Rekenproject: hypothese 6. Leren denken door rekenen is 19e eeuw

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
hypothese 1: reform-rekendidactiek draait psychologische oorzaken en gevolgen om.
hypothese 2: kernpunten van een goede rekendidactiek zijn bekend
hypothese 3: een onwetenschappelijke groep + een hoop geld => promotie van pseudo-wetenschap
hypothese 4: contextopgaven testen intelligentie
hypothese 5: rekenen gaat niet over verbale kennis, maar is een vaardigheid
hypothese 6: leren denken door rekenen en wiskunde was ooit waar
hypothese 7: ontwikkelingsonderzoek verwaarloost declaratieve kennis (Anderson 2007 hfdst 3)
hypothese 8: keuzetoetsen hebben het rekenen de das omgedaan
Richtlijnen voor rekenopgaven
Annotatie De toekomst telt
Annotatie Handboek wiskundedidactiek

wiskundig denken

Hypothese 6: Er is een tijd geweest dat ‘leren denken’ via rekenen en wiskunde een realistisch onderwijsdoel was. Het Flynn-effect is daar een aanwijzing voor (James Flynn, 2007).

sub a: ‘Leren denken’ als onderwijsdoel miskent de Verlichting (Jabik Veenbaas, 2013). Gymnasiaal onderwijs mist de Verlichting en blijft middeleeuws.

Jabik Veenbaas (2013). De verlichting als kraamkamer. Over het tijdperk en zijn betekenis voor het heden. Nieuw Amsterdam. gesprek in Brands met boeken 8-9-2013

sub b: ‘Realistisch rekenen’ is een onbeholpen poging om dat ‘leren denken’ alsnog in de wereld te laten landen (transfer), zonder de rede los te willen laten.

Wanneer in de negentiende eeuw pedagogen spreken over ‘leren denken’, bedoelen zij daarmee waarschijnlijk wel ongeveer hetzelfde als wat we er nu onder verstaan, maar zij zagen om zich heen dat zonder onderricht in dat ‘leren denken’ leerlingen bleven steken in denken op heel concreet niveau (en abstracte verbanden gewoon uit hun hoofd leerden, denk ik er maar bij).

Die belangstelling voor ‘leren denken’ is, zo kort na de Verlichting, wel opvallend: die Verlichting was immers ook een zich afzetten tegen het rationele denken van Leibniz, Descartes, Spinoza ook. De Verlichting was de doorbraak van het empirisch-wetenschappelijk omgaan met de wereld, juist een tegenbeweging in deze zin dat het uitgaat van de realiteit dat we ons de wereld niet begrijpelijk kunnen maken door er rationeel over te denken, maar door haar te onderzoeken.

Analytische intelligentie — abstract redeneren — is waarschijnlijk sterk cultureel bepaald, dus ook in de zin van individuele verschillen in het vermogen om abstract te denken. Denk dan bij dat cultureel bepaald zijn vooral ook aan de rol van het onderwijs, en wel onderwjs in de moderne zin met abstracte vakken zoals rekenen, wiskunde en natuurwetenschappen. Mogelijk dat het boek van Montgomery (1994) net die gevoelige zenuw raakt, zij het voor de specifiek Amerikaanse ontwikkelingen sinds 1750.

Ik vermoed dus dat het volgende citaat (Montgomery, p.270 citeert Goodlad, 1984) een misvatting weergeeft, waar Goodlad het leren lezen, schrijven en rekenen loskoppelt van intellectuele ontwikkeling in algemene zin. De suggestie uit werk van James Flynn is misschien juist dat lezen, schrijven en rekenen voorwaarden zijn voor die intellectuele ontwikkeling, en er een belangrijk deel van vormen.

Edward L. Thorndike & Robert S. Woodworth (1901). The influence of improvement in one mental function upon the efficiency of other functions. Psychological Review, 8, 247-261. webpage

This is the classic study blasting away the notion that studying Latin, or mathematics, really is ‘learning to think&s.

• See Lawrencee A. Cremin (1961). The transformation of the school, p. 113 not 4. (and other places in this book)

Stellan Ohlsson (2011). Deep Learning: How the Mind Overrides Experience. Cambridge University Press. zie ook hier

De volgende passage van Ohlsson heb ik ervaren als een Aha-Erlebnis, als ik dat zo mag zeggen. Hij geeft hierin aan, op grond van zijn kennis van de Gestalt-theorie in het begin van de 20e eeuw, dat deze psychologen waren geobsedeerd door het bijzondere van het inzicht, de Aha-Erlebnis, de Gestalt-omkering, en de nieuwe ontdekking; en dat zij studie van het gewone (analytische) denken maar niks vonden. En dat is wel een tegenstelling, vermoed ik, tot de eerdere laat-19e-eeuwse Duitse psychologie die juist geduldig laboratorium-onderzoek deed naar basale psychologische zaken. Wat ik nu ook vermoed: dat heel de Duitse denkpsychologie van voor WO-II doortrokken was van de belangstelling voor bijzondere denkprocessen bij creatieve probleemoplossingen, met bijna uitsluiting van aandacht voor meer gewone analytische denkprocessen. Vervolgens komen didactici onder de sterke invloed van deze denkpsychologie tot allerlei romantische beelden over hoe het onderwijs valt te verheffen van mechanistisch leren naar inzichtelijk leren (uiteindelijk dus ook Freudenthal en Treffers). Een ‘nieuw leren’ avant la lettre. Ik hoef er nauwelijks op te wijzen, hoop ik, dat de huidige hype over de ‘vaardigheden van de 21e eeuw’ van hetzelfde laken een pak is: de klok gehoord hebbend, niet wetend waar de klepel hangt (maar zich daarvan in de verste verte niet bewust). Ik geef een eigen vertaling van de passage bij Ohlsson die tot mijn Aha-Erlebnis voerde.

• Het feit dat iedere situatie op meerdere manieren is te interpreteren [is te ‘zien’: Gestalt-sprongen] geeft wel antwoord op de vraag hoe iets nieuws mogelijk is, maar wat creatief denken dan precies is blijft duister [in de Gestalt=psychologie]. De Gestalt-psychologen waren dan wel bijzonder geïnteresseerd in de verschillende vormen van ‘goed denken’, maar verwaarloosden tegelijk het ‘niet zo goede denken’. In hun publicaties is analytisch denken alleen te vinden als een toch wat weerzinwekkende contrasterende vorm van denken. Wertheimer schrreef over ‘blinde’ probleemoplossingen en zette goede en foute missers tegenover elkaar. Het eerste type misser is een voorbode van een inzichtelijke oplossing. Slechte missers daarentegen worden besproeken alsof het gaat om slecht gedrag, zoals neuspeuteren tijdens het avondeten. De Gestalt-psychologen misten een theorie over hoe mensen dan denken in de lange episoden tussen hun inzichten, en hadden dus ook maar een half antwoord op de vraag wat inzichtelijk denken dan onderscheidt. In zijn essentie omvat creatief denken inzicht, maar wat analytisch denken is, dat kon de Gestalt-psychologie niet zeggen.

  p. 82-83

P. N. Johnson-Laird (1999). Deductive reasoning. Annual Review of Psychology, 50, 109-135. pdf

David B. Wilson (1982). Experimentalists among the mathematicians: Physics in the Cambridge Natural Sciences Tripos, 1851-1900. Historical Studies in the Physical Sciences, 12, 325-371. read online for free

• [p. 336] Examiners designed the tripos primarily as a liberal examination to suit the majority of those taking it. According to Cambridge pedagogy, study of mathematics and of stable, mathematized subjects like mechanics and hydrostatics educated the mind in orderly thought. After such an education, a man could go on to grapple with law, medicine, or the natural sciences. As Whewell argued, “Anyone who is acquainted with the lawyers, or men of usiness, or statesmen whom the University has produced in our own and the preceding generation, knows, from observation of them and from their declarations, that their mathematical pursuits here have in [n]o small degree regulated their mode of dealing with other subjects.” [Whewell, Thoughts on the study of mathematics as a part of a liberal education, 2nd ed. (Cambridge, 1832), 40] Examiners always had to distinguish between the two kinds of students —“those who pursue the study as a means of genral education” and “professed mathematicians”—as they were described in 1878. [N. M. Ferrers in CUR (14 may 1878), 522. In the same discussion, John Couch Adams “did not suppose that one-half of the wranglers expected to be professed mathematicians” (ibid., 524).]

J. W. van der Hulst & A. Reens (zd [zestiger jaren]). Cijfers en normen. Leergang voor het grafisch bedrijf. Vereniging tot Bevordering van de Vakopleiding in het Boekdrukkers-, Rasterdiepdruk- en Chemigrafisch bedrijf.

Dit boekje staat vol met wat oppervlakkig gezien redactiesommen zijn, maar waarin vooral geoefend wordt op het vakjargon van de grafische sector, waarbij ook nog wordt gerekend. Is dit ‘leren denken’, zoals veel rekendidactici dat graag zien? Of is het toch iets anders? Zie ook Markman & Gentner (2001).

Arthur B. Markman & Dedre Gentner (2001). Thinking. Annual Review of Psychology, 52, 223-247. pdf

Maarten Bullynck (2008). The transmission of numeracy: integrating reckoning in Protestant North-German elementary education (1770—1810) Paedagogica Historica, 44, 563-585. abstract

Een sleutelpublicatie? Het abstract doet dat wel denken, als ik dat zo mag zeggen.

• In modern pedagogic studies (such as the UNESCO, TIMMS and PISA studies) numeracy is considered as the third component of alphabetisation, next to reading and writing, i.e. literacy. The close association of modern numeracy with writing and its historical affiliation to literacy in modern education from, say, 1700 onwards sanction such an interpretation. In this paper, however, a historical dimension is added to numeracy. Close to Netz, we shall use numeracy to denote (1) how specific cognitive abilities are “assembled together and implemented with the aid of specific tools and technologies”, using various media, be they writing, voice or memory, etc., (2) how these cognitive skills are embedded in a culture and a history, what values are attached to the concept of number and the manipulation of number, and lastly (3) how these practices are transmitted (which one could call numerisation, analogous to alphabetisation).6 The emphasis in this paper will be on points (2) and (3); its focus is historical.

  p. 564

• R. Netz, “Counter Culture: Towards a History of Greek Numeracy,” History of Science, l (2002): 1—32.
• Note 8: Older but still valuable overviews are:
  • E. Jänicke, “Geschichte der Methodik des Rechenunterrichts,” in Geschichte der Methodik des deutschen Volksschulsunterrichtes, 3. Band, ed. C. Kehr (Gotha: Thienemann, 1888), 1—180.
  • M. Sterner, Principielle Darstellung des Rechenunterrichts auf historischer Grundlage. I. Teil. Geschichte der Rechenkunst (München and Leipzig: Oldenbourg, 1891).
  • More recent studies include:
  • S. Schmidt, Rechenbücher für den Unterricht in der Elementarschule vom Ende des 18. Jahrhunderts bis zum Kaiserreich in Auszügen (Köln: Böhlau, 1991), intro;
  • K.-H. Franke, Verlaufsformen der Entwicklung des Rechenbuchs der deutschen Volksschule, aufgezeigt an ausgewählten Beispielen des Rechenbuchs aus dem 18., 19. und 20. Jahrhundert (Bochum: Diss. Masch., 2002);
  • cf. a recent account of the evolution of British textbooks, J. Denniss, “Arithmetical textbooks 1478 to 1886: a progression?,” Journal of the British Society for the History of Mathematics, 21, no. 1 (2006): 26—33.
• The main discursive shift of this epoch consists in the transition of rule-based reckoning (Regelrechnen) to conceptual reckoning (Denkrechnen), turning reckoning/arithmetic into a general propaedeutic discipline for the training of the mind instead of a utilitarian, practical technique.

  p. 564

James R. Flynn (2012). Are We Getting Smarter? Rising IQ in the Twenty-First Century. Cambridge University Press.

Flynn, James R. Flynn (2007/2009). What Is Intelligence? Beyond the Flynn Effect. Cambridge University Press.

Scott L. Montgomery (1994). Minds for the making. The role of science in American education, 1750-1990. Guilford Press. isbn 0898621895

Peter S. Wells (2012). How Ancient Europeans Saw the World. Visions, Patterns, and the Shaping of the Mind in Prehistoric Times. Princeton University Press. site

xxDit boek lijkt wel een heel vreemde eend in mijn bijt. Toch is dat niet zo: ik hoop in dit boek te zien hoe Peter Wells omgaat met het onderzoek naar hoe de waargenomen wereld — de waarneming van de wereld — in het tijdperk voor de jaarwisseling verschilt van die van ons. Dat is in wezen dezelfde vraag als die naar de mate van abstractie in het denken van de mensen in de negentiende eeuw, een kwestie waar James Flynn een begin van een (hypothetisch) antwoord heeft gegeven, kijkend naar de ontwikkelingen over de twintigste eeuw heen, in abstracte intelligentie. Voor een indruk van het boek: zie hoofdstuk 1 pdf.

Jacob de Gelder Allereerste gronden der Cijferkunst online archive.org [de KB heeft exemplaren van de 2e, de 3e en de 5e druk]

Honderd jaar denksommen

[blz. 44-45. Willem Bartjens, 14(2), pp. 19-19.]

Een bijzonder betoog: De Moor laat zich kritisch uit over die denksommen, ik kan het alleen maar met hem eens zijn. En dan schiet hij toch terug in de realistische rekenkramp:

Matth. van Olm (1808). Rekenboek van Jan van Olm. Dertiende druk. Vermeerderd in vele regelen. Groningen: N. Veenkamp en J. Groenewolt. online

• Het rekenen schijnt in het eerst een moeilijke kunst, maar op den duur beloond zij den arbeid dien Gij aan haar besteedt, op eene alleraangenaamste en nuttigste wijze, terwijl, zij tevens voor een der beste middelen mag gehouden worden, om uwe verstandelijke vermogens meerder te ontwikkelen en uw oordeel op te scherpen.

H. J. Emous & P. J. Kloppers (1906). Beknopte pedagogiek ten behoeve van christelijke normaallessen. Amsterdam: Boekhandel vh Höveker & Wormser.

• Het rekenonderwijs leert het antwoord vinden op de vraag: hoeveel? die in het leven op allerlei gebied en op zoo velerlei wijze kan gedaan worden.
  De verstandelijk vormende waarde van het rekenen is vaak overschat. Voorstellingen en begrijpen brengt het aan, doch die zich alleen tot hoeveelheden, verhoudingen en bewerkingen bepalen. Het leert oordeelen, inductief en deductief denken, maar wederom over hoeveelheden enz. Wie arithmetisch juist en vlug denkt, is daardoor nog niet bekwaam geworden om juiste oordeelen te vormen op ’t gebied van de kennis der natuur, de geschiedenis, de aardrijkskunde, de taal of eenig ander vak van kennis. Bij die andere vakken is evenwel de rekenkunde als kennis en vaardigheid van groot belang, zoodat zij in dat opzicht de mogelijkheid om grondige kennis en juist inzicht te verkrijgen ten zeerste verhoogt. Maar op zich zelve beschouwd, kan zij er geen aanspraak op maken eene alzijdige geestesgymnastiek of het voortreffelijkste middel te zijn om veelzijdig te leeren denken.

A. Treffers & M. van den Heuvel-Panhuizen (2012). Lessen uit het verleden — traditionele rekenmethodes en hun leeropbrengsten. Panama-post, 31(1) 3-13.

• Kennelijk wel een uitvoerige verdediging van kroonjuwelen uit het gedachtengoed van het realistisch rekenen, met veel aandacht voor het thema van het leren denken’ en ‘wiskunde als activiteit’.

D. van Dantzig (1938). Vragen en schijnvragen over ruimte en tijd. Een toepassing van den wiskundigen denkvorm. Rede TH Delft

• Onophoudelijk worden wij door pers, film en radio van alle zijden gebombardeerd met woorden, groote en zware woorden, brisantwoorden en gifwoorden, maar ook liefelijke en schoonschijnende narcosewoorden. Maar waar zijn onze pantserplaten en antidota daartegen? Een nuance in woordkeuze on ontonatie van spreker of schrijver brengt ons en millioenen anderen tot wanhoop of woede, tot enthousisasme, tot afschuw, haat of mededoogen. En welken blijvenden invloed hebben al die woorden op ons? Dènken wij nog zoals wij vroeger dachten? En willen wij nog wat wij vroeger wilden? En hoe zullen wij in de toekomst denken en willen? Zullen wij dan denken zoals wij thans wenschen te zullen denken? En zullen wij dan willen wat wij thans willen willen?

  In dit warnet van vragen enm schijnvragen kunnen wij in de begrippenanalyse, gedemonstreerd in den wiskundigen denkvorm, een gids vinden. Tegen al deze geweten en ongeweten psychosche invloeden kunnen wij in verbetering van onze denktechniek een wapen smeden. En dàt een dergelijke wapening van onzen geest noodig, dringend noodig is, is mijn diepste obertuiging.

  blz. 20-21

• Gerard Alberts (2000). David van Dantzig, wiskundig omnivoor. NAW 5/1 september. pdf

B. L. van der Waerden (1950). Over de ruimte. Rede UvA

• Een interesssante demonstratie van ‘wiskundig denken’, met hulp van Kant. Dit denken is dus niet simpel of vanzelfsprekend.

A. Heyting (1936). De ontwikkeling van de intuitionistische wiskunde. Openbare les UvA

• Wie zich voor het eerst in de intuitionistische wiskunde verdiept, zal in het begin vooral de uiterst kritische houding opmerken, die de intuitionisten tegenover de klassieke wiskunde aannemen. De voornaamste grief, die zij tegen de gangbare wiskunde hebben, bestaat hierin, dat deze aan de wiskundige individuen als natuurlijke getallen of reële getallen een zeker bestaan onafhankelijk van ons denken toekent, en daarvan ook in de bewijzen gebruik maakt.

  openingszin

J. F. Koksma (1938). Existentiebewijzen in de wiskunde. Rede, VU [€ 1 boekenmarkt 6-2011]

• En ook dit is een publieke oefening in de onhandigheid van ‘wiskundig denken’: het leidt tot diepe kwesties.

Marcel V. J. Veenman, Jan J. Elshout & Joost Meijer (1997). The generality vs domain-specificity of metacognitive skills in novice learning across domains. Learning and Instruction, 7, 187-209. abstract

Lyn English (Ed.) (2004). Mathematical and Analogical Reasoning of Young Learners. Erlbaum. [als eBook in KB] reviewed

Kleine kinderen (t/m groep 4) als redeneerders en probleemoplossers. Waarom zou dat niet kunnen, al is het maar in rudimentaire vorm? English is zich wel bewust van het risico om rijpingseffecten aan te zien voor onderwijseffecten, maar overigens komt dit boek mij als rijkelijk romantisch voor. Ik moet het maar eens wat nauwkeuriger gaan bekijken, in ieder geval hoofdstuk 2 en de beide hoofdstukken van de editor, omdat dit een heel specifieke oefening is in de thematiek van deze webpagina: wiskunde leren is leren denken.

De reviewer, Bjrath Sriraman, schrijft:

“It is alarming to note that although analogical reasoning was never explicitly taught the children improved significantly in this facility, whereas their mathematical reasoning did not show any significant or dramatic gains in spite of the explicit instruction.”

A. H. van der Hoeve, Ph. Kohnstamm & G. van Veen (1935). Stil-lees-stof als denk-materiaal en denk-maatstaf. Een onderzoek aangaande de vorming en toetsing van 'theoretische intelligentie'. J. B. Wolters' Uitgeversmaatschappij. Mededelingen van het Nutsseminarium voor Paedagogiek aan de Universiteit van Amsterdam. [aanwezig: KB; UB Leiden in de reeks Mededelingen van het Nutsseminarium] 208-245 - 246-261 - 262-288

B. G. Palland (1935). Een intelligentieonderzoek op een tiental Amsterdamse scholen. Mededelingen van het Nutsseminarium voor Paedagogiek aan de Universiteit van Amsterdam. No. 25. J. B. Wolters Uitgevers-Maatschappij. pdf 30Mb scan

• Mededeling No. 8 van ’t Nutsseminarium voor paedagogiek, getiteld: “Plaats en betekenis van het stillezen in onze L. S.” door G. v. Veen, bleek van grote betekenis te wezen voor een vernieuwing van ons onderwijs; op suggestieve wijze werd aangetoond, dat onze school, wilde ze betekenis hebben voor de vorming van ’t intellect, wilde ze den leerling brengen tot zelfstandig logisch denken, haar eenzijdige waardering van parate kennis zou moeten herzien en meer betekenis zou moeten gaan hechten aan zelstandige verwerking van leerstof en de weergave daarvan.

  Deze kwestie was niet alleen van belang voor ’t aaneensluitingsvraagstuk, doch voor ’t onderwijs in al zijn geledingen; ook de klassikale school zou een belangrijke vernieuwing en verbeterin gondergaan, als ’t mechanische element (’t instampen van veel kaart- en jaartallenkennis, eindeloze dressuur in ’t cijferen etc.) wat meer plaats zou maken voor oefening in zelfstandig logisch denken.

  blz. 5

• Kort samengevat wensten we het volgende te onderzoeken:
  ( . . . )

  6e. Hoe zullen de resultaten van een stuk “rekenwerk” correleren met de resultaten van de overige denktests? (Hierbij werd rekenwerk gekozen, dat niets gemeen heeft met de bekende beredeneerde vraagstukjes, dat niet mechanisch an worden opgelost, doch dat beschouwd kan worden als denkoefening).

  7e. Is het mogelijk ons zaakonderwijs zodanig in te richten, dat het dienstbaar wordt gemaakt aan het zelfstandig leren denken?

  b;z. 6

• De opgaven

  
  Hoe men zout verkrijgt
  ( . . . )
  IV ZOUT

  
  A. In 1932 werd in Nederland ingevoerd:

  
  

  uit Duitschland . . . . . 66601 ton zout

    ,, Engeland . . . . . . . 1519    ..     ..

    ,, Frankrijk . . . . . . 12754    ..     ..

    ,, Rusland . . . . . . . . 1424    ..     ..

    ,, Portugal . . . . . .  10246    ..     ..

    ,, Spanje . . . . . . . . 14387    ..     ..

  
  De prijs van ’t zout was ƒ 15,50 per ton.

  
  

  1. Plaats de landen in volgorde, zoodat No. 1 ons ’t meeste zout levert en No. laatst ’t minste: 1 = . . . . . . , 2 = . . . . . . , = . . . . . . , 4 = . . . . . . , 5 = . . . . . . , 6 = . . . . . . ,
  2. Voor hoeveel geld aan zout voerde Frankrijk bij ons in? Voor ƒ . . . . . .
  3. Voor hoeveel geld voerde Spanje meer bij ons in dan Portugal& Voor ƒ . . . . . .
  4. Hoeveel ton voerden Duitschland, Portugal en Spanje samen bij ons in? . . . . . . ton.

     
     B.
     In 1931 werd in Nederland:

         ingevoerd . . . . . . . . 117212 ton zout

         uitgevoerd . . . . . . .             6   ,,     ,,

     
     In 1932 werd in Nederland:

         ingevoerd . . . . . . . . 107984 ton zout

         uitgevoerd . . . . . . .           18   ,,     ,,

     
     

     1. Was de invoer in 1932 grooter of kleiner dan in 1931?

        (Antwoord: . . . . . . . . Het verschil is . . . . . . . ton).

     2. Hoeveel ton is de invoer in 1931 en 1932 samen? . . . . . . . ton.
     3. Hoeveel kg is de uitvor in 1931 en 1932 samen? (1 ton = 1000 kg) . . . . . . . . kg.
     4. Hoeveel ton werd er in 1932 meer ingevoerd dan uitgevoerd? . . . . . . . ton.

        De prijs van ’t zout was ƒ per ton.

     5. Wat is de prijs van al ’t zout, dat in 1931 werd ingevoerd? ƒ . . . . . .
     6. Voor hoeveel geld werd er in 1931 meer ingevoerd dan uitgevoerd? Voor ƒ . . . . .

     blz. 10-11

• ( . . . ) rekentest, eveneens bedoeld als denktest. Het mechanische element was hier geheel uitgeschakeld; er was geen enkel clichévraagstuk bij en er werd een beroep gedaan op inzicht, op logisch denken.

  We hebben dus op deze wijze werk samengesteld, waarin de afscheiding der vakken is doorbroken: taalonderwijs in de ruimste zin van ’t woord, rekenen, natuurkunde en aardrijkskunde zijn hier tot een organische geheel versmolten.

  blz. 16

• De resultaten van Z4 (de rekentest)

  
  De slechte resultaten van vele leerlingen zijn vooral veroorzaakt door ’t onnauwkeurig lezen van de opgaven; met ’t cijfeen, ’t mechanische gedeelte, hadden de kinderen over ’t algemeen zeer weinig moeite! Dit bleek vooral bij opgave 1. Het plaatsen in volgorde is niet een ‘gewoon’ rekenkundig vraagstuk en ’t is merkwaardig, hoe vaak deze overigens zeer eenvoudige opgave, niet tot voldoend resultaat heeft geleid. De protocollen van een groep van drie kinderen (zie ’t volgende hoofdstuk) zullen een duidelijk inzicht geven, van welke aard hier de meilijkheden zijn. Zodra de kinderen dat rijtje getallen van opgave A zien, beginnen ze te cijferen: alles staat zo mooi onder elkaar, dus optellen! Ze vragen zich absoluut niet af, wat er gevraagd wordt doch gaan zeer conscientieus aan ’t optellen. Dan gaan ze verder en ontdekken ’t gegeven: ‘De prijs van ’t zout was ƒ 15,50 per ton’.

  Onmiddellijk reagen ze nu met ‘O, dan moet je vermenigvuldigen!’ en een minuut of ten zijn ze bezig met de zes vermenigvuldigingen.

  En dan eindelijk lezen ze: 1. Plaats de landen in volgorde. De verstandigen komen dan tot de ontdekking dat ze monnikenwerk hebben verricht en beginnen met een zucht nu opnieuw. De minder intelligenten menen: ‘De meester heeft zich vergist, want dit is reeds de derde som’. Merkwaardig is dan weer, dat velen klagen, dat dit in volgorde schrijven toch geen ‘rekenen’ is en dit zal dan ook wel de reden zijn, waarom zo vele kinderen ook, die overigens dit werk goed maakten, de landen wel in de juiste volgorde plaatsten, doch achter elk land vermeldden, voor hoeveel gulden het in ons land invoerde.

  De kinderen zijn hier geheel in de reken-attitude: er moeten cijfers bij te pas komen.

  Bij opgaev B. hadden de meeste kinderen geen moeilijkheden meer: de ervaring bij opgave A. gedaan, maakte, dat alles nu vlot verliep. De protocollen, die we beneden zullen geven van ’t groepswerk, zullen evenwel bewijzen, dat er toch ook nog leerlingen waren, die er voor de tweede keer nàg eens inliepen en zonder op de vraag te letten, aan ’t optellen of aftrekken gingen.

  Overigens werden vooral fouten gemaakt

  1. door onnauwkeurig lezen: als de prijs werd gevraagd, werd ’t aantal tonnen gegeven etc.
  2. door ’t verkeerd plaatsen van ’t decimaalteken.
     ’t Kind scijnt geneigd te zijn, deze fout zeer gering te achten: als ’t antwoord overigens goed is, bekommeren ze zich weinig meer om de ‘komma’ en dringt het niet tot hen door, dat hun antwoord tien of honderd maal te klein of te groot is.

  blz. 74

• ---

               J.     M.    Totaal
  

  ---

  P.-1         4.2    2     3.2
  P.-2         4.8    5.4   5.2
  V.-1         7.2    6.3   6.7
  V.-2         5.1    6.1   5.4
  M.-j         7.9    ---   7.9
  M.-m         ---    7.3   7.3
  B.           7.6    6.2   7.3
  B. Dalton    8.5    8.4   8.4
  Mont.        5.9    7.1   6.4
  
  Totaal       6.8    6.2   6.5
  P.-groepswerk             6.9   
  

  ---

  blz. 75

Ryle, Gilbert Ryle (1971). Collected papers. Volume II: Collected essays 1929-1968. Hutchinson of London. isbn 0091044200

• Abstractions 415 (reprinted from 'Dialogue, Canadian Philosophical Review), vol. 1, 1962)
  St. Augustine said: ‘When you do not ask me what Time is, I know perfectly well; but when you do ask me, I cannot think what to say.’ What, then, was it that he knew perfectly well, and what was it that he did not know? Obviously he knew perfectly well such things as these, that what happened yesterday is more recent than what happened a month ago; that a traveller who walks four miles in an hour, goes twice as fast as a traveller who takes two hours over the same journey. He knew how to say things and how to understand things said to him which specified dates, durations and times of day; epochs, seasons and moments. He knew when it was midday and he could use the calendar. He could cope efficiently and easily with concrete chronological and chronometrical tasks. He could use and understand tensed verbs. What he could not do is to give any reply at all to such abstract questions as these: what is it that there is twice as much of in a fortnight as in a week? Why could Time, unlike a battle, never have started, and why can Time, unlike a concert, never come to a stop? Does Time flow on at an uniform or an irregular speed, and, in either case, is its speed measured in a second sort of Time? In short, what is Time — is it a Thing or a Process or a Relation? Is it a sort of cosmic river, only one without any tangible water between its non-existing banks? One which flows out of no spring and pours out into no ocean?

  We might say that Augustine, like anyone else, could answer concrete factual questions about times; but that, like everyone else, he could not answer abstract questions about the concept of Time. But what is this difference between concrete or factual questions and abstract or conceptual questions?

  Dialogue, Canadian Philosophical Review), vol. 1, 1962, p. 5. Reprinted in Gilbert Ryle (1971). Collected papers. Volume II: Collected essays 1929-1968. p. 435

• Thinking thoughts and having concepts 435 (translated form the French in 'Logique et Analyse', no 20, 1962) - Teaching and training 451 (from The concept of education, ed. R. S. Peter, 1967) - Thinking and reflecting 465 (from 'The human agent', Royal Institute of Philosophy Lectures, vol. 1, 1966-67) - The thinking of thoughts What is 'le Penseur' doing? 480-496 (from 'University lectures', no. 18. 1968)

Janet Gail Donald (2002). Learning to think. Disciplinary perspectives. Jossey-Bass info and review by William Peirce; Another review by Perry Klein

A. Vermandel (1980). Wiskundig denken in de kals. Euclides, 56, 2, 55-64. pdf

Uitvoerig artikel, maar ik kan hier dus niets mee. Verwijst vooral naar Galperin, wat moeten we daarmee?

G. Heymans (1923 4e). Die Gesetze und Elemente des wissenschaftlichen Denkens. Verlag von Johann Ambrosius Barth.

online edition 1905

John Locke, met dank aan Paul Westerbeek: tweet

(1881 edition) Locke's conduct of the understanding. Oxford, At the Clarendon Press. With introduction, notes etc by Thomas Fowler. archive.org

Locke Some thoughts concerning education [par 180 on Arithmatick] archive.org

https://twitter.com/benwilbrink/status/625629937727369216

L. E. Sigler (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer. isbn 0387407375, 363 pp. large octavo paperback

Pisano does not promote his math as a vehicle to develop general reasoning abilities, as the citation below demonstrates. On the contrary, he admonishes his readers to practice, and through practice to develop automaticity in the basic calculations. Also in this way he does not expect ‘transfer’ from numerical facility in itself to any practical application: he gives extensive treatments and examples of the many practical applications of arithmetic and algebra in his time. Doesn’t he trust his readers to develop their own practical applications, or is it his conviction that every application in itself is not immediately transparent to the novice learner (to say the least)? Going to so much trouble (even this printed book is almost 700 pages long!) is testimony to his conviction that functional use of arithmetic in situations of daily (vocational) life itself needs explicit instruction and exercise.

• To be sure, this book looks more to theory than to practice. Hence, whoever would wish to know well the practice of this science ought eagerly to busy himself with continuous use and enduring exercise in practice, for science by practice turns into habit; memory and even perception correlate with the hands and figures, which as an impulse and breath in one and the same instant, almost the same, go naturally together for all; and thus will be made a student of habit; following by degrees he will be able easily to attain this to perfection. And to reveal more easily the theory I separated this book into XV chapters, as whoever will wish to read this book can easily discover.

  L. E. Sigler (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer. p. 15
  http://www.springer.com/gp/book/9780387407371

De axiomatische methode. Descartes‡rsquo; Cogito, ergo sum. En alles wat daar dan uit volgt. Zo bedoelt Locke het misschien ook? In de middeleeuwen was ‘denken’ gelijk ‘logisch denken’: in disputaties. Zou sterke culturele root kunnen zijn van het idee dat wiskunde je leert denken.

Bernard Suzanne (2004). "Let no one ignorant of geometry enter"Frequently Asked Questions
about Plato

The citation reminds one of the subtitle of Stellan Ohlsson’ Deep Learning: How the Mind Overrides Experience.

• ( .. ) for Plato, geometry, as well as all other mathematical sciences, is not an end in itself, but only a prerequisite meant to test and develop the power of abstraction in the student, that is, his ability to go beyond the level of sensible experience which keeps us within the ‘visible’ realm, that of the material world, all the way to the pure intelligible.

Hans Freudenthal (4 augustus 1951). De Groene

• In één jaar tijds slagen we er met ons rekenonderwijs in, om een kind het denken af te leren — natuurlijk niet over de hele linie, maar bij de wet is dan ook de duur van de leerplicht op zeven jaar gesteld, en in hardnekkige gevallen komen er nog een vijf à zes jaar middelbaar onderwijs bij.

  Dat klinkt hatelijk, want spannen miljoenen onderwijzers en leraren over heel de wereld zich niet juist in, om de jeugd te leren denken?

  De Groene, 4-8-1951. Geciteerd in Feestboek. Prof. dr. Hans Freudenthal 70 jaar. Mathematisch Instituut/IOWO. blz. 16

Paul Westerbeek citeert Francis Bacon: Twitter

=

Dr. Walther Lietzmann (1919, 1923). Methodik des mathematischen Unterrichts. 1. Teil: Organisation, Allgemeine Methode und Technik des Unterrichts. 2. Teil: Didaktik der einzelnen Gebiete des mathematischen Unterrichts (Rechnen - Planimetrie - Stereometrie - Trigonometrie - neuere Geometrie - Arithmetik, Algebra und Analysis Leipzig: Verlag von Quelle und Meyer

• ]Zweites kapitel: Bedeuting und Aufgabe des mathematischen Unterrichte
• 1. Die Wertschätzung des mathematischen Unterrichtes im allgemeinen
• 41
• 2. Mathematik und logische Schulung 48
• 3. Mathematik und Schulung des Anschauungsvermögens 54
• 4. Die Schulung des Grössenerfassung 59
• 5. Der materiale Zweck des mathematischen Unterrichtes. 60
• 6. Einige Aufgaben des mathematischen Unterrichtes 67
• 7. Die Mathematik im Kreise der andren Unterrichtsfächer 72. 8. Der mathematischen Unterricht und der krieg 84

Suggesties voor verlevendiging van het wiskunde-onderwijs op de basisschool (door leden van de Engelse Ass. Of Teachers of Mathematics). Malmberg; 1972. Grappig, maar is het zinvol?

• Wiskunde beperkt zich niet tot getallen en maten, ze is overal aanwezig waar de menselijke geest klassificeert en structuren schept. Daarmee wordt het aantal experimenten dat wiskundig relevant lijkt te zijn, enorm vergroot en dat geeft de onderwijzer tal van mogelijkheden, situaties te scheppen waar wiskunde aan te pas komt, en die uitnodigen tot wiskundig denken. Een direct gevolg is, dat in de klas de wiskunde gevarieerder en dus plezieriger wordt. En bovendien: het kind kan situaties onderzoeken die binnen zijn bereik liggen en die tot echte wiskunde voeren, zonder dat daarvoor een arsenaal nodig is van geheugenkennis en ingeoefende algoritmen.

  blz 8

• tweet
• The idea to teach children to think like a mathematician is not supported by any scientific research I know of. It is harmful quackery. I know what it takes to think like a psychologist: one has to absorb and digest loads and loads of psychology and then some.

Ben Wilbrink (18 aug 2015): Probleempje: ‘thinking skills’ bestaan niet twitter thread

Ehrenfest-Afanassjewa, T. & Freudenthal, H. (1960). Kan het wiskundeonderwijs bijdragen tot de vorming van het denkvermogen? Purmerend: Muusses, 1951. De bijdrage van Ehrenfest-Afanassjewa is opgenomen in: Didactische opstellen wiskunde. Zutphen: Thieme, 1960, 25-41.

Originele publicatie van Tatjana: 1924 Wat kan en moet het meetkunde-onderwijs aan een niet-wiskundige geven online versie.

De brochure uit 1951 is niet in mijn bezit, nog niet gevonden. Hij is besproken door H. Streefkerk, in Euclides 1951/52 blz. 57-59 pdf Ook de Didactische opstellen wiskunde heb ik nog niet kunnen bemachtigen.

Paul Westerbeek (23 oktober 2015). Al in 1939 vroeg E.W. Beth zich dit af: Twitter

• Zo kom ik dan tot mijn eigenlijk thema: welke gegevens levert ons de wetenschappelijke psychologie met betrekking tot de struc- tuur van het wiskundig denken en de ontwikkeling daarvan bij onze leerlingen en welke argumenten en richtlijnen verschaffen ons die gegevens voor ons streven naar vernieuwing van hét wiskundeonderwijS?

  http://vakbladeuclides.nl/archief/pdf/16_1939-40_01.pdf

Historisch interessant. Beth noemt Selz wel, maar gebruikt hem niet (Duitse denkpsychologie, de inspirator van A. D. de Groot). Beth had niet de beschikking over boeken van Edward Thorndike. Hij vermoedde dat die niet over ‘wiskundig denken’ gaan. Hm.

‘Wiskundig denken’ is een containerbegrip: er zit van alles en nog wat. Geen goed uitgangspunt voor wat voor analyse dan ook. Mijn suggestie voor een eerste stap: doe niet alsof wiskunde iets speciaals is.

De algemene vraag is: hoe gaan experts te werk, hoe is dat anders dan hoe nieuwelingen te werk gaan, hoe komen nieuwelingen uiteindelijk tot de expertise van de vakman/vrouw? Begin dus et onderzoek in de lijn van Anders K. Ericsson. Allerlei kleinere kwesties zijn daar dan weer een spin-off van, ga daarvoor te rade bij de cognitieve psychologie: cognitieve architectuur (bekendst: ACT-R van Jon Anderson, SOAR van Allen Newell).

Thorndike maakte een eind aan de nauw verwante illusie dat je van rekenen (wiskunde/Latijn) ‘leert denken’. Je leert rekenen. De vooroorlogse Duitse denkpsychologische inzichten waren een goed begin, zoals ook die van de Gestalt psychologie. Thorndike’s bijdrage, het associationisme, is nog steeds en zal altijd een belangrijk onderdeel van de cognitieve psychologie blijven. Het behaviorisme (Skinner) heeft geprobeerd ALLES te verklaren met stimulus-respons-theorie. Dat was niet echt snugger ;-)

Ben Wilbrink (24 oktober 2015). Isn’t ‘Learning math = learning to think’ a reversal of Boole’s ‘An investigation of the laws of thought’? (full text) Twitter

De ‘vormende waarde’ van wiskundeonderwijs een geloof. Als stelling is het waarschijnlijk niet onderzoekbaar. Op zijn popperiaans: niet falsifieerbaar. Edward Thorndike (eind 19e eeuw) heeft het idee ontkracht, door te laten zien dat het zo niet kan werken.( wat niet hetzelfde is als het bewijs dat het niet werkt).

H. Freudenthal (1967). Wiskunde in wetenschap en dagelijks leven. Wereldakademie; De Haan/Meulenhoff.

• De wiskunde vertelt ons niets over de werkelijkheid, maar alleen, dát en hoe het een uit het ander volgt, en van de juistheid van deze gevolgtrekkingen kan ieder zich met zijn eigen verstand overtuigen.

  blz. 6

Nu schrijft Hans Freudenthal hiermee natuurlijk een populariserend werk over wiskunde, dus moet ik niet op ieder slakje zout gaan leggen. Maar dit is toch wel een wonderlijke uitspraak. En wat kan hij met de volgende uitspraak voor ogen hebben gehad?

• Steeds verder breidden de toepassingsmogelijkheden der wiskunde zich uit. En toch zal aan het begin van deze eeuw amper één van de honderd leerlingen de op school geleerde wiskunde ooit toegepast hebben.

  blz. 7

Ik vermoed toch dat Freudenthal dit uit zijn duim heeft gezogen. Maar hij heeft er een bedoeling mee, want hij gaat verder:

• Maar waarom zouden ze dan wiskunde leren? Men zei dat de wiskunde het verstand vormde en scherpte. Dat is misschien overdreven, maar er zit wel wat waars in. Een bedreven mathematicus bedient zich voortdurend van de denkmethode der wiskunde, bijna zonder zich te realiseren, dat en hoe hij dat doet.

  blz. 7

Freudenthal heeft groot gelijk met deze laatste uitspraak, mits hij die beperkt tot de beoefening van de wiskunde. Want daarin zit hem het venijn. Freudenthal is zo overtuigd van zijn denkvermogen, dat hij niet beseft, en tot op zeer hoge leeftijd niet beseft, dat die pure denkkracht geen bestaan heeft buiten zijn geliefde wiskunde. Op het terrein van de psychologie, bijvoorbeeld, is hij een buitenstaander die zich psychologische wijsheid aanmeet die hij absoluut niet heeft. Om over de experimentele methoden van de psychologie maar helemaal te zwijgen. Met zijn wiskundige olifantspoten in de psychologische porceleinkast: kan dat goed gaan?

• Wat zijn nu deze denkmethodes? Op deze vraag kan men geen kort, dudielijk antwoord geven, net zo min als op de vraag, hoe men zwemt. Men kan iemand wel laten zien hoe men zwemt, zodat hij het na kan doen. Evenzo kan men iemand het wiskundig denken voordoen, zodat hij het na kan doen. En dat is de bedoeling van dit boek.

  blz. 7

Kijk, dat bedoel ik nou. A mathematician gone wild. En meteen wordt dan het rekenen en de algebra zoals dat op school wordt beoefend, weggezet als oude wiskunde die ondertussen geen wiskunde meer is want door rekenmachines is overgenomen. Zie hier een gedachtengang die van grote invloed geweest moet zijn op de ontwikkelingen in het ‘realistisch rekenen’.

• Wat houdt dat nu eigenlijk in, die wiskunde waar de mathematicus over nadenkt? Ook dat kan alleen aan voorbeelden duidelijke gemaakt worden. Wel kan men van allerlei bezigheden zeggen, dat ze niet tot de wiskunde horen. Bijvoorbeeld het rekenen. Er was eens een tijd, waarin rekenen een kunst was voor geleerden, maar die is al lang voorbij. Reeds lang voor de uitvinding der rekenmachines was de kunst van het rekenen al zo georganiseerd, dat het volkomen mechanisch, d.w.z. zonder na te denken, gedaan kon worden. Ook het goochelen met algebraïsche formules was al geen wiskunde meer, hoewel het, evenals het rekenen, van nut kan zijn bij het mathematisch denken. Het uitvinden van onze rekenmethodes en onze algebra was natuurijk wel een wiskundige prestatie, en zo zijn ook tegenwoordig de wiskundigen nog steeds bezig met het zoeken naar eenvoudige rekenmethodes, ook wel algorithmen genaamd. Heeft men een algorithme eenmaal ontwikkeld, dan kan men de rest aan een rekenmachine overlaten. Wat de rekenmachine doet, is geen wiskunde meer, maar om een rekenmachine te laten functioneren, heeft men wiskunde en wiskundigen nodig.

  blz. 7

Niemand had kennelijk in de zestiger en zeventiger jaren een vermoeden dat gedachten zoals deze, die van een sloper van het reken- en wiskundeonderwijs zijn. Freudenthal beweert hier in rap tempo van alles en nog wat, maar ieder van die uitspraken behoeft precisering en empirische toetsing. Die theorie en empirie, welke Freudenthal bij voortduring verre van zich wierp, zouden deze simpele gedachten hebben gelogenstraft, en Nederland voor een reken- en wiskunderamp hebben behoed. Althans, dat is mijn counterfactual voorspelling.

Harm Jan Smid (20000. De betekenis van David van Dantzig voor het onderwijs in de wiskunde. In Gerard Alberts en Hendrik Blauwendraat (Red.) (2000). Uitbeelden in wiskunde. Proceedings van het symposium Van Dantzig 2000 (39-57). CWI. isbn 9061964954

The usual suspects: Ehrenfest, Dijksterhuis. Wiskunde en leren denken

• Het beslissende motief voor dat wiskundeonderwijs was voorr beiden [E & D] het idee van de vormende waarde, kort gezegd de gedachte dat goed wiskundeonderwijs de leerlingen goed leerde denken — ook en vooral buiten het terrein van de wiskunde. Dat was al een heel oud idee, in de negentiende eeuw in het onderwijs opnieuw sterk in zwang gekomen en door Dijksterhuis aangegrepen om zijn opvattingen over wiskundeonderwijs te ondersteunen. Dat idee werd uiteindelijk ook door mevr. Ehrenfest onderschreven.

  blz. 42

G. Bosch Morisson, schoolonderwijzer te Z. Boemel (1823). Rekenboek, bijzonderlijk geschikt, om bij de jeugd het denkvermogen te oefenen en het oordeel op te scherpen. Eerste stukje. Zaltbommel: Johannes Noman, 1823 webpagina

• Hoewel de rekenkunde uit haren aard bijzonderlijk geschikt is, om bij de jeugd het denkvermogen te oefenen en het oordeel op te scherpen, leert echter de ondervinding, dat, schoon bij het beste onderwijs, de kinderen veelal deze voortreffelijke wetenschap werktuigelijk beoefenen. Met de uitgave dezer voorstellen heb ik getracht, zoveel mogelijk, dit gebrek voortekomen. Mijn voornemen is geenszins geweest een koopmans rekenboek of eene rekenkundige theorie te leveren; neen, in beiden is genoegzaam en op eene wijze voorzien, dat desaangaande niets meer te wenschen overblijft. Het eenigste, wat er naar mijn inzien ontbrak, was eene verzameling van voorstellen, naar eene geleidelijke opklimming geordend en stof behelzende, niet alleen ter toepassing der geleerde theoretische lessen, maar tevens tot oefening van het denk vermogen; en eene verzameling van dezen aard bestaat, voor zoo verre mij bekend is, nog niet. ( . . ) — Wanneer men de voorstellen met eenige oplettendheid nagaat, zal men bespeuren, dat elk derzelve een bijzonder nadenken vereischt, en de leerling er een gemaakt hebbende, het volgende niet werktuigelijk daarnaar maken kan: hier komen omstandigheden en gevallen voor, die tot de oplossing niets doen; dáár komen zij allen te pas, en dezelve niet in aanmerking nemende, zou men een onjuist antwoord bekomen; in één woord, meest al de hier voorkomende voorstellen vorderen eenige redenering, eer men tot de oplossing kan overgaan, en strekken alzoo, om de jeugd te leeren vergelijken en onderscheiden.

  Voorberigt van G. Bosch Morisson, schoolonderwijzer te Z. Boemel (1823). Rekenboek, bijzonderlijk geschikt, om bij de jeugd het denkvermogen te oefenen en het oordeel op te scherpen. Eerste stukje. Online: http://goo.gl/WMx3Lz

• Een letterzetter, die vlug zijn werk verstaat, kan in iedere sekunde eene letter zetten. Wanneer nu zoodanig iemand 216000 sekunden lang dien arbeid verrigt, en alzoo eene week bezig is, hoeveel letters zal hij dan ten einde van eene week gezet hebben?

  blz 2

  Gij weet, dat een dozijn 12 is, maar kunt gij nu ook berekenen hoeveel cents Maria uitgeven moet, als zij 12 dozijn appelen koopt en het dozijn voor 15 cents bedongen heeft? Zeg mij ook, hoeveel appelen zij koopt!

  blz 9

Th. G. D. Stoelinga & M. G. van Tol (1958 16e, 1959 16e, 1961 11e). Leerboek der algebra voor, gymnasium en lyceum. Deel I, II, III Tjeenk Willink.

• De nodige routine kan worden verkregen door het maken van een voldoend aantal eenvoudige vraagstukken, maar het oefenen mag zeker niet uitsluitend een mechanistisch werken worden. Bij het maken van vraagstukken moet ook het denken van de leerling geactiveerd worden.

  deel I voorwoord bij de 15e druk

Bea Ros (12-2006). Interview met neuropsycholoog Jelle Jolles 'Stem onderwijs af op ontwikkeling brein' Didactief pdf

Ik heb er een tweet aan gewaagd.

• We moeten kinderen niet leren rekenen, we moeten ze leren denken.