rule is echt jargon. Simpel gezegd, gaat het om een associatie tussen een probleemkenmerk en en probleemaanpak: als A het geval is, dan B doen.

Ik sprong een gat in de lucht bij het zien van dit abstract: het maakt in weinig woorden duidelijk wat er problematisch is aan opvattingen zoals die van Anne van Streun, of die van het ‘realistisch rekenen’. Van Streun en vele plegers van ‘ontwikkelingsonderzoek’ beginnen en eindigen op dit niveau van beginnend redeneren in een nieuw domein. Maar zo kan het natuurlijk niet gaan: uiteindelijk heeft de samenleving experts nodig, op tal van terreinen, en geen beginners.

Ook maakt deze korte tekst duidelijk wat de theorie van het leren probleemoplossen moet behelzen. Maar ja, om dat echt te begrijpen is veel meer domeinkennis nodig: lees Stellan Ohlsson (2011). Evengoed is dit abstract een prachtige samenvatting. Ik lees erin: leren begint met algemene regels, met abstracties; leren gaat verder door de algemene regels te verbijzonderen naar meer specifieke situaties. Let op: dat is dus het omgekeerde van wat de meeste didactici geneigd zijn te doen, namelijk beginnen met allerlei specifieke situaties, concrete voorbeelden, waaruit met veel moeite de algemene regel wordt afgeleid. Immers, wiskunde is het vinden van structuren en beschrijven van patronen. Toch? Of zou dat misschien subtiel anders kunnen liggen? Dan draaien we dus de ‘niveautheorie’ van Van Hiele op zijn kop. Afijn, Ohlsson legt het haarfijn uit, en verwijst naar het relevante empirische onderzoek.

Robert C. Daniel & Susan E. Embretson (2010). Designing Cognitive Complexity in Mathematical Problem-Solving Items. Applied Psychological Measurement, 35, 27-47. abstract

Tony Thompson (2008). Mathematics teachers’ interpretation of higher-order thinking in Bloom’s taxonomy. International Electronic Journal of Mathematics Education, 3 #2. pdf

L. B. Resnick (1987). Education and Learning to Think. National Academy Press. (Zie hier voor download van pdf.) Zie voor mijn annotatie hier.

Jacqueline P. Leighton (2013). Large-scale assessment design and development for the measurement of student cognition. In Marielle Simon, Kadriyee Ercikan & Michel Rousseau: Improving Large-Scale Assessment in Education (13-26). Routledge. site

Dit lijkt veelbelovend, ik heb van deze auteur al eens eerder boeiend materiaal gelezen. Let in het volgende citaat erop hoe probleemoplossen daarin nadrukkelijk is gekoppeld aan kennis en vaardigheid (de brandstof voor het vuurtje van het probleemoplossen), en hopelijk later in dit hoofdstuk geen surplus-betekenissen gaat krijgen. Ik zal dit hoofdstuk mogelijk verder annoteren, omdat het raakt aan de issues in zowel het hoofdstuk van Van Streun, als in de door Drijvers en anderen gewenste ontwikkeling naar ‘wiskundige denkactiviteiten’.

Jan de Lange (1991). Hard tegen hart. Vernieuwing in het wiskundeonderwijs. Rede (hoogleraar in de didactiek van het wiskunde- en informaticaonderwijs)

Janet E. Davidson & Robert J. Sternberg (Eds.) (2003). The Psychology of Problem Solving. Cambridge University Press. pdf van hele boek

John R. Hayes (1989 2nd). The Complete Problem Solver. Erlbaum.

In de jaren zeventig en tachtig was er optimisme in de kringen van Herbert Simon en Allen Newell dat zoiets als ‘probleemoplossen’ een vermogen zou zijn dat deels valt te leren. Nou zal dat best waar zijn, maar de vraag is of dat deel interessant genoeg is om er bijvoorbeeld gerichte instructie op te zetten.

In ieder geval heeft John Hayes — zelf behorend tot de groep onderzoekers rond Newell en Simon — dat serieus geprobeerd. In Nederland is zijn boek vrijwel onvindbaar, maar in de VS heeft het twee edities en vele herdrukken beleefd. Ik vermoed dat John Hayes uiteindelijk heeft moeten erkennen dat er veel valt te leren onder die vlag van ‘probleemoplossen’, maar dat het uiteindelijk toch vooral gaat om domeinkennis, en niet om een abstract vermogen tot ‘probleemoplossen’. Dat zoek ik nog uit. Hayes begint zijn inleiding meteen met een terugtrekkende beweging: het tweede doel van het boek is de psychologie van het probleemoplossen te behandelen! Kijk, zo kan ik ook een cursus probleemoplossen geven. Maar ik geef toe: kennis van die psychologie is extreem nuttig, want het behoedt de kenner voor gruwelijke misvattingen.

John Hayes is vooral bekend van zijn werk op het gebied van het schrijven. Een recent nummer van Written Communication is ter ere van hem uitgekomen zie hier. Hoewel schrijven natuurlijk een kwestie is van probleemoplossen, ligt het accent in dit veld van onderzoek minder op abstract probleemoplossen als zodanig. In zijn boek is hoofdstuk 4 getiteld" Writing as problem solving. In zijn artikel in 2012 komt ‘problem solving’ niet voor.

• John R. Hayes (2012). Modeling and remodeling writing. Written Communication, 29, 369-388. abstract

A. van Streun: Het onderwijs in de know-how van de wiskunde. In H. G. B. Broekman, L. C. Spijkerboer & J J. M. Terlingen: Algoritmen en heuristieken in contextrijk reken-wiskundeonderwijs (29-46). OW & OC. geen isbn

Geschreven kort na zijn dissertatie, zal dit ongeveer dezelfde inhoud dekken. Ik heb er geen verdere commentaar bij nodig: dit is romantisch psychologisme, waarvan ik me trouwens niet kan voorstellen dat zijn vriend A. D. de Groot er enig enthousiasme voor heeft kunnen opbrengen. Maar dat is voor mij dus een enigma, althans for the time being. Als klap op de vuurpijl spoort Van Streun de wereld aan om ontwikkelingsonderzoek te gaan doen (zie stelling 10; hij noemt het zelf niet zo, maar zijn beschrijving laat niets aan duidelijkheid te wensen over).

• Van Streun werkt de volgende stellingen uit:
  1. Het denken bevorderen De leerling moet ervaren dat over een opgave of probleemsituatie kan worden nagedacht, dat het mogelijk en de moeite waard is om jezelf systematisch vragen te stellen naar betekenissen, naar middelen en gevolgen.
  2. De kijk van leerlingen op het schoolvak wiskunde Volgens veel leerlingen gaat het bij wiskunde niet om het denken, maar om het onthouden van regels en toepassen van regels in sommen. Dat beeld van wiskunde leren is het voornaamste obstakel op de weg naar zinvol wiskundeonderwijs voor iedereen.
  3. Het gegeven onderwijs bepaalt de visie van leerlingen op wiskunde Het regel- en imitatieleren past uitstekend bij de algemene schoolcultuur.
  4. Het leerdoel legt de optimale onderwijsstrategie vast Het flexibel leren gebruiken van wiskundige kennis en methoden in verschillende contexten vereist een sterke samenhang in het cognitieve schema en (omvang)rijke chunks. Training op geïsoleerde rijtjes analoge opgaven versterkt de verbrokkeling in het lange termijn geheugen.
  5. Start met de meest algemene werkwijzen en pas daarbij later de meer specifieke methoden aan. Eerst de heuristische methoden, daarna eventueel algoritmische.
  6. Probleemgestuurd onderwijs en mathematisch-didactische kernen Het banen van een leerweg door middel van een geschikte rij van problemen/taken/opdrachetn is een optimale onderwijsstrategie, mits we erin slagen de mathematisch-didactische kernen op te sporen.
  7. De mentale voorstelling van de (probleem-)situatie Het denken in termen van een zich ontwikkelende mentale voorstelling van een (probleem-)situatie is didactisch bijzonder vruchtbaar. Blokkades in die ontwikkeling zijn goede aanknopingspunten voor onderwijs in probleem oplossen.
  8. Niveaus van herkenning De rol van de herkenning op basis van al aanwezige kennis bij het oplossen van problemen is groot. Met heuristische overzichten en methoden kan bewust naar die herkenning worden toegewerkt.
  9. Effecten van zelfontdekkend en probleemgestuurd onderwijs Optimalisering van contextrijk wiskundeonderwijs is niet gebaat bij algemene uitspraken over onderwijseffecten, maar vereist nauwgezette analyse van leerprocessen en effecten in onderwerpgebonden onderzoek.
  10. De uitdaging voor wiskudnedidactici, lerarenopleiders en ontwikkelaars Het wordt hoog tijd dat wij ons meer gaan concentreren op wat er feitelijk in de klas gebeurt en minder op het schrijven van creatieve leerstofpakketjes.

[werk in uitvoering]

De volgende hoofdstukken. Ik kijk even bij de conclusies van ieder hoofdstuk.

Paul Drijvers en Peter Kop: Variabelen en vergelijkingen. 53-81

Wat mij omstreden lijkt in dit hoofdstuk, o.a.: het benadrukken van een complex schema voor het oplossen van algebraïsche vergelijkingen (onnodig psychologiseren), het werken met omstreden zaken zoals ‘symbol sense’ (proefschrift Christian Bokhove), het behandelen van schoolalgebra alsof dat gaat om probleemoplossen (zoals bij Polya).

Ik ben benieuwd hoe de auteurs een en ander behandelen. De aanbeveling in bovenstaand citaat bevat een verwijzing naar de probleemoplosliteratuur (De Groot, Newell) maar geeft daar een didactische draai aan waarvan ik vermoed dat het te nadrukkelijk de psychologie van het probleemoplossen aan de leerlingen presenteert. Terwijl het om de algebra hoort te gaan. Die psychologie hoort verwerkt te zijn in leermaterialen en didactiek, maar niet zelf de didactiek te zijn. Ik hoop dat ik een ender helder kan krijgen, ook voor mijzelf, bij het en detail doornemen van dit hoofdstuk.

Peter Kop en Willem Hoekstra: Functies. 83-108

Voor de auteurs is het ideaal dat wat de expert op dit terrein doet. De leerling kan dat niveau natuurlijk niet bereiken, maar misschien een eind op weg komen? Herken hierin de overschatting in de reformdidactiek dat het in het wiskundeonderwijs moet gaan om ‘wiskundig leren denken’, waarbij even minder nadruk valt op het leren van een bescheiden basis. Hier hebben we ook weer die nadruk op probleemoplossen. De auteurs zullen best een goed beeld geven van wat experts zoal met functies doen, maar het springende punt is natuurlijk of dat iets zegt over wiskundeonderwijs en hoe dat gegeven kan worden. Probleemoplossen is een probleem apart, zeker ook hoe didactici ermee omgaan, zoals in veel hoofdstukken van dit Handboek. Mijn eigen positie wat dat probleemoplossen betreft is te vinden in hoofdstuk 7 van ‘Toetsvragen ontwerpen’. De theoretische stand van zaken is te vinden in Stellan Ohlsson (2011) ‘Deep Learning’, mijn referentie als het aankomt op wat de cognitieve psychologie vandaag heeft te bieden.

Gerrit Roorda en Joke Daemen: Afgeleide. 109-138

Dit hoofdstuk gaat over een specifiek inhoudelijk thema, waarop de eerste auteur recent is gepromoveerd. De concluderende paragraaf geeft mij niet op voorhand reden om vragen te stellen.

Anne van Streun en Nellie Verhoef: Meetkunde. 139-174

Een verrassend onderwerp: is er nog steeds onderwijs in meetkunde? De concluderende paragraaf van dit hoofdstuk is een korte schets van de reformdidactiek voor rekenen en wiskunde (contexten, reflecteren, probleemoplossen). Dat schiet niet geweldig op, maar is wel het hoofdthema in mijn bespeking van heel dit Handboek.

Bert Zwaneveld: Kansrekening. 175-204

Kansrekening is razend moeilijk, dus ook voor middelbare scholieren. Hoe ziet Zwaneveld dit? Zo te zien maakt hij er een potje probleemoplossen van. Daar hebben we dus het probleemoplossen weer. Anders dan bij de meeste wiskundeprogramma’s, ben ik op het gebied van kansrekening inhoudelijk redelijk op de hoogte, misschien helpt dat om voor dit hoofdstuk tot een scherpere karakterisering te komen dan alleen een algemene kritiek op de misplaatste nadruk op probleemoplossen en contexten waarbinnen dat dan zou moeten plaatsvinden.

Anne van Streun, Bert Zwaneveld & Paul Drijvers: Statistiek. 205-234

Statistiek? Ik heb toch net een hoofdstuk over kansrekening gezien? De ‘statistische cyclus’ als een vereenvoudigde vorm van de empirische cyclus. Hebben we het hier over middelbaar onderwijs? Verbazingwekkend. Moet het middelbaar onderwijs onderzoekers afleveren? Nee toch? Ik sta paf. Wat is hier de empirische basis van? Hopelijk geven de auteurs antwoorden.

Jeroen Spandaw & Bert Zwaneveld: Modelleren. 235-264

Modelleren is probleemoplossen, vermoed ik. Modelleren is natuurlijk inherent aan het werken met contexten, dus heel het reform-gedoe krijgen we in dit hoofdstuk weer voor de kiezen. Ik zal gaan zoeken naar waar de wiskunde is gebleven. Want relevante ‘contexten’ voor wiskunde kennen we nauurlijk vanouds als die uit de natuurkunde en de techniek. Ik begrijp dus voortdurend niet waarom al die zaken ongecontroleerd door elkaar heen moeten lopen. Wat is daar de theoretische en empirische basis van?

Gaat het misschien om ‘wetenschappelijk leren denken’? Maar dan zijn we de komende halve eeuw nog niet toe aan een in de praktijk werkend prototype van onderwijs (Deanna Kuhn).

Ik ben bang dat hier ook weer sprake is van enorm overtrokken verwachtingen van wat met middelbare scholieren mogelijk is.

Paul Drijvers & Bert Zwaneveld: ICT in het wiskundeonderwijs. 265-298

Truus Dekker, Pauline Vos en Kees Lagerwaard: Wiskundetoetsen. 299-337

Wiskundige competenties toetsen? Brrrrr. Authentieke contexten: bestaat zoiets wel? Een toetspiramide, wat is dat dan weer? Zijn summatieve toetsen bedoeld om leerlingen in een rangorde te plaatsen? Nee toch?

Ik ben wel benieuwd of met dit hoofdstuk in de hand de voorbeeldrekentoets-3F van het Cito (de pilottoets afgenomen in maart 2012 havo en vwo) valt te evalueren. Het bestuur van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, waar Kees Lagerwaard deel van uitmaakt, heeft laten weten dat de 3S-varian (cie-Van de Craats) niets toevoegt zodat de voorkeur uitgaat naar 3F. We hebben het dan wel over eindexamens vwo! Ongelooflijk. Zie ook http://goo.gl/9OzGo.

Anne van Streun en Peter Kop: Wiskundige denkactiviteiten. 339-368

Het afsluitende en samenvattende hoofdstuk. De auteurs beginnen met een uit zijn context gerukt citaat van George Polya (How to Solve it, Preface), waarin stampwerk aan het kruis wordt genageld, en het prikkelen van de nieuwsgierigheid van studenten wordt opgehemeld. Maar Polya overdrijft schromelijk, en heeft het bovendien over studenten wiskunde. Ik sta hier meteen op mijn verkeerde been. Afijn, ik moet eerst het eerste hoofdstuk doornemen, daarna pas het laatste.

  http://www.benwilbrink.nl/literature/handboek_wiskundedidactiek.htm http://goo.gl/G6Qnm