kopjes: Kleuterwiskunde - Leren van en met elkaar - Opdrachten die aan het denken zetten - De handigste manier - De rekenmachine - Wat mag je van brugklasleerlingen verwachten?
“Menig wiskundeleraar in de brugklas heeft inmiddels ontdekt dat de gemiddelde leerling niet eens meer het regeltje kent van ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Regeltjes aanleren of een vaste oplossingsmanier inslijpen door middel van lange rijen kale sommen, dat gebeurt niet meer op de basisschool.”
“Ook in de overige groepen van de basisschool is het reken-wiskundeonderwijs gebaseerd op de principes van het zogeheten constructivisme. Dat betekent dat kinderen onder leiding van de leerkracht hun eigen reken-wiskundige kennis construeren. ( .. )
Kinderen gaan met elkaar in gesprek, luisteren naar elkaars ideeën en komen zo vanzelf weer op nieuwe ideeën.”
[opgave: 6 × 249. Verschillende mogelijke uitwerkingen, 6 × 250 - 6 × 1 is de handigste.] “Misschien kunnen de kinderen zelf nog een paar vergelijkbare sommetjes verzinnen om deze handige aanpak nog eens extra te oefenen, dan worden ze zich meteen goed bewust voor welke sommen deze strategie geschikt. Er woden dus op de basisschool wel degelijk strategieën ingeoefend, maar daanaast krijgen kinderen de ruimte om zelf een eigen aanpak te kiezen. Op deze wijze worden ze flexibele rekenaars, die thuis zijn in de getallenwereld, allerlei rekenstrategieën kennen en zich bij elke som opnieuw afvragen: ‘Wat is in dit geval de handigste aanpak?’”
- Was het maar waar dat het zo werkt als Marjolein Kool hier stellig beweert. Ook opvallend: dat leerlingen het handige trucje moeten inoefenen! Wie riep ook alweer allerlei lelijks over ‘mechanistisch’ onderwijs en zijn ‘trucjes’?
“Wat kun je nou doen, als wiskundeleraar, als het sommetje 7½ : ¾ nog steeds grote problemen oplevert in de brugklas? Dan jeuken je handen toch om even snel het regeltje te leren: ‘delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’? Even trainen met een paar voorbeeldsommen en dan gauw verder. Tja, ik kan me voorstellen dat de verleiding groot is, maar misschie kunt u het toch eens op een andere manier proberen. Zet het vraagstuk in een context: Iemand heeft zelf 7½ liter wijn gemaakt en nu wil hij flessen gaan vullen. In elke fles gaat ¾ liter. Hoeveel flessen kan hij vullen?
Daar zal geen leerling voor terugschrikken. U moet dan echter zelf niet terugschrikken oor de verschillende oplossingsmanieren op verschillende niveaus, die de kinderen zullen aandragen.”
- Mij dunkt, de aangesproken wiskundeleraar doet er goed aan om Marjolein Kool kritisch te bevragen op de talrijke stilzwijgende vooronderstellingen in dit verhaal over waarom dat realistisch rekenen zo goed is.
- Verslag van een vragenlijstonderzoek
- Aardig overzicht. In de conclusies valt mij op dat de auteurs wel erg vanzelfsprekend ervan uitgaan dat al dat rekenen op concreet niveau (contexten) voorafgaat (moet gaan) aan meer formalistisch en abstract rekenen. Is dit misschein de grote misvatting in dit veld? Want waar is de theoretische en empirische onderbouwing van deze opvatting, gesteld tegenover het inzicht uit de cognitieve psychologie (Stellan Ohlsson) dat leren juist begint vanuit de abstracte regel, die vervolgens wordt verbijzonderd naar steeds specifiekere situaties?
- Danny Beckers & Harm Jan Smid (Red.) (2003). Grondbeginselen der rekenkunde. Uitgegeven door het wiskundig genootschap, Onder de Zinspreuk Mathesis Scientiarum Genitrix, te Leyden. Heruitgave Verloren zie hier. [Een rekenboek met contexten, met opvoedkundige strekking bijvoorbeeld, en daarmee een voorbeeld van geïntegreerd rekenonderwijs zou je kunnen zeggen. zie blz, 151 links]
“Het rekenboek besteedt voorts aandacht aan het leren denken van de leerling.”
- Jaap Vedder: ‘Volgens Bartjens . . .’ en de NVORWO. 152
“Rekenen/wiskunde op realistische wijze gegeven is essentieel om de belangstelling voor bèta en techniek te laten goeien.”
- Ruud Jongeling: Grafische rekenmachines in het vmbo. 156-158
- Jo Nelissen: Kinderen die niet leren rekenen. Opvattingen en discussie over dyscalculie en rekenproblemen. 166-171
- Otto van Poelje en Simon van der Salm: Rekeninstrumenten in maatschappij en school. 172-178
“We zien duidelijk dat maatschappij en school vroeger gescheiden functioneerden: terwijl rekeninstrumenten overal in de maatschappij in een vroeg stadium van ontwikkeling werden geaccepteerd, deed het onderwijs er meer dan 100 jaar over om te erkennen dat door mensen uitgevoerde algoritmen net zo goed — en meestal zlelfs beter — door rekeninstrumenten kunnen worden uitgevoerd. De laatste jaren echter zet de trend door, dat onderwijs in rekenen en wiskunde steeds meer wordt ondersteund door tijdbesparende en visualiserende rekeninstrumenten zoals de grafische rekenmachine en gespecialiseerde computersoftware.” [conclusie, p. 177]
- Jan Folkert Deinum & Egbert Harskamp: Werken met kommagetallen. 180-185
“Leerlingen die matig scoren op rekenen/wiskunde, blijken geen problemen te hebben met intuïtieve tegenstellingen in het rekenen met kommagetallen. We vermoeden dat dat te maken heeft met het leren rekenen met maatgetallen. Die maken het voor de leerlingen eenvoudig om te begrijpen wat er gebeurt als er gerekend wordt met kommagetallen. We pleiten er dan ook voor om in het vervolgonderwijs vooral vast te houden aan het rekenen met maatgetallen en niet met breuken, omdat die maatgetallen goed aansluiten bij de kennis van de leerlingen.”
- Kees Hoogland: Gecijferd. Hoe ga je om met de kwantitatieve aspecten van de wereld om ons heen? 186-189
- Goed stuk om het denken van Kees Hoogland in beeld te krijgen?
- Harm Jan Smid: Door onghehoorde lichticheyt. Simon Stevin propageerde in ‘De Thiende’ het gebruik van decimale breuken. 190-193
- Rob Bosch: Rekenen en algebraïsche vaardigheden 194-196.
- Algoritmisch handig rekenen. Verdraaid aardig beschreven. Het gaat om een techniek die de afgelopen decennis verwaarloosd is. In de zestiger jaren nog wel behandeld in de rekendidactiek van Goffree, Hiddink en Dijkshoorn. Zie voor verdere annotatie hier.
- Ed de Moor: Herinneringen aan Wiskobas 222-5
- Jan van de Craats: Babylonisch rekenen 234-7
- Gert de Kleuver: Uit de doos van mijn vader: een mulo-examen 242-3
- Danny Beckers: Boekbespreking / G.J.C. Nipper: 18 eeuwen Meten en wegen in de Lage Landen 244-5
- Marian Kollenveld: Jaarrede 2004 256-9 Anne van Streun: Op zoek naar .. 'Wiskundedidactiek anno 2005' 260-3
80-1 2004
Examennummer #1
80-3 2004
Harm Jan Smid (2004). Aansluiting vwo-wo: drama of hype? Euclides, 80, #6, 90-3.
80-5 2005
Harrie Broekman (2005). Helpen met leren helpt! Een hommage aan Pierre van Hiele. Euclides, 80, #6, 266-70.
80-6 2005
Pauline Vos (2005). PISA en TIMSS. Hoe staat het Nederlandse wiskundeonderwijs er internationaal gezien voor? Euclides, 80, #6, 316-20.
Roel van Asselt (2005). En hoe nu verder .. Versterking van de wiskunde van binnenuit. Euclides, 80, #6, 328-9
- Richt het onderwijs zo in, dat in de vraagstukken die moeten worden opgelost de leerling eigen oplossingsroutes moet bedenken (desnoods complexe patronen moet herkennen). Wie de huidige CE- wiskundevraagstukken analyseert, bemerkt dat leerlingen oplossingsroutes moeten volgen van (a) tot en met (f) die ze zelf nooit zouden hebben kunnen bedenken; hun creativiteit is voorgeprogrammeerd. Dat maakt de leerling afhankelijk en maakt de wiskundediscipline spanningsloos.
p. 329
78-4 2002/3
Onderzoeksvaardigheden en geïntegreerd onderwijs. Themanummer. pdf
- Jos Tolboom en Léon Tolboom: Praktische opdrachten, profielwerkstuk en het web. 150-152.
- Die profielwerkstukken zijn een mij niet zo bekend fenomeen. Mijn argwaan is dat het hier gaat om bezigheidstherapie: is dit werkelijk doeltreffend gebruik maken van de tijd van leerlingen? Afijn, daar gaat dit artikel van Tolboom & Tolboom natuurlijk niet over.
-
Hans Vogelzang: Op weg naar het profielwerkstuk. Aanpak van lange leerlijnen in de bètavakken op het Greijdanus College te Zwolle. 154-157.
- Mooi verhaal. De school is er behoorlijk druk mee. De vraag blijft: is dit doeltreffend gebruik van de tijd van de leerlingen? Ongetwijfeld zijn er leerlingen voor wie het antwoord bevestigend is, maar hoe zit het met al die andere leerlingen? De problematiek is verwant met die van de stage: stages zijn prachtig en nuttig, maar zijn ze ook nuttiger dan de inhoudelijke cursus die ze vervangen? Nee, dus.
- Ruth Forrester & John Searl: Praktisch werken: haal er alles uit! 170-173
- Propaganda. Over de band van Bruner. Wishful thinking.
-
Bert Zwaneveld: Wiskunde: integreren of differentiëren? Over het verwerven van onderzoeksvaardigheden. 174-177
- Moet dat dan? En als je het onderwijs daar al op inricht, lukt dat dan ook? Enzovoort.
-
Henk van der Kooij: Wiskunde integreerbaar? 184-189
- Henk twijfelt. Hij schetst de problematiek in het veld van het beroepsonderwijs. Competenties en PGO. Het beroepsonderwijs is wel het laatste veld waar je PGO zou willen uitproberen, lijkt me. Dat kan niet goed gaan. Kom ik Jeroen Onstenk hier nog tegen? Jazeker. Techniek moet zachter worden? In deze tijd zijn er fanatieke gelovigen in het competentie-concept (waar Henkvan de Kooij enige afstand van neemt).
- Roel van Asselt: Schoolwiskunde, de restauratie van een leergebied. Hoe krijgen we wiskunde als schoolvak weer op orde en aantrekkelijk? 190-194
- Eindelijk in dit themanummer een auteur die nuchter is. Dit lijkt me een heel verstandig verhaal.
- Adri Treffers: Breuken in het denken over geïntegreerd reken-wiskundeonderwijs. Evolutie in de ontwikkelig van het reken-wiskundeonderwijs: van integratief en veelsporig naar het denken in lange leerlijnen. 195-197
- Zoals wel vaker bij Adri Treffers treffen we hier een verkooppraatje voor het realistische gedachtengoed. De flauwekul van horizontaal en verticaal, werkelijk te gek voor woorden. Interessant: de erkenning van de overladenheid in de rekenopvattingen van Freudenthal in de zeventiger jaren.
77-4 2001/2
Een eeuw Bottema 1901-1992 Een eeuw meetkunde! Themanummer. pdf
- Geen bijdragen die expliciet over didactiek gaan.
69-1 1993/4
Bert Zwaneveld (1993). Wiskunde B op het vwo - verslag van een symposium. Euclides, 69, 10-12. pdf
69-3 1993/4
(1993). Overzicht brugklasboeken voor de basisvorming. Euclides, 69, 67-77. pdf
Moderne Wiskunde - Getal en Ruimte - Netwerk - Wiskunde Lijn - AanZet.
69-4 1993/4
Henk Mulder (1993). De toren van Snelson - een minimum in de kunst. Euclides, 69, 98-102. pdf
G. Bakker & F. J. Mahieu (1993). De wiskunde-examens vbo/mavo van 1993, eerste tijdvak. Euclides, 69, 103-110. pdf
Bram van der Wal (1993). Basisvorming getoetst. Euclides, 69, 117-120. Harm Boertien (1993). Reactie 'Basisvorming getoetst' 120-121. Bram van der Wal (1993). Een reactie op een reactie. 122s. pdf
69-5 1993/4
E. M. Koerts (1994). Moraal in het wiskundelokaal? Euclides, 69, 137-142. pdf
69-8 1993/4
Anne van Streun (1994). De wiskunde in de nieuwe vwo-profielen. Euclides, 69, 231-237. pdf
Zie vooral de Conclusies.
69-9 1993/4
B. L. J. Braaksma & A. van Streun (1994). Wiskundigen aan het werk. Euclides, 69, 279-281. pdf
Behoorlijk naïef, zie bijvoorbeeld de paragraaf: Een terugblik op het universitair onderwijs.
68-2 1992/3
Sectie Wiskunde Stedelijk Gymnasium Leiden (1992). Brief aan de voorzitter. [W12-16] Euclides, 68, 45-47. pdf
- Meer toepassingen: prima. Maar geforceerd alles vanuit het dagelijks leven en vanuit de belevingswereld van onze leerlingen willen brengen, daar niet bovenuit willen stijgen, en het abstraheren als iets heel smerigs en achterhaalds behandelen, dat is een heilloze weg waar sommigen blijkbaar koste wat het kost het wiskundeveld op willen duwen.Hier is uitvoerig op gereageerd. Zie deze jaargang #5, blz 146-154. pdf
Jan Muthert (1992) Cijferen of ontcijferen, Wiskunde A of tekstverklaring? (vervolg). Euclides, 68, 51-53. pdf
Bram Lagerwerf (1992) Het gebruik van contexten. Euclides, 68, 56-59. pdf
Wat een onzin.
68-4 1992/3
H. J. Smid (1992). W12-16 en de Bovenbouw Euclides, 68, 98-100. pdf
68-8 1992/3
Bert Zwaneveld (1992). Freudenthals laatste boek. Euclides, 68, 236-239. pdf
Victor Schmidt (1993). Rekenen anno 2002. Euclides, 68, 250-253. pdf
67-1 1991/2
Truus Dekker (1991). Eindexamens vwo en havo, eerste tijdvak 1991. Euclides, 67, 15-17. pdf
67-2 1991/2
H. N. Schuring, C. Lagerwaard & J. W. Maassen (1991). Eindexamens vwo en havo, eerste tijdvak 1991. Euclides, 67, 34-39. pdf
Francis Meester & Joop van Dormolen (1991). Het nieuwe leerplan 12-16 (3). Euclides, 67, 50-52. pdf
67-3 1991/2
H. J. Smid (1991). Onderwijs en resultaat. Euclides, 67, 85-88. pdf
E. J. J. Kremers & H. Boertien (1991). 'Onderwijs en resultaat' vanuit het Cito gezien. Euclides, 67, 88-92. [met dupliek van Harm Jan Smid] pdf
67-5 1991/2
J. A. C. Kolk (1992). Het vwo-programma wiskunde B: een oproep tot verandering. Euclides, 67, 136-141. pdf
Ed de Moor (1992). Analyse, synthese en elegance. Euclides, 67, 147-151. pdf
Joost Meijer, Jacob Perrenet & Wim Groen (1992). Leerboekeffecten: verkeerd weergegeven feiten en onjuiste interpretaties van Anne van Streun. [Met repliek van Van Streun: p. 155] Euclides, 67, 152-155. pdf
67-6 1991/2
Piet Verstappen (1992). Ter verheldering. pdf
- Delen kan feitelijk in realistische uitwerkingen niet aan de orde zijn, alleen verdelen. Dus geen inverse bewerking van vermenigvuldigen maar van optellen, dat wil zeggen van metaforen als ‘bijeenvoegen' en ‘tesamen'. Delen van dimensiegetallen bestaat niet, wel zich verhouden tot, zodat er twee verschillende perspectieven zijn: bijeenvoegen of weglaten en zich verhouden. Beide activiteiten moeten vervolgens in het leerproces geabstraheerd worden tot delen. Hoe men ook manipuleert, men staat voor een didactische crux, want het wiskundig denken staat haaks op het abstraheren. De wiskundige past het algemene toe op het bijzondere en niet omgekeerd. [mijn nadruk, b.w.] Net als fysische inductie haaks staat op wiskundige inductie. In het wiskundig denken fungeert een element als een algemeen element, doch een reële voorstelling kan dit niet.
De realist introduceert 'delen' als herhaald aftrekken, want daar komt een visuele voorstelling op neer. 7 : 2 is geen probleem, haal twee dingen tesa- men telkens van zeven dingen weg. Wat te doen echter met 2: 7? Zeven dingen telkens tesamen van twee dingen afhalen is de methode. Hoe is 7 herhaald aftrekbaar van 2? Door met tekorten te werken, zal de leerling denken als hij daarop getraind is en dan is hij volstrekt verdwaald in het donkere bos der werkelijkheid.
blz. 189
67-7 1991/2
Agneta Aukema & Huub Jansen (1992). Twee ontwikkelaars [van W12-16] geven weerwoord. Euclides, 67, 194-199. pdf
Een aantal stevige ‘realistische’ uitspraken van Marja Meeder en George Schoemaker. Lees de hubris van deze ontwikkelaars, het kleineren van andersdenkenden.
- Wat verstaan jullie onder realistisch wiskun- deonderwijs?
Twee aspecten zijn daarbij van belang: het toegankelijk maken van wiskunde voor álle leerlingen én het concreter maken van wiskunde zodat de leerlingen zich er iets bij kunnen voorstellen.In realistisch wiskundeonderwijs gaat het niet alleen om het toewerken naar een diploma, maar ook om het leren van wiskunde waar zowel goede als zwakke leerlingen voor de rest van hun leven wat aan hebben. Realistisch wiskundeonderwijs heeft aanrakingspunten met de wereld buiten de school en niet alleen met door wiskundigen of schoolboekenauteurs bedachte leerstof. Nuttige wiskunde staat soms haaks op wat nu nog in de examens wordt gevraagd. Wij vinden dat in het bestaande wiskundeonderwijs te veel getraind moet worden op het kunnen maken van standaardexamenopgaven. In de komende jaren moeten er examens ontwikkeld worden waarin zowel wiskunde die je nodig hebt voor het vervolgonderwijs als wiskunde die je kunt gebruiken in het dagelijkse leven beide gevraagd worden.
( .. )
‘Context-wiskunde is helemaal geen wiskunde!’, zeggen sommige leraren.
( .. ) Langzamerhand is iedereen er van overtuigd dat het nodig is om nieuwe begrippen, inzichten en vaardigheden vanuit concrete en voorstelbare situaties, contexten dus, te ontwikkelen.Nieuw is het inzicht dat het toetsen van het geleerde zowel dient te gebeuren door het aanbieden van 'kale' opgaven als ook door het aanbieden van nieuwe situaties waarin de leerlingen de kennis die zij hebben opgedaan in andere situaties moeten gebruiken. In de experimenteerscholen hebben we gezien dat de leerlingen daar ook toe in staat zijn.
( .. )
Zakrekenmachine en computer
Voor het rekenen, maar ook voor de algebra hebben we materiaal ontwikkeld waarbij de rekenmachine gebruikt kan worden. Wij vinden dat de zakrekenmachine ook op het examen gebruikt mag worden en dat je al vanaf de eerste klas de leerlingen daarmee moet leren werken. Daaraan zal in het onderwijs aandacht besteed moeten worden. Er zijn echter leraren die met overtuiging beweren dat hun leerlingen eerst goed moeten leren rekenen voordat ze aan de zakrekenmachine toe zijn. Dat is hun goed recht, maar wij zijn het daar niet mee eens.( .. )
Wij leggen minder nadruk op die rekenvaardigheden waarbij het resultaat met de zakrekenmachine of de computer sneller en beter kan worden bereikt (..).
N. H. M. Alink, M. Bos, H. G. B. Broekman, J. G. M. Donkers, W. E. Groen, L. T. J. M. van Schalkwijk, H. J. Smid, A. van Streun & A. Verweij (4 februari 1992). Open brief aan de voorzitter van de Commissie Ontwikkeling Wiskundeonderwijs Prof. dr. J. de Lange. Euclides, 67, 206-208. pdf
G. Bakker (1992). De wiskunde-examens lbo/mavo van 1991, eerste tijdvak. Euclides, 67, 218-224. pdf
67-9 1991/2
Jan de Lange (1992). Nieuwe curricula 12-16: de basis gevormd. Euclides, 67, 259-262. pdf
Harm Jan Smid (1992). Overvloed en onbehagen. Euclides, 67, 284-288. pdf
Bij het voorgestelde meetkundeprogramma W12-16. De moeite waard om hier een paar citaten op een rij te zetten.
- Een aanpak vanuit realistisch wiskundeonderwijs leidt snel tot een wat de feitelijke wiskundige inhoud betreft wat mager programma. De verpakking neemt veelal een groot deel van de tijd in beslag.
Ik denk dat het programma voor de wat betere leerling gewoon te weinig te bieden heeft.
Door de realistische inkleding van de stof begeef je je als docent voortdurend op het terrein van andere vakken. Freudenthal heeft wel eens gezegd dat er op een gegeven moment geen apart vak wiskunde in het onderwijs meer zou bestaan, maar dat dat in andere vakken zou zijn geïncorporeerd. Dat leek me sterk, maar nu lijkt het erop dat hij op een omgekeerde manier gelijk krijgt: wiskunde blijft wel als apart vak bestaan, maar is soms nauwelijks als zodanig te herkennen.Het lijkt mij verder dat de gekozen opzet gemakkelijk leidt tot een vorm van onderwijs dat vooral bestaat uit grote aantallen losstaande problemen en probleempjes. Een samenhangend geheel aan kennis en vaardigheden, waarop later voortgebouwd kan worden, ontstaat op die manier niet.
Er wordt in de leerstofbeschrijving ook wel over redeneren gesproken. Dat is echter geen oplossing van het probleem. Redeneren wordt, hoop ik, in alle vakken gedaan, evenals argumenteren. Het leren begrijpen en hanteren van wiskundige bewijsvoering is echter meer, en kan slechts door expliciet onderwijs verworven worden. Dat kost moeite en tijd, en voor sommige leerlingen is dit wellicht te hoog gegrepen. Dat kan echter geen reden zijn om alle leerlingen dan maar met een onjuist beeld van wiskunde op te zadelen.
Tot slot: naar mijn inzicht leidt de geschetste opzet niet tot het doel, leerlingen die daartoe in staat zijn probleemoplossend met wiskunde om te laten gaan. Qnderzoek in het kader van de cognitieve psychologie naar zogenaamd expert-gedrag wijst steeds weer uit dat probleemoplossend vermogen voor een belangrijk deel berust op kennis van een uitgebreid arsenaal aan regels, methoden, voorbeelden, strategieën etc. Uiteraard is daarbij de organisatie, beschikbaarheid en wendbaarheid van die kennis van groot belang. Zonder die kennis kan het echter niet: sterker nog, deze is een noodzakelijk startpunt voor verdergaande activiteiten. Ik vrees dat het voorgestelde programma in dit opzicht te kort schiet.
66-2 1990/1
M. C. van Hoorn (1990). Heuristiek en algoritmiek. Euclides, 66, 51-54. pdf
Over proefschrift, heuristiek, en Anne van Streun.
Anne van Streun (1990). Leerboeken: feiten en interpretaties. Euclides, 66, 55-60. pdf
- Mijn eigen overtuiging is dat vormen van probleemgestuurd onderwijs, zoals die al in het IOWO tot ontwikkeling kwamen, docenten kunnen helpen hun werk meer ontspannen en met meer plezier te doen dan bij sterk door de docent gestuurd onderwijs, waarbij de docent voortdurend het leerboek moet uitleggen
66-3 1990/1
Harm Jan Smid (1990). Twee stenen in de vijver Euclides, 66, 71-73. pdf
Discussie na een artikel van Anne van Streun (kritisch over aansluiting mavo-havo in relatie tot havo-A en havo-B wiskunde). Smid geeft commentaar op commentaren van Kindt en Meeder/Schoemaker.
66-4 1990/1
A. Arnoldussen-Van der Lugt & O. A. van Herwaarden (1990). Wiskunde in de landbouwwetenschappen Euclides, 66, 105-110. pdf
Wulfert P. van den Brink (1990). Probleem oplossen en het wiskunde-onderwijs Euclides, 66, 114-125. pdf
Teleurstellend: Wulfert van den Brink maakt hier een potje van zijn psychologie. Waarom schrijft hij dit artikel eigenlijk? Een aantal uitspraken op een rijtje, rijp en groen (zin en onzin) door elkaar. De tenenkrommende concluderende paragraaf zou er in zijn geheel bij moeten, eigenlijk, maar ja: haal het artikel op, en lees het daar. Zie dan meteen de interessante literatuurlijst. Het probleem is dat Van den Brink nogal eens in algemeenheden spreekt, zoals ‘leren denken’ en ‘probleemoplossen’ waar geen psychologische werkelijkheden aan corresponderen, en dat afwisselt met terzake doende analyses en inzichten die aan specifieke wiskunde zijn gekoppeld. Ik kan niet uit de voeten met uitspraken als ‘doel van onderwijs is leren denken’ — juist de suggestie die ervan uitgaat dat iedereen toch wel weet wat ermee is bedoeld, is misleidend. Ik weet niet wat ermee is bedoeld, ik heb nog nooit zulk onderwijs gezien, maar ik weet wel dat er veel ideologen zijn die dat ‘leren denken’ voorp stellen en in een adem door beweren dat inhouden (kennis) eigenlijk niet zo belangrijk zijn. Dat laatste zegt Van den Brink zeker niet. Het artikel is dan toch een uitdaging, zou je denken.
- Doelgericht en efficiënt Ieren denken behoort een hoofddoelstelling in het onderwijs te zijn.
Het is natuurlijk de vraag ofj e kunt leren denken in algemene zin.
Het wiskunde-onderwijs lijkt zeer geschikt om een bijdrage te leveren aan het leren denken.
Het wiskundig denken is vooral gebaseerd op het oplossen van problemen die een onafhankelijke, originele en creatieve aanpak vereisen en in veel mindere mate op het routinematig oplossen van standaardproblemen.
Wie problemen oplost in de wiskunde moet wiskundige kennis kunnen toepassen in nieuwe probleem-situaties waarvoor geen standaardoplossingen voorhanden zijn.
Daarvoor is een uitgebreide kennisbasis van declaratieve en procedurele kennis noodzakelijk. (..) en je moet beschikken over een groot aantal algoritmen waarmee standaardproblemen opgelost kunnen worden.
Een eerste vereiste om problemen op te kunnen lossen is kunnen denken. Maar daarnaast is ook inspiratie nodig. Invallen, plotselinge gedachten waarvan je niet precies weet waar ze vandaan ko- men, zijn bij veel problemen onmisbaar. De kennisbasis waarop die invallen gebaseerd zijn, zit in je hoofd. Het moet dus mogelijk zijn om die invallen voor te bereiden en uit te lokken. Het op de juiste wijze combineren van de kennis geeft de inval.
Het is natuurlijk de vraag of het expliciet onderwijzen van heuristieken betere probleemoplossers van de leerlingen maakt. Schoenfeld heeft in een aantal experimenten de effectiviteit van heuristisch wiskunde-onderwijs onderzocht. Hieruit blijkt dat heuristisch wiskunde-onderwijs effectief is mits de heuristieken zeer expliciet gemaakt worden engrondig bediscussieerd worden. Herhaling van de heuristieken is noodzakelijk en de leerlingen moe- ten aangespoord worden om ze te gebruiken.
Eerst zullen enkele klassieke fouten uit de school-wiskunde besproken worden: hoe ze ontstaan door mechanische training in deductief den- ken en hoe ze voorkomen kunnen worden met een meer heuristische aanpak. [par 3. Foutenanalyse]
Ook hier geldt weer: leer geen mechanische proce- durele regels aan maar los de opgaven begripsmatig op.
66-7 1990/1
F. H. Simons (1991). Aansluitingproblematiek vwo - wo. Euclides, 66, 204-206. pdf
Joop van Dormolen en Francis Meester (1991). Een nieuw leerplan 12-16. Euclides, 66, 211-214. pdf
Over de ontwikkeling naar realistisch wiskundeonderwijs. De auteurs geloven in de wet van de schapenkudde: als een schaap over de dam is, en er meer volgen, moet het wel goed zijn:
- Realistisch wiskundeonderwijs is geen hobby van vrijgestelden van de een of andere staatscommissie. De veranderingen op de basisschool van mechanistisch rekenen naar realistisch reken-wiskundeonderwijs en de wijzigingen in de programma's in de bovenbouw havo en vwo zijn voorlopers van de veranderingen voor de leeftijdsgroep 12-16. Het is de uitdrukking van het geloof, dat iedereen, zowel de 'elite' als de 'zwakkeren' moet kunnen profiteren van onderwijs. Natuurlijk zitten mensen die dat geloven niet alleen in de COW, in het Team W12- 16, in begeleidings- opleidingsinstituten. Als dergelijke ideeën niet gedragen zouden worden door grote aantallen leraren en niet te vergeten schoolboekenauteurs, zouden we niet aan een wijziging van het leerplan hoeven te beginnen. Een duidelijk voorbeeld is de invoering van het leerplan van de basisschool en van de examenprogramma's van het vwo en het havo.
Gert Bakker (1991). De wiskunde-examens lbo/mavo van 1990, eerste tijdvak. Euclides, 66, 215-221. pdf
66-9 1990/1
Jeanette Lubbers & Jan Muthert (1991). Cijferen of ontcijferen. Wiskunde A of tekstverklaring? Euclides, 66, 275-284. pdf
Huub Jansen (1991). Wiskunde 12-16 nader bekeken. Euclides, 66, 258-263. pdf
- In bijna alle reacties wordt de aansluiting op het vervolgonderwijs en met name op mto en havo-b als een punt van kritiek naar voren gebracht. Velen zijn bevreesd dat vooral het leren en inoefenen van wiskundige vaardigheden in het nieuwe program- ma verdwijnt of onvoldoende aandacht krijgt. Enkele uitspraken die hierop wijzen zijn: minder letterrekenen dupeert de leerlingen in hun vervolg- studie; met dit programma wordt een onvoldoende basis gelegd voor het volgen van verdere wiskunde; het aanleren van wiskundige routines moet geleide- lijk gebeuren, kost veel tijd en inspanning en kan niet in de bovenbouw even snel worden ingehaald. Eén werkgroep is van mening dat in de voorstellen sprake is van een negatieve instelling ten opzichte van algoritmen en standaardoplossingen en vraagt zich af: mogen we onze leerlingen geen gereedschap meer meegeven om een 'huis' te bouwen?contexten Een van de meest in het oog springende veranderingen in het nieuwe wiskundeonderwijs is het gebruik van contexten. In de verslagen wordt hierop veelvuldig ingegaan. Soms in positieve zin zoals blijkt uit uitspraken als: 'vanuit contextervaringen kunnen de leerlingen andere technieken leren' of 'contextopgaven moeten een belangrijke rol gaan spelen in het wiskundeonderwijs.' Meer terughoudendheid blijkt uit reacties als: meer contextrjke en toegepaste wiskunde is goed, maar niet zeker is of de leerlingen daardoor meer gemotiveerd zullen worden en ook niet of daardoor meer inzicht ontstaat; contextrjke wiskunde en toegepaste wiskunde prima, maar dit mag geen doel op zich worden. Daarnaast zijn er opmerkingen die de problemen benadrukken die de leerlingen bij het omgaan met contexten zullen ervaren: téveel leeswerk en té moeilijk voor taalzwakke leerlingen; contextopga- ven leveren de gemiddelde, slecht lezende mavo-leerling veel problemen op; het (té veel) werken met en vanuit contexten is niet in het belang van mavo/lbo-leerlingen; contextopgaven leiden meer tot tekstverklaring dan tot wiskunde en daardoor zullen taalzwakke en allochtone leerlingen niet aan de wiskunde toekomen.
Soms worden hierbij ook de problemen voor de docenten en auteurs van leerboeken gesignaleerd: het ontwerpen en maken van goede contextrjke opgaven is moeilijk en tijdrovend; in hoeverre contextrjk wiskundeonderwijs problemen zal gaan opleveren, valt nu nog niet te overzien, maar het vereist wel een andere houding van de docent.
Hier komt dus naar voren dat het werken met en vanuit contexten niet vanzelf leidt tot beter wiskundeonderwijs. Door één van de werkgroepen wordt hier aan toegevoegd: 'niet alleen intuïtieve en kwalitatieve wiskunde, maar óók deductieve en kwantitatieve wiskunde.'
65-1 1989/90
(1989). Examen havo 1989 Wiskunde A. Euclides, 65, #1, 4-7. pdf
65-3 1989/90
S. A. Bakker & H. Boertien (1989). Fair toetsen volgens het Cito. Euclides, 65, #3, 71-76. pdf
Sieb Kemme (1989). Wiskunde A doelgericht getoetst? Euclides, 65, #3, 71-76. pdf
65-4 1989/90
G.R.Veldkamp (1990). De wiskundeakten. Euclides, 65, 100-107. pdf
H. W. van Tilburg (1990). En de boer, hij ploegde voort. Euclides, 65, 108-111. pdf
Zelfontdekking: onverantwoord grote tijdvreter.
H.N. Schuring, C. Lagerwaard, W. Kleijne & J.W. Maassen (1990). Eindexamens vwo en havo eerste tijdvak 1989. Euclides, 65, 114-118. pdf
(1990). Regionale besprekingen wiskunde vwo en havo 1989 Euclides, 65, 118-119. pdf
65-6 1989/90
G. Bakker & J. G. Nijenhuis (1990). De wiskunde-examens lbo/mavo in 1990. Euclides, 65, 163. pdf
Toestemming om het aantal meerkeuzevragen te verminderen tot de helft van de te behalen punten.
Jacob Perrenet & Wim Groen (1990). Transfertest afgerond. Euclides, 65, 174-180. pdf
65-7 1989/90
Anne van Streun (1990). Wishful thinking en nieuwe leerplannen. Euclides, 65, 186-189. pdf
G. Bakker & J. G. Nijenhuis (1990). De wiskunde-examens lbo/mavo van 1989 I Euclides, 65, 190-195. pdf
Percentages onvoldoendes is wel opvallend.
65-9 1989/90
Hans ter Heege (1990). Op het grensvlak van basisschool en brugklas. Euclides, 65, 278-282. pdf
De zakrekenmachine.
64-2 1988/9
Henk Sissing (1988). Reken- en wiskundeonderwijs in het I.B.O. [Individueel Beroeps Onderwijs] Euclides, 64, #2, 39-47. pdf
Informatief artikel. Literatuurlijst geeft onderzoeken en andere belangrijke publicaties uit voorgaande jaren.
Joop van Dormolen (1988). Milan Kundera en de Werkgriep Zestien Min - Zestien Plus. (Serie: Auteurs in beeld)Euclides, 64, #2, 50-56. pdf
64-4 1988/9
Leon van den Broek (1988). De Wageningse Methode [Auteurs in beeld]. Euclides, 64, #4, 114-120. pdf
- Wiskundeonderwijs is pas zinvol als de te leren algoritmen begrepen zijn. Wij proberen dat te bereiken door gevarieerde opdrachten in steeds nieuwe situaties en weinig routine-opgaven. Bij een meetkunde-onderwerp ligt dat voor de hand, maar ook bij hoofdstukken uit de algebra volgen we deze aanpak.
Jan van de Craats (1988). Een standbeeld voor Leibniz. Euclides, 64, #4, 100-108. pdf
64-5 1988/9
Henk van Tijum & Anne van Streun (1989). Schrijven aan WISKUNDE LIJN [Auteurs in beeld]. Euclides, 64, #5, 145-152. pdf
64-6 1988/9
G. Bakker (1989). De schriftelijke eindexamens wiskunde lbo/mavo eerste tijdvak 1988 Euclides, 64, #6, 160-163. pdf
Mogen we van Gert Bakker, medewerker Cito, kritische geluiden verwachten? Het is zeker de moeite waard deze bespreking te lezen. Ook al omdat we hier een examen hebben dat voor het merendeel uit meerkeuzevragen bestaat. Hoe gek kunnen we het maken? Schijnt een maatregel van Ginjaar-Maas te zijn. Direct hierna:
NN (1989). Examenbesprekingen wiskunde C- en D-programma voor lbo en mavo. Euclides, 64, #6, 164-166. pdf
M. C. van Hoorn (1989). Over de mavo/lbo-examens van 1988. Euclides, 64, #6, 167-176. pdf
- Het bestuur van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren haakte in op de commotie met een brief (zie Euçlides jaargang 63, nummer 9, juni- juli 1988). In die brief werd aandacht gevraagd voor een alternatief van meerkeuzevragen: kort-antwoord-vragen. Reden genoeg om te proberen enkele kort-antwoord-vragen op te stellen, die bruikbaar geweest zouden zijn in de plaats van thans gebruikte meerkeuzevragen.
NN (1989). Sigma [Auteurs in beeld]. Euclides, 64, #6, 178-185. pdf
Zie op blz. 183 een serie uitgesproken observaties en opvattingen (van Brouwer en Van der Maaten)
64-7 1988/9
Bas van Cranenburgh (1989). Wiskunde voor het middelbaar beroepsonderwijs [Auteurs in beeld] Euclides, 64, #7, 206-209. pdf
S. P. van 't Riet (1989). Wiskundeonderwijs nu [boekbeschouwing; Bram Lagerwerf] Euclides, 64, #7, 210-215. pdf
64-8 1988/9
Sieb Kemme (1989). Boekbeschouwing [proefschrift Jan de Lange] Euclides, 64, #8, 230-234. pdf
Par 4: Hoe kunnen we geschikte toetsen bij het wiskunde-A-programma ontwerpen? (het toetsen van wiskunde-A)
Jan Postema (1989). Pluspunt [Auteurs in beeld] Euclides, 64, #8, 238-243. pdf
Pluspunt is een nieuwe rekenmethode voor het IBO.
63-2 1987/8
Leen Bozuwa (1987). Kan men nog rekenen op de Pabo? Euclides, 63, #2, 39-42. pdf
- Het reken/wiskundeniveau van de studenten die op de Pabo worden toegelaten, is veel te laag. Zelfs aan de meest elementaire voorwaarde, namelijk beheersing van de stof voor de basisschool, wordt door het merendeel van de studenten niet voldaan.
Jacob Perrenet & Wim Groen (1987). Transfertest halfweg. Euclides, 63, #2, 43-50. pdf
63-5 1987/8
G. Bakker (1988). De Centraal Schriftelijke Examens wiskunde lbo/mavo eerste tijdvak 1987. Euclides, 63, #5, 121-122. pdf
Bestaande uit telkens 30 meerkeuzevragen (2 punten elk) en 3 open vragen (10 punten elk). Hoe verzin je het. Maar er kwam dan ook verzet tegen.
Bestuur NVvW (1988). Enquêtes examens wiskunde mavo/lbo 1987. Euclides, 63, #5, 123-131. pdf
Bram van der Wal (1988). Het examen wiskunde lbo/mavo 1987. Euclides, 63, #5, 132-136. pdf
63-7 1987/8
J. ter Pelle (1988). Jet laatste nieuws [Commissie Ontwikkeling Wiskundeonderwijs COW]. . Euclides, 63, #7, 199-204. pdf
“In de volgende beschouwing schetst de COW haar inhoudelijke standpunt t.a.v.eindtermen.” Vervolgens is het schrikken! Context-dogmatiek. Vooral paragraaf 4 Globale bakens als toetscriteria van ontwikkelwerk is om gek van te worden. Afijn, leest u het zelf.
63-9 1987/8
Leren van en leren met Joop van Dormolen, in gesprek met Fred Goffree. Euclides, 63, #9, 252-265. pdf
Vertelt (p. 259) over de actie WISKOBAH van zijn collega Dick van den Haak
Als reactie op al die vernieu- wers, die oefenen en algoritmen maar minderwaar- dig vonden en alleen op begrip wilden werken. Hij had wel een beetje gelijk, maar zijn ‘Back-to-the- Basics’ actie (‘leer ze eerst de algoritmen maar eens goed, dan komt het begrip vanzelf wel’) was ook onjuist. Hij kreeg enorme bijval. Korte tijd later is hij overleden. Zijn zoon vertelde me dat hij dozen vol brieven met adhesiebetuigingen gevonden had. Dick zelf zei dat dat er over de 2500 waren. Op een totaalbestand toen van ongeveer 6000, wiskundeleraren was dat indrukwekkend.Diverse mensen wilden hem met tegen-artikelen te lijf, maar in de didactiek-commissie besloten we tot een positievere actie. Hij had immers gelijk, dat je leerlingen de gelegenheid moet geven goede algoritmische vaardigheden te verwerven. Maar wat zijn goede vaardigheden? Die vraag was de aanleiding om te zoeken naar operationele criteria en zo is ‘Vaardigheden, 1001 oorzaken waarom leerlingen geen (goede) routine hebben’ (IOWO 1975) ontstaan.
Bestuur NVvW (8 juni 1988). Brief aan de Staatssecretaris. Euclides, 63, #9, 274. pdf
Fundamentele bezwaren tegen het gebruik van meerkeuzetoetsen voor het vak wiskunde bij de eindexamens voor lbo en mavo op C- en D-niveau. Ik vind het overigens inhoudelijk niet sterk beargumenteerd.
62-3 1986/7
H. N. Schuring (1986). Toetsperikelen. Euclides, 62, #3, 79-84 pdf
Nou nou, wel erg stellig allemaal! Over de voordelen van meerkeuzetoetsen.
62-4 1986/7
Anne van Streun (1987). Nieuwe didactische wiskundelijnen. Euclides, 62, #4, 105-111. pdf
62-6 1986/7
Anne van Streun (1987). A BAS EUCLIDE! Weg met de verzamelingen .. . Euclides, 62, #6, 161-165. pdf
Nanda Querelle (1987). Multiple choice. Euclides, 62, #6, 167-170. pdf
Hans ter Heege (1987). Over de grens. [wiskundige aardrijkskunde] Euclides, 62, #6, 171-174. pdf
Harrie Broekman (1987). Structuur aanbrengen door leerlingen. Euclides, 62, #6, 179-185. pdf
62-7 1986/7
Sieb Kemme (1987). Is het wiskundeonderwijs in Nederland nog niet af? Euclides, 62, #7, 193-198. pdf
P. G. J. Vredenduin (1987). Veranderingen in het wiskundeonderwijs. Euclides, 62, #7, 213-222. pdf
62-8 1986/7
H. Boertien (1987). Doelen en toetsing bij toegepaste wiskunde: Een verkenning I. Euclides, 62, #8, 237-242. pdf
Is dit een schakel in de verschuiving naar contextopgaven bij het Cito? Ging het Cito daar alleen over?
62-9 1986/7
H. Boertien (1987). Doelen en toetsing bij toegepaste wiskunde: Een verkenning II. Euclides, 62, #9, 271-277. pdf
61-2 1985/6
Speciaal nummer over het IEA Tweede Wiskunde Project. Euclides, 61, #2. pdf
Het gaat hier om een voorloper van TIMSS. Het is niet het eerste project, welke zou dat geweest zijn: een afname in 1963, gerapporteerd door Groen en Wiegersma (zeg ik uit mijn hoofd). Het is een interessante aflevering, met veel opgaven uit de gebruikte toetsen ook, onderscheiden naar leerlingen uit havo/vwo, mavo, lto en lhno. Bijdragen zijn geschreven door
- Vredenduin, die als een soort gastredactuer optrad en zich voor de gelegenheid in het onderwerp had verdiept
- Schuring, medewerker van het Cito
- Van Essenberg, Krins en Van Steen, beleidsambtenaren OCW
- Solberg, directeur Cito
- Agnes Verweij, docent didactiek van de wiskunde aan de TH-Delft
- Jan Breeman
- Broekman en Weterings, vakdidactici, geven kritische bespreking van behoorlijk aantal van de gebruikte toetsvragen
- Warries en Pelgrum, TH Twente (onderwijskunde) waar de organisatie van een en ander was belegd (zoals ook nu nog voor TIMSS het geval is).
61-3 1985/6
Harrie Broekman & Johan M. J. Weterings (1985). Interpretatie en evaluatie van het tweede wiskunde project. Euclides, 61, #3, 97-105. pdf
- Op grond van het voorgaande kunnen we geen harde conclusies trekken. Wel willen we het vermoeden uitspreken dat de keuze van een contextopgave niet zonder meer een beter resultaat oplevert. Integendeel; de keuze van contextopgaven (tekstopgaven) kan het de leerlingen moeilijker maken tot een goede oplossing te komen als de gehanteerde taal dusdanig is dat de leerlingen belemmerd worden in het zich 'voor kunnen stellen' van de situatie. Dit klemt te meer als de situatie die ze zich voor moeten stellen niet 'realistisch' is. Maar wat meten we dan eigenlijk?
Een tweede vermoeden dat we uit willen spreken betreft de 'bekendheid' van dit soort opgaven. Ondanks het vele werk yan Wiskobas en anderen komt de vernieuwing van het reken-wiskunde- onderwijs voor 4 tot 12 jarigen vrij langzaam op gang. Een gevolg hiervan is dat het rekenen nog vaak plaats vindt aan de hand van 'kale opgaven' zonder steunpunten voor het denken vanuit realistische situaties. Voor veel van de getoetste leerlingen zullen deze opgaven 'nieuw' geweest zijn. Het is dan ook niet verwonderlijk dat ze daar minder goed scoren.
61-4 1985/6
Jacob Perrenet (1985). Een transfertest voor wiskunde. Euclides, 61, #4, 137-144.. pdf
60-2 1985/6
(1985). Examen vwo wiskunde A 1984, 1e periode. Euclides, 60, #2, 108-112. pdf
60-3 1985/6
Gijs Piret (1985). Wiskunde = denken. Wiskundig Nederland, let op uw saeck! Euclides, 60, #3, 140. pdf
Over het advies van het Cito dat het grootste deel van wiskunde kan worden getoetst met keuzevragen.
60-4 1985/6
Jan van Maanen (1985). Over het verdelen van aangeslibd land. Een brugklas projekt. Euclides, 60, #4, 161-168. pdf
60-6 1985/6
Redactie (1986). Het lbo- en het mavo-examen wiskunde. Euclides, 60, #6, 218-224. pdf
Informatief stuk door de redactie van Euclides. Hoe komen examens tot stand? Tendensen met betrekking tot het eindexamen. Het verschil tussen C- en D-niveau. De cesuurbepaling. De toetsmatrijs.
F. F. J. Gaillard & L. Bozuwa (1986). Examenbesprekingen lbo/mavo-C en mavo-D wiskunde 1984. Euclides, 60, #6, 226-229. pdf
60-7 1985/6
Anne van Streun (1986). Het onderzoeksproject 'Heuristisch wiskundeonderwijs'. Euclides, 60, #7, 257-262. pdf
W. J. Bos (1986). Gebruik je hersens! Euclides, 60, #7, 263-268. pdf
60-10 1985/6
P. M. van Hiele (1986). Op weg naar oplosmethoden met ruime toepasbaarheid. Euclides, 60, #10, 339-342. pdf
Interessante bespiegeling: het toetsen van inzicht / wat is een nieuwe situatie? Verrassend.
- Ik hoop dat ik met dit verhaal voldoende duidelijk heb gemaakt dat ik aan de transfer of training in verband met wiskunde-problemen geen grote reikwijdte toeken.
L. Streefland (1986). Probleemoplossen, heuristieken en realistisch wiskunde-onderwijs. Euclides, 60, #10, 343-347. pdf
(1986). Examen vwo Wiskunde A 1985, 1e periode. Euclides, 60, #10, 348-351. Examen vwo Wiskunde A 1985, 1e periode. Euclides, 60, #10, 351. pdf
61-8 1985/6
Werkgroep HEWET in de onderbouw (1986). HEWET in de onderbouw? Euclides, 61, #8, 268-272. pdf
Lees voor uzelf de gekkigheid. Zelfontdekkend leren.
- Een kenmerk van het nieuwe A-programma voor het vwo is dat er gebruik gemaakt wordt van allerlei realistische situaties: de wiskunde wordt ontwikkeld in samenhang met haar toepassingen in niet-wiskundige probleemsituaties. Immers in veel vakken en beroepen wordt gebruik gemaakt van wiskundige modellen. Voor leerlingen die dit later nodig hebben is het van groot belang dat ze leren werken met wiskunde die tastbare betekenis heeft.
- Hiermee verandert de rol van de leraar: de doceerles gevolgd door oefening wordt vervan- gen door zelfwerkzaamheid en samenvattende klassegesprekken.
59-3 1983/4
Pieter de Roest (1983). Wiskunde A examen voor vwo. Euclides, 59, #3, 185-187. pdf
Een kritische noot over HEWET, een wiskundemethode die berust op contexten. Die verdient wel meer dan een kritische noot, zou men denken. Op deze kritische noot is venijnig gereageerd, o.a. in Euclides nr 9 van deze jaargang door Van Streun (hij laat even het achterste van zijn tong zien als het over contexten gaat) en medewerkers aan HEWET; daarop reageerde de redactie van Euclides dan weer, mat een aansporing tot juist meer discussie. Is die er ook gekomen?
59-4 1983/4
Examennummer. Euclides, 59, #4. pdf
59-5 1983/4
Ton Lecluse (1984). Kanttekeningen bij het examen wiskunde II, 1983-I. Euclides, 59, #5, 241-243. pdf
Over inkonsekwente normeringen, zie hierover ook Buijs, in # 7.
59-7 1983/4
Dick Buijs (1984). Inkonsekwente normeringen. Euclides, 59, #7, 335-338. pdf
59-8 1983/4
Joh. H. Wansink (1984). [Gesprek van Goffree met Wansink, bij diens 90e verjaarrdag] Euclides, 59, #8, 358-387`. pdf
59-9 1983/4
A. van Streun (1984). Schijn bedriegt! Euclides, 59, #9, 428-429. pdf
Hier bekent Van Streun zich tot context-wiskunde, situationisme dus, ofwel HEWET.
Van Oosten, Scholten en Van der Valle (1984). Een reactie. Euclides, 59, #9, 430-431. pdf
Evenals bovengenoemd stukje van Van Streun is dit een reactie op een kritische bespreking van HEWET door Pieter de Roest, in #3 van deze jaargang van Euclides. Op blz. 431 ook een korte dupliek van Pieter van de Roest, en aan wat langere commentaar van de redactie van Euclides op deze discussie, waarin de reageerders een tikje onaangename stijl hanteren. En inderdaad, het betekent nogal wat wanneer wiskundeonderwijs wordt ingeruild tegen iets onbestemds in onbestemde contexten. De redactie vermoedt dat het hier gaat om een zaak die veel meer discussie verdient dan tot dan in gang is gezet. En terecht (als ik dat ook eens mag roepen)!.
59-10 1983/4
P. G. J. Vredenduin (1984). De Wageningse methode. Euclides, 59, #10, 459-470. pdf
Een realistische wiskundemethode. Situationisme uitgewerkt in een complete wiskundemethode. Vredenduin vindt het prachtig?
58-4 1982/3
Examennummer. Euclides, 58, #4. [NB: omslag vermeldt abusievelijk, ook in de online-versie: jaargang 57, 1981/1982] pdf
57-1 1981/2
A. van Streun (1981). Het leren oplossen van wiskundige problemen. Euclides, 57, #1, 3-13. pdf
57-2 1981/2
P. G. J. Vredenduin (1981). Leerplanontwikkeling onderweg 2a en 2b. Euclides, 57, #2, 41-60. pdf
Vredenduin bespreekt hier de twee leerplanpublicaties. Dit is situationisme in optima forma, het feest van de contextopgaven voor rekenen en wiskunde. Het is onduidelijk van wie de hierbeneden geciteerde uitspraak is, kennelijk van iemand in het IOWO. Het is een psychologisch naïef idee, wat op zich geen probleem hoeft te zijn als er maar empirisch toetsend onderzoek op wordt gezet. Helaas, dat laatste is nooit gebeurt. We hebben hier dus met ideologie te maken., een ideologie die een enorme impact op het onderwijs heeft gekregen, tot schade van de kwaliteit van het onderwijs. Want een en ander leidt tot verspilling van tijd en moeite, dag in, dag uit, jaar in, jaar uit, voor de vrijwel de gehele Nederlandse schoolbevolking.
We hopen bij de leerlingen een wiskundige attitude te bereiken zo dat als dat nodig is, zij hun wiskunde weten te gebruiken in de hun omringende realiteit.blz. 59
57-5/6 1981/2
Examennummer. Euclides, 57, 5/6. pdf
57-9 1981/2
N. van 't Riet & B. Zwaneveld (1982). Wiskundige houding.. Euclides, 57, #9, 333-346. pdf
Contexten. De misvatting dat dat wiskunde niet over wiskundige, maar over het dagelijks leven gaat. Of zoiets. Alsof er geen zaakvakken zijn waar wiskunde functioneel wordt ingezet. Nou ja. Droevig.
56-2 1980/1
A. Vermandel (1980). Wiskundig denken in de kals. Euclides, 56, 2, 55-64. pdf
Uitvoerig artikel, maar ik kan hier dus niets mee. Verwijst vooral naar Galperin, wat moeten we daarmee?
56-5 1980/1
Examennummer. Euclides, 56, #5. pdf
44-III 1968/9
Arthur Engel (1968). Systematic use of applications in mathematics teaching. Euclides, 44, 65-85. pdf
44-IX 1968/9
De eindexamens 1969. Euclides, 44, 272-279. [Opgavenexperimenterende vwo-scholen; en mavo-3 programma B] pdf
42-I 1966/7
E. J. Dijksterhuis (1966). De plaats van de geschiedenis in de studie der wiskunde. Euclides, 42, 1-11. [Dit is de oorspronkelijke Nederlandse tekst van The place of history in the training of a mathematics teacher, in L. H. N. Bunt (Red.) (1962). (rapport nr 7 van de Nederlnadse onderwijscommissie voor wiskunde)] pdf
42-IX 1966/7
M. Euwe (1967). Kennis van computer en automatisering als vak bij het middelbaar onderwijs. Euclides, 42, 257-268. pdf
Joh. H. Wansink (1967). Rondom het gelijkteken. Euclides, 42, 269-277. [equals sign]
Het gelijkteken is afkomstig van Robert Recorde (†1558). Voordien werd de betekenis ervan omschreven, bijv. met woorden als aequatur of aequalis est. Recorde motiveerde zijn voorkeur voor het gelijkteken door op te merken, dat er niets zou zijn dat meer gelijk is dan twee evenwijzige lijnen. Het heeft destijds meer dan een eeuw geduurd, voordat Recorde’s gelijkteken algemeen in gebruik werd genomen.
41-I 1965/6
J. Snoep (1965). Het wiskunde-onderwijs op de Engelse middelbare scholen. Euclides, 41 #1, 20-27 (met eindexamens 1963 G.C.E., vertaald). pdf
41-III 1965/6
Engelse examens nieuwe stijl. Euclides, 41 #3, 67-83 [opgaven School Mathematics project, zie ook hier onmiddellijk beneden] pdf
41-VI 1965/6
W. O. Storer (1966). Modernization of school mathematics in England. Euclides, 41 #6 161-168. [eigen bezit: (1964-1971) School Mathematics Project Cambridge University Press. Some reprints (Metric) Book & (1964), Books 1-4 (#5 lacking, of dat zou het volume T moeten zijn) isbn 0521076684 0521076706 0521076714] pdf
40-I 1964/5
Joh. H. Wansink (1964). Aspecten van de opleiding tot wiskundeleraar in Nedeland - anno 1963. Euclides, 40, 1-21. pdf
40-III 1964/5
D. J. Struik (1964). On ancient Chinese mathematics. Euclides, 40, #3, 65-78. pdf
40-IV 1964/5
Lucas N. H. (1964). Statistics in schools. Basic notions for testing a hypothesis. Euclides, 40, #3, 97-117. pdf
40-V 1964/5
A. J. E. M. Smeur (1964). As I was going to St. Ives, I met a man with seven wives. Euclides, 40, #3, 129-136. pdf
39-VII 1963/4
Bruno Ernst (1964). Is invoering van de rekenliniaal bij het VHMO gewenst? Euclides, 39, 200-207.
B. Meulenbeld (1964). De rekenliniaal op de middelbare school. Euclides, 39, 207-209. pdf
39-X 1963/4
L. N. H. Bunt (1964). Verslag van de "International Working Session on New Methods in the Teaching of Mathematics" van de O.E.S.O. Euclides Maandblad voor de Didactiek van de Wiskunde, 39e jaargang 1963/1964, X - 15 juli 1964, pp 289-302. In het thema situationisme zijn aanbevelingen XI en XII interessant, zie hier voor de tekst. pdf
38-I 1962/3
P. G J. Vredenduin: De contrapositie en het bewijs uit het ongerijmde. 20-222. pdf
- V. geeft een mooi voorbeeld van verschil tussen de wiskunde en de mathematische logica.
38-II 1962/3
H. K. Schppers: Een instructie uit het jaar 1817. 50-52. pdf
- Instructie voor den Onderwijzer in de Wiskunde aan de Latijnsche Scholen te Franeker.
38-III 1962/3
A. B. Menk: De rekenliniaal op de scholen voor V.H.M.O. 71-74. pdf
38-V 1962/3
P. Wijdenes: Pool en poollijn. 141-150. pdf
- Wijdenes behandelt het probleem dat leerboeken de analytische meetkunde niet altijd zo behandelen dat de stof inzichtelijk kan zijn voor de leerling. Hij geeft voorbeelden. Ik vind het een interessant onderwerp omdat ik zelf die analytische meetkunde weliswaar redelijk goed beheerste, maar tot uren voorafgaand aan mijn mondeling eindexamen erover niet echt begreep. Jammer alleen: heel die analytische meetkunde ben ik na een halve eeuw niet gebruiken ervan, glad vergeten. Al roept de titel van dit artikel wel de nodige associaties op ;-)
38-VI 1962/3
E. W. Beth (1963). Logische en denkpsychologische aspecten van de vernieuwing van het wiskundeonderwijs. 179-187. pdf
- Beth geeft geen beschouwing over denkpsychologie, behalve een enkele opmerking over ideeën van Piaget (niet zo vreemd, gezien: Evert W. Beth & Jean Piaget (1966). Mathematical Epistemology and Psychology. Translated from the French by W. Mays). Hij vraagt wel om ‘studie en onderzoek op het gebied van de denkpsychlogie’ (blz. 187 punt 3.).
38-VII/VIII 1962/3
J. G. Kemeny: Which subjects in modern mathematics and which applications can find a place in programs of secondary school instruction? 193-212. pdf
- Opvallend wat er in staat: optimisme over wat middelbare scholieren aan wiskunde zouden kunnen leren (geen enkel empirisch onderzoek om dat aannemelijk te maken); de onderwerpen, natuurlijk: verzamelingenleer, statistiek en waarschijnlijkheid, maar ook bijvoorbeeld toplogie. Opvallend wat er niet in staat: waar is onderwijs eigenlijk voor, en wat zou de plaats van wiskunde daarin kunnen zijn; dat allerlei mooie ideeën een stevige wetenschappelijke basis zouden moeten hebben (quod non) voordat leerlingen er in experimenten aan worden gewaagd.
The International Commisison on Mathematical Instruction [ICMI] chose the present topic as one to be studied by national subcommissions in the years 1958 to 1962.(206) The Netherlands report recommends that “stress should be laid on thinking mathematically and more value attached to this ability than to knowledge of a variety of less important facts.” If this philosophy is adopted, than presumably the exact choice of topics is not nearly as significant as the manner in which they are presented in the high school.
37-I 1961/62
H. J. Jacobs, Jr. (1960). Welke ontwikkelingsmomenten zijn er in het werk van de wiskunde werkgroep van de afgelopen 25 jaar op te merken? Euclides, 37, #I, 1-10. pdf
37-II 1961/62
L. N. H. Bunt (1961). Vernieuwing van het wiskudne-onderwijs in de Verenigde Staten. Euclides, 37, #II, 35-53. pdf
37-VI 1961/62
P. Woestenenk (1962). Het vak rekenen op de kweekschool. Een oriëntatie. Euclides, 37, #VI, 187-198. pdf
36-V 1960/61
W. Peremans (1961). Het doel van het onderwijs in de wiskunde bij het voorbereidend hoger en middelbaar onderwijs. Euclides, 36, V, 145-163. pdf
36-VI 1960/61
H. J. A. Duparc (1961). Welke gevolgen brengt de veanderde plaats der wiskunde in de maatschappij met zich mede? Euclides, 36, VI, 177-200. pdf
36-VII 1960/61
Themanummer over algebraonderwijs
- P. G. J. Vredendun: De toekomst van het algebra-onderwijs in de onderbouw
- C. J. Alders: Functies en grafieken
- W. J. Bos: De ontwikkeling van het algebra-onderwijs
- P. M. van Hiele: De gewenste ontwikkeling van het algebra-onderwijs in de eerste vier klassen van het V.H.M.O.
- M. Minnaert: Het onderwijs in de algebra in de vier lagere klassen.
36-VIII 1960/61
N. H. Kuiper (1961). Welke gevolgen voor het V.H. en <.O. brengt de moderne ontwikkeling der wiskundige wetenschappen met zich mede? Euclides, 36, VIII, 257-284. pdf
35-II 1959/60
Verslag van de Nomenclatuurcommissie. Euclides, 35, 49-78 en Euclides, 35, 49-78 en 187-189. pdf
35-VI 1959/60
P. M. van Hiele (1960). Nieuwe onderwerpen in de wiskunde. Mogelijkheden en criteria. Euclides, 35, 177-186. pdf
bz.177
35-VII 1959/60
Leeman, Bunt & Vredendui (1960). Verslag van het seminarium New Thinking in School Mathematics van de O.E.E.S. [OECD] [‘Royaumont’] Euclides, 35, 218-228. pdf
35-X 1959/60
P. G. J. Vredenduin (1960). Historische achtergronden van de infinitesimaalrekening. Euclides, 35, 305-328. pdf [vgl. Boyer: The history of the calculus]
34-I 1958/59
P. G. J. Vredenduin (1958). De academische opleiding van de leraar in de exacte vakken. Euclides, 34, I, 2-25. pdf
34-III 1958/59
H. W. Lenstra (1959). Het nieuwe wiskundeproramma. + publicatie in Het Staatsblad 1958, 431. Euclides, 34, III, 65-72. pdf
J. F. Hufferman (1959). Uit de voorgeschiedenis van het wiskunde onderwijs aan onze middelbare scholen. Euclides, 34, III, 83-89. pdf
J. C. H. Gerretsen (1959). Doelstelling van het wiskundeonderwijs. Euclides, 34, III, 90-93. pdf
34-V 1958/59
E. M. Bruins (1959). De algebra der oudheid en der middeleeuwen. Euclides, 34, V, 131-159. pdf
34-VIII 1958/59
J. Jacobs, Jr. (1959). De dissertaties van de Van Hiele’s. Euclides, 34, VIII, 246-253. pdf
34-IX 1958/59
E. W. Beth (1959). Moderne logica 257-266. Euclides, 34, IX. pdf
H. Streefkerk (1959). De toekomst van ons wiskundeonderwijs. Euclides, 34, IX, 267-277. pdf
H. Streefkerk (1959). Voorstel voor een nieuw leerplan met moderne onderwerpen uit de wiskunde, voor athenaeum en gymnasium. Euclides, 34, IX, 278-286. pdf
34-X 1958/59
H. Freudenthal (1959). Report on a comparative study of methods of initiation into geometry. Euclides, 34, X, 289-306 pdf
33-II 1958/59
P. M. van Hiele & D. van Hiele-Geldof (1957). Een fenomenologische inleiding tot de meetkunde. Euclides, 34, II, 33-46. pdf
33-III 1958/59
J. W. Dekker (1957). Het onderwijs in de differentiaal- en integraalrekening in verband met de natuurwetenschappen. Euclides, 34, III, 67-77. pdf
33-VIII 1958/59
D. van Hiele-Geldof (1958). De didaktiek van de meetkunde in het begin van het tweede leerjaar van het V.H.M.O. De overgang naar het tweede denkniveau. Euclides, 34, VIII, 233-254. pdf
32-V 1956/7
H. Turkstra (1957). Een onderzoek over de correlatie tussen de vorderingen voor algebra en meetkunde in de eerste klas van de middelbare school en het cijfer voor rekenen op de l.s. en op het toelatingsexamen voor de middelbare school. Euclides, 32, 161-172. pdf
- Serendipiteit. Het toeval helpt weer een beetje. Ik kon op de wiskundeboekenveiling van de NVvW een aantal jaargangen van dit tijdschriften kopen. Het eerste nummer dat ik wil bekijken, bevat dit artikel als eerste. Prachtig.
- Turkstra begint met terug te grijpen op het rapport Verdenius uit 1929. Kennen we dat? Jazeker:
- De Commissie van Onderzoek en Advies inzake de aansluiting van lager en voortgezet onderwijs, benoemd door burgemeester en wethouders van ’s-Gravenhage (1928). De aansluiting van lager en voortgezet onderwijs. Groningen: Wolters. Ook het archiefje van deze commissie is nog aanwezig . Ik heb op enkele plaatsen al materiaal uit dit boek op websites gezet.
Ik zal uit dit artikel van Turkstra de relevante informatie over de in de vijftiger jaren gebruikte rekentoetsen overnemen (o.a. toelatingsexamen rekenen 1955 Hilversum). Waarschijnlijk zal blijken dat een deel van de verwarring over het rekenen kennelijk van alle tijden is (‘leren denken’, samenhang met verschillen in intelligentie).
De laatste van de serie scans hierbeneden geeft voor een enkele klas leerlingen de cijfers die zij voor rekenen op hun laatste rapport van de lagere school hadden. Aan die cijfers is te zien dat deze klas een topselectie uit de Hilversumse leerlingen vormen. Laten we zeggen dat deze leerlingen behoren tot de top 15% van de 12 jarigen. Dit gegeven is niet onbelangrijk voor de interpretatie van de onderzoekgegevens van Turkstra. In diezelfde scan ook de scores voor respectievelijk deel I en II van de toelatingstoets rekenen. Deel I is een toets op wat Turkstra ‘technisch’ rekenen noemt; met een beetje fantasie zou je kunnen zeggen dat Turkstra hier een rekentoets op niveau 3S heeft gemaakt. Ik ben benieuwd of Jan van de Craats, voorzitter van de commissie-3S, aan kan geven welke interessante verschillen en overeenkomsten hij ziet. De uitslagen op deze rekentoets I geven enig houvast. Ik neem aan dat het cijfer voor deze rekentoets I gelijk is aan het aantal goed beantwoorde opgaven. [Dit is een malle regel, die als enig voordeel heeft dat iedereen weet waar hij of zij aan toe is. Psychometrici zullen ook als voordeel zien dat zodoende de scores goed spreiden, maar of dat verdedigbaar onderwijsbeleid is, waag ik aan te vechten. B.W.]
Rekentoets II is niet een toets met traditionele redactiesommen. Evenmin zijn het contextopgaven avant la lettre. Deze opgaven zijn bedoeld om de intelligentie van de leerlingen te testen. Het is interessant om een studie van dit testje te maken, in vergelijking met sommige opgaven uit de voorbeeldrekentoetsen van het Cito/CvE, en bedenk dan dat de scores op dit testje (in de laatste scan gegeven) afkomstig zijn van een topgroep van ca. 15% uit de bevolking van twaalfjarigen. Merk op dat de rekentest I met hoge scores wordt gemaakt, en dat er op de intelligentietest II een grote spreiding van scores is. Daar valt heel wat over te filosoferen, maar dat zal ik hier niet doen, anders dan de filosofie van Turkstra en anderen kort uitleggen.
Opgave 5 is een algebrasom. Althans, ik zie niet in hoe deze valt uit te rekenen anders dan door algebraïsch te redeneren (voorbeeld van de regel dat deklen door een breuk gelijk staat aan het vermenigvuldigen met het omgekeerde va die breuk). Voor de oorlog is er een pittige discussie geweest over redactiesommen die veel beter algebraïsch zijn op te lossen dan door ze uit te rekenen: doe dat dan ook algebraïsch, in het lager onderwijs (voorstel van o.a. Philip Kohnstamm, als ik me goed herinner).
Het is wel grappig om te zien hoe Turkstra worstelt met de gegevens die hij in de eigen school in een reeks klassen heeft verzameld. Hij noemt het correlatieonderzoek, maar hij berekent werkelijk geen enkele correlatie. Geweldig zinvol is heel zijn exercitie op voorhand al niet, als het hem erom is te doen voor de groep toegelaten leerlingen de wiskundeprestaties te voorspellen op basis van de scores op zijn tests Rekenen I en Rekenen II. Hij zit met zijn data opgesloten binnen een selecte en geselecteerde groep leerlingen: daarbinnen zijn de correlaties niet hoog door de restriction of range die het gevolg is van de zelf-selectie van de kandidaten, en de selectie binnen de groep kandidaten. Wie de validiteit van een selectietest wil leren kennen, moet dat in beginsel onderzoeken binnen een niet-geselecteerde groep. Als we de zelf-selectie buiten beschouwing laten, dus de groep aanmelders voor de toelatingsselectie als uitgangspunt nemen, dan doe je zo’n onderzoek door een keer de hele aangemelde groep zowel te testen (en de resultaten daarvan geheim te houden bij een notaris) als de hele groep toe te laten. En dan zien hoe de balletjes gaan rollen. In de 19e eeuw was er een prachtige kans, die niet benut is: in de eerste jaren van de HBS van Thorbecke was er geen toelatingsselectie.
Allemaal gekheid, natuurlijk. Wat wel serieus is: dat wiskundigen altijd maar weer flirten met de ‘denkpschologie’, en vervolgens daar vreemde dingen mee gaan doen. Turkstra doet het. Pierre van Hiele doet het (zie NAW juni 2012), Freudenthal en heel zijn groep doen het. Niemand komt op het idee om de psychologie van het reken- en wiskundeonderwijs te beleggen waar ze thuishoort: bij psychologen.Concreet. Als je verschillen in intelligentie wilt testen, doe dat dan niet met een Rekentest II die de indruk wekt over rekenen te gaan. Gebruik een intelligentietest. Noem desnoods je test met rekenproblemen ‘intelligentietest’.
De actualiteit van deze thematiek is natuurlijk dat niet alleen de voorbeeldrekentoetsen wemelen van de kenmerken die wijzen op meting van verschillen in intelligentie (werkgeheugen, zie ook hierbeneden), maar dat er in het rekenwereldje nog steeds bij voorkeur wordt gesproken over ‘begrijpen, inzicht en probleemoplossen’, wat categorieën zijn die beter passen bij intelligentietesterij dan bij het rekenonderwijs.
Rekenen I ( . . . ) is eigenlijk een toets, dat iedere candidaat eenvoudig technisch rekenwerk vlot kan verrichten, kan hoofdrekenen met niet te grote getallen en nauwkeurig kan cijferen. Het is de minimumeis, die men kan en mag stellen. Zonder deze kennis en vaardigheid kan men eenvoudig geen wiskunde in klas 1 van de M.S. beoefenen. Maar het examen moet meer inhouden dan enkel een toetsing van de techniek der verworven kennis.
Vandaar dat in Rekenen II een onderzoek wordt ingesteld naar het logisch en zinvol inzien van het verband tussen de beschikbare gegevens in eenvoudige denkvraagstukken. De candidaat moet zich weten te redden met opgaven, waarin gevallen en situaties voorkomen, die hij nog niet eerder is tegengekomen, waarop hij ook niet kan worden afgericht. Daartoe dienden, zoals we in par. 1 zagen, het soort opgaven als tot nu toe door het Nutsseminarium werden opgesteld. Echter eenvoudige opgaven, die een appèl doen op het ordenend vermogen, het combinatievermogen, het critisch inzicht e.d. In par. 91 van onze Rekendidactiek [Turkstra & Timmer. B.W.] somden wij er een aantal hele eenvoudige op (minimumeis), waarvan ik er enkele hier weergeef:
- Vul op de open plaats een geschikt getal in en zeg waarom je juist zo doet:
2 20 52 3 30 ..
-
Maak een grafiek van de volgende tabel:
| Jan | Piet | Kees | Henk | Arie | Wim jaren ..| 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 kg . . .| 42 | 47 | 48 | 52 | 54 | 60Zet op een horizontale lijn vanuit een bepaald beginpunt de jaren naar rechts uit en vanuit hetzelfde punt op een verticale lijn de kg naar boven. Welke van deze jongens is de lichtste? Welke is voor zijn leeftijd de lichtste? Welke is de zwaarste? Welke is voor zijn leeftijd de zwaarste? (dit komt dus neer op een eenvoudige grafiek kunnen lezen).
- Hoeveel gehele getallen staan er van 27 tot en met 54? Hoeveel gehele getallen tussen 27 en 54?
- Een boek telt 168 bladzijden. De eerste bladzijde heeft het nummer 5. Welk nummer heeft de laatste bladzij? (Een vraagje naar de algemene ontwikkeling kan worden toegevoegd: hoe kan het, dat de eerste bladzij met no. 5 begint?).
-
Waaraan kun je zien dat 273 × 352 = 137774 foutief is? (Meerdere argumenten opnoemen, bijv. 3 × 2 ≠ 4; 273 × 352 < 300 × 400 < 120000 < 137774).
Het correct oplossen van dit soort vraagstukjes vordert naast een beheerste rekentechniek ook een critisch inzicht en een zeker ordenend vermogen. En dat juist hebben we nodig bij ons wiskundeonderwijs in de eerste klas van de M.S.
Turkstra, 1957, p. 164-165.
De straks genoemde Toelatingscommissie had in 1929 behalve de traditionele ook enkele z.g. ‘ongewone’ vraagstukken opgegeven en ze heeft nagegaan hoe het verloop der vorderingen voor wiskunde was van die candidaten, die deze afwijkende vraagstukken (waarop de candidaten dus niet waren afgericht) goed hadden opgelost. Het bleek, zo rapporteert de commissie, dat deze over ’t algemeen goede leerlingen voor het vak wiskunde waren.
Ook in de volgende jaren heeft men dergelijke proeven gedaan, nu eens met minder dan met meer succes. Door deze resultaten gestimuleerd, kwam in het najaar van 1983, door ovrleg van de wiskundegroep van de W.V.O. (werkgemeenschap voor vernieuwing van Opvoeding en Onderwijs) en het Nutsseminarium voor Paedagogiek, een wiskundewerkgroep tot stand, onder leiding van Prof. Kohnstamm, die zich ten doel stelde vragen van wiskunde-didactiek, in ’t bijzonder betrekking hadden op de aansluiting L.O.—M.O., te onderzoeken. Deze commissie, waarin vertegenwoordigers van het L.O. en van het M.O. zitting hadden, heeft sindsdien de taak toebedeeld gekregen om elk jaar rekenopgaven voor het toelatingsexamen op te stellen, de U bekende Rekenopgaven van het Nutsseminarium. Als medewerker in deze commissie heb ik van nabij mogen kennis nemen van de nieuwe inzichten, volgens welk de commissie zich laat leiden. Getracht wordt n.l. op de grondslag van de psychologie van het denken (denkpsychologische school), speciaal van het mathematische denken, opgaven op te stellen, die afwijken van het oude type ‘denksommen’. Men zal in deze opgaven dan ook niet aantreffen de bekende foefjes en handigheidjes uit de oude denksommen, waarop nu eenmaal iedere leerling perfect kan wordenafgericht (appèl op het gehuegen) en die dus èn als selectiemiddel èn als intelligentietest ten enemale waardeloos zijn. Maar er wordt ernstig naar gestreefd, door dit werk bepaalde intelligentiecriteria, als b.v. het ordenen van de gegevens, combinatie van de juiste gegevens, selectie bij het overzien van de gegevens (ordenend vermogen, combinatievermogen, selectief vermogen ofwel critisch inzicht, enz.) te testen. Of ons dat elk jaar in voldoende mate is gelukt, is natuurlijk zeer de vraag.
Over de in 1948 door de candidaten gemaakte examenopgaven, heeft het Nutsseminarium een uitgebreid onderzoek ingesteld naar de correlatie met de rapportcijfers voor wiskunde en het gemiddelde rapportcijfer in de eerste klas en de uitslag van de overgang naar de tweede klas.
Dit onderzoek heeft niet opgeleverd wat wij er van hadden verwacht. Wel bleek over het algemeen, dat met dit werk de knappe en de domme leerlingen er vrij behoorlijk uit waren te halen, maar omtrent de grote middenmoot heeft het ons niet verder gebracht. [Heeft men zich werkelijk laten misleiden door de ana;yse niet behoorlijk statistisch uit te voeren? B.W.] Misschien lag het aan het feit, dat deze opgaven vaak te moeilijk waren gesteld, n.l. boven het kinderlijke bevattingsvermogen. Met het oog hierop is is de commissie de laatste jaren ertoe overgegaan om naast de stellen van 3 lange tekstopgaven ook stellen van 5 of meer kleinere opgaven, met enkelvoudige rekendenkelementen, op te stellen, zonder te vervallen in de traditionele oude denksommen van het genre weg-, werk- en kraansommen, waar de candidaten nu eenmaal perfect op kunnen worden afgericht.
Turkstra, 1957, p. 161-162.
Wat betreft de aard van het tegenwoordige rekenonderwijs op de L.S., daar is natuurlijk een artikel op zich zelf wel over te schrijven. Dat zou ons echter te ver voeren. Hoofdzaak is, dat wij weten, dathet rekenonderwijs op de L.S. de laatste jaren sterk invloed heeft ondervonden van de nieuwe inzichten in de rekendidactiek [en de realisten in de Freudenthal-groep maar roepen dat zij de eerste zijn die die de didactiek van het rekenonderwijs op de kaart hebben gezet. B.W.] Wie de moeite neemt om de nieuwe rekenmethodes, die op de L.S. gebruikt worden, eens aandachtig door te bladeren, zal het opvallen, dat de leerlingen een heel ander soort rekenen voorgezet krijgen dan b.v. een 20 jaar geleden. Geen weg-, werk- en kraansommen, geen onpractische levensvreemde vraagstukken, maar opgaven in de trant van:
het opstellen van schema’s uit opsommingen;
het invullen van open plaatsen in een schema;
het tekenen van een grafiek naar aanleiding van een gegeven schema of tabel;
het afronden van een onnauwkeurig antwoord;
het schatten en controleren van het antwoord en meer dergelijke rekencriteria en natuurlijk ook gewoon technisch rekenen.
Meer kan ik er in dit korte bestek niet over schrijven. Uitvoerig hebben we onze ideeën over een neiuwe rekendidactiek weergegeven in ons werk ‘Rekendidactiek in 2 delen, Turkstra en Timmer, uitg. Wolters, Groningen’.
Turkstra, 1957, p. 163-164.
Ik begin te vermoeden dat deze intelligentietest-achtige rekenopgaven wel eens resultaten kunnen geven die behoorlijk voorspelbaar zijn op basis van de kenmerken van het werkgeheugen van de betreffende leerlingen: heeft dat werkgeheugen wat meer capaciteit, dan is het meteen een stuk makkelijker om al die nieuwe informatie overzichtelijk op te nemen dan voor leerlingen bij wie dat werkgeheugen minder aankan. Zie voor een recente publicatie over dit fenomeen:- Carsten K. W. De Dreu, Bernard A. Nijstad, Matthijs Baas, Inge Wolsink and Marieke Roskes (2012). Working Memory Benefits Creative Insight, Musical Improvisation, and Original Ideation Through Maintained Task-Focused Attention. Personality and Social Psychology Bulletin, 38, 656. abstract
J. J. W. Berghuys (1957). De intuïtie der meetkunde. Euclides, 32, 173-183.
- In het rapport van de Leerplan-Commissie-1954 van WIMECOS wordt aanbevolen, dat in het leerplan voor wiskunde voor de HBS uitdrukkelijk vermeld zal worden een intuïtieve inleiding tot de vlakke meetkunde.
- H. Freudenthal (1955). De ruimeopvatting in de exacte wetenschappen van Kant tot heden. Euclides, 31, 165-182.
16 augustus 2015 2015 \ contact ben at at at benwilbrink.nl\ \
\
http://www.benwilbrink.nl/projecten/Euclides.htm
http://goo.gl/vTRrT - Jaap Vedder: ‘Volgens Bartjens . . .’ en de NVORWO. 152