Mathematics education

An inventory. The Dutch chapter.

Ben Wilbrink

This page is the Dutch part of the inventory: publications in Dutch or on situations specific for the Netherlands. The 'international' webpage is matheducation.htm.

Voor inleidende beschouwingen en literatuur, zie de internationale pagina matheducation.htm.

Regular: Dutch

In het ‘Rekenproject’ themagewijs bijeengebracht: relevante literatuur, als het kan sleutelpublicaties, zodra er tijd is met annotaties, en uiteindelijk een kort essay, mogelijk voorafgegaan door een rekenblog op het forum van Beter Onderwijs Nederland. rekenproject.htm. De lijst thema’s is meteen al aanzienlijk, en zal waarschijnlijk uitgroeien tot meer dan honderd thema’s en subthema’s, ieder met een eigen webpagina waarnaar de moederpagina ‘rekenproject.htm’ de links geeft.

In maart 2011 is een serie rekenblogs gestart op de website van Beter Onderwijs Nederland. De reeks begint met aan te sluiten op werk van Hans Freudenthal: Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” [1]. Juli 2011 is de laatste Antwoord op de kritische reactie van Victor Schmidt, vz. van de Rekentoetswijzercommissie, op rekenblog 16 [en dit is 17]. De titel van de laatste blog duidt erop dat de rekenblogs politieke impact hebben. Op basis van rekenblog 16 is een artikel geschreven voor Examens, dat is september zal verschijnen.

Ben Wilbrink en Joost Hulshof (in druk): De wet, het rekenen, en de rekentoets in de eindexamens havo/vwo. Invoering van de rekentoets havo/vwo in 2014. Examens. Tijdschrift voor de Toetspraktijk, jaargang 8, nummer 3 (september).

Tom Braams & Marisca Milikowski (Red.) (2008). De gelukkige rekenklas. Boom.

• o.a.:
• Tom Braams & Marisca Milikowski Hoe wordt een kind een gelukkige rekenaar? (13-24)
• Bas Braams: Veel te lage drempels voor rekenen/wiskunde. Een vergelijking van Nederlandse en Californische leerlijnen. (68-86)
• Pieter van Biervliet: Effectief rekenonderwijs: niet te realistisch, maar functioneel! (89-99)
• Rob Milikowski: Kolomsgewijs rekenen: terug naar de twaalfde eeuw? (100-115)
• Marisca Milikowski & Tom Braams: Zorg voor zwakke rekenaars. Interview met Annemarieke Aarnoutse, Dominique Denis en Sylvia Zwart. (116-123)
• Marisca Milikowski & Tom Braams: Automatismen in het rekenen: statisch of wendbaar? (140-145)
• Ank van Campen: Intermezzo: eerst de automatismen. (146-150)

Joh. H. Wansink (1966, 1967, 1970). Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren. Drie delen J. B. Wolters.

• Het derde deel is een bundeling van hoofdstukken van Van der Blij, Brandenburg, Van Dormolen, Dijksterhuis, Hemelrijk, Koldijk, Korthagen, Van Rootselaar, Van der Sluis en Wouters.
• In deel III, Wansink: Psychologische aspecten van het wiskundeonderwijs. 72-116
• In deel III Wansink: Hulpmiddelen bij het wiskundeonderwijs. 337-379

Jan van de Craats en Rob Bosch (2007/2009). Basisboek rekenen. Pearson Education Benelux.

• “Dit boek is geschreven voor iedereen die wil leren rekenen of weggezakte rekenvaardigheden wil bijspijkeren.”
• Dit boek, evenals het wiskundeboek, is geboren uit de nood dat aankomende studenten in het hoger onderwijs (van pabo tot universitaire opleidingen wiskunde) de nodige reken- en wiskundevaardigheden niet eens meer hebben of niet meer beheersen.

Jan van de Craats en Rob Bosch (2009). Basisboek wiskunde. Pearson Education Benelux.

• “... legt de basis voor de wiskunde die op universiteiten en hogescholen gebruikt wordt ... . Centraal staat het aanleren van die wiskundige vaardigheden die studenten in deze disciplines moeten beheersen: rekenvaardigheid, formulevaadigheid, werken met functies en grafieken en vaardigheid in differentiëren en integreren.”

Jan van de Craats (2008). Zwartboek rekenonderwijs. pdf

• Dit zwartboek heeft de titel 'Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen (zwartboek), maar het artikel over Daan en Sanne is er slechts een onderdeel van. Het zwartboek bevat meer stukken.

C. van den Hoek (1991). Basis wiskunde. Academic Service.

• “... een samenvatting van de leerstof wiskunde van de onderbouw havo/vwo met uitzondering van meetkunde en goniometrie.” “.... lineair qua opbouw, wat een compacte presentatie van de stof tot gevolg heeft. Dit maakt ‘Basis Wiskunde’ met name geschikt voor deficiëntie-cursussen.”

Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.

• Vlot geschreven boek, waarschijnlijk meestal bekende rekenproblemen of problemen met rekenen beschreven met zijn eigen ervaringen als rode draad (Wiskobas, realistisch rekenen). Gelukkig niet in de stijl van de polemiek, waar Adri Treffers niet echt briljant in is, maar wel rakend aan de kwesties die rond dat realistische rekenen spelen. Bijvoorbeeld een hoofdstukje over het Monty Hall probleem (dat bij hem niet zo heet). Ik heb het boek uitvoerig geannoteerd, zie hier.

Marjolein Kool en Ed de Moor (2009). Rekenen is leuker dan/als je denkt. Bert Bakker.

• Een fijn boek, voor een breed publiek.
• Gaat natuurlijk ook in op de huidige discussie over het rekenonderwijs, kiest daarin positie aan de kant van de realistisch rekenaars, noemt de tegenpartij de ‘neo-conservatieven.’ Ik ben met het markeren van de tegenstelling niet zo gelukkig, beter is het om te kijken naar wat er in diverse visies bruikbaar en empirisch onderbouwd is.
• Marjolein Kool is historisch sterk, dat blijkt ook uit de tekst., die heel ontspannen is en zeker niet is getekend door een richtingenstrijd.

Jan Karel Lenstra (Vz.) (4 november 2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), Advies KNAW-commissie rekenonderwijs basisschool pdf

• Zie voor enkele annotaties bij dit verdienstelijke overzichtsrapport hier

Ed de Moor (1994). Jan Versluys en het ontstaan van de vakdidactiek. Nieuwe Wiskrant, 14, 8-14 [niet online gevonden, 2013] annotatie

Jan Versluys (1874). Methoden bij het onderwijs in de wiskunde en bij de wetenschappelijke behandeling van dat vak. Het eerste Nederlandse boek over wiskundedidactiek. Het boek is nog niet online beschikbaar (helaas heb ik het zelf niet). Versluys bepleit o.a. de ‘geleide herontdekking’. In Goffree e.a., Martinus van Hoorn, p. 25:

• De geleide herontdekking is een heuristische leervorm, gesteld tegenover de dogmatische leervorm van voordragen en voordoen. De heuristische leervorm moet gedragen worden door de leraar, die door middel van vragen en een goede voorstructurering de weg voor de leerling dient te plaveien.
• Lees ik hier dat Jan Versluys pleitte voor het de leerling zelf laten uitleggen en uitvinden op uitnodiging van de leraar en tegen het uitleggen en corrigeren door de leraar zelf? In 1874. Hetzelfde thema is het onderwerp van het onderzoek in 2010 over tutoring, van Michelene Chi en Marguerite Roy dat hier ter sprake kwam.
• Over Jan Versluys, oudoom van Ed de Moor, zie ook dit artikel van Harm Jan Smid in Euclides

E. G. Harskamp (1988). Rekenmethoden op de proef gesteld. Proefschrift Rijksuniversiteit Groningen. RION.

Vergelijkt onderwijs op basis van traditionele en realistische methoden. Kort samengevat: vindt geen verschillen.

P. G. Vos, K. Koster & J. Kingma (Red) (1984). Rekenen, balans van standpunten in theorievorming en empirisch onderzoek. Swets & Zeitlinger. [zoeken: PEDAG. 47.B.34 UBL: 3739 A 27]

Johannes Kingma (1981). De Ontwikkeling Van Quantitatieve En Relationele Begrippen Bij Kinderen Van 4-12 Jaar. ISBN 9026503857 (90-265-0385-7) Hardcover, Swets & Zeitlinger. Proefschrift summary [niet in UB Leiden; niet gezien] [van Oers, B. (1983). Boekbespreking: Kingma, J., De ontwikkeling van quantitatieve en relationele begrippen bij kinderen van 4-12 jaar. Pedagogische Studiën, 1983, 60, nr 10, 427-429.]

A J J M Ruijssenaars, J.E.H. van Luit, E.C.D.M. van Lieshout (2004) Rekenproblemen en dyscalculie: theorie, onderzoek, diagnostiek en behandeling. Lemniscaat

Peter Stevenhagen (2001). Rekenen en getaltheorie. Rede uitgesproken bij de aanvaarding van het ambt van hoogleraar in de zuivere wiskunde aan de Universiteit Leiden op vrijdag 7 september 2001. pdf

Henri Oosthout (2003, 2004). Aristoteles. De getallen en de dingen. De boeken M en N van de Metafysica. 2 delen. Klement. <

Alfred North Whitehead (1911/1965). Wiskunde, basis van het exacte denken. [An introduction to mathematics] Het Spectrum, Aula 226. complete Engelse tekst hier

Joh. H. Wansink (1967). Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren. Tweede deel. J. B. Wolters.

Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.

• Een heldere uitleg, met voorbeelden van rekenopgaven uit enkele rekenmethoden in het huidige basisonderwijs. De kritiek van Van de Craats is dat deze rekenmethoden de leerlingen dwingen tot het gebruiken van allerlei handigheidjes en foefjes, in plaats van algemeen bruikbare methoden. Van de Craats laat voldoende uitvoerig zien waar het concreet om gaat; wie niet weet wat kolomsgewijs rekenen is, moet beslist de pdf openen en bijvoorbeeld figuur 3 op pagina 6 bekijken.
• Van de Craats beperkt zich tot het opsommen, als je dat zo mag noemen in deze context, van de malheur in deze rekenmethoden, hij voegt er geen algemene beschouwing of een ingang tot onderzoekliteratuur aan toe. Maar wie maar een klein beetje vertrouwd is met de vraag van wat het is om wiskunde te beoefenen, begrijpt onmiddellijk dat in deze rekenmethoden wordt gezondigd tegen echt het algemene beginsel: dat van het abstraheren. Deze rekenmethoden doen als het ware het tegenovergestelde: zij leren niet wat het gemeenschappelijke is aan bijvoorbeeld optelsommen en hoe deze zijn op te lossen, maar brengen de leerling in de waan dat de oplosmethode afhangt van de toevallige getallen in de som. Brrrrrrrr.
• Dan gaat het dus al lang niet meer om de staartdeling die met de vuilnisman is meegegeven, maar om alles wat met het werken met getallen heeft te maken.
• Jan van de Craats heeft mij hier de schellen van de ogen doen vallen. De voorbeelden van opgaven zal ik zeker gaan gebruiken in hoofdstuk 8 van mijn Toetsvragen ontwerpen, als voorbeelden van opgaven waar een paar dingen mis mee zijn, sommige heel verschrikkelijk mis. De crux is dat de gewraakte rekenmethoden regelrecht in strijd zijn met het corpus van de wiskunde, althans daaruit het rekenen, en de opgaven in deze rekenmethoden om die reden niet valide (Toetsvragen ontwerpen, 2.6) kunnen zijn. Voorzover rekenopgaven van dit gewraakte soort in de Pabo-rekentoets of in de Cito Basistoets terechtkomen, is er ook voor die toetsen een ernstig probleem.
• Voor een computerprogrammeur is het een doodzonde om in programmatuur handigheidjes en foefjes te verwerken, in plaats standaarden te gebruiken. De reden is eenvoudig: vroeger of later leiden de handigheidjes tot problemen, ongelukken, onleesbaarheid, en onoverdraagbaarheid. Jan van de Craats laat hier zien hoe bij het rekenen op de basisschool leerlingen wordt voorgehouden dat het een deugd is om slordig te zijn. Niet alleen de leerlingen die later programmeur worden zullen problemen krijgen om hun op de basisschool aangeleerde slechte gewoonten weer kwijt te raken.
• Naar aanleiding van deze voordracht kunnen ouders van leerlingen in het basisonderwijs voor meer informatie terecht op http//rekenhulp-basisschool-pabo.nl/. Deze speciale website gaat formeel van start op 22 november 2008, tijdens de rekenconferentie van Beter Onderwijs Nederland BON
• Jan van de Craats wijst op de misstand van lukraakmethoden bij het onderwijs in optellen tot en met delen bij sommige (veel?) rekenmethoden. Een daarmee verwante misstand is die van de redactiesommen die met allerlei van het type redactiesom afhankelijke tructjes moeten worden opgelost, in plaats van langs de koninklijke algebraische weg. Alsof we nog in Babylon leven, en de algebra nog niet is uitgevonden. Zie voor onderzoek naar deze misstand bijvoorbeeld het proefschrift van Miriam Wolters (1978) hier, of de aan redactiesommen gewijde pagina wordproblems.htm

Jan van de Craats (2007). Rekenvaardigheden op de basisschool. Discussiestuk ten dienste van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en Taal. pdf. Idem discussiestuk: Domeinbeschrijving rekenen. pdf. Idem discussiestuk: Vergelijking van 'PPON 2004' met 'Rekenvaardigheden op de basisschool' pdf. (Deze vergelijking gebruikt het Cito (2005) verslag van het peilingsonderzoek rekenen (PPON 2004) pdf

Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker (2005). Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. PPON-reeks nummer 32. Periodieke Peiling van het Onderwijsniveau. Arnhem: Cito. pdf

• In aansluiting op het stuk van Van de Craats 'Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen':
  p. 3: “Kolomsgewijs rekenen of traditioneel cijferen? De algemene trend is dat leerlingen voor de vier hoofdbewerkingen meestal eerst een realistische of kolomsgewijze aanpak wordt aangeleerd, maar dat in een later stadium overgeschakeld wordt naar traditionele cijferalgoritmes. Voor optellen en aftrekken vindt deze overschakeling al plaats in jaargroep 6, voor vermenigvuldigen in jaargroep 7 en voor delen eigenlijk pas tegen het eind van het basisonderwijs. Voor de hoofdbewerking ‘delen’ geldt dat de meeste leraren (bijna 60 procent) alleen nog de kolomsgewijze strategie aanleren.”
  “Aandacht voor hoofdrekenen Opnieuw kunnen we constateren dat de aandacht voor diverse aspecten van het hoofdrekenen is toegenomen. Dat geldt voor het schattend rekenen, het leren hanteren van handige oplossingsstrategieën, maar vooral voor het passend leren omgaan met benaderingen, afrondingen en schattingen."”
  p. 4: “Bewerkingen De vaardigheid van leerlingen op het gebied van de bewerkingen is er sinds 1987 over de gehele linie sterk op achteruitgegaan. Dat geldt zowel voor optellen en aftrekken, als voor vermenigvuldigen en delen en de samengestelde bewerkingen. De belangrijkste oorzaak lijkt te liggen in het feit dat leerlingen ten onrechte deze opgaven niet op papier uitrekenen, dat wil zeggen de opgaven ‘uit het hoofd’ proberen op te lossen. Daarnaast blijkt ook het gebruik van zowel het kolomsgewijze als traditionele algoritme minder succesvol. ”
  “p. 5: Standaarden Geïnformeerde bedoordelaars hebben voor alle onderwerpen niveaus gedefinieerd voor de standaarden Minimum en Voldoende. Het niveau van de standaard Minimum wordt beoogd voor 90 tot 95 procent van de leerlingen. Bij 14 van de 22 onderwerpen wordt dit niveau door meer dan 80 procent van de leerlingen bereikt. Uitgezonderd zijn de drie onderwerpen over de bewerkingen en de onderwerpen over het meten van lengte, oppervlakte en inhoud.
  Het niveau van de standaard Voldoende zou bereikt moeten worden door 70 tot 75 procent van de leerlingen. Dat blijkt alleen te gelden voor het eerste onderwerp Getallen en getalrelaties. Voor de meeste onderwerpen — 13 van de 22 — geldt echter dat het gewenste niveau voor de standaard Voldoende door slechts 50 procent of minder leerlingen wordt bereikt. Voor de bewerkingsopgaven geldt dat minder dan 30 procent van de leerlingen dit niveau bereikt. Beoordelaars zijn dus kritisch over het bereikte rekenvaardigheidsniveau van leerlingen aan het einde van het basisonderwijs.”

Martin Kindt & Ed de Moor (2008).Wiskunde in een notendop. Bert Bakker.

Aad Goddijn en Martin Kindt (2001). Knelpunten en toekomstmogelijkheden voor de wiskunde in het VO. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 18, 59-94. pdf

• Een artikel dat mij in ieder geval veel informatie geeft. Wat me opvalt, maar ik heb het nog niet helemaal gelezen, is dat de feitelijke didactiek, gedicteerd door een klein aantal voor scholen beschikbare methoden, zo ongelooflijk niet evidence-based is. Niet alleen kan iedereen er dan ongehinderd zijn eigen favoriete meningen op na houden, maar ontbreekt ook de belofte dat er in de toekomst ooit nog iets beters valt te bereiken: immers, op grond van welke evidence zou dat dan moeten?

Inspectie van het Onderwijs (2008). Basisvaardigheden rekenen-wiskunde in het basisonderwijs. Een onderzoek naar het niveau van rekenen-wiskunde in het basisonderwijs en naar verschillen tussen scholen met lage, gemiddelde en goede reken-wiskunderesultaten. pdf

Onderwijsraad (1999). Leerstandaarden Rekenen en wiskunde basisonderwijs. Den Haag: Onderwijsraad. www.onderwijsraad.nl

• "In opdracht van de Onderwijsraad heeft het Cito (...) een reeks prototypes van leerstandaarden uitgewerkt. Het betreft leerstandaarden voor de vakken Nederlandse taal en Rekenen en wiskunde in verschillende onderwijsfasen. Deze standaarden zijn gebundeld als bijlagen bij het advies [Zeker weten]. De titels zijn:
  • Leerstandaarden Rekenen en wiskunde basisonderwijs
  • Leerstandaarden Wiskunde basisvorming
  • Leerstandaarden Nederlandse taal basisonderwijs
  • Leerstandaarden Wiskunde basisvorming
  • Leerstandaarden Nederlandse taal basisvorming
• Leerstandaarden Rekenen en wiskunde basisonderwijs is gebaseerd op F. van der Schoot (1999) Leerstandaarden voor het basisonderwijs. Cito, werkdocument opgesteld voor de Onderwijsraad.

Sacha la Bastide-van Gemert (2006). 'Elke positieve actie begint met critiek': Hans Freudenthal en de didactiek van de wiskunde. Hilversum: Verloren. Tevens proefschrift Rijksuniversiteit Groningen. http://irs.ub.rug.nl/ppn/293114749 pdf embargo t/m 11-5-2008 , inhoud. Al wel beschikbaar: summary. [ik heb dit boek nog niet ingezien]

Paul Drijvers (2006). Context, abstractie en vaardigheid in schoolalgebra. NAW, 5/7. pdf

• Paul Drijvers (2003). Learning algebra in a computer algebra environment : design research on the understanding of the concept of parameter. Dissertation Utrecht University. pdf

Hans Freudenthal (1984). Appels en peren / Wiskunde en psychologie. Gebundelde opstellen.. Apeldoorn: Walraven. html op dbnl.org

• • Onderwijsontwikkeling voor de kleuterschool - cognitief, wiskundig [De Wereld van het Jonge Kind, maart-april 1979, 143-147, 169-172]
  • Moedertaal en wiskundetaal [Moer, 1983, 6, 1-7.]
  • Appels en peren: wiskunde en psychologie [Willem Bartjens 3 (1983/4), 1, 60-65.]
  • Wiskundig-didactische principes - vanuit het rekenonderwijs gezien [Samenvattende vertaling van de opstellen: Rechnen - gibt es das noch? Mathematiklehren, november 1983, 4-9, en Didactical principles in mathematics instruction. Aspects of Mathematics and its Applications. Noordhollandse Uitgeversmij 1984, Mathematical Library, volume in honor of Leopoldo Nachbin.]
  • Oppervlakte als verschijnsel benaderd [Wiskobas Bulletin, leerplanpublicatie 9, IOWO juli 1978, handleiding, 109-120.]
  • Verhoudingen als verschijnsel [Wiskrant 17, mei 1979, 5-9, waarin stukken verwerkt van Didactische fenomenologie van wiskundige structuren. (IOWO-publikatie, te verschijnen bij Vakgroep OW & OC).]
  • Meten vanuit wiskundig standpunt [Wiskunde en Didactiek in de Onderwijzersopleiding, blok 'Meten' (1976), 8-17.]
  • Cognitieve ontwikkeling - kinderen geobserveerd [Jaarverslag over 1977,Provinciaal Utrechts Genootschap (1978), 8-18. Zie voor onderdelen ook Weeding and Sowing, Reidel, 1978, IV 8.]
  • Studentenhaver [Willem Bartjens 1 (1981/2), 4, 214-215.]

• W. R. van Zwet, in NRC Handelsblad Wetenschap en Onderwijs 10 februari 2008:
  "Freudenthal begon zich met het rekenonderwijs te bemoeien omdat hij bang was dat als de wiskundigen dat niet deden, dit onderwijs geheel zou worden bepaald door onderwijsdeskundigen zonder veel kennis van de wiskunde en van de specifieke eisen die aan onderwijs in de wiskunde moeten worden gesteld. Dat hij misschien zelf ook wel gedacht heeft dat hij met het Freudenthal Instituut van de regen in de drup was geraakt, moge blijken uit wat hij zei toen wij elkaar in zijn laatste levensjaren nog eens spraken bij de KNAW: "Voordat ik mij met het rekenonderwijs bemoeide konden de kinderen alleen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Nu kunnen zij dat ook niet meer."""

Freudenthal Instituut digitale publicaties kies 'publicaties' onder menu 'Instituut', dan button 'digitale Fi-publicaties' - Hawex en Hewet Publicaties online

Danny Beckers (2003). Het despotisme der mathesis. Opkomst van de propaedeutische functie van de wiskunde in Nederland 1750-1850.. info. (ook: proefschrift Nijmegen) [books.google]

Harm Jan Smid (1997). Een onbekookte nieuwigheid? [An ill-considered novelty? Introduction, extent, content and significance of mathematics education on French and Latin schools 1815-1863] Dissertatie Delft. abstract pdf ophalen

Fred. Schuh (1940). Didactiek en methodiek van de wiskunde en de mechanica. Delft: Waltman.

• He also wrote The Master Book of Mathematical Recreations. Dover.
• wiki
• Danny Beckers (2005). Oud archief. NAW, 5/6 nr 4 pdf
• Schuh is een geweldig productieve studieboekenschrijver, hoogleraar aan de T.H. Delft. Wat didactiek betreft is hij een ervaringsdeskundige, die in dit boek geen kans ziet aan te sluiten bij bestaande literatuur op dit gebied. De aanmatiging gaat nog heel wat verder: het boek sluit af met zes causerieën voor de VARA, in 1936, onder de titel Hoe leert men denken?, ook geheel op eigen denkkracht bedacht. Ik vind het schitterend, het boek is ongetwijfeld een topstuk als het gaat om naieve didactische inzichten wis- en natuurkunde. p. v: "In dit boek heb ik mijn in den loop der jaren verkregen inzichten omtrent de juiste wijze van studeren neergelegd, in de hoop, dat daarmede een nuttig werk is verricht." Onmiddellijk verengt hij de didactische vraagstelling tot 'Hoe moet men de wiskunde bestuderen?' en 'Hoe moet men een wiskundig vraagstuk aanpakken?' Het boek blijft strak binnen deze enge kaders, geen moment van reflectie op de aard van de wiskunde, hoe studenten daarin op te leiden, hoe onderwijs is te ontwerpen, en wat het is om examenvragen kwalitatief goed te ontwerpen. Alles wat hoogleraar doet, is goed. Dat de 'didaktiek' van Schuh machteloos is, blijkt bijvoorbeeld uit een paragraaf 'Hoe moet men een in een leerboek voorkomend bewijs bestuderen?' waarin hij niet verder komt dan algemeenheden als 'bij elk der bestudeerde bewijzen de lijn weten te ontdekken, die er in zit, en vooral moet men trachten daaruit de algemene leringen te trekken, die ook voor de verdere studie van nut kunnen zijn. In- en uitpraten dus. Is dit een onrechtvaardig oordeel over de goedbedoelde poging van Schuh? Bedenk dan dat slechts enkele jaren later Adriaan D. De Groot promoveert op zijn proefschrift over het denken van de schaker, een geweldige prikkel bij het ontkiemen van de cognitieve wetenschappen. Er was zoveel meer mogelijk, professor Fred. Schuh! Zijn didaktiek kan mooi als nulmeting voor de Nederlandse situatie dienen. Een groep jonge honden is al voor 1940 bezig om werkelijk didactische vragen bij de wiskunde te stellen (de Wiskunde Werkgroep, waarover Freudenthal in de tachtiger jaren een artikel schrijft in Vernieuwing).

H. W. F. Stellwag (1961). Het probleem van de didactiek van het voorbereidend hoger en middelbaar onderwijs. In In I. J. Brugmans Honderd vijfentwintig jaren arbeid op het onderwijsterrein (189-211). Wolters.

• Stellwag heeft geen literatuur kunnen vinden, "geen algemene didactiek en zelfs geen enkele volledig uitgewerkte speciale didactiek van enig vak van het voorbereidend hoger en middelbaar onderwijs." Zij concludeert dat zo'n didactiek dus niet bestaat, terwijl er wel "onnoemelijk veel didactische problemen in deze sector van onderwijs" zijn. Uit arren moede gaat zij er dan toe over een terminologische uiteenzetting te geven, gevolgd door Een didaxologie van het gymnasiaal en middelbaar onderwijs.
• Een wonderlijke worsteling. Een tijdsbeeld?

Hans Freudenthal (1987). Werken aan onderwijs: Op weg. In zijn Schrijf dat op, Hans, Meulenhof, p. 335-363. html op dbnl.org

• Dit is een terugblik op zijn ideeën over onderwijs
• p. 336:
  "Maar wat me het meest schokte, was de onnoemelijk lange studieduur in Nederland - sommige van mijn studenten waren ouder dan ik. (...) De oorzaak van de lange Nederlandse studieduur was nogal duidelijk: de kleine patriarchale universiteiten, waar elke hoogleraar zich met elke student bemoeide en wel in de vorm van tentamens, over elk college afzonderlijk af te leggen - tentamens die zich bij een aantal hooggeleerden plachten uit te strekken over een hele dag, bij sommige zelfs over een hele week."
• F. zegt in de dertiger jaren een didactiek-colloquium te hebben geleid:
  "ik ben er vast van overtuigd dat ik tien jaar eerder [dan 1942, jaar van een onvoltooid manuscript over rekendidaktiek], toen ik het didactiek-colloquium leidde, ook al de wiskunde als middel tot 'leren denken' afwees."

  (p. 338)

• Een grote lijn is zijn strijd tegen het idee dat de structuur van de wiskunde ook die van het onderwijs moet zijn, zoals in New Math (p. 338), hij noemt dat de 'antididactische inversie' de neiging van de wiskundige "in het schoonschrift zijn gedachtengangen tegengesteld aan hun ontstaanswijze voor te stellen en liefst ook zijn onderwijs zo in te richten." Jammer, door dit soort overdreven taalgebruik lijkt F. de kans te missen didactische misstanden los te zien van de wiskunde als specifiek vak. Maar ja, voor psychologie had hij minachting. Dan straft ons lieve heer onmiddellijk.
• Een belangrijk onderdeel van de permanente campagne van F. is de theorie van de niveaus, de theorie van Pierre van Hiele, voorbereid in de intuïtieve onderwijspraktijk van Dieke Van Hiele-Geldof, dus geen eigen werk van F., en waaraan hij weinig tot niets lijkt te hebben toegevoegd (dat claimt hij ook niet; zie ook p. 352, 354 e.v.).
• p. 340: "Het deductief systeem van de meetkunde - het ideaal voor de eliteschool, was een schijnvertoning, zelfs voor de eliteleerlingen, en voor de massaschool nog minder dan dat." De schijn van de vertoning, F. maakt dat op deze plaats niet duidelijk, moet de onwaarachtigheid van de omkering zijn: beginselen/axiomatiek niet als eindpunt van het leerproces/onderzoek, maar als beginpunt. Inderdaad, het ene na het andere studieboek begin negentiende eeuw begint met definities en dan maar afleiden, jongelui. Deductief leren denken, dat was het wat de nagestreefde geestelijke vorming inhield. Een artikel van Van Dantzig over de maatschappelijke waarde van wiskundeonderwijs (Euclides, 3, 156-159) was gevaarlijke nieuwlichterij. F. verwijt E. W. Beth nog in 1955 het bijbrengen van de deductieve methode als hoogste doel van het wiskundeonderwijs te zien (p. 341).
• p. 349 e.v. de bekentenis eind vijftiger jaren een paar gelegenheden te hebben gemist om de New Math te dwarsbomen (bv. op het 1959 Rouyaumont Seminar)
• p. 353: 'geleide heruitvinding,' een idee dat stamt uit de Werkgroep, de Van Hieles, of Tatjana Ehrenfest. F. noemt het hier een 'typisch wiskundig-onderwijskundig idee.' "Niemand zou eraan denken leerlingen ook maar de eenvoudigste natuur- en scheikunde te laten heruitvinden, laat staan de aardrijkskunde en de geschiedenis." Werkelijk fantastisch hoe F. hier blijk ervan geeft niet te begrijpen wat geleide heruitvinding is. Ongelooflijk. Dan: mathematiseren. Met axiomatiseren daar weer als hoogste trap van. Geleide heruitvinding betekent dan het leren mathematiseren. Dat is wel weer begrijpelijk, en Deanna Kuhn zou er een cognitief-wetenschappelijk kader voor kunnen geven.
• p. 356 "Dat wiskunde in de realiteit wordt beoefend en ook zo moet worden onderwezen, is een denkbeeld dat zich in mijn ontwikkeling steeds verder ontplooide, mede door het besef van de cruciale betekenis van de reflectie." Dit is heel mooi, maar het blijft ervaringsdeskundigheid: wat mist is theorie en experiment. Mogelijk dat het Freudenthal-Instituut dat ondertussen heeft aangevuld ('rijke contexten', bv. Paul Drijvers (2006). Context, abstractie en vaardigheid in schoolalgebra. NAW, 5/7. pdf), dat moet ik nog bestuderen. Over de 'bronnen van de wiskunde in de realiteit' handelt zijn Didactical phenomenology of mathematical structures [Moet ik nog bestuderen]. Via de omweg naar de rijke context als grond voor mathematiseren komt F. dan alsnog tot de volgende stelling: (p. 360): "Wiskunde binnen de realiteit en daarom van immense vormende waarde, maar nog lang niet geaccepteerd."
• F. sluit dan zijn loopbaan af met nog wat lelijke dingen naar de psychologen en onderwijskundigen te roepen (p. 360). Het zij hem gegund, maar het geeft wel de beperkingen van zijn levenswerk aan, hij heeft zich teveel in zijn eigendunk opgesloten.

J. H. F. M. Klep (1998). Arithmeticus. Simulatie van wiskundige bekwaamheid. Computerprogramma's voor het generatief en adaptief plannen van inzichtelijk oefenen in het reken-wiskundieonderwijs. Tilburg: Zwijsen. Proefschrift.

• Een intrigerende studie. Ik heb er nog geen tijd voor kunnen vrijmaken. Het lijkt erop dat Klep in staat is de ontwikkeling in het wiskundig denken van individuele leerlingen te volgen, te monitoren, en mischien te sturen. Als er bovendien nog aandacht is voor een inventarisatie van oorspronkelijk aanwezige denkbeelden en misvattingen, dan zou dat helemaal prachtig zijn. Ik vermoed dat Klep deze naieve denkbeelden alleen afvangt wanneer ze bij het uitwerken van aangeboden opgaven aan het licht komen. Maar dan moet het mogelijk zijn om, op ongeveer de manier waarop Hestenes dat voor natuurkunde heeft gedaan, te beginnen met opgaven die gericht zijn op het opsporen van aanvankelijk bestaande naieve denkbeelden.

Gerard Alberts en Rainer Kaenders (2005). 'Ik liet de kinderen wèl iets leren.' Interview Pieter van Hiele. NAW 5/6 #3 september 2005, 247-251 pdf Zie voor annotaties bij publicaties van Pieter van Hiele en Dieke van Hiele-Geldof: hiele.htm

Realistisch rekenen is een didactische stroming waar niemand meer omheen kan, ook internationaal niet. Dan is het nog wel verdraaid lastig te achterhalen wat dan precies dat realistisch rekenen behelst. Ik ben er voorlopig nog helemaal niet uit, al heb ik uit mijn worsteling met geschriften van Hans Freudenthal wel begrepen dat hij onmogelijk de grondlegger van een wetenschappelijk gefundeerde didactische stroming kan zijn. Dat belooft dus interessant te worden. Ik heb me vast voorgenomen niet verstrikt te raken in argumenten van believers versus non-believers: alles wat riekt naar sectarisme hoort in een gezond debat niet thuis. Ik zoek dus serieuze literatuur, zoals onderstaand proefschrift van Prenger (2005), of dat van Goffree (1979) over Wiskobas.

Kort door de bocht: realistisch rekenen schuwt de abstractie, omhelst de context (sommen moeten vooral concrete betekenis hebben voor de leerlingen), en maakt gebruik van lekenpsychologie over oplosmethoden en transfer van kennis en kunde naar nieuwe situaties. Dit alles is toch een verrassende ontwikkeling, in de tweede helft van de vorige eeuw. Om meerdere redenen. Een heel interessant contrast levert de voortdurende verhoging van IQ, het Flynn-effect, dat suggereert dat leerlingen in de basisschool juist steeds beter de abstracties van het rekenonderwijs aan zouden kunnen. En dan zien we hier een beweging die juist daartegenin te gaan. Maar misschien vergis ik me daarin. Zie het recente boek van James Flynn ‘What is intelligence’ over hoe in de loop van de 20e eeuw mensen steeds meer ivormen van logisch redeneren oppikken (wat zijn verschillen en overeenkomsten), en dus niet meer vast zitten in een denken dat is gebonden aan de concrete wereld (waar zijn dingen goed voor, wat heb je eraan). Onderzoek van Genovese illustreert dat bijzonder treffend. Met andere woorden: het zou anno 2010 veel en veel eenvoudiger moeten zijn om de staartdeling te leren, dan dat in 1910 was. Maar in de filosofie van het Realisch Rekenen is dat juist omgekeerd. Dat lijkt me toch een empirisch te beslissen kwestie.

James R. Flynn (2007/2009). What Is Intelligence? Beyond the Flynn Effect. Cambridge University Press. isbn 9780521741477 — expanded paperback edition

Jeremy E. C. Genovese (2002). Cognitive skills values by educators: Historic content analysis of testing in Ohio. Journal of Educational Research, 96, 101-114.

• Abstract: High-stakes school examinations are 1 way a society expresses the cognitive competencies it values. The author investigated changes in the relative importance society places on different types of cognitive skills using 2 data sets that were separated by almost a century. The data sets used were Ohio high school entrance examinations between 1902 and 1913 and the Ohio 9th-grade proficiency tests of the late 1990s. Content analysis revealed an inverse correlation between text characteristics reflecting culturally valued knowledge and text characteristics reflecting the complexity of relationships between facts. These results suggest that the examinations from 1902 to 1913 demanded deep declarative knowledge of culturally valued information but expected only simple interrelations between facts. The modern proficiency examinations expected examinees to understand complex interrelations between concepts but expected only superficial knowledge of culturally valued information. These findings suggest that there have been substantial changes in the cognitive skills valued by Ohio educators over the course of the 20th century.
• Helaas heb ik nog niet meer dan alleen het abstract kunnen lezen.

Augustus 2008: Er breekt in de landelijke pers een discussie los over realistisch rekenen, voorafgaand aan de publicatie van een rapport van de Onderwijsinspectie. Het is niet echt moeilijk om in bijvoorbeeld de Volkskrant van 4 augustus, pagina 3, te lezen wat het probleem is. Het stuk is van Gerard Reijn, onderwijsverslaggever van de Volkskrant, en hij geeft het de titel mee Je zwemt drie keer zes meter onder water: hoe ver ben je? Ik neem aan dat dit geen authentieke realistisch rekenen vraag is, maar het zou zo maar kunnen dat een onderwijzer zo'n vraag wel stelt. Er natuurlijk niets realistisch' aan, de betekenis van de vraag en dus de bedoeling van de vraagsteller is onduidelijk, de leerling zal gewoon drie en zes met elkaar vermenigvuldigen, etcetera. Maar de echte onthulling zit in de opmerkingen van de door Reijn ondervraagde hoogleraar Van den Heuvel-Panhuizen, verbonden aan het Freudenthal Instituut. Zij kan geen onderzoek noemen naar de effectiviteit van de methode van realistisch rekenen versus zeg maar traditionele methoden, anders dan met kleine groepjes leerlingen. Er is dus geen onderzoek gedaan naar de effectiviteit van de methode van relistisch rekenen zoals die in een realistische onderwijspraktijk zou worden uitgevoerd: door onderwijzers die de methode niet echt goed begrijpen, die zelf niet echt goed zijn in rekenen, etcetera. Van den Heuvel-Panhuizen noemt een onderzoek van het Cito uit 1997 waaruit zou blijken dat de realistische methode duidelijk betere resultaten opleverde dan de oude schoolboekjes, zoals Reijn het samenvat, maar hij kan eraan toevoegen dat datzelfde Cito twee jaar geleden vaststelde dat de Nederlandse rekenprestaties waren gedaald. Van den Heuvel-Panhuizen benadrukt dat het Freudenthal Instituut nooit heeft bedoeld kinderen zoveel oplossingsmethoden aan te bieden als nu in de praktijk blijkt te gebeuren, en nooit uitgedragen te hebben dat gewoon oefenen minder belangrijk zou zijn (wat onderwijzers vinden). Maar daar gaat het juist om: niet hoe goed bedoeld de methode is, maar hoe de methode feitelijk door onderwijzers wordt uitgevoerd. Daar had onderzoek op gericht moeten zijn. Nu zitten we met dus met rekenonderwijs opgescheept dat een ramp voor het land dreigt te worden.

Gerad Reijn (4 augustus 2008). Je zwemt drie keer zes meter onder water: hoe ver ben je? De Volkskrant, p. 3

Een complicatie lijkt te zijn dat veel literatuur, ook onderzoekliteratuur, niet zozeer gaat over regulier onderwijs, maar over onderwijs zoals dat ervaren wordt door leerlingen met speciale handicaps, over speciaal onderwijs dus ook, of remedial teaching. Hoewel onderzoek bij leerlingen met speciale handicaps onvermoede inzichten kan verschaffen in de werking van bepaalde methoden, wil ik mijn toch al moeizame reis op weg naar een ontwerptechnologie voor toetsvragen niet extra belasten met de bijzondere eisen die deze categorieën leerlingen stellen aan het onderwijs. De scheiding is niet streng vol te houden, maar ik zal mijn best doen.

Rudolf Timmermans (2005). Addition and subtraction strategies: assessment and instruction. Proefschrift Radboud Universiteit Nijmegen, 2005. pdf van de samenvatting (Nederlands).

• Besproken door Anne van Streun in het Tijdschrift voor Didactiek der β-Wetenschappen, 22, 83-85. pdf

Joanneke Prenger (2005). Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het realistisch wiskundeonderwijs. Proefschrift RU Groningen. html of meteen de complete tekst als pdf

• Een ongemakkelijk onderwerp: voor het leren van wiskunde moet je eerst je taal leren. Zie ook mijn pagina eerlijkrekenen.htm.

L. Streefland (1988). Realistisch breukenonderwijs. Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. proefschrift RUU.

• NB: Streefland Dit is wetenschappelijk onderzoek. Wie beweert dat de invoering van het realistisch rekenen niet berust op empirisch onderzoek, zoals ik doe op deze pagina, moet dus laten zien dat dit proefschrift wel veel onderzoekt, maar niet wetenschappelijk is, of dat het wel wetenschappelijk onderzoek is, maar niet van de deugdelijkheid van realistisch rekenonderwijs, of dat het wetenschappijk onderzoek is naar de deugdelijkheid van realistisch onderwijs zoals gegeven in de onderzochte setting, maar dat deze laatste typisch niet overeenkomt met het onderwijs waarin tegenwoordig realistisch rekenen feitelijk wordt gegeven. Een aanwijzing dat het laatste type probleem mogelijk speelt, is natuurlijk het recente artikel van Drijvers over algebra-onderwijs. Ik scheer gemakshalve basisonderwijs en voortgezet onderwijs maar over een kam. Ik ben zo gemakzuchtig omdat de bewijslast aan de zijde van de realistisch rekenaars ligt. Het probleem is dan dat dit proefschrift 440 bladzijden telt, hoe bestudeer je zoiets? Uit de samenvatting maak ik op dat het karwei een succes is geworden voor de kleine groep aan het experiment deelnemende leerlingen, en dat lijkt me ook helemaal niet zo gek. Het springende punt is natuurlijk of iets dat op kleine schaal in een experimentele omgeving werkt met veel begeleiding en aandacht voor iedere betrokkene, dat ook doet wanneer een en ander in een standaard methodiek wordt uitgewerkt en als pakketjes naar scholen in Nederland en de wereld gestuurd. Dat laatste is niet onderzocht, zo te zien. Er is dus veel bevlogenheid, wat ik herken en hooglijk waardeer, maar het zou heel goed kunnen dat uitrollen van realistisch rekenen over het hele onderwijs een ondoordachte aanval is geweest op een daarvoor niet ontvankelijk systeem. Daar zoek ik antwoord op. Streefland geeft me dat antwoord niet in dit boek.
• In het Nawoord p. 427 e.v. vind ik verontrustende voorbeelden van vraagstukken waar leerlingen na een 'breukenleergang in het basisonderwijs' mee overweg zouden moeten kunnen. Het zijn vier voorbeelden: over geluidscassettes aangeprezen in reclamecampagnes, over benzineverbruik tijdens een autorit, over het kiezen van een tegelformaat voor een vloer van gegeven afmetingen, over het vullen van flessen wijn uit een vat met 4000 liter. Driewerf Hoera voor het realisme van deze opgaven: heeft dus niets met de leefwereld van basisscholieren te maken. Edward Thorndike zou er wel weg mee hebben geweten, vermoed ik, dat zou ik eens na moeten kijken (begin twintiger jaren van de vorige eeuw, hij zorgt dan voor een keerpunt in het rekenonderwijs). Dit Nawoord is een afknapper van jewelste; volgens deze tekst komen de leerlingen blanco naar het breukenonderwijs, waar ze in de gaten zullen gaan krijgen wat breuken zijn. Een psycholoog zou dit soort taal niet op papier kunnen krijgen: natuurlijk hebben kinderen al belangrijke noties van verhoudingen voordat ze aan dat breukenonderwijs beginnen. Wie onderwijs maakt dat volkomen langs die eigen bagage van de kinderen heen gaat, stuurt aan op tijdverspilling en rampspoed. Ik begrijp hier werkelijk niets van, hoe is dit mogelijk? (Zie Van Nes en De Lange (2007 (pdf)) voor doorbrekend besef dat die eigen bagage van belang is en dat je onderwijs daar dus iets mee moet). Aan het eind van de dag leren deze kinderen een stapel kunstjes en trucjes die alleen in naam iets met een andere 'realiteit' hebben te maken. Moet ik echt de voorgaande 400 bladzijden ook nog bestuderen? Hoe gaat Streefland om met het werk van de van Hiele's? Dit werk is van twee decennia geleden, wat zijn intussen de verdere ontwikkelingen geweest (Van Nes en De Lange verwijzen recent nog naar Streefland (1988) als voorbeeld van methodologische aanpak, het geldt dus nog als navolgbaar voorbeeld)? OK, ik zal de eerste hoofdstukken, het theoretisch kader etcetera, nog bestuderen. Gedaan. Streefland schetst het rekenonderwijs waar de 'realisten' zich tegen afzetten als mechanistisch onderwijs. Daar kan ik ongetwijfeld heel ver in meegaan. Maar dan ontwikkelt hij daartegenover een alternatief dat niet hemelschokkend minder 'mechanistisch' is, dat alleen op een andere manier is, beter doordacht, zeker. Het probleem is dat nog steed het onderwijs 'van bovenaf' bedacht en uitgevoerd wordt, ook al wordt sterk beleden dat de leerlingen zelf actieve rollen gaan spelen. Het is doodzonde dat Van Hiele's idee dat het misschien beter is breuken helemaal uit het lager onderwijs te halen, niet op zijn verdienste is onderzocht. Maar ja, hoe onderzoek je zoiets? Dat is nu net het probleem met deze rekendidactici: zij hebben werkelijk geen idee hoe je al deze ingewikkelde psychologische zaken zou kunnen benoemen, laat staan onderzoeken. Deze wiskundedidactiek, mogelijk een orde van grootte beter dan, pakweg, de didactiek van de vijftiger jaren, is nog steeds als een blind paard aan het draven in de psychologische porceleinkast. Bijvoorbeeld blijkt dat uit de manier waarop inspiratie uit de geschiedenis van de wiskunde wordt geput, wat op zich een ontzettend goed idee is om te doen (zie Fauvel & Van Maanen). Ook daar is geen enkele aandacht voor de cognitieve problematiek, met als gevolg dat alleen de buitenkant van de historische ontwikkelingen wordt gezien, niet geheel toevallig is dat ook de wiskundige kant. De lezer die deze problemen signaleert—heb je daar echt een opleiding cognitieve psychologie voor nodig?—ziet ook aan het taalgebruik van Streefland dat zijn denken voortdurend wegstuurt van de cognitief-psychologische issues waar het om zou moeten gaan, die in empirisch onderzoek toetsbaar zijn (nee, niet op de manier waarop hij zijn experimentele programma evalueert tegen leerlingen die andere programma's hebben gevolgd, dat is iets heel anders). Het is wel een beetje om wanhopig van te worden, want het is toch zo simpel: gooi de oogkleppen van de eigen discipline af, en zoek een interdisciplinair team bij elkaar. Ben ik te hardvochtig? Mogelijk, maar dit realistisch rekenen is wel een wereldwijde hype geworden, het kan wel wat tegenkrachten gebruiken. Zolang het maar geen 'back to mechanistic basics' wordt, dat ben ik met Streefland eens. [Onzin, natuurlijk, het 'eens' of 'oneens' te zijn. Dat is juist een probleem in de wereld van de wiskundedidactiek: heel veel empirisch toetsbare opvattingen waarbij men zelden op het idee komt die eens metterdaad empirisch te gaan toetsen, Dat vind je onder psychologen niet, om maar eens een dwarsdiscipline te noemen]

Fenna Van Nes and Jan de Lange (2007). Mathematical education and the neurosciences: relating spatial structures to the development of spatial sense and number. The Montana Mathematics Enthusiast, 4, 210-229 pdf

• Here (at last?) Freudenthal Institute researchers signal relevant research in the neurocognitive sciences.
• Last sentences: "We recognize that research into spatial sense is always an indirect attempt at trying to understand what is happening in the mind. Nevertheless, by taking into account the three components that we associate with spatial sense, and by relating them to each other in the way that we are, we aim to gain an understanding of how young children's early spatial skills may help them progress in their mathematical development. This is how we intend to better appreciate and more effectively cultivate young children's cognitive capacities that too often are underestimated or even neglected."
• Een laat inzicht, maar beter laat dan nooit. Toch? Jammer van meer dan die drie decennia eerder 'onderzoek' van het IOWO/FI

Fred Goffree (1979). Leren onderwijzen met Wiskobas. Onderwijsontwikkelingsonderzoek 'Wiskunde en Didaktiek' op de pedagogische akademie. Proefschrift RU Utrecht (promotoren: Sixma, Freudenthal).

• Realistisch rekenen. Goffree heeft een indrukwekkende reeks studieboeken voor wiskunde op de Pabo geproduceerd. Anno 2008 ziet het er naar uit dat voor Pabo-studenten een inhoudelijke greep op wiskunde niet meer nodig wordt gevonden: dat gaat de Nederlandse economie nog merken.
• Werkelijk bijzonder is deel I van dit proefschrift, Tussen rekenkunde en didaktiek; de onderwijzersopleiding omstreeks de invoering van de nieuwe kweekschoolwet. Goffree voert hier een historische reconstructie uit voor het rekenonderwijs aan de kweekscholen, met hulp van vele daarbij destijds direct betrokkenen. Het is, met wijsheid achteraf, bijzonder onthullend materiaal, ook voor die destijds betrokkenen zelf. Neem bijvoorbeeld het feit dat het rekenonderwijs aan de kweekschool niets, maar dan ook werkelijk niets te maken had met het rekenonderwijs dat deze studenten straks op de lagere school zouden gaan geven. Het kon daar dus onmogelijk een doeltreffende voorbereiding op zijn, en was dat waarschijnlijk ook niet. Betrokken docenten realiseerden zich pas achteraf deze wantoestand. Mogelijk werden zij daarbij geholpen door de ingrijpende koerswijziging bij de nieuwe kweekschoolwet van 1952. Goffree: "De oude vertrouwde rekenkunde diende vervangen te worden door het nieuwe, onbekende vak rekendidactiek." Een mooi voorbeeld van een wetgever die zich om het wat van het onderwijs bekommerde (zoals de Cie Dijsselbloem, 2008, graag ziet)? Het geheel, voorzien van veel voorbeelden uit de onderwijspraktijk aan de oude kweekschool, is een nuttig en noodzakelijk contrast voor de huidige praktijk van het rekenonderwijs, en de methode van het realistisch rekenen daarbinnen.
• Het eigenlijke onderwerp van het proefschrift, wat Goffree het ontwikkelingsonderzoek van Wiskobas noemt, is al even onthullend: werkendeweg knutselen aan een rekenmethodiek die met oude zonden in het rekenonderwijs breekt. Er is geen sprake van enige wetenschappelijke aanpak, geen gebruik van relevante inzichten uit bijvoorbeeld de onderwijspsychologie. Daar waren de deelnemers, onderwijzers en leraren, ook niet voor toegerust, en daar was de tijd ook niet voor beschikbaar. Dan blijft als enige wetenschappelijke inbreng die van de wiskundigen zelf over, met name Hans Freudenthal. Maar was niet juist een hoofdfout in het vroegere rekenonderwijs dat het alleen en uitsluitend vanuit de wiskunde werd gevoed en gestuurd? Dat bedoel ik met onthullend.
• Een onmisbare monumentale beschrijving van de wording van realistisch rekenen, althans enkele belangrijke kanten van die wordingsgeschiedenis.

W. J. Brandenburg (1968). Modernisering van het wiskunde-onderwijs. Wolters-Noordhoff.

• Een mooie beschrijving van de situatie voordat de IOWO-gekte toesloeg. Ook internationaal vergelijkend, trouwens. Geeft, kennelijk onafhankelijk van de rapportage van Wiegersma & Groen (1968), enkele internationale tabellen uit het IEA-onderzoek. Tabellen: in Nederland hebben we het nog heel lang volgehouden om resultaten in onleesbare tabelvorm te publiceren, in plaats van in grafische vorm.

S. Wiegersma & M. Groen (1968). Resultaten van wiskundeonderwijs. Een verslag van een onderzoek door het Nederlands Instituut voor Praeventieve Geneeskunde TNO uitgevoerd in het kader van het International Educational Achievement Project. Wolters-Noordhoff.

• Ik vindt met Google alleen het proefschrift van Klaas Bos dat er melding van maakt. Ik vermoed dat deze studie volkomen ten onrechte collectief is vergeten. Behalve door Hans Freudenthal (1975), natuurlijk.
• Ik heb er nog niet in gelezen, maar het volgende lijkt me relevant:
• Er zijn in Nederland vragenlijsten meegegaan naar leerkrachten.
• Ondervraagd zijn 13-jarigen, en eindexamenkandidaten vhmo.
• Alle gebruikte vragen zijn in het boek opgenomen.
• Wiegersma & Groen leveren een tijdopname van het wiskundeonderwijs in ons land in het begin van de zestiger jaren, in kwalitatief zowel als kwantitatief opzicht.
• De groep 13-jarigen (3055 leerlingen) is natuurlijk interessant in vergelijking tot resultaten van deze jaargroep op latere PISA en TIMSS onderzoeken.

Klaas Tj. Bos (2002). Benefits and limitations of large-scale international comparative achievement studies: The case of IES’s TIMSS study. Dissertation University of Twente. pdf

Hans Freudenthal (1975). Pupil’s achievements internationally compared - The IEA. Educational Studies in Mathematics, 6, 127-186.  preview

• Hans Freudenthal heeft er werkelijk geen idee van wat de organisatie van zo'n landelijk onderzoek (onderdeel van een internationaal onderzoek) allemaal om het lijf heeft. Hij geeft sterk de indruk zich gepasseerd te voelen in de hele onderneming: ten onrechte, hij had hem nooit kunnen uitvoeren. Ik weet niet of zijn verwijt terecht is dat er geen wiskundigen bij het TNO-onderzoek waren betrokken, ik weet ook niet of het geweldig ter zake is (dat is na te trekken door de bewoording van de opgaven te analyseren).
• De directeur van IEA reageert, waarop Freudenthal een kinderachtige dupliek geeft.
• G. F. Peaker (1976). A commentary on Dr. Freudenthal's article in: Educational Studies in Mathematics, vol. 6, no. 2. Educational Studies in Mathematics 7 (1976) 523-527.
• Hans Freudenthal (1976). Rejoinder. Educational Studies in Mathematics 7 (1976) 529-533

P. H. Schoute (1893). Het voorbereidend onderwijs in de meetkunde. Redevoering uitgesproken bij de overdracht van het rectoraat der rijksuniversiteit te Groningen. html

• "In de Educational Times van Maart 1893 komt een zeer lezenswaardig [pag. 8] artikel voor van Prof. W. H. H. HUDSON, getiteld ,‘The teaching of mathematics’. Daarin worden met betrekking tot het onderwijs zeer behartigenswaardige wenken gegeven. Eerst worden de drie volgende wetten ontwikkeld. Primo, het onderwijs moet het verstand van den leerling geheel in beslag nemen (law of understanding). Secundo, het onderwijs moet een bepaalde volgorde in acht nemen en steeds van waarneming door de zintuigen tot het vormen van begrippen, van het concrete tot het abstracte opklimmen (law of sequence). Tertio, het nieuwe en onbekende moet zich langs geleidelijken weg uit het oude en bekende ontwikkelen (law of continuity). Welnu, tegen elk dezer drie wetten zondigt de in onze handboeken gevolgde leerwijze. "

P. M. van Hiele 1973). Begrip en inzicht. Werkboek van de wiskundedidactiek. Muusses. Zie ook de pagina met aantekeningen bij werk van Van Hiele html

• "... een serie artikelen die een grote onderlinge samenhang vertonen. Centraal staat de teorie der denkniveaus.Er wordt bekeken, hoe ze optreden, waardoor ze ontstaan, hoe de docent en de leerlingen ze beleven. De metodieken waarbij de telescoped reteaching wordt toegepast zijn het antwoord op de problemen die door de denkniveaus worden veroorzaakt."

  [p. ix]

• De bundel bevat 26 artikelen en artikeltjes, eerder elders verschenen en hier in herziene vorm, of nieuwe artikeltjes.

Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift.

• uit de samenvatting zie Rekenproject: promotieonderzoek.htm#Miriam

cTWO Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs site

• "De commissie Toekomst WiskundeOnderwijs cTWO heeft van de minister opdracht gekregen voorstellen te doen voor nieuwe examenprogramma's voor havo en vwo per 2010. Verder is de commissie gevraagd te adviseren over doorlopende leerlijnen wiskunde van primair onderwijs (po) naar voortgezet onderwijs (vo) en hoger onderwijs (ho) en over didactische ontwikkelingen."

  [Rijk, p. 1]

• Rijk aan betekenis. Visie op vernieuwd wiskundeonderwijs. Concept 18 september 2006 ten behoeve van veldraadpleging oktober 2006 pdf
• The report's didactics paragraph (p. 5) is disappointing: the usual one-way thinking on how to get mathematics content in the heads of the pupils. There is not the faintest notion that at least some pupils might be hampered in this process by common sense ideas about whatever they think mathematics is about. The committee emphasizes enthousiasm and a host of other positive personal attributes in students and teachers alike. A kind of whistling in the dark, for the committee must know very well that many pupils do not succeed in relating meaningfully to the mathematics materials offered them. The committee must think that such is the result of a lack of effort on the part of teachers and committees like their's. In this way the problems will stay with us for centuries to come. Can we afford that?
• The case of probability lends itself for an illustration of the point I want to make. People have strong common sense convictions concerning the role of probability in every day's events. Statistics courses that do not deal with these common sense ideas, will fail miserably in reaching the beautiful goals of insight and competence in ..... (follows the list of subjects or themes). The publications of John Garfield and colleagues make the point perfectly clear, see elsewhere on this page.
• Chapter 6 on Instructional design (Didactische vormgeving) elaborates this bucket-learning philosophy, tightly connected to cognitive science ideas though. It may be one-sided, but it is not stupid, of course. Consider the position taken in Standpunt 7: "In de didactische vormgeving staat het verwerven van een sterke intern-wiskundige samenhang van het netwerk aan concepten in de curricula centraal. Brede contexten (wiskundig of toegepast) kunnen daar als denkmodellen een bijdrage aan leveren. Niet-authentieke 'contexten' en 'verhaaltjessommen' moet worden vermeden." That is very good. The items in the Nationale Rekentoets are for the garbage man.
• Poor students. They do not get the attention they need from this committee.
• Op cTWO 'Forum' geplaatst: De 'Rijke' commissie gaat voorbij aan de bagage die leerlingen zelf meebrengen, hun naieve opvattingen over de wereld, die op de een of andere manier plaats moeten maken voor wat cTWO in de aanbieding heeft (wat allemaal heel prachtig is, op zich, mijn complimenten). De onderwijsopvatting van cTWO is wat in de literatuur wel de 'bucket-theory' heet: in den beginne zijn de hoofden leeg, en wij vullen die met rijke wiskundige kennis en inzichten. Piaget heeft al geleerd dat dat bij jonge kinderen zo niet werkt. John B. Garfield laat zien dat het zo voor statistiek niet werkt, tot op het hoogste niveau overigens (denk aan het Monty-Hall-probleem) [zie boven]. David Hestenes heeft laten zien hoe makkelijk het natuurkunde-onderwijs zo de mist in gaat, en een test voor 'folk physics'-ideeën ontworpen. Kortom, er ligt een enorme didactische uitdaging, waar in 'Rijk' geen spoor van is terug te vinden.
• De definitieve versie van het visiedocument is 30-3-2007 beschikbaar gekomen pdf 3Mb

TIMMS Trends in International Mathematics and Science Study Nederlandse site

• TIMSS 2003 pdf

SLO Prototype van een Hulpprogramma rekenen-wiskunde groep 7/8. Webpagina met materialen (downloaden).

• Dit n.a.v. een stukje in de NRC van 9 december 2006. Het is een piepklein project. Dat roept de vraag op: moet het wiel nog steeds worden uitgevonden, of volgt dit uit degelijke didactische kennis die op wonderlijke wijze nog steeds niet in het onderwijsveld zelf is doorgedrongen? Heel vreemd. Ik heb niet echt de tijd om dit uit te zoeken, wie antwoorden heeft, melden maar. Wat ik niet vanzelfsprekend vind: dat 'zwakke rekenaars' een in didactisch opzicht ander programma zouden moeten krijgen. Dat veronderstelt immers dat hun hersenkronkels op een bepaalde manier anders liggen, dat het probleem niet alleen maar is dat deze leerlingen meer tijd nodig hebben dan anderen.

Dutch historical

Jenneke Krüger (2014). Actoren en factoren achter het wiskundecurriculum sinds 1600. Actors and factors behind the mathematics curriculum since 1600 (with a summary in English). Dissertatie Universiteit Utrecht (promotor: Jan A. van Maanen). pdf

Interessante studie. Het controversiële deel: ‘Lessen voor de 21e eeuw’

• • I Inleiding
  • II De Duytsche Mathematique in Leiden, 1600-1681
  • III De Fundatie van Renswoude in Utrecht, 1756-1810
  • IV De HBS in Nederland, 1863-1900
  • V Lessen voor de 21e eeuw

Jenneke Krüger (2010). Lessons from the early seventeenth century for mathematics curriculum design. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 25, 144-161. abstract

W. Oonk, M. van Zanten en R. Keijzer (2007). Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling. Perspectieven voor de opleiding. Panama-Post, 26 #3, 3-18 pdf

D. J. Kruijtbosch (1936). Avontuurlijk wiskundeonderwijs. Bijdragen tot een meer boeiende didactiek van de beginselen der wiskunde. W. L. & J. Brusse’s Uitgeversmaatschappij

Kruijtbosch wil belangstelling wekken, bezielen tot een levend en boeiend onderwijs. Romantisch, maar wel een misvatting die leerlingen in de steek laat. Het is beheersing van de stof die intrinsieke motivatie oplevert, net omgekeerd.

• Ik zal me in hoofdzaak beperken tot het elementaire onderwijs in rekenen en wiskunde te geven aan leerlingen van ongeveer 10 tot ongeveer 15 jaar in de hoogste klassen der Lagere en de laagste klassen der Middelbare School.

Arnoldus Bastiaan Strabbe (1799). Eerste beginselen der fluxie-rekening, behelzende eene duidelyke verklaaring van de gronden deezer voortreffelyke weetenschap, benevens haare toepassing en gebruik in onderscheidene deelen der wiskunde, door Arnoldus Bastiaan Strabbe, mathematicus en wynroeijer te Amsterdam. Te Amsterdam, by J. B. Elwe, Boekverkooper op de Pypemarkt by den Dam. pdf earlydutchbooksonline.nl

Evert Floryn (1797). De arithmetica; of, Rekenkunst, op den koophandel toegepast, in volkomen uitgewerkte voorstellen, ten dienste der Nederlandsche jeugd: door Evert Floryn, mathematicus en geadmitteerd landmeeter. Te Amsterdam, by de erfgen. van de wed. Cornelis Stchter.. pdf earlydutchbooksonline.nl

H. Aeneae (1791). Reekenboek voor de Nederlandsche jeugd. Eerste deel Maatschappij tot Nut van ’t Algemeen. pdf earlydutchbooksonline.nl

Arnoldus Bastiaan Strabbe (z.j.). Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst ten gebruike der schoolen. Eerste deel. Opgedragen aan ’t Genootschap der Mathematische Weetenschappen, onder de Spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven. Te Amsterdam, by J. B. Elwe, Boekverkoper, op de Pypenmarkt by den Dam. pdf earlydutchbooksonline.nl

Jean des Fontaines (1790). De cyfferkunst gemakkelyk gemaakt of de beginzelen derzelve op eene nieuwe en zeer klaare wyze voorgesteld door Jean des Fontaines. Eerste deel. ’s Gravenhage, by J. C. Leeuwestyn. earlydutchbooksonline.nl

Gerard van Steyn (1768). Liefhebbery der Reekenkonst. Zynde eene Verzaameling van Examens, Over de Reekenkonst op verscheiden Vacante Schoolmeesters Plaatsen voorgevallen. Waar in veele Konstige, Nuttige, en zeer Vermaakelyke Quaestien der Reekenkonst gevonden worden. Benevens een Aanhang van Examen-stukken, Behoorende tot dezelve, alles met de Ontbinding, tot Vermaak der Konst-Beminnaars; en ten dienst van Jonge Oeffenaaren der Reekenkonst, Verzamelt, Opgelost, en meede gedeelt door Gerard van Steyn. Schoolmeester en Voorz: te Bovenkarspel. Eerste Deel. Bij Pieter Huart, Boekverkoper op het Rokin, op de hoek van de Valbrug. 1768. books.google.nl

Fred Goffree (2005). Wiskundeleraren over hun didactiek. De periode voor de grote veranderingen (1924-1968). In Fred Goffree, Martinus van Hoorn en Bert Zwaneveld: Honderd jaar Wiskundeonderwijs (105-120). Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren.

• De subtitel is een tikje aanmatigend (Goffree doelt op de oprichting van het IOWO en het baanbrekende werk dat vervolgens is verricht).
• Heel informatief. Gebaseerd op doorstruinen van de jaargangen van Euclides. “Het beeld dat daarin naar voren komt wordt gekenmerkt door het verschuiven van de aandacht van de wiskunde naar de didactiek.”
• Over Bunt; “Interessant is tot op de dag van vandaag zijn opvatting dat in schoolboeken de wiskunde en de uitleg moeten domineren, en niet de didactische opmerkingen: ‘Zulk gekeuvel dient buiten onze leerboeken te blijven’.”
• Voor mij interessant: “In 1951 stelt dr. P. Bronkhorst zijn wens naar een meer uniforme beoordeling van de leerlingen aan de orde (1951-1952). Hij is zelf van mening dat men in proefwerken geen creativiteit moet vragen. En ook mag men wel eens beter nadenken over de moeilijkheidsgraad van opgaven.” Over die creativiteit: hoe terecht! Over de moeilijkheid: ik vermoed dat hij doelt op de neiging van docenten om in proefwerken en tentamens net wat moeilijker vragen te stellen dan in het onderwijs behandeld. Dit is door Hans Crombag gehekeld. Ik heb er mijn model op losgelaten (zie mijn voordracht COWOG 1998).

Wim Groen (2003). Vier decennia wiskundeonderwijs. NAW, 304. pdf

D. J. Sakkers (W. Zwaan, herziening) (1949). Vraagstukken 400 voor Gymn. B, H. B. S. VB, Lyceum en wiskunde L.O. W. J. Thieme.

• Voor klassen III en hoger.
• p. 5-7: Programma HBS B, klas I t/m V. Het programma voor Gymnasium B is vrijwel gelijk (geen Beschrijvende Meetkunde, Analytische Meetkunde t/m de kegelsneden)

Danny Beckers (2003) ‘Het despotisme der mathesis.’ Opkomst van de propaedeutische functie van de wiskunde in Nederland 1750-1850. Verloren.

What might have happened then in the centuries since is that the vocational contexts gradually were replaced by articifial contexts, and that word problems partially were replaced by context-free arithmetic exercises. I'd like to know much more about the historical developments since the 16th century, because it is to be suspected that these changes scarcely were premeditated, and might have been driven by the interests of teachers, to name but one group of stakeholders in education.

D. J. Struik (1936). Mathematics in the Netherlands during the first half of the XVIth century. Isis, 25, 46-56. jstor

D. J. Struik (1990). Geschiedenis van de wiskunde. Aula. isbn 9027422109, 320 blz. paperback. [Digitaal: dbnl]

• Of course, this is a famous history of mathematics, originally written in English, and translated in numerous languages. The Dutch translation is authorized by Struik himself, he was born in the Netherlands, and worked most of his professional life at MIT.
• Struik assumes his readers to be mathematicians, though.

Fred Goffree, Martinus van Hoorn en Bert Zwaneveld (Red.) (2000). Honderd jaar wiskundeonderwijs. Een jubileumboek. Leusden: Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren.

• Een noodzakelijk boek. Waarom? Het wiskundeonderwijs kent heel weinig diversiteit wanneer het voor Nederland anno het jaar zoveel wordt bekeken. Trouwens, ook internationale vergelijking zou vooral eenvormigheid opleveren, vermoed ik. Toch is diversiteit nodig om zicht te krijgen op verbanden tussen wiskundeonderwijs en maatschappelijke ontwikkelingen, of tussen wiskundeonderwijs en ontwikkelingen binnen de wiskunde zelf. En daar is geschiedenis geweldig behulpzaam bij. Honderd jaar is een mooie periode, met heftig lelijke wereldoorlogen en daardoor getriggerde maatschappelijke veranderingen. Duizend jaar zou ook mooi zijn, met het werk van Fibonacci erbij (13e eeuw), maar die honderd jaar staat dichter bij ons omdat het een tijdsbestek is waarvan onze eigen leraren het begin nog hebben meegemaakt. Met 32 hoofdstukken ook mooi divers, dat komt mij goed uit, mogelijk werkt dat beter dan een monografie.
• Jammer dat ik het boek pas laat in handen kreeg, ik had niet verwacht dat een boek als dit zou bestaan. Ik ga het zeker een aantal keren doornemen. Eerst diagonaal, om een overzicht te krijgen, en om er de juweeltjes uit te halen. Maar ook close-reading, naar epistemische opvattingen over wiskundeonderwijs zoals die door diverse auteurs al reflecterend worden besproken of aangestipt, en door (andere) mogelijk ongewild geëtaleerd.
• Jan van de Craats (2000). Honderd jaar wiskundeonderwijs. Boekbespreking. NAW 5/1 nr. 4 . pdf "Die twee citaten geven goed de paradoxale situatie weer van het vak Wiskunde A: het proefwerk- en eindexamenkeurslijf dwingt leraren en examenmakers vooral om leerlingen 'dichtgetimmerde' sommen te laten oefenen. De 'realiteit' van de opgaven is er vaak met de haren bijgesleept: als regel is er een gekunstelde context waarin aannamen worden opgelegd die eigenlijk de toets der kritiek niet kunnen doorstaan. Zelf kritisch nadenken wordt daardoor eerder ontmoedigd dan gestimuleerd. Heel anders is het wanneer leerlingen in groepsverband een groter, open geformuleerd project kunnen uitvoeren. Dan kan enthousiasme en creativiteit ontstaan. Maar kunnen we de stok achter de deur van de proefwerken en examensommen missen? Daarover had ik graag een uitgebreide beschouwing gelezen."

L. Bouwman (1871). Het rekenen uit het hoofd in de lagere school. De Schoolbode. Tijdschrift voor Onderwijs en Opvoeding, 308-320. Voor een annotatie zie hist_rekendidactiek.htm.

Tine de Moor en Jan Luiten van Zanden (2008?). Uit fouten kan je leren. Een kritische benadering van de mogelijkheden van 'leeftijdstapelen' voor sociaal-economisch historisch onderzoek naar gecijferdheid in het pre-industriële Vlaanderen en Nederland. pdf

• "Nog fundamenteler is de vraag of geletterdheid wel de belangrijkste vorm van menselijk kapitaal is. Minstens even belangrijk in de context van sociale en economische verandering is de mate waarin mannen en vrouwen in staat waren te tellen en te rekenen, een vaardigheid die voor alle vormen van marktverkeer van essentieel belang moet zijn geweest. Om deze rekenvaardigheid van een bevolking te meten is er sinds enige tijd een methode ontwikkeld die vergelijkbaar is met het registeren van handtekeningen onder aktes. Uit volkstellingen blijkt dat respondenten vroeger vaak geneigd waren hun leeftijd op nul of vijf te laten eindigen, een effect dat bekend staat als age heaping of leeftijdstapelen. Het toont aan hoe onzeker men was over de precieze eigen leeftijd en gewend was te werken met ronde getallen, kortom, hoe beperkt (zo wordt in de literatuur aangenomen) hun rekenvaardigheid of — meer algemeen — gecijferdheid was. De methode van het leeftijdstapelen maakt het dus mogelijk om nieuwe inzichten te ontlenen aan 'fouten' in bronnenmateriaal en het boort, zoals we zullen aantonen, een hele reeks bronnen aan voor sociaal-economisch onderzoek."
• "Terwijl elders in West-Europa zo'n 35 tot 45 procent van de bevolking een onjuiste leeftijd opgaf bij volkstellingen, was dit percentage in de Lage Landen rond 1500 slechts zo'n vijftien à twintig procent, waarna het in de zestiende eeuw — afgaand op de Amsterdamse gegevens — verder daalde tot vijf procent of minder. Daarmee was de revolutie van de gecijferdheid — die zich elders tussen 1600 en 1900 afspeelde — in delen van de Lage Landen al rond 1600 afgerond."
• "De sterke positie van vrouwen in de wereld van de gecijferdheid is misschien wel het meest verrassende resultaat van deze nieuwe methode. Deze conclusie staat in ieder geval haaks op het bekende beeld dat de laat middeleeuwse en vroeg moderne samenleving vooral investeerde in het menselijk kapitaal van de man, en dat de vrouw in dit opzicht een voortdurende achterstand had."

Marjolein Kool (1999). Die conste vanden getale. Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Hilversum: Verloren. html of html

• Hoofdstuk 5 Doelgroep, doelstelling, leerstof en didactiek van de rekenboeken p. 198-244. p. 243: "Grote aantallen realistische vraagstukken worden stap-voor-stap voorgerekend. Oplosmethodes worden gepresenteerd als rekenrecepten. (...) Waarom het rekenrecept werkt, is niet belangrijk. De doelstelling van de rekenboeken is praktisch en niet wiskundig. De leerling wil weten wat hij moet doen en niet waarom hij het zo moet doen. Door middel van voorbeelden met hun oplossing worden de rekenrecepten in het geheugen geprent." Kijk, die laatste zin past ook vandaag nog wel op sommige situaties die in het onderwijs voorkomen; het is ongetwijfeld een krachtige, hoewel mogelijk niet altijd even bewuste, opvatting van vele betrokkenen over hoe je rekenen leert en doet, maar dat kan de empirische literatuur over de epistemologie van leraar en leerling in het rekenonderwijs laten zien (o.a. Elizabeth A. Davis in Review of Educational Research, 2007)
• Marjolein Kool stelt (p. 243) "Bewijzen en definities ontbreken over het algemeen." Wat althans mijzelf opviel bij oude rekenmethoden zoals behandeld in Smeur (1960, zie beneden) is dat tot de methode zelf soms ook een onafhankelijke controle op het verkregen resultaat hoort, d.w.z. een controle die niet bestaat uit nog eens narekenen, maar een daarvan onafhankelijke methode om de jusitheid van het verkregen resultaat te controleren. Dat is toch boeiend, hoe zit dat precies, en hoe en waarom is dat gebruik later verdwenen? Marjolein Kool behandelt dit onderwerp in paragraaf 3.3. De proeven: de negenproef, de zevenproef, de drieproef. Werkelijk verbazingwekkend, al is de wiskundige basis van bijvoorbeeld de negenrpeof eenvoudig beschreven als (a+b) mod 9 = ( a mod 9 + b mod 9) mod 9. Hoe dat dan werkt: zie p. 92. Deze proeven dekken niet alle mogelijke fouten, daarom wordt ook wel een andere controlemethode gebruikt: de inverse bewerking.
• Dit hoofdstuk bevat veel meer boeiende informatie dan Marjolein Kool in haar afsluitende paragraaf aangeeft. Zoals bijvoorbeeld het uitbundig verbale karakter van de inhoud van deze boeken, bij sommige auteurs verhelderd door schema's die het uitvoeren van de rekenmethoden kunnen ondersteunen (denk aan zoiets als onze huidige staartdeling). De regel van drieën, de belangrijkste onder de gevorderde rekenmethoden, is zelf eigenlijk al zo'n schema: de vierde term vinden bij twee gegeven verhoudingen (zeg ik dat goed?).
• De studie is vooral historisch, met veel zorg voor de weergave van details. Kool heeft bepaald geen wiskundig-didactisch en/of cognitief-psychologisch kader gebruikt, er ligt kortom nog een mooi veld braak voor volgende onderzoekers.

A. J. E. M. Smeur (1960). De zestiende-eeuwse Nederlandse rekenboeken. 's-Gravenhage: Nijhoff. [with a summary in English]

• Zie ook de lijst Nederlandstalige rekenboeken tot ca. 1750 hier
• Als voorbeeld, uit de vroege 17e eeuw, een korte telkunst van Ioanne Nepero, vertaald door Adriaan Vlack html

W. van de Vooren (1919/1933). Grenswaarden. Eene inleiding tot de differentiaal- en integraalrekening. Noordhoff.

• In 1919 bedoeld als leerboek voor nog als vak op de HBS in te voeren 'differentieel- en integraalrekening'. De tweede editie is vrijwel gelijk aan de eerste.

H. Strootman (1855, 1848). Beginselen der cijferkunst, bepaaldelijk ten dienste van hen, die zich verder op de wiskunst willen toeleggen. Eerste gedeelte. Vierde vermeerderde druk 1855, zonder de antwoorden daarop. Tweede gedeelte. Tweede vermeerderde druk 1848, zonder de antwoorden daarop.

• p. 60 e.v. Achttiende les, Over de oplossing van vraagstukken. : par. 175 "In elk vraagstuk komen altijd eenige getallen voor, en men vraagt naar een of meer andere getallen. De eerste getallen worden de bekende of gegevene getallen genoemd, en de getallen, waarnaar gevraagd wordt, noemt men de onbekende getallen." par. 176. "Door het oplossen van een vraagstuk, verstaat men het vinden van het onbekende getal uit de gegevene of bekende getallen. Hiertoe moet men, na het vraagstuk wel verstaan te hebben, 1.) beoordelen door welke bewerkingen het onbekende getal uit de gegevene of bekende getallen kan worden afgeleid; 2.) die bewerkingen met de gegevene getallen werkelijk verrichten."
• Deze opvatting van Strootman past precies op de schoolpraktijk, ook op Bartjens, maar heeft natuurlijk met wiskundig redeneren of modelleren niets te maken. Het zijn opvattingen als deze die direct leiden tot de misstanden die Verschaffel en anderen hebben aangetoond voor redactiesommen: leerlingen passen genadeloos Strootman's par. 175 toe, ook al is dat nog zo onzinnig gelezen de tekst van de vraag. Het "wel verstaan van het vraagstuk" blijft een vrome wens.
• Strootman geeft dan enkele voorbeelden in algemene vorm, als item form in hedendaagse taal. par 177: "Het beloop te berekenen van eene gegeven hoeveelheid van koopmanschappen, wanneer de prijs van de eenheid der maat, waarmede zij gemeten zijn, bekend of gegeven is."
• par. 178: "Wanneer de prijs van ééne eenheid van zekere waar gegeven is, vraagt men de hoeveelheid te bepalen, die men van deze waar voor een bepaalde som kopen kan."
• par. 179: "Gegeven zijnde de hoeveelheid van zekere waar, benevens de som, die men er voor betaald heeft, vraagt men te berekenen, hoeveel de eenheid van het gewigt of de maat bedraagt."

P. Wijdenes (1924, 1927, 1928). Nieuwe school-algebra deel I, II, III. Noordhoff.

• Dit is kindermishandeling. Geen enkele motivatie komt in deze boekjes voor (zoals dat bij Van Gelder een eeuw eerder nog wel het geval was?). Sommige opgaven zijn van de ergst denkbare soort, door Thorndike voor het rekenonderwijs al tamelijk beslissend in 1924 afgebrand (dat kon Wijdenes voor zijn eerste uitgave dus nog niet weten, en mogelijk heeft hij het nooit geweten. Weet iemand antwoord op de laatste vraag?).
• De intrigerende vraag is natuurlijk: hoeveel van deze belazerde didactiek is er anno 2007 in ons onderwijs, bijvoorbeeld in het denken van universitaire wiskunde-docenten, overgebleven? Natuurlijk, het waren andere tijden, wiskunde gold onverbloemd als selectiemiddel in het onderwijs, en niemand had er moeite mee tegelijk te beweren dat het het denken scherpte. De indrukwekkende cijferreeksen van Posthumus over overgangsbeslissingen in de HBS van zijn oorsprong tot aan 1940 laten evenwel zien dat leerlingen er als collectief dus geen enkele verdediging tegen hadden, tegen die selectieve druk.

Versluys, Jan (1920). Over methoden bij het oplossen van meetkundigevraagstukken. P. Noordhoff. — vierde druk bezorgd door P. Wijdenes. Tekst 1898 editie integraal online beschikbaar

Danny Beckers en Marjolein Kool (2004). Willem Bartjens (1604/2004). De Cijfferinghe (1604). Het rekenboek van de beroemde schoolmeester. Hilversum: Verloren. dbnl.nl

• Het eeuwfeest was aanleiding nog eens te gaan zoeken naar een exemplaar van die eerste editie, en dat is gevonden in Antwerpen. Een facsimile hiervan is in dit boek opgenomen. Dan is nu dus te zien dat de editie van 1779 nauwelijks verschilt van die van 1604, in ieder geval zijn de oorspronkelijke gedichtjes eruit verdwenen.
• Verschenen in de serie Rekenmeesters
• Een niet onbelangrijke mededeling van de auteurs is dat in die 17e en 18e eeuw het rekenonderwijs direct betaald werd door de (ouders van de) leerlingen, en dat zij dat deden in de verwachting met die rekenkunst de investering terug te verdienen. Direct beroepsgericht dus, meestal in Franse scholen. Voor het beroep van rekenmeester was het voldoende om voor bekende situaties de passende berekening te kennen of die even te kunnen opslaan in dit handige pocketboekje. De voorloper van het gedrukte rekenboekje zijn persoonlijke boekjes geweest waarin de eigenaar voor bepaalde problemen de bekende oplossingsmethode opschreef, al naar gelang daar behoefte aan was, dus werkendeweg en niet in school. Waarmee is gezegd dat het eeuwenlang niet ging om het rekenen als rekenen, maar om de trucjes van de specifieke oplossingen voor specifieke gevallen. En dan zijn er nog lieden die beweren dat geschiedenis ons niets te leren heeft. Deze geschiedenis leert dat we er mogelijk goed aan doen ons beter te realiseren dat ons hedendaagse rekenen-om-het-rekenen niet zo vanzelfsprekend is als we vanuit onze eigen onderwijservaring bijna noodzakelijk denken. We mogen er dus wel iets respectvoller mee omgaan, bedoel ik.
• Danny Beckers over leven en werk van Bartjens, in NWA 5/5 2004 pdf

Willem Bartjens (1604/z.j.). De vernieuwde cyfferinge van Mr. Willem Bartjens, waar uit men meest alle de Grond-regulen van de Reeken-konst leeren kan. Herstelt / vermeerdert en verbetert, door Mr. Jan van Dam. En nu in deezen laatsten Druk op Nieuws ieder Vraag nagezien, bewerkt, en van alle voorgaande Fauten gezuiverd, door den Wel-ervaren Reken-meester Klaas Bosch. By Adam Meyer, Boekverkooper / op de Nieuwezijds Voorburgwal / over de Nieuwe Kerk / in de Zwarte Hen. pdf earlydutchbooksonline.nl

Willem Bartjens (1604/1779). De vernieuwde cyfferinge van Mr. Willem Bartjens, waar uyt men meest alle de grond-regulen van de reeken-konst leeren kan. Herstelt / vermeerderd ende verbeterd. Door Mr. Jan van Dam, en nu in dezen laatsten druk op nieuws yder vraag na gezien, bewerkt, en van alle voorgaande fauten gezuyvert, door den wel-ervaren reeken-meester Klaas Bosch. By Joannes Kannewet, boekverkoper in de Nes / in de Gekroonde Jugte Bobel 1779. Het boek is gescand beschikbaar op books.google.nl. De scans op mijn website zijn van mijn eigen exemplaar gemaakt.

• Klik op de afbeeldingen voor een leesbare weergave.
• Voor de sudoku-liefhebbers: De laatste bladzijde 184 (het hoekje is van de bladzijde af, vandaar het verkeerde nummer 182) geeft de techniek voor het maken van een magisch vierkant.
• De volgorde van de afbeeldingen is chaotisch, maar bij een echt smal raam valt de rangschikking tegen de rechterkantlijn aan goed uit.
• Blz. 68-69 laat de regel-van-drieën voor breuken zien, een voorbeeld met uitwerking, en nog een reeks redactiesommen. Dit is typisch voor het boek in zijn geheel: de opgaven gaan over een koopmanspraktijk, de redactiesommen zijn daarom ook altijd van hetzelfde type met een eenduidig te berekenen correct antwoord. Ik ben benieuwd of dit rekenonderwijs inderdaad vrijwel volledig in de vorm van dit soort recht-toe-recht-aan redactiesommen werd gegeven, dat moet eindeloos vermoeiend zijn geweest. Deze gebrekkige didactiek maakt geen onderscheid tussen de rekenvaardigheid op zich, die met getalsmatige opgaven beter te oefenen zou zijn, en het omzetten van redactieopgaven tot de gelijkwaardige rekenopgave.

Grondbeginselen der rekenkunde uit 1828 door het Leidse Wiskundig Genootschap (heruitgave met inleiding door Danny Beckers en Harm Jan Smid: Hilversum: Verloren. (Zie books.google, volledige tekst?)

• p. 33: "Het Verlichtingsdenken had echter ook zijn weerslag op de wiskunde. Exactheid werd verheven tot norm voor wiskundige redering. Dat betekende dat empirische resultaten of gewoontes niet langer meer in de wiskunde thuishoorden. De nieuwe wiskunde zuiverde deze 'minder eacte' elementen uit." Paragraaf 4.1 uit de Inleiding zou zomaar een sleutel kunnen zijn tot begrijpen waarom we vandaag leerlingen lastig vallen met schoolse wiskunde. b.w.
• Echt een schoolboekje. Opgaven, voorbeeldige uitwerkingen. Schitterend facsimile.

A. Leen (1961). De ontwikkeling van het rekenonderwijs op de lagere school in de 19e en het begin van de 20ste eeuw. Groningen; Wolters. Proefschrift Vrije Universiteit Amsterdam.

L. van Gelder (1969). Een theoretische en practisch-didactische beschouwing over het rekenen in het basisonderwijs. Vijfde druk. Groningen: Wolters-Noordhoff.

• Maakt een archaïsche indruk, en toch nog geen halve eeuw geleden. Mijn ervaring met dit boekje is dat het moeizaam lezen is zonder al over een sterk theoretisch kader te beschikken: wat Van Gelder vertelt is niet strak en weinig empirisch, en dat verandert niet echt wanneer ook zijn uitvoerige noten erbij worden betrokken. Met een sterke theoretische achtergrond, zoals Verschaffel, Greer en De Corte (2000) voor redactiesommen, of John Anderson's ACT-R theorie voor de cognitieve psychologie, vallen veel zaken bij Van Gelder toch wel op hun plek. Waar Anderson wijst op de gigantische kloof tussen de wiskundige simpelheid en psychologische moeilijkheid van zoiets als 3 + 4 = 7, komt dat inzicht/ervaringsfeit ook bij Van Gelder prominent voor.

HKRWO Historische Kring Reken- en Wiskunde Onderwijs site

P. Wijdenes (1919). Lagere algebra. Leerboek voor de acte wiskunde L.O. en voor inrichtingen van onderwijs met uitgebreid wiskunde-programma. Deel I. De algebraïsche grootheden en hare bewerkingen. Groningen: Noordhoff. Eerste druk.

• Toch wel verbluffend te zien hoe Wijdenes alleen wiskunde behandelt, dus geen motivatie voor wat dan ook geeft, geen historische verbanden, geen didactische ervaringen, geen ontwikkelings-psychologische issues in verband met wiskundeonderwijs. Geen begin van een aanduiding dat het voor kinderen van zes jaar ongelooflijk moeilijk is met abstracte getallen te werken, ook al hebben ze al wel het nodige getalbegrip.
• Heel veel opgaven, niet over het onderwijzen van wiskunde, maar wiskundeopgaven.
• Opvallend door afwezigheid: redactiesommen!

F. J. Vaes (1907). Graphische voorstellingen en de beginselen der differentiaal- en integraalrekening. Haarlem: P. Visser.

• Ik weet niet of dit boek historisch interessant is, ik noem het in ieder geval maar want het is niet in de KB aanwezig. Vaes, werktuigkundig ingenieur, was o.a. leraar aan de R'damse HBS. Het is niet onmogelijk dat grafische voorstellingen hun plaats in de wiskunde-didactiek rond 1900 nog niet hadden geconsolideerd, en dat juist ingenieurs hun kennis van grafische voorstellingen konden vertalen naar het onderwijs. Het is maar een idee, slaat misschien nergens op.
• Het boekje bestemt Vaes zowel voor leerlingen van hogere burgerschole en gymnasia, als voor scheikundigen en physiologen, als voor technici. Zijn didactische claim (voorrede): "verschillende formules uit natuurkunde en werktuigkunde op veel eenvoudiger, en gemakkelijker te onthouden wijze worden afgeleid dan tegenwoordig hetgeval is." Het begint met tekeningen zoals die in de analytische meetkunde voorkomen, maar zonder de analytisch meetkundige berekeningen.
• p. ii: "In de natuurkunde, doch vooral in de werktuigkunde wordt bij een aantal afleidingen feitelijk op bedekte wijze gedifferentieerd of geïntegreerd, waardoor de leerling ertoe gebracht wordt te denken, dat telkens een of ander kunstje wordt toegepast."

Fred Goffree (2002). Wiskundedidactiek in Nederland. Een halve eeuw onderzoek. NAW 5/3. n3 3, september. pdf1 pdf2 Bibliografie van boeken en artikelen in het Nederlands over geschiedenis van de wiskunde tot ca. 1900. site. I.h.b. ook geschiedenis van de wiskunde en onderwijs hier. Jan Hogendijk, Universiteit Utrecht.

D. J. Struik (1988/2007). Geschiedenis van de wiskunde. Aula. Nu digitaal beschikbaar html

Wim Kleijne (2004). NOCW 50 jaar. Nieuw Archief voor Wiskunde 5/5 nr 4, 308-314. pdf

• Met o.a. een ledenlijst (Hans Freudenthal heeft 33 jaar op die lijst gestaan, waarvan 21 jaar als voorzitter.
• De betekenis van deze commissie voor het wiskundeonderwijs ligt in "het denken over en de realisering van wiskunde op school in contextrijke situaties. Zoals bekend heeft Nederland in deze, uiteindelijk wereldwijde, ontwikkeling een centrale plaats ingenomen. "

G.M.F.W. Geschiedenis en Maatschappelijke Functie van de Wiskunde. Bronteksten hier.

• Nee, helaas, Bartjens is niet aanwezig. Wel:
• T. Ehrenfest-Afanassjeewa (1935). Een en ander over de definities. Euclides, 11, 256-273. (zonder de voetnoten, met wat html-code aanpassingen) html
• E. J. Dijksterhuis (1937). Problemen van het wiskunde-onderwijs. Euclides, 14, 99-118. html

A. van Bemmelen (1817/1818). Lessen over de algebra of stelkunst, ten gebruike der Latijnsche scholen. 's-Gravenhage, bij de Erven J. Allart. I: Verschillende bewerkingen van stelkundige grootheden—II (in band 2): Toepassing der verschillende bewerkingen van stelkunstige grootheden—III (p. 127 in band 2): Inleiding in de meetkunst of Eigenschappen der evenredigheden en derzelver toepassingen.

• Er zijn begin 19e eeuw meerdere boekjes voor het wiskundeonderwijs aan de Latijnse scholen beschikbaar. Ik weet nog niet hoe dit boek van Van Bemmelen zich verhoudt tot de concurrentie, of tot wat er in de buurlanden gebeurde. In zijn voorwoord wekt hij de indruk als eerste voor het bij wet door Willem I ingevoerde wiskundeonderwijs aan de Latijnse scholen een leerboek te hebben geschreven, in overeenstemming met de Commissaris-Generaal van het Onderwijs Jonkheer O. Repelaer van Driel.
• De eerste indruk: Van Bemmelen gebruikt enorm veel tekst, richt zich tot de leerling, presenteert de algebraische stelkunst als vak op zich—dus niet als nauw verbonden met bijvoorbeeld de natuurkunde—en eigenlijk meer als een soort 'Bartjens' op hoger wiskundig niveau (hij wil aansluiten bij het rekenonderwijs van de lagere school). Veel ingeklede vergelijkingen, redactiesommen, dus. Heel veel opgaven ook, alsof veel oefenen oneindig veel belangrijker is dan wat dieper inzicht.
• Bij iedere opgave is meteen ook het antwoord afgedrukt, wat doet vermoeden dat het boek in feite bedoeld was voor docenten.
• Misschien is dit wel een bijzonder boek omdat het het eerste was, en Van Bemmelen in zekere zin iets nieuws ondernam. Mogelijk heeft hij zwaar geleund op de leerboeken algebra en stelkunst uit de achttiende eeuw, of zich daar juist tegen afgezet? Wie weet meer over deze Van Bemmelen en zijn algebra?

E. M. Meyers (1928). Vergelijkingen met breuken in middeleeuwse rechtsteksten. Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Afdeeling Letterkunde, Deel 66 Serie B, No. 6.

• Grappig artikel over middeleeuws gebruik om bepaalde breuken te nemen over een hoeveelheid plus de waarde van die breuk. Bijvoorbeeld: een derde is het derde deel van de erfenis plus de helft; waar wij zouden zeggen: de helft van de erfenis, de bruidsschat, or whatever. Het fenomeen heeft in later eeuwen wel voor verwarring gezorgd. [p. 144-145:]"De overgang van het gebruiken van ranggetallen naar het rekenen met breuken gaat bij een volk nooit plotseling. Geleidelijk went men het rekenen met abstracte getallen aan. Het beste bewijs hiervoor is, dat de benamingen der breuken bijna allen aan de ranggetallen ontleend zijn." Boeiend. Ik weet nog niet wat Bartjens en consorten erover zeggen. De tiende penning van Alva is letterlijk bedoeld, iedere tiende penning voor Alva, en niet abstract als bijvoorbeeld eentiende deel van iedere penning. "Hij, die zoo met concrete eenheden rekende, moest ertoe komen om van een derde meer te spreken, waar wij 1½ maal zooveel zeggen. Het is bij iedere twee penningen een derde penning, die daaraan toegevoegd wordt." NB: een derde meer, d.w.z. een derde penning meer. Hallo, bent u er nog? Dat is toch verrassend, niet? Dat was dan weer een leuke vondst op de boekenmarkt (waar anders kom je zoiets nog tegen?).

Jacob de Gelder (1827). Eerste gronden der meetkunst, ten gebruike der Latijnsche scholen en andere kollegien. 's-Gravenhage en Amsterdam: Gebroeders van Cleef.

• p. 3: "Het opstel van deze uitgewerkte gronden zal dan, door eene meer uitvoerige voordragt, den Onderwijzeren een groot gemak aanbrengen ; daar zij geene duisterheden of gapingen in hetzelve zullen aantreffen, en slechts met hunne Leerlingen van stelling tot stelling zullen behoeven voort te gaan, en te onderwijzen (...). Men herhale het betoog van elke stelling zoo lang, tot dat de leerling, op het bord of op de lei, het betoog in goede orde en samenhang mondeling kan voordragen."
• Dit is een bijzonder boek, het beantwoordt in ieder geval niet aan de verwachtingen van iemand die 20e-eeuwse meetkundeboeken voor het vwo kent. Het is een boek van meer dan 200 bladzijden, heel veel uitleg, maar ook veel motivering voor het vak en zijn details. Bijv. p. 19 p. 20-21

Jacob de Gelder (1765-1848)

• "Als hoogleraar was De Gelder betrokken bij de Leidse Latijnse school, waar hij korte tijd wiskunde doceerde maar wegens ruzie met de rector moest vertrekken, en bij de Leidse industrieschool (gelieerd aan de universiteit), waar hij beschrijvende meetkunde doceerde. Daarnaast verzorgde hij didactiekcolleges wiskunde en bleef hij lesboeken publiceren. Zijn cijferkunst, meetkunst en stelkunst (algebra) bepaalden het wiskundeprogramma aan de Latijnse scholen. Als hoogleraar had hij veel invloed op onderwijszaken: wiskunde werd een verplicht onderdeel in het curriculum van elke opleiding met een beroep op de vormende waarde die het vak geacht werd te hebben voor het verstand."

  Danny Beckers CWI website

Danny Beckers (1996). Jacob de Gelder en de wiskundige ideologie in Nederland (1800-1840). Gewina, 19, 18-28. pdf

Jacob Swart (1856, 3e). Handleiding voor de praktische zeevaartkunde. Amsterdam: Wed. G. Hulst van Keulen.

• Eenige noodzakelijke herinneringen uit de beginselen der Wiskunde - De cirkels op en om de Aarde, de zeekaarten, schuinsche koersrekening, enz. - Over de hemel- en aardgloben, en aanwijzing van de toepassing der bolvormige drehoeken op eenige vraagstukken der sterre- en zeevaartkunde, en de verklaring der sterren-kaarten - De Almanak ten dienste der zeelieden en het vinden der ware hoogen, enz. - Over het vinden der breedte op zee - Over het vinden van den tijd aan boord - Over de tijdmeters en het vinden der lengte op zee - Over de getij-rekening, de winden, orkanen, wolken-vormen en stroomen - Over eenige werktuigen bij de zeevaartkunde in gebruik - Het scheepsjournaal en het examen der zeelieden
• Jacob Swart (1851): De Eijerlandsche ondiepten op de noordwestkust van Texel. html

Wiskundige opgaven met de oplossingen door leden van het Wiskundig Genootschap ter spreuke voerende 'Een onvermoeide arbeid komt alles te boven.' Nieuwe reeks, negende deel (1903-1906). Amsterdam: Delsman & Nolthenius. Halfleer, 424 blz.

• De KB beschikt over waarschijnlijk de volledige vier reeksen, sinds 1875, de vijfde serie loopt vanaf 2000.
• Dit is toch wel een opvallend fenomeen, al zal het niemand op het eerste gezicht verrassen. Als nuttig tijdverdrijf geven wiskundigen elkaar wiskundige problemen op, en publiceren de gevonden oplossingen. Dat houdt de geest scherp, zou je denken. Toch is ook een andere interpretatie mogelijk: de discipline blijft op deze manier mat de rug naar de samenleving, maar ook naar beoefenaren van andere disciplines staan. In ieder geval is de overeenkomst met de praktijk van het onderwijs wel heel opvallend; ook dat onderwijs verkeert in een voortdurende staat van in opgaven ondergedompeld te zijn.
• Mijn vraag is dus: wie kan mij wijzen op onderzoekers die zich op welke manier dan ook op de stdie van dit discipliniaire fenomeen hebben geworpen? De antwoorden uit dergelijk onderzoek werpen ongetwijfeld nieuw licht op de geschiedenis van het Westerse onderwijs in, pak hem beet, de laatste tweehonderd jaar.
• De Wiskunde Olympiade is ongetwijfeld een andere uiting van deze zelfde disciplinaire eigenaardigheid.

Marco Tompitak & Danny Beckers (2015). Solide en gedegen onderwijs. Wiskunde- en natuurkunde onderwijsdiscussies in de jaren 1920 als monitor voor disciplinevorming. Studium. Tijdschrift voor Wetenschaps- en Universiteisgeschiedenis. webpagina

Lore Saenen, Mieke Heyvaert, Wim van Dooren & Patrick Onghena (2015). Inhibitory control in a notorious brain teaser: the Monty Hall dilemma. ZDM: the international journal on mathematics education 47(5):837-848 researchgate.net

Daniel B. Berch, David C. Geary, and Kathleen Mann Koepke (Eds.) (2016). Development of Mathematical Cognition : Neural Substrates and Genetic Influences. Volume 2 SERIES Mathematical Cognition and Learning. [KB eBook] info, also see chapter abstracts

T. Ehrenfest Afanassjewa (zonder datum). Wiskunde. Didactische opstellen. Zutphen: Thieme.

• • Inleiding Bruno Ernst
  • 1. Kan het wiskundeonderwijs tot de opvoeding van het denkvermogen bijdragen? 14 [Publicatie 1 van de wiskundewerkgroep van de W.V.O. Muusses 1951]
  • 2. Wat kan en moet het meetkundeonderwijs aan een niet-wiskundige geven 25 [Bij J. B. Wolters, 1924]
  • 3. De inleidende cursus tot de meetkunde 42 [Uebungensammlung zu einer Geometrischen Propaedeuse. Martinus Nijhoff, 1931]
  • 4. Wat is meetkunde eigenlijk? 77 [Voor deze uitgave geschreven in 1959]
  • 5. Meetkunde en ervaring 83 [Publicatie 2 van de wiskundewerkgroep van de W.V.O. Muusses 1953]
  • 6. Kan men vlakken, lijnen en punten zien? 90 [Vernieuwing 1937]
  • 7. De rol der axioma's en bewijzen in de meetkunde 97 [Weekblad voor voorbereidend en hooger onderwijs 1915]
  • 8. Over de definities 110 [Euclides 1935]
  • 9. De schoolwiskunde en de wiskunde als wetenschap 128 [Voor deze uitgave geschreven in 1959]
  • 10. Over het begin van de algebra-cursus 137 [Gestencilde mededelingen van de Wiskundewerkgroep van de W.V.O. 1951

C. Boermeester (1955). Over meetkunde-onderwijs en psychologie. Het klassegesprek en andere didactische mogelijkheden voor het meetkunde-onderwijs aan MULO-scholen gebaseerd op psychologische inzichten. J. B. Wolters.

L. N. H. Bunt (1949). De leerstof van ons wiskunde-onderwijs. Een onderzoek naar opvattingen en gebruiken dienaangaande. J. B. Wolters.

Leen Streefland (guest editor) (1993). The legacy of Hans Freudenthal Educational Studies in Mathematics , 25, nos. 1-1.

links

Euclides. Jaargang 83 nummer 1-8 http://www.nvvw.nl/media/files/euclides/83-1.pdf (overige nummers gaan evenzo, dus 83-2, 83-3 etz.) (Andere jaren zijn niet beschikbaar)

Het Schoolmuseum heeft veel oude schoolboeken gescand/OCR online ter beschikking: http://schoolmuseum.uba.uva.nl/

  http://www.benwilbrink.nl/projecten/matheducation.dutch.htm
Berlin Declaration on Open Access to Knowledge in the Sciences and Humanities html