Rekenproject: Wiskundig denken; wiskunde om te leren denken; de vormende waarde van wiskunde

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
psychologie
    wiskundig denken
        human activity: wiskunde als menselijke activiteit
        abstraheren
        model opstellen




Zie ook hypothese 6: leren denken door rekenen en wiskunde was ooit waar

en

Annotatie Handboek wiskundedidactiek


Is het wiskundeonderwijs er om te leren denken, zoals een gepensioneerde wiskundeleraar van mijn oude gymnasium het stelde? In de 19e eeuw lijkt dit de algemene opvatting te zijn, maar dat valt verder uit te zoeken. Een verwant idee is dat wiskundeonderwijs vormende waarde heeft (Kruijtbosch, 1940, zie hierbeneden). De verwijzing naar Kruijtbosch (een publicatie die alleen bij de KB aanwezig lijkt, nog niet gezien trouwens) kwam ik tegen in Evert Beth ‘Psychologische beschouwing van het wiskundig denken’, een hoofdstuk in zijn Wijsbegeerte der wiskunde , 1948 (2e editie).


Wiskundig denken in de plaats stellen van wiskunde is een specifiek geval van de algemene misvatting dat het in het onderwijs steeds meer moet gaan om algemene vaardigheden en minder om het verwerven van specifieke kennis of expertise. Zie over die misvatting bijvoorbeeld: Michael Young (2012). Education, globalisation and ‘the voice of knowledge’ annotatie



De aanleiding voor de keuze van dit thema is natuurlijk het idee van Hans Freudenthal dat al op de basisschool het rekenonderwijs onderwijs in wiskundig denken zou moeten zijn, of misschien nog korter: wiskundig omgaan met de wereld zou moeten zijn. Dan moet er bij HF dus een consistent idee zijn over wat dat ‘wiskundig denken’ dan is.


Elders is er natuurlijk ook wel eens nagedacht over wat ‘wiskundig denken’ is, en is er mogelijk onderzoek gedaan of dat wiskundig denken zich laat onderscheiden van anders denken. Afijn, het lijkt me een rijk thema.

Een belangrijke groep onderzoekers verstaat onder wiskundig denken of wiskundig redeneren het denken of redeneren met hoeveelheden etcetera zoals kinderen dat van nature doen, dis zonder dat zij daar al in zijn onderwezen. (zie hierbeneden)


Wiskundig denken is als thema onderscheiden van wat het is om wiskunde te begrijpen: zie begrijpen.htm. Dat gaat vooral over de ideeën van didactici zoals Freudenthal over nut en noodzaak van begrijpen van de aangeboden wiskunde. En van wat wiskunde is: zie bijvoorbeeld Beth (1948), Wijsbegeerte der wiskunde hier. Vergeet ik nog iets? Ja, ‘wiskunde’ staat vaak voor het corpus: de wiskundige resultaten, de wiskundige literatuur. Het is toch wel handig om deze zaken goed te onderscheiden. Dat goed onderscheiden is toch al een voorwaarde voor zindelijk handelen in didactiek en beoordeling, zie wat er zoal komt kijken bij het borgen van validiteit van toetsvragen (rekenen of wiskunde, bijvoorbeeld): hier.


Ik ben natuurlijk al jaren geleden begonnen met uit te kijken naar literatuur over wat het is om wiskundig te denken, zoals Beth & Piaget (1966), en wat het is om wiskunde te leren of te onderwijzen: matheducation.htm en matheducation.dutch.htm




Lynn Arthur Steen (1999). Twenty Questions about Mathematical Reasoning. In NCTM's 1999 Yearbook which is devoted to mathematical reasoning: Developing Mathematical Reasoning in Grades K-12. Lee Stiff, Editor. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1999, pp. 270-285. html

Lynn Arthur Steen (Ed.) (2001). Mathematics and democracy. The case for quantitative literacy. The National Council on Education and the Disciplines. pdf

Simon Stevin van Brugghe (1608). Wisconstige gedachtenissen Inhoudende t’ghene daer hem in gheoeffent heeft. Tot Leyden, Inde Druckerye van Ian Bouvvensz. library.uu



Ed de Moor (1999). Vroeger. 40 historische columns over het rekenonderwijs. NVORWO. isbn 9075586027


Het leren denken is een thema dat in veel van deze stukjes in de een of andere vorm terugkeert. Dat zet mij aan het denken, zal ik maar zeggen. Ik koppel deze denkbeelden uit een ver verleden aan het actuele boek (2009) van James Flynn over wat anderen het Flynn-effect hebben genoemd. In de analyse van James Flynn speelt een heel belangrijke rol dat nog maar eeuw geleden veel mensen op een heel concreet niveau met de wereld omgingen, en dus moeite hadden om abstract te denken. Natuurlijk waren ze even intelligent als hun achterkleinkinderen zijn, maar ze gebruikten die intelligentie veel minder voor problemen van abstracte aard, van wetenschappelijke aard. Naarmate het dagelijks leven complexer werd, verwetenschappelijkte zou je bijna kunnen zeggen, gingen de mensen in hun denken daarin mee, deels natuurlijk via hun schoolloopbaan. Om terug te komen op de aanleiding: wanneer in de negentiende eeuw pedagogen spreken over ‘leren denken’, bedoelen zij daarmee waarschijnlijk wel ongeveer hetzelfde als wat we er nu onder verstaan, maar zij zagen om zich heen dat zonder onderricht in dat ‘leren denken’ leerlingen bleven steken in denken op heel concreet niveau (en abstracte verbanden gewoon uit hun hoofd leerden, denk ik er maar bij).



Studies in Mathematical Thinking and Learning Series. Psychology Press. published titles.



Michael J. Ford & Ellice A. Forman (2006). Redefining disciplinary learning in classroom contexts. Review of Research in Education, 30 ch. 1, 1-32. read online free [tweeted


“Another concern that motivates our examination of disciplinary practices is the frequent assertion by educational reformers that students should be engaged in the activities of historians, mathematicians, scientists, or literary analysts rather than just learning about the results of those practices. This trend can be seen in many fields , including mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 2000) and science (National Research Council, 1996) education. Although this mandate to incorporate disciplinary practices into classroom instruction has become a standard rhetorical move in journal articles and policy documents, it is rarely elaborated or adequately supported by evidence about those practices. In addition, there has been little explicit attention given to the fundamental aspects of a discipline that students should experience. To adequately design instruction or assessment to include aspects of authentic scientific practice, we need to justify the disciplinary practices that should be represented in classrooms and clarify how to implement those practices in our long-term en short-term learning objectives.”



Amy B. Ellis (2007). The influence of reasoning with emergent quantities on students' generalizations. Cognition and Instruction, 25, 439-478.



Jacob Feldman (2004). How surprising is a simple pattern? Quantifying ‘Eureka!’ Cognition, 93, 199-124. abstract

Ik heb dit nog niet grondig bestudeerd. Het belang dat ik er in denk te zien is het volgende. Het zou zomaar kunnen zijn dat de patronen die in reform-gebaseerd rekenonderwijs figureren om er ‘wiskundig’ mee te ‘denken’, mogelijk ook wel eens patronen zijn die in feite niet van random patronen zijn te onderscheiden. Feldman beweert dat op dit thema geen eerdere publicaties zijn verschenen, althans voorzover hij weet. Ik ben benieuwd naar het antwoord, maar dat Feldman hier niet geven: hij kijkt niet specifiek naar patronen die in rekenonderwijs wel worden gebruikt.

Even verder lezend, blijkt dat het hier om heel fundamentele kwesties gaat rond het leren van begrippen of categorieën aan de hand van reeksen voorbeelden.



Jamie I. D. Campbell (Ed.) (2004). The Handbook of Mathematical Cognition. Psychology Press. contents, reviewed by Sriraman



Jamie I. D. Campbell (1992). The nature and origin of mathematical skills. Elsevier Science. [als eBook via KB] info



Schoenfeld, Alan H. (Ed.) (1987). Cognitive science and mathematics education. Lawrence Erlbaum. XIX 4-43 (POW) ISBN 0-8058-0057-3. Snellius: boek is zoek.



Robert B. Davis (1984). Learning Mathematics: Yhe Cognitive Science Approach to Mathematics Education. Croom Helm.



Herbert P. Ginsberg (Ed.) (1983). The developent of mathematical thinking. Academic Press.




McCrink, K. & Wynn, K. (2008) Mathematical Reasoning.  In Encyclopedia of Infant and Early Childhood Development. Ed. M. Haith & J. Benson. Vol 2. pp. 280-289. pdf download

Wat deze auteurs, behorend tot een toonaagevende groep onderzoekers waaronder Spelke en DeHaene, bedoelen met wiskundig denken is het denken dat kinderen van nature doen. Het onverwachte hiervan is dat dit onderzoek impliceert dat al zonder rekenonderwijs te hebben gehad, kinderen wiskundig denken. Je zou dus kunnen stellen dat Hans Freudenthal de jonge leerlingen iets wil laten leren dat zij van nature al hebben. Ha, nee, zegt de Freudenthal-groep: realistisch rekenen sluit juist aan bij wat kinderen zelf al kunnen of spontaan kunnen ontdekken. Kijk, en zo kletsen we dus alles aan elkaar, of de theorie onderling tegenstrijdige uitspraken bevat, is niet van belang. Gelukkig zijn er veel onderzoekers die hun wetenschap serieus nemen, en bij tegenstrijdigheden en dubbelzinnigheden experimenten ontwerpen ontwerpen die de gordiaanse knoopjes kunnen ontwarren.




Stanislas Dehaene (1997). The Number Sense. How the Mind Creates Mathematics. Oxford University Press.



Elizabeth S. Spelke (2000). Core knowledge. American Psychologist, 55, 1233—1243. (award address, Award for Distinguished Scientific Contributions shtml)

“My story begins with two core knowledge systems found in human infants and in nonhuman primates: a system for representing objects and their persistence through time and a system for representing approximate numerosities. Then I ask how young children may build on these two systems to learn verbal counting and to construct the first natural number concepts. Finally, I consider how the same systems may contribute to mathematical thinking in adults.”

Spelke 2000


Anna Sfard and Irit Lavie (2005). Why cannot children see as the same what grownups cannot see as different? — early numerical thinking revisited. Cognition and Instruction, 23, 237-309. pdf

Sfard, A. (2008). Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing. Cambridge, UK: Cambridge University Press here.

Leone Burton (2004). Mathematicians as Enquirers: Learning about Learning Mathematics. Kluwer.

Anna Sfard (2008).Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing.. Cambridge University Press site.

R. J. Sternberg and T. Ben-Zeev (Eds) (1996). The nature of mathematical thinking. Erlbaum. [als eBook beschikbaar via KB]

Kaput (1979). Mathematics and learning: Roots of epistemological status. In J. Lockhead and J. Clement, Cognitive process instruction (pp. 289-303). Philadelphia: Franklin Institute Press.

“The basic, irreducible and essential metaphoric nature of human thinking has only an accidental, unacknowledged, and denigrated role in mathematics.”

Kaput [uitgebreidere annotatie in matheducation.htm]

Jean Lave (1988). Cognition in practice. Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge University Press.

Gerald Kulm (Ed.) (1990). Assessing Higher Order Thinking in Mathematics. American Association for the Advancement of Science. questia

Alan H. Schoenfeld (Ed.) (1994). Mathematical thinking and problem solving. Erlbaum. questia

C. R. Gallistel and Rochel Gelman (2005). Mathematical cognition. In K Holyoak & R. Morrison (Eds). The Cambridge handbook of thinking and reasoning. Cambridge University Press (pp 559-588) pdf

Evert W. Beth (1948). Wijsbegeerte der wiskunde. Philosophische Bibliotheek. Boek VI: De psychologische beschouwing van het wiskundig denken. (304-324). Oh, mijn boek is nog niet opengesneden . . . . Beth begint met de wiskundige significa (Brouwer, Van Eeden, Van Ginniken, Mannoury, Van Dantzig). En daarmee hebben we meteen al het gedonder in de glazen: wiskundig denken is geen simpele aangelegenheid. Niet echt iets voor het basisonderwijs, zou je kunnen vermoeden. Evert Beth studeerde eveneens psychologie, in die tijd vooral een kwestie van filosofie, naar ik aanneem. Beth benadert dat wiskundig denken als een filosofisch probleem, niet als een cognitief psychologisch onderwerp dat zich empirisch laat onderzoeken. Toch moet Beth wel op de hoogte zijn geweest van het proefschrift uit 1946 van Adriaan de Groot over het denken van de schaker, maar de psychologie van De Groot is echt een andere wereld dan die van Beth. Hij had het voor zijn herziene uitgave van 1948 mee kunnen nemen. Jammer, gemiste kans.


Of is wiskundig denken = critical thinking?




Philip C. Abrami, Robert M. Bernard, Evgueni Borokhovski, Anne Wade, Michael A. Surkes, Rana Tamim & Dai Zhang (2008). Instructional interventions affecting critical thinking skills and dispositions: A stage 1 meta-analysis. Review of Educational Research, 78, 11-2-1134. abstract



Phillip L. Ackerman, Kristy R. Bowen, Margaret E. Beier, and Ruth Kanfer (2001). Determinants of Individual Differences and Gender Differences in Knowledge. Journal of Educational Psychology, 93, 797-825. abstract



Kevin Houston (2009). How to think like a mathematician. A companion to undergraduate mathematics. Cambridge University Press. isbn 9780521719780 frontmatter; Houston on his book



Philip J. Davis, Reuben Hersh & Elena Anne Marchisotto (1981/2003). The mathematical experience. Birkhäuser. 3rd 2003



Evert Beth (1948). Wijsbegeerte der wiskunde. Philosophische Bibiotheek.



Deanna Kuhn (1991). The skills of argument. Cambridge University Press. isbn 052142349X




Rippling: Meta-Level Guidance for Mathematical Reasoning Bundy Alan; Basin David; Hutter Dieter; Ireland Andrew; van Rijsbergen C J; Abramsky S; Aczel P H; de Bakker J W; Gurevich Y; Tucker J V, 2005 | Cambridge University Press [in KB als eBook] site preview of review by Nimish Shah


Ik heb geen idee. Het gaat om programmatuur die bewijzen genereert, ook gebruikmakend van heuristieken. Past dit in het onderzoekprogramma van Kunstmatige Intelligentie, of staat het daar helemaal los van? De boekbespreking ligt een tipje van de sluier op (de preview ervan geeft twee bladzijden).



Where's the Wonder in Elementary Math? : Encouraging Mathematical Reasoning in the Classroom McVarish Judith, 2012 | Taylor and Francis [in KB als eBook] site


Dit boek is bepaald niet gebouwd op een fundament van onderzoek. Aan de literauurlijst te zien is het constructivisme (Paul Cobb; Lauren Resnick; Vygotsky; C. Fosnot (Ed.) (1996). Constructivism: Theory, perspectives, and practice; Carpenter (waar staat hij eigenlijk voor?); en blijmoedig optimisme.






Mathematical and Analogical Reasoning of Young Learners English Lyn D, 2004 | Taylor and Francis Series:  Studies in Mathematical Thinking and Learning Series [in KB eBook]site - besproken door Sriraman: Polya revisited: The cognitive links between mathematical and analogical reasoning


Constructivisme in NCTM-stijl. Als voorbeeld deze passage uit het inleidende hoofdstuk van Lyn English. De toon hiervan is constructivistisch. Het zou zomaar kunnen dat heel het idee dat wiskundig denken gaat van concrete voorbeelden naar alemene regels een stelling is die gemeenschappelijk is aan zowel het uitgesproken constructivisme, als de belendende percelen zoals dat van Pierre Hielen. Lees het volgende citaat, en bedenk dat de huidige cognitieve theorie, zoals samenvattend beschreven door Stellan Ohlsson in zijn (2011) Deep Learning, het leren ziet als precies de andere kant op gaand: van het algemene naar het specifieke of concrete; van de algemene regel naar het bijzondere geval. Als Stellan Ohlsson door het experiment gelijk krijgt, dan moet er een revolutie komen in het veld van de bemeoizorg met het wiskundeonderwijs.



Raymond S. Nickerson (1988). On improving thinking through instruction. In Ernst Z. Rothkopf: Review of research in education volume 15—1988-89. Washington, D.C.: American Educational Research Association. (3-58)



Raymond S. Nickerson, D. N. Perkins & E. E. Smith (1985). The teaching of thinking. Routledge. [In KB als eBook]




Raymond S. Nickerson (2010). Mathematical Reasoning: Patterns, Problems, Conjectures and Proofs. Psychology Press. [niet in KB, niet in UB Leiden, ik heb het boek niet, en ik heb geen goed idee of het een belangrijke bijdrage levert, of alleen een handige compilatie van de literatuur is] info




Anouk van Eerden & Mik van Es (2014). Meten en maximaliseren van basale schrijfvaardigheid bij eerstejaarsstudenten in het hoger beroepsonderwijs Proefschrift Rijksuniversiteit Groningen. isbn 9789036767101 (pdf) 9789036767095 (boek) website bij het boek, het boek zelf als pdf


De auteurs beschrijven in paragraaf 2.1 en 2.2 hoe het schrijfonderwijs is veranderd van gericht op wat er is geschreven (product) naar hoe het schrijven wordt aangepakt (proces). Dat laatste kun je inderdaad wel als procesgericht beschrijvne — plan maken etcetera, erover praten met medestudenten, reflecteren op wat er inhoudelijk is geschreven — maar ik herken er toch vooral de pseudowetenschappelijke didactieken gebaseerd op constructivisme, situationisme, progressivism, en vooral ook misvattingen over probleemoplossen. Het werk van Newell & Simon (1972) wordt in de onderwijsgemeenschap wereldwijd volstrekt niet begrepen, maar wel op basis van dat onbegruip toegepast in de praktijk. De probleemoplosaanpak van het moderne schrijfonderwijs zie ik als analoog aan wat er in het rekenonderwijs is gebeurd: onder de verheven doelstelling van probleemoplossend schrijven/rekenen, is het netto resultaat dat leerlingen en studenten de doelen van die probleemoplossende benaderingen niet hebben kunnen realiseren, en ondertussen ook niet meer hebben leren schrijven en rekenen.

Ik zie de schrijthematiek zoals Van Eerden en Van Es deze uitwerken in hun proefschrift niet als een op zichzelf staande ongelukkige onderwijskundige ontwikkeling, maar als uiting van breed heersende opvattingen in het opnderwijsveld, opvattingen die op het eerste gezicht uit de psychologie afkomstig lijken, maar op het tweede gezicht eerder tot de categrie van de kwakzalverij behoren. De auteurs wijzen er in hoofstuk 2 inderdaad bij herhaling op dat het schrijfonderwijs in deze moderne procesgerichte opvatting het moet doen zonder funderend empirisch toetsend onderzoek. Waar heb ik dat eerder gezien?



Herbert A. Simon (1966). Thinking by computers. In Robert G. Colodny (Ed.) (1966). Mind and Cosmos. Essays in Contemporary Science and Philosophy (3-21). University of Pittsburgh Press.




Herbert A. Simon (1966). Scientific discovery and the psychology of problem solving. In Robert G. Colodny (Ed.) (1966). Mind and Cosmos. Essays in Contemporary Science and Philosophy (22-). University of Pittsburgh Press.




G. Mannoury (1930). Woord en gedachte. Een inleiding in de signifika, inzonderheid met het oog op het onderwijs in de wiskunde. Euclides. Tijdschrift voor de didactiek der exacte vakken. 7e jaargang (1930-1931), p. 1-61. pdf ]


Mannoury neemt zijn toevlucht tot een deus ex machina: de ‘mathematiese aanleg’ (o.a. blz 37 e.v.).



D. van Dantzig (1938). Vragen en schijnvragen over ruimte en tijd. Een toepassing van den wiskundigen denkvorm. Rede TH Delft annotatie




David Vaillancourt (July 15, 2016). Fermi and the Problem Solved blog and tweet




Joh. H.Wansink (1948). Wat mag het hoger onderwijs eisen, wat kan het middelbaar onderwijs geven? Congres 1948. Verslag van het zevende Nederlands congres van leraren in de wiskunde en de natuurwetenschappen, gehouden op 1 april 1948 te Amsterdam. (21-36) J. B. Wolters.


Wansink heeft het op blz. 27 over 'de knollen van de training' versus 'de citroenen van de intelligentie'.



Kan het wiskundeonderwijs tot de opvoeding van het denkvermogen bijdragen? Discussie tussen T.Ehrenfest-Afanassjewa en H.Freudenthal. Wiskunde Werkgroep WVO. Purmerend, Muusses, 1951


Niet in mijn bezit, nog niet gevonden. Besproken door H.Streefkerk, in Euclides 1951/52 blz. 57-59 pdf



Ton Langendorff (2015). Denken wiskundigen wel zo exact? Observaties en gesprekken. Atheneum/Polak en Van Gennep. 978025307677 Besproken in TrouwdoorHinke Hamer (2015). 'Mooi die formules, maar over het geploeter hoor je wiskundigen nooit' bespreking




Henri Poincaré (1908). Science et Méthode. Ernest Flammarion. pdf 1947 & wiki


Chap. Livre Premier-III L'invention mathématique 43-63; IV Le hasard 64-93; Livre II Le raisonnement mathématique 95-214


Twitter thread https://twitter.com/benwilbrink/status/1198527402768515072

Thread Reader: https://threadreaderapp.com/thread/1198527402768515072.html Conjecture. ‘Thinking like a mathematician’ is a concept confusing cognition of the individual (student, academic, mathematician) and the fruits of centuries of mathematical and scientific research.

Teaching students to 'think like a mathematician' is a huge waste of effort.

This quote from Whitehead (1911, p. 8) “.... mathematics .... is necessarily the foundation of exact thought as applied to natural phenomena” refers to science, not to the thinking of an individual (scientist, student).

[‘An introduction to mathematics’ https://archive.org/details/introductiontoma00whitiala] 'Scientific thought' here is a metaphor for scientific research , it is not meant to be the thinking of the individual scientist.

Whitehead, p. 11: "In the eye of science, the fall of an apple, the motion of a planet round a sun, and the clinging of the atmosphere to the earth are all seen as examples of the law of gravity. This possibility of disentangling the most complex evanescent circumstances into various examples of permanent laws is the controlling idea of modern thought."

Again, 'modern thought' here is not the thinking of individual scientists; it is scientific method itself, a collective achievement.

Therefore: teach math, and math only.

Instead of ‘thinking (like a mathematician)’, the clever thing to do is to learn particular achievements of science so one has not to ‘think’ about them anew.

Whitehead p. 61: "It is a profoundly erroneous truism, repeated by all copy-books and by eminent people when they are making speeches, that we should cultivate the habit of thinking of what we are doing. The precise opposite is the case. Civilization advances by extending the number of important operations which we can perform without thinking about them."

Just like driving one’s car. Amen.

Alfred North Whitehead was a great mathematician and philosopher (which does in itself nothing to protect such a top influencer from being thoroughly mistaken in matters not directly mathematical/philosophical). A great man, worked with Bertrand Russell. (Bio by Victor Lowe)

I will try to use this material in a position paper on the Dutch curriculum reform proposals #curriculum_nu, exposing the many psychologisms, especially in the math proposals. Dutch Parliament will organize hearings and round tables on the curriculum proposals, early in 2020. Note (via Evert Beth, 1948 ‘Wijsbegeerte der wiskunde’ [Philosophy of mathematics]). Mathematical thinking: not to be confused with mathematical significa (Brouwer [intuitive math], Van Eeden, Van Ginniken, Mannoury, Van Dantzig). https://en.wikipedia.org/wiki/Gerrit_Mannoury [in answer to Stotsky https://twitter.com/sgstotsky/status/1198658696945045504] Can I give examples of ‘thinking like a mathematician’? (question by @SGStotsky , thanks Sandra). I’ll repeat my answers here, in the main thread. That is the question, isn’t it? If ‘mathematical thinking’ exists, there should be examples. Hans Freudenthal thought he had examples of ‘mathematical thinking’ of his 6 year (or some) old grandson, so it should be possible to teach primary students to ‘think like a mathematician’.

About '70 Freudenthal got the money/opportunity to reform Dutch primary math education. He turned it around (RME), yet failed realizing his ‘mathematical thinking’ goal as he recognized at the end of his life (about '90), also recognizing kids could not do arithmetic any more.

I must give the source for the last statement. It is a letter (in Dutch) to the newspaper NRC by a math friend of Freudenthal, Van Zwet, see http://benwilbrink.nl/projecten/debat.htm#Zwet_2008…. Ever since Dutch results on national (PPON) and international math tests (TIMSS, PISA) are in decline.

What could ‘mathematical thinking’ be? The first problem is with the ‘thinking’ part: thinking is an autonomous cognitive process that is not available to introspection by the ‘thinker‘ herself. There are some tricks that the researcher can use, though: https://pdfs.semanticscholar.org/dbf1/d68f76ba21cedd5806b8e2d5374c1e4c07de.pdf

Already in the 70s research was done on the ‘thinking’ of judges. What I remember: judges were not able to give their exact ‘thinking’ in coming to their verdicts (in line with the observation in the preceding tweet). Of course, they were able to present a verdict motivation.

On the psychology of this kind creative professional work, see Stellan Ohlsson (2011). ‘Deep Learning: How the Mind Overrides Experience’ Cambridge UP. Reviewed by Jared Freeman http://jaredfreeman.com/jf_pubs/Freeman_DeepLearningReview_CognitiveTechnology_2013.pdf (building further on work by, a.o., Newell and Simon, Newell 1990).

My attempt at explanation in 1 tweet: The professional brain brims with complex knowledge, organized in very large ‘chunks‘ making it possible for the brain to juggle all that knowledge in pursuit of possible answers to new problems. The ‘chunks‘ are not open to introspection!

This is cognitive psychology as already to be found/foreshadowed in the 1946 Dutch dissertation by Adriaan D. De Groot ‘Het denken van den schaker’ http://www.dbnl.org/tekst/groo004denk01_01/ [translated 1965/2008: Thought and choice in chess Lawyers, chess masters, mathematicians: same psychology.

Maybe it occurred to you that the judge not knowing exactly how his brain came to a particular verdict is uncannily similar to self-learning AI resulting in algorithms nobody can know. It is therefore important for professions to be strongly disciplined.



A. N. Whitehead (1911/1961/1965). Wiskunde, basis van het exacte denken. Aula 226. A. N. Whitehead [(1911). An introduction to mathematics archive.org




Machiel Keestra (Red.) (2006). Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde. Uitgeverij Nieuwezijds. vrij online




Evert W. Beth & Jean Piaget (1966). Mathematical Epistemology and Psychology. Translated from the French by W. Mays. [Épistémologie mathématique et psychologie : essai sur les relations entre la logique formelle et la pensée réelle.] Dordrecht: Reidel. info/previews










Nov 2019 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/wiskundig_denken.htm http://goo.gl/uVLeJ