Cito voorbeeld rekentoets 3F 2012 (en andere)

Annotaties door Ben Wilbrink (vraagontwerp, toetszaken) en Henk Pfaltzgraff (de wiskunde; website)

Henk’s hoekje
rekenproject thuis
Toetsvragen ontwerpen

Zie ook de annotaties bij de toets 2F cito_voorbeeldtoets_2F.htm

Beste leerlingen: dit is geen pagina met oefenmateriaal voor jullie rekentoetsen. De inhoud van deze pagina levert wel de nodige humor op, over de rekentoetsvragen die jullie nu als voorbeeld- en oefenmateriaal via het Cito zijn gegeven. Ik wil best een paar adviezen geven voor het voorbereiden en afleggen van je rekentoets:

1. zorg dat je rekenvaardigheid OP KLADPAPIER op peil is
2. berekeningen die op papier te tijdrovend zijn doe je gewoon met de rekenmachine
3. lees nauwkeurig (maar ook weer niet TE nauwkeurig) want er zitten strikvragen in deze toetsen
4. zorg dat je goed uitgerust bent
5. maak zoveel mogelijk netjes aantekeningen op kladpapier, zet daar je naam op, lever dat na afloop in tegen een ontvangstbewijs. Zeg erbij dat je verwacht dat jouw kladpapier zorgvuldig wordt bewaard, wat ook de andersluidende instructies van het CvE mogen zijn. Het is JOUW kladpapier, en JOUW bewijsmateriaal wanneer het straks nodig mocht zijn om in beroep te gaan tegen de examenuitslag.
6. maak direct na afloop aantekeningen over idiote vragen die je bent tegengekomen, en meld die bij het LAKS
7. er zal (juridische) strijd worden gevoerd om de geheimhouding van de vragen die onderdeel van jouw examen zijn, te doorbreken
8. er zijn een aantal eigenaardigheden in deze rekentoetsen die telkens terugkomen; laat je leraar jou en je medeleerlingen daar goed op voorbereiden; dat is teaching to the test, maar nood breekt wet.

Deze webpagina blijkt zeer druk te worden bezocht, althans gegoogeld. Ik zal daarom mijn best doen meer vragen van deze voorbeeldtoets en van de voorbeeldtoets van 2013 van een kritische analyse te voorzien. Dat is best tijdrovend, ik kan mij er dus nog wel enige tijd mee vermaken. Ondertussen heeft het Cito dus nieuwe voorbeeldtoetsen 2013 vrijgegeven. Een aantal van de vragen uit de rekentoets-3F 2013 zijn aan de orde gesteld op twitter door @KdenHeijer en anderen; wie niet twittert: treur niet, in de bijlagen bij mijn brief aan de onderwijscommissie van de Tweede Kamer http://goo.gl/fJuBpV geef ik de links voor de discussie bij ieder van deze ‘reken’ vragen (zoals Karin ze noemt).

Zie ook mijn brief aan de onderwijscommissie van de Tweede Kamer http://goo.gl/fJuBpV, waarin ik kort puntsgewijs vijftien mogelijke redenen geef waarom de pilots van de rekentoetsen ook in 2013 weer zulke hoge percentages ONvoldoendes hebben opgeleverd. Ieder van die 15 mogelijke oorzaken heeft er mee te maken, de een iets meer dan de ander, en dat maakt de problematiek behoorlijk onhandelbaar. Zoals met gordiaanse knopen te doen gebruikelijk: doorhakken die knoop, rekentoetsen afblazen, integraal rekenbeleid in VO en MBO op poten zetten, ondertussen het rekenonderwijs in het PO redden — want natuurlijk moet rekenen in het PO geleerd zijn, en in het VO onderhouden.

Wie het nieuws heeft gemist: de woordvoerders in de Tweede Kamer (Algemeen Overleg 8 oktober en 7 november) zijn verbijsterd over de referentieniveaus (die ze helaas in 2010 zelf in de wet hebben verankerd), het realistisch rekenen, het concept van deze rekentoetsen bij eindexamens, en de inhoud van die rekentoetsen. De verbijstering is omgezet in het initiatief voor een hoorzitting over een en ander, waarschijnlijk begin december. Ook de staatssecretaris gaat aan tafel met diverse belangengroepen, waaronder expliciet genoemd de afnemende opleidingen (bv. het HO). Er is dus nog hoop voor Nederland :-)

voorbeeldrekentoetsen 2F 3F + antwoorden 2015

https://www.examenblad.nl/onderwerp/rekentoets-vo/2016 Cito voorbeeldtoets 2015

Cito webpagina voorbeeldtoetsen

Cito webpagina antwoordenanalyse 2F en 3F

Voorbeeldtoets 2F 2012

Voorbeeldtoets 3F 2012
Voorbeeldtoets_2F 2013
Voorbeeldtoets_2F 2013 Foutenanalyse
Voorbeeldtoets_3F 2013
Voorbeeldtoets_3F 2013 Foutenanalyse
antwoorden voorbeeldrekentoetsen
omzettingstabellen voorbeeldrekentoetsen

https://www.engageny.org/resource/new-york-state-common-core-sample-questions. Dit is even iets heel anders, of toh niet? Toetsitems uit de Common Core toetsen afgenomen in New York 1914. Engels en wiskunde (zeg maar: rekneen).

College voor Examens (maart 2012). Implementatie referentieniveaus taal en rekenen in eindexamen vo. pdf

Kamerbrief 5 november 2013

Ben Wilbrink (oktober 2013). Rekentoetsen-F: vooral veel onvoldoendes, maar waarom eigenlijk? Notitie gezonden aan de onderwijscommissie van de Tweede Kamer. Ook geplaatst op mijn website, met enkele aanvullingen op de tekst, en met de discussies op deze thematiek op Twitter: webpagina

Ben Wilbrink (november 2013). Rekentoetsen en de wetgever - een parlementair ongeval. Een opstel. webpagina

• Zie ook Bea Ros (4 november 2011). Rekentoets onder vuur op de website van Didactief link. Zij citeert hierin René Kneyber, en uit deze webpagina. Niet verbazingwekkend: onderdeel van het Didactief-dossier Cito

Ben Wilbrink, Joost Hulshof & Henk Pfaltzgraff (2012). Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk. 8 #3, 18-22. link

• Dit artikel geeft een aantal (testpsychologische) analyses over de validiteit van de rekentoets-3F, wat zeg ik: over het ontbreken van validiteit.
• Samen met de direct hierbeneden vermelde commentaar en conclusies van Jan van de Craats op de voorbeeldrekentoets-3F van 2013 geeft dit een redelijk volledig beeld van wat de problemen met de rekentoets zelf zijn.

Bij de hand houden: Staatsblad 2010 265 Besluit van 17 juni 2010, houdende vaststelling van referentieniveaus Nederlandse taal en referentieniveaus rekenen (Besluit referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen) stb-2010-265.html.
Vaststelling van regels over referentieniveaus voor de taal- en rekenvaardigheden van leerlingen (Wet referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen) Memorie van toelichting 32290 nr 3

Deze laatste passage geeft aan dat bij de bewindspersonen geen haar op hun hoofden eraan denkt dat er mogelijk een probleem is met deze heersende rekendidactiek, gebaseerd op het gedachtengoed van het realistisch rekenen. En al evenzeer: dat met het in wetgevrsbeton gieten van deze referentieniveaus in feite een bijzondere rekendidactiek aan het onderwijs wordt voorgeschreven.

Heel dit stuk ademt een sfeer van procedure- en wensdenken, losgekoppeld van empirie, en van een sterk geloof in de mogelijkheid van ‘objectieve en valide toetsen’ die mij schrik aanjaagt. Hoe is dit mogelijk? Ik geef ter illustratie aan de — nu gewaarschuwde — lezer de volgende passage (blz. 12):

Lees en passant in de laatste passage dat de rekentoetsen VO verondersteld worden aansluiting te geven op het HO. Wat de anno 2013 voorliggende voorbeeldrekentoetsen evident niet doen.

Een website met een lange reeks links naar rekenrelevante publicaties etc. http://project-focus.gw.utwente.nl/?page_id=54

Het is mij langzamerhand een raadsel wat we aan rekentoetsopgaven mogen verwachten voor de rekentoetsen bij de examens. Niet alleen zijn er de raadselachtige referentieniveaus rekenen zelf, maar ook zijn er nu diverse voorbeeldrekentoetsen in omloop, waarvan de hierboven genoemde de meest recente zijn. Eerdere voorbeeldrekentoetsen:

De minister heeft op 8 juni een brief aan de Tweede Kamer gestuurd, betreffende Pilots rekentoets in vo en examens taal en rekenen mbo, en wel de eerste resultaten die daarvan binnen zijn: dat was voor de minister wel even slikken. Die resultaten zijn helaas alleen gemiddelde cijfers en percentages onvoldoende, en bijvoorbeeld geen antwoord op de vraag waar die cijferschaal dan op gebaseerd mag zijn. Dat er nog geen gedetailleerde analyse is van de resultaten per afzonderlijke vraag, dat is wel te begrijpen. Maar gezien de enorme kwaliteitsproblemen zoals hierbeneden aangetoond voor de voorbeeldrekentoets 3F, is die analyse van de fouten per vraag van groot belang om te komen tot een kritische analyse van de rekenopvattingen die achter de referentieniveaus rekenen en achter de Cito/CvE-interpretatie daarvan zitten.

Ik heb al wel de beschikking over een pdf van de brief, maar heb nog niet uitgevonden waar op het internet deze brief nu al te downloaden is. De komende dagen zal deze zeker op het steunpunt vo beschikbaar komen, en bij de kamerstukken (waarvoor ik iedere keer weer opnieuw moet uitzoeken hoe die ook alweer zijn te vinden).

Achter deze treurige resultaten zit een complex van uiteenlopende oorzaken, waarvan de meest eenvoudige is dat deze pilots geen serieuze examenonderdelen waren en de leerlingen er niet goed op waren voorbereid. NB: het gaat wel om leerlingen in de eindexamenklassen! Een belangrijke reden die ik maar als stelling poneer: het Cito en het CvE zijn er impliciet van uitgegaan (modo psychometrico) dat toetsen moeten differentiëren tussen leerlingen, in plaats van moeten vaststellen of leerlingen een redelijke standaard hebben bereikt. Een andere belangrijke reden is de bedroevende kwaliteit van de rekentoetsopgaven, als deze inderdaad vergelijkbaar zijn met die in de vrijgegeven voorbeeldrekentoetsen. De hoofdoorzaak evenwel ligt in de geloofsartikelen over het rekenonderwijs zoals die onder invloed van de Freudenthal-groep hun weg hebben gevonden in de kerndoelen rekenen voor het basisonderwijs, en in de referentieniveaus rekenen. Die laatste zijn tijdens de kamerbehandeling van de Wet op de referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen, door minister van onderwijs Rouvoet gedefinieerd als nadere uitwerkingen van die kerndoelen. Dat laatste had de werkgroep-Van Streun waarschijnlijk niet kunnen vermoeden — het ging immers om ‘doorlopende leerlijnen’ — zoals de commissie-Meijerink ook niet had kunnen vermoeden dat de referentieniveaus op deze onverantwoorde wijze de directe grondslag zouden vormen voor nieuwe onderdelen bij de examens in het VO. Een laatste belangrijke reden voor de treurige resultaten van de pilots is dan ook gelegen in het ongelukkige proces waarbij de ene noodgreep op de andere werd gestapeld, met dit als resultaat. Het einde van deze lijdensweg is nog niet in zicht.

Neem bijvoorbeeld de uitslag voor de rekentoets 3F in het vwo: redelijkerwijs mag toch van deze vwo-leerlingen worden verwacht dat ze de meeste rekentoetsopgaven wel doorzien, ook al zijn ze klunzig, dubbelzinnig en misleidend ontworpen. Ook kunnen ze de rekenmachine wel bedienen, zou je denken. Dat desondanks het gemiddelde uitkomt op 6,7 is verbazingwekkend: het had een negen moeten zijn. Voor een behoorlijke rekentoets op dit eenvoudige niveau 3F, dus zonder gekke contexten en zonder rekenmachine, mag toch een gemiddelde score boven de 8 worden verwacht. Voor een harde rekentoets op niveau 3S is een gemiddelde tussen 7 en 8, rekening houdend met de treurige rekenvaardigheid waarmee deze leerlingen aan hun vwo-traject begonnen, alleszins redelijk.

Sterker nog: als de gemiddelde vwo-er niet boven de acht scoort op een rekentoets 3F, dan ziet het er voor de havisten beroerd uit: dan zullen heel veel havisten een herkansing moeten benutten, en daarvan zal een aanzienlijk deel zakken voor de rekentoets. Onder het uiteindelijke regime van de kernvakkenregel staat zakken op de rekentoets al snel gelijk aan zakken voor het eindexamen nog voordat de kandidaten eraan zijn begonnen. Dat lijkt absurd en dus ondenkbaar, maar op dit moment is het nog het scenario waar OCW van uitgaat: dan maar staatsexamen doen (WiskundeE-brief # ???).

Deze voorbeeldtoetsen vragen erom kritisch te worden besproken. Er zijn meerdere redenen om deze oefening te doen. Een daarvan heeft te maken met de mededeling dat de pilottoetsen zelf geheim blijven. Dat is een omineus teken: ik verwacht dat het beleid van het Cito zal zijn, ongetwijfeld met toestemming van het CvE, om straks ook de ‘echte’ rekentoetsen geheim te houden. Dat geheimhouden is een ernstige inbreuk op de rechten van examendeelnemers om hun examenwerk te mogen inzien. Des te ernstiger onder het nu voorziene regiem dat er maar één herkansingsgelegenheid is, en als die faalt er een stevige kans bestaat dat de kandidaat voor heel het examen zakt. Met andere woorden: voor een serieuze voorbereiding op een noodzakelijke herkansing is het absoluut noodzakelijk dat de kandidaat een zorgvuldige studie kan maken van waar het fout, en waar het goed is gegaan op de eerste toets.

Wanneer nu deze pilottoetsen duidelijk maken dat er ernstige kwaliteitsproblemen aan tenminste enkele rekentoetsopgaven (het woord rekenopgaven durf ik niet te gebruiken) zijn, is dat een aanwijzing dat een politiek van geheimhouding inderdaad op ernstige bezwaren stuit.

De reden van het Cito om voor geheimhouding te kiezen is uiteraard dat zij deze rekentoetsen digitaal willen afnemen, en op meerdere momenten per jaar daar de gelegenheid voor willen bieden. Dan gaat het om afweging van practische belangen tegen rechtszekerheid voor leerlingen. Een en ander klemt des te meer omdat leerlingen op alleen de rekentoets kunnen zakken voor HEEL het examen (nog niet bij de eerste keer dat rekentoetsen deel uit gaan maken van de eindexamens, maar ik ken deze ingewikkelde regeling niet uit mijn hoofd).

Ik zal zelf naar de rekentoetsopgaven kijken vanuit ontwerptechnische hoek. Gezien ervaringen met de voorbeeldtoetsen van de commissie-Schmidt, evenals met de rekenopgaven in de Cito Eindtoets Basisonderwijs, moeten we aannemen dat er ook wiskundig gezien wel eens vreemde zaken in deze voorbeeldtoetsen voor kunnen komen. Graag vanuit wiskundige hoek ook serieuze aandacht voor deze opgavensets.

Instructie

raden

Er wordt wel meegedeeld dat sommige vragen meerkeuzevragen zijn, maar niet of je meerkeuzevragen onbeantwoord mag laten als je het antwoord niet weet. Waarschijnlijk dwingt Examentester de leerling om te raden. Dit gedwongen raden is een omstreden kwestie, die ook in de reguliere centraalschriftelijke eindexamens niet goed is opgepakt.

meerkeuzevragen

De opdracht is om bij meerkeuzevragen het juiste antwoord aan te klikken. De leerling mag er dus op rekenen dat er maar één juist antwoord is, en dat de andere alternatieven onjuiste antwoorden zijn. Dus geen gradaties in de zin van een ‘beste’ alternatief tegenover ‘minder goede’ alternatieven. Dit maakt bijvoorbeeld uit voor de antwoordstrategie: zodra een antwoord is gevonden dat juist is, is het niet meer nodig om de andere alternatieven nog te bestuderen. Voor mij is het dan telkens de vraag of de concrete rekentoetsopgave voldoet aan dit model: naast het als juist bedoelde alternatief mogen er dus geen alternatieven zijn die volgens een heldere gedachtengang ook juist zijn.

intypen van getallen

Bij een toets met een zo hoge inzet als deze rekentoets, mag het niet zo zijn dat het gebruiken van een punt in een groot getal, leidt tot verwerpen van het antwoord. Ik hoop dan ook dat Examentester zo is geprogrammeerd dat de leerling in een dergelijk geval erop wordt gewezen dat het gebruik van een punt niet is toegestaan. Ook dan is dit een hoogst verwarrende kwestie: deze flauwekul mag in deze rekentoets gewoon niet voorkomen. Hetzelfde geldt voor het minteken bij negatieve getallen: wanneer er een spatie na het minteken wordt getikt, moet dan gewoon goed zijn. antwoord verbeteren

Het is een hele sterke beperking van de bewegingsruimte van de leerling door deze de mogelijkheid te ontnemen om achteraf nog eens terug te keren naar een gemaakte som. Nu is het mogelijk het geval dat onderzoek uitwijst dat achteraf nog veranderen van antwoorden vaker wel dan niet leidt tot verslechtering; het Cito zou dat aan kunnen grijpen als toelichting.

Ik mag toch hopen dat Examentester het toestaat om een vraag in eerste aanleg onbeantwoord te laten, om er later naar terug te kunnen keren. Als deze mogelijkheid er niet is, dan diskwalificeer ik Examentester. Ik ben benieuwd. Uit de toelichting bij de voorbeeldrekentoets begrijp ik evenwel dat terugkeren naar een vorige opgave niet mogelijk is, dus ook niet in het geval deze nog niet is beantwoord. Is het dan dus ook mogelijk om per abuis door te gaan naar een volgende vraag nog zonder dat een antwoord is gegeven?

De wiskunde

Henk Pfaltzgraff heeft in het bijzonder de wiskundige kant van de (eerste 24) rekentoetsopgaven bekeken (haal daarvoor het volgende bestand op: pdf), zoals hij dat eerder (pdf van die annotaties) ook voor de voorbeeldrekentoets 3F van de commissie-Schmidt (pdf van die toets) heeft gedaan.

De opgaven

Bij het analyseren van het ontwerp van deze rekentoetsopgaven blijkt dat er wel heel erg veel problemen zijn, dat iedere volgende vraag weer nieuwe problemen laat zien, en dat het dus niet doenlijk is alle zestig vragen op deze manier te behandelen. Ook de wiskunde levert vele problemen, zodat ook hier er enorm veel werk aan de winkel is.

Natuurlijk zijn er wel problemen die herhaaldelijk terugkomen, en dus niet telkens opnieuw uitgewerkt hoeven te worden, zoals het overbodig en onjuist gebruik van afbeeldingen. Dat schiet dan op, misschien kan ik over de zestig vragen bij elkaar turven hoe vaak is gezondigd.

Er zijn heel veel opmerkingen over het Nederlands. Dat zijn vaak wat flauwe opmerkingen, en die zouden inderdaad van weinig belang zijn, ware het niet dat de gebreken zo talrijk zijn. Het moet echt niet kunnen dat een landelijke toets voor gebruik als onderdeel van een eindexamen zo is gezondigd tegen het Nederlands. Het maakt de vragen op zijn minst minder prettig leesbaar (zorgt voor onnodige mentale belasting), en voor leerlingen met Nederlans als tweede taal mag worden gevreesd voor de leesbaarheid zelf.

Heel deze webpagina is overigens een voorbereiding op het schrijven van een artikel met een kritische analyse van toetsen zoals deze voorbeeldrekentoets 3F als beoogd onderdeel van eindexamens. Henk Pfaltzgraff, Joost Hulshof en Ben Wilbrink bereiden dit artikel voor. We mikken op een afronding van het concept op heel korte termijn (eind juni) en publicatie in september. [Dat laatste is gelukt: publicatie in Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk. Tekst: zie hier]

Bij de eerste vraag uit de voorbeeldekentoets-3F komen al zo veel gebreken en blunders aan de orde, dat een analyse van alleen deze vraag al volstaat om duidelijk te maken wat de problemen met deze rekentoets-3F zijn. Het is de bedoeling om de analyse van deze vraag 1 uit te werken tot een artikel voor Euclides, het huisblad van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren: zie hier de voorbereidende tekst.

Hoe gek kun je het bedenken. Is dit het idee van het CvE om leuk te zijn? ‘Realistisch’ is het in ieder geval niet, het is immers bepaald geen alledaagse gebeurtenis. Dergelijke tenenkrommende flauwekul hoort niet in examenwerk thuis.

De afbeelding: die is volstrekt overbodig; ik heb hem hier dan ook niet overgenomen (zie de pdf van deze voorbeeldrekentoets). Er moeten hoge straffen worden gesteld op het lukraak smijten met afbeeldingen in welke toetsen dan ook, maar zeker in rekentoetsen die onderdeel van examens zijn. Het probleem met overbodige afbeeldingen is dat ze leerlingen op het verkeerde been zetten: zij moeten er immers vanuit gaan dat die afbeelding er niet voor niets staat, zullen de informatie in zich opnemen, en verrast worden door het niet vinden van informatie die nodig is om de vraag te beantwoorden. Dat maakt onzeker. Vandaar mijn voorstel: tien stokslagen voor iedere overtreding.

Inez E. Berends & Ernest C.D.M. van Lieshout (2009). The effect of illustrations in arithmetic problem-solving: Effects of increased cognitive load. Learning and Instruction 19 (2009) 345-353. pdf

De taal: daar deugt niet veel van.

1. ‘Dit’ — dit lotnummer — verwijst terug, maar er is helemaal geen voorafgaande tekst. De leerling moet maar begrijpen dat de er naast staande afbeelding wordt bedoeld, maar dat is een afbeelding van een lot, niet van een lotnummer.
2. Waar valt die hoofdprijs op: kennelijk niet op het afgebeelde lot, want dat is maar ¹⁄₅e lot. Hier wordt verwarring gezaaid, en dat heeft niets met rekenen, en alles met slordig ontwerpen van rekenopgaven te maken.
3. Hoe moet 2½ worden geschreven: tweeënhalf, niet ‘twee en een half’. Wat ook mag: tweeëneenhalf. [bron: Van Dale Spelling 2005; Stijlboek NRC Handelsblad 2000] Dit is niet onbelangrijk, want wat is nu het bedrag van de hoofdprijs: 2.500.000, of 500.002 euro? Waarom zou het niet 500.002 euro zijn: in de vraag zelf duikt immers ook nog een klein bedragje extra op.
4. Oké, er is dus een hoofdprijs van 2,5 miljoen, en nog een ‘kleinere’ prijs van 250 euro. Ik weet niet waaraan de ontwerpers van deze vraag allemaal hebben zitten denken, maar 250 is niet ‘kleiner’ dan die 2,5 miljoen, maar echt heel, heel veel kleiner dan die 2,5 miljoen. Hier wordt leerlingen een rad voor ogen gedraaid.
5. ‘¹⁄₅ lot’ schrijven we als ‘¹⁄₅e lot’. Schrijven we voor NRC Handelsblad, dan is het ‘eenvijfde lot’, en als het in cijfers moet, dan liever ‘0,2’ schrijven dan ‘¹⁄₅e’ [Stijlboek NRC Handelsblad lemma breuken] Maar in het geval van ¹⁄₅e loten ziet 0,2 er onnatuurlijk uit.
6. Het Stijlboek van De Volkskrant heeft een uitvoerig lemma over cijfers. Dat is best interessant. Een niet onbelangrijk punt is dat geldbedragen in cijfers worden geschreven wanneer een exact bedrag is bedoeld, en in tekst wanneer het om een orde van grootte gaat. De bewuste volkskrantlezer zou in deze vraag 1) dus lezen: er is een hoofdprijs van tweeënhalf miljoen op mijn lot gevallen, en nog een piepklein prijsje van 250 euro: ik krijg dus tweeënhalf miljoen euro uitgekeerd (die 250 euro is in het uit te keren bedrag niet terug te vinden).
7. Nogmaals: als met de hoofdprijs een bedrag van exact 2,5 miljoen euro is bedoeld, moet ‘2,5 miljoen’ worden geschreven.
8. En bovendien: na al het voorgaande is het duidelijk dat de ontwerper van deze vraag er een potje van heeft gemaakt door de ene keer een bedrag voluit te schrijven, en de andere keer in cijfers. Nu zal geen enkele leerling hierbij de vinger opsteken en protesteren, maar deze slordigheid zorgt er wel voor dat de tekst lastiger is te lezen en te interpreteren.
9. Het probleem is dat in lappen tekst zoals bij deze opgave, de regels van het algemeen Nederlands spraakgebruik (ANS) moeten worden gevolgd. Gaat het om zuiver rekenen zonder context-flauwekul dan volgen we de bestaande conventies zoals door wiskundigen gebruikt.
10. Er zijn twee prijzen gevallen op dit lotnummer. Het is niet nodig om te vermelden dat de ene prijs een hoofdprijs is, en de andere prijs een heel veel kleinere prijs. Omdat deze vraag toch al veel tekst gebruikt, is het beter om hier Spartaans te zijn.
11. Dan is op wonderlijke wijze in de tweede zin sprake van ‘de winnaar’? Wie is dat dan? Als het lot inderdaad verdeeld is over meerdere personen, zijn er evenzovele winnaars. Kennelijk wordt hier de eigenaar van het ¹⁄₅e lot bedoeld, formuleer dat dan ook zo en laat leerlingen niet raden naar de betekenis van de zin. Leerlingen met Nederlands als tweede taal moeten hier kruisdol van worden. Er is immers een tegenspraak in de uitdrukking: ‘krijgt de winnaar ¹⁄₅ deel van de prijs’. Natuurlijk niet: ‘de’ winnaar krijgt de prijs, niet een deel van de prijs. De eigenaar van ¹⁄₅e van een winnend lot, krijgt ¹⁄₅e van de prijs.
12. In de vraag komt ‘de winnaar’ terug. De eigenaar van het ¹⁄₅e lot?

Waarom krijgt de leerling voor deze opgave de beschikking over een rekenmachine?

Is dit (kerndoel) hoofdrekenen?

2)

Deze vraag mist het noodzakelijke gegeven van de prijs per m². De ontwerper heeft dat probleem opgelost door een zoekplaatje toe te voegen. Dit is een oneigenlijke manier om een overbodige afbeelding bij een rekenopgave toch een functie te geven. De straf blijft: tien stokslagen voor een overbodige afbeelding bij een rekentoetsopgave.

Een zoekplaatje: wat heeft deze afbeelding met rekenen te maken? Als tijdens het afleggen van de rekentoets een bouwbedrijf in het straatje naast de examenzaal met een drilboor aan de gang gaat, wordt er snel een einde gemaakt aan deze verstoring van de concentratie van de leerlingen. In dezelfde lijn van verstoring liggen afbeeldingen zoals deze, met veel irrelevante informatie waarvan leerlingen nooit helemaal zeker zijn of deze informatie misschien toch van belang is. Dit tast de validiteit van de rekentoets aan.

Misschien helpt deze meta-cognitieve opmerking: de ontwerper van toetsvragen doet er goed aan om te denken vanuit de leerlingen die onder examencondities met deze vragen in de slag moeten. Dat is een totaal andere benadering dan die van de abstracte analyse van item-statistieken na proefafnames van de ontworpen toetsvragen.

Eveneens van belang is aandacht voor wat de flessenhals in de hersenen van de leerling aan kan, respectievelijk te verwerken krijgt: het werkgeheugen. Daar kunnen maar een klein aantal gegevens tegelijk in aanwezig zijn, zeven plus of min twee is een goede benadering. Laat leerlingen dus nooit goochelen met meer gegevens dan het werkgeheugen aankan.

• George A. Miller (1956). The magical number seven, plus or minus two: Some limits on our capacity for processing information. Psychological Review, 63, 81-97. html
• Alan Baddeley (1994). The Magical Number Seven: Still Magic after all these Years? Psychological Review, 101, 353-356. pdf
• George A. Miller, Eugene Galanter & Karl H. Pribram (1960). Plans and the structure of behavior. Holt, Rinehart and Winston. archive.org

Deze parketvraag is knap ingewikkeld, als ik het goed zie. Er zal nog meer gelegenheid zijn bij deze voorbeeldrekentoets om in te gaan op de complexiteit van de rekenvragen. Let nu even op het rijtje zaken waar de leerling mee aan de slag moet:

1. de realisatie dat de afmetingen van de kamers de vloeren betreffen,
2. de afmetingen van twee kamervloeren,
   1. 5,20
   2. 6,50
   3. 3,20
   4. 4,60
3. de oppervlakten daarvan (nog te berekenen),
4. die oppervlakten opgeteld,
5. dat vertaald naar benodigd aantal m² parket,
6. daar een marge bovenop van 5%,
7. de prijs van parket per m²,
8. irrelevante informatie in de afbeelding (de normale prijs van dit parket, twee soorten parket, echt parket) ,
9. de vraag wat parket eigenlijk is,
10. wie is Patrick,
11. eindsom: aantal m² parket maal de prijs per m²,
12. dan de vraag over wat iemand anders moet betalen in plaats van jijzelf (een ander standpunt innemen dan dat van jezelf),
13. de beslissing om gebruik te maken van de rekenmachine of niet,
14. de afleiding van het uitvoeren van berekeningen op de rekenmachine (of op kladpapier).

Aan de lezer de vraag: wat zou George A. Miller hiervan vinden?

Aan de wiskundige lezer de vraag: hoeveel van deze aandachtspunten zijn typische rekenaandachtspunten?

Slotvraag: kan dit een valide rekentoetsvraag zijn?

Ook Henk Pfaltzgraff werd het even teveel: hij gebruikt als parketprijs 44,96 i.p.v. 44,95. Een leerling moet dus ook wel tig keer controleren of zijn getallen kloppen.

Twee kamers: Waarom kiest de ontwerper voor twee kamers in plaats van gewoon een enkele kamer? Door die tweede kamer erbij te nemen wordt de vraag een stuk lastiger te beantwoorden, maar levert hij nauwelijks meer informatie op over de rekenvaardigheid van de leerling. Waarom niet gewoon twee vragen over het berekenen van oppervlakten gesteld? Is de achterliggende gedachte hier dat de rekentoets moet onderscheiden tussen de slimmere en de minder slimme leerlingen, ook al zijn ze overigens even rekenvaardig?

Bedoeling van de wetgever: de wetgever heeft niet bedoeld dat rekentoetsen onderscheid maken tussen slimme en minder slimme leerlingen. De rekentoetsen moeten in absolute zin toetsen of leerlingen rekenvaardig zijn op het niveau 3F (in het geval van de rekentoets 3F). Deze vraag met twee te berekenen oppervlakken in plaats van een, lijkt niet geheel in overeenstemming met de bedoeling van de wetgever. Hopelijk heeft het Cito/CvE hier een goed antwoord op.

De taal: Patrick legt parket dat hij nog moet betalen. Heeft hij krediet gekregen van de leverancier? Neemt hij extra parket nadat hij heeft ontdekt dat hij iets tekort is gekomen? Als kort opstel deugt deze vraag voor geen m², als ik dat zo mag zeggen. Laat Jacob van Dijk en Jasper van Dijk, indieners in 2010 van de motie om taalverzorging bij eindexamenwerk mee te beoordelen, het maar niet lezen. Maar als deze tekst slecht Nederlands is, dan zijn er waarschijnlijk leerlingen die door de ongelukkige tekst op het verkeerde been worden gezet.

Eerst maar een obligate opmerking: de foto die erbij is geplaatst, is overbodig. Stokslagen: 10.

De informatie over meneer Bolt lijkt leuk en aardig, maar dit is een examen, geen les (en ook in materiaal voor de rekenles hoort deze afleiding niet thuis). Volstrekt ten onrechte om schaarse leestijd kwijt te spelen met deze overbodigheid. Hier eveneens 10 stokslagen.

Het gegeven moet zijn: ‘Een atleet liep de 100 meter in 9,58 seconden.’

Deze vraag is ontworpen op het gebruik van de rekenmachine. Waar moet die rekenmachine dan zo nodig voor worden gebruikt: om een staartdeling overbodig te maken. Is dat de rol die de rekenmachine in het rekenonderwijs moet hebben? De vraag stellen is hem beantwoorden.

De staartdeling waar het om gaat: 3600 : 9,58.

Moet die staartdeling dan zo nodig ook worden uitgerekend? Volgens de ontwerper van deze vraag wel, maar een andere benadering, zoals bijvoorbeeld door Joost Hulshof naar voren gebracht op de expert-meeting van de commissie-Schmidt in april 2010, is om de leerling te vragen hoe deze vraag kan worden aangepakt, zonder de leerling de berekening zelf ook te laten uitvoeren. Ha, geen rekenmachine nodig! Zo’n deling intikken op een rekenmachine, dat zal iedereen nog wel lukken, maar heeft niets met rekenvaardigheid te maken.

Het is trouwens een irritante staartdeling, die afgerond 384, excuus, 376 oplevert. Maal 100 (meter), omzetten naar Km.

Mijns inziens mag op niveau 3F toch wel worden verwacht dat leerlingen een staartdeling in tenminste 50% van de gevallen correct kunnen uitvoeren, dus waarom niet rechtstreeks gevraagd een aantal staartdelingen uit te voeren? Maar goed, ik hoor hier graag het oordeel van leraren over. En anders zal ik nog eens die referentieniveaus moeten proberen te doorgronden.

Bij contextopgaven (redactiesommen, word problems) vraag ik me toch altijd al af wat ze precies met rekenen te maken hebben. In het geval van het begrip ‘snelheid’ zitten we evident in het gebied van een zaakvak: natuurkunde. Waarom hoort een natuurkundevraag thuis in een rekentoets 3F?

Waarom is het van belang om voor deze sprint de snelheid in km/uur te weten? Het is toch een onzinnig idee om als counterfactual de duur van deze sprint te verlengen tot een uur? Natuurlijk, je kunt zoiets uitrekenen. Maar is het een context voor ‘functioneel rekenen’ zoals dat zo deftig heet in de referentieniveaus van Meijerink?

Foutje. Ik had wel gezien dat Henk Pfaltzgraff een andere rekenuitkomst had. Ik heb de staartdeling nog een keer gemaakt; ik blijk een klassieke automatiseringsfout te hebben gemaakt: 8×9 = 64. ‘Klassiek’: ons geheugen werkt niet als een computer, en geeft niet gegarandeerd altijd bij 8×9 de juiste uitkomst 72 (zie onderzoek van Lebiere, in de groep van John Anderson).

4)

Ha, hier hebben we het pièce de résistance van de grafieken in het rekenonderwijs. Zie ook wat Turkstra er meer dan een halve eeuw geleden over zei (maar dat was in een situatie waarin in het rekenonderwijs zelf het interpreteren van grafieken niet aan de orde was).

Eerst maar eens de afbeelding op me in laten werken. Veel te ingewikkeld: teveel schaalwaarden; idiote, want niet functionele, plaatjes van telefoons erin; niet exact afleesbare waarden van de grafieken (terwijl toch echt om een exact aantal en niet om een geschat aantal wordt gevraagd). Dubbelzinnige titel van de grafiek: waar zijn die percentages dan over genomen? Zijn er in totaal maar 4 merken/typen telefoons? Of vijf? In plaats van honderden? De grafiek is niet een grafiek van de best verkochte telefoons, maar van de verkoopcijfers van de best verkochte telefoons. Er komt een verdwaald label ‘jaren’ in voor. Afbeelding Afgekeurd.

Dan de stam van de vraag. Het komt vreemd over dat in het gegeven er sprake is van rode telefoons (idiote context, trouwens), terwijl de vraag gaat over de blauwe telefoons. Dit is bijna een bewuste poging om de leerlingen op het verkeerde been te zetten. Ik neem tenminste aan dat het gegeven dient om de vertaling van percentages naar aantallen te kunnen maken. Dat moet echt anders, bijvoorbeeld door het totaal aantal verkochte telefoons te geven.

De taal: Het is mij heel lang ontgaan, maar uiteindelijk zie ik dan toch dat in deze vraag er op absurdistische wijze sprake is van ‘red phones’ en telefoons met nog andere kleuren van de regenboog, in het Engels. Dat kan natuurlijk niet. Er mag een enkele keer eens een dwingende reden zijn om in een context Engelse woorden te gebruiken, maar in de context van vraag 4 is er gewoon sprake van een tabel met een Nederlandse titel. Ik begrijp wel dat het ontstaan is uit de noodzaak om geen merknamen te gebruiken, maar dat kan hier geen excuus zijn voor verrommeling.

Wat deze vraag met rekenen heeft te maken, ontgaat mij. Moet ik dan bij iedere rekenopgave de referentieniveaus gaan doorzoeken? Referentieniveaus die op wonderbaarlijke wijze door een halve werkgroep uit een commissie in korte tijd in elkaar zijn gestoken? Welk kamerlid is erin geslaagd die referentieniveaus zelfs maar van begin tot eind gewoon door te lezen?

5)

Een opgave vergezeld van een overbodige afbeelding van een stuk Colosseum. Stokslagen.

Oké, het plaatje is weg. Dan hebben we nog steeds, zoals hierboven gereproduceerd, een opgave waarin het gegeven bestaat uit een tabel. Dan wordt daar een vraag over gesteld, en mag de leerling kiezen uit dezelfde vier alternatieven als in de tabel al gegeven waren. Ik moet zeggen dat ik zelden zo’n merkwaardige verrommeling van de layout van een op zich eenvoudige meerkeuzevraag heb gezien. Immers, begin met de vraag, en bied de vier alternatieven uit de tabel aan om uit te kiezen. Waarom kiest de ontwerper dit rommeltje? Het stoort de leerlingen die deze toets moeten maken. Het beantwoorden van de vraag wordt ook onnodig veel lastiger: de leerling moet heen en weer kijken van de keuzealternatieven naar het lijstje in de tabel om er zeker van te zijn dat het juiste alternatief is gekozen. Onvergeeflijk.

Maar dan nog. Het is ook lelijk en minder gewenst om rekenopgaven in de alternatieven te zetten. Het is ook mogelijk om de tabel te handhaven, en te vragen naar de laagste dagelijkse verblijfskosten. Klaar.

De vraag is naar wat ‘naar verhouding het voordeligst’ is. Het is bovendien een contextvraag: de leerling moet zich kennelijk voorstellen dat dit om een vacantiereis gaat. Die twee gecombineerd, kan ik niet anders dan concluderen dat hier onzin wordt gevraagd. De leerling kan immers niet aangeven wat zijn/haar gedachtengang is bij het beantwoorden van deze vraag: er kan alleen een alternatief worden afgevinkt.

De leerling zou eigenlijk de eigen interpretatie van de vraag expliciet moeten vermelden. Zoiets als: ‘Ik neem aan dat de vragensteller bedoelt welke reis per verblijfsdag het minst kost’. Deze interpretatie heeft op zich niet veel of misschien niets met rekenen te maken, maar alles met tekstbegrip. Als dat bij nader onderzoek inderdaad het geval blijkt, is er maar één conclusie mogelijk: er moet gewoon rechtstreeks worden gevraagd naar de laagste prijs per verblijfsdag. Hoe moeilijk kan het ontwerpen van een rekentoetsopgave zijn?

De taal wekt dus nogal wat vragen op. Probleempunten zijn verder nog: ‘aanbieding’ ‘Rome’ is een raadseltje. Laat Rome zijn eigen problemen oplossen, en spreek over een vacantiereis. Vermijd de niet-functionele suggestie die het woord ‘aanbieding’ inhoudt. Ook de vraag naar welke reis ‘het voordeligst’ is, is dubbelzinnig: wat ‘voordelig’ is, is een subjectieve zaak.

Waarom deze pseudo-realistische kosten voor de respectievelijke reizen gebruiken in plaats van eenvoudiger getallen die de leerlingen vlot op papier kunnen behandelen? Maar dit is een steeds weerkerend probleem: de ontwerper kiest de getallen dusdanig, dat de beschikbaarheid van een rekenmachine door de leerlingen hooglijk zal worden gewaardeerd. De rekenwereld op zijn kop.

De vraag is behoorlijk moeilijk gemaakt door vier alternatieven te gebruiken. Er zijn leerlingen die hier hun nek over gaan breken omdat ze geneigd zijn iedere twee met elkaar te vergelijken. Waarom niet de beperking gezocht in de eenvoud, en twee scenario’s aangeboden? Een ander probleem met deze vraag is dat ze uitlokt om te gaan bestuderen of de vraag ‘handig’ kan worden opgelost; ik ben bang dat leerlingen die dat gaan proberen, heel vaak fout zullen uitkomen (onderzoek Marian Hickendorff).

6)

Geen afbeelding toegevoegd: het kan dus wel zonder! Prima.

De taal: ‘Dit is een stijging’ heeft geen juiste referent: in de voorafgaande zin is geen sprake van een stijging. Moet zijn: ‘Over heel 2012 komt dat uit op een stijging van .. ’.

De eerste zin heeft een onjuiste volgorde; het moet zijn: ‘Een volwassene betaalt bij zijn zorgverzekeraar .. ’, of: ‘Een zorgverzekeraar vraagt van een volwassen verzekerde .. ’.

Kinderen betalen geen zorgpremies: ‘een volwassene’ moet er dus uit. Dat de premie ‘moet’ worden betaald is een merkwaardige benadrukking van iets dat niet benadrukt moet worden: eruit.

Ik heb een stug vermoeden dat dit een strikvraag is: een niet benadrukte overgang van een bedrag per maand naar een bedrag per jaar maakt van deze vraag nauwkeurig lezen. Wie dit overdreven vindt wil ik wijzen op de universeel aanvaarde ontwerpregel dat een ontkenning in een toetsvraag wordt benadrukt door deze bijvoorbeeld vet te drukken: niet. Deze eenvoudige fatsoensregel doortrekkend naar vraag 6 maakt van de stam het volgende:

• Jansen betaalt in 2012 € 102,50 premie per maand voor zijn zorgverzekering. Over het hele jaar 2012 betaalt hij € 36 meer dan in 2011.

De berekening kan zonder rekenmachine:

jaarpremie 2012: 12 × € 102,50 = € 1230,--

jaarpremie 2011: € 1230 - € 36 = € 1194,--.

1% van de jaarpremie 2011 is € 11,94 ≈ € 12

Antwoord: De premie is met drie procent gestegen (18 cent te hoog is 0,015 %)

Er zijn best wel wat onderscheiden stappen te nemen. Hoe past dat precies bij 3F? Henk Pfaltzgraff schrijft in een keer de berekeningsformule op; dat duidt erop dat deze opgave hoort tot een bepaald type waarvan leerlingen de aanpak kennen?

7)

Nou ja, zeg. Dit is toch idioot. Maar ja, je mag er geen rekenmachine bij gebruiken, hè? Is dit niet niveau groep 6? Hoe past dit precies in de referentieniveaus?

Bij makkelijke vragen zoals deze komt de leerling in de verleiding om het sommetje uit het hoofd te maken. Ook als hij/zij de ‘handige’ oplossing niet ziet. Bij de eenvoudige rekenopgaven in de PPON is gebleken dat leerlingen veel te vaak ten onrechte er niet even het kladblok en een pen bij pakken, zie ook het proefschrift van Marian Hickendorff die hier experimenteel vervolgonderzoek op heeft gedaan.

Opgaven zoals deze, waar de getallen zo zijn gekozen dat er een ‘handige’ oplossing is, horen in het rekenonderwijs niet thuis. En al helemaal niet in ‘realistisch’ rekenonderwijs, zou je denken, want situaties waarin ‘handig’ valt te rekenen komen in het wild nauwelijks voor. Maar ja, wie ben ik? Het is Freudenthal’ opvolgers gelukt ‘handig’ rekneen in de kerndoelen basisonderwijs te frommelen.

De clustering van vraagtypen is kennelijk geheel losgelaten: deze hoofdrekenvraag staat midden tussen de rekenmachinevragen. Dat wekt de suggestie dat ook de ‘echte’ rekentoetsen zo zijn opgebouwd: op willekeurige momenten komt er tussen de lastige vragen iets simpels heen fietsen. Dat is doorgaans geen goede wijze van toetssamenstelling.

8)

De vader van Rob is gestopt met roken.
Hij rookte gemiddeld 15 sigaretten per dag.

Hoeveel euro betaalde hij per jaar aan sigaretten?
Rond af op hele euro’s.

‘De vader van Rob was onlangs overleden aan longkanker.’ Dit is nu een voorbeeld van een rekentoetsvraag met een mogelijk emotionele lading voor sommige examendeelnemers. Dit kan dus echt niet.

De vraag zoals hier gesteld, is onvolledig. De leerling moet op zoek naar de ontbrekende gegevens, die dan wel in de afbeelding zullen staan? En ja hoor. Een malle afbeelding gebruiken om het gegeven van het aantal sigaretten en de prijs per pakje te presenteren, verdient stokslagen. Zelfs in de context-filosofie van het realistisch rekenen is deze afbeelding idioot.

Het probleem met de contextfilosofie in het realistisch rekenen is enorm. Dat blijkt alleen al uit het gedweep met de term ‘authentiek’ in genoemd rapport. De auteurs behoren tot de Freudenthal-groep; het ICO-ISOR heeft zich waarschijnlijk geleend om het onderzoekgeld binnen te halen voor het FI. Afijn, over de manier waarop deze voorbeeldrekentoets contexten gebruikt, valt met het Cito/CvE nog wel een appeltje te schillen. Kemme, Wijers en Jonker kan dan als referentie voor het context-geloof dienen. Het is een beschamend rapport (ik zou het als opdrachtgever niet hebben geaccepteerd): een onwetenschappelijke term zoals ‘authentiek’ gebruiken zonder enig theoretisch kader [dat valt ook niet te construeren, trouwens], vraag maar een eind weg, schrijf alles dan op. Geheel kritiekloos is het overigens niet, zie bijvoorbeeld paragraaf 3.4.

Een vraag met een beroep op algemene ontwikkeling: hoeveel dagen heeft een jaar, wat is ‘gemiddeld’? Lijkt onschuldig, maar waarom zou je dit in een rekentoets doen? Zie ook de opmerking van H.P. over leerlingen die gaan stoeien met al dan niet schrikkeljaren (dat maakt verschil in de hele euro’s)

De oplosstappen: wat kost een sigaret. Maal 15 maal 365 (aanname: geen schrikkeljaar). Afronden. Dat is te overzien. Wat kost die sigaret dan: 24,2105 cent, afgerond. Moet het weer zo’n realistisch bedrag zijn? Is er een ‘handige’ oplossing mogelijk? Nee. Het hoeft natuurlijk niet per se met de rekenmachine, maar het kost teveel tijd om het op papier uit te rekenen. Deze toets gaat dus steeds meer lijken op een rekenmachinetoets als vervanger van zelf rekenen. Maar als dat de bedoeling zou zijn, dan zou de testontwerper heel andere opgaven maken.

De taal: Waarom dat sentimentele gedoe met ‘de vader van Rob’? Stel de vraag neutraal, in algemene termen.

Er zit een dubbelzinnigheid in de vraagstelling: ‘per jaar’ refereert aan een specifieke periode van een aantal jaren, maar daar is geen enkel gegeven over. Moet zijn: ‘in één jaar’. Een tweede dubbelzinnigheid zit in het ‘Rond af op hele euro’s’: slaat dat alleen op de uitkomst, of mag in de berekening al worden afgerond (de methode van de fiscus, ‘leuker kunnen we het niet maken’)? Beter: ‘Rond het antwoord af op hele euro’s.’

9)

De afbeelding bij deze opgave is irrelevant. Weglaten.

Hier ontstaat een ernstig probleem door een conflict met kennis die leerlingen als hun algemene ontwikkeling kunnen hebben: beboeten van te snel rijden gaat niet volgens de luimen van de plaatselijke dorpsraad, maar volgens landelijke normen, plus administratiekosten. Het is een ernstig probleem, omdat bij andere opgaven er wèl een beroep wordt gedaan op algemene ontwikkeling (in vraag 8: wat is een gemiddelde, hoeveel dagen heeft een jaar), en bij deze vraag 9 die algemene ontwikkeling even moet worden uitgeschakeld.

De taal: In het gegeven bij de vraag is sprake van ‘deze weg’, maar in het voorgaande is niet over een weg gesproken. De leerling moet begrijpen dat de verwijzing is naar de naaststaande afbeelding; schrijf dat dan ook zo op. Beter nog: vervang ‘deze weg’ door ‘een weg in de bebouwde kom’. Dat vermijdt ook de dubbelzinnigheid: rijdt Rogier te hard binnen de bebouwde kom (38 km/u te hard), of buiten de bebouwde kom (8 km/u te hard)? Moet de leerling dat maar begrijpen uit de vraag? Maar het gaat hier toch niet om tekstverklaring?

‘Hoeveel euro boete moet hij betalen?’ is een omslachtige formulering voor ‘Hoe hoog is de boete?’

Een ‘vuistregel’ is iets anders dan een deterministische regel zoals hier kennelijk bedoeld.

Wordt een antwoord in hele euro’s verwacht?

10)

Ik begrijp dit niet: waarom moet dit een meerkeuzevraag zijn, met alle irrelevante invloeden op de scores die hieruit voortvloeien (raden, redeneren vanuit gegeven alternatieven)? Het kan gewoon een open vraag zijn.

Dit is een opgave in de door Turkstra (zie hierbeneden) verfoeide categorie van de werk-, weg- en kraansommen, waar een vaste truc voor kan worden geleerd.

Zie ook het vreselijke voorbeeld dat Anne van Streun heeft gegeven in het rapport van zijn werkgroep (rekenblog 4).

Hoe past deze opgave dan in het referentiekader rekenen?

De taal: de vraag is naar de stijging van het loon, maar de vraag mist het gegeven hoe hoog dat loon oorspronkelijk is, en de alternatieven zijn in percentages van het loon. Dat wringt. Leerlingen zullen waarschijnlijk wel begrijpen dat geen bedrag maar een percentage is bedoeld, maar dat kost extra inspanning die niets met rekenen heeft te maken. Voor de duidelijkheid: de stam van de vraag suggereert dat een bedrag moet worden genoemd, maar de alternatieven zijn percentages. Het probleem is natuurlijk dat het in woorden lastig is om aan te geven welk stijgingspercentage (ten opzichte van wat) wordt bedoeld. Maar sjoemelen met taal in niet sjiek. Eveneens een afrader voor het ontwerp van toetsvragen: hetzelfde begrip anders noemen: zowel ‘loonsverhoging’ als ‘verhoging’ en ‘ gestegen loon’ Beter: Met hoeveel procent loonsverhoging is dat in totaal?

Wat ook wringt: twee keer tegenwoordige tijd, waar dan toch een jaar tussen zit. Beter: ‘Jake kreeg in 2010 een loonsverhoging .... ’

Henk Pfaltzgraff gebruikt voor zijn oplossing een formule die past bij dit type opgave. Maar wat doet een leerling die niet zeker is van die formule, of zich die niet herinnert? Ik heb zelf geen routine in opgaven zoals van dit type, en ik zie niet meteen waarom hier de formule 1,04 × 1,03 correct moet zijn. Ik heb een tussenstap nodig, of een formule die ik wel direct begrijp en die ook direct het antwoord geeft: 4% plus 3% plus 3% van 4% = 7,12 %.

Wie is Jake?

11)

Gegeven is een cirkeldiagram dat voor een aantal sporten weergeeft hoeveel leerlingen de betreffende sport als hun favoriet hebben gekozen.

taal De stam van de vraag geeft favoriete sport: enkelvoud! Mogelijk geeft de ANS aan dat hier enkelvoud gebruiken wel aanvaardbaar is, maar voor een landelijke rekentoets waaraan ook leerlingen met Nederlands als tweede taal deelnemen, lijkt me dat ongewenst. Bedoeld is: van ieder van de leerlingen.

De vraag ‘hoeveel leerlingen’ is dubbelzinnig: een antwoord als percentage is ook goed Nederlands; tenslotte geeft het cirkeldiagram dat ook op die manier aan. Het erboven staande zinnetje suggereert wel dat bedoeld is om het aantal te geven, maar dat is dus niet meer dan een suggestie.

‘Hockey . . . is het meest favoriet’ schept de verwachting dat er iets met de randorde van favoriet zijn wordt gevraagd, maar dat is dus niet zo.

De vraag zelf moet zijn: ‘Handbal is de favoriete sport van hoeveel leerlingen?’ Zo’n vraag moet je kunnen lezen zonder aan het eind weer terug te moeten kijken naar wat er ook al weer over handbal als favoriete sport werd gevraagd: dat laatste moet dus aan het einde van de vraag.

In de bedoeling van de ontwerper moet de leerling hier snappen dat hij de afbeelding moet gebruiken voor een rekenkunstje: de 9% van handbal vertalen naar het bijbehorende aantal, de concordantie is gegeven door het aantal hockeyers, en dat is 28 %. Ergo: ⁹⁄₂₈ × 252, wat weer ‘handig’ is uit te rekenen. Maar de beschikbare rekenmachine zal uitlokken tot knoppendrukken, wat in het nadeel van de leerling werkt. Wat heeft het kunstje met rekenen te maken?

Als het goed is, zijn leerlingen getraind in het oplossen van dit type opgaven (percentages en aantallen), herkent de leerling het type, en past de oplosmethode toe. Maar dat lijkt verdraaid veel op een specifieke rekenprocedure, en dat is volgens de Rekentoetswijzer 3F uitgesloten. Zijn leerlingen niet geoefend op dit type probleem, dan wordt het creatief probleemoplossen, en dat is een kwestie van intelligentie testen.

24)

Deze vraagt knalt ongelooflijk door de grenzen van mentale belastbaarheid heen (Sweller). Een wagonlading informatie, te verwerken binnen een, twee minuten. En dan moet de vraag nog worden beantwoord.

Een ernstige ontwerpfout is de ontkenning die in de vraagstelling staat:

Dit is het Cito onwaardig. Als er dan met alle geweld een ontkenning in de vraag moet, dan moet daar ook nadrukkelijk de aandacht op worden gevestigd, in dit geval bijvoorbeeld door ‘behalve’ vet te drukken, in kapitalen, of beide: behalve, BEHALVE, BEHALVE. Beter is natuurlijk het ontwerp zo aan te passen dat dit probleem niet ontstaat.

Ik zal nog wel meer kritische punten bij deze vraag hebben (in de vraag is sprake van ‘honkbal’, wat de leerling ertoe dwingt te controleren of de wedstrijdtabel alleen over honkbal gaat; strikvraagkarakter: zoon 18 jaar, terwijl jeugdkaarten t/m 14 jaar zijn; onnodige belasting door de noodzaak in de wedstrijdtabel te controleren of er soms meer wedstrijden op dezelfde dag worden gespeeld), maar ik zet dit vast op de website. Alleen deze vraag al zou reden voor het Cito en het CvE moeten zijn om onmiddellijk een persbericht uit te geven dat deze voorbeeldrekentoets 3F wordt teruggehaald en op korte termijn vervangen door een nieuwe toets waar de massale kritiek op de wiskunde, de taalvoering, en het ontwerp adequaat is ondervangen. Dit is niet een haar in de soep, maar een dode muis in melk.

25)

Dit is misleiding. ‘Dit’: het als gegeven afgebeelde ‘maximaal 75 % korting’. Wat illustratie is, en wat gegeven, buitelt hier over elkaar heen. Weg dus met die 75% figuur. Stokslagen.

Ik heb ernstige twijfels bij het rondstrooien van gegevens, zoals deze ‘Deze week kortingen tot 75%’, die irrelevant zijn voor de rekenopgave. De rekentoets gaat immers over rekenen, niet over probleemoplossen in curieuze contexten met afleidende informatie.

De afgebeelde factuur ziet er natuurlijk leuk levensecht uit, maar is irrelevant voor een rekentoets. De simpele afgebeelde gegevens die voor de vraagstelling nodig zijn, kunnen daarin worden opgenomen. Wederom stokslagen.

Ik blijf met verbazing naar die factuur kijken. Omdat er geen prijs is vermeld bij de CD-speler, is het dubbelzinnig wat het ‘te betalen’ bedrag betekent: is dat voor of is dat na aftrek van de korting?

De naam ‘Roland’ is reken-irrelevant: weg ermee. Neutraal formuleren.

De vraag wordt nu een stuk overzichtelijker: ‘Een cd-speler kost met een korting van € 29,25 nu € 87,75. Hoeveel % korting op de oorspronkelijke prijs is dat?

Dit is een opgave die ‘handig’ uit het hoofd is te maken. Waarom dan de leerling gewezen op de mogelijkheid om een rekenmachine te gebruiken? Om hem in de verleiding te brengen meteen maar de getallen in te tikken?

De leerling doet er verstandig aan, ook al rekent hij ‘handig’, om het rekenwerk op klad te doen.

‘Handig’ rekenen is weliswaar een kerndoel rekenen, maar wat heeft een opgave als deze precies met rekenen te maken? De meeste rekensituaties komen niet met getallen die zich lenen voor ‘handig’ rekenen. NB: Getallen voor rekenenopgaven handig kiezen, heeft niet te maken met wat in het kerndoel rekenen met ‘handig’ rekenen wordt bedoeld. De alternatieve opgave die Henk Pfaltzgraff hier aanreikt, illustreert dat.

26)

Tsja, dat kunnen we dus niet weten. De korting is immers op de reguliere abonnementsprijs. Er is dus geen antwoord op deze vraag mogelijk. De autoritaire spelregels bij toetsen en examens zijn dan dat je als leerling moet gissen wat de ontwerper van de vraag heeft bedoeld, en dat kan dan zijn: 51 losse nummers kopen kost een godsvermogen, waarvan 53% is te besparen door een abonnement te nemen. Hoe groot is het godsvermogen, en daar dan ¹⁄₅₁e deel van is kennelijk wat wordt gevraagd. € 54 is 47% van dat godsvermogen? Een godsvermogen is (¹⁰⁰⁄₄₇) × € 54. Eens zien wat Henk heeft berekend. Hetzelfde. Zijn uitwerking volg ik niet: hij begint verkeerd, herstelt zich, gaat dan algebraïsch tewerk; maar als €54 47% van de lose-nummerprijs is, dan is die prijs toch — delen door de breuk ⁴⁷⁄₁₀₀ is vermenigvuldigen met zijn omgekeerde — 100 × ⁵⁴⁄₄₇.

Die Hitkrant blijkt inderdaad met kortingen te adverteren die slaan op de losse nummerprijs. Is dit misleiding? De suggestie is immers die van een speciale actie op de abonnementsprijs, maar daar is geen sprake van als je goed leest. Weer iets voor de Reclamecode-commissie? Excuus, ik spreek in raadselen. Ik had de website van Wizwijs in gedachten: gegarandeerd betere Cito-scores. Hoera. Zonder gekheid: een misleidende reclame naïevelijk als context gebruiken in een rekenopgave in een eindexamentoets is natuurlijk van de gekke, omdat juist de misleiding de kern is van de rekenopgave.

32) Archimedes zinkt in zijn graf

Klik pic.twitter.com/EpgoLvipsS voor een discussie op Twitter over deze vraag.

Achtergrondkennis: wie dat verhaal over Archimedes kent, heeft een voorsprong.

Dit is geen rekenvraag, maar een natuurkundevraag.

Zoals Karin den Heijer al opmerkte: de vermelding van de hoogte van de waterspiegel is misleidend, want onnodig voor de gevraagde berekening. Leerlingen die hiermee gaan rekenen, zijn in het nadeel. Hadden ze maar beter op moeten letten? Dat mag zo zijn, maar dat is geen kwestie van rekenvaardigheid, en daarom gaat het hier om een niet geringe ontwerpfout.

Gevraagd: het aantal liters. Maar het gaat in de berekening om het aantal kubieke centimeters. Anders gezegd: Er is in de vraagstelling sprake van centimeters, maar het antwoord moet worden gegeven in liters. Dat is misleidend. Het is geen goed ontwerp wanneer een dergelijke sprong gemaakt moet worden; is het echt niet te vermijden, dan maakt de ontwerper dat duidelijk door er expliciet op te wijzen: ‘zet gevonden aantal kubieke centimeters om naar liters’.

Ik zou het bijna vergeten, maar er is nóg een schoonheidsfoutje: de leerling moet nog beredeneren dat de vraag kennelijk bedoelt dat de steen zinkt, omdat er anders geen definitief antwoord valt te geven. Is dit een onschuldig foutje? Absoluut niet, het benadeelt de leerlingen die door hebben dat hier een probleem ligt. Zijn er stenen die niet zinken?

Een valide redenering is dat niet is gegeven of de steen zinkt, zodat deze vraag niet valt te beantwoorden met een enkel getal.

42)

Wederom heeeeel realistisch: http://www.groenecampingindepolder.nl/

Het zal me niet verbazen wanneer iemand uit de cognitief-psychologische hoek eens een slim experimenteel onderzoekje zou hebben gepubliceerd over verschillen tussen neutraal gestelde woordproblemen, woordproblemen in de ik-vorm, en woordproblemen in de hij-vorm met eigennamen, zoals hier de ‘familie De Groot’. Of in de taal-psychologische hoek. Het gaat om de referentie: als die naar de lezer is, het gezichtspunt van de lezer bijvoorbeeld, dan maakt dat een vraag bepaald sneller te lezen en te begrijpen dan wanneer het om een specifieke andere persoon gaat die de lezer niet kent en waarvan hij zelfs weet dat het karakter puur fictie is. De lezer moet zich in gedachten verplaatsen in de genoemde hoofdpersoon, meneer De Groot; dat is in psychologische zin niet niks, het kost energie en tijd, en een deel van het werkgeheugen. [Mogelijk heeft J. T. Dillon onderzoek gedaan dat in deze richting komt: J. T. Dillon (1982). The multidisciplinary study of questioning. Journal of Educational Psychology, 74, 147-165. Graesser, A. C. (Guest editor) (1990). Psychological research on question answering and question asking. Special Issue, Discourse Processes, 13, 259-3.]

43)

44)

45)

46)

47)

In een tabelletje dat is toegevoegd staan de prijzen per m² van 3 soorten glas waaronder HR+: € 66,-- per m². Ook vermeld: glas plaatsen: PRIJS : € 39,-- per raam. Ik heb geen flauwe notie waarom het aflezen van deze waarden uit een bijgevoegd tabelletje iets met rekenen heeft te maken. Deze gegevens kunnen gewoon rechtstreeks bij de gegevens voor de vraag worden vermeld.

48)

Het blokjesgebeuren is een apart hoofdstuk in het boek van het realistisch rekenen. Ik ben even de referentie kwijt. Wat dit met rekenen heeft te maken, ontgaat mij. De vraag, opgevat als een wiskunde-vraag, is niet te beantwoorden tenzij door extra aannamen te doen. Er zit mogelijk iets van ruimtelijk inzicht in, maar dat is een persoonlijkheidskenmerk, geen onderwijsresultaat. In intelligentietests kan dit type vraag wel eens worden gebruikt (ik vond een mooi voorbeeld in een Oostenrijks boek, kort na WO II).

In de Freudenthal-groep denken ze daar anders over:

Koeno Gravemeijer en Jean-Marie Kraemer (1984). Met het oog op ruimte. Een meetkundige wereldoriëntatie. Onderwijskundige Brochuren Reeks.

49)

50)

51)

52)

53)

54)

55)

56)

57)

Dit is gewoon een klassieke redactiesom, van het type dat voor WO II ook al stevige kritiek trok. De kandidaat moet hier het trucje kennen, anders wordt het even heel lastig.

Dat trucje lijkt me te zijn: (60/34) × 36 = 60 × 1,06 = 64. Nee, het kan geen 63 zijn.

58)

Dit is met al die precieze data een griezelige opgave. Immers, het antwoord is afhankelijk van de valutering van de bank, inclusief de bijschrijving van de rente. Realistisch?

De opgave is al met al knap ingewikkeld, tenzij de leerling over de toepasselijke formule beschikt. Immers, om te beginnen moet alle overbodige informatie worden genegeerd.

Als de kandidaat even nadenkt, gaat het om 4% rente over € 300,-, plus 4% rente op rente over €100. De optelsom in euro’s is dan 200 + 12 + 0,16 = 212,16.

Omdat de kandidaat de data wel goed moet organiseren, is dit een opgave die een behoorlijke claim legt op de beschikbare ruimte in het werkgeheugen. De vraag is of dat organiseren van de data iets is dat rekenvaardigheid mag heten, of is het ‘denkvermogen’? Misschien is het eerste het geval, wanneer rentesommen goed zijn geoefend. Ik heb die oefening niet, en volgde een onhandige redenering waarin makkelijk een fout valt te maken. H.P. deed het beter. Wat staat erover in de referentieniveaus?

59)

Rekenen met getallen waar ‘iets handigs’ mee kan worden gedaan, is geen rekenen. Dit is een misvatting over wat handig rekenen is. In de goede rekenpraktijk komt de ervaren rekenaar in de positie dat algoritmische bewerkingen verkort worden. Een heel mooi voorbeeld daarvan is het handig uitvoeren van de staartdeling, door de ervaren staartdeler (en zeker niet door een beginner!). Zie

F. Goffree, A. A. Hiddink & J. M. Dijkshoorn (1970 4e). Rekenen en didactiek (blz. 175). Wolters-Noordhoff.

60)

Voorbeeldrekentoets-3F 2013

Jan van de Craats (17 november 2013). Voorbeelduitwerkingen van de vragen in de voorbeeldrekentoets-3F van 2013. pdf

. Van de Craats heeft zijn analyses samengevat en van conclusies voorzien, zie de laatste bladzijden van zijn pdf. Vooruitlopend op de hoorzitting over rekentoetsen en referentieniveaus (waarover binnenkort wel een bekendmaking zal volgen) is het stuk van Van de Craats al naar de Tweede Kamer gezonden.

Bij de toetsvragen die ik hierbeneden behandel, zal ik telkens ook de berekening en commentaar van Jan van de Craats vermelden (met zijn toestemming).

Voor de opgaven zelf is het handig om de voorbeeldrekentoets-3F 2013 van het Cito te openen: Voorbeeldtoets_3F 2013. Ik zal proberen zoveel mogelijk toch de tekst van de vragen over te nemen, en waar dat zinvol is ook de afbeeldingen, maar zal dat niet altijd doen.

Bij de hand houden: Besluit van 17 juni 2010, houdende vaststelling van referentieniveaus Nederlandse taal en referentieniveaus rekenen (Besluit referentieniveaus Nederlandse taal en rekenen) stb-2010-265.html.

1) Totale korting gevraagd? Nee, wat je moet betalen

Bij een kledingwinkel is er sprake van stippenkorting. Liesbeth heeft een vel met vijf stickers gekregen met elk een ander kortingspercentage.

Liesbeth koopt:

• een blouse van € 29,–
• een spijkerbroek van € 60,–
• een paar schoenen van € 35,–

Ze gebruikt drie van de vijf stickers en plakt op elk kledingstuk een sticker zodat ze in totaal zo weinig mogelijk heeft te betalen.

Hoeveel betaalt Liesbeth?
€ . . . . . . . . . . . . . [rekenmachine beschikbaar]

Voor een discussie over deze vraag op Twitter: zie hier.

Probleem met deze vraag is dat hij evident over kortingen lijkt te gaan, maar het gevraagde is wat er in totaal moet worden betaald. Je zou dus kunnen stellen dat de kandidaten door de vormgeving van de vraag op het verkeerde been worden gezet. Wie netjes de maximale korting heeft uitgerekend, dreigt te vergeten dat niet die totale korting, maar het totaal te betalen bedrag wordt gevraagd. Dat al dan niet vergeten is niet iets dat met rekenvaardigheid heeft te maken.

Laat ik het verder verduidelijken voor wie nog aarzelt. Het is een algemeen aanvaarde stelregel voor het ontwerpen van toetsvragen dat de vraagstelling geen ontkenningen bevat. Ontkenningen zijn altijd lastig, daar zal best neuropsychologisch onderzoek over zijn. Een toets met ontkenningen toetst neuropsychologische verschillen, naast of in plaats van wat is bedoeld te meten. Is het echt niet mogelijk om ontkenningen te vermijden, dan moeten ze expliciet worden aangeduid, bijvoorbeeld door woorden zoals niet of geen vet te drukken, of in hoofdletters.

Welnu, in vraag 1 is op geen enkele manier nadrukkelijk duidelijk gemaakt dat het niet gaat om de kortingen zelf, maar om wat er moet worden betaald. De vraag zet de kandidaat op het verkeerde been, wekt een verkeerde verwachting. Dat heet ook wel framing. Ik ben deze ontwerpfout wel vaker tegengekomen in deze rekentoetsen.

Nog nooit van zo’n zegeltjesactie gehoord, of er mee te maken gehad? Dan heb je pech, want het zal aardig wat denkstappen kosten voordat je hebt ontraadseld hoe deze actie dan precies in elkaar zit. Ik herinner me nog wel mijn verbazzing toen ik een dergelijke kinderachtige actie voor het eerst tegenkwam bij mijn kruidenier Dus, tja, wat meet deze ‘reken’opgave eigenlijk? Gekkigheid zoals in deze opgave mag natuurlijk absoluut niet in een eindexamentoets voorkomen. Maar ik geef toe: ik heb alleen maar een vermoeden dat bekendheid met een dergelijke zegeltjesactie hier storend werkt; misschien heeft het Cito dit tevoren heel goed uitgezocht, en is gebleken dat alle leerlingen hier toch een level playing field hebben.

Dit gaat dus over opgaven waar twee minuten tijd voor is. Een paar keer diep ademhalen, en de tijd is al om. In komende rekentoetsen zijn er minder van deze contextopgaven, dus een halve minuut meer tijd? Het is een boeiende vraag hoe kandidaten in feite met deze contextopgaven omgaan, binnen die beperkte tijd. De stress is hoog, want de vraag moet echt worden beantwoord voordat je verder kunt, en terugbladeren kan niet. Dus, Cito, schaf de apparatuur aan waar Arnon Grunburg nu mee op zijn hoofd en aan de wereld vastzit, en doe er onderzoek naar. Wat doet de leerling die op het laatste moment ontdekt dat niet de totale korting, maar het te betalen bedrag moet worden genoteerd? Wat doet de kandidaat die niet meteen begrijpt hoe deze zegeltjesactie in elkaar steekt, maar toch snel een antwoord op de vraag moet produceren? Wat gebeurt er met de kandidaat die na drie minuten hard werken ontdekt het helemaal verkeerd te hebben aangepakt, want niet goed gelezen? Enzovoort.

Is dit nu een betekenisvolle context? Van der Zwaart (zie Euclides, november 2013 hier) zal waarschijnlijk zeggen: jazeker, want dit is uit de werkelijkheid geplukt. En dan bedoelt hij de specifieke winkeliersketenactie, niet de gestelde rekentoetsopgave. Of de situatie betekenisvol is, dat is een empirische kwestie: hoe doen mensen hun inkopen, in het bijzonder bij zo’n zegeltjesactie? Wel eens iemand naar zijn zakjapanner zien grijpen en een som zoals deze zien uitrekenen? Welnee. De meeste mensen beslissen over hun aankopen op andere wijze dan door dingen exact uit te rekenen: ze hebben een enkele overweging simpele overweging, twee overwegingen misschien, op basis waarvan ze hun beslissing naar genoegen nemen. De commerciële wereld weet heel goed hoe ze daar goed op in kunnen spelen (met stippenkorting etc). Herb Simon, die van de nobelprijs economie en psychologie, heeft het satisficing genoemd. Meer over beslissen in het dagelijks bestaan: goo.gl/VfqmVN

Gerd Gigerenzer & Wolfgang Gaissmaier (2011). Heuristic decision making. Annual Review of Psychology 2011, volume 62, 451-482. Vrij online.

Het interessante van deze korte beschouwing is dat het een specifieke filosofiosche opvatting achter dat ‘functioneel rekenen’ blootlegt: de opvatting van rational man uit de klassieke economie. Maar die rationele mens bestaat niet (filosofie). Ondertussen dwingt de Nederlandse overheid de jeugd om te denken zoals de ‘rationele mens’ in de klassieke economische theorie dat zou doen. Een wonderbaarlijke situatie.

)

35)

In augustus 2011 starten 240 leerlingen in de brugklas.

Hoeveel van deze 240 leerlingen stromen naar verwachting drie jaar later door naar de tweede fase?

. . . . . . . . . . . . . . leerlingen
[rekenmachine beschikbaar]

Voor een discussie over deze vraag op Twitter: pic.twitter.com/TUES36NRUa

Hier ontstaat spanning omdat het percentage bij de overgang van 2e naar 3e klas, in het specifieke voorbeeld waar er 240 leerlingen starten, geen geheel aantal leerlingen oplevert.

De analogie is hier met het bus-probleem, bijvoorbeeld: 1132 leerlingen gaan op schoolreis; er kunnen per bus 62 leerlingen mee; hoeveel bussen zijn er nodig?

De term ‘naar verwachting’ roept tal van problemen op: dit is een rekentoets die niet over statistiek gaat.

43) Vierde snaar van de harp

Mijn twee minuten zijn al om met het lezen van de opgave, de tabel, en de conclusie dat de afbeelding van de harp in ieder geval irrelevant is. Ook de omweg over de noten E en F is er met de haren bijgesleept. Wat de kern van de zaak is, is een intelligentietest-opgave: de twee breuken staan tot elkaar als 96 (cm) staat tot hoeveel (cm) ?

)

56)

Dit is natuurlijk ongelooflijk oprekken van wat we nog onder ‘rekenen’ willen verstaan. maar ja, er staat iets over aflezen van tabellen en grafieken in de referentieniveaus. Ik vind het een categoriefout: rekenen verwarren met iets anders.

Iets anders is dat hier toch wel merkwaardige wereldkennis van de kandidaten wordt verwacht, namelijk dat de gemeten snelheid eerst wordt verminderd met een onzekerheidsmarge.

• Dat is het gevolg van een gerechtelijke uitspraak, al weer een behoorlijke tijd geleden, waarna Nederlandse automobilisten ineens ongestraft een paar kilometer harder mochten rijden dan ooit de bedoeling van de wetgever is geweest. Vreemd dat dit niet tot in laatste instantie is uitgevochten (of ben ik niet goed geïnformeerd)? Het grappige is dat de rechter heeft geoordeeld dat snelheidsmetingen een foutenmarge hebben die de automobilisten niet mag worden aangerekend. Pas diezelfde redenering eens toe op de rekentoetsen in eindexamens . . . .

  Mogelijk hebben de bedenkers van deze vraag zich niet gerealiseerd dat sommige kandidaten rijlessen en theorie hebben gehad, andere niet, waardoor er op voorhand al een partijdigheid in de vraag zit. Daar hoeven we dan geen DIF-analyse meer voor te doen (Differential Item Functioning). Maar ik heb een vermoeden van de verdediging: ‘Ach, meneer Wilbrink, u moet het zo zien: de kandidaten die hier even pech hebben, zijn bij andere vragen misschien weer in het voordeel.’ Maar dat is helaas niet echt een professioneel antwoord.

  de wiskunde

  
  56. RM Snelheid na correctie: 36, CAT 1A, dus boete   38,–.

  Commentaar: Er hoeft bij deze opgave niet te worden gerekend. Alleen aflezen uit de tabel. Rekenmachine nutteloos. ’t Is natuurlijk wel een tijdrovend zoekplaatje.

  
  J. vd C.

  
  

  ---

  
  57) Bloembollen planten

  Plaats de bollen 10 cm uit elkaar.
  Plaats de eerste 5 cm van de rand.

  
  In een tuin van 1,50 m bij 1,80 m. worden bloembollen gepoot zoals op de afbeelding.

  
  Hoeveel bloembollen zijn nodig voor dit bloemperk?

  
  Volkomen overbodige afbeeldingen weer. De afbeelding is gebruikt om gewoon tekstinformatie te geven, zoals hierboven overgenomen: hoe ruim de bollen te poten. Die afbeeldingen kosten de kandidaten gewoon veel extra tijd, en kopzorgen. De kopzorgen: talige informatie en beeldinformatie wordt op verschillende plaatsen in de hersenen verwerkt, maar ja, die informatie moet dan nog wel met elkaar in verband worden gebracht. Regels voor behoorlijk ontwerpen van toetsvragen zijn hier met voeten getreden. De ellende in dit specifieke geval is dat de opgave leidt tot enige achterdocht: is dit niet veel te eenvoudig, zie ik iets over het hoofd? En dan nog maar eens dat malle figuurtje bestuderen. Kost tijd, kost capaciteit van het werkgeheugen. Heeft niets met het toetsen van rekenvaardigheid te maken.

  Slordigheid: de ‘tuin’ in de eerste zin blijkt in de tweede zin een bloemperk te zijn. Hier gaat de lezer aan zichzelf twijfelen: heb ik het wel goed gelezen? Geeft de malle figuur misschien informatie over wat dan de afmetingen van het bloemperk zijn? De meeste bloemperken zijn kleiner dan de tuin waarin ze liggen. Toch? Maar nee, goed gelezen wat fout was opgeschreven. Wat doen al die mensen bij het Cito en het CvE eigenlijk de hele dag?

  
  Willem van Ravenstein heeft deze vraag besproken: hier. Hij geeft goed aan wat hier het probleempje is: zit er niet een adertje onder deze bloembollen, als ik het zo eenvoudig kan uitrekenen?

  de wiskunde

  
  57. RM 15 × 18 = 270 bloembollen.

  Commentaar: Hiervoor is alleen maar voorstellingsvermogen nodig. Hoe kun je dat trainen? Er is in elk geval geen rekenvaardigheid nodig.

  
  J. vd C.

  
  

  ---

  
  58)

  0,2 × 30,5 = . . . . . . . . .

  
  Wat valt hier nu van te zeggen? Jan van de Craats, in zijn samenvattende commentaar: deze rekenopgaven zonder contexten — 12 in deze toets — liggen op het niveau van rekenen in groep 6. Basisonderwijs.

  de wiskunde

  
  58. 0,2 × 30,5 = 6,1

  
  J. vd C.

  
  

  ---

  
  59) Goochelen met aantallen en percentages fietsen

  
  Voor een discussie over deze vraag op Twitter: pic.twitter.com/hqpMOSFwMC

  
  Irritante rekenmachinesom. Maar voordat de leerling aan het knoppendrukken toe is, moeten een paar kronkels worden rechtgestreken, evenzovele mogelijkheden om mis te interpreteren (heeft niets met rekenvaardigheid te maken).

  De gekkigheid waar de leerling mee moet zien om te gaan is dat eerst de aantallen verkochte fietsen in 2011, in beide onderscheiden categorieën uit de tabelwaarden moeten worden herberekend. Er wordt een idiote berekening gevraagd, vooral maar geen vragen stellen. Maar dit gaat natuurlijk niet zomaar: iets idioots construeren omdat je dat wordt opgedragen is niet niks, dat kost tijd, energie, en een deel van de capaciteit van het kortetermijngeheugen. Evident een vraag waar scoreverschillen samenhangen met van alles en nog wat in het intellectuele domein, behalve rekenvaardigheid.

  de wiskunde

  
  59. RM In 2011 verkocht: 5507/1,12 ≈ 4917 h/s-fietsen en 2746/0.915 ≈ 3001 racefietsen. Totaal 7918 fietsen in 2011. In 2012 in totaal 8253 fietsen verkocht. Toename 8253 - 7918 = 335 fietsen, dat is 335/7918 ×100 ≈ 4,23086638, procent, afgerond op 1 decimaal 4,2 procent.

  Commentaar: Zeer bewerkelijk, veel tussenstappen, dus veel kans op fouten.

  
  J. vd C.

  
  

  ---

  
  60) Kist verven, hoe doe je dat?

  
  Gerard Koolstra heeft dit op twitter al besproken, meen ik. De vraag is: is de buitenkant inclusief de onderkant? Er zijn een paar argumenten die tegen die interpretatie pleiten

  • Er is nogal nadrukkelijk geen onderkant getoond, terwijl dat toch makkelijk had gekund
  • de kist is kennelijk belegd met fineer, en waarschijnlijk is dan de onderkant niet daarmee belegd
  • belangrijkste argument: de bovenkant wordt niet meegeschilderd, anders zou de dikte van de kistwand wel zijn opgegeven. Als de bovenkant niet bij de buitenkant hoort, dan de onderkant natuurlijk ook niet.

  de wiskunde

  
  60. 2 × ( 30 ×45 + 60 × 45) = 8100 cm² , dus 0,81 m².

  Commentaar: Als ook de bodem geverfd wordt (er staat immers de gehele buitenkant zonder deksel), dan komt er nog 0,18 m2 bij. Wat moet een leerling doen die zich dit afvraagt? Naar de rechter stappen?

  
  J. vd C.

  
  

  
  

  Antwoordanalyse voorbeeldrekentoets-2F 2014 pdf

  
  40% van 3,50, wordt door bijna de helft van de vmbo-ers fout beantwoord, of met een willekeurig getal (zie bijlage 2F). Ik vermoed dat 0,4 x 3,50 ietsje beter zou worden beantwoord.

  En dan vraag 14 2014 2F: 15 x 26 + 5 x 26, door 51% van vmbo-GT goed beantwoord. Dit is toch niveau groep 6? Klas 4? Ik vind dit alarmerende resultaten: het betekent dat leerlingen niet conventioneel kunnen rekenen, dat ze dat niet hebben geleerd. Maar zij moeten straks wel foutloos kunnen rekenen, als verpleegkundige, schilder, agent, automonteur, magazijnchef. Kortom, deze vraag 14 bevestigt de resultaten van PPON 2004, en analyse vd Craats: Daan en Sanne kunnen niet meer rekenen

  ---

  ---

  Is 60 vragen voor een rekentoets voldoende?

  
  Nog weer iets heel anders: de rekentoetsen gaan dus uit 60 vragen bestaan, met de zak-slaaggrens ergens bij 39, en een stevige raadkans (een deel van de opgaven is meerkeuze, bij de overige opgaven is er waarschijnlijk ook wel gelegenheid om een beetje te gokken). Ik heb in ‘Examens. Tijdschrift voor de Toetspraktijk’ december 2011 samen met Joost Hulshof de suggestie gedaan om voor de rekentoetsen op enigerlei wijze onbeperkt herkansen toe te staan. Het Cito verzet zich daar fel tegen, om waarschijnlijk redenen van Cito-belang. Het zal dus wel blijven bij één herkansingsgelegenheid (als ik me goed herinner heeft het ministerie expliciet uitgesproken dat er na het CSE voor de rekentoets-gezakten GEEN extra herkansingsmogelijkheid zal zijn; houd de WiskundE-brieven bij voor actuele ontwikkelingen in deze lastige kwesties). Een en ander vraagt om wat modelberekeningen. Ik zal eens kijken of ik daar mijn SPA-model voor kan gebruiken. De WolframAlpha calculator is natuurlijk ook geschikt voor een eerste oefening, onder de veronderstelling dat een leerling een stofbeheersing van 70% heeft, inclusief raden, gaat het om de kans op een score van 39 of hoger op een test van 60 items: gewoon de binomiaalverdeling gebruiken.

  http://staff.science.uva.nl/~craats/WolframAlphaVoorbeelden.pdf(blz. 8: binomiaalverdeling)

  
  Invullen in de WA-calculator: binomial distribution, n = 60, p = 0.7

  
  spa_generator.htm (applet 1, binomiaalverdeling)

  Invullen in de applet: de waarden zoals boven in de volgende afbeelding. De blauwe lijn geeft de theoretische verdeling; het aantal runs betreft de simulatie van uitslagen; kies bijvoorbeeld het landelijk aantal deelnemers aan de rekentoets 3F vmbo, of het aantal leerlingen in de eigen eindexamenklas. Deze modelberekeningen zijn in eerste aanleg bedoeld om de strategische situatie voor de zich op een examen voorbereidende individuele student in beeld te brengen. Voor resultaten over groepen leerlingen is wat deskundige creativiteit nodig: zoek bijvoorbeeld met applet 2 een aannemeljkheid voor de verdeling van de beheersing in de beoogde groep leerlingen, en voorspel dan de scoreverdeling. Of vertek vanuit een mogelijke testscoreverdeling, en ga na met welke verdeling voor de ware beheersing een dergelike verdeling kan zijn ontstaan. Enzovoort enzoverder.

  

  
  0,84 gegeven beheersing 0,7 is een schandelijk lage slaagkans voor een toets met een zo hoge inzet. Bedenk dat geen enkele leerling de eigen beheersing precies kent, dan wordt het nog weer wat vervelender:

  
  Stel nu dat de leerling een proefrekentoets heeft afgelegd, en daar de score 42 uit 60 op heeft behaald. De aannemelijkheid voor zijn beheersing van de stof is dan te berekenen (het is een beta-dichtheid), respectievelijk te simuleren. spa_likelihood.htm (applet 2, betadichtheid)

  

  
  Deze aannemelijkheid laat zien dat een proeftoets van 60 rekentoetsopgaven de leerling best nog op een heel verkeerd been kan zetten.

  
  Wat is de voorspelling voor de kansen die deze leerling heeft op de nog af te leggen rekentoets? Die voorspellende toetsscoreverdeling is een betabinomiaalverdeling. spa_predictor.htm (applet 3, betabinomiaalverdeling)

  

  
  De slaagkans voor de leerling die zojuist op een proefrekntoets een score van 42 uit 60 heeft gehaald, is 0,74 op de af te leggen rekentoets met eveneens 60 vragen. Een heel stuk minder kansrijk dus dan wanneer het zeker zou zijn dat de eigen stofbeheersing 0,7 is.

  
  Ho ho, waar komt die slaagkans van 0,74 vandaan? In de bovenstaande applet is de slaagkans gelijk aan het verwachte nut (parameter expU), waarbij slagen het nut = 1 heeft, zakken het nut = 0. Die nutsberekening loopt vooruit op module 4 van het SPA-model.

  
  

  ---

  ---

  Rekenonderwijs vroeger

  
  Van het materiaal op mijn webpagina rekenonderwijs_ontwikkelingen.htm is in het bijzonder van belang het overzicht onder redactie van Bunt van het rekenonderwijs in de vijftiger jaren:

  
  L. N. H. Bunt (Red.) (1958). The teaching of arithmtic and mathematics to students between 6 and 15 years of age in the Netherlands. Subcommittee for the Netherlands of the International Commission on Mathematics Instruction. J. B. Wolters

  • Chapter I. J. D. Brinksma: Kindergarten, Elementary school, Continued elementary school.
  • Chapter VI. N. J. W. Witkamp: Technical day school
  • Chapter VII. J. H. Riemersma: Elementary agricultural school.
  • Chapter VIII. Corn. S. Bliek: School for home economics.
  • Chapter IX. H. Turkstra: The promotion from the primary to the grammar school in connection with the teaching of arithmetic.

  
  Belangrijke delen in het hoofdstuk van Brinksma heb ik vertaald: zie hier. Daaruit:

  Er zijn echter ook methoden waarin veel moeilijker getallen worden gegeven, in het bijzonder in methoden voor leerlingen die toelatingsexamen voor HBS of gymnasium [Bunt gebruikt grammar school voor beide] gaan doen. In een methode voor de vijfde klas noteerden we bijvoorbeeld de volgende opgaven:

  
  

        4 ¹⁄₂ × 2 ²⁄₃ × 7 ¹⁄₂ = . . . . ,

  
  

        9,45 + 1,26 × 0,18   = . . . .

            3,15 × 0,324

  
  

  ---

  
  

  
  

  ---

  ---

  Uit de oude doos

  
  Er is natuurlijk mijn pagina die in het bijzonder is gewijd aan historische rekenopgaven. Het is geen concurrentie voor de uitstekende artikelen die de laatste tijd in Euclides verschijnen, maar misschien een bescheiden aanvulling erop: hist_rekenopgaven.htm

  
  

  ---

  
  

  
  

  ---

  H. Turkstra (1957). Een onderzoek over de correlatie tussen de vorderingen voor algebra en meetkunde in de eerste klas van de middelbare school en het cijfer voor rekenen op de l.s. en op het toelatingsexamen voor de middelbare school. Euclides, 32, 161-172. tekstgedeelten, de toetsopgaven en resultaten, aantekeningen

  ---

  
  

  ---

  Carsten K. W. De Dreu, Bernard A. Nijstad, Matthijs Baas, Inge Wolsink and Marieke Roskes (2012). Working Memory Benefits Creative Insight, Musical Improvisation, and Original Ideation Through Maintained Task-Focused Attention. Personality and Social Psychology Bulletin, 38, 656. abstract

  uit de conlucies:

  Anecdotes and introspection suggest that creative geniuses benefitted from sustained attention and executive control, and a few systematic studies indeed revealed positive correlations between WMC and creative fluency—WMC associated with the generation of more creative solutions (e.g., Oberauer et al., 2008). Building on these works, the current study makes three contributions, namely (a) working memory not only predicts fluency but also the hallmark of creativity: insight performance and original ideation (Studies 1-4), (b) working memory relates to creative insight and ideation over and beyond general intelligence (Study 2), and (c) working memory relates to creativity because it enables persistence (i.e., sustained task-directed effort) rather than cognitive flexibility (Studies 2-4). These contributions have several implications for our thinking about creativity in general, and DPCM in particular. They also speak to a lingering issue in the literature on the benefits and detriments of conscious information processing and effortful deliberation.

  
  

  ---

  Graeme Paton (17 Jan 2013). Children to be marked up for using long division in maths. The Telegraph html

  Long division and multiplication will make a return to maths exams as part of a Government drive to boost standards in primary schools, it will be announced today.

  Ministers have already announced that calculators will be banned in maths tests sat by 11-year-olds at the end of primary school.

  Elizabeth Truss, the Education Minister, will outline the plans in a speech to the North of England Education Conference in Sheffield on Thursday.

  Speaking before the address, she said: “Chunking and gridding are tortured techniques but they have become the norm in recent years. Children just end up repeatedly adding or subtracting numbers, and batches of numbers.

  “They may give the right answer but they are not quick, efficient methods, nor are they methods children can build on, and apply to more complicated problems.

  “Column methods of addition and subtraction, short and long multiplication and division are far simpler, far quicker, far more effective and allow children to understand properly the calculation and therefore move on to more advanced problems.”

  The draft national curriculum for primary maths – published last year – specifies that children should learn “efficient calculation methods”, such as short and long multiplication and division.

  
  

  ---

  Liping Ma (1999). Knowing and Teaching Elementary Mathematics: Teachers’ Understanding of Fundamental Mathematics in China and the United States. Lawrence Erlbaum. [2e editie 2012: zelfde tekst, met enkele toegevoegde stukken, zoals over de gebeurtenissen na de publicatie in 1999; als eBook te leen bij de KB] info

  ---

  • Een uitstekende en gedetailleerde bespreking door Roger Howe pdf

  
  

  ---

  Karin den Heijer (2 oktober 2013). 'Rekenonderwijs is door vernieuwers verwoest' De Volkskrant webpagina

  ---

  • De nieuwe rekendidactiek was goed bedoeld maar werkte niet: leerlingen rekenen slechter dan ooit, schrijft Karin den Heijer.

    
    ( . . . )

    
    De rekentoets is geen oplossing voor het probleem dat leerlingen niet meer kunnen rekenen. Ik zou u graag de opgaven laten zien, zodat u ze zelf kunt beoordelen. Maar dat gaat niet, want de vragen van de rekenexamens blijven geheim. Het bovenstaande is geschreven op basis van de weinige voorbeeldtoetsen die door Cito zijn vrijgegeven en de mondelinge rapportage van mijn leerlingen.

    
Dat is natuurlijk een schandaal. Dat het voor de ontwerpers van die toetsen een probleem is telkens nieuwe contexten te bedenken, toont eerder de gekunsteldheid van de nieuwe rekendidactiek aan dan dat het een reden is het fundamentele recht op openbaarheid van examenopgaven met voeten te treden. De rekentoets is een belangrijk onderdeel van het eindexamen. Leerlingen kunnen binnenkort op het rekenexamen zakken. Bij zoiets hoort een schriftelijke afname met een eerste en tweede corrector. En een openbare discussie over de opgaven. Net als bij andere onderdelen van het eindexamen.

  
  

  ---

  5 november 2015 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

  ---

    http://www.benwilbrink.nl/projecten/cito_voorbeeldtoets_3F.htm http://goo.gl/Gd9FM

  ---