Rekenproject: Wiskundig denken

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
psychologie
    wiskundig denken
        human activity: wiskunde als menselijke activiteit
        abstraheren
        model opstellen




Zie ook hypothese 6: leren denken door rekenen en wiskunde was ooit waar

en

Annotatie Handboek wiskundedidactiek


Wiskundig denken in de plaats stellen van wiskunde is een specifiek geval van de algemene misvatting dat het in het onderwijs steeds meer moet gaan om algemene vaardigheden en minder om het verwerven van specifieke kennis of expertise. Zie over die misvatting bijvoorbeeld: Michael Young (2012). Education, globalisation and ‘the voice of knowledge’ annotatie



De aanleiding voor de keuze van dit thema is natuurlijk het idee van Hans Freudenthal dat al op de basisschool het rekenonderwijs onderwijs in wiskundig denken zou moeten zijn, of misschien nog korter: wiskundig omgaan met de wereld zou moeten zijn. Dan moet er bij HF dus een consistent idee zijn over wat dat ‘wiskundig denken’ dan is.


Elders is er natuurlijk ook wel eens nagedacht over wat ‘wiskundig denken’ is, en is er mogelijk onderzoek gedaan of dat wiskundig denken zich laat onderscheiden van anders denken. Afijn, het lijkt me een rijk thema.

Een belangrijke groep onderzoekers verstaat onder wiskundig denken of wiskundig redeneren het denken of redeneren met hoeveelheden etcetera zoals kinderen dat van nature doen, dis zonder dat zij daar al in zijn onderwezen. (zie hierbeneden)


Wiskundig denken is als thema onderscheiden van wat het is om wiskunde te begrijpen: zie begrijpen.htm. Dat gaat vooral over de ideeën van didactici zoals Freudenthal over nut en noodzaak van begrijpen van de aangeboden wiskunde. En van wat wiskunde is: zie bijvoorbeeld Beth (1948), Wijsbegeerte der wiskunde hier. Vergeet ik nog iets? Ja, ‘wiskunde’ staat vaak voor het corpus: de wiskundige resultaten, de wiskundige literatuur. Het is toch wel handig om deze zaken goed te onderscheiden. Dat goed onderscheiden is toch al een voorwaarde voor zindelijk handelen in didactiek en beoordeling, zie wat er zoal komt kijken bij het borgen van validiteit van toetsvragen (rekenen of wiskunde, bijvoorbeeld): hier.


Ik ben natuurlijk al jaren geleden begonnen met uit te kijken naar literatuur over wat het is om wiskundig te denken, zoals Beth & Piaget (1966), en wat het is om wiskunde te leren of te onderwijzen: matheducation.htm en matheducation.dutch.htm




Lynn Arthur Steen (1999). Twenty Questions about Mathematical Reasoning. In NCTM's 1999 Yearbook which is devoted to mathematical reasoning: Developing Mathematical Reasoning in Grades K-12. Lee Stiff, Editor. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics, 1999, pp. 270-285. html

Lynn Arthur Steen (Ed.) (2001). Mathematics and democracy. The case for quantitative literacy. The National Council on Education and the Disciplines. pdf

Simon Stevin van Brugghe (1608). Wisconstige gedachtenissen Inhoudende t’ghene daer hem in gheoeffent heeft. Tot Leyden, Inde Druckerye van Ian Bouvvensz. library.uu



Freudenthal, Hans Freudenthal. (1961). Exacte logica. Haarlem: Bohn. Zie ook de annotatie in freudenthal.htm#exacte_logica




Ed de Moor (1999). Vroeger. 40 historische columns over het rekenonderwijs. NVORWO. isbn 9075586027


Het leren denken is een thema dat in veel van deze stukjes in de een of andere vorm terugkeert. Dat zet mij aan het denken, zal ik maar zeggen. Ik koppel deze denkbeelden uit een ver verleden aan het actuele boek (2009) van James Flynn over wat anderen het Flynn-effect hebben genoemd. In de analyse van James Flynn speelt een heel belangrijke rol dat nog maar eeuw geleden veel mensen op een heel concreet niveau met de wereld omgingen, en dus moeite hadden om abstract te denken. Natuurlijk waren ze even intelligent als hun achterkleinkinderen zijn, maar ze gebruikten die intelligentie veel minder voor problemen van abstracte aard, van wetenschappelijke aard. Naarmate het dagelijks leven complexer werd, verwetenschappelijkte zou je bijna kunnen zeggen, gingen de mensen in hun denken daarin mee, deels natuurlijk via hun schoolloopbaan. Om terug te komen op de aanleiding: wanneer in de negentiende eeuw pedagogen spreken over ‘leren denken’, bedoelen zij daarmee waarschijnlijk wel ongeveer hetzelfde als wat we er nu onder verstaan, maar zij zagen om zich heen dat zonder onderricht in dat ‘leren denken’ leerlingen bleven steken in denken op heel concreet niveau (en abstracte verbanden gewoon uit hun hoofd leerden, denk ik er maar bij).



Studies in Mathematical Thinking and Learning Series. Psychology Press. published titles.



Michael J. Ford & Ellice A. Forman (2006). Redefining disciplinary learning in classroom contexts. Review of Research in Education, 30 ch. 1, 1-32.


“Another concern that motivates our examination of disciplinary practices is the frequent assertion by educational reformers that students should be engaged in the activities of historians, mathematicians, scientists, or literary analysts rather than just learning about the results of those practices. This trend can be seen in many fields , including mathematics (National Council of Teachers of Mathematics, 2000) and science (National Research Council, 1996) education. Although this mandate to incorporate disciplinary practices into classroom instruction has become a standard rhetorical move in journal articles and policy documents, it is rarely elaborated or adequately supported by evidence about those practices. In addition, there has been little explicit attention given to the fundamental aspects of a discipline that students should experience. To adequately design instruction or assessment to include aspects of authentic scientific practice, we need to justify the disciplinary practices that should be represented in classrooms and clarify how to implement those practices in our long-term en short-term learning objectives.”



Amy B. Ellis (2007). The influence of reasoning with emergent quantities on students' generalizations. Cognition and Instruction, 25, 439-478.



Jacob Feldman (2004). How surprising is a simple pattern? Quantifying ‘Eureka!’ Cognition, 93, 199-124. abstract

Ik heb dit nog niet grondig bestudeerd. Het belang dat ik er in denk te zien is het volgende. Het zou zomaar kunnen zijn dat de patronen die in reform-gebaseerd rekenonderwijs figureren om er ‘wiskundig’ mee te ‘denken’, mogelijk ook wel eens patronen zijn die in feite niet van random patronen zijn te onderscheiden. Feldman beweert dat op dit thema geen eerdere publicaties zijn verschenen, althans voorzover hij weet. Ik ben benieuwd naar het antwoord, maar dat Feldman hier niet geven: hij kijkt niet specifiek naar patronen die in rekenonderwijs wel worden gebruikt.

Even verder lezend, blijkt dat het hier om heel fundamentele kwesties gaat rond het leren van begrippen of categorieën aan de hand van reeksen voorbeelden.



Jamie I. D. Campbell (Ed.) (2004). The Handbook of Mathematical Cognition. Psychology Press. contents, reviewed by Sriraman



Jamie I. D. Campbell (1992). The nature and origin of mathematical skills. Elsevier Science. [als eBook via KB] info



Schoenfeld, Alan H. (Ed.) (1987). Cognitive science and mathematics education. Lawrence Erlbaum. XIX 4-43 (POW) ISBN 0-8058-0057-3. Snellius: boek is zoek.



Robert B. Davis (1984). Learning Mathematics: Yhe Cognitive Science Approach to Mathematics Education. Croom Helm.



Herbert P. Ginsberg (Ed.) (1983). The developent of mathematical thinking. Academic Press.




McCrink, K. & Wynn, K. (2008) Mathematical Reasoning.  In Encyclopedia of Infant and Early Childhood Development. Ed. M. Haith & J. Benson. Vol 2. pp. 280-289. pdf download

Wat deze auteurs, behorend tot een toonaagevende groep onderzoekers waaronder Spelke en DeHaene, bedoelen met wiskundig denken is het denken dat kinderen van nature doen. Het onverwachte hiervan is dat dit onderzoek impliceert dat al zonder rekenonderwijs te hebben gehad, kinderen wiskundig denken. Je zou dus kunnen stellen dat Hans Freudenthal de jonge leerlingen iets wil laten leren dat zij van nature al hebben. Ha, nee, zegt de Freudenthal-groep: realistisch rekenen sluit juist aan bij wat kinderen zelf al kunnen of spontaan kunnen ontdekken. Kijk, en zo kletsen we dus alles aan elkaar, of de theorie onderling tegenstrijdige uitspraken bevat, is niet van belang. Gelukkig zijn er veel onderzoekers die hun wetenschap serieus nemen, en bij tegenstrijdigheden en dubbelzinnigheden experimenten ontwerpen ontwerpen die de gordiaanse knoopjes kunnen ontwarren.




Stanislas Dehaene (1997). The Number Sense. How the Mind Creates Mathematics. Oxford University Press.



Elizabeth S. Spelke (2000). Core knowledge. American Psychologist, 55, 1233—1243. (award address, Award for Distinguished Scientific Contributions shtml)

“My story begins with two core knowledge systems found in human infants and in nonhuman primates: a system for representing objects and their persistence through time and a system for representing approximate numerosities. Then I ask how young children may build on these two systems to learn verbal counting and to construct the first natural number concepts. Finally, I consider how the same systems may contribute to mathematical thinking in adults.”

Spelke 2000


Anna Sfard and Irit Lavie (2005). Why cannot children see as the same what grownups cannot see as different? — early numerical thinking revisited. Cognition and Instruction, 23, 237-309. pdf

Sfard, A. (2008). Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing. Cambridge, UK: Cambridge University Press here.

Leone Burton (2004). Mathematicians as Enquirers: Learning about Learning Mathematics. Kluwer.

Anna Sfard (2008).Thinking as communicating: Human development, the growth of discourses, and mathematizing.. Cambridge University Press site.

R. J. Sternberg and T. Ben-Zeev (Eds) (1996). The nature of mathematical thinking. Erlbaum. [als eBook beschikbaar via KB]

Kaput (1979). Mathematics and learning: Roots of epistemological status. In J. Lockhead and J. Clement, Cognitive process instruction (pp. 289-303). Philadelphia: Franklin Institute Press.

“The basic, irreducible and essential metaphoric nature of human thinking has only an accidental, unacknowledged, and denigrated role in mathematics.”

Kaput [uitgebreidere annotatie in matheducation.htm]

Jean Lave (1988). Cognition in practice. Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge University Press.

Gerald Kulm (Ed.) (1990). Assessing Higher Order Thinking in Mathematics. American Association for the Advancement of Science. questia

Alan H. Schoenfeld (Ed.) (1994). Mathematical thinking and problem solving. Erlbaum. questia

C. R. Gallistel and Rochel Gelman (2005). Mathematical cognition. In K Holyoak & R. Morrison (Eds). The Cambridge handbook of thinking and reasoning. Cambridge University Press (pp 559-588) pdf

Evert W. Beth (1948). Wijsbegeerte der wiskunde. Philosophische Bibliotheek. Boek VI: De psychologische beschouwing van het wiskundig denken. (304-324). Oh, mijn boek is nog niet opengesneden . . . . Beth begint met de wiskundige significa (Brouwer, Van Eeden, Van Ginniken, Mannoury, Van Dantzig). En daarmee hebben we meteen al het gedonder in de glazen: wiskundig denken is geen simpele aangelegenheid. Niet echt iets voor het basisonderwijs, zou je kunnen vermoeden.


Of is wiskundig denken = critical thinking?




Philip C. Abrami, Robert M. Bernard, Evgueni Borokhovski, Anne Wade, Michael A. Surkes, Rana Tamim & Dai Zhang (2008). Instructional interventions affecting critical thinking skills and dispositions: A stage 1 meta-analysis. Review of Educational Research, 78, 11-2-1134. abstract



Phillip L. Ackerman, Kristy R. Bowen, Margaret E. Beier, and Ruth Kanfer (2001). Determinants of Individual Differences and Gender Differences in Knowledge. Journal of Educational Psychology, 93, 797-825. abstract



Kevin Houston (2009). How to think like a mathematician. A companion to undergraduate mathematics. Cambridge University Press. frontmatter; Houston on his book



Philip J. Davis, Reuben Hersh & Elena Anne Marchisotto (1981/2003). The mathematical experience. Birkhäuser. 3rd 2003



Evert Beth (1948). Wijsbegeerte der wiskunde. Philosophische Bibiotheek.



Deanna Kuhn (1991). The skills of argument. Cambridge University Press. isbn 052142349X abstract




Rippling: Meta-Level Guidance for Mathematical Reasoning Bundy Alan; Basin David; Hutter Dieter; Ireland Andrew; van Rijsbergen C J; Abramsky S; Aczel P H; de Bakker J W; Gurevich Y; Tucker J V, 2005 | Cambridge University Press [in KB als eBook] site preview of review by Nimish Shah


Ik heb geen idee. Het gaat om programmatuur die bewijzen genereert, ook gebruikmakend van heuristieken. Past dit in het onderzoekprogramma van Kunstmatige Intelligentie, of staat het daar helemaal los van? De boekbespreking ligt een tipje van de sluier op (de preview ervan geeft twee bladzijden).



Where's the Wonder in Elementary Math? : Encouraging Mathematical Reasoning in the Classroom McVarish Judith, 2012 | Taylor and Francis [in KB als eBook] site


Dit boek is bepaald niet gebouwd op een fundament van onderzoek. Aan de literauurlijst te zien is het constructivisme (Paul Cobb; Lauren Resnick; Vygotsky; C. Fosnot (Ed.) (1996). Constructivism: Theory, perspectives, and practice; Carpenter (waar staat hij eigenlijk voor?); en blijmoedig optimisme.



abstract




Mathematical and Analogical Reasoning of Young Learners English Lyn D, 2004 | Taylor and Francis Series:  Studies in Mathematical Thinking and Learning Series [in KB eBook]site - besproken door Sriraman: Polya revisited: The cognitive links between mathematical and analogical reasoning


Constructivisme in NCTM-stijl. Als voorbeeld deze passage uit het inleidende hoofdstuk van Lyn English. De toon hiervan is constructivistisch. Het zou zomaar kunnen dat heel het idee dat wiskundig denken gaat van concrete voorbeelden naar alemene regels een stelling is die gemeenschappelijk is aan zowel het uitgesproken constructivisme, als de belendende percelen zoals dat van Pierre Hielen. Lees het volgende citaat, en bedenk dat de huidige cognitieve theorie, zoals samenvattend beschreven door Stellan Ohlsson in zijn (2011) Deep Learning, het leren ziet als precies de andere kant op gaand: van het algemene naar het specifieke of concrete; van de algemene regel naar het bijzondere geval. Als Stellan Ohlsson door het experiment gelijk krijgt, dan moet er een revolutie komen in het veld van de bemeoizorg met het wiskundeonderwijs.



Raymond S. Nickerson (1988). On improving thinking through instruction. In Ernst Z. Rothkopf: Review of research in education volume 15—1988-89. Washington, D.C.: American Educational Research Association. (3-58)



Raymond S. Nickerson, D. N. Perkins & E. E. Smith (1985). The teaching of thinking. Routledge. [In KB als eBook] abstract




Raymond S. Nickerson (2010). Mathematical Reasoning: Patterns, Problems, Conjectures and Proofs. Psychology Press. [niet in KB, niet in UB Leiden, ik heb het boek niet, en ik heb geen goed idee of het een belangrijke bijdrage levert, of alleen een handige compilatie van de literatuur is] info




Anouk van Eerden & Mik van Es (2014). Meten en maximaliseren van basale schrijfvaardigheid bij eerstejaarsstudenten in het hoger beroepsonderwijs Proefschrift Rijksuniversiteit Groningen. isbn 9789036767101 (pdf) 9789036767095 (boek) website bij het boek, het boek zelf als pdf


De auteurs beschrijven in paragraaf 2.1 en 2.2 hoe het schrijfonderwijs is veranderd van gericht op wat er is geschreven (product) naar hoe het schrijven wordt aangepakt (proces). Dat laatste kun je inderdaad wel als procesgericht beschrijvne — plan maken etcetera, erover praten met medestudenten, reflecteren op wat er inhoudelijk is geschreven — maar ik herken er toch vooral de pseudowetenschappelijke didactieken gebaseerd op constructivisme, situationisme, progressivism, en vooral ook misvattingen over probleemoplossen. Het werk van Newell & Simon (1972) wordt in de onderwijsgemeenschap wereldwijd volstrekt niet begrepen, maar wel op basis van dat onbegruip toegepast in de praktijk. De probleemoplosaanpak van het moderne schrijfonderwijs zie ik als analoog aan wat er in het rekenonderwijs is gebeurd: onder de verheven doelstelling van probleemoplossend schrijven/rekenen, is het netto resultaat dat leerlingen en studenten de doelen van die probleemoplossende benaderingen niet hebben kunnen realiseren, en ondertussen ook niet meer hebben leren schrijven en rekenen.

Ik zie de schrijthematiek zoals Van Eerden en Van Es deze uitwerken in hun proefschrift niet als een op zichzelf staande ongelukkige onderwijskundige ontwikkeling, maar als uiting van breed heersende opvattingen in het opnderwijsveld, opvattingen die op het eerste gezicht uit de psychologie afkomstig lijken, maar op het tweede gezicht eerder tot de categrie van de kwakzalverij behoren. De auteurs wijzen er in hoofstuk 2 inderdaad bij herhaling op dat het schrijfonderwijs in deze moderne procesgerichte opvatting het moet doen zonder funderend empirisch toetsend onderzoek. Waar heb ik dat eerder gezien?



abstract




abstract




abstract




5 mei 2014 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/wiskundig_denken.htm http://goo.gl/uVLeJ