http://www.benwilbrink.nl/literature/hiele.htm
D. Fuys, D. Geddes & R Welchman Tischler ((1957/1985). English Translations of Selected Writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Prepared as part of the research project: An investigation of the Van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Brooklyn College, C.U.N.Y. ERIC/SMEC. pdf
Part II. Last article written by Dina van Hiele-Geldof entitled: Didactics of Gemetry as Learning Process for Adults. (215-235)
Part III. Summary of Pierre van Hiele’s dissertation entitled: The Problem of Insight in Connection with School Children’s Insight into the Subject-Matter of Geometry. 235-242
A Child’s Thought and Geometry. 243-252
Bibliography of writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. 253-259
D. van Hiele-Geldof (1957). De didaktiek van de meetkunde in de eerste klas van het v.h.m.o. Meulenhoff/Muusses/Erven Noordhoff/Nijgh & Van Ditmar/Struy, Van Mantgem & Van der Does.
De handelsuitgave meldt dat bij de voorbereiding van het boek zijn betrokken: M. J. Langeveld en H. Freudenthal. Zij zeggen in hun Woord ten geleide:
Haar “wiskundig geweten” spreekt fundamenteel o.a. in haar wens, een wiskunde-onderwijs te bevorderen, dat een natuurlijk aanknopingspunt zou vinden in denkprocessen van kinderen — en niet alleen van “the happy few”. Een wiskunde-onderwijs, dat reëel binnenleiden zou in een denkvorm en dat dáárom vormend zou zijn voor het denken — en dat niet vormend geacht wordt, omdat bepaalde “resultaten” behaald worden, welke veelal te zeer bepaald zijn door aangeleerd en niet zelden kortademig en tot de schoolsituatie, ja-zelfs tot het lesuur beperkt toepassen van weetjes-op-hoger-niveau. Haar leek dit toe evenmin wiskundig als pedagogisch waardevol te zijn en zij zocht dus haar weg naar het punt waar zij dit kinderlijk-denkende bezig zijn met wat nog geen wiskunde was maar waaruit deze groeien kon, in aktieve staat zou aantreffen. Daarom bevat dit boek protokollen van leergesprekken. Daarom laat het zien, hoe in de werkelijkheid van het klassegesprek een wiskundig ordenend denken ontwaakt; hoe het geleid en gesteudn kan worden, zodat de weg — een kange weg uiteraard — naar de wiskunde betreden kan worden; hoe dit kan geschieden op een wijze, die het zelfvertrouwen van het kind niet aantast, het vertrouwen in zijn mogelijkheid om “dat moeilijke vak” ooit te leren tot ontwikkeling brengt, het besef van de mogelijkheden, welke de menselijke geest op het gebied van de wiskunde heeft, tot een ervaring van het kind maakt.
Langeveld en Freudenthal, p. V van het Woord ten geleide.
De theoretische gedeelten lijken me adequaat (Duitse denkpsychologie), ik ben er wel benieuwd naar.
Van Hiele-Geldof kon natuurlijk niet filmen in de klas, evenmin geluidsopnamen maken, en had geen assistenten die alles nauwkeurig konden noteren. Op p. 76-77 beschrijft ze haar werkwijze om tot een zo nauwkeurig mogelijk verslag van de klassikale lessen te kunnen komen. De protokollen zijn dus niet letterlijk, maar van deze aantekeningen later op de dag uitgewerkt.
Het gaat om om protokollen van klassikale lessen, dus niet van begeleiding van individuele leerlingen of groepjes leerlingen. Het gaat om eerste klassen V.H.M.O. Bijvoorbeeld groep 1A, 24 leerlingen, waarvan de zes zittenblijvers elders zelfstandig werk deden. De leerlingen werkten in schriftjes die na iedere les werden ingenomen. Het protokol van de eerste meetkundeles heb ik overgenomen in Meetkundeles vhmo 50er jaren, blog 7919 op het forum van BON.
Dit proefschrift levert dus uniek materiaal over meetkundeonderwijs in klas 1 V.H.M.O. door een lerares met behoorlijke ervaring, en een wiskundige opleiding. Ik zal er niet veel in kunnen herkennen: mijn leraar wiskunde, Seligman, werkte natuurlijk niet zo intensief interacterend met de klas als Van Hiele-Geldof hier rapporteert.
Het materiaal wordt vervolgens geduid, in termen van de niveautheorie van Pierre van Hiele, die gelijktijdig aan zijn dissertatie werkte; dit lijkt me op voorhand het zwakke onderdeel van het proefschrift: zij spreekt over leerlingen op bijvoorbeeld het derde denkniveau, bijna alsof dat letterlijk zichbaar zou zijn aan de neuzen van de jongelui. Hier had Langeveld wel wat strenger op mogen toezien. Maar goed, ik moet nog de tijd vinden om dit proefschrift rustig te bestuderen.
Is dit empirisch onderzoek? Ik vermoed dat er een adequaat theoretisch kader is, en adequate verzameling van gegevens over de gebeurtenissen in de klassen. Dat materiaal is van grote waarde. De interpretatie ervan is hachelijk: de neiging bestaat bij didactici om eigen begrippenkaders te ontwikkelen, en de wereld dan vervolgens ook helder volgens die kaders geordend waar te nemen. Dat is mooi, maar het is geen goede manier van werken: juist die interpretaties zijn de achilleshiel (no pun intended) van dit type denkpsychologisch onderzoek, als er geen maatregelen zijn genomen om de validiteit van de toepassing van zo’n begrippenkader, zoals de niveautheorie van Pierre van Hiele, te onderzoeken. Dat validiteitsonderzoek zie ik hier niet, maar ik kan me vergissen. Pierre van Hiele heeft het zelf in ieder geval niet gedaan. Achterwege laten van dergelijk validiteitsonderzoek, maakt het theoretiseren buitengewoon kwetsbaar voor ontsporingen en radicalisering, zoals in latere ontwikellingen van Wiskobas en realistisch rekenen is te constateren. In de vijftiger jaren, waar harde Amerikaanse psychologische onderzoekmethoden in Nederland nog nauwelijks werden toegepast, is de werkwijze van Van Hiele-Geldof heel begrijpelijk. Het gaat hier dan ook niet om kritiek op haar werkwijze, maar om het in de zestiger jaren in Nederland groeiende inzicht dat theoretische beschouwingen alleen zin hebben wanneer er een empirische toetsing op mogelijk is. Linschoten, met zijn Idolen van de psycholoog [integraal, maar helaas zonder de afbeeldingen, beschikbaar op dbnl.nl], is het markeringspunt voor die ommezwaai in methodologisch denken, evenals overigens de Methodologie van A. D. de Groot [ook integraal beschikbaar op dbnl.nl]
De vraag, waar de hier volgende studie zich voornamelijk mee bezighoudt, luidt: “Is het mogelijk door materiaalaanbieding een didaktiek te volgen, waarbij het aanschouwelijke denken van het kind kontinu wordt ontwikkeld tot het abstrakte denken, dat vereist is voor het logische systeem van de meetkunde?”
p. viii
Ik ontken dat onmiddellijk: bovenstaande vraagstelling is nogal aanmatigend. Vandaag de dag zou het zo zeker niet meer worden geformuleerd, als er tenminste psychologen in de buurt zijn. Langeveld heeft het destijds kennelijk geaccepteerd. Ik vraag mij ook af of Piaget zoiets geschreven zou kunnen hebben: ik verwacht het niet. De nauwelijks verborgen vooronderstelling van Van Hiele-Geldof lijkt immers te zijn dat de kwaliteit van het cognitief functioneren een resultaat is van opvoeding en onderwijs, op een aanvankelijk onbeschreven blad gegrift.
Dat Van Hiele-Geldof hevig belang stelt in het denken en het leren denken verbaast natuurlijk niet, dat is een belangstelling die zij met zeer velen deelt. De invulling daarvan is gedeeltelijk bepaald door psychologische publicaties uit het interbellum (Gestalt-psychologie, denkpsychologie van Selz, experimenten van Duncker, onderzoek van Piaget) en na WO II (zoals het proefschrift van A. D. de Groot over het denken van de schaker), maar de ondergrond is toch wat de Engelsen folk psychology zouden noemen: het idee dat wiskunde leren vooral logisch en abstract leren denken inhoudt, dat het daar ook om te doen is, en dat de didactiek daar dan ook op gericht zou moeten zijn. Van het leren van de klassieke talen werd hetzelfde gezegd. En nog steeds zijn er didactici die volhouden dat het bij het rekenonderwijs, bijvoorbeeld, alleereerst van belang is om wiskundig te leren denken. Het zij allemaal heel grote woorden, en ik ken geen wetenschappelijk onderzoek dat deze folk psychology bevestigt.
Kortom, Van Hiele-Geldog kiest een onmogelijke uitgangspositie. In het uitwerken van het theoretisch kader zal zij ongetwijfeld tot de nodige nuanceringen komen, ik ben daar benieuwd naar.
Het blijft verbazingwekkend dat in dit vertrekpunt van Van Hiele-Geldof iedere aandacht ontbreekt voor het belang van de inhoud van het meetkunde-onderwijs als voorbereiding op wat later komt: vervolgonderwijs, functioneren in de samenleving. Dus niet in termen van logisch hebben leren denken, maar van kennis en vaardigheden die op enigerlei wijze later van pas kunnen komen.
Het is natuurlijk wel het geval dat wij een verwetenschappelijkte samenleving hebben, waarin denken langs wetenschappelijke lijnen een vanzelfsprekendheid is geworden. Daar speelt onderwijs ongetwijfeld ook een rol bij. Dit is een lastige thematiek, waar James Lynn recent een coherente visie op heeft ontwikkeld omdat het fenomeen van de almaar stijgende intelligentie dringend om een goede verklaring vraagt. Mogelijk is die stijgende intelligentie ook van belang bij een vergelijking van onderwijs en onderwisjonderzoek in de vijftiger jaren, met dat van een halve eeuw later, waar immers de jeugd in intellectueel opzicht beter is toegerust voor het volgen van onderwijs dat aanspraak doet op het vermogen tot abstract redeneren.
Deze annotatie staat qua lengte natuurlijk in geen verhouding tot het korte citaat, maar ik zoek naar een geschikt kader om het denken van de Van Hieles, Freudenthal, mw. Ehrenfest en anderen te kunnen plaatsen. Ik denk dat het van belang is om het werk van de Van Hieles goed te karakteriseren, om zo een goede uitgangspositie te krijgen voor het bestuderen van de invloed die dit werk heeft kunnen hebben op de latere ontwikkelingen in en rond het rekenonderwijs in Nederland, in het bijzonder natuurlijk op de Freudenthal-groep die zich juist beroept op hun baanbrekende werk.
Het volgende citaat geeft aan hoezeer Van Hiele-Geldof en haar omgeving het meetkundeonderwijs zien als iets dat op zichzelf staat en en misschien wel juist daardoor leert logisch te denken (ordenen).
De funktie van de inleidende kursus tot de meetkunde zal daarom moeten zijn de leerlingen door middel van een fenomenale analyse te brengen tot het expliciteren van een groot aantal meetkundige relaties. Daarna zal men de samenhang tussen deze relaties moeten laten opsporen en laten expliciteren. Onder leiding van de leraar kan deze samenhang geleidelijk worden ontwikkeld tot een logische ordening.
blz. vii
P. M. van Hiele (1973). Begrip en inzicht. Werkboek van de wiskundedidactiek. Muusses.
... een serie artikelen die een grote onderlinge samenhang vertonen. Centraal staat de teorie der denkniveaus. Er wordt bekeken, hoe ze optreden, waardoor ze ontstaan, hoe de docent en de leerlingen ze beleven. De metodieken waarbij de telescoped reteaching wordt toegepast zijn het antwoord op de problemen die door de denkniveaus worden veroorzaakt.
De bundel bevat 26 artikelen en artikeltjes, eerder elders verschenen en hier in herziene vorm, of nieuwe artikeltjes.
De bundel lijdt onder het euvel dat er veel wordt beweerd, zonder heldere kaders. Verwijzingen naar relevante literatuur zijn zeldzaam. Voor de niveautheorie is er natuurlijk het proefschrift van de auteur, en dat van zijn echtgenote, maar ook daarnaar is niet nadrukkelijk verwezen. Zo kan het dus gebeuren dat artikel 5 Aan welke didactische principes behoort ons onderwijs van elke dag te voldoen en welke invloed heeft dat op de methode het helemaal zonder literatuur moet doen, behalve zoiets vaags als ‘Kohnstamm heeft er eens op gewezen, ....’ De boodschap reduceert zo tot persoonlijke wijsheid van Van Hiele, waarmee hij zichzelf ongetwijfeld tekort doet. Ik heb er voor het ontwerpen van toetsvragen dus helemaal niets aan, behalve misschien een enkel aardig idee, waar ik dan zelf de wetenschappelijke fundering voor zou moeten aanbrengen. Piaget komt natuurlijk wel aan bod, maar de ontwikkelingspsychologie vernauwen tot het werk van Piaget is niet geweldig vruchtbaar.
1. Evenredigheden. Zie ../projecten/breuken.htm#Hiele_1973
2. Het oplossen van stelsels vergelijkingen [niet didactisch, niet gescand]
3. Is het gebruik van grafieken geoorloofd als bewijsmiddel?
\4. De habitus van de leerling in de brugklas van het voortgezet onderwijs
5. Aan welke didaktische principes behoort ons onderwijs van elke dag te voldoen en welke invloed heeft dat op de metode?
6. De betekenis van vaardigheid in de wiskunde.
7. Het probleem van de motivatie in het onderwijs [oppervlakkig, niet gescand]
8. De verhouding tussen teorie en vraagstukken in de wiskunde
9. De modernisering van de wiskunde en het basisonderwijs
10. De struktuur van de moderne wiskunde
11. De bezigheden en beslommeringen van de leraar
12. Is inzicht toetsbraa?
13. Kan men de invoering van nieuwe wiskundige begrippen onbeperkt vervroegen?
14. De niveaustruktuur in de argumentatie
15. Nadere analyse en konskwenties van de niveauteorie
16. Een fenomenologische inleiding tot de meetkunde
17. De invloed van het inzicht op de habitus van de leerling
18. Een denkpsychologische benadering van het begrip denkniveau
19. De betekenis van de leerintentie in het leerproces
20. Is het mogelijk een metodiek te ontwerpen als toepassing van een didaktiek?
21. De ontwikkeling van het getalbegrip bij het kind.
Hoofdstuk 22. Zouden we het rekenen met breuken misschien kunnen afschaffen? Lijkt me een goede vraag, hem stellen is hem beantwoorden. Ik moet hier nog eens heel serieus werk van maken. Ik heb ergens een aantekening gemaakt van iemand die de moeilijkheden bij het onderwijs van breuken wijt aan didactische onhandigheden, omdat leerlingen bijvoorbeeld heel goed in staat zijn op natuurlijke wijze om te gaan met geldbedragen in centen. Mogelijk was het Dewey. Nu nog empirisch onderzoek vinden dat hier antwoord op geeft.
23. Objektiviteit [irrelevant, niet gescand]
24. De beïnvloeding van het onderwijs-leerproces door de leraar [irrelevant, wel scan]
25. De wiskunde van het basis- en het voortgezet onderwijs in de nabije toekomst
26. Doelstellingen van het wiskunde-onderwijs [hier word ik niet echt blij van]
Pierre M. van Hiele (1986). Structure and Insight. A Theory of Mathematics Education. Academic Press.
Dit boek is vertaald uit het Nederlands, maar er staat niet met zoveel woorden dat het een vertaling is van zijn (1973) Begrip en inzicht
In zijn voorwoord doet Van Hiele een aantal opmerkelijke uitspraken, die zijn werk in een ander daglicht stellen dan valt op te maken uit publicaties vanuit de Freudenthal-groep. Ik zal ze citeren, in het Engels.
. . . . the levels of thinking apporach originated from my wish to improve teaching outcomes and my theory is useful only after the background has been made clear.
p. vii
Deze manier van forumleren suggereert dat van Hiele ziet dat zijn theorie door Freudenthal en de zijnen niet correct wordt gebruikt. In de volgende alinea stelt Van Hiele met zoveel woorden dat het ijdel is om niveaus te onderscheiden, zonder uit te gaan van de achterliggende theorie. Sterker nog: ook voor de onderwijspraktijk is de achterliggende theorie belangrijker dan het concreet aanwijzen van niveaus.
The goal of this book is to contribute to the improvement of teaching. Yet there is, of necessity, considrable theory in it: an understanding of how the levels can be used in practice requires an understanding of the theory behind it. There are ways to ascend from one level to the next and the teacher can help the pupil to find these ways. To be able to do this we need a theory, and practice follows from it. I was never much interested in the question of how many leels can be identified in a certain topic because it is possible to improve teahing without answring this question.
p. vii
Het is onmiddellijk duidelijk dat Van Hiele niet behoort tot de Freudenthal-groep: hij stelt het primaat van de theorie, terwijl Freudenthal dat juist verre van zich werpt (en ondertussen zijn persoonlijke theorie over didactiek de wereld in stuurt). Ik ben benieuwd of voor Van Hiele daar dan ook bij hoort dat die theorie berust op relevant empirisch onderzoek, en hoe hij dan ziet hoe dat empirisch onderzoek relevant is voor het onderwijs in rekenen en wiskunde. Toch komt er enig Freundenthaliaans denken bij kijken, in dit voorwoord:
Many original ideas can be found in this book. I came upon them in analyzing dubious theries of both psychologists and pedagogues. It is not difficult to unmask such theories: simply test them in practice. Often this is not done because of the prestige of the theory’s proponents.
p. viii
De geciteerde opvatting is ongelooflijk arrogant, luizig, of hoe noem je zoiets. Van Hiele is wiskundige, en maakt hier dezelfde fout die Freudenthal in heel zijn latere leven maakte: psychologische theorievorming niet in de context van de psychologie, maar van het eigen gezonde verstand beoordelen. Dat slaat natuurlijk nergens op. Ik zal Van Hiele dus buitengewoon achterdochtig volgen.
Tenslotte geeft het voorwoord nog een korte beschrijving van structuren en het belang ervan. Dat lijkt me nuttig om te arresteren:
Some psychologies la much stress on the learning of facts. The learning of structures, however, is a superior goal. Facts very often become outmoded; they sink into oblivion because of their lack of coherence. In a structure facts have sense; if part of a structure is forgotten, the remaining part facilitates recall of the lost one. It is woth studying the way structures work because of their importance for the process of thinking. For this reason a consideable part of my book is devoted to structures.
p. viii
Voor mij is dit psychologische wartaal, al begrijp ik wel waar Van Hiele op doelt (bijvoorbeeld Roger C. Schank and Robert P. Abelson Scripts, plans, goals and understanding : an inquiry into human knowledge structures. Erlbaum; en andere psychologische werken die hij niet in zijn literatuurlijst noemt), en kennelijk doelt hij ook op het abstraheren zoals dat een hoofdkenmerk van wiskunde is. Hij heeft over structuren een bijzonder aardig boek gepubliceerd: (1981). Struktuur. Muusses. De tekst levert het bewijs: ik zal dit boek doorwerken, maar gezien het tijdbeslag dat dat vergt, niet op stel en sprong.
Uit zijn schooltijd zegt Van Hiele zich te herinneren dat het lastig was om meteen te zien dat 3a + 5a = 8a, maar 3a × 5a = 15a2 en niet 15a. En let op: a3 × a5 is niet a15. Didactisch goed opgemerkt. En ja, zijn algebra-boekje schonk aan deze begripsvorming kennelijk geen enkele aandacht, evenmin als zijn leraar. Het lijkt me een belangrijke observatie van Van Hiele, en dar denkt hij zelf ook zo over: hij begint er bijna zijn inleiding mee.
Van Hiele loopt hier de literatuur langs waaruit hij zijn inspiratie heeft geput. Interessant om te weten, maar het feit dat hij Gestalt-psychologie en het werk van Piaget noemt, maakt waarschijnlijk het theoretisch denken van Van Hiele niet toegankelijker voor lezers zoals ik. Pierre van Hiele heeft er gewoon zijn eigen dingen mee gedaan, zonder een stevige koppeling met, of juist een zich afzetten tegen gevestigde theorieën. Dat maakt zijn theorie bepaald niet sterker, moet ik zeggen. In dit voorwoord geeft Van Hiele een lijstje met verschillen met het werk van Piaget, waaruit ik alleen maar kan concluderen dat Van Hiele weliswaar schatplichtig is aan Piaget voor het idee van niveaus op zich, maar er verder ongeveer niets mee heeft. Voor een kritische beschouwing van de theorie van Van Hiele wordt het er dan niet eenvoudiger op: het werk moet geheel op eigen kracht en zwakte worden beoordeeld, omdat het niet deelt in een groter theoretisch kader. Nu ik dit zo opschrijf, bedenk ik dat inderdaad de theoretische literatuur die Van Hiele noemt in zijn Inleiding geen theoretisch kader vormt, maar aangeeft wat zijn inspiratiebronnen zijn geweest.
Van Hiele presenteert hier een rijtje grandiose questies. Die sla ik over. Wel van belang is het volgende citaat, en bedenk daarbij dat Van Hiele in dit boek geen experimenteel bewijs levert, en geen dwingende theorie.
In this book you will find a description f a theory of cognitive levels. I show you how levels of thinking demonstrate themselves, hw they coe into existence, how they are experienced by teachers and how by pupils. You will also see how we can take account of those levels in writing textbooks.
p.
Da kan dus niet zomaar. Op ijn minst zal Van Hiele experimenteel moeten aantonen dat er intersubjectieve overeenstemming is te bereiken over wie wanneer welk niveau demonstreert in geleverde prestaties (want het denken zelf kunnen we niet direct waarnemen). Een methode schrijven: dat kan naturulijk altijd, maar het helpt wanneer de methode stevige empirische toetsing heeft doorstaan. Welnu, die ontbreekt ten enen male. Nu kan ik erop wachten dat Van Hiele gaat argumenteren dat zijn theorie evident waar is: je kunt het met eigen ogen zien. Een paar voorbereidende opmerkingen in die richting heeft hij in de eerste bladzijden va het boek gemaakt. En inderdaad, op zijn minst voor zichzelf heeft hij die evidentie. Is die evident overdraagbaar? Ongetwijfeld, het is bijvoorbeeld op verzoek van anderen dat hij deze engelstalige uitgave van zijn eerdere boek mogelijk heeft gemaakt. Maar dat is niet het punt. het springende punt is: doorstaat zijn theorie empirische toetsing?
Ik kan helemaal niets met deze uiteenzettingen over structuren. Ik begrijp dat bij Van Hiele alles structuur heeft, maar dan schiet het niet op om met dit begrip structuur verder te gaan. Het is warrige psychologie, en dat is kennelijk mogelijk omdat Van Hiele er niet aan denkt zich te laten corrigeren door het experiment, om maar eens een mooi waarheidscriterium te noemen.
P. M. van Hiele (1957). De problematiek van het inzicht gedemonstreerd aan het inzicht van schoolkinderen in meetkunde-leerstof. Proefschrift RU Utrecht.
Dit is een vermaard proefschrift, omdat er zo vaak naar is en wordt verwezen (bv. in het MORE-onderzoek: de niveau-theorie van Van Hiele is een van de drie pijlers onder de realistische rekentheorie). Maar zijn die verwijzingen terecht, of berusten ze op oppervlakkige associaties met het idee van niveaus in leerprocessen?
Pierre van Hiele heeft vele artikelen geschreven over zijn niveaus, o.a.
Van Hiele wil uitgaan van de situatie in het onderwijs van wiskunde, niet van wat in leer- en denkpsychologie over inzicht is te vinden. Dat is een mogelijke keuze.
Men zegt, dat een kind inzicht heeft in een zeker gebied van de meetkunde, als dit kind uit de gegevens en relaties uit de meetkunde, die het ter beschikking gesteld zijn, een besluit weet te nemen in een situatie, die nog niet eerder voorgekomen is. (. . . . ) Het kenmerkende van inzicht is dus het toetsen aan nieuwe situaties.
p. 1-2
Deze omschrijving is in ieder geval een begin. Het laat nog open wat dan precies het nieuwe is aan nieuwe situaties, en ook in welke mate de leerling is voorbereid op die nieuwe situatie. Ik ben benieuwd hoe Van Hiele dit oppakt.
Aan de hand van een stelling over elkaar snijdende lijnen (gegeven) en een viervlak met zijn zwaartelijnen en verbindingslijnen van de middens van de ribben, verduidelijkt Van Hiele e.e.a. Wat mij opvalt is dat hij inzicht hier lijkt te beperken tot een moment, dus tot een Aha-Erlebnis, wat uitsluit dat het inzicht van daarnet een blijvend inzicht kan zijn.
Nu komt de kans voor de leerling om te laten zien, dat hij inzicht heeft in de stelling, waarom het gaat. Dit gebeurt, als hij zelfstandig tot de konklusie komt, dat dit samenvallen bewezen is, als hij laat zien ( . . . )
Er bestaat echter nog de mogelijkheid, dat de leerling aantoont, dat hij inzicht heeft in het bewijs van de eerstgenoemde stelling. Dit gebeurt, wanneer hij spontaan opmerkt, dat ( . . . ).
p. 2
Van Hiele is hier kennelijk met het Nederlands aan het hannessen, en met psychologie. Met het hebben van inzicht lijkt hij toch een staat te bedoelen, een toestand. Het stilzwijgende kader is de vraag naar het bewijs van die toestand, waarvoor nodig is dat de leerling ‘spontaan’ verbanden legt waaruit de leraar zou kunnen concluderen dat de leerling inzicht in de stof heeft. Tussendoor is er ook nog even sprake van de noodzaak voor de leerling om, in het voorbeeld, inzicht te hebben in het begrip ‘willekeurig’. Inzicht is dus iets dat de leerling kan ‘hebben’?
Dit lijkt helemaal nergens op, en misschien is dat ook precies wat Van Hiele in zijn eerste hoofdstuk wil laten zien: zo kun je niet verder komen met serieus onderzoek naar wat het is om wiskundig inzicht te hebben of te tonen. Maar dit is niet waar Van Hiele op uit is.
Op p. 3 is er sprake van verschillende vormen van inzicht, hiërarchisch ten opzichte van elkaar, aan de hand van een sequentie van syllogismen die samen een bewijs vormen. Kennelijk een balletje dat wordt opgegooid, met een bedoeling. Wel een merkwaardig balletje: als het om de psychologie van het inzicht gaat, worden hier zomaar meerdere inzichten gepostuleerd, wat met het scheermes van Occam moet worden bestraft; als het om de wiskunde gaat, dan hebben we kennelijk de psychologie verlaten. Weifelt Van Hiele hier tussen wiskunde, en psychologie van de wiskunde? Onderaan dezelfde bladzijde introduceert Van Hiele bovendien nog het inzicht dat door logische redeneren tot stand komt (bestaat er zoiets?) en inzicht dat op andere gronden al kan bestaan, en bovendien strijdig kan zijn met het inzicht vanuit redeneren. Brrrrr.
Ik ben bang dat Van Hiele zijn didactiek van meetkunde gaat beredeneren, in plaats van theoretisch te funderen en empirisch te toetsen. Hij vindt bijvoorbeeld het syllogisme een mooi instrument om een en ander over inzicht uit te vinden (onderaan blz. 5), maar vergeet hier dat juist het syllogisme een ongelooflijk abstract gegeven is waarvan je niet mag verwachten dat leerlingen daar goed mee om kunnen gaan. Kunnen volwassenen dat wel? Wiskundigen? [toelichting: het syllogisme abstraheert van heel de wereld, behalve van de gestelde premissen. Dan krijgen we dus zulke onzin als: alle mensen vliegen, Socrates is een mens, dus Socrates vliegt. Perfect waar, als syllogisme althans.]
Ik zie in dit eerste hoofdstuk geen begin van een theoretisch kader, of van een onderzoekvraag. Of het zou de laatste alinea moeten zijn.
In hoofdstuk IV hoop ik te kunnen aantonen, hoe belangrijke meningsverschillen, die er bestaan over de wijze, waarop meetkundeleerstof behandeld moet worden, zeer nauw verband houden met meningsverschillen in de denkpsychologie, waarbij de betekenis van het inzicht in het denkproces een belangrijke rol vervult.
p. 6
Dit eerste hoofdstuk is een kletsverhaal, waar het woord ‘inzicht’ in honderd en nog wat verschillende betekenissen voorkomt.
Die zijn er niet. Van Hiele geeft dat ook met zoveel woorden toe. Zijn theorie over inzicht en vooral over niveaus, is dus een luchtkasteel. Toch wordt hij vaak gepresenteerd als een van de peilers onder het realistisch rekenen. Napraterij, dus.
“Uit het voorafgaande is duidelijk gebleken, hoe de gegevens over de wijze, waarop inzicht bij leerlingen tot stand komt, vrijwel alleen kunnen worden verkregen uit ervaringen van leraren. Deze gegevens kunnen pas op een zekere objektiviteit bogen, als zij in een protokol verwerkt zijn. Er is dus nog zeer veel tijd en inspanning nodig voor men de vragen over het inzicht op een bevredigende wijze zal kunnen beantwoorden. Men hoeft echter niet te vrezen, dat het onderwerp niet de moeite waard zou zijn: het gaat immers om een nuttig effkt van het gegeven onderwjs.
Zeer belangrijk zou het zijn, wanneer wij door middel van protokollen de ontwikkeling van een leerling over lange tijd zouden kunnen vervolgen. Het blijkt in de praktijk uiterst moeilijk deze te verkrijgen, zelfs op een school, waar meer individueel gewerkt wordt. Een gesprek over de leerstof heeft op zo’n school op zeer onverwachte momenten plaats en het is dan bijna onmogelijk daarvan een nauwkeurig verslag te geven. Bovendien blijkt het, dat er met een bepaalde leerling slechts zo weinig individuele gesprekken plaats vinden, dat de verslagen daarvan niet de minste samenhang vertonen.”
Van Hiele, 1958, p. 188-189.
Vergelijk de voorgaande beschouwing van Van Hiele ook eens met wat hij in een heel andere context waarneemt:
“Inderdaad is het een bekend verschijnsel, dat een matematisch ingestelde leerling, d.w.z. een leerling, die zich de denkgewoonten van de wiskunde goed heeft eigen gemaakt, in het begin moeite kan hebben bij het bestuderen van de fysika. Het feit, dat daar steeds weer de langs algoritmische weg verkregen resultaten aan het experiment getoetst moeten worden, omt hem zeer vreemd voor. Dikwijls ook het feit, dat men in de fysika eerst de verschijnselen nauwkeurig moet bestuderen, voor men tot een probleemstelling komt.”
Van Hiele, 1958, p. 97.
Van Hiele lijkt op zijn blz. 97 trefzeker aan te duiden waar het later met het werk van de Freudenthal-groep verkeerd zou kunnen gaan.
Gerard Alberts en Rainer Kaenders (2005). ’Ik liet de kinderen wèl iets leren.’ Interview Pieter van Hiele. NAW 5/6 #3 september 2005, 247-251 pdf
Een Chinees artikel waarvan alleen de literatuurlijst begrijpelijk is (auteur en tijdschrift kan ik dus ook niet opmaken uit de Chinese karakters) pdf, en die lijst bevat o.a. de volgende items:
Fuys, D. ,Geddes, D. ,& Tischler, R.(1984). English Translation of Selected Writings of Dina Van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Brooklyn, NY, Brook- lyn College, School of Education. (ERIC Document Reproduction Service No.ED287697). [nog niet uitgezocht hoe dit zit]
Fuys, D. ,Geddes, D. ,& Tischler, R.(1988). Journal for Research in Mathe- matics Education Monograph 3:The van Hiele model of thinking in geometry among adolescents. Reston, VA:National Council of Teachers of Mathematics. [nog niet naar gezocht]
Fuys, D. & Geddes, D.(1984). An investigation of van Hiele levels of thinking in geometry among sixth and ninth graders: Research findings and implications. City Univ. of New York, Brooklyn, NY. Brooklyn Coll. School of Edcation. [nog niet naar gezocht]
Gutierrez, A. ,Jaime, A. & Fortuny, J. M.(1991). An alternative paradigm to evaluate the acquisition of the van Hiele levels. Journal for Research in Mathematics Education. 22(3), 237-251. [nog ophalen] Hoffer, A. R.(1983). Van Hiele based research. In R. Lesh & M. Landau(Eds). Acquisition of mathematics concepts and Processes, 205-227. New York:Academic Press.
Mason,M.M. (1997). The van Hiele Model of Geometric Understanding and Mathematically Talented Students. Journal for the Education of the Gifted. 21(1), 38-53. nog ophalen?]
Perdikaris, S.(1996a). Mathematizing the van Hiele levels:a fuzzy set approach. International Journal of Mathematics Education in Science and Technology.27(1), 41-47.
Perdikaris, S.(1996b). A System Framework for Fuzzy Sets in the van Hiele Level Theory of Geometric Reasoning. International Journal of Mathematics Edu- cation in Science and Technology.27(2), 273-278.
Senk, S. L. (1989). van Hiele Levels and Achievement in Writing Geometry Proofs. Journal for Research in Mathematics Education. 20(3), 309-321. [ophalen]
Usiskin, Z., & Senk, S. (1990). Evaluating a test of van Hiele levels:A response to Crowley and Wilson. Journal for Research in Mathematics Education, 21(3), 342-245. [ophalen]
van Hiele,P.M. & van Hiele-Geldof, D.(1958). A Method of Initiation into Geom- etry at Secondary Schools. In H.Freudenthal(Ed.),Report in Methods of Initiation into Geometry,Groningen:J.B.Wolters,67-80. [in mijn boekenkast]
van Hiele, P.M. (1984).A Child’s thought and Grometry. In D. Fuys, , D.Geddes, ,& R. Tischler,. English Translation of Selected Writings of Dina Van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. 237-241.Columbus, OH: ERIC Information Analysis Cen- ter for Science, Mathematics, and Environment Education. (ERIC Document Re- production Service No.ED287697). [al eerder genoemd?]
van Hiele, P.M. (1986). Structure and insight: A theory of mathematics educa- tion.Orlando,FL:Academic Press. [geleend Snellius]
Wilson, M.(1990). Measuring a van Hiele Geometry Sequence:A Reanalysis. Journal for Research in Mathematics Education. 31(3), 230-237.
Wu, D. B.(1994). A Study of the Use of the Van Hiele Model in the Teaching of Non-Euclidean Geometry to Prospective Elementary School Teachers in Taiwan, the Republic of China. Unpublished doctoral dissertation, University of Northern Colorado,Greeley. [staat dit online?] pdf van een Wu & Ma paper: 2005. In Chick, H. L. & Vincent, J. L. (Eds.). Proceedings of the 29th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol. 4, pp. 329-336. Melbourne: PME.
Der-bang Wu Hsiu-lan Ma (2006). THE DISTRIBUTIONS OF VAN HIELE LEVELS OF GEOMETRIC THINKING AMONG 1ST THROUGH 6TH GRADERS. pdf
The Van Hiele Model of Thinking in Geometry among AdolescentsJournal for Research in Mathematics Educ... > Vol. 3 [nog niet opgehaald] pdf title page???
Van Hiele level research, equivalent or complementary to phenomenography? Wolter H. Kaper and Martin J. Goedhart Amsterdam Mathematics, Science & Technology Education Laboratory (AMSTEL) at the Universiteit van Amstedam Paper presented at the 3rd E.S.E.R.A international conference in Thessaloniki, Greece, August 21-25, 2001, as part of the symposium On the methodology of phenomenograhy as a science education research tool, organised by Cedric Lindner and Peter Buck. doc
Eric A. Pandiscio (xxxx). pdf Eric A. Pandiscio & Kathleen C. Knight (????). An Investigation into the van Hiele Levels of Understanding Geometry of Preservice Mathematics Teachers. JRE_v20n1 pdf
William F. Burger; J. Michael Shaughnessy (1986). Characterizing the van Hiele Levels of Development in Geometry. Journal for Research in Mathematics Education, Vol. 17, No. 1. (Jan., 1986), pp. 31-48.pdf
John P. Pace Reviewed work(s): Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education by Pierre M. van Hiele http://www.jstor.org/stable/3482241
P G Human & J H Nel (1978?). ALTERNATIVE INSTRUCTIONAL STRATEGIES FOR GEOMETRY EDUCATION: A THEORETICAL AND EMPIRICAL STUDY (Final report of the University of Stellenbosch Experiment in Mathematics Education (USEME)-project: 1977-78; published in Afrikaans in 1987) html
ULRICH SCHOENWAELDER zur Fakultät für Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften, zur RWTH. http://www.math.rwth-aachen.de/~Ulrich.Schoenwaelder/Lit/Fachdidaktik/litvanhiele.pdf
http://www.benwilbrink.nl/literature/hiele.htm