“The basic, irreducible and essential metaphoric nature of human thinking has only an accidental, unacknowledged, and denigrated role in mathematics.”
Kaput [uitgebreidere annotatie in matheducation.htm]
Jean Lave (1988). Cognition in practice. Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge University Press.
- The book is a position statement, not a stern report on a particular line of research.
- It is the kind of research as reported by Verschaffel Greer and De Corte (2000) that makes clear to what extent the solving of typical word problems in arithmetics is situated in the loose sense of Lave.
Alan H. Schoenfeld (Ed.) (1994). Mathematical thinking and problem solving. Erlbaum. questia
- Thomas A. Romberg: classroom instruction that fosters mathematical thinking and problem solving: connections between theory and practice. p. 288: " (...) when students learn to play basketball, they are always aware that their goal is to play the game. What is being argued is that in mathematics, the "game" is to solve nonroutine problems. Basketball practice is important for skill development, learning strategies, and so forth. However, a coach would never get anyone to practice if they never played a game. Furthermore, practices are tailored to the needs of the team and the individuals. Today, in school mathematics all students practice skills, whether needed or not, spend almost no time learning strategies, and never get to play the game." This analogy is only used as an appetizer. Get appetized. Let Romberg explain the mathematical game.
C. R. Gallistel and Rochel Gelman (2005). Mathematical cognition. In K Holyoak & R. Morrison (Eds). The Cambridge handbook of thinking and reasoning. Cambridge University Press (pp 559-588) pdf
Evert W. Beth (1948). Wijsbegeerte der wiskunde. Philosophische Bibliotheek. Boek VI: De psychologische beschouwing van het wiskundig denken. (304-324). Oh, mijn boek is nog niet opengesneden . . . . Beth begint met de wiskundige significa (Brouwer, Van Eeden, Van Ginniken, Mannoury, Van Dantzig). En daarmee hebben we meteen al het gedonder in de glazen: wiskundig denken is geen simpele aangelegenheid. Niet echt iets voor het basisonderwijs, zou je kunnen vermoeden. Evert Beth studeerde eveneens psychologie, in die tijd vooral een kwestie van filosofie, naar ik aanneem. Beth benadert dat wiskundig denken als een filosofisch probleem, niet als een cognitief psychologisch onderwerp dat zich empirisch laat onderzoeken. Toch moet Beth wel op de hoogte zijn geweest van het proefschrift uit 1946 van Adriaan de Groot over het denken van de schaker, maar de psychologie van De Groot is echt een andere wereld dan die van Beth. Hij had het voor zijn herziene uitgave van 1948 mee kunnen nemen. Jammer, gemiste kans.
- Beth begon na zijn eindexamen in 1925 aan de HBS in Deventer met de studie in de farmacie. Spoedig verkoos hij de studie in de wiskunde, waarin hij in 1932 (in Utrecht) cum laude doctoraal examen deed. Na voortgezette studie in Leiden en Brussel legde hij een tweede doctoraal examen af, eveneens in Utrecht, thans in de wijsbegeerte en met hoofdvak psychologie. Intussen bereidde hij zijn proefschrift voor, waarop hij in 1935 tot doctor in de letteren en wijsbegeerte promoveerde: Rede en aanschouwing in de wiskunde. Zijn promotor was prof. J.C. Franken.
http://resources.huygens.knaw.nl/bwn/BWN/lemmata/bwn3/bwn2/beth
- Beth noemt een publicatie van Derk Jan Kruijtbosch uit 1940 die ik via Google niet kan traceren: 'De vormende waarde van het onderwijs in wiskunde', Gedenkboek uitgegeven ter gelegenheid van het 75-jarig bestaan der Gemeentelijke H.B.S. te Dordrecht. Het is aanwezig in de KB.
Of is wiskundig denken = critical thinking?
Philip C. Abrami, Robert M. Bernard, Evgueni Borokhovski, Anne Wade, Michael A. Surkes, Rana Tamim & Dai Zhang (2008). Instructional interventions affecting critical thinking skills and dispositions: A stage 1 meta-analysis. Review of Educational Research, 78, 11-2-1134. abstract
Phillip L. Ackerman, Kristy R. Bowen, Margaret E. Beier, and Ruth Kanfer (2001). Determinants of Individual Differences and Gender Differences in Knowledge. Journal of Educational Psychology, 93, 797-825. abstract
- “A third possibility is that educational curricula might shift the focus from general skills (such as critical thinking) to the development of domain knowledge. Moreover, it may be beneficial to allow for more opportunities for specialized domain learning at high school levels of education to allow students to develop greater levels of expertise that, in turn, will be beneficial for future domain learning. ”
Kevin Houston (2009). How to think like a mathematician. A companion to undergraduate mathematics. Cambridge University Press. isbn 9780521719780 frontmatter; Houston on his book
- This is not a straightforward textbook of undergraduate mathematics. It is special in that it is explicit about the mathematician's ways to go about writing mathematics, proving in mathematics, etcetera. Kind of ‘meta.’
- The author (p. ix): The aim of this book is to divulge the secrets of how a mathematician actually thinks. As I went through my mathematical career, there were many instances when I thought, ‘I wish someone had told me that earlier.’ This is a collection of such advice.
Philip J. Davis, Reuben Hersh & Elena Anne Marchisotto (1981/2003). The mathematical experience. Birkhäuser. 3rd 2003
- from the cover text: The authors of this book believe that it should be possible for these professional mathematicians to explain to non-professionals what they do, what they say they are doing, and why the world should support them at it. They also believe that mathematics should be taught to non-mathematics majors in such a way as to instill an appreciation of the power and beauty of mathematics.
- It looks like they have succeeded in that ambition. Reprints of ‘this work of philosophy’ have been supplemented with exercises
Evert Beth (1948). Wijsbegeerte der wiskunde. Philosophische Bibiotheek.
Deanna Kuhn (1991). The skills of argument. Cambridge University Press. isbn 052142349X
- This book is devoted to the examination of a non-work-related kind of real-world thinking.
Deanna Kuhn and WadiyaUdell (2003). The Development of Argument Skills. Child Development, 74, 1245-1260.pdf
Rippling: Meta-Level Guidance for Mathematical Reasoning Bundy Alan; Basin David; Hutter Dieter; Ireland Andrew; van Rijsbergen C J; Abramsky S; Aczel P H; de Bakker J W; Gurevich Y; Tucker J V, 2005 | Cambridge University Press [in KB als eBook] site preview of review by Nimish Shah
Ik heb geen idee. Het gaat om programmatuur die bewijzen genereert, ook gebruikmakend van heuristieken. Past dit in het onderzoekprogramma van Kunstmatige Intelligentie, of staat het daar helemaal los van? De boekbespreking ligt een tipje van de sluier op (de preview ervan geeft twee bladzijden).
- The new technique of rippling and its use in automated reasoning are described here. The method uses heuristics and search to help address the problem of combinatorial explosion. The book provides a unique, systematic and comprehensive introduction to this and to the wider subject of automated inductive theorem proving.
tekst van de uitgever
Where's the Wonder in Elementary Math? : Encouraging Mathematical Reasoning in the Classroom McVarish Judith, 2012 | Taylor and Francis [in KB als eBook] site
Dit boek is bepaald niet gebouwd op een fundament van onderzoek. Aan de literauurlijst te zien is het constructivisme (Paul Cobb; Lauren Resnick; Vygotsky; C. Fosnot (Ed.) (1996). Constructivism: Theory, perspectives, and practice; Carpenter (waar staat hij eigenlijk voor?); en blijmoedig optimisme.
- This book argues that even in today’s high-stakes testing environment, 'teaching to the test' need not be teachers’ only focus as they introduce young children to mathematics. Judith McVarish demonstrates how building a community of learners and using problem solving to engage students can help teachers encourage students’ disposition to creative thinking and reasoning—skills that can otherwise become lost due to the pressure of the many other expectations placed upon both teachers and students. This book offers strategies for infusing mathematics learning and reasoning into elementary school classrooms while meeting curriculum and testing mandates. The teacher researcher component of each chapter provides a vehicle for teachers to bring their own expertise and questions back into the teaching and learning equation.
verkooppraat van de uitgever
Zonder deugdelijk empirisch onderzoek is dit bluf. Of oplichting?
Mathematical and Analogical Reasoning of Young Learners English Lyn D, 2004 | Taylor and Francis Series: Studies in Mathematical Thinking and Learning Series [in KB eBook]site - besproken door Sriraman: Polya revisited: The cognitive links between mathematical and analogical reasoning
Constructivisme in NCTM-stijl. Als voorbeeld deze passage uit het inleidende hoofdstuk van Lyn English. De toon hiervan is constructivistisch. Het zou zomaar kunnen dat heel het idee dat wiskundig denken gaat van concrete voorbeelden naar alemene regels een stelling is die gemeenschappelijk is aan zowel het uitgesproken constructivisme, als de belendende percelen zoals dat van Pierre Hielen. Lees het volgende citaat, en bedenk dat de huidige cognitieve theorie, zoals samenvattend beschreven door Stellan Ohlsson in zijn (2011) Deep Learning, het leren ziet als precies de andere kant op gaand: van het algemene naar het specifieke of concrete; van de algemene regel naar het bijzondere geval. Als Stellan Ohlsson door het experiment gelijk krijgt, dan moet er een revolutie komen in het veld van de bemeoizorg met het wiskundeonderwijs.
- Current views on mathematical reasoning also highlight the formation of generalizatins, with the abstraction of ideas and relationships being paramount (e.g., NCTM, 2000; Peressini & Webb, 1999; Russell, 1999; Stiff & Curcio, 1999). Russell’s (1999) definition illustrates this perspective; namely, mathematical reasoning is “essentially about the development, justification, and use of mathematical generalizations,” which “leads to an interconnected web of mathematical knowledge within a mathematical domain” (p. 1). When students progress from considering the specific instance to the general case (i.e., reasoning baout a whole class of mathematical objects), they are considered to display effective mathematical reasoning. The identification, extension, and generalization of patterns, for example, are powerful components of inductive reasoning. Indeed, mathematics itself, is freqeuntly viewed as “the science of patterns” (Schoenfeld, 1992, p. 337), with “doing mathematics’ seen as a search for patterns.
p. 13
Raymond S. Nickerson (1988). On improving thinking through instruction. In Ernst Z. Rothkopf: Review of research in education volume 15—1988-89. Washington, D.C.: American Educational Research Association. (3-58)
Raymond S. Nickerson, D. N. Perkins & E. E. Smith (1985). The teaching of thinking. Routledge. [In KB als eBook]
- Informal Reasoning in Science Ryan D. Tweney 3
- Informal Reasoning in the Medical Profession Caryn Christensen and Arthur S. Elstein 17
- Informal Reasoning and International Relations James F. Voss 37
- Informal Reasoning in the Judicial System Jeanette A. Lawrence 59
- Everyday Reasoning and the Roots of Intelligence D. N. Perkins, Michael Farady, and Barbara Bushey 83
- Informal Reasoning in Inner-city Children Dalton Miller-Jones 107
- Contexts of Informal Reasoning: Commentary Ralph H. Johnson and J. Anthony Blair 131
- Informal Reasoning and Informal Logic Merrilee H. Salmon 153
- Beliefs about Thinking Jonathan Baron 169
- Example-Based Reasoning Edwina L. Rissland 187
- Informal Reasoning in Decision Theory Jonathan W. Leland 209
- Rhetoric and Informal Reasoning: Disentangling Some Confounded Effects in Good Reasoning and Good Writing Joseph M. Williams 225
- Intuitive Belief Systems and Informal Reasoning in Cognitive Development Frank C. Keil 247
- I Win--You Lose: The Development of Argumentative Thinking Nancy L. Stein and Christopher A. Miller 265
- Modes and Models of Informal Reasoning: A Commentary Raymond S. Nickerson 291
- On Mathematics as Sense-Making: An Informal Attack on the Unfortunate Divorce of Formal and Informal Mathematics Alan H. Schoenfeld 311
- Nonformal Reasoning in Experts and in Science Students: The Use of Analogies, Extreme Cases, and Physical Intuition John Clement 345
- Informal Reasoning in High School History Kevin O'Reilly 363
- Higher Order Thinking in the Teaching of Social Studies: Connections between Theory and Practice Fred M. Newmann 381
- Informal Reasoning and Writing Instruction Arthur N. Applebee 401
- Structured Teaching for Critical Thinking and Reasoning in Standard Subject Area Instruction Robert J. Swartz 415
- Informal Reasoning Assessment: Using Verbal Reports of Thinking to Improve Multiple-choice Test Validity Stephen P. Norris 451
- Informal Reasoning and Instruction: A Commentary Larry Cuban 473
Raymond S. Nickerson (2010). Mathematical Reasoning: Patterns, Problems, Conjectures and Proofs. Psychology Press. [niet in KB, niet in UB Leiden, ik heb het boek niet, en ik heb geen goed idee of het een belangrijke bijdrage levert, of alleen een handige compilatie van de literatuur is] info
Anouk van Eerden & Mik van Es (2014). Meten en maximaliseren van basale schrijfvaardigheid bij eerstejaarsstudenten in het hoger beroepsonderwijs Proefschrift Rijksuniversiteit Groningen. isbn 9789036767101 (pdf) 9789036767095 (boek) website bij het boek, het boek zelf als pdf
De auteurs beschrijven in paragraaf 2.1 en 2.2 hoe het schrijfonderwijs is veranderd van gericht op wat er is geschreven (product) naar hoe het schrijven wordt aangepakt (proces). Dat laatste kun je inderdaad wel als procesgericht beschrijvne — plan maken etcetera, erover praten met medestudenten, reflecteren op wat er inhoudelijk is geschreven — maar ik herken er toch vooral de pseudowetenschappelijke didactieken gebaseerd op constructivisme, situationisme, progressivism, en vooral ook misvattingen over probleemoplossen. Het werk van Newell & Simon (1972) wordt in de onderwijsgemeenschap wereldwijd volstrekt niet begrepen, maar wel op basis van dat onbegruip toegepast in de praktijk. De probleemoplosaanpak van het moderne schrijfonderwijs zie ik als analoog aan wat er in het rekenonderwijs is gebeurd: onder de verheven doelstelling van probleemoplossend schrijven/rekenen, is het netto resultaat dat leerlingen en studenten de doelen van die probleemoplossende benaderingen niet hebben kunnen realiseren, en ondertussen ook niet meer hebben leren schrijven en rekenen.
Ik zie de schrijthematiek zoals Van Eerden en Van Es deze uitwerken in hun proefschrift niet als een op zichzelf staande ongelukkige onderwijskundige ontwikkeling, maar als uiting van breed heersende opvattingen in het opnderwijsveld, opvattingen die op het eerste gezicht uit de psychologie afkomstig lijken, maar op het tweede gezicht eerder tot de categrie van de kwakzalverij behoren. De auteurs wijzen er in hoofstuk 2 inderdaad bij herhaling op dat het schrijfonderwijs in deze moderne procesgerichte opvatting het moet doen zonder funderend empirisch toetsend onderzoek. Waar heb ik dat eerder gezien?
Herbert A. Simon (1966). Thinking by computers. In Robert G. Colodny (Ed.) (1966). Mind and Cosmos. Essays in Contemporary Science and Philosophy (3-21). University of Pittsburgh Press.
Herbert A. Simon (1966). Scientific discovery and the psychology of problem solving. In Robert G. Colodny (Ed.) (1966). Mind and Cosmos. Essays in Contemporary Science and Philosophy (22-). University of Pittsburgh Press.
G. Mannoury (1930). Woord en gedachte. Een inleiding in de signifika, inzonderheid met het oog op het onderwijs in de wiskunde. Euclides. Tijdschrift voor de didactiek der exacte vakken. 7e jaargang (1930-1931), p. 1-61. pdf ]
Mannoury neemt zijn toevlucht tot een deus ex machina: de ‘mathematiese aanleg’ (o.a. blz 37 e.v.).
- Met andere woorden: het doel van de wiskunde is het denken zelf, of, gelijk de wiskunde-filosoof Brouwer het uitdrukt: het (in onze geest) maken van de ‘sprong van doel op middel’ in het algemeen.
blz. 39
Het onderscheid nu tussen de ervaren wiskundige en de beginneling is uitsluitend gelegen in hetgeen die beide ‘juist’ noemen, of liever in hetgeen door hen als ‘juist’ gevoeld wordt. En dat hangt blijkens het bovenstaande in hoofdzaak af van de bouw en de inhoud van hun beider logies onderkomplex. Waaruit onder meer volgt, dat het onbillik is, van die beginneling te verwachten, dat hij de taal van de ervaren wiskundige zal verstaan en zijn eigen gedachten in die taal zal kunnen uitdrukken. Een onbillikheid, waaraan onervaren wiskundedocenten zich maar al teveel schuldig maken!blz. 39-40
Wiskundewerk is denkwerk, en denkwerk is taalwerk.blz. 40
Hoofdstuk III Het algebraies of analyties denken. Het funksiebegrip.vanaf blz 46
Ik heb mij nimmer kunnen verenigen met de gebruikelike grootspraak van vele wiskundigen, die beweren, dat de wiskundestudie ons zoveel beter leert denken, dan gewone stervelingen dat vermogen, en ik heb daarentegen altijd meer gevoeld voor de bekende Duitse uitspraak: wo das Rechnen anfngt, hört das Denken auf, maar in één opzicht (dat echter bij die grootspraak niet bedoeld is) moet ik hen toch gelijk geven: de wiskundestudie kan ons niet tot betere, dat is: tot doelbewuster en wijzer denkers maken, maar zij kan ons wèl voorzichtiger doen zijn in onze gevolgtrekkingen en ons een heilzaam wantrouwen in de alleenzaligmakende leer van de logika inboezemen! En dàt is een onschatbaar voordeel, ook in het dageliks leven van individu en maatschappij. Zich niet gemakkelik door drogredenèn te laten meeslepen, gewaarschuwd te zijn voor de bergen van misverstand, die door een schijnbaar nietige wijziging in de interpretatie van een woord kunnen worden te voorschijn getoverd, kennis gemaakt te hebben met de velerlei uiteenlopende vormen, waarin volkomen hetzelfde verband-der-dingen kan worden uitgedrukt, dat alles zijn kostbare ervaringen ook voor wie na zijn schooljaren zijn algebra- en meetkundelier voor goed aan de wilgen hangt. Maar die kostbare ervaringen put lang niet elke leerling uit de algebrales. Integendeel, ik heb wel eens de indruk gekregen, dat menig bezitter van een fraai einddiploma van H.B.S. of gymnasium zich gemakkeliker bij onbegrepen wijsheden neerlegt, dan hij gedaan zou hebben, als hij niet zoveel jaren in het aanhoren en napraten van onbegrijpelikheden geoefend was . . . En dàn is het toch wel zonde van de tijd en de moeite, aan die oefening besteed!blz. 59-60
D. van Dantzig (1938). Vragen en schijnvragen over ruimte en tijd. Een toepassing van den wiskundigen denkvorm. Rede TH Delft annotatie
David Vaillancourt (July 15, 2016). Fermi and the Problem Solved blog and tweet
Joh. H.Wansink (1948). Wat mag het hoger onderwijs eisen, wat kan het middelbaar onderwijs geven? Congres 1948. Verslag van het zevende Nederlands congres van leraren in de wiskunde en de natuurwetenschappen, gehouden op 1 april 1948 te Amsterdam. (21-36) J. B. Wolters.
Wansink heeft het op blz. 27 over 'de knollen van de training' versus 'de citroenen van de intelligentie'.
- De stellers der [eindexamen]opgaven weten naar mijn smaak het juiste evenwicht te vinden tussen vragen die in de eerste plaats reproductie van kennis eisen (vragen die dit uitsluitend doen zijn niet frequent) en vragen, waarbij het inventief vermogen van de leerling op de voorgrond treedt.
27
Kan het wiskundeonderwijs tot de opvoeding van het denkvermogen bijdragen? Discussie tussen T.Ehrenfest-Afanassjewa en H.Freudenthal. Wiskunde Werkgroep WVO. Purmerend, Muusses, 1951
Niet in mijn bezit, nog niet gevonden. Besproken door H.Streefkerk, in Euclides 1951/52 blz. 57-59 pdf
Ton Langendorff (2015). Denken wiskundigen wel zo exact? Observaties en gesprekken. Atheneum/Polak en Van Gennep. 978025307677 Besproken in TrouwdoorHinke Hamer (2015). 'Mooi die formules, maar over het geploeter hoor je wiskundigen nooit' bespreking
Henri Poincaré (1908). Science et Méthode. Ernest Flammarion. pdf 1947 & wiki
Chap. Livre Premier-III L'invention mathématique 43-63; IV Le hasard 64-93; Livre II Le raisonnement mathématique 95-214
Twitter thread https://twitter.com/benwilbrink/status/1198527402768515072
Thread Reader: https://threadreaderapp.com/thread/1198527402768515072.html Conjecture. ‘Thinking like a mathematician’ is a concept confusing cognition of the individual (student, academic, mathematician) and the fruits of centuries of mathematical and scientific research.
Teaching students to 'think like a mathematician' is a huge waste of effort.
This quote from Whitehead (1911, p. 8) “.... mathematics .... is necessarily the foundation of exact thought as applied to natural phenomena” refers to science, not to the thinking of an individual (scientist, student).
[Alfred North Whitehead (1911). ‘An introduction to mathematics’ https://archive.org/details/introductiontoma00whitiala]
Whitehead, p. 11: "In the eye of science, the fall of an apple, the motion of a planet round a sun, and the clinging of the atmosphere to the earth are all seen as examples of the law of gravity. This possibility of disentangling the most complex evanescent circumstances into various examples of permanent laws is the controlling idea of modern thought."
Again, 'modern thought' here is not the thinking of individual scientists; it is scientific method itself, a collective achievement.
Therefore: teach math, and math only.
Instead of ‘thinking (like a mathematician)’, the clever thing to do is to learn particular achievements of science so one has not to ‘think’ about them anew.
Whitehead p. 61: "It is a profoundly erroneous truism, repeated by all copy-books and by eminent people when they are making speeches, that we should cultivate the habit of thinking of what we are doing. The precise opposite is the case. Civilization advances by extending the number of important operations which we can perform without thinking about them."
Just like driving one’s car. Amen.
Alfred North Whitehead was a great mathematician and philosopher (which does in itself nothing to protect such a top influencer from being thoroughly mistaken in matters not directly mathematical/philosophical). A great man, worked with Bertrand Russell. (Bio by Victor Lowe)
More on ‘thinking like a mathematician’, and the damage that this myth (especially promoted by the brilliant mathematician Hans Freudenthal, in Dutch Realistic Math Education RME) does to education: benwilbrink.nl/projecten/wisk…
(literature and annotations, partly in Dutch & English)
I will try to use this material in a position paper on the Dutch curriculum reform proposals #curriculum_nu, exposing the many psychologisms, especially in the math proposals. Dutch Parliament will organize hearings and round tables on the curriculum proposals, early in 2020.
Note (via Evert Beth, 1948 ‘Wijsbegeerte der wiskunde’ [Philosophy of mathematics]). Mathematical thinking: not to be confused with mathematical significa (Brouwer [intuitive math], Van Eeden, Van Ginniken, Mannoury, Van Dantzig). https://en.wikipedia.org/wiki/Gerrit_Mannoury
[in answer to Stotsky https://twitter.com/sgstotsky/status/1198658696945045504]
Can I give examples of ‘thinking like a mathematician’? (question by
@SGStotsky
, thanks Sandra). I’ll repeat my answers here, in the main thread.
That is the question, isn’t it? If ‘mathematical thinking’ exists, there should be examples. Hans Freudenthal thought he had examples of ‘mathematical thinking’ of his 6 year (or some) old grandson, so it should be possible to teach primary students to ‘think like a mathematician’.
About '70 Freudenthal got the money/opportunity to reform Dutch primary math education. He turned it around (RME), yet failed realizing his ‘mathematical thinking’ goal as he recognized at the end of his life (about '90), also recognizing kids could not do arithmetic any more.
I must give the source for the last statement. It is a letter (in Dutch) to the newspaper NRC by a math friend of Freudenthal, Van Zwet, see http://benwilbrink.nl/projecten/debat.htm#Zwet_2008
Ever since Dutch results on national (PPON) and international math tests (TIMSS, PISA) are in decline.
What could ‘mathematical thinking’ be? The first problem is with the ‘thinking’ part: thinking is an autonomous cognitive process that is not available to introspection by the ‘thinker‘ herself. There are some tricks that the researcher can use, though: https://pdfs.semanticscholar.org/dbf1/d68f76ba21cedd5806b8e2d5374c1e4c07de.pdf
Already in the 70s research was done on the ‘thinking’ of judges. What I remember: judges were not able to give their exact ‘thinking’ in coming to their verdicts (in line with the observation in the preceding tweet). Of course, they were able to present a verdict motivation.
On the psychology of this kind creative professional work, see Stellan Ohlsson (2011). ‘Deep Learning: How the Mind Overrides Experience’ Cambridge UP. Reviewed by Jared Freeman http://jaredfreeman.com/jf_pubs/Freeman_DeepLearningReview_CognitiveTechnology_2013.pdf
(building further on work by, a.o., Newell and Simon, Newell 1990).
My attempt at explanation in 1 tweet: The professional brain brims with complex knowledge, organized in very large ‘chunks‘ making it possible for the brain to juggle all that knowledge in pursuit of possible answers to new problems. The ‘chunks‘ are not open to introspection!
This is cognitive psychology as already to be found/foreshadowed in the 1946 Dutch dissertation by Adriaan D. De Groot ‘Het denken van den schaker’ http://www.dbnl.org/tekst/groo004denk01_01/ [translated 1965/2008: Thought and choice in chess
Lawyers, chess masters, mathematicians: same psychology.
Maybe it occurred to you that the judge not knowing exactly how his brain came to a particular verdict is uncannily similar to self-learning AI resulting in algorithms nobody can know.
It is therefore important for professions to be strongly disciplined.
Note on Beth. For those triggered by the above reference to Beth 1948: Beth is more elaborate on mathematical thinking in: Beth & Piaget (1966). ‘Mathematical Epistemology and Psychology’ , see https://www.springer.com/gp/book/9789027700711 for chapter previews.
Another one: Evert W. Beth (1969 2e). Moderne logica. Van Gorcum. Postuum werk, deels over dezelfde thema’s als besproken in Beth & Piaget, 1966.
A. N. Whitehead (1911/1961/1965). Wiskunde, basis van het exacte denken. Aula 226.
A. N. Whitehead [(1911). An introduction to mathematics archive.org p. 8 Whitehead (1911, 1924, p. 61)
Machiel Keestra (Red.) (2006). Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde. Uitgeverij Nieuwezijds. vrij online p. 13
Evert W. Beth & Jean Piaget (1966). Mathematical Epistemology and Psychology. Translated from the French by W. Mays. [Épistémologie mathématique et psychologie : essai sur les relations entre la logique formelle et la pensée réelle.] Dordrecht: Reidel. info/previews
contents, go to the info page to open previews of chapters
Evert W. Beth (1969 2e). Moderne logica. Van Gorcum.
Morris Kline (1980). Mathematics. The loss of certainty. Oxford University Press. isbn 0195030850, info Must read. Historical, mainly. Interesting theme: ‘mathematical thinking’ cerainly is not a homogeneous thing.
Ian Stewart (2006). Letters to a young mathematician. The art of mentoring. Basic Books. isbn 0465082319 info
Gerard Alberts (1998). Jaren van berekening. Toepassingsgerichte initiatieven in de Nederlandse wiskundebeoefening 1945-1960. Amsterdam University Press. isbn 9053563172 p. 294
A.D. de Groot en medewerlers (1968). Bewegingsmeetkunde. Verslag van een gecontroleerd innovatie-experiment. Wolters-Noordhoff. Met geijkte testjes en uitslagen. Interessante theoretische beschouwingen, o.a. over ‘algemene denk-training’ p. 94, denk-vaardigheden ook (helaas). Geen index op de inhoud.
[p. 95 Bewegingsmeetkunde]
voetnoot: Hierbij gaan wij ervan uit, dat het leren beheersen van opgaven over de mogelijkheid van constructies(test 5) op zichzelf niet niet van belang is, in tegenstelling tot het leren beheersen van de congruentiegevallen. De hogere gemiddelden op test 5 in de jaren van de bewegingsmeetkunde hebben wij, samen met enkele andere bevindingen, geïnterpreteerd als indicatie van een meer algemene aardigheid (7.1.4) - die, als zodanig, minder makkelijk ‘concreet aan te tonen’ is. algemene vaardigheden oefenen op inhouden die er op zichzelf niet toe doen, in de hoop dat die algemene vaardigheden dan inderdaad worden gevormd. De Groot denkt dat dat het geval is, al is de aanwijzing daarvoor (test 5, 20 minuten, p. 134) op zijn best schimmig te noemen.
De geciteerde passage uit 1968 geeft mijns inziens aan dat Adriaan de Groot destijds dacht langs ongeveer dezelfde lijnen als Dewey, Freudenthal, en actueel: het ontwikkelteam rekenen en wiskunde van #curriculum_nu. #wensdenken is ook een denkvaardigheid, denk ik maar zo.
Richard R. Skemp (1971). The Psychology of Learning Mathematics. A Pelican Original isbn 0140213104 The psychology is good, it is psychology of 1971 however. Remember that.
Richard R. Skemp (1971/1973). Wiskundig denken. Aula 501. geen isbn Nota Bene. Het origineel heeft twee delen, A en B. De Nederlandse vertaling is alleen van deel A, ongeveer de helft van de originele tekst. De Nederlandse titel vind ik misleidend, tenslotte gaat het boek over het leren van wiskunde, niet over wiskundig denken (whatever that might be, maar in Nederland betekent het ‘denken als een wiskundige’, toch?).
Morris Kline (1973). Why Johnny can't add. Vintage Books. isbn 0394719816 [p. 50 in Morris Kline 1973 ‘Why Johnny can’t add. The failure of the new math’] Math ≠ its logic. Absolutely! Tweeted 25-12-2019 https://twitter.com/benwilbrink/status/1209785416653651968
Jean Piaget/Part two
Beth & Piaget: General Conclusions 305-312
http://www.benwilbrink.nl/projecten/wiskundig_denken.htm
http://goo.gl/uVLeJ