De filosofie/psychologie achter het realistisch rekenen

Werkdocument

Ben Wilbrink






eventueel nog uit te werken:


  • Bingo!
  • abstract: Computational facility and the relationship between automaticity or efficient processing of addition facts and success in more complex tasks were examined in a cross-sectional study of 109 children from Grades 3 through 6. Latency data and interview protocols enabled identification of speed and strategy use on the addition facts, grouped into eight fact bundles (e.g. zeroes, small doubles), as a parsimonious procedure for exploring processing efficiency. Profiles of children based on latency performance on the fact bundles were clustered. The slowest cluster reported use of counting strategies on many bundles; the fastest cluster reported use of retrieval or efficient-thinking strategies. Cluster group was the best predictor of performance on multidigit tasks. Addition fact accuracy contributed only for tasks without carrying, and grade level was not significant. Analysis by error type showed most errors on the multidigit sums were due to fact inaccuracy, not algorithmic errors. The implication is that the cognitive demands caused by inefficient solutions of basic facts made the multidigit sums inaccessible. Suggestions for instruction of students who have problems learning basic arithmetic are made.
  • 22 mei: Over de basisalgoritmen moet ik zeker ook goed kijken naar deze beide publicaties van Adri Treffers (hij refereert eraan in zijn 1985 artikel in Educational Studies in Mathematics): Treffers, A.: 1982a, 'Cijferen in het rekenonderwijs van toen en nu', Pedagogische Studien 59, 97-1 16. Treffers, A.: 1982b, 'Basisalgoritmen in het wiskunde-onderwijs op de basisschool', Pedagogische Studien 59, 471-484.
  • 22 mei: Stanislas Dehaene (1997). The Number Sense: How the Mind Creates Mathematics. Oxford University Press. (Ik heb dit besteld; Dehaene is een belangrijke onderzoeker op het breukvlak van neuropsychologie en instructietheorie)
  • 16 mei: J. A. van Maanen (21 maart 2007). De koeiennon. Hoe rekenen en wiskunde te leren, en van wie. Oratie in het vakgebied ‘Didactiek van het wiskundeonderwijs’, Universiteit Utrecht. pdf
  • 1 mei: Koeno Gravemeijer en Jean-Marie Kraemer (1984). Met het oog op ruimte. Een meetkundige wereldoriëntatie. Uitgeverij Zwijsen. Zie meetkunde.htm#Gravemeijer_Kraemer
  • 8 maart: Bethany Rittle-Johnson, Jon R. Star & Kelley Durkin (2009). The importance of knowledge when comparing examples: influences on conceptual and procedural knowledge of equation solving. Journal of Educational Psychology, 101, 836-852. abstract
  • 15 februari: Eon Harper (1987). Ghosts of Diophantus. Educational Studies in Mathematics, 18, 75-90. abstract Dit gaat over discovery learning in het wiskundeonderwijs, maar dan niet vanuit de psychologie benaderd, maar vanuit ideeën van PoincaréPolya (1962) en Freudenthal (1973). Aan de hand van de geschiedenis van de algebra, en wat dat voor de didaciek van algebra suggereert. Ik moet het nog eens rustig bekijken, het aardie is dat er een experimentje aan is gekoppeld.
  • 15 februari: Leone Burton bespreekt Leslie P. Steffe, Ernst von Glasersfeld, John Richards & Paul Cobb (1983). Children’s counting types, philosophy, theory, and application. Praeger. Educational Studies in Mathematics, 17, 448-450. abstract Radicaal constructivisme. Ik heb het boek niet, en niet gezien, maar gebruik de titel om via Google Scholar meteen een overzicht te krijgen van wat er sinds 1983 in de wereld van het radicaal cnstructivisme aan ontwikkelingen zijn geweest (en tegengeluiden). Burton geeft een inzichtelijke en betrokken bespreking. Het valt hem niet te verwijten dat hij over het construeren spreekt als iets dat een kind ‘doet’, alsof het kind het eigen construeren in eigen hand neemt en heeft. Zo werkt het natuurlijk niet, maar dit is een gevaarlijke misvatting omdat het te makkelijk leidt tot allerlei didactische ideetjes. Maar dit terzijde.



  • Dit is een werkdocument ter voorbereiding van een publicatie. Wil je ideeën hieruit gebruiken, neem dan contact met mij op.


    Voor het ontwerpen van toetsvragen rekenen of wiskunde is het de ontwerper aan te raden een grondige kennis van het te toetsen onderwerp te hebben. Mijn eigen positie is lastiger: ik wil deze ontwerper handreikingen doen voor het ontwerpen van deze toetsvragen, en heb daarom zelf enig inzicht nodig in wat het is om rekenen of wiskunde te leren, respectievelijk te beheersen. Ik ben dus al enige jaren op zoek naar sleutelpublicaties die mij op weg kunnen helpen, zie mijn pagina’s matheducation.htm en de specifiek op Nederland gerichte pagina matheducation.dutch.htm. Het kan niet missen, of ik kom op deze speurtocht het werk van Hans Freudenthal tegen, en dat van het Freudenthal Instituut (FI). Wat mij als psycholoog en onderwijsonderzoeker daarin opvalt is dat de psychologie niet lijkt te kloppen, dat degelijk empirisch onderzoek vooral ontbreekt (ontwikkelwerk in het veld — design research — is echt iets anders, ook al kan dat op zich onderzoekmatig gebeuren), en dat het FI het onderwijsveld, inclusief uitgeverijen, aan het eigen lot lijkt over te laten. De combinatie van gebrekkige psychologie, ontbrekend empirisch onderzoek, en gebrekkige of ontbrekende nazorg in het onderwijsveld kan rampzalig uitwerken. In dit artikel wil ik onderzoeken wat in de gezichtsbepalende publicaties van het FI de denkbeelden zijn over de filosofie en psychologie die het eigen werk ondersteunt en richting geeft. In een parallel-artikel is de onderwijspraktijk het vertrekpunt, en wil ik de vraag beantwoorden of in die onderwijspraktijk de op zich verstandige uitgangspunten van het FI voor ‘realistisch rekenen’ daar mogelijk op de kop zijn komen te staan.

    pm. design research: Anthony E. Kelly, Richard A. Lesh & John Y. Baek (xxxx). Handbook of Design Research Methods in Education Innovations in Science, Technology, Engineering, and Mathematics Learning and Teaching. Routledge.




    te behandelen: Het constructivisme in het denken van sommige didactici is bijvoorbeeld het idee dat leerlingen alleen kennis kunnen verwerven door deze zelf te construeren. Ik moet dit zeker toevoegen bij de behandeling van mogelijke psychologische misvattingen. Mijn oude leermeester (Linschoten, die van Idolen van de psycholoog) zou zeggen: Leuk, die lui denken dus dat je een mannetje in je hoofd hebt die dat klusje gaat opknappen! Het constructivisme is natuurlijk iets totaal anders. Het komt uitvoerig terug.

    J. Linschoten (1978). Idolen van de psycholoog. Bijleveld, 3e druk. Tekst integraal op dbnl. Zie hoofdtuk 8 Homo ex machina.


    “Als belangrijkste beginsel geldt de stelregel dat leren eerst en vooral construeren is, wat in schrille tegenstelling staat tot de opvatting van leren als absorberen.”

    ‘Proeve’ 1989 p. 14

    Natuurlijk ga ik op zoek naar meer vindplaatsen, doorheen het werk van IOWO en FI. Maar het gaat hier wel om een sleutelpublicatie in het RR.

    In pseudo-psychologische taal staat hier dat de lerende leerling een construerende leerling is, niet een absoberende. In beide gevallen is er een ‘beweger’ in de leerling aanwezig: in het eerste geval slaat de beweger aan het construeren met de materialen die zijn aangeriekt, in het tweede geval slaat de beweger de aangereikte materialen op. Maar dit slaat helemaal nergens op, er is geen beweger of homunculus die construeert, of absorbeert.

    Het wonderbaarlijke in het RR-denken is nu dat het construeren niet binnen de leerling lijkt plaats te vinden, maar: “Dit reconstructiekenmerk kan in beide geschetste leergangen [dus ook in de reproductiemethode!, bw] van de staartdeling onderkend worden.” Dus op papier! Laat ik nu altijd begrepen hebben dat cognitie iets is dat op zijn minst ook in de hersens plaatsvindt, daar zou dus ook de &lsquio;constructie’ plaats moeten hebben. Waar vindt nu die constructie plaats: op papier, in de hersenen van de leerling, of is het een of andere combinatie? (Voor de laatste mogelijkheid, zie het filosofisch werk van Ronald Giere.)

    “Het kan ook zo verwoord worden: het onderwijs moet aansluiten op de betekenisvolle realiteit van kinderen, zodat ze zich bij het opereren met getallen kunnen realiseren waar die rekenhandelingen werkelijk naar verwijzen”

    ‘Proeve’ 1989 p. 15

    Ik begrijp hier geen ene malle moer van. Laat ik een begin maken met ontwarren van deze gordiaanse knoop. Alsjeblieft, zeg, bij rekenen gaat het gewoon om de operaties die met de getallen zijn toegestaan, niet om het eindeloze aantal mogelijke zaken waar de betreffende getallen in een specifiek geval voor staan, of zouden kunnen staan, zoals hier kennelijk wordt bedoeld. De operaties die, voor een gegeven doel, zijn toegestaan, berusten gewoon op afspraken die we met elkaar hebben gemaakt. Of daar iets aan valt te begrijpen, dat zal best. Maar begrijpen kan op een eindeloos aantal manieren, waarvan sommige ongetwijfeld beter zijn dan andere, zelfs als we ons beperken tot alleen ‘goed’ begrijpen.




    Opvattingen over ‘context’ in Wiskobas en ‘realistisch rekenen’ (Freudenthal Instituut). Ik spits het toe op het proefschrift van Adri Treffers, en wel de latere Engelse editie daarvan.

    Treffers formuleerde vijf karakteristieke grondprincipes van het realistisch rekenen (Treffers, 1987):

    1. Zelf kennis construeren: Begrip en inzicht ontstaan doordat kinderen onder begeleiding van een deskundige leraar gestimuleerd en geholpen worden om uitgaande van een reëel probleem zelf kennis te construeren. Dit probleem kan een verschijnsel zijn uit het dagelijks leven van de leerling, maar ook reeds verworven wiskundige kennis kan uitgangspunt zijn van het construeren van nieuwe wiskundige kennis (Freudenthal, 1991). Belangrijk is dat leerlingen zich bij dit probleem iets kunnen ‘realiseren’ of voorstellen; vandaar de term realistisch reken- en wiskundeonderwijs. Leerlingen exploreren het probleem en verzamelen intuïtieve noties waarmee essentiële aspecten van begrippen en structuren voorgevormd worden. Die eigen ideeën en informele oplossingsmanieren van de kinderen vormen het uitgangspunt van het realistische rekenonderwijs; dit zijn de zogenoemde ‘eigen producties’. Het rekenonderwijs erkent en bouwt voort op deze informele oplossingsmanieren, sluit aan bij wat kinderen kunnen en waar ze op dat moment aan toe zijn.
    2. Niveaus en modellen: Modellen, schema’s, structuren, diagrammen en symbolen vormen de brug om informele eigen aanpakken van kinderen geleidelijk te ontwikkelen tot meer gestructureerde en uiteindelijk abstracte (formele) manieren.
    3. Reflectie op eigen producties: Kinderen worden uitgedaagd te reflecteren op hun eigen producties, hun eigen handelen. Door het stellen van vragen, confronteren met alternatieven of contradicties en aanwakkeren van discussie stimuleert de leraar het kind een volgende stap in het leerproces te zetten. Freudenthal sprak van guided reinvention.
    4. Interactie: In het realistisch rekenonderwijs leren leerlingen van en met elkaar door hun oplossingsmanieren te verwoorden, te vergelijken en eventueel te verdedigen of juist aan te passen. Onder leiding van de leraar wordt hierdoor het proces van verkorten en niveauverhoging gestimuleerd.
    5. Verstrengeling van leerlijnen: Leerlingen worden gestimuleerd om dwarsverbanden en samenhang binnen de leerstof te ontdekken. Het doel van het rekenonderwijs is een samenhangend, toepasbaar, geïntegreerd geheel van kennis, inzichten en vaardigheden.

    Commissie-Lenstra, p. 25

    In ‘Het rekentheater’ (2010, p. 109-110) formuleert Treffers de vijf principe korter. Te kort.. Het eerste principe is dan verkort tot “De kinderen hebben een belangrijke inbreng, hun eigen producties vormen de basis voor de opbouw van de leergangen (productie).’ Wat mag dit betekenen?


    Enkele snelle aantekeningen bij bovenstaand citaat.

    1. ‘zelf kennis construeren’ is een wat slimmere variant op het emmer-model voor onderwijs: we gieten kennis niet meer in het gehoorzaam ontvangende hoofd, maar het hoofd construeert zelf de kennis op basis van het aangeboden materiaal. Maar dit is een pseudo-psychologisch idee over wat er ‘in dat hoofd’ gebeurt. In het emmer-model zijn er enorme moeilijkheden omdat de leerlingen ofwel alsnog voor zichzelf helder moeten zien te krijgen wat de bedoeling is en waar het over gaat, ofwel zo weinig mogelijk proberen te begrijpen omdat de onderwijzer exacte reproductie van kennis gaat toetsen. Die problemen gaan niet vanzelf over in het model van ‘het zelf construeren van kennis’. De ene onhandige semantiek wordt ingeruild voor de andere onhandige. Tot overmaat van ramp worden de leerlingen bij dat constructieve proces ‘geholpen’ door ze betekenisvolle contexten aan te bieden. Ik vraag me werkelijk af waar dat idee vandaan komt. Hopelijk is het een variant op de gedachte dat van belang is dat de leerling zich een beeld vormt waar het allemaal voor nodig is, wat het belang is van enige handigheid in rekenen. Maar het laatste bevorder je op een andere manier dan het eerste. Een categoriefout? Zie bijv. Hulleman, Godes, Hendricks & Harackiewitz (2010)
    2. Inderdaad gaat het erom de eigen aanpakken van de leerlingen te ontwikkelen tot de bedoelde gestructureerde. Daar draait als het ware de hele didactiek om. Maar dat doe je dus niet met ‘modellen, schema’s, structuren, diagrammen en symbolen’ maar door de leerlingen met de stof te laten spelen en stoeien, in eigen woorden weergeven, uitleggen aan medeleerlingen, vage noties in samenspraak of in alleenspraak scherper krijgen. Kortom, dit is het paradigma van cognitive change (bijv. werk van Vosniadou).
    3. ‘Reflectie op eigen producties’ is een misleidende term, alsof er af te zonderen momenten zijn waarop het tijd is om te reflecteren, en andere waar het niet aan de orde is. Te deftig ook, die term. Weg ermee. Als Freudenthal met zijn guided reinvention doelt op Vosniadou’s cognitive change, de verandering van naïeve noties over het aangesneden onderwerp naar de exacte of wetenschappelijke noties, dan zijn we thuis. Discussie, inderdaad. Mag ook discussie met jezelf zijn, daar zijn we in onze intellectuele cultuur ook heel sterk in, maar uiteindelijk moet er het nodige naar buiten komen omdat er naders geen mogelijkheid tot correctie van misvattingen is.
    4. Die interactie is dus prima, en noodzakelijk. Odf dat ‘verkorten’ en ‘niveauverhoging’ is? Dat lijkt me pedagogische prietpraat.
    5. ‘Verstrengeling van leerlijnen’ klinkt prachtig, maar wat is het? Treffers zal waarschijnlijk doelen op goede onderlinge verbondenheid van kennis. Maar of je die verbindingen moet ‘ontdekkken’? Ik zou ze liever laten leggen. Daar is interactie en discussie dan weer goed voor, maar wel in een vakdidactisch goed gestructureerde omgeving.


    De commissie-Lenstra vat het zo samen, en dan gaan mijn wenkbrauwen behoorlijk omhoog (want welbeschouwd en met alle respect: de conclusie in de tweede zin is een non sequitur, en leerlingen aanmoedigen om de wiskunde opnieuw uit te vinden, hoe goed ook begeleid, is een vorm van verstandsverbijstering):

    De realistische rekendidactiek ziet wiskunde als een menselijke activiteit, met een oorsprong in de realiteit en met als doel die realiteit beter hanteerbaar te maken. Contexten spelen daarom een prominente rol in het onderwijsleerproces. Leerlingen worden aangemoedigd hun eigen oplossingsstrategieën te ontwikkelen en daar gezamenlijk op te reflecteren.


    Chris S. Hulleman, Olga Godes, Bryan L. Hendricks & Judith M. Harackiewitz (2010). Enhancing Interest and Performance With a Utility Value Intervention. Journal of Educational Psychology, 102, 880-895.


    Adri Treffers: 2010. Aantekeningen


    Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.


    Voor een analyse van het werk van ‘realistisch rekenen’ Adri Treffers is het waarschijnlijk een goed idee om te beginnen met zijn autobiografische boek, voor een breed publiek geschreven, dat in 2010 is verschenen, en met de wijsheid van 2010 geschreven moet zijn.


    De flap geeft aan dat Treffers wiskunde en onderwijskunde heeft gestudeerd. Als ik het goed begrijp gaat het om wiskunde voor het onderwijs, destijds de akte MO o.i.d. Onderwijskunde is een opleiding die een sterke psychologische component mist, en zeker de leerpsychologie of cognitieve psychologie. Ik mis hier twee dingen, die toch wel van belang zijn: wiskunde op academisch niveau, en psychologie. Het kan zijn dat het werk van Treffers de sporen draagt van dit gemis, al zal Hans Freudenthal op het punt van de wiskunde hem terzijde hebben gestaan. Ik ben zelf evemin wiskundige, ik zal daarom vooral de psychologie van het realistisch rekenen van Treffers van aantekeningen voorzien.


    In de eerste hoofdstukken, ook zijn jeugdjaren, is Treffers betoverd door rekenraadsels, rekenproblemen, en probleemoplossen. Als psycholoog vermoed ik bij de voorbeelden die hij hier aanvoert dat zij alleen zijdelings met goed reken- of wiskundeonderwijs hebben te maken. Het zijn problemen die slim opgelost moeten worden, niet op basis van kennis: je kunt er heel goed verschillen in intelligentie mee testen (precies het verwijt dat bijvoorbeeld Robert Sternberg maakt in de richting van Cito-toetsachtige tests). Als hij psycholoog was geweest, zou hij de gelijkenis tussen deze problemen en de problemen uit het psychologische onderzoek van bijvoorbeeld Duncker (1935) hebben gezien, en mogelijk niet zo makkelijk in de val zijn gelopen dat dergelijk problemen iets met onderwijs hebben te maken (intelligentie is niet echt onderwijsbaar).

    Karl Duncker (1935/1963). Zur Psychologie des produktiven Denkens. Berlin: Springer. zie hier voor meer info


    Hoofdstuk 7 ‘De kortste weg’ is mogelijk de kern van zijn opvattingen over reken- en wiskundeonderwijs. Het gaat over een 'slim probleem' dat hem een 'piekervaring' [Maslov] opleverde en zijn kijk op wiskunde wijzigde.

    “Kortom, achter het vraagstuk ‘de kortste weg van A via [een punt op lijn] l naar B’ zit een wiskundige wereld van opgaven die zich goed lenen voor onderzoekend leren en probleemgericht onderwijzen op diverse niveaus zonder dat het bewijs van de kortste weg ingebed is in het systeem van het traditionele meetkundeonderwijs zoals ik dat zelf had gekregen en dat ik tot dan toe ook zo had onderwezen.

    Deze onderzoeksgerichte en (nog) niet vaksystematisch bepaalde aanpak die aansluit bij de denkwereld van kinderen was naar mijn stellige overtuiging de juiste benadering van het aanvankelijke meetkundeonderwijs.

    Hoe zou de didactiek op het geheel van het reken-wiskundeonderwijs kunnen passen, waaronder het strak gestuurde, aanvankelijke rekenonderwijs dat we nu via onze kinderen leerden kennen? Waarom moeten ze 6 + 7 = .. per se via splitsen bij tien berekenen, 6 + 7 = 6 + 4 + 3 = 10 + 3 = 13, en mogen ze niet met dubbel-6 rekenen zoals ze vaak spontaan doen: 6 + 7 = 6 + 6 + 1 = 12 + 1 = 13? Dit verzin ik niet, want een dergelijke correctie stond in het schriftje. De kortste rekenweg die ze zo voor zich zien, mogen ze blijkbaar niet volgen. Ze moeten rekenen volgens een strikt voorgeschreven rekenrecept, terwijl de natuurlijke, zelf ontdekte methode wordt onderdrukt.”

    Het rekentheater, p. 63-64


    Treffers vindt deze gedachten terug in het Wiskobas-project van Wijdeveld en Goffree, waar hij zich in 1969 bij aansluit.


    Dat voorbeeld van 6 + 7 verbaast me, maar ik wil wel aannemen dat het als zodanig in een rekenmethode voor kan komen.

    Leren optellen kan leerlingen voor raadsels plaatsen: legio mogelijkheden voor het ontwikkelen van misvattingen. Een adequate didactiek zorgt ervoor dat misvattingen meteen blijken, zodat de leerling ze kan corrigeren. Wat een doeltreffende didactiek voor het leren optellen van getallen beneden de tien is, dat weet ik niet, maar ze moet erop zijn gericht dat de leerling deze optellingen goed automatiseert. Misschien heeft Lebiere hier onderzoek naar gedaan (ACT-R-theorie van John Anderson en de zijnen) (zie hier voor verbijsterend exact onderzoek).


    De misvatting van Treffers, op dit punt in zijn loopbaan, is dat door leerlingen zelf ontdekte methoden zinvol en waardevol zijn. No way, lijkt me, alleen als uitgangspunt om via correctie en bijschaven onder begeleiding van de leraar uiteindelijk uit te komen op een adequate methode om op te tellen. Wie enig idee heeft van de ontwikkelingen in de wiskunde, bijvoorbeeld te beginnen bij Fibonacci (en hij stond al op arabische schouders), kan niet serieus de gedachte koesteren dat er door leerlingen op zinvolle wijze iets valt te ontdekken, anders dan stevig begeleid.

    L. E. Sigler (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Leonardo Pisano's Book of Calculation. Springer.


    Hoofdstuk 8. Een aardig overzicht van de ontwikkeling in de vorige eeuw: van de aanvankelijke ‘denkopgaven’ in het rekenonderwijs, via een niet aangeslagen voorstel van Philip Kohnstamm voor gestructureerde rekenopgaven, het naoorlogse rekenonderwijs dat volgens Treffers vooral mechanistisch is, naar Wiskobas en uiteindelijk realistisch rekenen.


    “Polya’s didactische keuze ‘probleemoplossen leer je (waarderen) door problemen op te lossen’ werd ook door Wiskobas onderschreven en uitdrukkelijk als een algemeen, permanent na te streven leerdoel geformuleerd.”

    Treffers p. 88-89

    Het Wiskobas-team, aldus Treffers, omarmt dan het werk van George Polya (1945) over probleemoplossen als basis voor Wiskobas. Dat lijkt een goede keuze, maar veel hangt af van de interpretatie van wat dat werk van Polya precies behelst, en hijzelf heeft dat laatste nooit in heldere regels vast kunnen leggen: zijn methoden blijven heuristisch van aard, het is spelen met de eigen expertise. Let op: die expertise, hoe gering ook, moet er wel zijn.

    In 1945 is het idee van Polya onder andere, evenals leraren klassieke talen dat wel hebben, of schaakmeesters, dat wiskunde tevens het denken vormt. Die opvatting staat los van zijn werk over probleemoplossen, is niet zo handig, en is in ieder geval nooit empirisch getoetst op zijn juistheid. Laten we het houden bij de wel empirisch te toetsen uitspraak van Philip Kohnstamm, aangehaald door Treffers (p. 66) dat dit ‘leren denken door wiskunde’ een hersenspinsel is.


    Een nuance verschil: in een citaat uit Polya

    “Maar als hij [de wiskundeleraar] de nieuwsgierigheid van zijn leerlingen weet te wekken door hun passende en uitdagende problemen voor te leggen . . . ”

    Treffers, p. 88


    “But if he [a teacher of mathematics] challenges the curiosity of his students by setting them problems proportionate to their knowledge, . . . ”

    How to solve it, 2nd edition, p. v

    Het verschil tussen creatief probleemoplossen zoals door Duncker bestudeerd, en het door Polya voorgestane probleemoplossen is dat je voor het eerste snugger moet zijn, voor het tweede goed voorbereid. Wiskunde is een vak dat kennis bouwt op eerdere kennis, en zo is dat ook in het door Polya bepleite probleemoplossen. De vertaling van Treffers moffelt die kennis weg. Doet Treffers dat onbewust? Hij gebruikt een lastig probleem van Polya, in zijn hoofdstuk ‘Aha Polya’, als illustratie van rond problemen gestructureerd onderwijs: een vierkant, in vierkante vlakjes verdeeld, waarvan twee diagonaal tegenover elkaar gelegen hoekvlakjes worden verwijderd; de vraag is dan: kan het overblijvende vlak worden bedekt met dominostenen met de maat van twee van die vierkantjes? Dit is een buitengewoon lastig probleem, maar voor de oplossing ervan is geen wiskundige kennis nodig. Treffers meent serieus (p. 88) dat een dergelijk probleem past in het basisonderwijs, en legt uit hoe. Ik kan niet anders dan concluderen dat het Treffers ernst is met dat probleemoplossen-zonder-achtergrondkennis. Het verbijstert me wel, maar ik heb zijn boek nog niet uit. Om misverstand te voorkomen: Polya heeft met dit probleem een congres van wiskundigen geamuseerd; het is vermoedelijk niet een probleem dat in zijn boeken over wiskundig probleemoplossen figureert. Om nog een misverstand te voorkomen: Treffers ziet wel degelijk wiskunde in dit probleem (p. 84): “Dit probleem verbeeldt in pure vorm wat wiskunde kan inhouden: het ontdekken van structuren om problemen op te lossen. Het laat zien hoe betoverend wiskundig probleemoplossen kan zijn.” Ik verschil hier van mening: er is niets specifiek wiskundigs aan dit probleem, vergelijk de Aha-problemen in het onderzoek van Duncker. Escher zou er niet door worden geïnspireerd; bij Penrose (tiles) zou evenmin een lampje gaan branden.

    Wie bekend is met de latere psychologische literatuur over probleemoplossen, zoals Newell & Simon (1972) Human problemsolving, weet dat succesvol probleemoplossen het resultaat is van voorafgaande diepte-investeringen in kennis. Ik heb dat zelf ook op die manier uitgewerkt en gepresenteerd in mijn (1983) Toetsvragen schrijven, hoofdstuk 7 over probleemoplossen. (Voor een in bewerking zijnde herziening zie hier).

    Het probleem met de problemen van Polya is dat zijn werk moeilijk valt in te passen in verwant psychologisch onderzoek, althans gezien de schaarste aan serieuze publicaties over zijn werk. Daar is een belangrijke uitzondering op: zijn student Alan Newell is later een grondlegger van het cognitief-psychologisch onderzoek over probleemoplossen, samen met nobelprijswinnaar Herbert Simon. En Newell is zo attent geweest om een uitvoerige beschouwing aan het belang van het werk van Polya te wijden. Wie het werk van Polya als fundament voor onderwijsontwikkeling wil kiezen, doet er goed aan Newell (1983) te bestuderen, evenals het latere (na ‘How to solve it’) in boekvorm verschenen werk van Polya over wiskundeonderwijs. Newell wijst erop dat de heuristieken van Polya erop zijn gericht om voor het probleem relevante informatie uit onze grijze hersencellen op te diepen: heb je dit probleem al eens opgelost, of een analoog probleem, ken je een probleem dat erop lijkt, is er een eenvoudiger probleem met dezelfde kenmerken dat je wel kunt oplossen. Om te beginnen moet je die informatie dus al hebben, uit eerder hard werken aan je wiskunde. Een vervolgens moet je in staat zijn om die informatie ook te vinden, om ze beschikbaar te maken voor het probleem dat je onderhanden hebt. Daar zijn de oplos-heuristieken van Polya heel nuttig voor. Als bijgift van dit probleemoplossen: door op deze manier systematisch met nieuwe problemen bezig te zijn, verstevig je ook de kennis die je al had: die wordt steeds beter onderling verbonden en dus steeds beter bereikbaar. Om die reden bouwt de van zijn strategie en tactiek bewuste schaker al spelend zijn expertise op (zie Max Euwe daarover).

    Ergo: leerlingen problemen op laten lossen die geen verbinding hebben met eerdere stof, verspilt hun tijd. Dat doet me denken aan de ervaring van Deanna Kuhn (2005) in scholen in Chicago: in achterstandswijken gaat het grootste deel van de beschikbare lestijd verloren aan wanorde en lawaai, in de betere wijken besteden de leerlingen hun tijd bijna even zinloos aan het maken van talloze werkjes en opdrachten die geen onderlinge verbinding hebben. Ik noem Deanna Kuhn niet toevallig: zij is protagonist van stevig gestructureerd onderwijs dat de tijd van leerlingen niet verspilt aan triviale kennis, maar ze vaardig maakt in (onderzoekmatig) denken. Een medestander van Philip Kohnstamm, maar wel iemand die het vraagstuk bij de wortels aanpakt.

    Deanna Kuhn (2005). Education for thinking. Harvard University Press. excerpt

    Allen Newell (1983). The heuristic of George Polya and its relation to artificial intelligence. In Rudolf Groner, Maria Groner & Walter F. Bischof: Methods of heuristics. Lawrence Erlbaum.

    Alan Newell & Herbert A. Simon (1972). Human problem solving. Prentice Hall.

    George Pólya (1945/1957). How to solve it. A new aspect of mathematical method. Princeton University Press.

    George Pólya (1954/68). Mathematics and plausible reasoning. Volume I: Induction and analogy in mathematics. Volume II: Patterns of plausible inference. Princeton University Press.

    George Polya (1962, 1965). Mathematical discovery. On understanding, learning, and teaching problem solving. Volume I, II. Wiley.


    Yvonnesom

    Yvonne rekent uit op haar rekenmachine
    715,347 + 589 + 4,553 = 13091
    Bij het opschrijven van het antwoord
    is ze de komma vergeten.
    Wat moet het antwoord zijn?


    “De goedscore van deze hoofrekenopgave was 27 procent. Slechts ruim 10 procent van de leerlingen redeneerde globaal rekenend als volgt: ‘700 plus 600 is 1300; dus de uitkomst is 1309,1.’ Ongever de helft liet zich daarentegen door het aantal komma’s in de getallen leiden: ‘De meeste getallen hebben drie cijfers achter de komma dus is het antwoord 13,091.’ Of: ‘Er staan bij elkaar zeven cijfers achter de komma, dus is de uitkomst 0,0013091.’

    Bij de volgende opgave zien we deze blinde regelgeleide aanpak in de vorm van ‘hoofdcijferen’ terug.”

    p. 112

    De geciteerde opgave is gebruikt in het mondelinge deel (bij 140 leerlngen) van de PPON 1987. Treffers claimt hier dat de meeste leerlingen de fout ingaan, en wel omdat zij een ‘blinde regelgeleide aanpak’ volgen. Ik heb moeite met deze diagnose. Allereerst omdat de opgave geen adequate wiskunde is, aannemend dat van deze leerlingen niet mag worden verwacht dat zij zich relasiren dat het aantal gebruikte decimalen achter de komma de nauwkeurigheid van het betreffende gegeven aanduidt. De ontwerper van deze opgave is als een ongeleid projectiel tewerkgegaan, zodat het me verbaast dat de leerlingen die hier problemen mee krijgen, verweten wordt ‘blind regelgeleid’ tewerk te gaan. Vervolgens omdat ik niet weet wat de ontwerper van de vraag bedoeld heeft te toetsen; gezien het grote aantal ‘foute’ antwoorden, is dit kennelijk een vraag die niet door het genoten rekenonderwijs is gedekt. Is dat juist wat Treffers wil aantonen?

    Ik kan me wel voorstellen dat Treffers hier concludeert dat een heel groot deel van de leerlingen met deze vraag niet uit de voeten kan, maar zijn conclusie dat dit komt door een ‘blinde regelgeleide aanpak’ van het genoten rekenonderwijs gaat mij veel te ver. In dit hoofdstukje behandelt Treffers nog drie vragen uit dezelfde PPON.


    Prijzenpotsom

    In de prijzenpot zit 6327,75 gulden.
    Er zijn 8 winnaars die dit met elkaar moeten delen.
    Hoeveel geld moet ieder dan ongeveer krijgen?
    Rond af op honderd gulden.

    p. 112

    Prijzenpotson. Delen, uit het hoofd. Goedscore 35%. Treffers heeft ook uitkomsten van schriftelijke beantwoording van dezelfde opgave, dat komt uit op onder de 40% goed. Het ontgaat mij wat Treffers hier wil aantonen, omdat de schriftelijke opgave past bij het gegeven onderwijs waarin 150 uren aan ‘cijferen’ is besteed. Bedoelt hij dat dat ‘cijferend onderwijs’ niet eens de eigen doelstellingen haalt? Dat zou interessant zijn, want dan ben ik benieuwd naar de redenen die Treffers voor dat falen van het ‘cijferend onderwijs’ op eigen terrein opgeeft. Maar er is nog een ander probleem voor Treffers: hoe kan het zijn dat het schattend rekenen zoals in het mondelingen onderzoek een nauwelijks slechtere uitkomst heeft dan het op papier uitrekenen? Dat zou er toch op kunnen wijzen dat expliciet schattend rekenen onderwijs neerkomt op water naar de zee dragen? Ik ben benieuwd hoe dit zich verder ontwikkelt in het verslag van Treffers.

    Over de opgave zelf. Die is ingewikkeld. De arme leerling moet veel dingen tegelijk doen/onthouden. Ik neem aan dat de opgave wel op papier staat. Er moet worden gedeeld door honderd (of de komma verschuiven), gedeeld door acht, gefilosofeerd over het probleem dat ‘ongeveer achthonderd’ gulden voor ieder van de acht prijswinnaars evident meer is dan er in de prijzenpot zit (moet je niet helen, en dus uitkomen op zevenhonderd?), zitten er nog verborgen aspecten aan de opgegeven context van een prijzenpot die moet worden gedeeld (wie zegt dat de prijswinnaars gelijkelijk delen?). Treffers geeft hier overigens niet aan wat het ‘juiste’ antwoord op de vraag is, ennelijk is het vanzelfsprekend dat dat ‘achthonderd gulden’ is, maar in het eerder door Treffers behandeld voorbeeld van 30 passagiers te vervoeren in auto’s die ieder vier passagiers kunnen meenemen, was dat toch anders . . . . Ik ben dus wel benieuwd naar de manieren waarop leerlingen naar ‘foute’oplossingen’ toe hebben geredeneerd. Want wiskundeonderwijs is toch: als de leerling inderdaad fout redeneert, dus een verkeerd of een naief inzicht heeft, om de leerling te krijgen tot correctie van die misvatting, tot juist begrijpen?


    De twee hoofdstukken ‘De stille rekenrevolutie’ (p. 111-121) zijn deels verwant aan Van den Heuvel-Panhuizen & Treffers (2010), met de claim dat de prestaties van het rekenonderwijs lager zouden zijn geweest, ook wanneer alleen naar cijferend rekenen wordt gekeken, wanneer er geen realistsiche rekenmethodes waren ingevoerd. Die claim zal ik nog onderzoeken, het is het hart van de strijd tussen realisten en anti-realisten. Ik heb evenwel niet de indruk dat de auteurs hier met nieuw materiaal komen: de gegevens komen uit de PPON-rapporten van het Cito, vooral die van 2004 (zie diverse publicaties van Kees van Putten en anderen, tot en met die in Psychometrika).

    Marja van den Heuvel-Panhuizen & Adri Treffers (2010). Cijfer positieve prestaties in rekenen niet weg. NAW [Dit artikel is eerder verschenen in Tijdschrift voor Orthopedagogiek, jaargang 49, nr. 2, pp. 53-62.] pdf


    In hoofdstuk 15 ‘De stille rekenrevolutie (2)’ enige zelf-prijzing op het stuk van meetkunde weer terug in het onderwijs, en hoe! Ik ben de laatste jaren steevast in rekentoetsen van het Cito opgaven tegengekomen die ruimtelijk inzicht vereisen, en heb daar even steevast altijd de vraag bij gesteld waar de rechtvaardiging voor dit tyope opgaven is gegeven, waar is onderbouwd dat deze opgaven iets te maken hebben hebben met verworven kennis, en niet alles met intelligentie. Ik heb er nog geen antwoord op gekregen of gevonden, dus ik blijf er maar van uitgaan dat deze zogenaamd meetkundige opgaven voornamelijk verschillen in ruimtelijk inzicht meten. Heel onbevredigend, maar ook in dit snorkend geschreven hoofdstukje krijg ik geen antwoord op deze prangende vragen. Waarom is dit alles problematisch: ruimtelijk inzicht als persoonlijkskenmerk is niet of moeilijk te ‘verbeteren‘ door oefening, en dat is ook de reden waarom het in het onderwijs niet aan de toetskant thuishoort, en de didactiek niet beperkt zou moeten inspelen op specifieke intellectuele capaciteiten. Kortom, zie het werk van Sternberg, zoals eerder al opgemerkt.

    Ik zal er de ‘Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op d basisschool’ (deel 1, 1989) nog eens op na moeten slaan.

    En Edu Wijdeveld (1977). Vierkubers. Leerplanpublicatie 5 Wiskobas. IOWO. Maar ik ben bang dat ik die laatste publikatie moeilijk te pakken kan krijgen (een boekje van 56 blz op Boekwinkeltjes, maar dat lijkt me niet compleet, want alleen het leerplandeel; Ha, de KB heeft het, het is inderdaad maar 56 bladzijden).

    anonieme bespreking van J. M. Kraemer Meetkunde op de basisschool. Didactiek, inhoud en structuur van meetkunde in de methode Rekenen & Wiskunde. pdf

    E. de Moor, J. Janssen, J. M. Kraemer & J. Menne ( tijdschrifl voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 15, #2, 11-19. pdf [En ja hoor, meisjes presteren slechter dan jongens, maar dat weten we al uit depersoonlijkheidspsychologie).


    Hoofdstuk 17 ‘Anders naar kinderen kijken (1)’. Over de bekende opgave ‘Hoe oud is de kapitein&’ Treffers keuvelt hier van alles en nog wat bij elkaar, en verwijt onderzoekers een gebrek aan inlevingsvermogen in de leerling die de ‘onmogelijke’ opgave krijgt voorgelegd. Een beetje gelijk heeft hij wel: het gaat meer om een sociaal-psycologisch fenomeen (groepsdruk, of in dit geval: driuk van leraar of proefleider), dan o een rekenfenomeen.

    Treffers mist hier een kans voor open doel; hij citeert een aantal fraaie leerlingfantasieën die hun antwoord op de vraag hoe oud de kapitein is, rechtvaardigen. Dit zijn immers spontane oplosmethoden, precies dat waarvan Treffers bij het rekenen zegt dat we die spontane methoden de ruimte moeten geven! Treffers ziet het probleem niet: waarom in het ene geval wel, in het andere niet meegaan met spontane oplosmethoden van leerlingen!

    Terug naar die domme onderzoekers. Het wordt nu menens:

    “De vraag is nu of dit gebrek aan inlevingsvermogen meer in het algemeen voorkomt bij onderzoek op het gebied van rekenen-wiskunde.”

    p. 132


    Hoofdstuk 18 gaat over een kortzichtigheid in Piagetiaans onderzoek. Treffers verrast me met de mededeling dat de conservatie-experimenten van Piaget grote invloed op het rekenonderwijs in de groepen 1 tot 3 heeft gehad. Het zal wel. Over getalbegrip is de laatste decennia veel onderzoek gedaan, dat zie ik hier niet terug. Treffers slaagt er wel in om in dit hoofdstukje ook weer uit te komen op het belang van handig rekenen, tegenover starre didactiek die maar een bepaalde methode toetstaat. Ik begrijp dit echt niet beter door ettelijke herhalingen van de stelling te lezen, ik wil onderbouwing zien. Ik krijg de kriebels van ‘handig’ rekenen als doel van rekenonderwijs.


    Ik ben nu halverwege het boek van Treffers, en ben verbijsterd over het totaal ontbreken van onderbouwing voor de nadruk die de realistisch rekenaars leggen op probleemoplossen, handig rekenen en realistische contexten. Hoe is het mogelijk dat verstandige onderwijsmensen het gebruiken van ‘handige’ oplossingen voor rekenopgaven tot een van de belangrijkste doelstellingen van het rekenonderwijs verheffen? Ik heb nooit anders begrepen dan dat handig rekenen een gevolg is van goede beheersing van het rekenen, en niet andersom. Dit is ook een belangrijk strijdpunt tussen de voor- en tegenstanders van de Freunthal-rekenopvattingen, waarbij de tegenstanders erop wijzen dat het benadrukken van handig rekenen in de weg staat aan het leren rekenen. Mag ik dat illustreren aan een citaat van een Freundenthaler.

    “Maar het toepassen van een algoritme is geen wiskunde!”

    Willem Uittenbogaard (2008). Geen catechismus leren, maar nadenken. NAW 5/9 nr 1, p. 62. Met uitroepteken en al, onderdeel van een reactie van het FI op een kritisch artikel van Jan van de Craats in NAW (pdf)

    Laat ik bij dit citaat zomaar denken dat hier geen wiskundige spreekt .... . Wat een kanjer van een misvatting. Een goed algoritme is de meest ‘handige’ werkwijze om een bepaalde klassen van problemen aan te pakken en op te lossen. Hoezo is dit geen wiskunde? Dit is geen toevallige verschrijving, het is een opvatting over oplosmethoden die ik vaker ben tegengekomen. Kijk, dat illustreert het ongenoegen dat ik beleef aan sommige publicaties vanuit het Freundenthal-Instituut, want hoe kan iemand die zo blundert, zinvol werk leveren voor het onderwijs?

    Stelling: de nadruk die het RR op ‘handig rekenen’ legt, is een omkering van wat goed onderwijs is.

    24 april. Ik heb ondertussen ontdekt dat ‘handig rekenen’ sinds 2006 en mogelijk al eerder een kerndoel is van het rekenonderwijs, waar het rekenen verdrongen heeft. Rekenen is geen kerndoel meer, ‘handig rekenen’ wel. Dat is rampzalig. Afijn, zie de volgende blogs op het forum van Beter Onderwijs Nederland:
    Rekenkundige bewerkingen, en rekenmachine bij wg-Van Streun en verder [8] blog 7591, en
    ‘Handig rekenen’ is sterk doorgedrongen in de staatsrekendidactiek (kerndoelen, referentieniveaus). Maar wat is het? [9] blog 7599.


    Ik kan mij voorstellen dat in de literatuur over wat het is om expert te zijn, onderzoek is te vinden dat juist laat zien dat enige expertise een voorwaarde is om verkortingen en vereenvoudigingen in probleemopgaven te kunnen zien. Ik wil daar wel eens naar kijken.


    Hoofdstukje 21 ‘De Engelse ziekte’ over klassikaal onderwijs en zijn varianten: interactief, of zelfstandig lerend. Een grondprincipe van realistisch rekenen is dat dat interactief in de klas gebeurt. Ik moet soms ook wel lachen. Interactief leren is: elkaar dingen voordoen en uitleggen; met elkaar oplossingen doornemen. Dat is niet specifiek voor een richting in de rekenmethodiek. Als Treffers dat als een verdienste van hemzelf wil claimen, gaat hij zijn gang maar. Hij heeft in dit hoofdstuk mogelijk wel een stevig punt te pakken: dat er een belangrijk verschil is tussen dit ‘interactieve’ leren in klassikaal verband (of groepen in de klas), en ‘zelfstandig leren’ dat individueel is, met de leraar als begeleider van al die individueel lerenden. De titel van het hoofdstuk slaat op het Engelse onderwijs, dat individueel is georiënteerd, en volgens Treffers om die reden in internationale vergelijkingen slecht presteert. Dat zou kunnen. Ik ben niet goed op de hoogte van dat ‘zelfstandig leren’ en wie dat om welke redenen in ons land propageren. Mijn vermoeden is dat Treffers gelijk kan hebben dat de dominante opvatting in ons land is dat onderwijs individueel aangepast moet zijn, en ‘dus’ de vorm van zelfstandig leren moet hebben. Dat lijkt me een enorme misvatting (in die dominante opvatting). Ik zie hier geen directe link tussen het interactieprincipe en realistisch rekenen. Treffers ziet die wel, omdat verschillende oplosmethoden van verschillende leerlingen zich immers uitstekend lenen voor klassikale bespreking tussen leerlingen (en leraar) onderling. Treffers legt daarbij de nadruk op het leren van handige oplossingen. Een algemene didactische opstelling hier is een nuance anders: om te verzekeren dat leerlingen geen misvattingen ontwikkelingen, maar vooral om ze gelegenheid te geven het geleerde goed op te nemen en te consolideren, is die klassikale interactie een uitstekend middel. Overigens mag dat ook de waargenomen interactie zijn tussen de leraar en één van de leerlingen: daar leren de andere leerlingen plaatsvervangend bijna evenveel van als wanneer zij zelf in gesprek zijn met de leraar. (Dat is onderzocht. Hoe vind ik de betreffende onderzoekartikelen terug? Wat zou de Engelse term voor ‘plaatsvervangend leren’ kunnen zijn?)


    Hoofdstukje 22 over de waarde van 1 : 0. Grappig. Interessant omdat een samenspraak in de klas al gauw de meeste markante punten uit de geschiedenis van dit probleem reproduceert (reden temeer voor de leraar om historisch inzicht te hebben). Treffers gebruikte dit in zijn toespraak bij het afscheid van Fred Goffree. Gaaf. In de perceptie van Treffers raakt het aan het interactieprincipe, mag ik vemoeden. Wat hij in dit hoofdstukje in het voorbijgaan ook laat zien, maar dat benadrukt hij niet, is dat redeneren in concrete contexten een mens uit evenwicht kan brengen. Zijn hoofdpersoon Nicole redeneert dat een taart delen met niemand, de hele taart bewaart, dus is 1 : 0 gelijk aan 1. Wees niemand, en geniet van de taart.


    Hoofdstukje 24 gaat over laaggecijferdheid, door Treffers ook wel ‘rekenkundig analfabetisme’ genoemd. Wat me onzinnig lijkt. Hij gebruikt hier een aantal amusante voorbeelden uit dagbladen, waarvan de dwaasheid door weinig lezers opgemerkt schijnt te worden. Maar dat bewijst geen laaggecijferdheid. Kijk eens naar de argumenten die op het forum van BON worden gewisseld: een poolse landdag van drogredenen; maar dat bewijst nog niet dat de betreffende leraren analfabeet zijn. Allemaal grappig. Maar Treffers wil er serieus iets mee: de leerlingen zo toerusten dat ze in hun latere leven, ook wanneer ze journalist zouden mogen worden, niet meer opschrijven dat de oppervlakte van Nederland 44.000 vierkante meter is. Dit moet Treffers niet willen, althans niet dan nadat hij zich ervan heeft vergewist dat dit probleem van oppervlakkig redeneren met getallen door ander onderwijs kan worden opgelost (wat het onderwijs niet kan). Het gaat dus bepaald ergens over, maar wat is dat ‘ergens’ precies? Waartoe geven wij rekenonderwijs op de basisschool?


    Hoofdstukje 28 gaat over het dilemma van de drie dichte deuren, beter bekend als het Monty Hall probleem. Klik op de link als je dit probleem niet kent. En ook als je het wel kent. Een ogenschijnlijk eenvoudig kansprobleem leidt tot scherp verdeelde opvattingen. Ik heb het in mijn hoofdstuk over kwaliteit van toetsvragen gebruikt als tegengif tegen onbuigzame opvattingen van u als docent over de juistheid van antwoorden op uw tentamenvragen. Treffers gebruikt het casus anders: de moraal van zijn verhaal is 1) dat wiskundige inzichten niet zonder meer zijn over te dragen, en 2) dat het correct toepassen van wiskundige kennis een probleem op zich is. Volgens mij zijn 1) en 2) gelijk, laat ik althans het mes van Occam als argument daarvoor gebruiken. Wat Treffers lijkt te betogen is dat het moeilijk is om van inzicht te veranderen. Dat komt mij bekend voor: de lijn van onderzoek over conceptual change. Hij verbindt dit, althans in dit hoofdstukje, niet met de moeilijkheden in het wiskundeonderwijs (en niet alleen daar) om naieve inzichten van leerlingen te veranderen naar de bedoelde wiskundig verantwoorde inzichten. Treffers mist hier een mooie kans, want onderzoek naar conceptual change onderbouwt zijn principe vier, de wenselijkheid van interactief onderwijs.

    Welke lessen zijn er eigenlijk te trekken uit het Monty Hall probleem? Er is een recent boek over de geschiedenis ervan, Rosenhouse 2009, in hoofdstukken respectievelijk genaamd Ancestral, Classical, Bayesian, Progressive, Miscellaneous, Cognitive, Philosophical en Final Monty. Het probleem is dus al eens vaker gebruikt om een punt te maken.

    Jason Rosenhouse (2009). The Monty Hall problem. The remarkable story of math’s most contentious brain teaser. Oxford University Press.


    De fascinatie van Treffers met ‘handig’ rekenen is besmettelijk. Ik kan het moeilijk meer uit mijn gedachten krijgen, en het valt me daardoor op dat hij het Monty Hall probleem behandelt zonder te vervallen in uitweidingen over ‘handigheidjes’. Ik kijk even terug naar het hoofdstukje over laaggecijferdheid: kennelijk geen probleem vanwege onvermogen om ‘handig’ te rekenen. De vraag wordt dus — en hier trek ik ook op mijn ervaring in onderzoek naar de aansluitingen tussen onderwijs en arbeidsmarkt — of ‘handig’ rekenen in de wereld van de grote mensen ooit een rol van enige betekenis speelt.

    Stelling: ‘Handig’ rekenen is in het leven én in school van marginaal belang.

    Het is van enig belang om deze stelling te onderbouwen met het nodige empirische onderzoek (bevestigend, of ontkrachtend, of beide). Immers, als de stelling niet onderuit valt te halen, betekent het dat al die nadrukkelijke aandacht in het realistisch rekenonderwijs voor ‘handig’ rekenen de kostbare tijd van leerlingen verspilt. En dat niet alleen. Ik breng de stelling van Miller, Galanter en Pribram in herinnering: het korte-termijngeheugen kan maar een beperkte hoeveelheid informatie tegelijk verwerken. Het realistisch rekenonderwijs loopt het risico dat het leerlingen voortdurend belast met het tegelijkertijd teveel verschillende dingen moeten doen: contexten interpreteren, rekenen, opletten of dat rekenen niet handiger kan.

    Stelling: rekenonderwijs dat de leerling tegelijk belast met context, rekenen, en daar ‘handig’ in zijn, leidt tot een te grote mentale belasting.

    Klinkt dit bekend? In het artikel van Kirschner, Sweller & Clark (2006) kwam ik het werk van Sweller onlangs nog tegen: cognitive load theory. Kirschner cs. gebruikten het om op probleemoplossen gericht onderwijs af te serveren, maar dat betekent niet dat de theorie van Sweller ondeugdelijk is. Sweller gaat een stukje verder dan Miller (1956): hij claimt dat de mentale overbelasting bij het op te veel dingen tegelijk moeten letten, het leren belemmert. Dat lijkt me geen wereldschokkende claim, maar het is altijd goed om er eens stevige empirische onderbouwing voor te zien. Ik zou het zowel Miller als Sweller moeten bestuderen op relevante zaken voor het rekenonderwijs.

    John Sweller (1988). Cognitive load during problem solving: Effects on learning. Cognitive Science, 12, 257-285. pdf

    George A. Miller (1956). The magical number seven, plus or minus two: Some limits on our capacity for processing information. Psychological Review, 63, 81-97.pdf.

    George A. Miller, Eugene Galanter & Karl H. Pribram (1960). Plans and the structure of behavior. Holt, Rinehart and Winston.

    Ben Wilbrink: annotaties bij Kirschner, Sweller & Clark (2006). html


    Hoofdstukje 33 ‘Het betoverende getallenvierkant’ Dit is een voorbeeld van rekenonderwijs dat Treffers in zijn afscheidscollege gebruikte (die rede moet ik nog opzoeken). Het gaat om een vierkant met negen velden, voor de getallen 1 t/m 9. De opgave: zet de getallen er zo in dat iedere rij, kolom en diagonaal optelt tot 15. De leerlingen kunnen er een hele les druk mee zijn. “De reacties op de lessenserie zijn positief: de kinderen hebben er plezier aan beleefd en veel geleerd.” Dat plezier wil ik wel geloven. Maar wat hebben ze hiervan geleerd? Treffers legt het in dit boek niet uit, misschien in zijn rede? Ik kan alleen bedenken dat leerlingen die optellen voor deze getallen net onder de knie hebben er iets aan hebben omdat het hun kersverse vaardigheid verder consolideert? Niet zozeer ‘leren’ als wel verder ‘beklijven’ zoals Van Parreren het zou noemen. Het gaat me natuurlijk niet om deze specifieke oefening die een hele les neemt, maar om al dit soort bezig zijn met getallen zoals dat in veel voorbeelden in de tweede helft van het boek gebeurt. Wat maakt dit realistisch rekenonderwijs méér dan alleen bezig zijn met getallen? Ik vermoed dat ik voor antwoord op deze vraag elders moet zoeken.


    De klap op de vuurpijl komt in hoofdstuk 35, een wat uitgebreider hoofdstuk dat lijkt te betogen dat realistisch rekenen heeft gezorgd voor betere resultaten in de PPON 2004, vergeleken met die van 1987. We moeten hier Treffers op zijn eerlijke ogen geloven, want het is niet evident dat zijn cijfers het complete beeld goed representeren. Treffers heeft natuurlijk de vrijheid om in zijn autobiografische boek een wat lossere stijl van presenteren te gebruiken. Het plaatst mij wel voor puzzels; het zijn de bekende puzzels uit krantenartikelen: op sommige onderdelen zijn de prestaties in 2004 beter, op andere zijn ze dat niet, of zelfs minder. De leerlingen in 2004 hebben allemaal (vrijwel allemaal) realistisch rekenonderwijs gehad, zij het met kwalitatief verschillende methoden en met nauwelijks nageschoolde leraren (zoals Treffers dat noemt). Ik wil het betoog van Treffers serieus nemen: hij is hier zijn eigen redacteur, en heeft dus het best mogelijke betoog kunnen geven dat in het bestek van 12 bladzijden mogelijk is. Ik zal er nogal wat tijd en tekst aan moeten besteden voordat ik helder heb wat Treffers hier precies zegt, en hoe zich dat verhoudt tot bekend onderzoek (t/m Psychometrika 2010).

    Katsom


    Ad wil graag weten hoeveel zijn kat weegt.
    Hij weegt eerst zichzelf en ziet dat de weegschaal 57 kg aangeeft. Daarna gaat hij samen met zijn kat op de weegschaal staan. Nu geeft de weegschaal 62 kg aan.
    Hoe zwaar is zijn kat?

    Timss 2007 groep 6


    Treffers: Nederland 85% goed; 36 landen gemiddelde: 60%; VS: 60%; Engeland: 63%; Duitsland: 80%;

    p. 234

    Ik begin dan altijd maar met me af te vragen of dit een rekenopgave is. Zeker, 62 - 57 is een rekenopgave, maar dat wordt niet gevraagd, althans, het wordt via een omweg gevraagd. Het onhandige van dit type vraag is dat het naar teveel dingen tegelijk vraagt: goed lezen en begrijpen van de opgave, een vertaling maken van de opgegeven context naar wat er precies moet worden berekend, en dan de berekening uitvoeren. Een fout antwoord geeft geen informatie over waar precies de fout is gemaakt, tenzij er kladpapier beschikbaar is of een verslag van een mondelinge afname. Maar dit terzijde. We zullen nog zien dat dit probleem kan spelen bij de verschillende resultaten wanneer leerlingen zoiets uit het hoofd uitrekenen, of op een kladblaadje.

    Wat Treffers hier goed doet: Nederlandse prestaties betekenis geven door deze in de internationale context te plaatsen. Prima. Maar hij gebruikt dit voorbeeld op deze plaats anders: om te laten zien dat we in Nederland onze eigen lat voor rekenprestaties misschien te hoog leggen. Daar heeft Treffers mogelijk gelijk in: deskundigen bljken altijd weer de mogelijke prestaties hoger in te schatten dan de werkelijke, en dat is een universeel fenomeen. Treffers trekt meteen door: verbeterde scores op de PPON correleren met de invoering van realistische rekenmethoden. Dat laatste gaat mij veel te snel, maar hij gaat in dit hoofdstuk deze stelling nog onderbouwen. Laten we zien.

    Het empirisch materiaal van Treffers bestaat hier uit de PPON 1992, 1997 en 2004, waarvan de resultaten gerapporteerd zijn door het Cito, met in het rapport (2005) een speciale analyse door Kees van Putten.

    “De betreffende cijfers mogen dus niet absoluut genomen worden, maar uit de representatieve klassikale peiling komt naar voren dat de gesignaleerde trend in de periode 1987-2004 globaal klopt: getalinzicht, hoofdrekenen en schattend rekenen zijn aanzienlijk gestegen, en de prestaties bij het cijferen zijn vanwege het riskante rekenen uit het hoofd net zo duidelijk gedaald.”

    p. 241

    Bovenstaand een wonderlijke uitspraak van Treffers. Geeft hij hier toe dat dat schattend rekenen niet zo’n geweldig succes is, omdat het tot teveel slordig uit het hoofd rekenen leidt? Tegelijk zouden hoofdrekenen en schattend rekenen verbeterd zijn? Begrijp ik het verschil tussen ‘rekenen’ en ‘cijferen’ niet? Dat laatste zou kunnen, en mogelijk wil ik dat ook niet begrijpen. Is deze nuance een Wiskobas-uitvinding? Ik ga Hickendorf e.a. (2010) eerst maar eens doornemen.

    Hickendorff, Van Putten, Verhelst & Heiser (2010) is een ware hulp. De auteurs geven een korte en heldere beschrijving van het realistisch rekenen en zijn uitgangspunten, in termen die ik als psycholoog meteen begrijp. Heerlijk, niet meer dat zelf uitgevonden jargon van de realistisch rekenaars. Ik zie dat dit artikel (dat overigens staat in een stevige lijn van onderzoek) mij veel werk uit handen gaat nemen. En het onderwerp van het artikel is geweldig terzake: 1) het gaat over het oplossen van complexe delingen zodat het op de meest gunstige plek de verdiensten en/of tekortkomingen van realistisch rekenen onderzoekt; 2) de publieke discussie over het rekenonderwijs spitst zich ook op dat delen toe; 3) er is een sterke daling in prestaties op dit onderdeel van het rekenonderwijs (de auteurs geven hier een samenvatting van die de bezoekers van het rekencongres van BON bekend voor zal komen, uit de voordracht van Cees van Putten daar). Wow, wat wil ik nog meer? Voor de auteurs is een sterke overweging dat juist het delen nog heel weinig is onderzocht: dit onderzoek vult een leemte.

    Meteen in het abstract komt een boeiend gegeven op: er zijn drie voorkeurstrategieën te onderscheiden : leerlingen die bij voorkeur uit het hoofd rekenen, leerlingen die bij voorkeur schriftelijk rekenen, en betere leerlingen die moeilijke opgaven schriftelijk doen, makkelijke uit het hoofd. Met andere woorden: er is een grote risicogroep van leerlingen die niet in de gaten hebben dat zij onhandig rekenen en zichzelf daarmee bevestigen in hun onkunde (maar dit is nog even mijn eigen hypothese, niet die van de onderzoekers). Met stip op de eerste plaats van didactische prioriteiten hoort dan te staan: bedien die groep, haal ze bij de les, zorg dat ze positieve ervaringen met het rekenen opdoen.

    In een korte methodologische beschouwing wijzen de auteurs erop dat er belangrijke effecten zijn door zelf-selectie, waardoor het kan lijken dat een bepaalde methode vaker fouten oplevert (terwijl het gaat om een methode die juist bij moeilijke opgaven wordt gekozen), of dat een methode vaker goede oplossingen levert (terwijl het gaat om een methode die bij voorkeur door de betere leerlignen wordt gekozen). Ik stip dit maar even aan, omdat het een probleem kan zijn bij de voorbeelden die Treffers voortdurend uit zijn mouw schudt, en hij er geen uitsluitsel over geeft. In het onderzoek van de auteurs is in het ontwerp opgenomen dat deze zelf-selectieve effecten kunnen blijken. In de in 2009 in Psychometrika gepubliceerde analyse werd van beschikbare gegevens gebruik gemaakt, daarin zijn deze zelf-selectieve effecten niet te ontwarren; de publicatie in 2010 is het verslag van een experimenteel onderzoek door de auteurs, een wezenlijke toevoeging t.o.v. de eerdere verkennende analyses zoals ook die van Van Putten in de Cito-rapportage over de PPON 2004.

    Het onderzoek bevat verder geen verrassing, ik zal het hier niet samenvatten. In de conclusies geve de auteurs een beschouwing over de implicaties voor het onderwijs (hierbeneden geciteerd)


    Educational Implications The most important implication of this study for school practice probably lies in promoting the value of writing down solution steps on more difficult complex arithmetic problems. As noted before, students nowadays are less inclined than students were a decade ago to use a written strategy in solving these kinds of problems on complex division (Hickendorff et al., 2009). In the present study we showed that in comparisons both between and within students, mental calculation may be less accurate than written calculation. This raises the question of what role school practice plays in the strategy choices that students make. It might be that the large emphasis on mental calculation in realistic mathematics education has had the side effect of causing some students to overuse mental calculation. A recommendation is that teachers emphasize to their students these possible benefits of writing down notes or calculations.

    Another interesting finding was the near absence of the traditional algorithm for long division. Apparently, instruction regarding division was completely based on principles of realistic mathematics education, at least in the 12 schools that were part of our sample. Instruction in the traditional algorithm has been discredited because it was said to be a mechanistic trick, by which understanding of and insight into the numbers and their interrelations are not fostered. However, we argue that it might be possible to build in the traditional algorithm as the optimal form of abbreviation at the end point of the learning trajectory.”

    Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract (df van hele artikel is niet vrijelijk online te downloaden, doe het via de eigen UB)

    Het valt me op dat Hickendorff e.a. in hun slotalinea de moeite nemen te veronderstellen dat het zwart maken van andere rekenmethoden mede oorzaak zou kunnen zijn van rekenproblemen bij de huidige basisscholieren: omdat de staartdeling een mechanistische methode is, een algoritme en daarom niet wiskundig, of de methode van opa, moet je die methode dus niet gaan gebruiken. Je inzicht verdwijnt, je hersenen verweken.

    Wie wind zaait, zal storm oogsten. De stromannen die de realisten hebben opgericht, zouden wel eens terug kunnen schieten! Ook het omgekeerde is problematisch: de rekenopvatting van het FI realistisch noemen. Helaas heeft het FI dat zelf gedaan. Dat wild om je heen slaan met labels als ‘mechanistisch’ en ‘realistisch’ kan het onderwijs enorme schade berokkenen.


    Het gevoel bekruipt me dat de club van realistisch rekenaars amateuristisch is omgesprongen met het constructivisme — het cognitief-psychologische gedachtengoed — met beroerde gevolgen voor de implementatie van het realistisch rekenen, en ook voor de verdediging ervan door de medewerkers en leiding van het FI. Voeg daar nog aan toe de onhandige claims over positieve effecten op basis van gebrekkige of geheel ontbrekende onderzoekmethodologie, en de ramp is voor het FI niet meer te overzien (en door henzelf niet te zien, zoals ook zwakke rekenaars niet overzien dat uit het hoofd oplossen van ingewikkelde opgaven niet echt handig is).


    Hickendorff e.a. (2010) zet door experimenteel onderzoek enkele zaken scherp neer die in het beschrijvende onderzoek (Hickendrof e.a. 2009) niet verhelderd konden worden. Het geeft ook enkele antwoorden op methodologische punten uit Van den Heuvel-Panhuizen e.a. (2009), een kritiek op het beschrijvende onderzoek van Hickendorff e.a. (2009). De kritiek van Van den Heuvel e.a. (onder wie Treffers) is overigens wel van belang omdat het laat zien hoe de leiding van het FI denkt over het rekenonderwijs in Nederland, en wie daar met recht iets over mag claimen en op welke gronden dan. Ik zeg dit een beetje vervelend, maar dat is precies het punt. Hickendorff e.a. geven natuurlijk ook een dupliek op de kritische reactie van het FI, erop wijzend dat het aanvoeren van duizend-en-een mogelijke methodologische fijne puntjes en bezwaren niet altijd even ter zake is, en in dit geval nauwelijks terzake. Dat verwijt aan de critici van het FI ondersteun ik. De egelhouding van het FI staat een open discussie over het rekenonderwijs in de weg.

    C. M. van Putten (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). Cito. pdf

    C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27, nr 1. pdf

    Over realistisch kolomrekenen enige literatuur met annotaties, n.a.v. Van Putten (2004). hier

    Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract (df van hele artikel is niet vrijelijk online te downloaden, doe het via de eigen UB)

    Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). Solution Strategies and Achievement in Dutch Complex Arithmetic: Latent Variable Modeling of Change. Psychometrika, 74, 331-350. open access pdf

    Marja van den Heuvel-Panhuizen, Alexander Robitzsch, Adri Treffers and Olaf Köller (2009). Large-Scale Assessment of Change in Student Achievement: Dutch Primary School Students’ Results on Written Division in 1997 and 2004 as an Example. Psychometrika, 74, 367-374. pdf

    Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). How to Measure and Explain Achievement Change in Large-Scale Assessments: A Rejoinder. Psychometrika, 74, 367-374. online

    Robert E. Slavin and Cynthia Lake (2008). Effective programs in elementary mathematics: A best-evidence synthesis. Review of Eduational Research, 78, 427-515. An educator's summary: http://www.bestevidence.org/word/elem_math_Nov_25_2008_sum.pdf Full report 2007 text:http://www.bestevidence.org/word/elem_math_Feb_1_2007.pdf

    Timss 20032007 [80 Mb!]


    Stelling: Een constructieve benadering in het rekenonderwijs impliciceert niet dat basale rekenvaardigheden minder worden, eerder omgekeerd.

    Het is weer tijd voor een stelling. Ik weet niet of deze stelling goed valt te onderbouwen voor specifiek het rekenonderwijs, maar het zou een goede zaak zijn om dit maar eens te proberen (moet al lang en breed elders zijn gedaan). De stelling valt me in omdat het FI (Van den Heuvel-Panhuizen e.a. 2009, Psychometrika) van mening is dat hun vernieuwing van het rekenonderwijs is gericht op beter getalbegrip en andere lovenswaardige zaken, tegen mogelijk een prijs in de basale rekenvaardigheden. Dat komt mij voor als een misvatting. Het hele idee is immers dat zielloos rekenonderwijs maar moeilijk leidt tot rekenvaardigheden die tegen de tand des tijds bestand zijn, en dat op begrip gericht rekenonderwijs dat doel wel kan bereiken. In gewoon Nederlands: de pretentie van Wiskobas en realistisch rekenen is, en dat is op basis van wat bekend is uit de cognitieve psychologie een terechte pretentie, dat op begrijpen gericht rekenonderwijs op lange termijn de betere resultaten levert. Dat in de beschrijvende en experimentele onderzoeken van Hickendorff e.a. (2009, 2010) blijkt dat basale rekenvaardigheden ernstig zijn verminderd, terwijl schattend rekenen en mentaal rekenen op zich zijn verbeterd, moet voor het FI een uitdaging vormen om te achterhalen waar dan de problemen liggen: in de methode, in de kwaliteit van het onderwijs, in de kwantiteit van het onderwijs, in het tijdsgewricht, whatever. Voor de constructivist kan het maar moelijk bestaan dat getalinzicht is vergroot, maar concrete rekenprestaties achteruit zijn gegaan. Waar is dat getalinzicht dan goed voor?



    Wil Oonk, 2005, 2009


    Wil Oonk is vanaf 1971 als lerarenopleider intensief betrokken geweest bij de ontwikkelingen in het rekenonderwijs in Nederland. Hij promoveerde in 2009 op een onderwerp dat direct in het verlengde ligt van zijn werk in de voorgaande decennia: ‘ Met theorie verrijkte praktijkkennis in de lerarenopleiding voor het vak rekenen-wiskunde & didactiek’.


    Wil Oonk (2005). De verbeelding van het mathematisch-didactisch denken. In H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker: Freudenthal 100. Speciale editie van Panama Post en Nieuwe Wiskrant. pdf.

    Wil Oonk (2009). Theory-enriched practical knowledge in mathematics teacher education. Proefschrift Universiteit Leiden (promotoren: Verloop en Gravemeijer). pdf



    literatuur


    Adri Treffers (2010). Het rekentheater. Een autobiografische rekenroman. Uitgeverij Atlas.

    Adrian Treffers (1978/1987). Three dimensions. A model of goal and theory description in mathematics instruction - The Wiskobas project. Dordrecht: Reidel.

    Marja van den Heuvel-Panhuizen & Adri Treffers (2010). Cijfer positieve prestaties in rekenen niet weg. NAW [Dit artikel is eerder verschenen in Tijdschrift voor Orthopedagogiek, jaargang 49, nr. 2, pp. 53-62.] pdf

    Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf

    Kees Hoogland (2008).Nostalgische terugblik op de staartdeling. NAW 5/9 nr 4, 279-281. pdf

    A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel I. Overzicht einddoelen. Zwijsen.

    A. Treffers & E. de Moor(1990). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 2. Basisvaardigheden en cijferen. Zwijsen.

    Treffers, A. Treffers, L. Streefland & E. de Moor (1994). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 3A. Breuken. Zwijsen.

    Treffers, A. Treffers, L. Streefland & E. de Moor (1996). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 3B. Kommagetallen. Zwijsen.

    Nicole M. McNeil, Aaron Weinberg, Shanta Hattikudur, Ana C. Stephens, Pamela Asquith, Eric J. Knuth & Martha W. Alibali (2010). A Is for Apple : Mnemonic Symbols Hinder the Interpretation of Algebraic ExpressionsJournal of Educational Psychology, 102, 625-634.

    Ronald Keijzer (2010). Stand van zaken bij rekenen-wiskunde en didactiek op de lerarenopleiding basisonderwijs. Tijdschrift voor Hoger Onderwijs.

    Jan Karel Lenstra (Vz.) (4 november 2009). Rekenonderwijs op de basisschool. Analyse en sleutels tot verbetering. Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen (KNAW), Advies KNAW-commissie rekenonderwijs basisschool pdf



    materiaal uit wordproblems.htm



    Stephen K. Reed (1999). Word problems. Research and curriculum reform. Erlbaum. questia.


    Reviewed by Lieven Verschaffel & Brian Greer review. The review seems to be biased (rad the next to last passage).



    Lieven Verschaffel, Brian Greer and Erik de Corte (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets & Zeitlinger.


    This is quite an impressive review of research in Leuven and Belfast, and therefore also of the field as a whole. On a personal note: the book meticulously spells out the bad practices in artithmetics and mathematics education, at least as far as these damned word problems are concerned. As such, it provides lots of arguments to stop bad practices, in classrooms as well as in national tests and examinations. I will use this work to make my criticisms of, for example, the Nationale Rekentoets html more to the point.

    Regrettably, the book or its chapters are not available online. Happily, many of the sources mentioned in this book are.

    As the title indicates, the book is about word problems as such, emphasizing their mathematical or educational sense or nonsense. Other research, such as Van Essen or Verdwaald (see below). sees upon aspects of word problems that are problematic in, for example, a linguistic sense.

    Cathy Claman (2003). 10 Real SAT’s. New York: College Entrance Examination Board.

    Noriyuki Inoue (2005). The realistic reasons behind unrealistic solutions: the role of interpretive activity in word problem solving. Learning and Instruction, 15, 69-83. [I have not yet seen this article. I do not have access.

    Barry Cooper and Máiréad Dunne (1998). Anyone for tennis? Social class differences in children's responses to National Curriculum mathematics testing. The Sociological Review, 46, 115-148.

    Stephen K. Reed (1999). Word Problems: Research and Curriculum Reform. Erlbaum. questia

    T. P. Carpenter, J. M. Moser and T. A. Romberg (Eds) (1982). Addition and subtraction: A cognitive perspective. Erlbaum. Not available in questia.com

    06ehar5.4.jpg Yeap Ban Har, Ho Siew Yin, Berinderjeet Kaur & Lee Ngan Hoe (2002?). Children making sense during word problem solving. pdf [no longer available? 2-2008] paper. The pictured non-standard word problem is from this research.


    A board was sawed into two pieces. One piece was two-thirds as long as the whole board and was exceeded in length by the second piece by four feet. How long was the board before it was cut?

    Think about it, what do you do [look here? This problem is from a study on differences between novices and experts in tackling problems:
    J. M. Paige and Herbert A. Simon (1966). Cognition processes in solving algebra word problems. In B. Kleinmutz: Problem Solving (pp. 119-151). New York: Wiley. Reprinted in Herbert A. Simon (1979): Models of thought (pp. 201-229). New Haven: Yale University Press.



    Erik De Corte , Lieven Verschaffel , and Brian Greer (2000). Connecting mathematics problem solving to the real world. In: Proceedings of the International Conference on Mathematics Education into the 21st Century: Mathematics for living (pp. 66-73). Amman, Jordan: The National Center for Human Resource Development. pdf

    David H. Jonassen (2003). Designing Research-Based Instruction for Story Problems. Educational Psychology Review, 15, 267-296. pdf [not available any more 2-2008]


    Willem Bartjens (1604/1779). De vernieuwde cyfferinge van Mr. Willem Bartjens, waar uyt men meest alle de grond-regulen van de reeken-konst leeren kan. By Joannes Kannewet. Het boek is gescand beschikbaarop books.google.nl.

    courier type word problems

    "A hare is 150 paces ahead of of a hound, which pursues him. The hare covers 6 paces, while the hound covers 10. Required is to know how many paces the hound has made when overtakes the hare."

    "... two young men setting off at the same time for Rome. The first travels six miles per day, and the scond progresses one mile the first day, two miles the second day, etc. It is required to find when the second traveler will overtake the first."

    "If seventeen men build 2 houses in 9 days, how many days will it take 20 men to build 5 houses?"

    Swets, 1987. p. 158 the courier problem, p. 160 gives the Hare problem, p. 163 the house problem (all from the Treviso arithmetic), p. 243 ff. on the courier type of problem in the earliest arithmetics books: the Chinese Chiu chang suan shu (250 B.C), Petzensteiner (1483) Bamberg arithmetic, Calandri (1491); p. 245 on the hare type problem: Alcuin of York (ca. 775) Propositiones and acuendos juvenes (manuscript presented to Charlemagne); p. 246 ff. on the houses type problem: Heron of Alexandria (75, pipes filling a fountain), Cataneo (1546, wild animals devouring shee0, Frisius (1540, a husband and wife drinking wine)


    You will surely recognize in the courier type problem a well known contemporary type of word problem. What progress, then, have me made in the didactics of arithmetics sinse these Middle Ages? Remark that already in the 15th century this type of word problem was a traditional type of word problem, quite dissimular from the bulk of word problems in these arithmetics books, wich were explicitly vocational.


    traditional word problem

    "Three merchants have invested their money in a partnership, whom to make the problem clearer I will mention by name. The first was called Piero, the second Polo, and the third Zuanne. Piero put in 112 ducats, Polo 200 ducats, and Zuanne 142 ducats. At the end of a certain period they found that they had gained 563 ducats. Required is to know how much falls to each man so that no one shall be cheated."

    The problem is from the Treviso arithmetic of 1478, "the earliest known printed mathematics book in the West" (Swets p. 24). This book was translated by Davif Eugene Smith, and is published for the first time in its entirety in Swets, 1987. The cited problem is from p. 138 in the translation.


    gif/treviso.jpg Frank J. Swetz (1987). Capitalism & arithmetic. The new math of the 15th century. La Salle, Illinois: Open Court Publishing Company.


    W. P. Workman, Geoffrey Bosson (Revision) (1965). The tutorial arithmetic (with answers). London: University Tutorial Press.

    op eieren lopen

    Eene boerin, eene stad naderende en bij de eerste wagt aankomende, wierd door dezelve afgevorderd 1/b of ½ van hare eijeren met nog 1/b of ½ ei; tot de tweede genaderd zijnde, vorderde deze ook van haar 1/b of ½ van de overige eijeren en nog 1/b of ½ ei; eene derde wacht vroeg haar daarna ook weder hetzelfde. Ofschoon zij nu driemaal een half ei had toegegeven, had zij echter niets meer over, en was ook niet in de noodzakelijkheid geweest om daartoe één ei te breken. Hoeveel eijeren had zij dus in het begin gehad?

    Van Bemmelen 1818 p. 49 opgave 31. Antw (3b(b-1)+1)/(b(b-2)+1) of 7 eijeren.


    Een snellere oplossing van dit absurde probleem is gewoon twee of drie aantallen proberen. De opgave vertelt ook heel wat over de samenleving van die tijd, overigens. Het boek van Van Bemmelen bestaat voor een groot deel uit dit abjecte type opgaven, en zal daarin ongetwijfeld niet echt afwijken van wat elders aan tienerpesterijen werd bedacht en gedrukt. Maar ja, de filosofie was dat die pesterij juist vormend werkte, en wie er niet tegen kon moest vooral liever weggaan.


    A. van Bemmelen (1817/1818). Lessen over de algebra of stelkunst, ten gebruike der Latijnsche scholen. 's-Gravenhage, bij de Erven J. Allart.

    Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift.


    lustighe Vraghen heten redactiesommen in de rekenboekjes in de 16e en 17e eeuw.


    lees-rekenvraagstukken is een term die sinds 1937 door Kohnstamm wordt gebruikt voor het nieuwe type redactiesommen dat door het Rapport-Bolkestein is ingevoerd.


    Proeve van een leerplan (1967). Uitgave: Nutsseminarium.

    P. M. van Hiele (1956). Richtlijnen voor een nieuw leerplan rekenen op de lagere school. Purmerend.


    Learning Opportunities from Group Discussions: Warrants Become the Objects of Debate Keith Weber, Carolyn Maher, Arthur Powell and Hollylynne Stohl Lee Educational Studies in Mathematics Vol. 68, No. 3 (Jul., 2008) (pp. 247-261) Uit de refrenties:

    Uri Leron & Orit Hazzan (2006). The rationality debate: Application of cognitive psychology to mathematics education. Educational Studies in Mathematics, 62, 105-126.

    Helen M. Doerr (1962). Examining the tasks of teaching when using students’ mathematical thinking. Educational Studies in Mathematics, 62, 3-24.

    Rijkje Dekker and Marianne Elshout-Mohr (2004). Teacher Interventions Aimed at Mathematical Level Raising during Collaborative Learning. Educational Studies in Mathematics, Vol. 56, No. 1 (2004), pp. 39-65

    Leone Burton (1980). The teaching of mathematics to young children using a problem solving approach. Educational Studies in Mathematics, 11, 43-58. (Bepleit het leren van heuristieken voor het oplossen van problemen. Doet dat zonder Polya te noemen. Betreft Engels experimenteel wiskundeonderwijs. Een vluchtige blik geeft de impressie dat Burton hir vooral uit is op het inventariseren van voordelen van een probleemgerichte benadering. Het zal in Utrecht enthousiast zijn ontvangen. Let op latere publicaties, waarschijnlijk ook in hetzelfde tijdschrift.



    24 april 2012 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

    Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/rr_filosofie.htm#rekentheater