http://www.benwilbrink.nl/projecten/realistisch_kolomrekenen.htm
Berlin Declaration on Open Access to Knowledge in the Sciences and Humanities html
Met het verschijnen van het rapport van de commissie-Lenstra is mijn webpagina een tikje overbodig geworden. Dat is mooi, dat maakt tijd en energie vrij voor andere onderwerpen. Lees daarom de aantekeningen bij Lenstra, hieronder, en/of het rapport zelf. Overigens besteedt het rapport begrijpelijkerwijs geen aandacht aan de achtergronden van dat realistsich rekenen (de missie IOWO/Freudenthal Instituut) zelf, dat onderwerp spit ik op deze webpagina graag verder uit.
Deze sectie: 31 december 2010. Onder ‘handig rekenen’ versta ik ook de hap-methoden van het realistisch rekenen, omdat de RR-veronderstelling ooit was dat leerlingen spontaan op deze wijze zouden kunnen rekenen wanneer zij voor het eerst geconfronteerd zouden worden met nieuwe rekenkundige opgaven (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, met hele getallen, decimale getallen, breuken).
Marjolein Kool en Ed de Moor (2009). Rekenen is leuker [dan] als je denkt. Bert Bakker.
Ronald Keijzer (2010). Stand van zaken bij rekenen-wiskunde en didactiek op de lerarenopleiding basisonderwijs. Tijdschrift voor Hoger Onderwijs
Jan Karel Lenstra (Vz.) (4 november 2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), Advies KNAW-commissie rekenonderwijs basisschool pdf
HBO-Raad (3 juli 2009). Kennisbasis rekenen-wiskunde voor de pabo. Eindversie. pdf
Met het verschijnen van het rapport van de Commissie Lenstra, 4 november 2009, gaat een deel van de volgende beschouwingen dubbelop met het genoemde rapport, is mijn indruk. Ik laat mijn tekst toch maar even ongewijzigd, en zal de annototaties bij het rapport hierboven plaatsen, bij het lemma Lenstra.
Basale rekenvaardigheden zijn de grondbewerkingen optellen en aftrekken, en de veel complexere grondbewerkingen vermenigvuldigen en delen. Het rekenonderwijs gaat over veel meer dan alleen deze vaardigheden, maar er zou iets wezenlijk mis zijn met het rekenonderwijs wanneer leerlingen in groep acht een redelijke beheersing van deze vaardigheden ontberen. Helaas is het zo dat een veel te grote groep, laten we zeggen ongeveer een kwart van alle leerlingen, niet behoorlijk kan vermenigvuldigen of delen. In 2008 is de maatschappelijke discussie over mogelijk falend rekenonderwijs losgebarsten, wat aangeeft dat de meningen erover verdeeld zijn, dus ook de meningen over hoe resultaten te interpreteren op internationaal vergelijkende toetsen zoals TIMSS. In dit debat is de aandacht gespitst op methoden die zich baseren op het in het project Wiskobas, in Freudenthal's IOWO, later het Freudenthal Instituut, ontwikkelde realistisch rekenen. Die schijnwerper op het realistisch rekenen is absoluut terecht, omdat vrijwel alle in 2008 in het Nederlandse basisonderwijs gebruikte rekenmethoden op deze heel erg uitgesproken rekenmethodiek zijn gebaseerd. Dan heeft vervolgens de discussie, op zijn minst voorzover in de media gevoerd, de neiging zich te versmallen tot de vraag of onze kinderen nog wel leren staartdelen, en zo niet, of dat dan als de bliksem speerpunt moet worden in verbeteringen van het rekenonderwijs. Voorbeeld van die versmalling is een kort artikeltje van een redacteur van de Volkskrant (14 februari 2009, Kennis, p. 3) dat suggereert dat het gebruik van de hap-methode voor delingen berust op een effectiviteitsonderzoekje dat door een student, tevens leerkracht, was uitgevoerd. Kijk, dat versimpelt de discussie dus grandioos. Ik geef u op een briefje dat niet dit onderdeel van realistische rekenmethoden bepalend is voor het treurige niveau van het Nederlandse rekenonderwijs in basale rekenvaardigheden, maar dat daar allereerst de vakbekwaamheid van leerkrachten om rekenonderwijs te geven de bepalende factor is, naast het onderwijskundig leiderschap van de betreffende school, de relatieve zowel als de absolute hoeveelheid tijd die is te besteden aan het ontwikkelen en bijhouden van deze basale vaardigheden, en dan nog een riedel van relevante samenhangen. [Verschillen in die rekenvakbekwaamheid zijn groot (illustratie daarvan uit de VS: Hill, Blunk, Charalambous, Lewis, Phelps, Sleep en Ball, 2008), ik zou zeggen: doe er iets aan door het rekenonderwijs door speciale leerkrachten te laten verzorgen]. Terugkomend op de staartdeling: ook Jan van de Craats geeft toe dat de staartdeling op zich niet een wezenlijk andere methode is dan de hap-methode, maar een natuurlijk eindpunt in de ontwikkeling van de vaardigheid wanneer de leerling via de hapmethode leert staartdelen. Kijk, dan is de strijd over de staartdeling meteen teruggebracht tot een didactische vraag, en die is heel goed te overzien, en direct in verband te brengen met de vakbekwaamheid van de leerkracht. In deze pagina probeer ik om, tenminste voor mijzelf, aan de hand van de geschiedenis van het realistisch rekenen, internationale onderzoekliteratuur, nationale publicaties, en nog zo wat aan andere wetenschappelijke bronnen, om enige lijn in dit kluwen van overwegingen te brengen. Gebrek aan aandacht voor de rekenvakbekwaamheid van leerkrachten gaat daar mogelijk een sleutelrol in spelen, langs een lijn die al in 1986 door Shulman pdf helder is aangegeven, en die haaks staat op de hedendaagse misvattingen over waar het in het onderwijs om gaat die competentiegericht onderwijs heten.
Aanleiding voor de speurtocht in deze pagina is de rekenconferentie van Beter Onderwijs Nederland in november 2008. Tegen de achtergrond van een nu wel breed in Nederland ontstane overtuiging dat het met het rekenonderwijs op de basisschool niet goed gaat, lag daar de nadruk op de basale rekenvaardigheden zoals die in het Realistisch Rekenen (RR) worden onderwezen. Een makkelijke koppeling is dan: het zal wel aan het kolomrekenen in het RR liggen dat de basisscholieren van tegenwoordig in de eerste klas op hun rekenen moeten worden bijgespijkerd voordat ze aan wiskunde kunnen beginnen. Maar dat is veel te kort door de bocht, zoals Slavin en Lake (2008) in een grondige analyse van hetzelfde probleem in de VS laten zien (haal dat rapport op: hier). Waarschijnlijk is het waar dat het kolomrekenen didactisch rammelt, en is het ook waar dat de rekenachterstanden van basisscholieren niet zijn ontstaan door de gebruikte rekenmethoden die vrijwel allemaal van RR-snit zijn. Het kan zomaar zijn dat er te weinig uren aan basaal rekenen worden besteed, maar mogelijk komt dat dan weer door de opvatting binnen RR dat basaal rekenen niet echt van belang is voor leerlingen (Treffers, NRC 2008), voor Nederland.
Vanwege mijn project Toetsvragen ontwerpen moet ik over dat kolomrekenen weten hoe dat in de wereld is gekomen, wat eraan is onderzocht, etcetera. Kolomrekenen wordt door de realistisch rekenaars zoals Van den Heuvel-Panhuizen (2001) geclaimd als uniek voor het realistisch rekenen. Ik kom bij mijn naspeuringen daarom terecht bij Hans Freudenthal, waarvan ik al veel heb gelezen en heb proberen te begrijpen, bij het Wiskobas-project van het Utrechts IOWO 'van' Freudenthal, de opvolgers daarvan in een Utrechtse vakgroep, het Freudenthal Instituut, en bij de rekenmethode die hieruit is gegroeid: Realistisch Rekenen, Realistic Mathematics Education. Een vreselijke naam, omdat er een impliciet waardeoordeel in schuilt over alle andere rekenmethoden van deze wereld, maar zo schijnt het niet bedoeld te zijn.
De toon van de analyse in deze pagina is scherp, en ik moet daar vooraf het volgende over zeggen. Ik ben gevormd in Utrecht, waar de kritische psychologie van Linschoten grote indruk op mij maakte: zie zijn Idolen van de psycholoog, nu integraal beschikbaar op dbnl. In de psychologie in Nederland geldt dat je uitspraken over de werkelijkheid moet onderbouwen met resultaten van wetenschappelijk onderzoek. Het RR is ontwikkeld aan de universiteit van Utrecht, is niet het product van een sectarische club, maar van wetenschappers die zich in de academische traditie plaatsen. Het probleem is nu dat gezichtsbepalende publicaties, zoals het proefschrift van Treffers (1978/1987), nogal eens uitspraken bevatten die heel ver gaan, die over de wereld gaan, en die geen onderbouwing in deugdelijk onderzoek hebben. Ik zoek deze kritiek niet op, ik kan er eenvoudigweg niet omheen. Wanneer Treffers, of Van den Heuvel-Panhuizen, beweert dat RR 50% op de onderwijstijd voor rekenen bespaart, is dat een giga-claim, en daar hoort giga-goed onderzoek bij dat de claim onderbouwt. Wanneer dat onderzoek er niet is, hebben de claimanten een probleem. En dit probleem doet zich overal voor waar je kijkt, ook in het didactisch werk van Hans Freudenthal. Het is een kwestie van onderzoekcultuur in de Utrechtse onderzoekgroep. Het is niet dat zij wars zijn van empirisch onderzoek, maar zij nemen genoegen met het door leerlingen zelf geproduceerde materiaal, dat uitvoerig wordt geanalyseerd, besproken, in trainingen gebruikt. Dat is allemaal heel goed, voor alle betrokkenen, maar het is niet het materiaal waarmee claims over effectiviteit van RR zijn te onderbouwen.
Wie wil naspeuren hoe het zit met de ontwikkeling van dat RR, en met de effectiviteit daarvan, doet er goed aan bij iedere heftige uitspraak van voorstanders van dat RR na te vragen op welk empirisch onderzoek dat berust, en die publicatie(s) dan ook te analyseren. Voor die analyse is het vaak voldoende om gewoon kritisch te lezen, en bijvoorbeeld na te gaan of leerlingen die aan onderzoeken deelnemen wel een goede doorsnee van Nederlandse leerlingen zijn, evenals hun docenten, en de scholen waar het om gaat. Er is geen methodologische scholing voor nodig om te begrijpen dat een methode die onder experimentele omstandigheden goed werkt, dat mogelijk helemaal niet doet wanneer ze op de markt komt en leerkrachten ermee moeten werken die daar niet om hebben gevraagd en er niet bij worden begeleid. Lees ook tussen de regels door, bijvoorbeeld waar Realistisch Rekenaars zich afzetten tegen het mechanisch rekenen, en vraag je dan af: wordt er van dat mechanisch rekenen niet een caricatuur gemaakt, hoezo is mechanisch rekenen iets waartegen verstandige mensen zich af zouden moeten zetten, hoort er eigenlijk niet in iedere rekenmethode een portie 'mechanisch rekenen' te zitten, wat is er in de wetenschappelijke literatuur eigenlijk bekend over dat mechanisch rekenen, etcetera. Wie een begin van die literatuur wil zoeken, onafhankelijk van het Freudenthal Instituut, kan beginnen met mijn persoonlijke inventarisatie op matheducation.htm voor de internationale literatuur, en matheducation.dutch.htm voor de Nederlandse (in het Nederlands, of over Nederlands wiskundeonderwijs): van de meeste daar genoemde titels is de tekst met een enkele klik binnen te halen.
Bij vergelijking van de resultaten voor rekenen op de PPON van 1997 en 2004, en TIMSS 1996, 2003 en 2007 [80 Mb!], blijkt dat de basale rekenvaardigheden opmerkelijk achteruit zijn gegaan. Kees van Putten heeft een analyse kunnen doen aan de hand van de uitwerkingen van de leerlingen: hebben zij de oplossing op traditionele wijze berekend, met kolomrekenen, of uit het hoofd? En hoe zijn de resultaten dan? Van Putten heeft zijn analyse gepresenteerd op de BRON-conferentie in Driebergen, 22 november 2008; zijn presentatie is beschikbaar op de website van BON. Of zie C. M. van Putten (2005, p. 125-131). pdf
Kort voor de conferentie vond ik een recente studie naar de effectiviteit van rekenonderwijs in de VS, zowel wat verschillende methoden van rekenonderwijs betreft, als verschillende methoden van onderwijs (cooperatief, etcetera). De resultaten uit die studie waren interessant genoeg om ze in blog op de BON-site te melden: blog. Dat leverde talrijke reacties en verdere uitwerkingen op. Uiteindelijk had ik er in het bijzonder behoefte aan om inzicht te hebben in de geschiedenis van het realistisch onderwijs, waar het het kolomrekenen betreft.
blog BON 21 november 2008
Voor degenen die voor de conferentie op 22 november een overzicht willen hebben van hoe het in de VS met het rekenonderwijs gaat:
Robert E. Slavin and Cynthia Lake (2008). Effective programs in elementary mathematics: A best-evidence synthesis. Review of Eduational Research, 78, 427-515.
An educator's summary: http://www.bestevidence.org/word/elem_math_Nov_25_2008_sum.pdf
Full report 2007 text:http://www.bestevidence.org/word/elem_math_Feb_1_2007.pdf
Direct van belang p. 482:
"The debate about mathematics reform has focused primarily on curriculum, not on professional development or instruction (see, e.g., American Association for the Advancement of Science, 2000; NRC, 2004). Yet this review suggests that in terms of outcomes on traditional measures, such as standardized tests and state accountability assessments, curriculum differences appear to be less consequential than instructional differences are. This is not to say that curriculum is unimportant. There is no point in teaching the wrong mathematics. The research on the NSF-supported curricula is at least comforting in showing that reform-oriented curricula are no less effective than traditional curricula on traditional measures, and they may be somewhat more effective, so their contribution to nontraditional outcomes does not detract from traditional ones. The movement led by the National Council of Teachers in Mathematics to focus math instruction more on problem solving and concepts may account for the gains over time on NAEP, which itself focuses substantially on these domains."
Uit het abstract nog: "The strongest positive effects were found for instructional process approaches such as forms of cooperative learning, classroom management and motivation programs, and supplemental tutoring programs. The review concludes that programs designed to change daily teaching practices appear to have more promise than those that deal primarily with curriculum or technology alone."
De auteurs hebben voor hun review 78 onderzoeken gevonden die voldeden aan strenge methodologische eisen. Alles op Amerikaanse bodem, dat wel.
Een goede vertaling is razend moeilijk te maken door alle specifieke context, als ik dat laatste woord zo mag gebruiken. Zo'n vertaling wekt mogelijk verkeerde suggesties.
In de VS is men ongeveer net zo aan het bakkeleien over het rekenonderwijs als wij dat hier doen, en dat geruzie gaat evenals hier vooral over de inhouden van het onderwijs, over wel of niet realistisch rekenen. Tegelijk is er sprake van een heel grote achterstand van Amerikaanse leerlingen op hun leeftijdgenootjes elders in de wereld, als het om rekenen gaat. Uiteindelijk tellen kwaliteiten van het rekenonderwijs op tot prestaties op gestandaardiseerde toetsen, nationaal of internationaal. Daar valt over een miljoen details te struikelen, maar de bottom line is dat kwalitatief beroerd onderwijs uiteindelijk tot uitdrukking komt in de prestaties van leerlingen op deugdelijke toetsen. Als een bepaalde rekenmethode minder deugt dan een andere, moet dat zo ook blijken. Als we dan toch bezig zijn met effectiviteit van rekenonderwijs, kijk dan niet alleen naar de gebruikte methode, maar ook naar kwalificaties van leerkrachten, hun opvattingen over wat rekenen is. Kijk ook naar de algemene onderwijsmethoden: frontale uitleg voor de klas, samenwerkend leren, probleemoplossend leren, en wat niet al. Let op: auteur Slavin is een leven lang bezig geweest met samenwerkend leren, en zou een tikkeltje bevooroordeeld kunnen zijn. Wat blijkt dan als alle data en alle onderzoeken binnen zijn? Welke verschillen in het onderwijs hangen sterker dan andere samen met prestaties op gestandaardiseerde toetsen? Dat zijn de verschillen in algemene onderwijsmethoden, niet die in de specifieke rekenmethoden die zijn gebruikt.
Dit is meer een impressie dan een vertaling. De auteurs hebben in hun tekst ieder woord op een goudschaaltje gewogen, dat maakt hun tekst ook lastig te interpreteren.
Over de rekenproblemen van Sanne (vd Craats) hoeven we m.i. niet zo moeilijk te doen: de wonderlijke methoden van kolomrekenen etcetera hebben evident te maken met de specieke tekorten in de PPON 2004 gesignaleerd voor de basale rekenvaardigheden optellen t/m delen.
Algemeen: Er is in ons land een probleem met de rekenvaardigheid aan het eind van de basisschool, dat lijkt nu wel breed te worden ingezien. De mogelijke oorzaken die daarachter liggen zijn talrijk. De belangen die meespelen, persoonlijke en institutionele, zijn dat ook, zeker. Hoe gaan we die knoop ontrafelen? Slavin en Lake hebben een interessante poging gedaan. Laat alle lokale details buiten beschouwing, dan is op zijn minst de mogelijkheid geopperd dat in de Nederlandse situatie de strijd over de staartdeling en over meer of minder context in wiskundeopgaven, en de opvallend achterblijvende reken- en wiskundeprestaties, alleen in de verte iets met elkaar hebben te maken. Het zou de discussie over realistisch rekenen kunnen ontlasten wanneer die losgekoppeld is van de schuldvraag voor achterblijvende rekenprestaties. En wie in die schuldvraag belang stelt, en dat horen we allemaal te doen, doet er verstandig aan daarbij niet alleen de rekenmethoden te onderzoeken, maar ook nog tenminste een handvol andere belangrijke mogelijkheden. De verdienste van Slavin en Lake is dat ze een aantal van die andere mogelijkheden in beeld brengen. Voeg er zelf, zo je wil, nog overheidsbemoeienis aan toe (financieel, of Dijsselbloemse).
Probleem met die experimentele curricula is natuurlijk dat ze nog geen 'natuurlijke curricula' zijn, landelijk uitgerold, met materiaal van uitgevers, en leerkrachten die niet om de methode hebben gevraagd. 'Methodologisch verantwoord' experimenteel onderzoek laat nog geen harde conclusies toe over landelijk uitgerolde nieuwe rekenmethoden. Is dat ook een deel van het Nederlandse probleem met het rekenonderwijs?
Op de conferentie vandaag heeft Kees van Putten laten zien hoe sterk de cijfermatige rekenvaardigheid is teruggelopen tussen de PPON van 1997 en die van 2004. Gaf hij daar een eenduidige oorzaak bij aan? Nee, diezelfde data geven niet zomaar een oorzaak prijs. Dat de uitwas van het kolomrekenen er iets mee te maken heeft, is wel duidelijk, maar dat kolomrekenen kan evengoed een gevolg als een oorzaak zijn, daar is verdraaid 'handig onderzoek' voor nodig om het duidelijk te krijgen. In zijn openingstoespraak schetste Ad Verbruggen een cultuurschok die veel te maken heeft met grote problemen in het huidige onderwijs. In die visie zijn wij het vooral zelf die collectief dingen doorgedrukt hebben waar we nu spijt van beginnen te krijgen.
Ondertussen zitten schoolleiders met de handen in het haar: de ene club van deskundigen heeft het voor elkaar gekregen dat vrijwel alle rekenmethoden nu 'realistisch' zijn en de absurde tussenfase van kolomrekenen propageren, terwijl een andere club van wetenschappers benadrukt dat die tussenstap inderdaad absurd is en het rekenonderwijs grote schade berokkent. Wat moeten zij nu doen? Interessanter dan de schuldvraag is daarom de arbitragevraag: wie heeft gelijk, en waarom?
De PPON-rekenresultaten geven in ieder geval het gelijk niet zomaar aan de realistisch rekenaars. Integendeel, zij zouden moeten uitleggen waarom het niet aan hun methode kan liggen. Dat vragen we ook van fabrikanten van medicijnen die achteraf kwalijke bijwerkingen lijken te hebben.
Er zijn beginselen van behoorlijk onderwijs, Job Cohen heeft daar een proefschrift over geschreven, die het verbieden om tijd van leerlingen te verspillen, of om de dingen voor leerlingen nodeloos ingewikkeld te maken. Van daaruit is te verdedigen dat het kolomrekenen zo snel mogelijk uit het basisonderwijs moet verdwijnen. Een proefproces voorbereiden?
Dat kolomrekenen niet vanzelfsprekend de oorzaak is van de achterblijvende prestaties is mijn eigen analyse, ik schrijf die uitspraak niet toe aan Kees van Putten.
Kees van Putten heeft laten zien hoe de cijfervaardigheid van 1997 naar 2004 daalt op ZOWEL antwoorden via kolomrekenen, traditioneel rekenen, als uit het hoofd berekenen van de antwoorden. Dat suggereert sterk dat er achterliggende oorzaken zijn. Waar je dan allereerst aan moet denken is dat basale getalsbewerkingen met getallen onder de tien, of onder de twintig, onvoldoende zijn ingeslepen of geautomatiseerd (zie bv.-hier). Van een heel andere orde is dat in het hele veld de kennis van rekenen als onderdeel van de wiskunde zo sterk kan zijn teruggelopen dat ondeugdelijke methoden als kolomrekenen hun weg konden vinden in het basisonderwijs. 'Ondeugdelijk', niet omdat die methode tot onjuiste uitkomsten zou leiden, want dat is niet zo, maar omdat het een didactisch misplaatste methode is, die bovendien in strijd is met de core business van de wiskunde (abstractie, doelmatige methoden).
Didactisch misplaatst: dat kolomrekenen moet later weer worden afgeleerd. Het kan best zijn dat voorstanders beweren dat jonge leerlingen de abstractie van de 'traditionele' methode niet aankunnen, maar dat is een empirische uitspraak die bij onderzoek al dan niet juist kan blijken. Ik ken geen onderzoek dat uitwijst dat kinderen niet kunnen abstraheren; integendeel, dat doen ze hun hele leven al. In de 30er jaren trok Philipp Kohnstamm ten strijde tegen redactiesommen die met trucjes moesten worden opgelost, terwijl de koninklijke methode de algebraïsche is: exact dezelfde discussie (hier).
Het materiaal waar Van Putten over beschikt, de antwoordbladen van de leerlingen, kan waarschijnlijk geen uitsluitsel over oorzaken geven. Je kunt kijken naar de over-all verschuiving tussen 1997 en 2004. Waar ik op doelde is dat met kolomrekenen opgeloste opgaven in 2004 minder vaak goed zijn dan in 1997, terwijl datzelfde geldt voor de 'traditioneel' opgeloste opgaven, en voor de kennlijk uit het hoofd opgeloste opgaven. Dat zijn verschillende manieren om de gegevens te groeperen, maar ze stellen je voor ongeveer dezelfde problemen als het op verklaren aankomt. Natuurlijk kan de negatieve verschuiving tussen 1997 en 2004 aan de realistische methode liggen, maar waar hebben we het dan over: werd die methode in 1997 nog minder algemeen gebruikt, en zo ja, is het belangrijke verschil dan het overvloedig gebruik van contextopgaven (waarvan je er nu eenmaal in een uur tijd veel minder kunt oefenen), het tijdverlies van het uitschrijven van die kolombewerkingen, het in de war raken van veel leerlingen over wat het is op opgaven methodisch aan te pakken, of gaan leerkrachten anders om met de methode?
Ik heb er behoefte aan om terug te gaan naar de bron van dit leed dat kolomrekenen heet: Wiskobas. Ik zal er het boek van Treffers voor gebruiken: Adrian Treffers (1978/1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Reidel. (De editie 1978 is zijn proefschrift, in het Nederlands, de 1987-editie is daarvan een vertaling en een uitbreiding).
Voor de oorspronkelijke blog, met reacties, zie de website van BON /node/5119
Mijn beweegredenen zijn niet alleen maar nieuwsgierigheid. Bij lezing van het artikel van Jan van de Craats Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen pdf heb ik mij verbaasd over dat kolomrekenen, en dat deze slordige, want persoonlijke, algoritmen kennelijk in het realistisch rekenen aanvaardbaar zijn als eindniveau voor een behoorlijk aantal leerlingen.
Kerst Boersma, Harrie Eijkelhof, Ton Ellermeijer, Kees de Glopper, Martin Goedhart, Koeno Gravemeijer, Marja van den Heuvel-Panhuizen, Jan de Lange, Jan van Maanen, Albert Pilot, Robert Jan Simons, Diederik A.Stapel, Anne van Streun, Adri Treffers, Jan Vermunt, Theo Wubbels, Bert Zwaneveld, Jan van den Akker. 'Realistisch rekenen' niet goed? Kinderen presteren juist beter. De Volkskrant Opinie, 27 oktober 2008 html.
Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.
Adrian Treffers (1978/1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Reidel. (De editie 1978 is zijn proefschrift, in het Nederlands, de 1987-editie is daarvan een vertaling en een uitbreiding).
In het nieuwe hoofdstuk VI, blz. 197-217is het kolomrekenen uitvoerig aan de orde. Dat komt heel goed uit. Bovendien is dit een geschikte publicatie als speerpunt voor de analyse, omdat Treffers en anderen dan ruim de tijd hebben gehad om op uitspraken in het proefschrift van 1978 terug te komen. Ik zie niet dat die tussenliggende jaren tot iets meer bescheidenheid in de claims over Wiskobas hebben geleid. Het boek is niet online beschikbaar, en mogelijk verstopt in universiteitsbibliotheken, maar wie op het www zoekt naar Wiskobas, vindt snel de nodige publicaties die in lijn liggen met dit werk van Treffers.
De belangrijke punten voor Wiskobas / relatisch rekenen zijn de volgende.
"Rekenonderwijs gaat vooruit
Het gaat goed met het rekenonderwijs. De prestaties van de leerlingen zijn de afgelopen jaren op vrijwel alle onderdelen vooruit gegaan, zo blijkt uit onderzoeken van de Inspectie en het Cito."
"Het Cito constateert vooruitgang bij hoofdrekenen, getallen, breuken en procenten. Alleen het sommen maken op papier (cijferen) ging licht achteruit. De Onderwijsinspectie onderzocht alleen hoofdrekenen; ook zij constateert daar progressie.
Zowel het Cito als de Onderwijsinspectie schrijven de vooruitgang toe aan de moderne lesmethodes, waarvan steeds meer scholen gebruik maken. Die methodes zijn veel meer dan voorheen gericht op het zelfspandig oplossen van rekenkundige problemen en sluiten beter aan bij de leefwereld van kinderen.
De conclusies van het Cito en de inspectie druisen in tegen het rapport van de Commissie Evaluatie Basisonderwijs, waarin zorgen werden geuit over het niveau van het reken- en taalonderwijs. Eerder al plaatste de commissie-Eijndhoven kanttekeningen bij het CEB-rapport."
Didakief, 24, #10 december 1994, p. 22
Adri Treffers, geciteerd in Ellen de Bruin (26 januari 2008). Strijd om de staartdeling. NRC Handelsblad, Wetenschap en Onderwijs, p. 36
Adri Treffers is hoogleraar rekendidactiek in Utrecht, en stapt wel makkelijk over problemen heen, zoals het citaat hierboven aangeeft. Wanneer beroepsopleidingen ernstige problemen hebben met studenten met onvoldoende rekenvaardigheid, mag het basisonderwijs zich dat aanrekenen, en dus ook de rekendidacticus. Ook als oorzaken niet in de rekendidactiek zelf zouden liggen. Zoek dat dan uit, dat moet voor Nederland Kennisland hoge prioriteit hebben, niet?
Adri Treffers, geciteerd in Ellen de Bruin (26 januari 2008). Strijd om de staartdeling. NRC Handelsblad, Wetenschap en Onderwijs, p. 36
Wat Treffers in het gegeven citaat beweert is ongelooflijk stellig. De wedervraag is dan: is daar empirische ondersteuning voor? Kennen leerlingen hun tafels inderdaad beter? De PPON-resultaten zoals geanalyseerd door Van Putten, wijzen niet bepaald in die richting. Kunnen leerlingen inderdaad goed hoofdrekenen? De PPON-resultaten, geanalyseerd naar de manier waarop leerlingen de rekenopgaven beantwoorden, wijzen daar niet op: volkomen ten onrechte kiezen veel leerlingen ervoor om deze opgaven uit het hoofd uit te rekenen. 'Ten onrechte' want de antwoorden zijn vaker fout dan goed, soms veel vaker fout dan goed.
Adri Treffers, geciteerd in Ellen de Bruin (26 januari 2008). Strijd om de staartdeling. NRC Handelsblad, Wetenschap en Onderwijs, p. 36
Het bovenstaande citaat is typerend voor opvattingen bij Realistisch Rekenaars. Het is een slordige manier van argumenteren, die bijvoorbeeld ook in het proefschrift van Treffers (1978/1987) makkelijk is terug te vinden. Immers: de PPON 2004 laat zien dat leerlingen op grote schaal in de problemen zijn gekomen met het rekenonderwijs dat zij hebben gekregen, dus met de methode-Treffers. Hoezo komen ze in problemen als ze meteen zouden beginnen met de correcte, want altijd tot goede oplossingen leidende, methode? Treffers dekt zich in met tussenwerpsels als 'boven hun niveau', waardoor zijn uitspraak zinledig wordt. Geen leraar denkt eraan leerlingen aan taken te zetten die boven hun niveau zijn. Het is een kwaadaardige manier van beschrijven van methoden waar Treffers zich tegen afzet, een manier van beschrijven die ook in zijn 1987 voorkomt.
Het voorbeeld 72 - 59 lijkt ook zo kwaadaardig, maar hier is iets anders aan de hand. In traditioneel onderwijs bouwen leerlingen natuurlijk vanuit eenvoudiger situaties geleidelijk hun vaardigheid op, en zullen ze never, ever, ooit, meteen met iets moeilijks als 72 - 59 beginnen. Een leraar die het zo aanpakt, is niet professioneel bezig. Maar in Realistisch Rekenen is de filosofie juist dat je meteen met grote getallen moet beginnen, en de leerlingen zelf laten uitzoeken hoe je dan zo'n som oplost. Dat is ook een methode, er is de invloed van Georg Pólya in te zien, daar valt heel veel van te leren, zeker als kinderen met anderen overleggen, maar heeft het bezwaar dat leerlingen impliciet leren dat iedere opgave een 'probleem' is dat je op creatieve wijze moet aanpakken. Wat zeg ik, Realistisch Rekenaars verkondigen heel nadrukkelijk dat je altijd eerst je eigen weg moet zien te vinden en handig moet rekenen bij je vermenigvuldiging of je deling. Dat is een ernstige misvatting, door het over een kam scheren van heel verschillendsoortige rekenopgaven en -problemen. Zodra een contextopgave is gereduceerd tot de rekenkundige opgave die hem oplost, kan die deling etcetera met de traditionele methode zonder creativiteit maar wel met nauwkeurigheid, worden opgelost.
Een werkelijk aardige inleiding in neurocognitie, met in het bijzonder aandacht voor de de betekenis van het nog onvolgroeid zijn van de hersenen van jongeren voor hun mogelijkheden om taal te leren, te rekenen, of hun huiswerk te plannen, biedt Eveline Crone (2008) Het puberende brein. Zij signaleert bijvoorbeeld voor rekenen (p. 70) dat daar complexe processen bij aan de orde zijn, waar we helaas nog maar heel weinig van weten (maar er wordt aan gewerkt, zie bijvoorbeeld Riviera, Reiss, Eckert en Menon (2005) . pdf), maar het ligt voor de hand dat onderzoek uit zal wijzen dat sommige rekenmethoden niet altijd terecht de beschikbaarheid van specifieke hersenfuncties vooronderstellen. Daaraan verwant is wat Crone flexibiliteit noemt, het vermogen om over te schakelen van een bekende procedure naar een nieuwe procedure. Kinderen beschikken niet over de mate van flexibiliteit die voor volwassenen vanzelfsprekend is. Dat voorspelt problemen bij didactische methoden zoals het kolomrekenen in de methoden van realistisch rekenen: niet voor dat kolomrekenen zelf dat als tussenfase moet dienen, maar voor de stap naar de traditionele methoden die nodig zijn om echt behoorlijk te kunnen rekenen. Zie ook www.brainanddevelopmentlab.nl
Commissie Meijerink (2009). Over de drempels met taal en rekenen — een nadere beschouwing.
Verplichte rekentoets voor middelbare scholier. 7 oktober 2009. Voor het bericht zie hier
Referentiekader taal en rekenen. De referentieniveaus. pdf.
Bea Ros (2009). Staartdelen of happen? Een pittig tweegesprek over rekenen. Didaktief, 39 nr. 1-2, p. 4-8. pdf
Heather C. Hill, Merrie L. Blunk, Charalambos Y. Charalambous, Jennifer M. Lewis, Geoffrey C. Phelps, Laurie Sleep and Deborah Loewenberg Ball (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction, 26, 430-511.
Paul van der Bijl (2009). Timss 2007: Allochtone meisjes blijven achter in exacte vakken. Didaktief, 39 nr. 1-2, p. 10-11.
H.J.Vermeer en M. Boekaerts (2005). Rekenonderwijs: motivatie van jongens en meisjes bij rekenen in het basisonderwijs. In M. H. van IJzendoorn & H. de Frankrijker (Red.) (2995). Pedagogiek in beeld. Een inleiding in de pedagogische studie van opvoeding, onderwijs en hulpverlening. Bohn, Stafleu, Van Loghum. p. 385-398.
Michael T. Battista and Douglas H. Clements (2000). Mathematics Curriculum Development as a Scientific Endeavor. In Anthony E. Kelly and Richard A. Lesh (Eds) (2000). Handbook of Research Design in Mathematics and Science Education (737-760). Erlbaum. questia.com
Japke-D. Bouma en Derk Walters (30 september 2008). Geef ‘rekenzwakke’ basisscholier de staartdeling terug. Deskundigen roepen op klassieke rekenmethodes in ere te herstellen na constatering dat veel leerlingen slecht rekenen. NRC Handelsblad
Kristie Jones Newton (2008). An extensive analysis of preservice elementary teachers' knowledge of fractions. American Educational Research Journal, 45, 1080-1110. abstract
Ellen de Bruin (26 januari 2008). Strijd om de staartdeling. NRC Handelsblad, Wetenschap en Onderwijs, p. 36 website
Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14. Eveline Crone (2008). Het puberende brein. Over de ontwikkeling van de hersenen in de unieke periode van de adolescentie. Uitgeverij Bert Bakker.
Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (Commissie Heim Meijerink) (2008). Over de drempels met taal en rekenen. pdf Zie ook http://www.taalenrekenen.nl/
http://www.nrc.nl/achtergrond/article1880084.ece/Canon_aan_basisvaardigheden
http://www.nrc.nl/binnenland/article1880085.ece/Kinderen_leren_slechter_rekenen_en_schrijven
TIMSS Trends in International Mathematics and Science Study: International site
http://weblogs.nrc.nl/weblog/trappenburg/2008/02/01/spelling-voor-studenten/
http://weblogs3.nrc.nl/opklaringen/2008/01/26/rekenen-als-nationaal-omgangsvraagstuk/
http://www.nrc.nl/wetenschap/article1880431.ece/De_strijd_om_de_staartdeling
http://www.nrc.nl/nieuwsthema/onderwijs/article1856737.ece/De_overheid_moet_robuust_optreden
Fred Goffree (1979). Leren onderwijzen met Wiskobas. Onderwijsontwikkelingsonderzoek 'Wiskunde en Didaktiek' op de pedagogische akademie. Proefschrift RU Utrecht (promotoren: Sixma, Freudenthal).
Fred Goffree (1982/1994). Wiskunde & didactiek 1. Wolters-Noordhoff.
Fred Goffree (1992). Wiskunde & didactiek 2. Wolters-Noordhoff.
Fred Goffree (1993). Kleuterwiskunde Wolters-Noordhoff.
Fred Goffree, Martinus van Hoorn en Bert Zwaneveld (Red.) (2000). Honderd jaar wiskundeonderwijs. Een jubileumboek. Leusden: Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren.
D. H. Clements (2007). Curriculum research: Toward a framework for 'research-based curricula.' Journal for Research in Mathematics Education, 38, 35-70. pdf van conceptartikel
Laura M. Desimone, Thomas Smith, David Baker & Koji Ueno (2005). Assessing barriers to the reform of U.S. mathematics instruction from an international perspective. American Educational Research Journal, 42, 501-535. binnengehaald via KB en Jstor 11-2009
http://www.nrc.nl/achtergrond/article1880428.ece/Advies_aan_OCW
Koeno Gravemeijer (1994). Educational development and developmental research in mathematics education. Journal for Research in Mathematics Education, 25, 443-471. [nog niet gezien]
Koeno Gravemeijer (1994). Developing realistic mathematics education. Proefschrift. [nog niet gezien]
Koeno P. E. Gravemeijer (1995). Developing realistic mathematics education in the early grades. [nog niet gezien]
Marja van den Heuvel-Panhuizen en Adri Treffers (23 maart 2009). Feit en fictie in de rekendiscussie. De Volkskrant, p. 7.
M. van den Heuvel-Panhuizen (1996). Assessment and realistic mathematics education. CD-beta Press, Center for Science and Mathematics Education. Thesis Universiteit Utrecht (promotoren A. Treffers en J. de Lange, co-promotor K. P. E. Gravemeijer) pdf 4Mb [ik ga dit doornemen, kende het nog niet]
Marja van den Heuvel-Panhuizen (2001). Realistic Mathematics Education as work in progress. In F. L. Lin (Ed.). Common Sense in Mathematics Education (1-40). Proceedings of 2001 The Netherlands and Taiwan Conference on Mathematics Education, Taipei, Taiwan, 19 – 23 November 2001. doc
Heather C. Hill, Merrie L. Blunk, Charalambos Y. Charalambous, Jennifer M. Lewis, Geoffrey C. Phelps, Laurie Sleep and Deborah Loewenberg Ball (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction, 26, 430-511.
Inspectie van het Onderwijs (2008). Basisvaardigheden rekenen-wiskunde in het basisonderwijs. website of pdf of het kamerstuk: pdf of pdf
Alan H. Schoenfeld (Ed.) (2007). Assessing mathematical proficiency.. Cambridge University Press.
M. Lampert (1986). Knowing, doing, and teaching multiplication. Cognition and Instruction, 3, 305-399. pdf of report
Jan Dijksma (6-9-2008). Worstelen met sommen. Leeuwarder Courant p. 13.
C. M. van Putten (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). Cito. pdf
C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27, nr 1. pdf
Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract (niet vrijelijk online te downloaden)
Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). Solution Strategies and Achievement in Dutch Complex Arithmetic: Latent Variable Modeling of Change. Psychometrika, 74, 331-350. online.
Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). How to Measure and Explain Achievement Change in Large-Scale Assessments: A Rejoinder. Psychometrika, 74, 367-374. online.
Marja van den Heuvel-Panhuizen, Alexander Robitzsch, Adri Treffers and Olaf Köller (2009). Large-Scale Assessment of Change in Student Achievement: Dutch Primary School Students’ Results on Written Division in 1997 and 2004 as an Example. Psychometrika, 74, 367-374. pdf
C. M. van Putten, P. A. Van den Brom-Snijders and M. Beishuizen (2005). Progressive mathematization of long division strategies in Dutch primary schools. Journal for Research in Mathematics Education, 36, 44–73. [nog niet kunnen inzien, de laatste zin van het abstract is nogal raadselachtig, gezien het overige werk van Kees van Putten over de (staart)deling.]
S. M. Riviera, A. L. Reiss, M. A. Eckert and V. Menon (2005). Developmental changes in mental arithmetic: evidence for increased functional specialization in the left inferior parietal cortex. Cerebral Cortex, 15, 1779-1790. pdf
L. S. Shulman (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching. Educational Researcher, 15 #2, 4-14. pdf
Robert E. Slavin and Cynthia Lake (2008). Effective programs in elementary mathematics: A best-evidence synthesis. Review of Eduational Research, 78, 427-515. pdf [retrieved 11-2008]
L. Streefland (1988). Realistisch breukenonderwijs. Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. proefschrift RUU.
Ik heb geaarzeld of ik mij zou mengen in de discussie over het rekenniveau van onze kinderen. Ik heb mij in de jaren 1970 met dit onderwerp intensief beziggehouden en heb er toen een proefschrift over geschreven. Ik heb het volgende geleerd.
(1) Als je claimt dat je met het bevorderen van 'realistisch rekenen' bezig bent, zoals indertijd Freudenthal poneerde — en de huidige medewerkers van het Freudenthal instituut — dan stel je, minstens impliciet, dat anderen dat niet doen.
Een andere benadering van het (reken- en wiskunde-) onderwijs dan die van Freudenthal c.s. is dan 'niet-realistisch' of 'irrealistisch' of hoe je dat verder kan benoemen. Freudenthal c.s. zijn 'realistisch', anderen, diegenen die met andere criteria werken niet.
Hieruit is mij o.a. gebleken dat zelfs het rekenonderwijs (maar elk onderwijs of welke vorm van onderwijs dan ook) niet op basis van gegevens en argumenten, maar op grond van een vooropgezette ideologie wordt beoordeeld. Hierin is men in ons land ijzersterk. Behoor je niet tot de club, denk je bijvoorbeeld anders over het rekenonderwijs dan de zogenaamde 'realisten', dan mag je niet meepraten, dan probeert men je de mond te snoeren.
(2) Op eenvoudige wijze is bij te houden of in de loop van de tijd een niveau van een vak daalt of niet. Je kunt dan o.a. kijken of kinderen van nu dezelfde taken aankunnen als kinderen van toen. Deze zogenaamde 'kern-item methode' is te vinden in de handboeken voor de toetsing van schoolprestaties.
Indertijd heb ik gegevens verzameld en geanalyseerd onder circa 1000 Nederlandse deskundigen en drie steekproeven van in totaal 322 leerlingen. De deskundigen werd gevraagd om aan te geven wat ieder kind zou moeten kunnen op het gebied van het rekenen aan het einde van de basisschool en aan het einde van de leerplicht èn of zij het zelf konden. De leerlingen maakten de betreffende opgaven.
Het resultaat was o.a. een verzameling rekendoelen voor basisonderwijs en einde leerplicht. Mijn redenering was dat een empirische methode kan helpen om de gedachten te bepalen over de doelen van het onderwijs. De gekozen methode maakt het o.a. mogelijk om de verzamelde gegevens te vergelijken in de tijd.
Vallen de resultaten die je wenst te bereiken tegen dan kun je desgewenst maatregelen treffen om te corrigeren. Het is een methode die de discussie 'ontideologiseert' omdat je op basis van feiten kunt oordelen. Maar dat kan in ons land niet.
NRC Handelsblad discussie zaterdag 26 januari 2008, 21:52 uur [in zijn geheel hier geciteerd, b.w.] Aan dezelfde discussie hebben oook Jan van de Craats, Kees van Putten en Jan de Lange (reactie op Van de Craats) een bijdrage geleverd.
Adrian Treffers (1978/1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Reidel. (De editie 1978 is zijn proefschrift, in het Nederlands, de 1987-editie is daarvan een vertaling en een uitbreiding).
Heather C. Hill, Deborah Loewenberg Ball and Stephen G. Schilling (2008). Unpacking pedagogical content knowledge: Conceptalizing and measuring teachers' topic-specific knowledge of students. Journal for Research in Mathematics Education, 39, 372-400. fc
Heather C. Hill, Merrie L. Blunk, Charalambos Y. Charalambous, Jennifer M. Lewis, Geoffrey C. Phelps, Laurie Sleep and Deborah Loewenberg Ball (2008). Mathematical knowledge for teaching and the mathematical quality of instruction: An exploratory study. Cognition and Instruction, 26, 430-511. fc
Heather C. Hill, Brian Rowan, and Deborah Loewenberg Ball (2005). Effects of teachers' Mathematical Knowledge for Teaching on student achievement. American Educational Research Journal, 42, 371-406. [pdf available for download on the LMT website]
Heather C. Hill and Deborah Loewenberg Ball (2004). Learning mathematics for teaching: Results from California's mathematics professional development institutes. Journal for Research in Mathematics Education, 35, 330-351. [pdf available for download on the LMT website]
http://www.benwilbrink.nl/projecten/realistisch_kolomrekenen.htm
Berlin Declaration on Open Access to Knowledge in the Sciences and Humanities
html