Cito voorbeeld rekentoets 3F 2012

Henk’s Hoekje Hier

Annotaties door Ben Wilbrink (vraagontwerp, toetszaken) en Henk Pfaltzgraff (de wiskunde; website)

Henk’s hoekje
rekenproject thuis
Toetsvragen ontwerpen


Zie ook de annotaties bij de toets 2F cito_voorbeeldtoets_2F.htm




Beste leerlingen: dit is geen pagina met oefenmateriaal voor jullie rekentoetsen. De inhoud van deze pagina levert wel de nodige humor op, over de rekentoetsvragen die jullie nu als voorbeeld- en oefenmateriaal via het Cito zijn gegeven. Ik wil best een paar adviezen geven voor het voorbereiden en afleggen van je rekentoets:

  1. zorg dat je rekenvaardigheid OP KLADPAPIER op peil is
  2. berekeningen die op papier te tijdrovend zijn doe je gewoon met de rekenmachine
  3. lees nauwkeurig (maar ook weer niet TE nauwkeurig) want er zitten strikvragen in deze toetsen
  4. zorg dat je goed uitgerust bent
  5. maak zoveel mogelijk netjes aantekeningen op kladpapier, zet daar je naam op, lever dat na afloop in tegen een ontvangstbewijs. Zeg erbij dat je verwacht dat jouw kladpapier zorgvuldig wordt bewaard, wat ook de andersluidende instructies van het CvE mogen zijn. Het is JOUW kladpapier, en JOUW bewijsmateriaal wanneer het straks nodig mocht zijn om in beroep te gaan tegen de examenuitslag.
  6. maak direct na afloop aantekeningen over idiote vragen die je bent tegengekomen, en meld die bij het LAKS
  7. er zal (juridische) strijd worden gevoerd om de geheimhouding van de vragen die onderdeel van jouw examen zijn, te doorbreken
  8. er zijn een aantal eigenaardigheden in deze rekentoetsen die telkens terugkomen; laat je leraar jou en je medeleerlingen daar goed op voorbereiden; dat is teaching to the test, maar nood breekt wet.


Deze webpagina blijkt zeer druk te worden bezocht, althans gegoogeld. Ik zal daarom mijn best doen meer vragen van deze voorbeeldtoets en van de voorbeeldtoets van 2013 van een kritische analyse te voorzien. Dat is best tijdrovend, ik kan mij er dus nog wel enige tijd mee vermaken. Ondertussen heeft het Cito dus nieuwe voorbeeldtoetsen 2013 vrijgegeven. Een aantal van de vragen uit de rekentoets-3F 2013 zijn aan de orde gesteld op twitter door @KdenHeijer en anderen; wie niet twittert: treur niet, in de bijlagen bij mijn brief aan de onderwijscommissie van de Tweede Kamer http://goo.gl/fJuBpV geef ik de links voor de discussie bij ieder van deze ‘reken’ vragen (zoals Karin ze noemt).


Zie ook mijn brief aan de onderwijscommissie van de Tweede Kamer http://goo.gl/fJuBpV, waarin ik kort puntsgewijs vijftien mogelijke redenen geef waarom de pilots van de rekentoetsen ook in 2013 weer zulke hoge percentages ONvoldoendes hebben opgeleverd. Ieder van die 15 mogelijke oorzaken heeft er mee te maken, de een iets meer dan de ander, en dat maakt de problematiek behoorlijk onhandelbaar. Zoals met gordiaanse knopen te doen gebruikelijk: doorhakken die knoop, rekentoetsen afblazen, integraal rekenbeleid in VO en MBO op poten zetten, ondertussen het rekenonderwijs in het PO redden — want natuurlijk moet rekenen in het PO geleerd zijn, en in het VO onderhouden.

Wie het nieuws heeft gemist: de woordvoerders in de Tweede Kamer (Algemeen Overleg 8 oktober en 7 november) zijn verbijsterd over de referentieniveaus (die ze helaas in 2010 zelf in de wet hebben verankerd), het realistisch rekenen, het concept van deze rekentoetsen bij eindexamens, en de inhoud van die rekentoetsen. De verbijstering is omgezet in het initiatief voor een hoorzitting over een en ander, waarschijnlijk begin december. Ook de staatssecretaris gaat aan tafel met diverse belangengroepen, waaronder expliciet genoemd de afnemende opleidingen (bv. het HO). Er is dus nog hoop voor Nederland :-)



Cito webpagina voorbeeldtoetsen


Voorbeeldtoets 2F 2012


Voorbeeldtoets 3F 2013
Voorbeeldtoets_2F 2013
Voorbeeldtoets_2F 2013 Foutenanalyse
Voorbeeldtoets_3F 2013
Voorbeeldtoets_3F 2013 Foutenanalyse
antwoorden voorbeeldrekentoetsen
omzettingstabellen voorbeeldrekentoetsen


https://www.engageny.org/resource/new-york-state-common-core-sample-questions. Dit is even iets heel anders, of toh niet? Toetsitems uit de Common Core toetsen afgenomen in New York 1914. Engels en wiskunde (zeg maar: rekneen).


College voor Examens (maart 2012). Implementatie referentieniveaus taal en rekenen in eindexamen vo. pdf


Kamerbrief 5 november 2013


Ben Wilbrink (oktober 2013). Rekentoetsen-F: vooral veel onvoldoendes, maar waarom eigenlijk? Notitie gezonden aan de onderwijscommissie van de Tweede Kamer. Ook geplaatst op mijn website, met enkele aanvullingen op de tekst, en met de discussies op deze thematiek op Twitter: webpagina


Ben Wilbrink (november 2013). Rekentoetsen en de wetgever - een parlementair ongeval. Een opstel. webpagina


Ben Wilbrink, Joost Hulshof & Henk Pfaltzgraff (2012). Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk. 8 #3, 18-22. link

Jan van de Craats (17 november 2013). Voorbeelduitwerkingen van de vragen in de voorbeeldrekentoets-3F van 2013. pdf


Bij de hand houden: Staatsblad 2010 265 Besluit van 17 juni 2010, houdende vaststelling van referentieniveaus Nederlandse taal en referentieniveaus rekenen (Besluit referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen) stb-2010-265.html.
Vaststelling van regels over referentieniveaus voor de taal- en rekenvaardigheden van leerlingen (Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen) Memorie van toelichting 32290 nr 3

Deze sectoroverstijgende wet geeft alleen een opdracht tot het vaststellen van deze niveaus bij algemene maatregel van bestuur en bindt daarmee niet bevoegde gezagsorganen of leerlingen.

Par. 1

Een analyse van bestaande onderwijsmethoden voor taal- en rekenonderwijs laat zien dat deze methoden al in algemene zin de leerstof van de twee referentieniveaus voor het (speciaal) basisonderwijs aanbieden. Vooralsnog lijkt het er op dat scholen geen nieuwe methoden taal en rekenen hoeven aan te schaffen.

par. 2 blz. 11 ‘referentieniveaus als hulpmiddel’


Deze laatste passage geeft aan dat bij de bewindspersonen geen haar op hun hoofden eraan denkt dat er mogelijk een probleem is met deze heersende rekendidactiek, gebaseerd op het gedachtengoed van het realistisch rekenen. En al evenzeer: dat met het in wetgevrsbeton gieten van deze referentieniveaus in feite een bijzondere rekendidactiek aan het onderwijs wordt voorgeschreven.

Heel dit stuk ademt een sfeer van procedure- en wensdenken, losgekoppeld van empirie, en van een sterk geloof in de mogelijkheid van ‘objectieve en valide toetsen’ die mij schrik aanjaagt. Hoe is dit mogelijk? Ik geef ter illustratie aan de — nu gewaarschuwde — lezer de volgende passage (blz. 12):

Rekentoets voortgezet onderwijs
De Expertgroep constateert een daling in de rekenvaardigheid van leerlingen in de leerplichtige leeftijd en het ontbreken aan een systematisch werken aan het onderhouden en uitbreiden van de verworven kennis en vaardigheden op het gebied van het rekenen in het voortgezet onderwijs. Het eindexamen wiskunde laat slechts beperkte ruimte aan het toetsen van de basisvaardigheden rekenen. Om die reden komt er voor alle leerlingen die eindexamen doen een rekentoets als onderdeel van het eindexamen, zodat het voor het vervolgonderwijs duidelijk is waar de leerlingen op deze basisvaardigheden staan. Het wetsvoorstel bepaalt dat bij de vaststelling van de opgaven van de rekentoets, het referentieniveau rekenen in acht moet worden genomen dat is vastgesteld voor de desbetreffende schoolsoort of leerweg. De makers van de toets zijn derhalve verplicht aan de opgaven zodanig invulling te geven dat deze inzicht geven of de leerling dit referentieniveau beheerst. Omdat de beheersing van basisvaardigheden voorop staat – vaardigheden die elke leerling zou moeten beheersen, ongeacht de gekozen richting of profiel – zullen de fundamentele niveaus uit het referentiekader de basis vormen voor de rekentoets.

Lees en passant in de laatste passage dat de rekentoetsen VO verondersteld worden aansluiting te geven op het HO. Wat de anno 2013 voorliggende voorbeeldrekentoetsen evident niet doen.


Een website met een lange reeks links naar rekenrelevante publicaties etc. http://project-focus.gw.utwente.nl/?page_id=54


Het is mij langzamerhand een raadsel wat we aan rekentoetsopgaven mogen verwachten voor de rekentoetsen bij de examens. Niet alleen zijn er de raadselachtige referentieniveaus rekenen zelf, maar ook zijn er nu diverse voorbeeldrekentoetsen in omloop, waarvan de hierboven genoemde de meest recente zijn. Eerdere voorbeeldrekentoetsen:

http://www.steunpunttaalenrekenenvo.nl/helpdesk/downloadcentrum met Rekentoets 3F - Serie 1-2 docx.




De minister heeft op 8 juni een brief aan de Tweede Kamer gestuurd, betreffende Pilots rekentoets in vo en examens taal en rekenen mbo, en wel de eerste resultaten die daarvan binnen zijn: dat was voor de minister wel even slikken. Die resultaten zijn helaas alleen gemiddelde cijfers en percentages onvoldoende, en bijvoorbeeld geen antwoord op de vraag waar die cijferschaal dan op gebaseerd mag zijn. Dat er nog geen gedetailleerde analyse is van de resultaten per afzonderlijke vraag, dat is wel te begrijpen. Maar gezien de enorme kwaliteitsproblemen zoals hierbeneden aangetoond voor de voorbeeldrekentoets 3F, is die analyse van de fouten per vraag van groot belang om te komen tot een kritische analyse van de rekenopvattingen die achter de referentieniveaus rekenen en achter de Cito/CvE-interpretatie daarvan zitten.

Ik heb al wel de beschikking over een pdf van de brief, maar heb nog niet uitgevonden waar op het internet deze brief nu al te downloaden is. De komende dagen zal deze zeker op het steunpunt vo beschikbaar komen, en bij de kamerstukken (waarvoor ik iedere keer weer opnieuw moet uitzoeken hoe die ook alweer zijn te vinden).

pilots_rekentoetsen.gif

Achter deze treurige resultaten zit een complex van uiteenlopende oorzaken, waarvan de meest eenvoudige is dat deze pilots geen serieuze examenonderdelen waren en de leerlingen er niet goed op waren voorbereid. NB: het gaat wel om leerlingen in de eindexamenklassen! Een belangrijke reden die ik maar als stelling poneer: het Cito en het CvE zijn er impliciet van uitgegaan (modo psychometrico) dat toetsen moeten differentiëren tussen leerlingen, in plaats van moeten vaststellen of leerlingen een redelijke standaard hebben bereikt. Een andere belangrijke reden is de bedroevende kwaliteit van de rekentoetsopgaven, als deze inderdaad vergelijkbaar zijn met die in de vrijgegeven voorbeeldrekentoetsen. De hoofdoorzaak evenwel ligt in de geloofsartikelen over het rekenonderwijs zoals die onder invloed van de Freudenthal-groep hun weg hebben gevonden in de kerndoelen rekenen voor het basisonderwijs, en in de referentieniveaus rekenen. Die laatste zijn tijdens de kamerbehandeling van de Wet op de referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen, door minister van onderwijs Rouvoet gedefinieerd als nadere uitwerkingen van die kerndoelen. Dat laatste had de werkgroep-Van Streun waarschijnlijk niet kunnen vermoeden — het ging immers om ‘doorlopende leerlijnen’ — zoals de commissie-Meijerink ook niet had kunnen vermoeden dat de referentieniveaus op deze onverantwoorde wijze de directe grondslag zouden vormen voor nieuwe onderdelen bij de examens in het VO. Een laatste belangrijke reden voor de treurige resultaten van de pilots is dan ook gelegen in het ongelukkige proces waarbij de ene noodgreep op de andere werd gestapeld, met dit als resultaat. Het einde van deze lijdensweg is nog niet in zicht.

Neem bijvoorbeeld de uitslag voor de rekentoets 3F in het vwo: redelijkerwijs mag toch van deze vwo-leerlingen worden verwacht dat ze de meeste rekentoetsopgaven wel doorzien, ook al zijn ze klunzig, dubbelzinnig en misleidend ontworpen. Ook kunnen ze de rekenmachine wel bedienen, zou je denken. Dat desondanks het gemiddelde uitkomt op 6,7 is verbazingwekkend: het had een negen moeten zijn. Voor een behoorlijke rekentoets op dit eenvoudige niveau 3F, dus zonder gekke contexten en zonder rekenmachine, mag toch een gemiddelde score boven de 8 worden verwacht. Voor een harde rekentoets op niveau 3S is een gemiddelde tussen 7 en 8, rekening houdend met de treurige rekenvaardigheid waarmee deze leerlingen aan hun vwo-traject begonnen, alleszins redelijk.

Sterker nog: als de gemiddelde vwo-er niet boven de acht scoort op een rekentoets 3F, dan ziet het er voor de havisten beroerd uit: dan zullen heel veel havisten een herkansing moeten benutten, en daarvan zal een aanzienlijk deel zakken voor de rekentoets. Onder het uiteindelijke regime van de kernvakkenregel staat zakken op de rekentoets al snel gelijk aan zakken voor het eindexamen nog voordat de kandidaten eraan zijn begonnen. Dat lijkt absurd en dus ondenkbaar, maar op dit moment is het nog het scenario waar OCW van uitgaat: dan maar staatsexamen doen (WiskundeE-brief # ???).




Deze voorbeeldtoetsen vragen erom kritisch te worden besproken. Er zijn meerdere redenen om deze oefening te doen. Een daarvan heeft te maken met de mededeling dat de pilottoetsen zelf geheim blijven. Dat is een omineus teken: ik verwacht dat het beleid van het Cito zal zijn, ongetwijfeld met toestemming van het CvE, om straks ook de ‘echte’ rekentoetsen geheim te houden. Dat geheimhouden is een ernstige inbreuk op de rechten van examendeelnemers om hun examenwerk te mogen inzien. Des te ernstiger onder het nu voorziene regiem dat er maar één herkansingsgelegenheid is, en als die faalt er een stevige kans bestaat dat de kandidaat voor heel het examen zakt. Met andere woorden: voor een serieuze voorbereiding op een noodzakelijke herkansing is het absoluut noodzakelijk dat de kandidaat een zorgvuldige studie kan maken van waar het fout, en waar het goed is gegaan op de eerste toets.


Wanneer nu deze pilottoetsen duidelijk maken dat er ernstige kwaliteitsproblemen aan tenminste enkele rekentoetsopgaven (het woord rekenopgaven durf ik niet te gebruiken) zijn, is dat een aanwijzing dat een politiek van geheimhouding inderdaad op ernstige bezwaren stuit.


De reden van het Cito om voor geheimhouding te kiezen is uiteraard dat zij deze rekentoetsen digitaal willen afnemen, en op meerdere momenten per jaar daar de gelegenheid voor willen bieden. Dan gaat het om afweging van practische belangen tegen rechtszekerheid voor leerlingen. Een en ander klemt des te meer omdat leerlingen op alleen de rekentoets kunnen zakken voor HEEL het examen (nog niet bij de eerste keer dat rekentoetsen deel uit gaan maken van de eindexamens, maar ik ken deze ingewikkelde regeling niet uit mijn hoofd).


Ik zal zelf naar de rekentoetsopgaven kijken vanuit ontwerptechnische hoek. Gezien ervaringen met de voorbeeldtoetsen van de commissie-Schmidt, evenals met de rekenopgaven in de Cito Eindtoets Basisonderwijs, moeten we aannemen dat er ook wiskundig gezien wel eens vreemde zaken in deze voorbeeldtoetsen voor kunnen komen. Graag vanuit wiskundige hoek ook serieuze aandacht voor deze opgavensets.


Zie ook de kritische analyses van het ontwerp van de vragen van de nationale rekentoets 2006 en 2007 .



Instructie


raden

Er wordt wel meegedeeld dat sommige vragen meerkeuzevragen zijn, maar niet of je meerkeuzevragen onbeantwoord mag laten als je het antwoord niet weet. Waarschijnlijk dwingt Examentester de leerling om te raden. Dit gedwongen raden is een omstreden kwestie, die ook in de reguliere centraalschriftelijke eindexamens niet goed is opgepakt.


meerkeuzevragen

De opdracht is om bij meerkeuzevragen het juiste antwoord aan te klikken. De leerling mag er dus op rekenen dat er maar één juist antwoord is, en dat de andere alternatieven onjuiste antwoorden zijn. Dus geen gradaties in de zin van een ‘beste’ alternatief tegenover ‘minder goede’ alternatieven. Dit maakt bijvoorbeeld uit voor de antwoordstrategie: zodra een antwoord is gevonden dat juist is, is het niet meer nodig om de andere alternatieven nog te bestuderen. Voor mij is het dan telkens de vraag of de concrete rekentoetsopgave voldoet aan dit model: naast het als juist bedoelde alternatief mogen er dus geen alternatieven zijn die volgens een heldere gedachtengang ook juist zijn.


intypen van getallen

Bij een toets met een zo hoge inzet als deze rekentoets, mag het niet zo zijn dat het gebruiken van een punt in een groot getal, leidt tot verwerpen van het antwoord. Ik hoop dan ook dat Examentester zo is geprogrammeerd dat de leerling in een dergelijk geval erop wordt gewezen dat het gebruik van een punt niet is toegestaan. Ook dan is dit een hoogst verwarrende kwestie: deze flauwekul mag in deze rekentoets gewoon niet voorkomen. Hetzelfde geldt voor het minteken bij negatieve getallen: wanneer er een spatie na het minteken wordt getikt, moet dan gewoon goed zijn. antwoord verbeteren

Het is een hele sterke beperking van de bewegingsruimte van de leerling door deze de mogelijkheid te ontnemen om achteraf nog eens terug te keren naar een gemaakte som. Nu is het mogelijk het geval dat onderzoek uitwijst dat achteraf nog veranderen van antwoorden vaker wel dan niet leidt tot verslechtering; het Cito zou dat aan kunnen grijpen als toelichting.

Ik mag toch hopen dat Examentester het toestaat om een vraag in eerste aanleg onbeantwoord te laten, om er later naar terug te kunnen keren. Als deze mogelijkheid er niet is, dan diskwalificeer ik Examentester. Ik ben benieuwd. Uit de toelichting bij de voorbeeldrekentoets begrijp ik evenwel dat terugkeren naar een vorige opgave niet mogelijk is, dus ook niet in het geval deze nog niet is beantwoord. Is het dan dus ook mogelijk om per abuis door te gaan naar een volgende vraag nog zonder dat een antwoord is gegeven?



De wiskunde


Henk Pfaltzgraff heeft in het bijzonder de wiskundige kant van de (eerste 24) rekentoetsopgaven bekeken (haal daarvoor het volgende bestand op: pdf), zoals hij dat eerder (pdf van die annotaties) ook voor de voorbeeldrekentoets 3F van de commissie-Schmidt (pdf van die toets) heeft gedaan.



De opgaven


Bij het analyseren van het ontwerp van deze rekentoetsopgaven blijkt dat er wel heel erg veel problemen zijn, dat iedere volgende vraag weer nieuwe problemen laat zien, en dat het dus niet doenlijk is alle zestig vragen op deze manier te behandelen. Ook de wiskunde levert vele problemen, zodat ook hier er enorm veel werk aan de winkel is.

Natuurlijk zijn er wel problemen die herhaaldelijk terugkomen, en dus niet telkens opnieuw uitgewerkt hoeven te worden, zoals het overbodig en onjuist gebruik van afbeeldingen. Dat schiet dan op, misschien kan ik over de zestig vragen bij elkaar turven hoe vaak is gezondigd.

Er zijn heel veel opmerkingen over het Nederlands. Dat zijn vaak wat flauwe opmerkingen, en die zouden inderdaad van weinig belang zijn, ware het niet dat de gebreken zo talrijk zijn. Het moet echt niet kunnen dat een landelijke toets voor gebruik als onderdeel van een eindexamen zo is gezondigd tegen het Nederlands. Het maakt de vragen op zijn minst minder prettig leesbaar (zorgt voor onnodige mentale belasting), en voor leerlingen met Nederlans als tweede taal mag worden gevreesd voor de leesbaarheid zelf.

Heel deze webpagina is overigens een voorbereiding op het schrijven van een artikel met een kritische analyse van toetsen zoals deze voorbeeldrekentoets 3F als beoogd onderdeel van eindexamens. Henk Pfaltzgraff, Joost Hulshof en Ben Wilbrink bereiden dit artikel voor. We mikken op een afronding van het concept op heel korte termijn (eind juni) en publicatie in september. [Dat laatste is gelukt: publicatie in Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk. Tekst: zie hier]




Bij de eerste vraag uit de voorbeeldekentoets-3F komen al zo veel gebreken en blunders aan de orde, dat een analyse van alleen deze vraag al volstaat om duidelijk te maken wat de problemen met deze rekentoets-3F zijn. Het is de bedoeling om de analyse van deze vraag 1 uit te werken tot een artikel voor Euclides, het huisblad van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren: zie hier de voorbereidende tekst.




1)   Op dit lotnummer is een hoofdprijs van twee en een half miljoen euro en nog een kleinere prijs van € 250,- gevallen. Omdat dit een 15 lot is, krijgt de winnaar 15 deel van de prijs.
Hoeveel euro krijgt de winnaar?


de wiskunde


(2500000+250)/5 = 500050


Je zou hier een schattingsvraag verwachten. Er is een verwaarloosbaar deel. De op te tellen getallen zijn van een totaal andere orde (factor 1:10000). Waarom niet iets van 3500000 / 5 (en dan zonder rekenmachine natuurlijk)


Deze opgave kan geschrapt worden. H.P.


Hoe gek kun je het bedenken. Is dit het idee van het CvE om leuk te zijn? ‘Realistisch’ is het in ieder geval niet, het is immers bepaald geen alledaagse gebeurtenis. Dergelijke tenenkrommende flauwekul hoort niet in examenwerk thuis.

De afbeelding: die is volstrekt overbodig; ik heb hem hier dan ook niet overgenomen (zie de pdf van deze voorbeeldrekentoets). Er moeten hoge straffen worden gesteld op het lukraak smijten met afbeeldingen in welke toetsen dan ook, maar zeker in rekentoetsen die onderdeel van examens zijn. Het probleem met overbodige afbeeldingen is dat ze leerlingen op het verkeerde been zetten: zij moeten er immers vanuit gaan dat die afbeelding er niet voor niets staat, zullen de informatie in zich opnemen, en verrast worden door het niet vinden van informatie die nodig is om de vraag te beantwoorden. Dat maakt onzeker. Vandaar mijn voorstel: tien stokslagen voor iedere overtreding.

Inez E. Berends & Ernest C.D.M. van Lieshout (2009). The effect of illustrations in arithmetic problem-solving: Effects of increased cognitive load. Learning and Instruction 19 (2009) 345-353. pdf


De taal: daar deugt niet veel van.

  1. ‘Dit’ — dit lotnummer — verwijst terug, maar er is helemaal geen voorafgaande tekst. De leerling moet maar begrijpen dat de er naast staande afbeelding wordt bedoeld, maar dat is een afbeelding van een lot, niet van een lotnummer.
  2. Waar valt die hoofdprijs op: kennelijk niet op het afgebeelde lot, want dat is maar 15e lot. Hier wordt verwarring gezaaid, en dat heeft niets met rekenen, en alles met slordig ontwerpen van rekenopgaven te maken.
  3. Hoe moet 2½ worden geschreven: tweeënhalf, niet ‘twee en een half’. Wat ook mag: tweeëneenhalf. [bron: Van Dale Spelling 2005; Stijlboek NRC Handelsblad 2000] Dit is niet onbelangrijk, want wat is nu het bedrag van de hoofdprijs: 2.500.000, of 500.002 euro? Waarom zou het niet 500.002 euro zijn: in de vraag zelf duikt immers ook nog een klein bedragje extra op.
  4. Oké, er is dus een hoofdprijs van 2,5 miljoen, en nog een ‘kleinere’ prijs van 250 euro. Ik weet niet waaraan de ontwerpers van deze vraag allemaal hebben zitten denken, maar 250 is niet ‘kleiner’ dan die 2,5 miljoen, maar echt heel, heel veel kleiner dan die 2,5 miljoen. Hier wordt leerlingen een rad voor ogen gedraaid.
  5. 15 lot’ schrijven we als ‘15e lot’. Schrijven we voor NRC Handelsblad, dan is het ‘eenvijfde lot’, en als het in cijfers moet, dan liever ‘0,2’ schrijven dan ‘15e’ [Stijlboek NRC Handelsblad lemma breuken] Maar in het geval van 15e loten ziet 0,2 er onnatuurlijk uit.
  6. Het Stijlboek van De Volkskrant heeft een uitvoerig lemma over cijfers. Dat is best interessant. Een niet onbelangrijk punt is dat geldbedragen in cijfers worden geschreven wanneer een exact bedrag is bedoeld, en in tekst wanneer het om een orde van grootte gaat. De bewuste volkskrantlezer zou in deze vraag 1) dus lezen: er is een hoofdprijs van tweeënhalf miljoen op mijn lot gevallen, en nog een piepklein prijsje van 250 euro: ik krijg dus tweeënhalf miljoen euro uitgekeerd (die 250 euro is in het uit te keren bedrag niet terug te vinden).
  7. Nogmaals: als met de hoofdprijs een bedrag van exact 2,5 miljoen euro is bedoeld, moet ‘2,5 miljoen’ worden geschreven.
  8. En bovendien: na al het voorgaande is het duidelijk dat de ontwerper van deze vraag er een potje van heeft gemaakt door de ene keer een bedrag voluit te schrijven, en de andere keer in cijfers. Nu zal geen enkele leerling hierbij de vinger opsteken en protesteren, maar deze slordigheid zorgt er wel voor dat de tekst lastiger is te lezen en te interpreteren.
  9. Het probleem is dat in lappen tekst zoals bij deze opgave, de regels van het algemeen Nederlands spraakgebruik (ANS) moeten worden gevolgd. Gaat het om zuiver rekenen zonder context-flauwekul dan volgen we de bestaande conventies zoals door wiskundigen gebruikt.
  10. Er zijn twee prijzen gevallen op dit lotnummer. Het is niet nodig om te vermelden dat de ene prijs een hoofdprijs is, en de andere prijs een heel veel kleinere prijs. Omdat deze vraag toch al veel tekst gebruikt, is het beter om hier Spartaans te zijn.
  11. Dan is op wonderlijke wijze in de tweede zin sprake van ‘de winnaar’? Wie is dat dan? Als het lot inderdaad verdeeld is over meerdere personen, zijn er evenzovele winnaars. Kennelijk wordt hier de eigenaar van het 15e lot bedoeld, formuleer dat dan ook zo en laat leerlingen niet raden naar de betekenis van de zin. Leerlingen met Nederlands als tweede taal moeten hier kruisdol van worden. Er is immers een tegenspraak in de uitdrukking: ‘krijgt de winnaar 15 deel van de prijs’. Natuurlijk niet: ‘de’ winnaar krijgt de prijs, niet een deel van de prijs. De eigenaar van 15e van een winnend lot, krijgt 15e van de prijs.
  12. In de vraag komt ‘de winnaar’ terug. De eigenaar van het 15e lot?

Waarom krijgt de leerling voor deze opgave de beschikking over een rekenmachine?

Is dit (kerndoel) hoofdrekenen?




2)

vb_rekentoets5.gif

de wiskunde


(5,2×6,5+3,2×4,6) ×1,05×44,96 ≈ 2290,02 (afgerond op centen)


Onduidelijk is, of er afgerond moet worden (op centen?) . Neem liever (5×6+3×4) × 1,10 × 50 (zonder rekenmachine dus) En laat het plaatje weg.

H.P.


Deze vraag mist het noodzakelijke gegeven van de prijs per m2. De ontwerper heeft dat probleem opgelost door een zoekplaatje toe te voegen. Dit is een oneigenlijke manier om een overbodige afbeelding bij een rekenopgave toch een functie te geven. De straf blijft: tien stokslagen voor een overbodige afbeelding bij een rekentoetsopgave.

Een zoekplaatje: wat heeft deze afbeelding met rekenen te maken? Als tijdens het afleggen van de rekentoets een bouwbedrijf in het straatje naast de examenzaal met een drilboor aan de gang gaat, wordt er snel een einde gemaakt aan deze verstoring van de concentratie van de leerlingen. In dezelfde lijn van verstoring liggen afbeeldingen zoals deze, met veel irrelevante informatie waarvan leerlingen nooit helemaal zeker zijn of deze informatie misschien toch van belang is. Dit tast de validiteit van de rekentoets aan.

Misschien helpt deze meta-cognitieve opmerking: de ontwerper van toetsvragen doet er goed aan om te denken vanuit de leerlingen die onder examencondities met deze vragen in de slag moeten. Dat is een totaal andere benadering dan die van de abstracte analyse van item-statistieken na proefafnames van de ontworpen toetsvragen.

Eveneens van belang is aandacht voor wat de flessenhals in de hersenen van de leerling aan kan, respectievelijk te verwerken krijgt: het werkgeheugen. Daar kunnen maar een klein aantal gegevens tegelijk in aanwezig zijn, zeven plus of min twee is een goede benadering. Laat leerlingen dus nooit goochelen met meer gegevens dan het werkgeheugen aankan.

Deze parketvraag is knap ingewikkeld, als ik het goed zie. Er zal nog meer gelegenheid zijn bij deze voorbeeldrekentoets om in te gaan op de complexiteit van de rekenvragen. Let nu even op het rijtje zaken waar de leerling mee aan de slag moet:

  1. de realisatie dat de afmetingen van de kamers de vloeren betreffen,
  2. de afmetingen van twee kamervloeren,
    1. 5,20
    2. 6,50
    3. 3,20
    4. 4,60
  3. de oppervlakten daarvan (nog te berekenen),
  4. die oppervlakten opgeteld,
  5. dat vertaald naar benodigd aantal m2 parket,
  6. daar een marge bovenop van 5%,
  7. de prijs van parket per m2,
  8. irrelevante informatie in de afbeelding (de normale prijs van dit parket, twee soorten parket, echt parket) ,
  9. de vraag wat parket eigenlijk is,
  10. wie is Patrick,
  11. eindsom: aantal m2 parket maal de prijs per m2,
  12. dan de vraag over wat iemand anders moet betalen in plaats van jijzelf (een ander standpunt innemen dan dat van jezelf),
  13. de beslissing om gebruik te maken van de rekenmachine of niet,
  14. de afleiding van het uitvoeren van berekeningen op de rekenmachine (of op kladpapier).

Aan de lezer de vraag: wat zou George A. Miller hiervan vinden?

Aan de wiskundige lezer de vraag: hoeveel van deze aandachtspunten zijn typische rekenaandachtspunten?

Slotvraag: kan dit een valide rekentoetsvraag zijn?

Ook Henk Pfaltzgraff werd het even teveel: hij gebruikt als parketprijs 44,96 i.p.v. 44,95. Een leerling moet dus ook wel tig keer controleren of zijn getallen kloppen.

Twee kamers: Waarom kiest de ontwerper voor twee kamers in plaats van gewoon een enkele kamer? Door die tweede kamer erbij te nemen wordt de vraag een stuk lastiger te beantwoorden, maar levert hij nauwelijks meer informatie op over de rekenvaardigheid van de leerling. Waarom niet gewoon twee vragen over het berekenen van oppervlakten gesteld? Is de achterliggende gedachte hier dat de rekentoets moet onderscheiden tussen de slimmere en de minder slimme leerlingen, ook al zijn ze overigens even rekenvaardig?

Bedoeling van de wetgever: de wetgever heeft niet bedoeld dat rekentoetsen onderscheid maken tussen slimme en minder slimme leerlingen. De rekentoetsen moeten in absolute zin toetsen of leerlingen rekenvaardig zijn op het niveau 3F (in het geval van de rekentoets 3F). Deze vraag met twee te berekenen oppervlakken in plaats van een, lijkt niet geheel in overeenstemming met de bedoeling van de wetgever. Hopelijk heeft het Cito/CvE hier een goed antwoord op.

De taal: Patrick legt parket dat hij nog moet betalen. Heeft hij krediet gekregen van de leverancier? Neemt hij extra parket nadat hij heeft ontdekt dat hij iets tekort is gekomen? Als kort opstel deugt deze vraag voor geen m2, als ik dat zo mag zeggen. Laat Jacob van Dijk en Jasper van Dijk, indieners in 2010 van de motie om taalverzorging bij eindexamenwerk mee te beoordelen, het maar niet lezen. Maar als deze tekst slecht Nederlands is, dan zijn er waarschijnlijk leerlingen die door de ongelukkige tekst op het verkeerde been worden gezet.




3)   Usain Bolt (Jamaica) liep op 16 augustus 2009 in Berlijn een wereldrecord op de 100 meter.

Hij liep deze afstand in 9,58 seconden.
Wat was zijn gemiddelde snelheid in kilometer per uur? Rond af op 1 decimaal.


de wiskunde


(100×3600/9.58)/1000 ≈ 37,6


Voorstel: 100 meter in 10 sec = ... km/u (zonder rekenmachine)

H.P.


Eerst maar een obligate opmerking: de foto die erbij is geplaatst, is overbodig. Stokslagen: 10.

De informatie over meneer Bolt lijkt leuk en aardig, maar dit is een examen, geen les (en ook in materiaal voor de rekenles hoort deze afleiding niet thuis). Volstrekt ten onrechte om schaarse leestijd kwijt te spelen met deze overbodigheid. Hier eveneens 10 stokslagen.

Het gegeven moet zijn: ‘Een atleet liep de 100 meter in 9,58 seconden.’

Deze vraag is ontworpen op het gebruik van de rekenmachine. Waar moet die rekenmachine dan zo nodig voor worden gebruikt: om een staartdeling overbodig te maken. Is dat de rol die de rekenmachine in het rekenonderwijs moet hebben? De vraag stellen is hem beantwoorden.

De staartdeling waar het om gaat: 3600 : 9,58.

Moet die staartdeling dan zo nodig ook worden uitgerekend? Volgens de ontwerper van deze vraag wel, maar een andere benadering, zoals bijvoorbeeld door Joost Hulshof naar voren gebracht op de expert-meeting van de commissie-Schmidt in april 2010, is om de leerling te vragen hoe deze vraag kan worden aangepakt, zonder de leerling de berekening zelf ook te laten uitvoeren. Ha, geen rekenmachine nodig! Zo’n deling intikken op een rekenmachine, dat zal iedereen nog wel lukken, maar heeft niets met rekenvaardigheid te maken.

Het is trouwens een irritante staartdeling, die afgerond 384, excuus, 376 oplevert. Maal 100 (meter), omzetten naar Km.

Mijns inziens mag op niveau 3F toch wel worden verwacht dat leerlingen een staartdeling in tenminste 50% van de gevallen correct kunnen uitvoeren, dus waarom niet rechtstreeks gevraagd een aantal staartdelingen uit te voeren? Maar goed, ik hoor hier graag het oordeel van leraren over. En anders zal ik nog eens die referentieniveaus moeten proberen te doorgronden.

Bij contextopgaven (redactiesommen, word problems) vraag ik me toch altijd al af wat ze precies met rekenen te maken hebben. In het geval van het begrip ‘snelheid’ zitten we evident in het gebied van een zaakvak: natuurkunde. Waarom hoort een natuurkundevraag thuis in een rekentoets 3F?

Waarom is het van belang om voor deze sprint de snelheid in km/uur te weten? Het is toch een onzinnig idee om als counterfactual de duur van deze sprint te verlengen tot een uur? Natuurlijk, je kunt zoiets uitrekenen. Maar is het een context voor ‘functioneel rekenen’ zoals dat zo deftig heet in de referentieniveaus van Meijerink?

Foutje. Ik had wel gezien dat Henk Pfaltzgraff een andere rekenuitkomst had. Ik heb de staartdeling nog een keer gemaakt; ik blijk een klassieke automatiseringsfout te hebben gemaakt: 8×9 = 64. ‘Klassiek’: ons geheugen werkt niet als een computer, en geeft niet gegarandeerd altijd bij 8×9 de juiste uitkomst 72 (zie onderzoek van Lebiere, in de groep van John Anderson).




4)

vb_rekentoets6.gif


de wiskunde


(43/32) ×76800 = 103200


Onnauwkeurig aflezen kan tot verschillende antwoorden leiden. Het grafiekje heeft geen enkele functie. En waarom niet met een staartdeling:

768 / 32 = 24 en zonder rekenmachine: de verkoop steeg van 32% naar 43% en er werden 768000 redphones verkocht.

H.P.


Ha, hier hebben we het pièce de résistance van de grafieken in het rekenonderwijs. Zie ook wat Turkstra er meer dan een halve eeuw geleden over zei (maar dat was in een situatie waarin in het rekenonderwijs zelf het interpreteren van grafieken niet aan de orde was).

Eerst maar eens de afbeelding op me in laten werken. Veel te ingewikkeld: teveel schaalwaarden; idiote, want niet functionele, plaatjes van telefoons erin; niet exact afleesbare waarden van de grafieken (terwijl toch echt om een exact aantal en niet om een geschat aantal wordt gevraagd). Dubbelzinnige titel van de grafiek: waar zijn die percentages dan over genomen? Zijn er in totaal maar 4 merken/typen telefoons? Of vijf? In plaats van honderden? De grafiek is niet een grafiek van de best verkochte telefoons, maar van de verkoopcijfers van de best verkochte telefoons. Er komt een verdwaald label ‘jaren’ in voor. Afbeelding Afgekeurd.

Dan de stam van de vraag. Het komt vreemd over dat in het gegeven er sprake is van rode telefoons (idiote context, trouwens), terwijl de vraag gaat over de blauwe telefoons. Dit is bijna een bewuste poging om de leerlingen op het verkeerde been te zetten. Ik neem tenminste aan dat het gegeven dient om de vertaling van percentages naar aantallen te kunnen maken. Dat moet echt anders, bijvoorbeeld door het totaal aantal verkochte telefoons te geven.

De taal: Het is mij heel lang ontgaan, maar uiteindelijk zie ik dan toch dat in deze vraag er op absurdistische wijze sprake is van ‘red phones’ en telefoons met nog andere kleuren van de regenboog, in het Engels. Dat kan natuurlijk niet. Er mag een enkele keer eens een dwingende reden zijn om in een context Engelse woorden te gebruiken, maar in de context van vraag 4 is er gewoon sprake van een tabel met een Nederlandse titel. Ik begrijp wel dat het ontstaan is uit de noodzaak om geen merknamen te gebruiken, maar dat kan hier geen excuus zijn voor verrommeling.

Wat deze vraag met rekenen heeft te maken, ontgaat mij. Moet ik dan bij iedere rekenopgave de referentieniveaus gaan doorzoeken? Referentieniveaus die op wonderbaarlijke wijze door een halve werkgroep uit een commissie in korte tijd in elkaar zijn gestoken? Welk kamerlid is erin geslaagd die referentieniveaus zelfs maar van begin tot eind gewoon door te lezen?




5)

vb_rekentoets7.gif


de wiskunde


Aanbieding 3 is het voordeligst

Niet met een rekenmachine.

H.P.


Een opgave vergezeld van een overbodige afbeelding van een stuk Colosseum. Stokslagen.


Ofwel die overbodige plaatjes hinderen sommige leerlingen meer dan anderen, en zijn de vragen met overbodige plaatjes dus partijdige vragen, (Berends en Van Lieshout)


ofwel het doet er in de resultaten op de toets in het geheel niet toe of de plaatjes wel of niet zijn afgedrukt, en dan horen ze dus ook te worden weggelaten, omdat ze wel degelijk hinderlijk zijn (Berends & Van Lieshout)


Oké, het plaatje is weg. Dan hebben we nog steeds, zoals hierboven gereproduceerd, een opgave waarin het gegeven bestaat uit een tabel. Dan wordt daar een vraag over gesteld, en mag de leerling kiezen uit dezelfde vier alternatieven als in de tabel al gegeven waren. Ik moet zeggen dat ik zelden zo’n merkwaardige verrommeling van de layout van een op zich eenvoudige meerkeuzevraag heb gezien. Immers, begin met de vraag, en bied de vier alternatieven uit de tabel aan om uit te kiezen. Waarom kiest de ontwerper dit rommeltje? Het stoort de leerlingen die deze toets moeten maken. Het beantwoorden van de vraag wordt ook onnodig veel lastiger: de leerling moet heen en weer kijken van de keuzealternatieven naar het lijstje in de tabel om er zeker van te zijn dat het juiste alternatief is gekozen. Onvergeeflijk.

Maar dan nog. Het is ook lelijk en minder gewenst om rekenopgaven in de alternatieven te zetten. Het is ook mogelijk om de tabel te handhaven, en te vragen naar de laagste dagelijkse verblijfskosten. Klaar.

De vraag is naar wat ‘naar verhouding het voordeligst’ is. Het is bovendien een contextvraag: de leerling moet zich kennelijk voorstellen dat dit om een vacantiereis gaat. Die twee gecombineerd, kan ik niet anders dan concluderen dat hier onzin wordt gevraagd. De leerling kan immers niet aangeven wat zijn/haar gedachtengang is bij het beantwoorden van deze vraag: er kan alleen een alternatief worden afgevinkt.

De leerling zou eigenlijk de eigen interpretatie van de vraag expliciet moeten vermelden. Zoiets als: ‘Ik neem aan dat de vragensteller bedoelt welke reis per verblijfsdag het minst kost’. Deze interpretatie heeft op zich niet veel of misschien niets met rekenen te maken, maar alles met tekstbegrip. Als dat bij nader onderzoek inderdaad het geval blijkt, is er maar één conclusie mogelijk: er moet gewoon rechtstreeks worden gevraagd naar de laagste prijs per verblijfsdag. Hoe moeilijk kan het ontwerpen van een rekentoetsopgave zijn?

De taal wekt dus nogal wat vragen op. Probleempunten zijn verder nog: ‘aanbieding’ ‘Rome’ is een raadseltje. Laat Rome zijn eigen problemen oplossen, en spreek over een vacantiereis. Vermijd de niet-functionele suggestie die het woord ‘aanbieding’ inhoudt. Ook de vraag naar welke reis ‘het voordeligst’ is, is dubbelzinnig: wat ‘voordelig’ is, is een subjectieve zaak.

Waarom deze pseudo-realistische kosten voor de respectievelijke reizen gebruiken in plaats van eenvoudiger getallen die de leerlingen vlot op papier kunnen behandelen? Maar dit is een steeds weerkerend probleem: de ontwerper kiest de getallen dusdanig, dat de beschikbaarheid van een rekenmachine door de leerlingen hooglijk zal worden gewaardeerd. De rekenwereld op zijn kop.

De vraag is behoorlijk moeilijk gemaakt door vier alternatieven te gebruiken. Er zijn leerlingen die hier hun nek over gaan breken omdat ze geneigd zijn iedere twee met elkaar te vergelijken. Waarom niet de beperking gezocht in de eenvoud, en twee scenario’s aangeboden? Een ander probleem met deze vraag is dat ze uitlokt om te gaan bestuderen of de vraag ‘handig’ kan worden opgelost; ik ben bang dat leerlingen die dat gaan proberen, heel vaak fout zullen uitkomen (onderzoek Marian Hickendorff).




6)

Bij een zorgverzekeraar moet een volwassene in 2012 € 102,50 premie per maand betalen.
Dit is een stijging van € 36,— per jaar ten opzichte van 2011.


Met hoeveel procent is de premie in 2012 ten opzichte van 2011 gestegen?
Rond af op één decimaal.
[gebruik van rekenmachine mogelijk]

de wiskunde


102,5 / (102,5 − 36/12) ≈ 1,03 dus 3,0%

Je moet hier goed lezen, mag ook wel een keer. Maar neem hanteerbare getallen (zonder rm). Bijvoorbeeld 260 / (260 − 10) De maandpremie voor een verzekering is € 260. Dat is een stijging van € 120 per jaar t.o.v. vorig jaar. Enz.

H.P.


Geen afbeelding toegevoegd: het kan dus wel zonder! Prima.

De taal: ‘Dit is een stijging’ heeft geen juiste referent: in de voorafgaande zin is geen sprake van een stijging. Moet zijn: ‘Over heel 2012 komt dat uit op een stijging van .. ’.

De eerste zin heeft een onjuiste volgorde; het moet zijn: ‘Een volwassene betaalt bij zijn zorgverzekeraar .. ’, of: ‘Een zorgverzekeraar vraagt van een volwassen verzekerde .. ’.

Kinderen betalen geen zorgpremies: ‘een volwassene’ moet er dus uit. Dat de premie ‘moet’ worden betaald is een merkwaardige benadrukking van iets dat niet benadrukt moet worden: eruit.


Ik heb een stug vermoeden dat dit een strikvraag is: een niet benadrukte overgang van een bedrag per maand naar een bedrag per jaar maakt van deze vraag nauwkeurig lezen. Wie dit overdreven vindt wil ik wijzen op de universeel aanvaarde ontwerpregel dat een ontkenning in een toetsvraag wordt benadrukt door deze bijvoorbeeld vet te drukken: niet. Deze eenvoudige fatsoensregel doortrekkend naar vraag 6 maakt van de stam het volgende:



De berekening kan zonder rekenmachine:

jaarpremie 2012: 12 × € 102,50 = € 1230,--

jaarpremie 2011: € 1230 - € 36 = € 1194,--.

1% van de jaarpremie 2011 is € 11,94 ≈ € 12

Antwoord: De premie is met drie procent gestegen (18 cent te hoog is 0,015 %)


Er zijn best wel wat onderscheiden stappen te nemen. Hoe past dat precies bij 3F? Henk Pfaltzgraff schrijft in een keer de berekeningsformule op; dat duidt erop dat deze opgave hoort tot een bepaald type waarvan leerlingen de aanpak kennen?




7)

0,25 × 0,3 × 4 = . . .


de wiskunde


0,25 × 0,3 × 4 = 0,3


En beetje flauw voor dit niveau. Voorstel: 0,25 × 0,35 × 8

Geschikt als ‘kale’ rekensom. H.P.


Nou ja, zeg. Dit is toch idioot. Maar ja, je mag er geen rekenmachine bij gebruiken, hè? Is dit niet niveau groep 6? Hoe past dit precies in de referentieniveaus?


Bij makkelijke vragen zoals deze komt de leerling in de verleiding om het sommetje uit het hoofd te maken. Ook als hij/zij de ‘handige’ oplossing niet ziet. Bij de eenvoudige rekenopgaven in de PPON is gebleken dat leerlingen veel te vaak ten onrechte er niet even het kladblok en een pen bij pakken, zie ook het proefschrift van Marian Hickendorff die hier experimenteel vervolgonderzoek op heeft gedaan.


Opgaven zoals deze, waar de getallen zo zijn gekozen dat er een ‘handige’ oplossing is, horen in het rekenonderwijs niet thuis. En al helemaal niet in ‘realistisch’ rekenonderwijs, zou je denken, want situaties waarin ‘handig’ valt te rekenen komen in het wild nauwelijks voor. Maar ja, wie ben ik? Het is Freudenthal’ opvolgers gelukt ‘handig’ rekneen in de kerndoelen basisonderwijs te frommelen.


De clustering van vraagtypen is kennelijk geheel losgelaten: deze hoofdrekenvraag staat midden tussen de rekenmachinevragen. Dat wekt de suggestie dat ook de ‘echte’ rekentoetsen zo zijn opgebouwd: op willekeurige momenten komt er tussen de lastige vragen iets simpels heen fietsen. Dat is doorgaans geen goede wijze van toetssamenstelling.




8)

vb_rekentoets8.gif

De vader van Rob is gestopt met roken.
Hij rookte gemiddeld 15 sigaretten per dag.


Hoeveel euro betaalde hij per jaar aan sigaretten?
Rond af op hele euro’s.


de wiskunde


( (15/19)×4,6) ) × 365 ≈1326 (euro)


[ Nerds in 6 VWO weten dat een jaar 365,24 dagen telt ]

Deze opgave kan geschrapt worden. H.P.


‘De vader van Rob was onlangs overleden aan longkanker.’ Dit is nu een voorbeeld van een rekentoetsvraag met een mogelijk emotionele lading voor sommige examendeelnemers. Dit kan dus echt niet.


F. S. Berdie (1971). What test questions are likely to offend the general public. Journal of Educational Measurement, 8, 87-93.


De vraag zoals hier gesteld, is onvolledig. De leerling moet op zoek naar de ontbrekende gegevens, die dan wel in de afbeelding zullen staan? En ja hoor. Een malle afbeelding gebruiken om het gegeven van het aantal sigaretten en de prijs per pakje te presenteren, verdient stokslagen. Zelfs in de context-filosofie van het realistisch rekenen is deze afbeelding idioot.


Jos Tolboom (2012, proefschrift) verwijst voor contexten naar:

M. Wijers, V. Jonker & S. Kemme (2004). Authentieke contexten in wiskundemethoden in het vmbo. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 21, 1-19.

Dit artikel is waarschijnlijk gebaseerd op: Sieb Kemme, Monica Wijers en Vincent Jonker (2003). Authentieke contexten in wiskundemethoden in het vmbo. Freudenthal Instituut & ICO-ISOR Onderwijsresearch. pdf

Het probleem met de contextfilosofie in het realistisch rekenen is enorm. Dat blijkt alleen al uit het gedweep met de term ‘authentiek’ in genoemd rapport. De auteurs behoren tot de Freudenthal-groep; het ICO-ISOR heeft zich waarschijnlijk geleend om het onderzoekgeld binnen te halen voor het FI. Afijn, over de manier waarop deze voorbeeldrekentoets contexten gebruikt, valt met het Cito/CvE nog wel een appeltje te schillen. Kemme, Wijers en Jonker kan dan als referentie voor het context-geloof dienen. Het is een beschamend rapport (ik zou het als opdrachtgever niet hebben geaccepteerd): een onwetenschappelijke term zoals ‘authentiek’ gebruiken zonder enig theoretisch kader [dat valt ook niet te construeren, trouwens], vraag maar een eind weg, schrijf alles dan op. Geheel kritiekloos is het overigens niet, zie bijvoorbeeld paragraaf 3.4.


Een vraag met een beroep op algemene ontwikkeling: hoeveel dagen heeft een jaar, wat is ‘gemiddeld’? Lijkt onschuldig, maar waarom zou je dit in een rekentoets doen? Zie ook de opmerking van H.P. over leerlingen die gaan stoeien met al dan niet schrikkeljaren (dat maakt verschil in de hele euro’s)


De oplosstappen: wat kost een sigaret. Maal 15 maal 365 (aanname: geen schrikkeljaar). Afronden. Dat is te overzien. Wat kost die sigaret dan: 24,2105 cent, afgerond. Moet het weer zo’n realistisch bedrag zijn? Is er een ‘handige’ oplossing mogelijk? Nee. Het hoeft natuurlijk niet per se met de rekenmachine, maar het kost teveel tijd om het op papier uit te rekenen. Deze toets gaat dus steeds meer lijken op een rekenmachinetoets als vervanger van zelf rekenen. Maar als dat de bedoeling zou zijn, dan zou de testontwerper heel andere opgaven maken.


De taal: Waarom dat sentimentele gedoe met ‘de vader van Rob’? Stel de vraag neutraal, in algemene termen.

Er zit een dubbelzinnigheid in de vraagstelling: ‘per jaar’ refereert aan een specifieke periode van een aantal jaren, maar daar is geen enkel gegeven over. Moet zijn: ‘in één jaar’. Een tweede dubbelzinnigheid zit in het ‘Rond af op hele euro’s’: slaat dat alleen op de uitkomst, of mag in de berekening al worden afgerond (de methode van de fiscus, ‘leuker kunnen we het niet maken’)? Beter: ‘Rond het antwoord af op hele euro’s.’




9)

vb_rekentoets9.gif


de wiskunde


(88 − 50)×(88 − 50) /5 = 288,80 (euro)


Dit keer NIET afronden?

Asjeblieft geen woordformules gebruiken!!! Hier wordt een formule verminkt.

H.P.


De afbeelding bij deze opgave is irrelevant. Weglaten.


Hier ontstaat een ernstig probleem door een conflict met kennis die leerlingen als hun algemene ontwikkeling kunnen hebben: beboeten van te snel rijden gaat niet volgens de luimen van de plaatselijke dorpsraad, maar volgens landelijke normen, plus administratiekosten. Het is een ernstig probleem, omdat bij andere opgaven er wèl een beroep wordt gedaan op algemene ontwikkeling (in vraag 8: wat is een gemiddelde, hoeveel dagen heeft een jaar), en bij deze vraag 9 die algemene ontwikkeling even moet worden uitgeschakeld.


De taal: In het gegeven bij de vraag is sprake van ‘deze weg’, maar in het voorgaande is niet over een weg gesproken. De leerling moet begrijpen dat de verwijzing is naar de naaststaande afbeelding; schrijf dat dan ook zo op. Beter nog: vervang ‘deze weg’ door ‘een weg in de bebouwde kom’. Dat vermijdt ook de dubbelzinnigheid: rijdt Rogier te hard binnen de bebouwde kom (38 km/u te hard), of buiten de bebouwde kom (8 km/u te hard)? Moet de leerling dat maar begrijpen uit de vraag? Maar het gaat hier toch niet om tekstverklaring?

‘Hoeveel euro boete moet hij betalen?’ is een omslachtige formulering voor ‘Hoe hoog is de boete?’

Een ‘vuistregel’ is iets anders dan een deterministische regel zoals hier kennelijk bedoeld.

Wordt een antwoord in hele euro’s verwacht?




10)

Jake krijgt een loonsverhoging van 4%. Een jaar later krijgt ze nog eens een verhoging van 3%.


Hoeveel is haar loon in totaal gestegen?

  1. 7%
  2. 7,07%
  3. 7,12%
  4. 12%
[gebruik van de rekenmachine is mogelijk]


de wiskunde


1,04 × 1,03 = 1,0712 dus 7,12%


Deze kan heel goed zonder rekenmachine.

H.P.


Ik begrijp dit niet: waarom moet dit een meerkeuzevraag zijn, met alle irrelevante invloeden op de scores die hieruit voortvloeien (raden, redeneren vanuit gegeven alternatieven)? Het kan gewoon een open vraag zijn.


Dit is een opgave in de door Turkstra (zie hierbeneden) verfoeide categorie van de werk-, weg- en kraansommen, waar een vaste truc voor kan worden geleerd.

Zie ook het vreselijke voorbeeld dat Anne van Streun heeft gegeven in het rapport van zijn werkgroep (rekenblog 4).

rekenblog 4

Hoe past deze opgave dan in het referentiekader rekenen?


De taal: de vraag is naar de stijging van het loon, maar de vraag mist het gegeven hoe hoog dat loon oorspronkelijk is, en de alternatieven zijn in percentages van het loon. Dat wringt. Leerlingen zullen waarschijnlijk wel begrijpen dat geen bedrag maar een percentage is bedoeld, maar dat kost extra inspanning die niets met rekenen heeft te maken. Voor de duidelijkheid: de stam van de vraag suggereert dat een bedrag moet worden genoemd, maar de alternatieven zijn percentages. Het probleem is natuurlijk dat het in woorden lastig is om aan te geven welk stijgingspercentage (ten opzichte van wat) wordt bedoeld. Maar sjoemelen met taal in niet sjiek. Eveneens een afrader voor het ontwerp van toetsvragen: hetzelfde begrip anders noemen: zowel ‘loonsverhoging’ als ‘verhoging’ en ‘ gestegen loon’ Beter: Met hoeveel procent loonsverhoging is dat in totaal?


Wat ook wringt: twee keer tegenwoordige tijd, waar dan toch een jaar tussen zit. Beter: ‘Jake kreeg in 2010 een loonsverhoging .... ’

Henk Pfaltzgraff gebruikt voor zijn oplossing een formule die past bij dit type opgave. Maar wat doet een leerling die niet zeker is van die formule, of zich die niet herinnert? Ik heb zelf geen routine in opgaven zoals van dit type, en ik zie niet meteen waarom hier de formule 1,04 × 1,03 correct moet zijn. Ik heb een tussenstap nodig, of een formule die ik wel direct begrijp en die ook direct het antwoord geeft: 4% plus 3% plus 3% van 4% = 7,12 %.

Wie is Jake?




11)

In dit cirkeldiagram [hier weggelaten, b.w.] is de favoriete sport weergegeven van de
leerlingen van een school.
Hockey is met 252 leerlingen het meest favoriet


Van hoeveel leerlingen is handbal de favoriete sport?


. . . . . . . . . . . . leerlingen [gebruik van de rekenmachine is mogelijk]


de wiskunde


9 × 252 / 28 = 81


Ook deze kan zonder rm. Overigens zitten er teveel gegevens in de som. Een veel te hoge redundantie, daar hebben meer opgaven last van . . .

H.P.



Gegeven is een cirkeldiagram dat voor een aantal sporten weergeeft hoeveel leerlingen de betreffende sport als hun favoriet hebben gekozen.


taal De stam van de vraag geeft favoriete sport: enkelvoud! Mogelijk geeft de ANS aan dat hier enkelvoud gebruiken wel aanvaardbaar is, maar voor een landelijke rekentoets waaraan ook leerlingen met Nederlands als tweede taal deelnemen, lijkt me dat ongewenst. Bedoeld is: van ieder van de leerlingen.

De vraag ‘hoeveel leerlingen’ is dubbelzinnig: een antwoord als percentage is ook goed Nederlands; tenslotte geeft het cirkeldiagram dat ook op die manier aan. Het erboven staande zinnetje suggereert wel dat bedoeld is om het aantal te geven, maar dat is dus niet meer dan een suggestie.

‘Hockey . . . is het meest favoriet’ schept de verwachting dat er iets met de randorde van favoriet zijn wordt gevraagd, maar dat is dus niet zo.

De vraag zelf moet zijn: ‘Handbal is de favoriete sport van hoeveel leerlingen?’ Zo’n vraag moet je kunnen lezen zonder aan het eind weer terug te moeten kijken naar wat er ook al weer over handbal als favoriete sport werd gevraagd: dat laatste moet dus aan het einde van de vraag.


In de bedoeling van de ontwerper moet de leerling hier snappen dat hij de afbeelding moet gebruiken voor een rekenkunstje: de 9% van handbal vertalen naar het bijbehorende aantal, de concordantie is gegeven door het aantal hockeyers, en dat is 28 %. Ergo: 928 × 252, wat weer ‘handig’ is uit te rekenen. Maar de beschikbare rekenmachine zal uitlokken tot knoppendrukken, wat in het nadeel van de leerling werkt. Wat heeft het kunstje met rekenen te maken?

Als het goed is, zijn leerlingen getraind in het oplossen van dit type opgaven (percentages en aantallen), herkent de leerling het type, en past de oplosmethode toe. Maar dat lijkt verdraaid veel op een specifieke rekenprocedure, en dat is volgens de Rekentoetswijzer 3F uitgesloten. Zijn leerlingen niet geoefend op dit type probleem, dan wordt het creatief probleemoplossen, en dat is een kwestie van intelligentie testen.




24)

vb_rekentoets24.gif


de wiskunde


Deze opgave kon ik niet door mijn strot krijgen. Sorry.

Deze opgave kan geschrapt worden. H.P.


Deze vraagt knalt ongelooflijk door de grenzen van mentale belastbaarheid heen (Sweller). Een wagonlading informatie, te verwerken binnen een, twee minuten. En dan moet de vraag nog worden beantwoord.

Jan L. Plass, Roxana Moreno & Roland Brünken (Eds.) (2010). Cognitive Load Theory. Cambridge University Press site


Ludo Verhoeven (2009). Cognitive load in interactive knowledge construction. Learning and Instruction, 19, 369-375.abstract

Een ernstige ontwerpfout is de ontkenning die in de vraagstelling staat:

“Ze bezoeken alle wedstrijden, behalve die van 27 juni en 30 juni.”

Dit is het Cito onwaardig. Als er dan met alle geweld een ontkenning in de vraag moet, dan moet daar ook nadrukkelijk de aandacht op worden gevestigd, in dit geval bijvoorbeeld door ‘behalve’ vet te drukken, in kapitalen, of beide: behalve, BEHALVE, BEHALVE. Beter is natuurlijk het ontwerp zo aan te passen dat dit probleem niet ontstaat.

Ik zal nog wel meer kritische punten bij deze vraag hebben (in de vraag is sprake van ‘honkbal’, wat de leerling ertoe dwingt te controleren of de wedstrijdtabel alleen over honkbal gaat; strikvraagkarakter: zoon 18 jaar, terwijl jeugdkaarten t/m 14 jaar zijn; onnodige belasting door de noodzaak in de wedstrijdtabel te controleren of er soms meer wedstrijden op dezelfde dag worden gespeeld), maar ik zet dit vast op de website. Alleen deze vraag al zou reden voor het Cito en het CvE moeten zijn om onmiddellijk een persbericht uit te geven dat deze voorbeeldrekentoets 3F wordt teruggehaald en op korte termijn vervangen door een nieuwe toets waar de massale kritiek op de wiskunde, de taalvoering, en het ontwerp adequaat is ondervangen. Dit is niet een haar in de soep, maar een dode muis in melk.




25)

vb_rekentoets25.gif


de wiskunde


29,25/(87,75+29,25) = 0,25


Er staat links een factuur met twee bedragen: korting € 29,95 en te betalen € 87,75. Rechts staat een slogan met (in grote rode) hoofdletters: KORTINGEN TOT 75%. De vraag is hoeveel procent korting er was. Misleidende reclame, vol met afleidende gegevens.


WAAROM NIET (ZONDER PLAATJES EN ZONDER REKENMACHINE):
Ronald heeft een cd-speler gekocht. Hij kreeg 30 euro korting en hoefde maar 90 euro te betalen. Hoeveel procent korting heeft hij gekregen? Antwoord: 30 / (90+30) = 0,25 dus hij kreeg 25% korting.

H.P.


Dit is misleiding. ‘Dit’: het als gegeven afgebeelde ‘maximaal 75 % korting’. Wat illustratie is, en wat gegeven, buitelt hier over elkaar heen. Weg dus met die 75% figuur. Stokslagen.

Ik heb ernstige twijfels bij het rondstrooien van gegevens, zoals deze ‘Deze week kortingen tot 75%’, die irrelevant zijn voor de rekenopgave. De rekentoets gaat immers over rekenen, niet over probleemoplossen in curieuze contexten met afleidende informatie.

De afgebeelde factuur ziet er natuurlijk leuk levensecht uit, maar is irrelevant voor een rekentoets. De simpele afgebeelde gegevens die voor de vraagstelling nodig zijn, kunnen daarin worden opgenomen. Wederom stokslagen.

Ik blijf met verbazing naar die factuur kijken. Omdat er geen prijs is vermeld bij de CD-speler, is het dubbelzinnig wat het ‘te betalen’ bedrag betekent: is dat voor of is dat na aftrek van de korting?

De naam ‘Roland’ is reken-irrelevant: weg ermee. Neutraal formuleren.

De vraag wordt nu een stuk overzichtelijker: ‘Een cd-speler kost met een korting van € 29,25 nu € 87,75. Hoeveel % korting op de oorspronkelijke prijs is dat?

Dit is een opgave die ‘handig’ uit het hoofd is te maken. Waarom dan de leerling gewezen op de mogelijkheid om een rekenmachine te gebruiken? Om hem in de verleiding te brengen meteen maar de getallen in te tikken?

De leerling doet er verstandig aan, ook al rekent hij ‘handig’, om het rekenwerk op klad te doen.

‘Handig’ rekenen is weliswaar een kerndoel rekenen, maar wat heeft een opgave als deze precies met rekenen te maken? De meeste rekensituaties komen niet met getallen die zich lenen voor ‘handig’ rekenen. NB: Getallen voor rekenenopgaven handig kiezen, heeft niet te maken met wat in het kerndoel rekenen met ‘handig’ rekenen wordt bedoeld. De alternatieve opgave die Henk Pfaltzgraff hier aanreikt, illustreert dat.




26)

vb_rekentoets26.gif


de wiskunde


(54/0,47) : 51 = 2,25


Ook deze is niet te verteren en reden tot een opstand. ( . . . )


Mijn uitwerking (maar ik weet niet zeker of ik hem goed gemaakt heb):
Aan het eind deel ik wel door 51 (overigens heel flauw), eerst maar bedenken dat zonder 53% korting betekent:
54 × 1,53 = X (X = oude jaarabonnement). Maar wacht eens even: Stel X = oude jaarabonnement; 53% daar vanaf wordt: X − 0,53X = 1X − 0,53X = 0,47X = 54 dus X = 54 / 0,47 = 114,893.
Kan dat kloppen? Controle: 114,893 − 0,53 × 114,893 = 54 klopt inderdaad. Conclusie: “keer 1,53” is iets anders dan “gedeeld door 0,47”. Domme jongen, daar was je bijna ingetrapt . . .

Deze opgave kan geschrapt worden. H.P.


Tsja, dat kunnen we dus niet weten. De korting is immers op de reguliere abonnementsprijs. Er is dus geen antwoord op deze vraag mogelijk. De autoritaire spelregels bij toetsen en examens zijn dan dat je als leerling moet gissen wat de ontwerper van de vraag heeft bedoeld, en dat kan dan zijn: 51 losse nummers kopen kost een godsvermogen, waarvan 53% is te besparen door een abonnement te nemen. Hoe groot is het godsvermogen, en daar dan 151e deel van is kennelijk wat wordt gevraagd. € 54 is 47% van dat godsvermogen? Een godsvermogen is (10047) × € 54. Eens zien wat Henk heeft berekend. Hetzelfde. Zijn uitwerking volg ik niet: hij begint verkeerd, herstelt zich, gaat dan algebraïsch tewerk; maar als €54 47% van de lose-nummerprijs is, dan is die prijs toch — delen door de breuk 47100 is vermenigvuldigen met zijn omgekeerde — 100 × 5447.

Die Hitkrant blijkt inderdaad met kortingen te adverteren die slaan op de losse nummerprijs. Is dit misleiding? De suggestie is immers die van een speciale actie op de abonnementsprijs, maar daar is geen sprake van als je goed leest. Weer iets voor de Reclamecode-commissie? Excuus, ik spreek in raadselen. Ik had de website van Wizwijs in gedachten: gegarandeerd betere Cito-scores. Hoera. Zonder gekheid: een misleidende reclame naïevelijk als context gebruiken in een rekenopgave in een eindexamentoets is natuurlijk van de gekke, omdat juist de misleiding de kern is van de rekenopgave.


32) Archimedes zinkt in zijn graf


Klik ‪pic.twitter.com/EpgoLvipsS‬ voor een discussie op Twitter over deze vraag.

Achtergrondkennis: wie dat verhaal over Archimedes kent, heeft een voorsprong.

Dit is geen rekenvraag, maar een natuurkundevraag.

Zoals Karin den Heijer al opmerkte: de vermelding van de hoogte van de waterspiegel is misleidend, want onnodig voor de gevraagde berekening. Leerlingen die hiermee gaan rekenen, zijn in het nadeel. Hadden ze maar beter op moeten letten? Dat mag zo zijn, maar dat is geen kwestie van rekenvaardigheid, en daarom gaat het hier om een niet geringe ontwerpfout.

Gevraagd: het aantal liters. Maar het gaat in de berekening om het aantal kubieke centimeters. Anders gezegd: Er is in de vraagstelling sprake van centimeters, maar het antwoord moet worden gegeven in liters. Dat is misleidend. Het is geen goed ontwerp wanneer een dergelijke sprong gemaakt moet worden; is het echt niet te vermijden, dan maakt de ontwerper dat duidelijk door er expliciet op te wijzen: ‘zet gevonden aantal kubieke centimeters om naar liters’.

Ik zou het bijna vergeten, maar er is nóg een schoonheidsfoutje: de leerling moet nog beredeneren dat de vraag kennelijk bedoelt dat de steen zinkt, omdat er anders geen definitief antwoord valt te geven. Is dit een onschuldig foutje? Absoluut niet, het benadeelt de leerlingen die door hebben dat hier een probleem ligt. Zijn er stenen die niet zinken?

Een valide redenering is dat niet is gegeven of de steen zinkt, zodat deze vraag niet valt te beantwoorden met een enkel getal.




42)

vb_rekentoets42.gif


Wederom heeeeel realistisch: http://www.groenecampingindepolder.nl/

Het zal me niet verbazen wanneer iemand uit de cognitief-psychologische hoek eens een slim experimenteel onderzoekje zou hebben gepubliceerd over verschillen tussen neutraal gestelde woordproblemen, woordproblemen in de ik-vorm, en woordproblemen in de hij-vorm met eigennamen, zoals hier de ‘familie De Groot’. Of in de taal-psychologische hoek. Het gaat om de referentie: als die naar de lezer is, het gezichtspunt van de lezer bijvoorbeeld, dan maakt dat een vraag bepaald sneller te lezen en te begrijpen dan wanneer het om een specifieke andere persoon gaat die de lezer niet kent en waarvan hij zelfs weet dat het karakter puur fictie is. De lezer moet zich in gedachten verplaatsen in de genoemde hoofdpersoon, meneer De Groot; dat is in psychologische zin niet niks, het kost energie en tijd, en een deel van het werkgeheugen. [Mogelijk heeft J. T. Dillon onderzoek gedaan dat in deze richting komt: J. T. Dillon (1982). The multidisciplinary study of questioning. Journal of Educational Psychology, 74, 147-165. Graesser, A. C. (Guest editor) (1990). Psychological research on question answering and question asking. Special Issue, Discourse Processes, 13, 259-3.]





43)




44)




45)




46)




47)

Ruud wil dubbel glas in zijn vakantiehuisje.
De maten van de ramen zijn:


Achterkant:
1 raam van 70 cm × 90 cm


Zijkanten:
2 ramen van 58 cm × 90 cm en 2 ramen van 42 cm × 90 cm


Ruud kiest HR+ glas. Hij laat het glas plaatsen.


Hoeveel euro moet Ruud in totaal betalen?
[rekenmachine beschikbaar voor gebruik]



In een tabelletje dat is toegevoegd staan de prijzen per m² van 3 soorten glas waaronder HR+: € 66,-- per m². Ook vermeld: glas plaatsen: PRIJS : € 39,-- per raam. Ik heb geen flauwe notie waarom het aflezen van deze waarden uit een bijgevoegd tabelletje iets met rekenen heeft te maken. Deze gegevens kunnen gewoon rechtstreeks bij de gegevens voor de vraag worden vermeld.




48)

vb_rekentoets48.gif


Het blokjesgebeuren is een apart hoofdstuk in het boek van het realistisch rekenen. Ik ben even de referentie kwijt. Wat dit met rekenen heeft te maken, ontgaat mij. De vraag, opgevat als een wiskunde-vraag, is niet te beantwoorden tenzij door extra aannamen te doen. Er zit mogelijk iets van ruimtelijk inzicht in, maar dat is een persoonlijkheidskenmerk, geen onderwijsresultaat. In intelligentietests kan dit type vraag wel eens worden gebruikt (ik vond een mooi voorbeeld in een Oostenrijks boek, kort na WO II).

In de Freudenthal-groep denken ze daar anders over:


Koeno Gravemeijer en Jean-Marie Kraemer (1984). Met het oog op ruimte. Een meetkundige wereldoriëntatie. Onderwijskundige Brochuren Reeks.




49)




50)




51)




52)




53)




54)




55)




56)




57)

De spoorbaan tussen Arnhem en Doetinchem heeft een lengte van 36 kilometer.
Een trein doet 34 minuten over de hele reis.


Wat is de gemiddelde snelheid in kilometers per uur?
Rond af op hele kilometers.


de wiskunde



H.P.


Dit is gewoon een klassieke redactiesom, van het type dat voor WO II ook al stevige kritiek trok. De kandidaat moet hier het trucje kennen, anders wordt het even heel lastig.

Dat trucje lijkt me te zijn: (60/34) × 36 = 60 × 1,06 = 64. Nee, het kan geen 63 zijn.




58)

Op 1 januari 2010 krijgt Carica € 100,- van haar opa.
Ze zet dit geld de volgende dag op een spaarrekening met 4% rente per jaar.
Precies een jaar later, op 2 januari 2011, zet ze nog eens € 100,- op de rekening.


Welk bedrag staat er op 2 januari 2012 op de spaarrekening?


de wiskunde


€ 100 na 1 jaar € 104, na 2 jaar 204×1,04 = € 212,16


H.P.


Dit is met al die precieze data een griezelige opgave. Immers, het antwoord is afhankelijk van de valutering van de bank, inclusief de bijschrijving van de rente. Realistisch?

De opgave is al met al knap ingewikkeld, tenzij de leerling over de toepasselijke formule beschikt. Immers, om te beginnen moet alle overbodige informatie worden genegeerd.

Je legt twee jaar lang jaarlijks € 100,- spaargeld in, tegen 4% rente jaarlijks. Wat is na twee jaar het bedrag op de spaarrekening?


Als de kandidaat even nadenkt, gaat het om 4% rente over € 300,-, plus 4% rente op rente over €100. De optelsom in euro’s is dan 200 + 12 + 0,16 = 212,16.


Omdat de kandidaat de data wel goed moet organiseren, is dit een opgave die een behoorlijke claim legt op de beschikbare ruimte in het werkgeheugen. De vraag is of dat organiseren van de data iets is dat rekenvaardigheid mag heten, of is het ‘denkvermogen’? Misschien is het eerste het geval, wanneer rentesommen goed zijn geoefend. Ik heb die oefening niet, en volgde een onhandige redenering waarin makkelijk een fout valt te maken. H.P. deed het beter. Wat staat erover in de referentieniveaus?




59)

2253 - 879 + 147 =


de wiskunde


2253 - 879 + 147 = 1521


Een goede, “kale” som. Ik voorspel slechte resultaten, vooral als je hem verandert in:


2213 - 879 + 147 = 1481


(dan is de handige “toevalligheid” van 2253 + 147 = 2400 eruit gehaald . . . )


H.P.


Rekenen met getallen waar ‘iets handigs’ mee kan worden gedaan, is geen rekenen. Dit is een misvatting over wat handig rekenen is. In de goede rekenpraktijk komt de ervaren rekenaar in de positie dat algoritmische bewerkingen verkort worden. Een heel mooi voorbeeld daarvan is het handig uitvoeren van de staartdeling, door de ervaren staartdeler (en zeker niet door een beginner!). Zie



F. Goffree, A. A. Hiddink & J. M. Dijkshoorn (1970 4e). Rekenen en didactiek (blz. 175). Wolters-Noordhoff.





60)

60 : 0,15 =


de wiskunde


60 : 0,15 = 400     Akkoord


H.P.






Voorbeeldrekentoets-3F 2013


Jan van de Craats (17 november 2013). Voorbeelduitwerkingen van de vragen in de voorbeeldrekentoets-3F van 2013. pdf

. Van de Craats heeft zijn analyses samengevat en van conclusies voorzien, zie de laatste bladzijden van zijn pdf. Vooruitlopend op de hoorzitting over rekentoetsen en referentieniveaus (waarover binnenkort wel een bekendmaking zal volgen) is het stuk van Van de Craats al naar de Tweede Kamer gezonden.


Bij de toetsvragen die ik hierbeneden behandel, zal ik telkens ook de berekening en commentaar van Jan van de Craats vermelden (met zijn toestemming).


Voor de opgaven zelf is het handig om de voorbeeldrekentoets-3F 2013 van het Cito te openen: Voorbeeldtoets_3F 2013. Ik zal proberen zoveel mogelijk toch de tekst van de vragen over te nemen, en waar dat zinvol is ook de afbeeldingen, maar zal dat niet altijd doen.


Bij de hand houden: Besluit van 17 juni 2010, houdende vaststelling van referentieniveaus Nederlandse taal en referentieniveaus rekenen (Besluit referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen) stb-2010-265.html.





1) Totale korting gevraagd? Nee, wat je moet betalen

rvo-3F-vb-13_1_afb.pngBij een kledingwinkel is er sprake van stippenkorting. Liesbeth heeft een vel met vijf stickers gekregen met elk een ander kortingspercentage.


Liesbeth koopt:


Ze gebruikt drie van de vijf stickers en plakt op elk kledingstuk een sticker zodat ze in totaal zo weinig mogelijk heeft te betalen.


Hoeveel betaalt Liesbeth?
€ . . . . . . . . . . . . . [rekenmachine beschikbaar]


Voor een discussie over deze vraag op Twitter: zie hier.


Probleem met deze vraag is dat hij evident over kortingen lijkt te gaan, maar het gevraagde is wat er in totaal moet worden betaald. Je zou dus kunnen stellen dat de kandidaten door de vormgeving van de vraag op het verkeerde been worden gezet. Wie netjes de maximale korting heeft uitgerekend, dreigt te vergeten dat niet die totale korting, maar het totaal te betalen bedrag wordt gevraagd. Dat al dan niet vergeten is niet iets dat met rekenvaardigheid heeft te maken.

Laat ik het verder verduidelijken voor wie nog aarzelt. Het is een algemeen aanvaarde stelregel voor het ontwerpen van toetsvragen dat de vraagstelling geen ontkenningen bevat. Ontkenningen zijn altijd lastig, daar zal best neuropsychologisch onderzoek over zijn. Een toets met ontkenningen toetst neuropsychologische verschillen, naast of in plaats van wat is bedoeld te meten. Is het echt niet mogelijk om ontkenningen te vermijden, dan moeten ze expliciet worden aangeduid, bijvoorbeeld door woorden zoals niet of geen vet te drukken, of in hoofdletters.

Welnu, in vraag 1 is op geen enkele manier nadrukkelijk duidelijk gemaakt dat het niet gaat om de kortingen zelf, maar om wat er moet worden betaald. De vraag zet de kandidaat op het verkeerde been, wekt een verkeerde verwachting. Dat heet ook wel framing. Ik ben deze ontwerpfout wel vaker tegengekomen in deze rekentoetsen.


Nog nooit van zo’n zegeltjesactie gehoord, of er mee te maken gehad? Dan heb je pech, want het zal aardig wat denkstappen kosten voordat je hebt ontraadseld hoe deze actie dan precies in elkaar zit. Ik herinner me nog wel mijn verbazzing toen ik een dergelijke kinderachtige actie voor het eerst tegenkwam bij mijn kruidenier Dus, tja, wat meet deze ‘reken’opgave eigenlijk? Gekkigheid zoals in deze opgave mag natuurlijk absoluut niet in een eindexamentoets voorkomen. Maar ik geef toe: ik heb alleen maar een vermoeden dat bekendheid met een dergelijke zegeltjesactie hier storend werkt; misschien heeft het Cito dit tevoren heel goed uitgezocht, en is gebleken dat alle leerlingen hier toch een level playing field hebben.


Dit gaat dus over opgaven waar twee minuten tijd voor is. Een paar keer diep ademhalen, en de tijd is al om. In komende rekentoetsen zijn er minder van deze contextopgaven, dus een halve minuut meer tijd? Het is een boeiende vraag hoe kandidaten in feite met deze contextopgaven omgaan, binnen die beperkte tijd. De stress is hoog, want de vraag moet echt worden beantwoord voordat je verder kunt, en terugbladeren kan niet. Dus, Cito, schaf de apparatuur aan waar Arnon Grunburg nu mee op zijn hoofd en aan de wereld vastzit, en doe er onderzoek naar. Wat doet de leerling die op het laatste moment ontdekt dat niet de totale korting, maar het te betalen bedrag moet worden genoteerd? Wat doet de kandidaat die niet meteen begrijpt hoe deze zegeltjesactie in elkaar steekt, maar toch snel een antwoord op de vraag moet produceren? Wat gebeurt er met de kandidaat die na drie minuten hard werken ontdekt het helemaal verkeerd te hebben aangepakt, want niet goed gelezen? Enzovoort.


Is dit nu een betekenisvolle context? Van der Zwaart (zie Euclides, november 2013 hier) zal waarschijnlijk zeggen: jazeker, want dit is uit de werkelijkheid geplukt. En dan bedoelt hij de specifieke winkeliersketenactie, niet de gestelde rekentoetsopgave. Of de situatie betekenisvol is, dat is een empirische kwestie: hoe doen mensen hun inkopen, in het bijzonder bij zo’n zegeltjesactie? Wel eens iemand naar zijn zakjapanner zien grijpen en een som zoals deze zien uitrekenen? Welnee. De meeste mensen beslissen over hun aankopen op andere wijze dan door dingen exact uit te rekenen: ze hebben een enkele overweging simpele overweging, twee overwegingen misschien, op basis waarvan ze hun beslissing naar genoegen nemen. De commerciële wereld weet heel goed hoe ze daar goed op in kunnen spelen (met stippenkorting etc). Herb Simon, die van de nobelprijs economie en psychologie, heeft het satisficing genoemd. Meer over beslissen in het dagelijks bestaan: ‪goo.gl/VfqmVN‬

Gerd Gigerenzer & Wolfgang Gaissmaier (2011). Heuristic decision making. Annual Review of Psychology 2011, volume 62, 451-482. Vrij online.

Het interessante van deze korte beschouwing is dat het een specifieke filosofiosche opvatting achter dat ‘functioneel rekenen’ blootlegt: de opvatting van rational man uit de klassieke economie. Maar die rationele mens bestaat niet (filosofie). Ondertussen dwingt de Nederlandse overheid de jeugd om te denken zoals de ‘rationele mens’ in de klassieke economische theorie dat zou doen. Een wonderbaarlijke situatie.

de wiskunde


1. RM De hoogste korting moet bij de hoogste prijs worden geplakt. Berekening: 0,5 × € 69,— + 0,6 × € 35,— + 0,7 × € 29,— = €75,80

Commentaar: Het eerste deel toetst algemene intelligentie, het tweede deel toetst het omzetten van percentages in kommagetallen en rekenmachinevaardigheid. En nauwkeurig lezen: je moet niet de totale korting uitrekenen, maar de totale aankoopprijs! Een instinker die veel slachtoffers zal maken (waaronder aanvankelijk ook ondergetekende).


J. vd C.




)


de wiskunde



J. vd C.




35)

http://www.ben-wilbrink.nl/rvo-3F-vb-13_35_afb.png In augustus 2011 starten 240 leerlingen in de brugklas.


Hoeveel van deze 240 leerlingen stromen naar verwachting drie jaar later door naar de tweede fase?


. . . . . . . . . . . . . . leerlingen
[rekenmachine beschikbaar]


Voor een discussie over deze vraag op Twitter: ‪pic.twitter.com/TUES36NRUa‬

Hier ontstaat spanning omdat het percentage bij de overgang van 2e naar 3e klas, in het specifieke voorbeeld waar er 240 leerlingen starten, geen geheel aantal leerlingen oplevert.

De analogie is hier met het bus-probleem, bijvoorbeeld: 1132 leerlingen gaan op schoolreis; er kunnen per bus 62 leerlingen mee; hoeveel bussen zijn er nodig?

De term ‘naar verwachting’ roept tal van problemen op: dit is een rekentoets die niet over statistiek gaat.

de wiskunde


35. RM Berekening: 240 × 0,95 × 0,97 × 0,96 = 212, 313600, afgerond (dat zal wel de bedoeling zijn) 212 leerlingen.

Commentaar: De bovenstaande berekening zal wel de bedoeling van de opgavemakers zijn geweest. Maar de hele som deugt natuurlijk niet. Om te beginnen is zo’n opgave alleen zinvol in 2011 of eerder; later zijn er actuelere leerlingenaantallen beschikbaar. Laten we ons dus in gedachten terugplaatsen naar 2011. De school heeft een model voor overgangspercentages gemaakt om leerlingenaantallen in de komende jaren te schatten. De percentages in dat model zijn natuurlijk gebaseerd op empirische gegevens en misschien ook op gezond verstand. Het zijn in elk geval geen exacte getallen. Laten we eens aannemen dat het op gehele getallen afgeronde percentages zijn. Dan ligt 95% dus tussen 94,5% en 95,5%, et cetera. Uitgaande van het model, verwacht men in 2011 dus dat er van de 240 leerlingen tussen de 0,945 × 0,965 × 0,955 × 240 ≈ 209,01321 en 0,955 × 0,975 × 0,965 × 240≈ 215,64855 leerlingen die in 2014 doorstromen naar de Tweede fase zullen zijn. Een verstandige interpretatie van deze modeluitkomst lijkt te zijn dat er in 2011 verwacht mag worden dat van de 240 leerlingen in de brugklas er tussen de 209 en 216 door zullen gaan naar de Tweede fase. En zittenblijven is er blijkbaar op deze school niet bij.

Als examensom is deze opgave gezien het bovenstaande volstrekt ongeschikt. Of moeten we alle leerlingen gewoon afleren om kritisch naar de vragen te kijken?


J. vd C.




43) Vierde snaar van de harp

Bij de derde snaar hoort verhoudingsgetal 45, bij de vierde 34 voor zijn lengte.
De derde snaar van een harp (noot E) is 96 cm lang. De lengte van de vierde snaar van deze harp (noot F) is met de getallen in de tabel te berekenen.


Hoe lang is de vierde snaar?


Mijn twee minuten zijn al om met het lezen van de opgave, de tabel, en de conclusie dat de afbeelding van de harp in ieder geval irrelevant is. Ook de omweg over de noten E en F is er met de haren bijgesleept. Wat de kern van de zaak is, is een intelligentietest-opgave: de twee breuken staan tot elkaar als 96 (cm) staat tot hoeveel (cm) ?

de wiskunde


43. RM 96 × 54 × 34 = 90 cm

Commentaar: De berekening kan ook met decimale breuken worden uitgevoerd.

Terzijde: de toonhoogte van een gespannen snaar hangt af van de lengte en de spanning (en de dikte en de materiaaleigenschappen). Bij het stemmen van een harp wordt de spanning gevarieerd, niet de lengte van het trillende deel. De in deze opgave genoemde lengteverhoudingen van de snaren (die horen bij de frequentieverhoudingen van tonen in de zogenaamde ‘zuivere stemming’) zijn daarom waarschijnlijk onjuist, en verder ook irrelevant voor een harpist.


J. vd C.




)


de wiskunde



J. vd C.




56)


Dit is natuurlijk ongelooflijk oprekken van wat we nog onder ‘rekenen’ willen verstaan. maar ja, er staat iets over aflezen van tabellen en grafieken in de referentieniveaus. Ik vind het een categoriefout: rekenen verwarren met iets anders.

Iets anders is dat hier toch wel merkwaardige wereldkennis van de kandidaten wordt verwacht, namelijk dat de gemeten snelheid eerst wordt verminderd met een onzekerheidsmarge.