Rekenproject: Historisch — rekendidactiek

Ben Wilbrink

rekendidactiek
    ontwikkelingen in het rekenonderwijs
        historisch: rekendidactiek — historisch: rekenopgaven
        van Hiele — Freudenthal — Treffers

Natuurlijk is daar al een overzicht van: matheducation.dutch.htm. Mogelijk is er aanleiding om toch bepaalde publicaties binnen het rekenproject op een verhoginkje te zetten.

Onderwijsgeschiedenis. Rekenen. website

Aardige webpagina over Nederlandse rekenboekjes, met links naar online versies ervan.

Warren Colburn (1849). Intellectual arithmetic, upon the inductive method of instruction. Boston: William J. Reynolds.

Zie meerdere plaatsen op deze webpagina voor online scans van andere edities van dit boek.

• If one man can do a piece of work in 30 days, in how many days can 3 men do it? In how many days can 5 man do it?

  p. 57

Warren Colburn (1827). Intellectual arithmetic upon the inductive method of instruction. Colburn’s first lessons. Boston: Hilliard, Gray, Little, and Wilkins. Google scan

Bij Colburn is alles optellen. Merkwaardige didactiek, uitvoerig uitgelegd in het voorwoord. Nadrukkelijk van concreet naar abstract. Alleen met kleine getallen zodat alles met hoofdrekenen kan. Zelf de methoden bedenken die dan door de meester zonodig kan worden verbeterd.

• Few exercises strenghten and mature the mind so much as arithmetical calculations, if the examples are made sufficiently simple to be understood by the pupil

  p. iv

Warren Colburn (1821). First lessons in intellectual arithmetic upon the inductive method of instruction. Boston: Hilliard, Gray, Little, and Wilkins. Google scan edition 1827; online revised and enlarged edition of 1884

Warren Colburn (1862). Intellectual arithmetic upon the inductive method of instruction. Revised and adapted to the use of schools in the Confederate States by Thos. O. Summers. Nashville: Southern Methodist Publishing House. archive.org

H. N. Wheeler (1890). Second lessons in arithmetic. An Intellectual Written Arithmetic Upon the Inductive Method of Instruction As Illustrated in Warren Colburn's First Lessons. read online

A. W. Richeson (1935). Warren Colburn and his influence on arithmetic in the United States. National Mathematics Magazine, 10, 73-79. read online

A. Treffers & M. van den Heuvel-Panhuizen (2012). Lessen uit het verleden — traditionele rekenmethodes en hun leeropbrengsten. Panama-post, 31(1) 3-13.

Jere Confrey (1990). A review of the research on student conceptions in mathematics, science and programming. Review of Research in Education, 16, 3-56).

• Dit lijkt me een heel nuttig overzicht. Wat ik er in de gauwigheid van heb gelezen, bevat glasheldere gedachten. Inheldere gedachten, zeg maar. De stadia van Piaget en hoe iedereen daramee aan de haal is gegaan, vooral in de VS, om kinderen sneller te leren, geheel tegen de geest in van Piaget zelf, die juist benadrukt dat het er om gaat hoe ver kinderen kunnen komen in hun leren, niet hoe snel ze dat doen. Die snelheidsduivels zien het probleempje over het hoofd dat de hersneontwikkeling zijn eigen tempo heeft. Afijn, die niveaus van Pierre van Hiele hebebn ook te maken met wat Confrey hier beschrijft.

Fred Goffree (2002). Wiskundedidactiek in Nederland. Een halve eeuw onderzoek. NAW 5/3 nr. 3 september 2002 233-343. pdf

Fred Goffree (2002). Wiskundedidactiek in Nederland. De opbrengst. NAW 5/3 nr. 4 december 2002 333-345. pdf

F. Goffree, A. A. Hiddink & J. M. Dijkshoorn (1970 4e). Rekenen en didactiek. Wolters-Noordhoff.

De eerste editie is 1966, de tweede voegt in 1968 een aanhangsel over logiblokken enz. van Dienes toe, met een beschouwing over het belang van verzamelingen in de rekendidactiek. Waarschijnlijk geeft ook de eerste editie al die belangrijke rol aan verzamelingen. In deze zin is het boek een tijdsdocument. Ik zie overigens niet dat die verzamelingen echt een rol spelen in deze didactiek, behalve ergens in het begin komt niets ervan terug zodra er echt gerekend gaat worden. Het boek lijkt me historisch vooral van belang omdat het, even afgezien van de verzamelingen-hype, een beeld geeft van het denken over rekendidactiek op het moment dat de wiskobasgroep zijn activiteiten begint.

Bijzonder is dat er tal van hoofdrekentestjes worden gegeven, met de typisch benodigde tijd erbij. Dertig opgaven maken in vijf minuten of 8 minuten bijvoorbeeld. Schitterend. Van Bijsterveldt kan er zo mee aan de slag.

Voor hoofdrekentoets zie 2.A.8. zie hier

Voor een hoofdrekentoets breuken zie hier

Hessel Turkstra en Jan Karel Timmer (1956 2e druk). Naar een nieuwe didactiek in de lagere school. Wolters. twee delen [aanwezig in de KB] De pdf-bestanden met scans zijn omvangrijk (20 Mb of meer): scan Ia - scan Ib - scan IIa - scan IIb

L. van Gelder, E. J. Wijdeveld & F. Goffree (1968). Moderne wiskunde en het basisonderwijs. Wolters-Noordhoff.

Googelen levert nauwelijks hits op: de Freudenthal-groep heeft dit werk vergeten. Ik moet het zeker opvragen en doornemen. En waarom zou Goffree het niet in zijn proefschrift hebben vermeld? Het kan natuurlijk zijn dat dit boek van 80 blz. een niemendalletje is, maar dat moet ik nog zien.

L. Bouwman (1871). Het rekenen uit het hoofd in de lagere school. De Schoolbode. Tijdschrift voor Onderwijs en Opvoeding, 308-320.

• Er is vandaag de dag weinig nieuws onder de zon, zo blijkt onmiddellijk uit deze beschouwing van de auteur van ‘Handleiding bij 't rekenen uit het hoofd.’ Bouwman rekent zich tot de oudere garde, als ik dat zo mag zeggen, en grijpt ook terug naar herinneringen hoe het in zijn eigen schooldagen met het rekenen toeging, bv.:

  “Als ik terugdenk aan den tijd, toen ik op de schoolbank zat en mij herinner, wat wij jongens daar becijferden en hoe we dat deden, dan roep ik onwillekeurig uit: wat is het rekenonderwijs sinds mijne schooljaren toch verbeterd! Toen begonnen we met cijfers; thans vangen onze leerlingen aan met aanschouwen. Toen rekenden we in verouderde en onbruikbare cijferboeken, waarin een goede leergang gemist werd; thans hebben de onderwijzers eene ruime keuze uit zeer goede rekenboeken, waarin methode heerscht. Toen leerden we alles werktuiglijk; thans leert onze schooljeugd met oordeel werken. Toen werden we alleen geoefend in het cijferen; thans houdt men zich op vele scholen ook bezig met het rekenen uit het hoofd.”

  p style='text-indent: 0em'>Zou er halverwege de 19e eeuw ook een ‘Treffers’ actief zijn geweest? De Gelder misschien? Het overigens van aardige voorbeelden voorziene artikel van Bouwman geeft geen enkele aanwijzing.

Mineke van Essen (2006). Kwekeling tussen akte en ideaal. De opleiding tot onderwijzer(es) vanaf 1800. SUN.

Jozef Vos & Jos van der Linden (2004). Waarvan akte. Geschiedenis van de MO-opleidingen, 1912-1987. Van Gorcum.

W. A. Brownell (1935). Psychological considerations in the learning and the teaching of arithmetic. In D. W. Reeve (Ed.), The teaching of arithmetic (Tenth yearbook, National Council of Teachers of Mathematics, pp. 1—50). New York, NY: Bureau of Publications, Teachers College, Columbia University. samenvattting boek [Ik heb het boek nog niet opgezocht]

R. V. Jordan & M. V. O’Shea (1933?). Everyday life problems in arithmetic. Standardized. An experience course in arithmetic. McKnight & McKnight. full view

• Een schoolboekje 5e klas. Amerikaans.

Aberdeen Orlando Bowden (1929). Consumers Uses of Arithmetic. An Investigation to Determine the Actual Uses made of Arithmetic in Adult Social Life, Exclusive of Vocational Uses. full view

• Dit proefschrift van 54 blz (met bijlagen 69) is besproken door P. A. Diels (1930). Het rekenen in de practijk des levens. Paedagogische Studiën, 11, 284-285.
• Voor een dupliek op een Amerikaanse bespreking, zie http://www.jstor.org/discover/10.2307/27951312?uid=3738736

E. L. Thorndike (1922). The psychology of arithmetic. New York: Academic Press. pdf 8Mb

Voor annotaties zie matheducation.htm#Thorndike, voor een opmerkelijke beschouwing over het belang van het werk van Thorndike zie matheducation.htm#Cronbach Suppes

Hessel Pot (2009). Zijn breuken en verhoudingen nou wel of niet hetzelfde? Studiedag NVvW - 7 november 2009.abstract

Hessel Pot geeft een enorme collectie vindplaatsen uit de literauur, tot ver in het verleden.

Valeer van Achter (1969). De modernisering van het rekenonderwijs op de basisschool. Malmberg. 107 blz. [UB Leiden gesloten magazijn.] [nog niet gezien]

B. Koster (1974). Nieuwe wiskundepogramma's voor de basisschool. Wolters-Noordhoff.

• Het eerste hoofdstuk door J.M.F. Teunissen: De ontwikkeling van het rekenonderwijs tot aan de ‘New Math’
• 2. Nieuwe wiskundeprogramma's voor de basisschool
• 3. Programma van Z. P. Dienes.
• 4. Programma van N. Picard
• 5. Nuffield Project
• Wiskundevernieuwingen in Scandinavië.
• 6. Wiskundevernieuwingen in de Sovjetunie

Teunissen behandelt eerst de ‘synthetische rekendidactiek’. En maakt daarbij halfbakken opmerkingen zoals (blz. 4):

Teunissen verwijst naar de leerpsychologie van Van Parreren. Maar het is mij een raadsel waar Teunissen op doelt: hij ziet spoken. Teunissen noemt geen namen bij die synthetische rekendidactiek, dat maakt het wat lastig om uit te vinden waar hij het over heeft. Ik ga even niet verder met dit stuk van nep-psycholoog Teunissen. (hij was van 1969-1970 supervisor van een SVO-project: literatuuronderzoek, door het Pedagogisch Instituut Utrecht).

Alfred North Whitehead (1929/1949). The Aims of Education. Mentor Books.

• Ch 6: The mathematical curriculum. 83-95.

  “ . . . . The subject [mathematics] as it exists in the minds and in the books of students of mathematics is recondite. It proceeds by deducing innumerable special results from general iedeas, each result more recondite than the preceding. It is not my task this afternoon to defend mathematics as a subject for profound study. It can very well take care of itself. What I want to emphasise is, that the very reasons which make this science a delight to its students are reasons which obstruct its use as an educational instrument—namely, the boundless wealth of deductions from the interplay of general theorems, their complication, their apparent remoteness from the ideas from which the argument started, the variety of methods, and their purely abstract character which brings, as its gift, eternal truth.

  Of course, all these characteristics are of pricesless value to students; for ages they have fascinated some of the keenest intellects. My only remark is that, except for a highly selected class, they are fatal in education. The pupils are bewildered by a multiplicity of detail, without apparent relevance either to great ideas or to ordinary thoughts. The extension of this sort of training in the direction of acquiring more detail is the last measure to be desired in the interest of education.

  The conclusion at which we arrive is, that mathematics, if it is to be used in general education, must be subjected to a rigorous process of selection and adaptation. I do not mean, what is of course obvious, that however mucht time we devote to the subject the average pupil will not get very far. But that, however limited the progress, certain characteristics of the subject, natural at any stage, must be rigorously excluded. The science as presented to young pupils must lose its aspect of reconditeness. It must, on the face of it, deal directly and simply with a few general ideas of far-reaching importance.

  Now, in this matter of the reform of mathematical instruction, the present generation of teachers may take a very legitimate pride in its achievement. It has shown immense energy in reform, and has accomplished more than would have been thought possible in so short a time. It is not always recognized how difficult is the tast of changeing a well-established curriculum entrenched behind public examinations.

  But for all that, progress has been made, and, to put the matter at its lowest, the old dead tradition has been broken up. I want to indicate this afternoon the guiding idea which should direct our efforts at reconstruction. I have already summed it up in a phrase, namely, we must aim at the elimination of reconditeness from the educational use of the subject.

  Our courses of instruction should be planned to illustrate simply a succession of ideas of obvious importance. All pretty divagations should be rigorously excluded. The goal to be aimed at is that the pupil should acquire familiarity with abstract thought, should realise how it applies to particular concrete circumstances, and should know how to apply general methods to its logical investigation. With this educational ideal nothing can be worse than the aimless accretion of theorems in our textbooks, which acquire their position because the children can be made to learn them and examiners can set neat questions on them. The bookwork to be learnt should all be very important as illustrating ideas. The examples set—and let there be as many examples as teachers find necessary—should be direct illustrations of the theorems, either by way of abstract particular cases or by way of application to concrete phenomena. Here it is worth remarking that it is quite useless to simplify the bookwork, if the examples set in examinations in fact require an extended knowledge of recondite details. There is a mistaken idea that problems test ability and genius, and that bookwork tests cram. This is not my experience. Only boys who have been specially crammed for scholarships can ever do a problem paper successfully. Bookwork properly set, not in mere snippets according to the usual bad plan, is a far better test of ability, provided that it is supplemented by direct examples. But this is a digression on the bad influence of examinations on teaching.

  The main ideas which lie at the base of mathematics are not at all recondite. They are abstract. But one of the main objects of the inclusion of mathematics in a liberal education is to train the pupils to handle abstract ideas. The science constitutes the first large group of abstract ideas which naturally occur to the mind in any precise form. For the purposes of education, mathematics consists of the relations of number, the relations of quantity, and the relations of space. This is not a general definition of mathematics, which, in my opinion, is a much more general science. But we are now discussing the use of mathematics in education. These three groups of relations, concerning number, quantity, and space, are interconnected.

  Now, in education we proceed from the particular to the general. Accordingly, children should be taughtthe use of these ideas by practice among simple examples. My point is this: The goal should be, not an aimless accumulation of special mathematical theorems, but the final recognition that the preceding years of work have illustrated those relations of number, and of quantity, and of space, which are of fundamental importance. Such a training should lie at the base of all philosophical thought. In fact elementary mathematics rightly conceived would give just that philosophical discipline of which the ordinary mind is capable. But what at all costs we ought to avoid, is the pointless accumulation of details. As many examples as you like; let the children work at them for terms, or for years. But these examples should be direct illustrations of the main ideas. In this way, and this only, can the fatal reconditeness be avoided. . . . . ”

F. Bärmann (1970/1973). Rekenen in de aanvangsklassen. Bosch & Keuning.

• op basis van Johannes Wittmann (Theorie und Praxis eines ganzheitlichen, analytisch-synthetischen Unterrichts. 1933), en van wat Hans Aebli (Psychologische Didaktik, Didaktische Auswertung der Psychologie von Jean Piaget, 1963 en Kurt Resag (Kind und Zahl, 1962) overnamen uit het werk van Piaget. Als ik het zo bekijk, is het een compleet programma voor rekenonderwijs in klas 1 (groep 3). Doorbladerend valt dan op dat er ongelooflijk veel leuke en ‘authentieke’ dingen worden gedaan, zodat de vraag is: waar is het rekenen? Wat nemen deze kinderen van al het leuke gedoe mee? Heeft dit positieve effecten op het leren in rekenen in hogere leerjaren? Met beperkt notenapparaat.

Joy Taylor (1976). The Foundations of Maths in the Infant School. George Allen & Unwin.

• Namen: Zoltan P. Dienes, Jean Piaget

W. L. van de Vooren (1934). Grenswaarden. Eene inleiding tot de differentiaal- en integraalrekening. Noordhoff.

Jean Piaget, Kurt Resag, Arnold Fricke, P. M. van Hiele & Karl Odenbach (1964). Rechenunterricht und Zahlbegriff. Westermann Tascenbuch.

• Karl Odenbach: Zur Einführung 7-22 [historisch overzicht, gekoppeld aan de huidige auteurs]
• Kurt Resag: Die Bildung des Zahlbegriffes beim Kind 23-49 [eerder in Westermanns Pädagogischen Beiträgen, 7. Jg 1955, Heft 10][vertaling van van voordracht in 1949, gepubliceerd in Initition au calcul (4. Aufl. 1956)]
• Jean Piaget: Die Genese der Zahm beim Kind 50-72 [eerder in Westermanns Pädagogischen Beiträgen, 10. Jg 1958, Heft 9]
• Arnold Fricke: Operatives Denken im Rechenunterricht als Anwendung der Psychologie von Piaget 75-104 [eerder in Westermanns Pädagogischen Beiträgen, 11. Jg 1959, Heft 3]
• P. M. van Hiele: Piagets Beitrag zu unserer Einsicht in die kindliche Zahlbegriffsbildung 105-131 [eerder in Westermanns Pädagogischen Beiträgen, 10. Jg 1958, Heft 10]
• Arnold Fricke: Operative Zahlerfassung 132-169 [Originalbeitrag]

E. W. A. de Moor (1999). Van vormleer naar realistische meetkunde. Een historisch-didactisch onderzoek van het meetkundeonderwijs aan kinderen van vier tot veertien jaar in Nederland gedurende de negentiende en twintigste eeuw. CD beta Press. Proefschrift Universiteit Utrecht.

• Annotaties zie tezijnertijd hier.

Ed de Moor (1999). Vroeger. 40 historische columns over het rekenonderwijs. NVORWO. isbn 9075586027

Het leren denken is een thema dat in veel van deze stukjes in de een of andere vorm terugkeert. Dat zet mij aan het denken, zal ik maar zeggen. Ik koppel deze denkbeelden uit een ver verleden aan het actuele boek (2009) van James Flynn over wat anderen het Flynn-effect hebben genoemd. In de analyse van James Flynn speelt een heel belangrijke rol dat nog maar eeuw geleden veel mensen op een heel concreet niveau met de wereld omgingen, en dus moeite hadden om abstract te denken. Natuurlijk waren ze even intelligent als hun achterkleinkinderen zijn, maar ze gebruikten die intelligentie veel minder voor problemen van abstracte aard, van wetenschappelijke aard. Naarmate het dagelijks leven complexer werd, verwetenschappelijkte zou je bijna kunnen zeggen, gingen de mensen in hun denken daarin mee, deels natuurlijk via hun schoolloopbaan. Om terug te komen op de aanleiding: wanneer in de negentende eeuw pedagogen spreken over ‘leren denken’, bedoelen zij daarmee waarschijnlijk wel ongeveer hetzelfde als wat we er nu onder verstaan, maar zij zagen om zich heen dat zonder onderricht in dat ‘leren denken’ leerlingen bleven steken in denken op heel concreet niveau (en abstracte verbanden gewoon uit hun hoofd leerden, denk ik er maar bij).

• Dit is een prachtig boekje. Ik zal proberen online bestanden te vinden van oude rekenboekjes die De Moor noemt.
• De column over Jan en Willem Verlsuys: zie hier
• Over Jan Versluys, oudoom van Ed de Moor, zie ook dit artikel van Harm Jan Smid in Euclides

Ed de Moor (1994). Jan Versluys en het ontstaan van de vakdidactiek. Nieuwe Wiskrant, 14, 8-14 [niet online gevonden, 2013] annotatie

• Jan Versluys (1874). Methoden bij het onderwijs in de wiskunde en bij de wetenschappelijke behandeling van dat vak. P. Noordhoff. [Ik heb nog geen online versie gevonden] [de KB heeft een exemplaar, maar daar kan alleen de microfiche van worden geraadpleegd]

• Beginselen der nieuwere meetkunde, het eerste boek dat Versluys in 1868 publiceerde, blijkt een bewerking te zijn van een stuk uit de Traité de géométrie van E. Rouché en Ch. de Comberousse, waarvan soms stukken vrijwel letterlijk vertaald zijn en tekeningen overgenomen zijn.

  
  In de inleiding van dit boek geeft Versluys geen enkele verwijzing. Overigens is deze bewerking heel kundig geschied. Ook zijn interessante boek "Over methoden bij het oplossen van meetkundige vraagstukken" [niet in KB, b.w.][3e druk 1898 integraal online: http://archive.org/details/overmethodenbij00versgoog b.w.][4e druk 1920 bezorgd door Wijdenes in eigen bezit, b.w.] is gebaseerd op het werk van Duhamel en van Rouché en Comberousse. Versluys, die zelf graag anderen op dergelijke ‘faux pas’ betrapte, had hierin op zijn minst iets voorzichtiger te werk mogen gaan. Niettemin heeft hij met het laatste werk iets gepubliceerd, dat ook nu nog de moeite waard is om te bestuderen. Het komt qua idee het dichtst bij How to solve it? van George Polya, dat na de Tweede Wereldoorlog ten onzent opgang maakte.

  p. 12-13

• Jan Versluys (1874). Methoden bij het onderwijs in de wiskunde en bij de wetenschappelijke behandeling van dat vak. P. Noordhoff. [Ik heb nog geen online versie gevonden] [de KB heeft een exemplaar, maar daar kan alleen de microfiche van worden geraadpleegd]
• Jan Versluys (1868). Beginselen der nieuwere meetkunde

Jan Versluys (1920). Over methoden bij het oplossen van meetkundige vraagstukken. P. Noordhoff. vierde druk bezorgd door P. Wijdenes. (Tekst 1898 editie integraal online beschikbaar )

Grappig: waar Polya later probeerde generieke aanwijzingen voor probleemoplossen te geven, houdt Versluys het hier bij domein-specifieke methoden voor het oplossen van problemen. Geef mij Versluys maar! In mijn eigen hoofdstuk over probleemoplossen kies ik de enig mogelijke positie: die van Newell & Simon, dus die van de geleerde vakspecifieke methoden, dus de benadering van Versluys. Met andere woorden: het gaat om kennis, niet om slimmigheid.

• • Oplossing van vraagstukken volgens de analytische methode
  • De analytische methode bij het bewijzen van stellingen
  • Het oplossen van meetkundige vraagstukken door toepassing der algebra
  • De synthetische methode
  • De methode der meetkundige plaatsen
  • Het vermenigvuldigen van figuren
  • De methode der gelijkvormige figuren
  • Het weglaten van een der voorwaarden
  • Het algemener maken van een eigenschap
  • De methode der omkeering
  • Het invoeren van oppervlakken
  • Evenwijdige verplaatsing
  • Verbinding van verschillende methoden
  • Opmerkingen over het toepassen van verschillende methoden
  • De meetkunde in de ruimte aangewend tot het bewijzen van eigenschappen der vlakke meetkunde
  • Rotatie
  • Gemengde vraagstukken
• Versluys heeft heel wat boekjes geproduceerd, zie het overzicht van Hessel Pot.
• Versluys, Jan (1890). Toegepast rekenen. Amsterdam: W. Versluys. — Tekst integraal online beschikbaar
• Versluys, Jan (1886). Algebraïsche vraagstukken. Amsterdam: W. Versluys. — Tekst integraal online beschikbaar
• Jan Versluys (1877). Perspectief. Groningen: W. Versluys. Tekst integraal online beschikbaar
  • uit de voorrede: "Dit werkje is in de eerste plaats bestemd voor hem die bij het lager onderwijs examen in teekenen willen doen. Zij moeten bekend zijn met de beginselen der doorzichtkune of perspectief, zonder dat kennis van beschrijvende meetkunde van hen wordt geëischt."
  • Het gaat om een scan, dus de figuren zijn ook beschikbaar. 95 blz.

J. Versluys (1906 6e). Deelbaarheid en repeteerende breuken. Amsterdam: A. Versluys.

• (Kenmerken van deelbaarheid - Het aantal deelingen bij het bepalen van den ggd - Over de deelers van een getal - Over de resten die men krijgt bij het deelen van de termen eener rekenkundige reeks door eenzelfde getal (Theorema van Fermat) -Ondeelbare getallen (Theorema van Wilson) - Over de getallen die niet groter zijn dan een gegeven getal en onderling ondeelbaar ermee. (Theorema van Euler) - Onderzoek van de vraag, of 10 (tot de macht (p-1)/2) -1 deelbaar is door het ondeelbare getal p - Herleiding van gewone breuken tot decimale - Zuiver repeteerende breuken, die ontstaan bij de herleiding van gewone met gelijke noemers - Volkomen getallen en vriendschapsgetallen - Kwadraatresten - Gemengde vraagstukken - Antwoorden - Tafel der ondeelbare getallen tot 10 000)

M. Salverda & H. Bouman (Red.). (1869) De Schoolbode, tijdschrift voor volksopvoeding en onderwijs. Eerste deel.. Google ebookhr>

Uitvoerig onderwys in de perspectiva, of doorzichtkunde, voor alle liefhebbers dezer aangename en nutte weetenschap, en inzonderheid voor degeenen, die dezelve noodzaakelyk dienen te oeffenen, Als: teekenaars, schilders, plaatsnyders, architecten, steenhouwers, timmerlieden, metzelaars, enz. Naar eene zeer gemakkelyke en verstaanbare methode opgesteld, en in 60 konst-plaaten afgehandeld door Caspar Philips Jacobsz. Konst-Plaatsnyder in Amsterdam. Te Amsterdam, By Jan Christiaan Sepp, MDCCLXV online in verschillende versies, library.uu

D. Tiemersma mmv P. Wardekker, ingeleid door J. Waterink (1960). Dit is rekenen. Overzicht/inleiding en toelichting. Jacob Dijkstra, Groningen.

10 Mb scan (incl. bespreking door A. Leen)

Dit is een interessante rekendidactiek, gunstig besproken door A. Leen in zijn proefschrift (1961, blz. 164 e.v.). Zie ook deze blog over hoofdekenen. Ik zie dat ik het boekje al eens eerder in zijn geheel had gescand!

Benchara Branford (1908). A Study f Mathematical Education including The Teaching of Arithmetic. Oxford at the Clarendon Press. read online

Eugene Herz, Mary G. Brants & George Gailey Chambers (1920). Arithmetic. Parts V and VI Intermediate Lessons Philadelphia: The John C. Winston Company. read online

Eugene Herz, Mary G. Brants & George Gailey Chambers (1920). Arithmetic. Parts VII and VIII Advanced Lessons. Philadelphia: The John C. Winston Company. read online

Eugene Herz, Mary G. Brants & George Gailey Chambers (1920). Arithmetic. Teacher’s Manual for Parts VII and VIII Philadelphia: The John C. Winston Company. read online

David Eugene Smith (1904). Primary Arithmetic. Ginn and Company read online

George Wentworth & David Eugene Smith (1911). Arithmetic Book One. Ginn and Company read online

William J. Milne (1906). Progressive Arithmetic First Book. American Book Company read online

William J. Milne (1906). Progressive Arithmetic Second Book. American Book Company read online

S. Lander (1863). Primary Arithmetic Second Book. Sterling, Campbell & Albright. read online

William Scott (1900). A Treatise on Arithmetic. Adapted to Canadian Schools The Educational Book Co. read online

L. P. M. Bourdon (1858). Bourdon’s Arithmetic Containing a Discussion of the Theory of Numbers. Translated from the French of M. Bourdon, and Adapted to the Use of the Colleges and Academies of the United States. J. B. Lippincott. read online

A. G. Howson (Ed.) (1973). Developments in Mathematics Education. Poceeding of the Second International Congress on Mathematical Education. Cambridge University Press.

• Geoge Pólys: As I read them
• Jean Piaget: Comments on mathematical education
• Hans Freudenthal: What groups mean in mathematics and what they should mean in mathematical education
• David Hawkins: Nature, man and mathematics
• Edmund Leach: Some anthropological observations on numer, time and common-sense
• Edith Biggs: Investigation and problem-solving in mathematical education
• E. Fischbein: Intuition, structure and heuristic methods in the teaching of mathematics
• Anthony J. Malpas: Mathematics and science in the secondary school
• Mary Sime: Implications of the work of Piaget in the training of studnets to teach primary matehmatics
• Hassler Whitney: Are we off the track in teahing mathematical concepts?

Ferdinand Rudolph Hassler (1826). Elements of arithmetic, theoretical and practical : adapted to the use of schols, and to private study. New York: James Bloomfield. online

F. A. Yeldham (1936). The Teaching of Arithmetic through Four Hundred Years. George G. Harrap.

• 
  

  ---

  Augustus de Morgan Arithmetical books from the invention of printing to the present time; being brief notices of a large number of works drawn up from actual inspection. London: Taylor and Walton.] online of de Google-scan

• Sacrobosco De Arte Numerandi online scan + transcriptie (Latijn, geen vertaling), pdf van gehele transcriptie
  • Zijn er meer Latijnse wiskundige werken op deze Latijnse Wiki beschikbaar? Jazeker, zie hier.

Alexander Malcolm (1730). A New System of Arithmetic, Theoretical and Practical. Wherein the Science of Numbers is Demonstrated in a Regular Course from Its First Principles, the Practice and Application to the Affairs of Life and Commerce Being Also Fully Explained. (vermeld in: Yeldham, p. 94)

• Op internet is geen scan te vinden, 2013.
• Fulltext available via ECCO e-books
• Dit is een gigantisch boek.

Robert Steele (Ed.) (1922). The Earliest Arithmetics in English. [Kraus Reprint Co. 1973] scan. Met daarin:

• The crafte of nombrynge, a translation and amplification of one of the glosses on the De algorismo of Alexander de Villa Dei (Egerton ms. 2622)
• The art of nombryng, a translation of John of Holywood's De arte numerandi (Ashmole ms. 396, fol. 48)
• Accomptynge by counters, reprinted from the 1543 edition of Robert Record's Arithmetic, printed by R. Wolfe. scan
• Appendix I. A treatise on the numeration of algorism (From a 14th century ms.) II. Carmen de algorismo, by Alexander de Villa Dei (B.M. ms., 8 C IV., with additions from 12 E. 1 & Eg. 2622)

A. G. Howson (1982). A history of mathematics education in England. Cambridge University Press.

• Chapters: Robert Recode - Samuel Pepys - Philip Doddridge - Charles Hutton - Augustus de Morgan - Thomas Tate - James Wilson - Charles Godfrey - Elizabeth Williams - appendix: a selection of examination papers, syllabuses, etc.
• Robert Recorde, born about 1512, writer of the fist arithmetics texts in the vernacular English, such as The ground of artes, The pathway to knowledge and The whetstone of witte pdf [the other texts not for free online, quite medieval].
• p. 19: "It must be stressed here that Recorde did not include exercises for the reader: this was an eighteenth-century development." Is that so? Or is it specific for England? It would be quite remarkable. Somewhat earlier it must have been the case that students did lots of exercises in preparation for disputations in logic, so much so that it hurt the essential character of the disputations themselves (I probably got this from Rashdall. History of universities.)
• p. 20. No exercises. Yet exercise is deemed important. Howson: “Yet he did expect the eader to practise on his own.” Recorde: “Howbeit I will yet exhote you now to remembre ... to exercise yourselfe in the practice of it: for rules without practice; is bu a light knowledge: and practice it is, that maketh men perfect and prompte in all thynges.”

  the student writes his own exercises, and exercises them!

  Master. So may you if you have marked what I have taught you. But because thys thynge (as all other) must be learned [surely] by often practice, I wil propounde here ii examples to you, whiche if you often doo practice, you shall be rype and perfect to subtract any other summe lightly ...

  Scholar. Sir, I thanke you, but I thynke I might the better doo it, if you did showe me the woorkinge of it.

  M. Yea but you muste prove yourselfe to do som thynges that you were never taught, or els you shall not be able to doo ny more then when you were taught, and were rather to learne by rote (as they cal it) than by reason.

  geciteerd door Howson, p. 20

  Howson p. 21: “Asking the learner to ‘practice’ without supplying him with carefully raded exercises would today strike us as odd. Yet Recorde id something to ameliorate the difficulties arising from this omission by stressing the need to check answers. ... he demonstrated two methods: first, checking by inverse operations — a subtraction by an addition — and secondly by ‘casting out nines’ (or, in modern nomenclature, repeating the problem in arithmetic modulo nine). In his Whetstone he argued the use of arbitrary numbers to check algebraic operations rather than inverse operations.” [checking your sums, not by repetion of the algorithm but b using another algorithm, is common in early arithmetics texts, b.w.]

• eerst oefening, dan begrip

  “(...) it is not easy for a man that shall travaile in anstraunge arte, to understand at the beginninge bothe the thing that is taught and also the juste reason whie it is so.”

  geciteerd door Howson, p. 21

  p. 21. Recorde emphasized the difference between mastering a technique, and understanding it. He was convinced that it is not a good idea to aks the novice learner to both at once. Better is to master sme technique first, and than attend to the reasons why the technique delivers the desired results.
• In the early 19th century many editions of Euclid had “no exercises, for the student was expected to memorise not to act. Gradually, however, the custom of including exercises grew and, for example, Potts’ edition, intended ‘for the use of the higher forms in public schools and students in the universities’, contained a selection of questions from pas Tripos and college examination papers.” (Howson, p. 131)

Ellerton Nerida; Clements MA (Ken) (2012). Rewriting the History of School Mathematics in North America 1607-1861. Springer. details

H. Hemkes (1862). Handleiding voor kweekelingen, aankomende en jeugdige onderwijzers en onderwijzeressen. Vierde, naar de Wet op het Lager Onderwijs van 13 Augustus 1857 gewijzigde en vermeerderde druk. Te Delft, bij W. N. C. Roldanus. KB geheel online

• ACHTSTE HOOFDSTUK. Verstandsoefeningen. Noodzakelijkheid. Opmerken en denken. Vormleer. Vergelijken en onderscheiden. Spreekoefeningen. Getallenleer. Versjes. Spreuken. 67-78
  TWAALFDE HOOFDSTUK. Rekenen. Getallenleer. Tafel van Vermenigvuldiging. Rekenboeken. Gewone en tiendeelige breuken. Stelsel van maten en gewigten. Regel van drieën. Gronden en uitgebreidheid. Opmerkingen. 113-127

Nieuwe bijdragen ter bevordering van het onderwijs en de opvoeding voornamelijk met betrekking tot de lagere scholen . . . . 1810-1867KB online meerdere (maar niet alle) jaargangen

• [1810, boekbesprekingen] Assuerus Doijer: Nieuwe manier van onderwijs in de rekenkunst. p. 205-209

Nederlandsch tijdschrift voor onderwijs en opvoeding, inzonderheid ten dienste van ouders, onderwijzers en de plaatselijke commissien van toevoorzigt op het onderwijsKB online 1849 -1854 (6e-11e jaargang)

Arnoldus Bastiaan Strabbe, Coenraad Wertz & Jacobus van Wijk (Roelandszoon) (1818). Het vernieuwde licht des koophandels, of Grondig onderwijs in de koopmans rekenkunst, leerende hoe de voornaamste gevallen des koophandels, op eene korte, klare, en bevattelijke wijze, volgens wiskunstige gronden, moeten berekend worden: in deze orde geschikt, ten dienste dergene, welk zich op de negotie begeeren toe te leggen, en tot een nuttig gebruik voor kantoorbedienden, en liefhebbers der rekenkunst. Te Amsterdam, bij Schalekamp en van de Grampel. 336 blz. KB online

Marina Roggero (1996). Arithmétique populaire et arithmétique savante. Apprentissages et enseignement à la fin du XVIlIe siècleabstract

• 5noot 5: P. Cline Cohen, A Calculating People. The Spread of Numeracy in Early America (Chicago, The University of Chicago Press, 1982 [nog opzoeken]

Gert Schubring (2006). Researching into the history of teaching and learning mathematics: the state of the art. Paedagogica Historica International Journal of the History of Education, 42, 665-677. 10.1080/00309230600806955 preview

Gert Schubring (2006). History of Teaching and Learning Mathematics. Paedagogica Historica International Journal of the History of Education, 42, 511-514 abstract

• The International Programme Committee of ICME 10, the Tenth International Congress on Mathematics Education, held in July 2004 in Copenhagen/Denmark, took the initiative to organize, in the form of a ‘Topic Study Group’ (TSG), a symposium on the history of mathematics teaching: The History of the Teaching and Learning of Mathematics. This was the first time that this historical issue was made an explicit subject of international activities. Since there had been no previous activities in broader cooperation, this gave the impetus to establish an international network on this subject for the first time.

Eileen F. Donoghue (2006): The Education of Mathematics Teachers in the United States: David Eugene Smith, Early Twentieth-Century Pioneer. Paedagogica Historica: International Journal of the History of Education, 42, 559-573 abstract

Harm J. Smid (2006): Between the Market and the State. Paedagogica Historica: International Journal of the History of Education, 42, 575-586. 10.1080/00309230600806849 abstract

• By introducing mathematics in the Latin schools, the government introduced, totally against intentions, mathematics teachers at that type of school. The measures of 1826 established mathematics firmly in the curriculum of these schools, reducing the absolute power of the teachers of classical languages for the first time. By making mathematics crucial in the entrance exams of the academies, the government made it an important item on the educational market. A town or city that wanted to offer its citizens a modern form of education could only do so by establishing schools where mathematics had a major role.

  And that is just what happened after 1840. Therefore, in 1863, the new HBS could continue building on the mathematics teaching introduced in the years before. A glance at the programmes of these new schools immediately reveals that they employed the same mathematics teachers and used the same mathematics books as in the second departments or French schools. It would take 10 years for new textbooks, especially written for the purpose by J. Versluys, to enter the HBS.

Catherine Stern (1949). Children discover arithmetic. An introduction to structural arithmetic. Harper Brothers. New York.

The method has been developed further, and is still in use in Park School, New York. There is a website on structural arithmetic.

A. G. Howson (Ed.) (1964-1971) School Mathematics Project Cambridge University Press. Books 1-4, Book T. Some isbn numbered 0521076684 0521076706 0521076714

Math for secondary education. It must be an eye opener for the Dutch to read here op page V the educational philosophy — (guided) discovery learning — that only a few years later was to be the stock-in-trade of Hans Freudenthal and his team in the Freudenthal-revision of arithmetics in Dutch primary education.

• In comparison with traditional texts, these texts pay more attention to an understanding of fundamental concepts, but change in content is not our whole objective. We hope that our texts are more attuned than is usual to the child’s natural learning processes, and that they will encourage teachers to try out fresh teaching methods. Thus, for example, each new section in this book is introduced by a sries of peparatory example n which the pupil is ledto discover the relevant mathematics for himself; again, many of the book’s abundant exercises are designed to hep the pupil to learn by exploration. Of course, there is also need for consolidation and so revision exercises have been spaced regularly throughout the book.

  The difference between this and traditional texts is most marked, however, in content, for there is much in the book which until recently would not have been considered suitable for O level, let alone for the first forms.

W. J. Bos & P. E. Lepoeter ((1962). Wegwijzer in de meetkunde voor alle inrichtingen voor VHMO. Deel 1 J. M. Meulenhof.

Een bijzonder schoolboek vanwege het didactische concept. Helaas is dat didactische concept uiteengezet in een afzonderlijk verschenen Toelichting, destijs voor leraren gratis verkrijgbaar bij de Uitgever. Ik ben bang dat ook de KB deze Toelichting niet heeft: het boek zelf is daar evenmin in de collectie aanwezig. Voor info over Paul Eduard Lepoeter zie wiki. Harm-Jan Smid (2004) schreef “Bos en Lepoeter, of: De terugkeer van de zelfwerkzaamheid”, Euclides, 79 nr 6. 4-9.

J. Versluys (1910). Leerboek der algebra. Eerste deel. A. Versluys.

• Onder drie personen moet 10000 gulden verdeeld worden. Het deel van den tweeden moet 2000 gulden minder zijn dan tweemaal het deel van den eersten, en het deel van den derden moet 1000 gulden meer zijn dan de helft van het deel van den tweeden. Hoe groot zijn die drie deelen?

  De eerste inhoudelijke alinea tekst bestaat uit deze opgave. blz 5

A. A. Hiddink (1964 2e). Schematische oriëntering in het vak rekenen op de lagere school. Meulenhoff/Muusses/Noordhoff/Nijgh & Van Ditmar / Spruyt, van Mantgem en De Does.

Een bijzondere rekendidactiek. Het laatste hoofdstuk 6 (scan) behandelt het rekenen in situaties van het dagelijks leven (zo noem ik het maar even ;-): rekenvraagstukjes. Interessant is dat Hiddink scherp onderscheid maakt tussen het zien van de relaties in de opgave, en het rekenen zelf. Nog interessanter is dat hij een aantal eenvoudige proeven doet met leerlingen in de klassen 3 t/m 6. Bijvoorbeeld eerst vijf rekenvraagstukjes laten maken, en een week later de leerlingen rekenopgaven voorleggen die in feite het rekengedeelte van die vraagstukjes zijn. Hiddink geeft hier dus een model dat leraren en schoolleiders eenvoudig kunnen navolgen, en hun onderzoekende houding ermee versterken. Voor sommigen misschien opmerkelijk: de zuivere rekenopgaven worden vrijwel altijd een stuk beter gemaakt dan de corresponderende rekenvraagstukjes. In hedendaags realistisch jargon: de contexten in de vraagstukjes waren niet behulpzaam bij het oplossen. Kennelijk zijn deze Hiddink-vraagstukjes net te complex voor een eenvoudig faciliterend effcet van de gegeven context.

Omdat Hiddink de klasseresultaten rapporteert, geeft hij hiermee een aanwijzing van wat het rekenniveau van zijn leerlingen ca 1962 is. Het is natuurlijk maar één school, waarvan de lezer niet meer te weten komt dan de aantallen leerlingen en de gemiddelde leeftijd per klas. Maar toch. Leuk materiaal, zie de scan.

• Om een vraagstukje te kunnen oplossen moet het kind dit niet alleen kunnen lezen, doch zich ook enigszins in de bedoelde situatie kunnen ‘inleven’. Waterink [Theorie der opvoeding, 1951, p. 228-242] noemt dit als een der struktuurdelen van de intelligentie: het vermogen tot situatiebeoordeling, het inzicht in de situatie.
• In een zaal kunnen 98 mensen zitten. Er zijn al 56 mensen. Er kunnen nog bij . . . . . mensen.

  In klas IIIb maakt 57% van de leerlingen deze opgave goed. Maar de zuivere rekenopgave 56 + .. = 98 wordt door 89% goed gemaakt.

  opgave 3 (uit 5), pagina 124.

Workman, W. P. Workman, Geoffrey Bosson (Revision) (1947 4th/1963 6th/1965 reprint). The tutorial arithmetic (with answers). London: University Tutorial Press.

Chapter V: Division. 28-36. Par. 34 'simple division' geeft een strakke vorm van happend delen, want gebaseerd op behandelen van bijvoorbeeld eerst duizendtallen, dan honderdtallen, dan tientallen, tenslotte eenheden. Als de deler een klein getal is, dan hoofdrekenen. Deze vorm happend delen is hier kennelijk alleen gepresenteerd om het delen begrijpelijk te maken. De oefeningen gaan eigenlijk meteen met de staartdeling. Enkele paragrafen gaan over mogelijkheden om de deling te vereenvoudigen (niet hetzelfde als 'handig' rekenen!), bijvoorbeeld door deler 35 op te splitsen als 5 × 7 en dan eerst te delen door 5, en dan nogmaals door 7 (factor-methode). Par. 44 behandelt dan de delers 99, 999 e.d.; best ingewikkeld nog, ik zou dit niet 'handig' rekenen willen noemen.

L. van Gelder (1969). Grondslagen van de rekendidactiek. Een theoretische en practisch-didactische beschouwing over het rekenen in het basisonderwijs. Mededelingen van het Algemeen Pedagogisch Centrum van de N.O.V. #4. Wolters-Noordhoff. vijfde druk (eerste druk: 1960).

Zijn werk is door Oonk, Van Zanten & Keijzer (2007, p. 5) (zie hier) afgeserveerd als een nuttig opstapje naar het realistisch rekenen. Hebben deze auteurs Adri Treffers op het idee gebracht om Van Gelder het kolomrekenen in de didactische schoenen te schuiven? Zie hier.

Bij Van Gelder (1969) heeft hoofdrekenen een andere betekenis dan bij Treffers en De Moor (1990). Opvallend is wel dat Van Gelder zomaar de bron zou kunnen zijn van een aantal kroonjuwelen/drogredenen van de Freudenthal-groep, wat de tegenstelling hoofdrekenen - cijferen betreft (blz. 73-75 ‘Cijferen en hoofdrekenen’).

Van Gelder staat kennelijk onder invloed van de Duitse denkpsychologie. Hij geeft een geheel eigen invulling van wat hoofdrekenen is. Zie ook hoe hij hier een kunstmatige scheiding aanbrengt tussen hoofdrekenen en cijferen:

Van Gelder gruwt overigens van ‘handige’ kunstjes, zoals 98 x 102 = 1002 - 22.

Het is mij niet duidelijk of idealist Van Gelder het kunnen hoofdrekenen ook als einddoel van het lager onderwijs ziet, of alleen als middel. Zie over hoofdrekenen in realistische opvattingen ook hier.

B. Frey (1971/3). Schoolwiskunde van vandaag. Voor ouders en ieder die er meer van wil weten. Agon Elsevier. isbn 9010103196 (waarschijnlijk ongewijzigd herdrukt in 1973)

Uit de tijd van de verzamelingenleer, Venn-digrammen en vectoren.

Nutsseminarium (1967). Proeve van een leerplan voor het basisonderwijs A, B. Nutsseminarium voor pedagogiek aan de universiteit van Amsterdam. - - 224 + box met proeven expressievakken: muzikale vorming en tekenen 31 blz; idem lichamelijke opvoeding 34 blz; idem nuttige handwerken en handenarbeid 43 blz.; aardrijkskunde en verkeersonderwijs 75 blz; vaderlandse geschiedenis 48 blz; kennis der natuur 50 blz; schrijven 15 blz.; moedertaalonderwijs 157 blz.; rekenen 160 blz

Adri Treffers (2015). Weg van het cijferen. Rekenmethodes vanaf 1800 tot heden. Universiteit Utrecht. Uitgeverij Reni Casoli. isbn 978909028793 WiskundE-brief rubriek Verschenen

• p. 9 De erfenis van Anwar. Hij is heel aardig. ‘Vier kenmerken van goed rekenonderwijs’ (p. 11) is dan weer minder: waarom zou je het rekenonderwijs zo inperken? Laat het maar even open.
• De Wiskobas-groep wilde ‘voornamelijk mechanistisch rekenonderwijs een meer probleemgerichte wending geven’. Treffers maakt er een interessante opmerking bij: ‘nu de overheersende invloed van de toelatingsexamens v.o. met zijn kolossale vorm- en denksommen geleidelijk was weggeëbt’. Ik weet niet hoe dit exact in elkaar steekt, maar bij de invoering van de mammoetwet zijn de toelatingsexamens waarschijnlijk vervangen door tests (intelligentietests, de ‘citotoets’ die eigenlijk toch vooral een intelligentietest is). Die toelatingsexamens (met zijn denksommen) zijn door Theo Thijssen in ‘De Examenidioot’ belachelijk gemaakt, in 1929.
• Treffers maakt mijns inziens bepaald een valse start met de stroman-tegenstelling ‘tussen werktuigelijk versus inzichtelijk rekenen, internationaal aangeduid als de procedurele en de conceptuele richtingen in het rekenonderwijs’ Wat niet wegneemt dat caricaturale vormen van beide in werkelijkheid natuurlijk voorkomen, en dan waarschijnlijk vooral door dramatisch tekortschietende kwaliteiten van onderwijzers. Daar ben ik dan heel benieuwd naar: gaat deze studie van Treffers helderheid verschaffen over verbanden tussen didactische opvattingen en de praktijk in het klaslokaal?
• Op p. 13 en 14 is de foto op de omslag aan de orde: Mies maakt een som op het bord. Treffers gebruikt de foto om mechanistisch rekenen te ridiculiseren, maar hij let niet goed op de beschrijving die " target='_blank'>zie hier). Dat is iets anders dan alleen het antwoord op het bord opschrijven. Wat hier waarschijnlijk gebeurd is: Mies heeft zojuist de vermenigvuldiging op het bord gemaakt, volgens de methode-Trachtenberg die het mogelijk maakt zonder tussenstappen te noteren van rechts naar links het antwoord uit te schrijven. Het vergt enige oefening in de methode-Trachtenberg en concentratie bij het uitwerken. De keuze van deze getallen (googel ze!) wijst erop dat het een demonstratie van de methode-Trachtenberg is.

  de afbeelding is een uitsnede uit de foto van Reintjens; op de omslag van het boek staat de volledige foto. De foto is verkrijgbaar uit de Collectie Spaarnestad, Nationaal Archief (zie hier).

  Wie de methode-Trachtenberg kent, zal vermoeden dat dit een Trachtenberg-demonstratie is. En ja hoor, een beetje googelen levert meteen resultaat, op precies deze som. Zie de Twitter draad.

  The Story of Jakow Trachtenberg

  
  The teacher called on a nine-year-old boy who marched firmly to the blackboard upon which was a list of numbers a yard long. Standing tiptoe to reach the top, he arrived at the total with what seemed the speed of light.

  
  A small girl with beribboned braids was asked to find the solution of 735352314 times 11. She came up with the correct answer-8088875454-in less time than you can say the multiplication table. A thin, studious-looking boy wearing silver-rimmed spectacles was told to multiply 5132437201 times 452736502785. He blitzed through the problem, computing the answer-2323641669144374104785-in seventy seconds.

  
  The class was one where the Trachtenberg system of mathematics is taught. What made the exhibition of mathematical wizardry more amazing was that these were children who had repeatedly failed in arithmetic until, in desperation, their parents sent them to learn this method.

  http://www.speed-math.com/story.htm

  Deze misslag hadden Treffers en zijn kritische meelezers natuurlijk moeten vermijden — met open ogen lopen zij in een zelf opgezette valstrik: zo graag uitwassen van mechanistisch rekenen willen zien dat een totaal andere vorm van verkort algoritmisch rekenen hier niet is herkend.

  Het is wel opmerkelijk dat deze Trachtenberg-demonstratie kennelijk in een Nederlands klaslokaal gebeurt: weet iemand welke school dit is, of wie het meisje voor het bord is?

• Waar in de wereld is het fotoboek van Jolien? PPON-opgave 1987 waar 40% ‘goed’ zou zijn. Wie bepaalt wat ‘goed’ is? Treffers blz. 17 vindt: antwoord 28. Maar dat is een norm van buiten de wiskunde. Zie NAEP ‘busprobleem’ hier. Treffers & @Cito mogen alleen 28 ‘goed’ vinden, fijner is meteen aan te geven dat deze wijze van oordelen problematisch kan zijn.

  ‘Jolien’ komt ook voor in Marja van den Heuvel-Panhuizen’s oratie http://www.fi.uu.nl/publicaties/literatuur/7181.pdf: ‘gaat om interpreteren van een rest als uitkomst’. Hier geeft Marja, of ik versta geen Nederlands meer, gewoon toe dat ‘Jolien’ geen rekenen meer is, maar ‘interpretatie’?

• Waar Treffers procedurele en conceptuele methoden onderscheidt, is dat dan het onderscheid tussen rekenen en ‘interpretatie’? Jan Karel Lenstra zegt daarover: rekenen als rekenen onderhouden in onderbouw vo, rekenen gebruiken doe je in de zaakvakken en bij wiskunde.
• In de inleiding laat Treffers nergens het woord ‘realistisch’ vallen. Het is nu conceptueel toepassingsgericht ‘rekenwiskundeonderwijs’. En wel onderwijs dat zich ondermeer ‘manifesteerde’ in de PISA-toets. Dat wisten we al, maar het is goed het hier geautoriseerd te zien. Die directe invloed: via (directeur Freudenthal Instituut) Jan de Lange, voorzitter van het draft committee van PISA mathematics framework. Berg deze documentatie goed op, + lezen!
• Treffers heeft een commentaar geschreven in Wijnstra (1988), waar ook ‘Jolien’ in figureert. Dit is het verslag van de eerste PPON-afname in 1987. Helaas is dit rapport niet online beschikbaar (ik heb het rapport gelukkig wel in bezit).
• Treffers verwijst naar Jan Versluys, 1875, rekendidacticus. Laat u verrassen, lees Ed de Moor over Versluys: hier.
• En mooi voorbeeld uit Boeser (1850) Eerste rekenboekje online de 16e druk 1869:
  85. In eenen kerseboom zaten eens 40 spreeuwen en 25 musschen. Een man schoot daarvan 12 spreeuwen en 8 mussen dood. Kunt gij wel zeggen, hoeveel vogels er van iedere soort bleven zitten?

  Dit is natuurlijk grappig bedoeld, met als serieuze ondertoon: altijd op blijven letten. Maar wie nog iets dieper doordenkt, komt in problemen: natuurlijk kan iemand met een schot hagel meerdere vogels raken, maar 20 vogels??? Dan is het kennelijk toch de bedoeling 40-12 en 25-8 uit te rekenen?

• Ik verwacht in de Inleiding een uiteenzetting over hoe Treffers het bewijs levert dat de conceptuele methode de beste is. Door empirisch vergelijkend onderzoek, meta-analyse van beschikbare onderzoeken, logische analyse, whatever. Maar nee hoor, niets. Het wordt verhalend?
• tweet Treffers (p 14): de Inspectie zou (verslag 1963) rekenen een stervend vak verklaard hebben. Dat staat te bezien, en het blijkt dat niet de Inspectie, maar Rombouts dat opmerkte: zie p. 194 Verslag van de staat van het onderwijs in Nederland over het jaar 1963. ‘Spinnen’ heet zoiets.
• Neem bijvoorbeeld het cijferende delen dat in de procedurele aanpak puur receptmatig naar het algoritme van de staartdeling voert. De inzichtelijke leergang daarentegen kan vanuit een concrete situatie starten waarin een bepaalde hoeveelheid wordt verdeeld of opgedeeld.

  blz. 15

  blz. 15

• De flaptekst meldt dat Treffers wiskunde en onderwijskunde studeerde, en vanaf 1989 hoogleraar is. Dat lijkt me niet helemaal correct. CV proefschrift 1978 meldt: akte wiskunde mo-a 1962; doctoraal pedagogiek 1969. Bijzonder hoogleraar 1989 NVORWO-leerstoel, oratie 6-2-1990. Treffers zal er zijn schouders over ophalen. Het is niet slechts slordigheid maar oneigenlijke versterking van het imago van wetenschappelijkheid
• Treffers bespreekt in hoofdstuk 1 oa. Anslijn (1829) Rekenboek voor meisjes, een licht bijgestelde latere druk integraal hier ophalen. Het 3e deel van Anslijn's Rekenboek is antwoordenboek voor opgaven in deel 1 en 2. [Antwoorden op de rekenkundige vragen van het Rekenboek voor meisjes: 3e stukje]
• Treffers mist dit artikel van Danny Beckers 2000 in Gewina, over Anslijn's rekenboekje en rekenonderwijs begin 19e eeuw. Zou ik moeten kiezen, dan heeft Beckers’ artikel de voorkeur boven Treffers’ 1800-1875. Ik heb eerst Beckers gelezen, en zag vervolgens hoe Treffers’ tekst historisch onjuist is, en toewerkt naar door hem gewenste conclusies zoals hierbeneden.
  “Daarom kan het verdwijnen van dit rekenrecept [de regel van drieën, BW] mede als markeringspunt voor de opkomst van het inzichtelijke, zelfzoekende, heuristische rekenen fungeren en voor de neergang van de mechanistische methodiek.”

  Treffers Weg van het cijferen blz. 36

  Treffers besteedt in zijn boek meer ruimte aan het citeren van teksten en voorbeelden, is in die zin aanvullend (maar met vooringenomenheid) op Beckers. Want ja, al die ingeklede opgaven hebben begin 19e eeuw volgens Beckers toch vele andere bedoelingen dan de contexten van realistisch rekenen. Ik concludeer uit het sterke artikel van Beckers: rekenen en wiskunde mengen met contexten is een cultureel bepaald fenomeen, geen wiskunde. Het rekenonderwijs was begin 19e eeuw geïntegreerd onderwijs in tevens zaakvakken, moraal, huishouden, en koopmanschap. Zie Beckers 2000. Hier faalt de ‘louter vakdidactische invalshoek’ (blz. 17, noot) van Treffers.

• Gevaar bij alles wat over contexten wordt geschreven: het is een containerbegrip, het is altijd nodig om precies te zijn over wat is bedoeld. Zo maakt Treffers in zijn inleiding het volgende bevreemdende onderscheid:
  Ook de aard van de vraagstukken verschilt in de onderscheiden aanpakken. De procedurele methodes bevatten tekstsommen die in feite ingeklede rekensommen zijn waarbij de context van de situatie er in feite niet toe doet. De conceptuele methodes hebben echter ook opgaven waar de context wel nadrukkelijk meespeelt.

  blz. 16

  Treffers geeft dan deze opgaven uit Versluys (1875) als voorbeelden van de laatste categorie;

  1. Hier zijn 7 cent; hoeveel prenten van 2 cent het stuk kan men daar voor kopen? [in 5e druk: Hoeveel broodjes van 2 cent kan men koopen voor 7 cent?]
  2. Een aardappelkoopman moest met een kruiwagen 7 zakken aardappels wegbrengen. Hij kon er maar 2 op dezen kruiwagen leggen. Hoe dikwijls moest hij rijden, om al die aardappels te bezorgen?

  Versluys, 1899 5e druk, Handleiding 1e stukje http://goo.gl/dFVG7e

  Treffers (p 16) ziet bij Versluys zinvolle contexten: “Hier zijn 7 cent; hoeveel prenten van 2 cent het stuk kan men daar voor kopen?” De opgave komt uit het rekenboekje getallen 1-10. De kinderen kennen nog geen breuken, wezenlijk anders dan bij het fotoboek van Jolien. Het gaat om slechts enkele van dergelijke opgaven, temidden van reeksen rekensommen ‘waarbij de context van de situatie er in feite niet toe doet’. Treffers geeft weinig voorbeelden, maar deze voorbeelden (p. 16) zijn op zich niet handig gekozen: ze maken zijn stelling niet aannemelijk.

• Jan Brunt (1826 5e). Eerste beginselen der rekenkunde, voorgesteld in vragen en antwoorden, ten dienste der scholen. Eerste stukje. Veranderd en vermeerderd, overeenkomstig het nieuw aangenomene stelsel van maten, gewigten en munten, door N. Anslijn, N. Z. Te Leyden bij D. du Mortier en Zoon. dbnl scans. Eerste bladzijde van het voorbericht van Anslijn ontbreekt. Maar let op: in hetzelfde pdf-bestand zijn ook de stukjes 2 t/m 3 en het Vervolg op de Eerste beginselen (bezorgd door Bevel) opgenomen. Ook van de 10e druk 1843 (gelijk aan de zevende druk) is een volledige scan beschikbaar op dbnl (de tekst van het voorbericht is vrijwel gelijk aan die in de 4e druk, en in dit geval geen missende bladzijden). In de pdf tevens: Tweede stukje 7e druk 1842; Derde stukje, vijfde druk, 1840; Vierde stukje, derde druk, 1832; Vervolg op de Eerste beginselen der rekenkunde, voorgesteld in vragen en antwoorden, ten dienste der scholen. door Jan Brunt, in leven stadsschoolhouder te Leyden, door M. I. S. Bevel, meester in de vrije kunsten, doctor in de wijsbegeerte, enz., vierde druk, Mortier 1840 (1e druk: ws 1819, de datering van het voorwoord van Bevel);
• tweet Op p. 21 bespreekt Treffers de deling: van happend delen naar de staartdeling, zoals ook Anslijn (Brunt) begin 19e eeuw dat zou doen. Kijk dat eens na, in de rekenboekjes (twee versies van het eerste deeltje) die integraal op dbnl beschikbaar zijn (zie hierboven), en waar rond blz. 50 de deling is behandeld. Dat happend delen is door Brunt/Anslijn alleen gebruikt om te demonstreren dat je bij het delen vanaf links moet werken.
  24. Dat is een omslagtige manier van deelen. Moet men dat altijd zoo doen?
  Neen: men kan de deeling op eene kortere wijze verrigten; doch deze manier van deelen geschiedt alleen om aan te toonen, waarom men in dezen regel niet van achteren, maar van vooren moet beginnen.

  25. Blijkt dan de ‘reden’ daarvan uit de voorgaande bewerking?
  Ja: want men ziet duidelijk, door telkens bij ieder volgend getalkenmerk over te gaan tot eene mindere soort, dat men de overschotten der hoogere waardijen bij de mindere kan voegen, hetwelk niet zou kunnen geschieden, zoo men de deeling van achteren, of bij de regterhand, wilde beginnen.

  blz. 50 in de 10e druk

• Hoofdstuk 2: Treffers over periode 1875-1900. Herhaaldelijk tendentieuze uitspraken zoals hierbeneden. We weten dit gewoon niet. Grappig is dan wel dat Treffers hier dezelfde sprong voorwaarts ziet als eeuw later tussen mechanistisch en zijn realistisch rekenonderwijs.
  “Het overwegend werktuigelijke rekenonderwijs maakt plaats voor op inzicht gerichte, zelfzoekende methoden onder strakke leiding van de onderwijzer.”

  Treffers 2015, p. 41

• Niet door Treffers vermeld, mogelijk wel interessant: Rijlaarsdam 2010 over beslommeringen schoolhoofden eind 19e e. http://dare.ubvu.vu.nl/handle/1871/15868
• Treffers verwijst herhaaldelijk naar Zijlstra, citeert er ook uit, maar vermeldt niets in de bibliografie. Waarschijnlijk is bedoeld: Het rekenonderwijs in de lagere school : eene methodische schets ten dienste van kweekelingen en jonge onderwijzers door J.G. Zijlstra (1890). Aanwezig in depot van de UB van de UvA.

• 
  

  ---

  Daniël van Pelt (1903/1912 4e). Overzicht der methode gevolgd in 'De nieuwe rekencursus'. Tiel: D. Mijs.

  pdf t/m blz. 14

  ---

  Treffers (2015) citeert hier uitvoerig uit. Om welke passages gaat het: p. 41 (vP p.15-17); p. 49-51, hier geeft Treffers twee uitvoerige citaten, uit p. 13 en p. 9, en de ‘winkelmethode’ waarbij Treffers niet aangeeft uit welk boekje van Van Pelt, of welke bladzijde. Uitzoeken, dan maar. Dit boekje van Van Pelt staat niet online; bij KB ter inzage. Goed om de eerste bladzijden bij de hand te hebben: http://benwilbrink.nl/VanPelt_1912_tm14.pdf.

• Treffers citeert op blz. 50-51 uitvoerig wat Van Pelt schrijft over hoe hij rekenvraagstukjes kiest bij situaties uit het dagelijks leven. Dat is Treffers gegund. Maar ja, Van Pelt heeft er wel een waarschuwing aan toegevoegd, mogelijk in een latere druk, en die luidt als volgt:
  De schrijver heeft bij het kiezen en gebruiken dezer leerstof soberheid betracht. Dat men onverstandig op dit punt overdrijven kan, blijkt overtuigend uit sommige nieuwe rekenboeken voor de Herhalingsscholen; want daarin wordt het rekenen slechts bijzaak

  Danië van Pelt (1903/1912 4e). Overzicht der methode gevolgd in 'De nieuwe rekencursus'. Tiel: D. Mijs. blz. 10

• Ik vind het wel heel bijzonder wat Van Pelt beschrijft over zijn speurtocht naar rekenen in het dagelijks leven. Treffers citeert daar ook uit. Het bijzondere zit hem hierin dat Van Pelt niet zomaar bedenkt wat er zoal valt te rekenen in dat dagelijks leven, maar het actief inventariseert. En zo hoort dat. Ik zou willen dat Treffers daar een voorbeeld aan nam, het Cito, het CvTE. Ik vind het belangrijk genoeg om volledig te citeren
  We bedoelen de berekeningen voorkomende in de verschillende beroepen en bedrijven, op reis en in het verkeer, in sommige takken van dienst, in de keuken en de huishouding, bij het berekenen en het betalen van belasting, bij het in- en uitvoeren van artikelen over de grens, bij het brievenvervoer en de telegrafie, bij postpakketten en Rijkspostspaarbank; bij het aanbesteden, het verkoopen en het verhuren van vaste goederen, alsmede bij het nemen van hypotheek er op. Het opmeten van terreinen, de aanleg van straten en en wegen en het maken van een stadspark leveren stof, zowel als de wandeling door den polder, waar het verschil van hoogte tusschen polderwater en buitenwater bij eb en vloed, de opbrengst van een akker of wei, polderlasten, het waterbezwaar, de jaarlijksche regenval, het loven en bieden tusschen boer en vee-, graan- of zuivelkooper vraagstukjes in de pen geven. Gaande door de stad komt de auteur voorbij winkels die wegens liquidatie 10 tot 20% korting geven, voorbij een wisselkantoor of een assurantiekantoor, voorbij pakhuizen en magazijnen, ziet steeds naar de prijzen, vraagt inlichtingen, om stof te vinden voor echt praktische vraagstukjes. En thuis volgt hij tal van mededeelingen in de verschillende rubrieken der courant om meer gegevens te vinden òf luistert naar de berekeningen van vrouw en dochters en modiste òf bladert in prijscouranten. Met de kleinen treedt hij de bazar in of volgt hen bij ’t doen van boodschappen in de winkels, of ziet toe bij het knikkeren en het ganzenbordspel. Met de allerkleinsten gaat hij winkeltje spelen, laat een koopvrouw voorstellen en geeft geld mee aan een zes-jarige, die bijv. voor 3 cent kersen mag koopen. Den ouderen wijst hij op bevolkingscijfers en de factoren die deze wijzigen, laat hen werken met het geld van naburige landen, geeft hun op het gemiddelde te zoeken of laat hen de financiëele gevolgen van drankmisbruik berekenen.

  blz. 9

• Dat lager onderwijs rond 1900 voor de meeste leerlingen eindonderwijs is heeft zijn weerslag op aard en inhoud van het rekenonderwijs. In klas 5, 6 noteren leerlingen rekenopgaven in praktische situaties in een schrift dat zij ‘mee kunnen nemen als ze het leven intreden’. Dergelijke gegevenheden uit het schoolse leven rond 1900 maken een vergelijking met contextrekenen vh huidige ‘realistisch rekenen’ absurd.
• Wie graag eens door eind 19e-eeuwse rekenboeken bladert: 228 boeken online UvA UB Collectie Nederlandsch Schoolmuseum
  http://schoolmuseum.uba.uva.nl/search?f1-subjectkeyword=Rekenen;startDoc=141.
• 19e eeuwse rekenboekjes en discussies in tijdschriften: zoek ook in Delpher, bv. http://www.delpher.nl/nl/boeken1/results?query=rekenen&coll=boeken1 Rijke oogst, al blijven er leemten.
• Aardig (of juist zorgwekkend?) om te zien hoe discussies over rekenonderwijs in de 19e eeuw zo in de krant van vandaag zouden kunnen. Een deel van de verklaring daarvoor: het is psychologie door amateurpsychologen die hun termen niet zorgvuldig kiezen en niet empirisch toetsen
• K. Zijlstra 1849. In hoeverre heeft de school schuld aan het vervliegen der kundigheden? Tijdschrift voor aankomende onderwijzers Boeken Google

Bespreking van het boek is al geruime tijd blijven liggen. Daarom nu maar eens verder, te beginnen met het laatste hoofdstuk dat bij Treffers de appendix blijkt te zijn. tweet 23 aug 2015

• Weg van het cijferen van Adri Treffers wacht nog op verdere bespreking. Ik zou het slothoofdstuk (Appendix genoemd) willen behandelen. Balans van de vernieuwing 1990-2010 lijkt een juweel van selectieve behandeling, of neemt Treffers aan dat de kritiek op zijn realistisch rekenen wel algemeen bekend is? Treffers geeft zelf aan (p. 227) dat veel afhangt van hoe men rekenvaardigheid waardeert t.o.v. de kroonjuwelen van het realistisch rekenen. En dat is dan bijna de slotalinea van het boek. In de echt laatste alinea komt de ‘waarde van probleemoplossen’ aan bod. Mijn grote struikelblok ;-) Een algemene ‘vaardigheid probleemoplossen’ bestaat immers niet. Zie bv. Tricot & Sweller (2014) (generic skills).

  Even opfrissen: Treffers stuurde de onderwijscie TK info uit zijn boek, met een kattebelletje: zie wiskundebrief.nl/694.htm onder ‘Verschenen’

Danny Beckers (2000). ‘Een braaf en leerzaam meisje’ Rekenonderwijs voor Biedermeier-meisjes in Nederland, 1800-1860. Gewina, 23, 107-122. pdf

Bijzonder informatieve studie over rekenonderwijs in de eerste helft van de 19e eeuw in Nederland. Een bredere studie, in feite, dan de titel suggereert. Belangrijk is wat Beckers heeft te melden over het contextrijke karakter van het rekenonderwijs, althans de rekenboekjes: het rekenonderwijs werd tevens gebruik om informatie van andere aard dor te geven — zaakvakken en moraliteit waren er als het ware in geïntegreerd. Mijns inziens zijn deze ingeklede situaties niet vergelijkbaar met wat het realistisch rekenen eind 20e eeuw propageert aan rekenonderwijs-in-contexten. Adri Treffers (2015) wil ons anders doen geloven, in zijn eerste hoofdtuk in Weg met het cijferen, maar wie dat hoofdstuk leest na Beckers bestudeerd te hebben, ziet dat Treffers historische onjuistheden schrijft.

> H. J. C. van Rijlaarsdam (2010). Want ik verlang zeer naar de school: Twee schoolhoofden en de dagelijkse gang van zaken bij het openbaar lager onderwijs in Schoonhoven in de tweede helft van de negentiende eeuw. Proefschrift VU. ophalen

Het gaat over 1 casus: de LS van Schoonhoven (en dorpen). In hfdst 7 overzicht van gebruikte rekenboeken. Mooie achtergrond bij Treffers Weg van cijferen, wat eind 19e eeuw betreft.

NN (1899). Handleiding bij het rekenonderwijs op de lagere school. Methodiek van het rekenen aan normaal- en kweekscholen. Tilbrug: Stoomdrukkerij van het R. K. Jongensweeshuis, 1899. Amsterdam: F. H. J. Bekker. bladeren

De auteur zegt gebruik te hebben gemaakt van de Methodiek voor het rekenonderwijs, in het Leerboek over opvoeding en onderwijs van Aloys. Karl Ohler. Van dezelfde auteur verscheen in 1894 Beknopt overzicht van 't rekenonderwijs in de lagere school, en in verband daarmede een stel rekenboekjes onder den titel Rekencursus: rekenboek voor de lagere school.

• V. Doel en vormende waarde van het rekenonderwijs. Reeds van oudsher is het rekenonderwijs in de volksschool opgenomen om de waarde, die het rekenen voor het leven heeft. Het deel van dit onderwijs is, den jeugdigen mensch een helder inzicht te geven in de getallen en in hunne bewerkingen, die voor het leven van iedereen te pas komen. Rekenen is in het leven voor den eenvoudigen werkman zoowel noodzakelijk als voor den groothandelaar en industriëel.

  Het rekenonderwijs heeft bovendien eene formele waarde, die man van den eenen kant, wel is waar, niet moet overschatten, maar die ook avn den anderen kant niet te gering dient geschat te worden. Ofschoon het onderwijs in het rekenen minder voorstellingen en begrippen aanbrengt dan goed lees- en taalonderwijs, is het evenwel van groot belang tot ontwikkeling en vorming van het denkvermogen; immers een vruchtbaar werken met getallen is niet mogelijk, zonder eene juiste opvatting van het gegevene, zonder juist oordeelen en voorzichtig, streng en logisch redeneeren. Het rekenen gewent aan nauwkeurig onderscheiden, en geeft aanhoudend gelegenheid tot het scherp en juist uitdrukken van zijne gedachten. Het zoeken naar het ware, het zoeken naar het hoe en waarom en het vinden der waarheid sterkt den wil en werkt gunstig op het karakter. — Door toepassing op allerlei gevallen uit het dagelijksch leven, brengt het rekenen verchillende begrippen aan, b. v. van in- en verkoop, van percentrekening, rabat, korting voor kontante betaling, en meer zaken van dien ard, waarvoor in geen ander vak van het onderwijs eene geschikte plaats te vinden is en die evenwel voor het leven niet van belang ontbloot zijn.

  Een ander voordeel van het rekenen is, dat het zoo overvloedig gelegenheid geeft voor geschikte opgaven.

  In het algemeen kan gezegd worden, dat eene opgaaf des te doelmatiger is, naarmate hare voorwaarden meer bepaald zijn, hoe scherper de juiste en de verkeerde oplossing tegenover elkander staan en hoe minder speling er voor het half en half bewerken overblijft. Aan al deze vereischten kunnen vooral rekenopgaven voldoen: immers wat men weten moet tot de oplossing der voorstellen, kan gemakkelijk overzien worden; elke fout in de bewerking openbaart zich al heel spoedig; elke nalatigheid vindt hare straf. Zonder stiptheid en nauwkeurigheid in denken en bewerken komt men niet tot het gewenschte resultaat. Het rekenen vordert derhalve van den leerling inspanning van den geest, en juist die inspanning werkt weder gunstig op den wil en het karakter

  Meer dan eenig ander vak van het gewoon lager onderwijs is het rekenen dan ook geschikt, om de zelfwerkzaamheid der leerlingen te bevorderen, en om hun te doen inzien, wat zij door nadenken en inspanning reeds vermogen.

  Wat hier gezegd is van het gewone rekenonderwijs, is ook geheel van toepassing op het meetkundig rekenen. Dit werkt evenzeer op de ontwikkeling van het denkvermogen en gewent in hooge mate aan stiptheid en nauwkeurigheid.

  NN, blz. 165-166

Rekenboeken in de Collectie Nederlandsch Schoolmuseum. http://schoolmuseum.uba.uva.nl/search?f1-subjectkeyword=Rekenen

J. Koonings (1896 6e). De School, Practische Paedagogiek ten dienste van Onderwijzers. W. J. Thieme. Ned Schoolmuseum UvA online

Aldert Leen (1961). De ontwikkeling van het rekenonderwijs op de lagere school in de 19e en het begin van de 20ste eeuw. Wolters. Proefschrift Vrije Universiteit. besproken in Euclides p. 60-61

• 1. School en maatschappij in het begin der 19e eeuw
  2. De invloed van Johann Heinrich Pestalozzi
  3. School en maatschappij in ons land in de 19e eeuw tot omstreeks 1870
  4. De invloed van Pestalozzi in ons land
  5. De betekenis van Herbart voor de didaktiek
  6. De sociaal-economische structuur van ons land omstreeks 1870
  7. Herbart's invloed in ons land
  8. Critiek op het herbartianisme
  9. School en maatschappij in het begin der 20e eeuw
  10. Een periode van onzekerheid (1900-1918)
  11. Een intermezzo
  12. De hervorming van het rekenonderwijs in Duitsland
  13. De hervorming van het rekenonderwijs in de dertiger jaren in Nederland
  14. Na de Tweede Wereldoorlog
  15. Inzicht en oefening
  16. Schooltypen en individualisatie
  17. Beperking der leerstof, speciaal wat betreft de breuken

1958. De aansluiting van het rekenonderwijs op de lagere school tot het wiskundeonderwijs op de middelbare school : voordrachten gehouden op het conferentie-weekeinde van de wiskunde werkgroep van de W.V.O., conferentieoord "De Grasheuvel", Amersfoort, 19-20 oktober 1957. Muusses. [aanwezig: KB; nog niet gezien]

P. J. Bouman & J. Versluys (1935). Aansluiting lager en middelbaar onderwijs, speciaal beschouwd in verband met het Rapport-Bolkestein, het rekenonderwijs op de lagere school en den uitslag van het onderzoek met twee schoolvorderingentests op verschillende scholen voor middelbaar en voorbereidend hooger onderwijs [aanwezig: KB; nog niet gezien]

A. Jager (1922). Een nieuwe grondslag voor het rekenonderwijs op de lagere school. Muusses. [aanwezig: KB; nog niet gezien]

H. P. Stroomberg (1977). Communale rekendoelen : een empirisch onderzoek naar doelstellingen van het rekenonderwijs RITP. [aanwezig: KB; nog niet gezien]

Cito (1975). Sommetjes in hokjes : einddoelstellingen van het rekenonderwijs op de basisschool [aanwezig: KB; Let op: KB spelt titel verkeerd als bassisschool! nog niet gezien]

Daniëë van Pelt (1903/1912 4e). Overzicht der methode gevolgd in 'De nieuwe rekencursus'. Tiel: D. Mijs.

Treffers (2015) citeert hier uitvoerig uit. Om welke passages gaat het: p. 41 (vP p.15-17); p. 49-51, hier geeft Treffers twee uitvoerige citaten, uit p. 13 en p. 9, en de ‘winkelmethode’ waarbij Treffers niet aangeeft uit welk boekje van Van Pelt, of welke bladzijde. Uitzoeken, dan maar.

K. Bok (1874). Wordt de vormende waarde van het rekenen te hoog aangeslagen? Nieuwe Bijdragen ter Bevordering van het Onderwijs No. 91, Dinsdag, 17 November 1874. en

• Van verschillende zijden gaan er thans stemmen op, dat het rekenen te hoog gewaardeerd wordt, en dit heeft o. a. in het Weekblad voor het Onderwijs tot discussiën aanleiding gegeven. Dit strijd heeft zich eerst noodzakelijk bewogen om het vraagpunt Wat eischt het practische leven? dat men bij het rekenen meer dan bij andere vakken dient in ’r oog te houden. Toch moet op de legare school ook hier het formeele boven het materriële gesteld worden.

  Onlangs heeft echter de Rijkens, leeraar aan ’s rijks kweekschool te Groningen, het rekenonderwijs m. i. in de hartader aangetast, door aan te nemen, ‘dat het rekenonderwijs eenzoudige zielebeelden geeft, die ZEER WEINIG tot den geestelijken rijkdom bijdragen, en dat het in dat opzicht ver moet onderdoen voor aardrijkskunde, natuurkennis en geschiedenis.’

  Ik heb deze stelling een ingrijpende genoemd, en den heer R. verzicht, aan te toonen, dat bij gewone leerlingen meer heldere zielebeelden door aardrijkskunde, natuurkennis en geschiedenis kunnen gevormd worden dan door het aanleeren van de hoofdregelen der rekenkunde.

  De heer R. verklaart in het Bijblad van den Schoolbode(Oct.) kennis van mijn schrijven genomen te hebben, en verwijst mij naar het Mei- en Juni-nummer van den Schoolbode van 1873, waarin hij een en ander meent aangetoond te hebben.

  Het Juni-nummer ligt mij nog versch in ’t geheugen, daar hierin de heer R. de vormende en practische waarde van een belangrijk deel van ’t rekenonderwijs (de gewone breuken) gering schat’te, waaromtrent ik in ’t Weekblad (1873, no. 29) mijne mening hebt [sic] gezegd, die ik eerst kortelijk en later (in no. 40 van 1873 wat de vormende en in no. 4 van 1874 wat de practische waarde betreft) meer uitvoerig toegelicht heb.

  Ten opzichte van het vormende gedeelte van het onderwijs der breuken werd mijne meening door den heer R. (Bijblad Aug. 73) genoemd ‘eene van die frases, waarmee men in de opvoed- en onderwijskunde maar al te veel schermt, zeer tot nadeel van eenige grondige studie der paedagogiek en didactiek.’.

  In verband met het schrijven van heer R. in het Bijblad van Oct. 74, ‘frasen zijn volzinnen, die op deftigen toon uitgesproken worden door menschen die er geen meening op nahouden,’ schijnt de heer R. dus te zeggen, dat ik er vroeger geene meening op nahield.

  Al kan ik mij niet beroemen, zoals de heer R., ‘meer dan 10 jaar de leer van het onderwijs tot een voorwerp van studie gehad’ te hebben (Bijblad Aug. 73,) toch durf ik den heer R. verzekeren, dat ik over de onderwijsvakken mijne meeningen heb, die ik ook meen te mogen uiten.

  Wat het rekenonderwijs aangaat gevoel ik inzonderheid lust, soms wat te schrijven. Misschien dat dit komt, omdat ik eenige voorliefde heb voor het rekenen en den vormenden invloed ervan op mijn geest gevoeld heb; maar daaruit volgt immers nog niet, dat ik aan dit leervak op de legere school te veel tijd besteed in vergelijking van andere vakken. Ik meen nog onlangs gehoord te hebben, dat iemand de staathuishoudkunde zijn lievelingsvak noemde, ja er bijna mede dweepte, en er toch tegen was, dit als verplicht leervak op de lagere school te brengen. Zoo zullen er ook wel personen zijn, die het vak, waarin ze ’t meest ervaren zijn, in de school wat op den achtergrond zetten, en aan vakken, waarin ze minder sterk zijn, met opzet meer dan gewonen tijd besteden.

  Zonderling vind ik daarom de volgende redeneering van den heer R. “Als er b. v. 6 uur per week gerekend, en slechts 1 uur aan natuurkennis gedaan wordt, dan moet de onderwijzer, die zulks doet, aantoonen de waarde der evenredigheid :

        waarde v. h. rekenen : waarde v. d. nat. = 6 : 1.

  De heerren die ‘ eenige voorliefde’ voor het rekenen hebben of er met hevigheid voor strijden, hun zal dit zeker gemakkelijk vallen.”

  Ik geloof, dat de heer R. hier eene andere beteekenis aan voorliefde hecht, dan ik. (Men zie V. Dale op Voorliefde).

  Van den heer R. die in een Bijblad van de Schoolbode (Aug. 1874) van den zoogenoemden heilzamen invloed der wiskunde spreekt, zal men zeker niet kunnen zeggen, dat hij eenige voorliefde voor het rekenen heeft.

  Door uwe voorliefde, zal misschien de heer R. zeggen, zult gij toch de waarde van het rekenen licht te hoog schatten.

  Ik antwoord, dat dit zeer goed mogelijk is.

  Maar ik wil, zooveel ik kan, mijne voorliefde thans ter zijde zetten, en dit acht ik bijzonder geraden nu ik de stelling : het rekenonderwijs geeft zielebeelden, die zeer weinig tot den geestelijken rijkdom bijdragen, ga bestrijden.

  Bij het maken van gevolgtrekkingen zal ik mijne motieven bij voorkeur aan de motieven des heeren R. ontleenen, of zijne woorden tot het maken daarvan bezigen.

  In het Meinummer van de Schoolbode (jaargang 1873, bl. 197-208), waarheen de heer R. mij verwezen heeft, moet het betoog te vinden zijn, dat de zielebeelden, die het rekenen geeft, zeer weinig tot den geestelijken rijkdom bijdragen.

  Ik heb dat nummer met belangstelling gelezen, maar kon er niet uit besluiten, dat deze stelling waar moest zijn.

  Zie hier wat de heer R. in hoofdzaak omtrent dit punt geredeneerd heeft.

  Vooreerst wordt beweerd, dat de hoeveelheidsbegrippen slechts één kenmerk hebben, nl. dat van samengesteld te zijn uit gelijksoortige deelen (eenheden of hoeveelheden).

  Het is dus een hoogst eenvoudig begrip, dat gemakkelijk kan worden opgevat, hoewel de verschillende hoeveelheidsbegrippen moelijk van elkander te onderscheiden zijn, juist vanwege de eenvormigheid der opvatting, wanneer niet een bijzonder ingericht talstelsel die ondercheiding gemakkelijk had gemaakt.’ (Ik meen, dat het talstelsel niet om de eenvormigheid derhoeveelheden gemaakt is, maar wel omdat, van wege het groote getal der hoeveelheden, niemand ze zou kunnen onthouden, zoo zij elk afzonderlijke namen hadden, die niet met elkander in verband gebracht waren) ‘Bij het rekenen werkt men dus met zeer eenvoudige en ondelring zeer eenvormige begrippen.’

  Iets verder lees ik: “Wat het vormen van voorstellingen betreft, volgens hetgeen boven gezegd is, zal niemand groote waarde toekennen. De begrippen immers op het gebied van het rekenen zijn wel veel in getal, maar zeer eenvormig en onderling weinig onderscheiden; hun eenigst verschil bestaat uit het grooter of kleiner getal hoeveelheden.”

  Uit eenvoudige elementen kan zeer goed een kunstig gebouw ontstaan. Zoo is b. v. iedere plant geheel uit cellen gebouwd en ontstaat niet uit de veelheid en kunstige rangschikking der cellen dengeheel plant? Uit de eenvoudigheid der hoeveelheidsbegrippen, de conclusie te trekken dat het rekenonderwijs zielebeelden geeft van weinig waarde, komt mij zeer gewaagd voor.

  De heer R. komt eindelijk tot de volgende slotsom:

  “Wanneer we nu kortelijk nagaan, wat er beweerd is aangaande het rekenonderwijs, dan verkrijgen wij, dat dit leervak een practisch belang voor het leven heeft; maar dat het maatschappelijk leven in het algemeen geene berekeningen met groote getallen, ingewikkelde verhoudingen of samengestelde vormen vraagt [De heer R. heeft onlangs (Bijblad, Sept. ’74) omtrent het practisch belang van het rekenen gezegd, ‘dat het, ja veelvuldig in het leven te pas komt, maar dat men ook, met het oog daarop, nog veel over boord kan gooien van hetgeen vaak onderwezen wordt.’ Het rekenen moet in de eerste plaats van schadelijke toevoegselen gezuiverd worden. De heer R. zal het onderwijs verplichten, dit nader aan te wijzen.], dat verder het rekenonderwijs groote waarde voor de verstandsontwikkeling heeft, evenwel niet ten aanzien van de stof, de hoeveelheidsbegrippen, die hoogst eenvoudig en onderling weinig onderscheiden zijn, en daardoor den geestelijken gezichtskring zeer weinig vergrooten; maar wel ten aanzien van het denken.”

  Ik geef den heer R. tot op zekere hoogte toe dat het rekenen slechts eenvoudige zielebeelden geeft (ik denk hier aan het rekenen uit eht hoofd en aan het cijferen met onbenoemde geheele getallen), en ik wil ook niet ontkennen, dat er eenvormigheid bij is (vele begrippen zijn zeer na verwant, waardoor het eene zich gemakkelijke uit het andere laat afleiden, waardoor het rekenen inzonderheiod op de lagere school belangrijk is, en deze verwantheid is een voordeel voor het onderwijs der verschillende deelen, die hierdoor geschikte aansluitingspunten bekomen); evenwel geloof ik dat de begrippen niet zóó eenvoudig zijn, als de heer R. dit voorstelt. Juiste bepalingen van de begrippen getal en breuk worden door wiskundigen nog niet altijd gegeven, een bewijs dat men hier ook nog ‘op kleine verschillen’ moet letten.

  Met het geven of opsporen van moeilijke algemeene begrippen, heeft echter de lagere school zich niet te bemoeien. Zij houdt zich inzonderheid met het aanschouwelijke, met het concreete op; slechts enkele leerlingen zullen zich zuivere abstractiën kunnen vormen.

  Vorderen de juiste bepalingen van rivier en boom ‘vrij wat nadenken, juist door het groote getal kenmerken,’ dan is dit m. i. een bewijs, dat men hier buiten den werkkring der lagere school treedt, en men met het geven van algemeene begrippen op het gebied van aardrijkskunde en natuurkennis zeer omzichtig moet zijn.

  De heer R. zegt: “In verscheidenheid van voorstellingen en begrippen staan de meeste leervakken boven het rekenen. Welk een rijkdom verschaffen niet de zoogenoemde realiën: geschiedenis, aardrijkskunde en natuurkennis. Tot welke veelvuldigheid van oordelen geeft die rijkdom den leerling aanleiding. Hoe moet hier gelet worden op groote, maar ook op kleine verschillen!”

  Die kleine verschillen bewijzien m. i. dat de realiën niet zoo geschikt zijn voor de lagere school ter opscherping van het oordeel, als het rekenen, waar alles aanschouwelijk gemaakt kan worden.

  Omtrent de methode van het onderwijs in het rekenen is zeker het laatste woord nog niet gezegd, evenmin als van aardrijkskunde en natuurkennis en andere leervakken. In zoover deze leervakken geschikt zijn, op eene voor kinderen vatbare wijze behandeld te worden, zal ieder die prijs stelt op ontwikkelend onderwijs, ze zeker gaarne als bijvakken behandelen. Dat ieder naar zijn vermogen bijdrage tot verbetering van het onderwijs in de verschillende leervakken, is mijn vurige wensch!

  De heer R. gewaagt ook van ‘de armoede der rekenkundige begrippen,’ die tegen den rijkdom der realiën vergeleken worden, en plaatst tegen de hoeveelheden twintig en vijftig, de begrippen van rivier en boom over. Echter zegt hij iets lager dat men in de werkelijkheid onophoudelijk het begrip boom met de voorstelling van een boom verwart. (Men zie hier T. Roorda; zielkunde, bl. 130-132).

  Is dit laatste waar, dan houd ik het, ook bij voortgezet onderwijs, met de definitiën der wiskunde, waar ten minste geen begripsverwarring plaats heeft.

  Het allerminst kan ik mij vereenigen met de conclusie van den heer R.: ‘de hoeveelheidsbegrippen zijn hoogst eenvoudig en onderling weinig onderscheiden, en daardoor vergrooten zij den geestelijken gezichtskring zeer weinig, maar wel ten aanzien van het denken.’

  Ik begrijp volstrekt niet, hoe de heer R., die de waarde van het rekenen voor de ontwikkeling van het verstand, het geestvermogen bij uitnemendheid, zoo uitstekend in het licht heeft gesteld, thans zooveel verschil kan zien, dat hij als hoofdpunt gaat stellen; de eenvoudige zielebeelden vermeerderen weinig den geestelijken rijkdom, terwijl de bijzondere waarde voor de ontwikkeling des verstands door hem minder gewichtig schijnt geacht te worden. Althans dien indruk heeft op mij zijn schrijven (Bijblad Sept.) gemaakt.

  De heer R. zegt, ‘dat het rekenonderwijs voor de ontwikkeling van het oordelen en besluiten van het grootste belang is.’

  Is dit waar, dan moet het oo door de vorming van voorstellingen en begrippen van veel waarde zijn. Mij dunkt, de heer R. heeft geen voldoende gronden, om aan te nemen, dat ‘het rekenonderwijs voor de vorming van voorstellingen en begrippen een ‘zeer betrekkelijke waarde’ heeft.

  De eenvoudigheid der begrippen bij het rekenen, ‘ofschoon het denken wel in de eerste plaats gericht is op hoeveelheidsbegrippen,’ zal toch ‘het streven in de ziel opwekken, om over alle voorkomende zaken te oordelen.’ (zie ’t Mei-nummer 1873, bl. 205)

  ‘De hoeveelheid stof, die men moet verzamelen om te kunnen rekenen (De heer R. zegt: ‘rekenen is niets anders dan denken!’) is betrekkelijk gering,’ doch dit maakt juist het rekenen voor de lagere school zoo belangrijk en de alzijdige beschouwing der stof geeft heldere zielebeelden, die zeer veel tot den geestelijken rijkdom bijdragen.

  ( . . . )

  Hoe de heer R. er toe komen kan, te zeggen: ‘het rekenonderwijs heeft groote waarde voor de verstandsontwikkeling; evenwel niet ten aanzien van de stof, . . . . maar wel ten aanzien van het denken’, is mij een raadsel.

  Geestelijken rijkdom en verstandsontwikkeling acht ik synoniemen van eenzelfde begrp, en niet van elkander te scheiden.

  Een klein aantal juiste zielebeelden hebben meer waarde dan een groot aantal nevelachtige, onbepaalde voorstellingen. Scherp begrensde voorstellingen en begrippen zijn het, die inzonderheid geestelijken rijkdom geven. Heldere zielebeelden bevredigen den geest; bij onjuiste voorstellingen gevoelt de geest zich arm. Wat de geest niet lijdelijk behoeft op te nemen, maar wat hij grootendeels zelf kan vinden, en daardoor in hem ‘eene gestalte’ bekomt, om mij zo eens uit te drukken, dat wordt opprijs geschat, dat is zijn eigendom, zijn rijkdom.

  De heer R. erkent nog heden, dat er geen leervak is, dat zoo zorgt, dat de leerstof volkomen, duidelijk bewust maakt. Na deze erkenning komt het mij geheel onbegrijpelijk voor, hoe de heer R. kan heulen met hen, die het rekenen tot de bijvakken verwezen willen hebben. Dit bevreemdt mij te meer, daar hij deze ervaring niet uit zijne praktijk als onderwijzer kan opgedaan hebben. Immers, de R. schreef in 1864, kort nadat hij zijn loopbaan als onderwijzer eener lagere school voleind had, de volgende merkwaardige woorden:

  Het rekenen is en zal altijd blijven een der hoofdleervakken, niet alleen om de veelvuldige toepassing in het leven, maar ook en voornamelijk om de aanleiding tot verstandsontwikkeling, die het geeft.

R. (Mei 1849). Gedachten over het onderwijs in het rekenen op de lagere scholen. Nieuwe Bijdragen ter Bevordering van het Onderwijs. [slechts 7 bladzijden, voor de laatste halve bladzijde even doorbladeren in Delpher)

Hemke Hemkes, Kz, hoofdonderwijzer der Openbare Nederduitse school te Voorburg (1851 3e). De beminnaar van het rekenen, of gemakkelijk rekenboekje voor verdergevorderden. IV (Regel van drieën.) Te Groningen, bij M. Smit. pdf

• Dit vierde stukje, ten vervolge op den kleinen rekenaar, den kleinen rekenvriend en den kleinen rekenmeester, bevat den regel van drieën, zoo als beloofd werd. Voorstellen, welke door eene enkele vermenigvuldiging of deeling kunnen opgelost worden, hebben wij hier niet onder opgenomen, om geene aanleiding tot nuttelooze en schadelijke omslagtigheid in het bewerken te geven. Wij laten de wijze van oplossen geheel aan de gebruikers over; evenwel meenen wij op grond der ondervinding den onderwijzers in bedenking te durven geven, of de leer der evenredigkeden, voor de meeste leerlingen der lagere scholen niet met vrucht kan vermeden worden. Zij kunnen daartoe eenige aanleiding vinden in het werkje van wijlen den Heer J. ter Pelkwijk, getiteld: Handelwijs enz. — Hun, die in een rekenboek grootere getallen wenschen gebezigd te zien, zij berigt, dat wij zulks geenszins wenschen te verwaarloozen, maar daartoe liever het zwarte bord gebruiken; een rekenboek is meer eene aanleiding tot eigene oefening, waarvan de opgaven niet te uitgebreid moeten zijn.

  Dezen derden druk hebben aanmerkelijk veranderd, en zoo wij hopen verbeterd. Wij wenschzen verder die eene nuttige aanleiding tot een vruchtbaar onderwijs in het rekenen toe.

  uit het Voorbericht

• 39. ‘Wie kan altijd op zulke beuzelingen acht geven,’ zeide Leentje, zijne zuster, die even slordig en verkwistend, als Frederik net en spaarzaam was. Reken eens uit, welke eene som deze meid in 10 aar al verslorderde, wanneer zij daags maar 4 spelden verloor, waar van de 20 eene 3 cts. waarde hadden?

  40. ‘Dat weg is komt niet weder,’ zeide zij dikwijls, en op die wijze bragt zij het eene na het andere te zoek. Zij hoorde verbaasd vreemd op, toen Frederik berekende, dat, wanneer zij in 5 dagen slechts 16 cts. aan waarde verloor, dat zulks in 25 jaar meer dan 100 zilv. duk. bedroeg. Wilt gij eens zien of hij gelijk had?

  41. Doch het baatte niets. Toen zij zelve huisvrouw werd, bragt zij alles in de war. Haar man had in de mnd. 26 gld. inkomen, en evenwel kon Leentje de huishouding niet minder dan met 8 gld. in de week ophouden. Wilt gij eens berekenen, a) hoe veel zij in een jaar hadden in te komen? b) hoe veel Leentje in het jaar noodig had? c) en hoe veel zij iederen d nagenoeg te veel uitgaf?

  42. Naderhand bragt haar man het zoo ver, dat hij 36 gld. in de mnd. verdiende, en nu dacht hij, dat zij iets konden overhouden, maar ja wel, nu had Leentje 10 gld. in de week roodig. Hoe veel gaf zij nu nagenoeg per dag te veel uit?

Tijdschrift voor Aankomende Onderwijzers, zesde deel, 1841

Dit tijdschrift bevat vooral examenopgaven of wat daar verdacht veel op lijkt, waarvoor men oplossing kan insturen. En boekbesprekingen (maar wel heel erg summier, dan)

• &. Waarom behoort het rekenen uit het hoofd het cijferen vooraf te gaan en te vergezellen? — H. Baneman.

  
  Antwoord van H. Baneman.

  Wij zullen toch wel niet behoeven op te merken, dat het rekenen uit het hoofd het ware en eigenlijke rekennen is; terwijl het cijferen op de lei slechts als een voortgezet rekenen uit het hoofd moet beschouwd worden, waarbij wij, ter ondersteuning van het geheugen, met zigtbare teekenen omgaan, welker eenvoudige zamenvoeging ons in staat stelt om de grootheden gemakkelijk te overzien. Om deze reden is dus het cijferen onmisbaar; doch bij het rekenen is de geest zelf scheppend werkzaam, onderzoekt het wezen der hoeveelheid en neemt grootelijks toe in kennis en kracht. Al het cijferen, hetwelk niet door rekenen uit het hoofd voorbereid is, kan slechts aangezien worden als eene werktuiglijke handeling, welke man niet begrijpt. ( .. )

  De ondervinding heeft bovendien overvloedig geleerd, dat, hoe duidelijk het begrip is, hetwelk men zich van het getal en deszelfs verschillende betrekkingen gevormd heeft, hoe sneller en grooter vorderingen men maakt, zoo dat het rekenen uit het hoofd eindelijk het cijferen in spoed overtreft, en het gehugen zich allengs gewent om eene gansche reeks van getallen te onthouden en te bewerken. ( .. )

  
  Antwoord van P. Jongbloed

  Vragen wij, welk is het doel van het onderwijs in het rekenen op de lagere scholen? Dan is het antwoord: oefening des aanschouwingsvermogens, des geheugens, des verstands en des oordeels; bekendmaking met het wezen en de betrekking der getallen, en het doen verkrijgen van eene vaardigheid in de cijferkunst, welke in geen beroep kan gemist worden. De ontwikkeling en beschaving van des kinds vermogens is het hoofddoel van het rekenonderricht. Spraak en taal, geheugen, verstand en oordeel worden door het rekenen geoefend. En zoude het rekenen dan geen zeer voornaam deel van het lager onderwijs uitmaken? ( .. ) ..het uit het hoofd rekenen maakt des kinds vermogens veelzijdig werkzaam, oefent spraak en taal, en komt dagelijks in de zamenleving te pas. ( .. ) Ja, voor dat de kinderen op de lei leeren cijferen, moeten zij in het uit het hoofd rekenen geoefend zijn .. .

  p. 217 e.v.

Tijdschrift voor Reken-, Stel- en Meetkunst [kan ik dat vinden?]

K. Zijlstra (1849). In hoeverre heeft de school schuld aan het vervliegen der kundigheden? Tijdschrift voor aankomende onderwijzers Boeken Google

H. Strootman (1855, 1848). Beginselen der cijferkunst, bepaaldelijk ten dienste van hen, die zich verder op de wiskunst willen toeleggen. Eerste gedeelte. Vierde vermeerderde druk 1855, zonder de antwoorden daarop (de eerste druk is 1842 geweest). Tweede gedeelte. Tweede vermeerderde druk 1848, zonder de antwoorden daarop. 178 + 267 blz. halflinnen € 60 Gescand (maar latere drukken) onder ‘Beginselen’: http://www.geheugenvannederland.nl/?/nl/zoekresultaten/pagina/1/Schoolboekjes+uit+de+negentiende+eeuw/(isPartOf%20any%20'NOM01') www.geheugenvannederland.nl

J. Versluys (1878 2e). Theorie der rekenkunde. Deel 1 t/m 4. Groningen: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1877 4e). Leerboek der rekenkunde. 1e deel. Groningen: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1901 10e). Leerboek der rekenkunde. Tweede deel. A. Versluys. [niet online gevonden; boek in eigen bezit]

• Als 8 kilogram suiker ƒ 5,80 kost, hoeveel kost dan 11 kilogram?

  
  Zes werklieden kunnen een werk afmaken in 15 uren; hoeveel tijd zullen 9 werklieden voor dat zlde werk noodig hebben?

  Uit Hoofdstuk O Benoemde getallen: vraagstukken waarin getallen voorkomen, die evenredig zijn met een of meer andere. De eerste twee vraagstukken.

J. Versluys (1894 4e). Leerboek der rekenkunde. 3e deel. Amsterdam:: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1896). Rekenkunde voor de lagere school. Amsterdam: A. Versluys. Tweede verbeterde druk online schoolmseum.uba.uva.nl Scan van p. 11, en scan van p. 12-13 (examen 1912).

J. Versluys (1880). Rekenboek voor de lagere school, vierde stukje Groningen: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1899 5e). Handleiding bij het rekenonderwijs. Eerste gedeelte (getallen van 1 - 10). Amsterdam: A. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1896 5e). Handleiding bij het rekenonderwijs. Tweede gedeelte (getallen van 1 - 100). Amsterdam: A. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1893 4e). Handleiding bij het rekenonderwijs. Derde gedeelte. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1894 4e). Handleiding bij het rekenonderwijs. Vierde gedeelte. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1896 2e). Handleiding bij het rekenonderwijs. Vijfde gedeelte. Amsterdam: A. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1880 2e). Rekenkundige eigenschappen en bewerkingen in verschillende talstelsels: vooral ten dienste van het uitgebreid lager onderwijs. Groningen: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1897 2e). Rekenboek voor de lagere school. Zesde stukje. A. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1893 2e). Vijfde verzameling rekenkundige vraagstukken. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

Redactiesommen.

J. Versluys (1883). De eigenschappen der rekenkunde en theoretische vragen. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1891). Meetkundig rekenboek: ten dienste van normaalscholen en kweekscholen. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1891). Meetkundig rekenboek: ten dienste van onderwijzers. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1899 3e). Meetkundig rekenboek voor de lagere school. 1e stukje. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1897 2e). Meetkundig rekenboek voor de lagere school. 2e stukje. Amsterdam: A. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1899 2e). Meetkundig rekenboek voor de lagere school. 3e stukje. Amsterdam: A. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1888 2e). Handleiding bij het hoofdrekenen. Deel I: De getallen van 1 tot 100. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1888 2e). Handleiding bij het hoofdrekenen. Deel II: Getallen tot 1000 en hoger. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1892 2e). Handleiding bij het hoofdrekenen. Deel III: Breuken, interest-rekening enz.. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

J. Versluys (1892 4e). Vraagstukken voor het rekenen uit het hoofd. Eerste stukje, getallen tot honderd.. Amsterdam: W. Versluys. scan schoolmuseum.uba.uva.nl

Dr. Walther Lietzmann (1919, 1923). Methodik des mathematischen Unterrichts. 1. Teil: Organisation, Allgemeine Methode und Technik des Unterrichts. 2. Teil: Didaktik der einzelnen Gebiete des mathematischen Unterrichts (Rechnen - Planimetrie - Stereometrie - Trigonometrie - neuere Geometrie - Arithmetik, Algebra und Analysis Leipzig: Verlag von Quelle und Meyer

• II, Der Rechenunterrcht, note 1 gives the literature on the history of arithmetics education. The most important ones:
• J. Tropfke (1921). Geschichte der Elementar-Mathematik
• F. Unger (1888). Die Methodik der praktischen Arithmetik in historischer Entwicklung vom Ausgange des Mittelalters bis auf die Gegenwart.
• M. Sterner (1891). Prizipielle Darstellung des Rechenunterrichtes auf historischer Grundlage, I. Teil: Geschichte der Rechenkunst
• F. Pahl (1913). Geschichte des naturwissenschaftlichen und mathematischen Unterricht. 1. Band.

E. J. Rothuizen, G. E. Kiers (1927 2e). Kern der beschrijvende meetkunde. Deel I (Tevens bestemd voor de H. B. S.) Herzien en omgewerkt door G. E. Kiers. Goes: Oosterbaan & Le Cointre.

• Het moge waar zijn, dat sommige leerlingen, na een breede studie en ten gevolge van veel aan- en terechtwijzingen van den betrokken leeraar, behoorlijke vorderingen maken, het valt niet te ontkennen, dat de pogingen van het gros der beginners schipbreuk lijden. 't Zoo noodzakelijke begrijpen gaat teloor en ontaardt in het memoriseeren van bepaalde constructies en 'loopjes'.

Felix Klein (1908/1924/1932). Elementary mathematics from an advanced standpoint. Arithmetic, algebra, analysis. Translated from the third German edition by E. R. Hedrick & C. A. Noble. London: Macmillan and Co. = info

Definitely a progressivist take on teaching math (its abstraction made palatable), see his Introduction p. 4.

C. Alan Riedesel, Paul C. Burns (1971). Research on the teaching of elementary school mathematics. In Robert M. W. Travers: Second handbook of research on teaching (1149-1176). Rand McNally. isbn 0528618245

• The most influential author on mathematics in America was Warren Colburn. His book, First Lessons in Intellectual Arithmetic upon the Inductive Method of Instruction [Is here First Lessons in Arithmetic on the Plan of Pestalozzi meant?], printed in 1821, was very important for the next 50 years. Colburn used a set of leading questions rather than the rule-response approach.

  p. 1149

Mircea Radu: An investigation of primary school arithmetic in the United States between Colburn and Thorndike. Caminhos da Educaˆão Matemática em Revista /On line - v. 3, n. 1, 2015 - ISSN 2358-4750 pp 126-135pdf

Quite interesting, especially on Dewey and Thorndike of course.

• Characteristic of this era is also the lack of any textbooks designed for independent work by the student. Warren Colburn’s “First Lessons in Arithmetic on the Plan of Pestalozzi”, a book published in 1821, counts as a turning point in the history of American didactics of arithmetic.

  pp. 126-7

Alan H. Schoenfeld (2001). Mathematics education in the twentieth century. In NSSE Yearbook 2001 Education across a century: The centennial volume. (239-278) PEDAG 40.a.99 paywalled

Fred Goffree (1985). Ik was wiskundeleraar. SLO. isbn 9032904701

Lijkt me interessant: Timmer, Wansink, van Hiele, Vredenduin, van Baalen

Leo J. Brueckner, C. J. Anderson, G. O. Banting & Elda L. Merton (1928). The triangle arithmetics. Book three, part one, two. Grades seven and eight. The John C. Winston Company. citaat

Osman Call (1842). Call’s decimal arithmetic on a new and improved plan throughout, comprising several new methods of computing simple interest, duodecimals, and a great improvement in multiplication and division, not found in any other work extant. books.google and archive.org

Edward Brooks (1869?). The normal primary arithmetic designed as an introduction to a thorough and complete course in mental and written arithmetic.

Edward Brooks (1858). The normal mental arithmetic. A thorough and complete course by analysis and induction. Philadelphia: H. Cowperthwait. online

Edward Brooks (1876). The philosophy of arithmetic. As developed from the three fundamental processes of Synthesis, Analaysis, and Comparison. Containing also a Histry of Arithmetic. Philadelphia: Sower, Potts. pp 571. archive.org [revised edition 1904 scan 1904

• PROGRESS in education is one of the most striking characteristics of this remarkable age. Never before was there so general an interest in the education of the people. The development of the intellectual resources of the nation has become an object of transcendent interest. Schools of all kjnds and grades are multiplying in every section of the country; improved methods of training have been adopted ; dull routine has given way to a healthy intellectual activity; instruction has become a science and teaching a profession.

  This advance is reflected in, and, to a certain extent, has been pioneered by, the improvements in the methods of teaching arithmetic. Fifty years ago, arithmetic was taught as a mere collection of rules to be committed to memory and applied mechanically to the solution of problems. No reasons for an operation were given, none were required ; and it was the privilege of only the favored few even to realize that there is any thought in the processes. Amidst this darkness a star arose in the East ; that star was the mental arithmetic of Warren Colburn. It caught the eyes of a few of the wise men of the schools, and led them to the adoption of methods of teaching that have lifted the mind from the slavery of dull routine to the freedom of independent thought. Through the influence of this little book, arithmetic was transformed from a dry collection of mechanical processes into a subject full of life and interest. The spirit of analysis, suggested and developed in it, runs to-day like a golden thread through the whole science, giving simplicity and beauty to all its various parts.

  No one who did not in his earlier years learn arithmetic by the old mechanical methods, and who has not experienced the transition to the new analytic ones, can realize the completeness of the revolution effected by this little work. But great as has been its influence, it should be remembered that it does not contain al! that is essential to the science of numbers. Analysis in its mission, has done all that it was possible for it to accomplish, but it is not sufficient for the perfection of a science. There must be synthetic thought to build up, as well as analytic thought to separate and simplify. Comparison and generalization have an important work to perform in unfolding the relations of the various parts and in uniting them by the logical ties of thought, which should bind them together into an organic unity. What we now need for the perfection of the science of arithmetic and our methods of teaching it, is a more philosophical conception of its nature, and a logical relating of its parts which analysis leaves in a disconnected condition.

  It is worthy of remark that arithmetic,in respect to logical symmetry and completeness, differs widely from its sister branch — geometry. The science of geometry came from the Greek mind almost as perfect as Minerva from the head of Jove. Beginning with definite ideas and self-evident truths, it traces its way, by the processes of deduction, to the profoumlest theorem. For clearness of thought, closeness of reasoning,and exactness of truths, it is a model of excellence and beauty. It stands as a tyle of all that is best in the classical culture of the thoughtful mind of Greece. Geometry is the perfection of logic; Euclid is as classic as Homer.

  The science of numbers, originating at the same time, seems to have presented less attractions or greater difficulties to the Greek mind. It is true that the great thinkers grew enthusiastic in the contemplation of numbers, and spent much time in fanciful speculations upon their properties, but this did comparatively little for the development of the science. The present system of arithmetic is mainly the product of the thought of the past three or four centuries. Developed by minds less logical than those of the old Greeks, and growing partly out of the necessities of business, it seems not to have acquired that scientific exactness and finish which belong to the science of geometry. That it has intrinsically as logical a basis and will admit of as logical a treatment, cannot be doubted. To endeavor to exhibit the true nature of the science, show the logical relation of its parts, and thus aid in placing it upon a logical foundation beside its sister branch, geometry, is the object of the present treatise.

  The work is divided into five parts, besides the Introduction. The Introduction contains a Logical Outline of Arithmetic, and a brief History of the science, including an account of the Origin of the Arabic system, the Origin of the Fundamental Operations, and an account of the Early Writers on the science. The facts presented have been gathered from a variety of sources, and have been carefully compared, so far as was possible, with the originals, to secure entire accuracy in the statements. The principal authorities followed are Leslie, Peacock, and De Morgan. As much is presented as it is supposed will be of interest to the teacher or general reader; any who desire more detailed information are referred to the writers mentioned.

  Part First treats of the general nature of arithmetic, embracing the Nature of Number, the Nature of Arithmitical Language, and the Nature of Arithmetical Reasoning. The nature of Number is quite fully considered, especially in its relation to the idea of Time. Various definitions of Number are presented and examined, and the effort is made to ascertain that which may be regarded as the best for general use.

  The Nature of the Language of Arithmetic is discussed upon a broader basis than usual. The true relation of Numeration to Notation, which seems to have been overlooked by many authors, and which is frequently not understood by pupils, is explained. It is shown that Numeration is merely the oral and Notation the written language of Arithmetic. The philosophy of the Arabic system of notation, the objections to the decimal scale, and the advantages of a duodecimal system of arithmetic, are discussed.

  Considerable attention is given to the nature of Arithmetical Reasoning, a subject which seems not to have been very clearly understood by logicians and arithmeticians. The effort is made to put this matter upon a logical basis, and to ascertain and present the true nature of the logical processes by which the science of numbers is unfolded. The ground being almost entirely new, it is not to be supposed that the investigation is at all complete; but it is hoped that what is given may induce some one to present a more thorough development of the subject.

  The fundamental idea of the work is that arithmetic has a triune basis; that it is founded upon and grows out of the three logical processes, Analysis, Synthesis, and Comparison. This is a new generalization, and is believed to be correct. It has been previously maintained that all of Arithmetic is contained in the two processes, Addition and Subtraction ; and that the whole science is a logical outgrowth of these two fundamental ones. In this work it is shown that Synthesis and Analysis are mechanical operations, giving rise to some of the divisions of the science, that the mechanical processes are directed by the thought process of Comparison, and that this itself gives rise to a larger part of the science. The old writers held that we can only unite and separate numbers ; in this work it is held that we can unite, separate, and compare numbers.

  Proceeding with this idea, it is shown that, regarding Addition, Subtraction, Multiplication, and Division, as the fundamental operations of arithmetic, there will arise from them several other processes of a similar character, which I have called the Derivative Processes of Synthesis and Analysis. It is then seen that for each analytical process there should be a corresponding synthetic process. There will thus arise a new process, the opposite of Factoring, to which I have given the name of Composition. This process, it will be seen, contains several interesting cases, which correlate with the different cases of Factoring. It is of especial interest in Algebra, as may be seen in my Elementary Algebra.

  Continuing this thought, it is shown that Ratio, Proportion, the Progressions, etc., are not the outgrowth of either Synthesis or Analysis, but of the thought process— Comparison. Attention is called to the nature of Ratio, a new definition is suggested, and the correctness of the prevailing method of finding the ratio of two numbers, which has been questioned, is vindicated. Suggestions are also made for improvements in some of the definitions and methods of treating Ratio, Proportion, Progressions, etc. The logical character of Percentage is exhibited, and the simplest and most practical method of treatment suggested. Several interesting chapters are also presented upon the Theory of Numbers.

  The subject of Fractions is quite fully discussed, the attempt being made to exhibit their nature and their logical relation to integers. The possible cases which may arise are considered, and a new case, called the Relation of Fractions, first given in one of my arithmetics, and already introduced into several other arithmetical works, is presented and explained. It is also shown that the subject of Fractions admits of [full?] methods of treatment, logically distinct in idea and form, and both treatments are presented. Especial attention is given to the treatment of Circulates, and the most important principles concerning them are collated.

  The nature of Denominate Numbers, which seems to have been imperfectly understood, is explained upon what is regarded as the correct basis. They are shown to be numerical expressions of continuous quantity, in which some artificial unit is assumed as a measure. This leads to the adoption of a new definition of Denominate Numbers, different from that which we usually find in our textbooks. The origin of the measures in the various classes of Denominate Numbers is also stated, and many interesting facts concerning them are given.

  While the philosophical part of the work is that which will attract the most attention among thinkers, the historical part will bo quite as interesting and instructive to the majority of younger readers. In the historical part, of course, no claims to original investigation are made; but the best authorities have been consuited; and, in many cases, their very language has been used, their expression being so clear and concise that I could not hope to improve it. In thus combining with the philosophy of arithmetic its history, which in many cases aids in unfolding its philosophy, I have aimed to present a work especially valuable to students and the younger teachers of arithmetic. Such a work, I feel, would have been invaluable to me in my earlier years as a teacher.

  Preface

Susan Cooper-Twamley and J. Wesley Null. (2009). E. L. Thorndike or Edward Brooks? A Comparison of Their Views On Mathematics Curriculum and Teaching. American Educational History Journal: Volume 36 #1 & 2 2009.

Edward Brooks (1885). Mental science and methods of mental culture designed for the use of normal schools, academies, and private students preparing to be teachers. (pp 501)online

http://onlinebooks.library.upenn.edu - Online Books by Edward Brooks (Brooks, Edward, 1831-1912) webpage

http://onlinebooks.library.upenn.edu - Online Books by Edward L. Thorndike (Thorndike, Edward L. (Edward Lee), 1874-1949) webpage

Edward L. Thorndike (1917). The Thorndike Arithmetics. Three books. Rand McNally. online [ Book 1 archive.org] [ Book 2 archive.org] [ Book 3 archive.org]

• THESE books apply the principles discovered by the psychology of learning, by experimental education, and by the observation of successful school practice, to the teaching of arithmetic. Consequently they differ from past practice in the following respects:

  Nothing is included merely for mental gymnastics. Trainingis obtained through content that is of intrinsic value.

  The preparation given is not for the verbally described problems of examination papers, but for the actual problems of life. In particular, problems whose answers must be known to frame the problems or whose conditions are fantastic are rigorously excluded.

  Reasoning is treated, not as a mythical faculty which may be called on to override or veto habits, but as the cooperation, organization, and management of habits; and the logic of proof is kept distinct from the psychology of thinking. Interest is secured, not in pictures, athletic records, and the like, but in arithmetic itself and its desirable applications. Interest is not added as a decoration or antidote, but is interfused with the learning itself.

  Nothing that is desirable for the education of children in quantitative thinking is omitted merely because it is hard; but the irrelevant linguistic difficulties, the unrealizable pretenses at deductive reasoning, and the unorganized computation which have burdened courses in arithmetic are omitted. The demand here is that pupils shall approximate 100 percent efficiency with thinking of which they are capable.

  The formation and persistence of useful habits is not left to be a chance result of indiscriminate drill and review. Every habit is formed so as to give the maximum of aid to, and the minimum of interference with, others. Other things being equal, no habit is formed that must be later broken; two or three habits are not formed where one will do as well; each is formed as nearly as possible in the way in which it is required to function; each is kept alive and healthy by being made to cooperate in the formation of other and higher habits in the arithmetical hierarchy. If a pupil carries through the projects in computing and problemsolving of these three books under competent supervision, he will have abundant practice for the arithmetical insight, knowledge, and skill that the elementary school is expected to provide.

  Preface

• NOTES ON BOOK ONE
  Part One of this book is for use as a supplement to the informal work of Grade II, and as a basic text in Grade III. Part Two, or so much of it as the course of study makes advisable, is for use in Grade IV.

  Experienced teachers will, by examining and using this book, understand the reasons for the choice of the exercises and problems, for the order in which they appear, and for the methods used, with three possible exceptions. These are: (1) the early, varied, and extended use of the equation form with a missing number or quantity to be supplied, (2) the introduction of two-place and three-place multiplicands before the products of 6, 7, 8, and 9 are learned, (3) the rationalizing of procedures by verifying the fact that they are right rather than by arguments to show that they must be right.

  Such uses of the equation form as the book contains will be found admirable as preventives of rote memorizing without understanding, as stimuli to mathematical thinking, and as means to an economical organization of arithmetical knowledge. The time spent on them will be saved twice over in later work. The introduction of two-place and three-place multiplicands provides a genuine use for the multiplication facts learned, organizes the knowledge of the products of 5, 2, 3, and 4, gives a needed review, relieves the monotony of learning the tables, and enables the pupil to utilize rather than memorize the products of 6, 7, 8, and 9 as fast as these are learned.

  The rationalization of procedures by the pupil's own experience in verifying the results obtained is superior to the use of formal proofs of the validity of the procedures before they are learned and used. With all save the most gifted, there is grave danger that the pupil, especially in Grades III and IV, will not know what is being proved to be true by the "analysis" or "explanation," or will forget the proof after he has mastered the procedure. The best way to secure eventual insight into the principles governing arithmetical operations is to learn to operate by imitation and the extension of past knowledge, then to make sure that the operation is right by verification from known facts, and last of all to learn why it is right and must be right.

  It will be observed that in the early steps in subtraction the pupil learns to derive his facts about 8 - 5, 6 - 2, etc., from his knowledge that 5 + 3 = 8, 2 + 4 = 6, etc., but that care is taken that he distinguishes subtraction sharply from addition, gives it its proper name, understands its common uses, and soon comes to think of subtraction combinations fluently and directly. This is important. The pupil is also taught to increase both minuend and subtrahend rather than to "borrow." This is more scientific, businesslike, and economical of thought, especially in the case of subtraction with fractions.

  In using this book, those expert in the teaching of arithmetic will follow its organization of arithmetical learning, adding other exercises of the same sorts to supplement it and using the daily life of the pupils as a source of problems, but not omitting sections or introducing new principles. For they will see in it a deliberate arrangement of arithmetical learning to fit the abilities and needs of the pupils and to organize a hierarchy of habits and powers for continuous growth.

  The inexperienced teacher may well follow the order of the book even if the purpose of some one exercise here and there is not clear to him. Every 'section has a definite part to play in teaching something new, reviewing something previously taught, relating elements of knowledge previously taught separately, or preparing for some advance to be made fully in later sections. The organization of topics is more subtle than in ordinary texts because it parallels childish learning rather than adult knowledge, because the interests and abilities of the pupils are allowed weight as well as the teacher's convenience, and because arithmetical learning is treated as an organic whole which lives and works rather than as a collection of isolated abilities to add, subtract, multiply, and divide with such and such sorts of numbers. It should be observed that the games, activities, and topics upon which the exercises and problems are based permit framing many additional exercises and problems of the same types as those in the text. The pupil should be encouraged to frame such. When the teacher frames such, or states a problem from the daily life of the class, he should either "reproduce the actual situation or event, or use language so clear and simple that the pupils understand just what the situation or event is. It is fruitless to train children to understand intricate verbal descriptions in cases where the real situation, as life offers it, explains itself.

  Notes on Book One

• NOTES ON BOOK TWO
  Parts One and Two are intended for Grades V and VI respectively. Part One provides for mastery of the four operations with such common fractions as the pupils will meet in life, and for ability in the four operations with decimal numbers, in simple cases. Part Two completes the training with decimals, gives mastery of computations with percents and with such denominate numbers as the pupil will meet, and provides experience in simple accounting. The training of Part One in observing and using the relations of numbers is extended and systematized. The applications of arithmetic include simple problems in computing areas, volumes, wages, commissions, discounts, and advances.

  The traditional so-called logical arrangement of topics is abandoned in favor of an order that fits the learner's needs, the book being an instrument by which children acquire a rounded, organized, working knowledge of arithmetic, not a display of such knowledge as an adult finally possesses it. The traditional methods of securing ability with fractions, decimals, and percents are also replaced in cases where educational science has found a better way. The resulting selection of topics and methods by expert teachers of arithmetic needs no explanation except perhaps in five particulars. Concerning each of these a brief note is in place.

  The pupil learns to add and subtract fractions without any formal treatment of least common multiples, being taught specifically to use fourths, sixths, eighths, twelfths, and sixteenths where each is appropriate, and for other cases to reduce to any denominator which is satisfactory. This will be found to save time, prevent ponderous treatment of simple tasks, and in the end be the best introduction to learning what a least common multiple is, if that information is desired.

  Division by a fraction is made the occasion (pages 51 to 54) of solid general instruction concerning the reciprocal rule. If any rule is worth teaching in arithmetic it is the rule "To divide by a number is the same as to multiply by the reciprocal of that number." This rule helps to make rational a number of procedures and is often the means of reducing labor greatly in technical and commercial computations.

  The equation with a missing number to be supplied is often used in place of verbal forms, such as "24 is what part of 30?" "How much is two thirds of 18?" "$75 less 10% of itself is how much?" and "What percent of 40 is 32?" These exercises in equation form with missing numbers are harder than routine drills with question and answer, but are more productive of ability, and of ability of a higher type. They also penalize mere memoriter acquisition and serve as an ideally clear, brief, and unrestricted form for mental imagery of arithmetical facts and relations. Their value as preparation for the use of formulae in shop arithmetic and for algebra is obvious.

  The meanings of decimal numbers are taught directly from an extension of the "thousands, hundreds, tens, ones" series to tenths, hundredths, and so on, as well as from the comparison with 1/10, 1/100, and 1/1000. The latter is used chiefly to emphasize the smallness of the magnitudes and the commensurability of the two sorts of expressions, and to clarify the general concept of a fraction by experience with fractions with very large denominators. Experience shows that place value. United States money, and railroad distance tables are more useful in explaining decimal numbers than the unfamiliar 1/10s, 1/100s, and 1/1000s.

  The placing of the decimal point in division by a decimal number is taught as a consequence of two general rules: ''Divisor X quotient must = dividend; {Number of decimal places in the divisor) + {number of decimal places in the quotient) must = (number of decimal places in the dividend)." The special devices by which correctness may be secured are made secondary to full mastery of the general principle and surety in deciding where the decimal point must be in simple cases without the help of any device. The justification for this is the fact that the devices themselves are of little importance, and the common custom of treating them as the essence of the procedure in dividing by a decimal degrades arithmetic to a mere collection of recipes.

  In using this book, the best results will be obtained by following its plan closely except for changes authorized by the supervisor in charge of Grades V and VI. Each section contributes something definite toward the growth of arithmetical ability. In many cases the work has as its chief aim the preparation for later acquisitions, or the use together of abilities already acquired separately, or the adaptation of an ability to special difficulties. The abilities and interests which the pupils have, as well as those which they are to acquire, are also considered in arranging the problems and exercises. Consequently, the organization is more subtle than it is in texts in which the pupil learns first to add fractions, then to apply the adding of fractions to problems, then to subtract fractions, then to apply the subtracting of fractions to problems, and so on. The organization in this book, though less obvious, will be found more effective in producing in the learner a steady integration of habits and powers into a total arithmetical ability which will meet life's needs.

  It should also be noted that the very frequent tests and reviews in the books are as a rule not mere tests and reviews, but rather progressive steps in the organization of the pupil's ability in his progress toward one hundred percent efficiency in arithmetical thinking.

  Notes on Book Two

• NOTES ON BOOK THREE
  In the selection of its subject-matter this book omits or greatly reduces such information about business affairs as is of use only to rich men or bank clerks, such computation as is of use only to bookkeepers and statisticians, and such problems as the pupil will not meet in life or will solve without previous training if he does meet them.

  The time thus saved is used to secure mastery of the arithmetical knowledge and skill which are valuable for an intelligent life in school itself, in the home, factory, or store, on the farm, and in the conduct of churches, schools, and public affairs. For example, elaborate computations of interest, principal, and rate, are replaced by systematic drills to secure mastery of the computations which life requires. Problems which are of interest only to sociological or fiscal experts, and problems which are nothing but disguises for practice in computation, are replaced by problems which prepare for an understanding of modern accounting, wage systems, farm management, and household economy.

  One other feature of the subject-matter deserves notice. The general course, which ends on page 241, is followed by exercises in understanding and using tables and an appendix providing special training for clerical work, farm work, shop work, and further study of mathematics. Certain groups of pupils should be encouraged to study suitable parts of this material in addition to the general course.

  In its arrangement of the subject-matter, this book often diverges from past practice, in order to realize two ideals. First, the knowledge and skill acquired are made available for use. The needs of life, rather than the convenience of an expositor, determine the order of topics and subtopics. For example, the formal arrangement of the applications of percentage under three abstract types of operation is abandoned in favor of an arrangement which teaches pupils to think and compute in terms of percents when and as they will need to do so. Computing interest is treated, not as some peculiar mathematical theory and technique, but as a practical adjunct of collecting bills, of saving, and of borrowing to start or extend a business. In the second place, care is taken to organize the knowledge or skill acquired into an integrated total arithmetical abiUty. Each important habit or insight is kept alive by being used in new ways and in cooperation with other habits and insights so that it may be a part of the pupils' active intellect, not a thing learned by itself alone and used only for examinations.

  As a consequence, the organization of this book is somewhat subtle. A review, for example, is often not a mere review, but includes a new principle or element of technique or application. An arithmetical procedure will often be taught in only its simplest elements at first, be given extended practice three or four weeks later, and be systematically described and explained later still. To a superficial examination, the treatment may seem "scrappy." Ratio and proportion, for example, which deserve so much attention because of their very great importance in the arithmetic of domestic science and farm economy, may seem to be slighted and treated only incidentally in this text. Careful and expert consideration will reveal, however, that the treatment of this, or any other important topic, is definite, thorough, and scientific. In general, the teacher may be assured that not a single paragraph of this book is where it is by haphazard. Each has a part to play in the place where it is.

  A formal division into chapters is avoided. An examination of the most effective textbooks in arithmetic will prove that the real units of instruction are arranged irrespective of the division into chapters. The latter has little effect, and what Uttle it has is mostly bad. A textbook should not be a beautifully classified museum of topics for a teacher to inspect and admire, but an instrument by which pupils are trained to understand and use arithmetic. Each section in this book contains what it does and is placed where it is, not to make a good appearance on paper in a scheme of organization, but to help children to acquire and retain a working knowledge of arithmetic.

  Notes on Book Three

Edward L. Thorndike (1917/2013). The Thorndike Arithmetics Book Vol 1. Chicago/New York: Rand McNally. Published by Forgotten Books in 2013. read online (mostly free access)

• These books apply the principles discovered by the psychology of learning, by experimental education, and by the observation of succesful school practice, to the teaching of arithmetic. Consequently they differ from past practice in the following respects:

  Nothing is included merely for mental gymnastics. Training is obtained through content that is of intrinsic value.

  The preparation given is not for the verbally described problems of examination papers, but for the actual problems of life. In particular, problems whose answers must be known to frame the problems or whose conditions are fantastic are rigorously excluded.

  Reasoning is treated, not as a mythical faculty which may be called on to override or veto habits, but as the cooperation, organization, and management of habits; and the logic of proof is kept distinct from the psychology of thinking.

  Interest is secured, not in pictures, athletic records, and the like, but in arithmetic itself and its desirable applications. Interest is not added as a decoration or antidote, but is interfused with the learning itself.

  Nothing that is desirable for the education of children in quantitative thinking is omitted merely because it is hard; but the irrelevant linguistic difficulties, the unrealizable pretenses at deductive reasoning, and the unorganized computation which have burdened courses in arithmetic are omitted. The demand here is that pupils shall approximate 100 percent efficiency with thinking of which they are capable.

  The formation and persistence of useful habits is not left to be a chance result of indiscriminate drill and review. Every habit is formed so as to give the maximum of aid to, and the minimum of interference with, others. Other things being equal, no habit is formed that must be later broken; two or three habits are not formed where one will do as well; each is formed as nearly as possible in the way in which it is required to function; each is kept alive and healthy by being made to cooperate in the formation of other and higher habits in the arithmetical hierarchy. If a pupil carries through the projects in computing and problem-solving of these three books under competent supervision, he will have abundant practice for the arithmetical insight, knowledge, and skill that the elementary school is expected to provide.

  The Thorndike Arithmetics Book Volume 1, p. v, vi (repeated in volumes 2 and 3)

Edward L. Thorndike (1917/2013). The Thorndike Arithmetics Book Vol 2. Chicago/New York: Rand McNally. Published by Forgotten Books in 2013. read online (mostly free access)

Edward L. Thorndike (1917/2013). The Thorndike Arithmetics Book Vol 3. Chicago/New York: Rand McNally. Published by Forgotten Books in 2013. read online (mostly free access)

Edward Lee Thorndike (1921). The New Methods in Arithmetic. Rand McNally. read online

• Meer over Thorndike, en zijn belang voor de vernieuwing van het rekenonderwijs: zie hier

Beginselen van de theorie der rekenkunde voor de laagste klas van kweekscholen. Tilburg: Stoomdrukkerij van het R.K. Jongens-Weeshuis, 1895 webpagina

Augustijn, J.A. Verzameling van rekenkundige voorstellen, vervat in vijf honderdtallen, ten dienste der lagere scholen. Goes: L. de Fouw, 1858 2e dr webpagina

Ankum, L. van (1898). Op de lei en uit het hoofd.: Practisch rekenboek voor de hoogste klassen der lagere scholen. 's-Gravenhage: N. Veenstra. webpagina

Andriessen, P.J. Allereerste beginselen der rekenkunde: bevattende de vier hoofdregelen met geheele en onbenoemde getallen  Amsterdam: Sybrandi, 1859 6e dr webpagina

Bartjens, Willem; Görlitz, P.K. De vernieuwde rekenkunst van Willem Bartjens, vervangen door eene andere: ingerigt naar het nieuwe maten- en gewigten-stelsel, en meer overeenkomstig de tegenwoordige behoefte van het lager onderwijs Rotterdam: T.J. Wijnhoven Hendriksen, 1834 2e stukje webpagina

Bloemhoff, P.J. De vijf hoofdregelen der rekenkunde: een boekje voor schoolen, om de eene of andere afdeeling in ledige oogenblikken bezig te houden. Groningen: W. Zuidema, 1831 2e dr webpagina

Boeser, A.L. Vijfde rekenboekje: verzameling van voorstellen ter verdere toepassing van den regel van drieën. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1873 11e dr webpagina

Boeser, A.L. Eerste verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1876 15e dr webpagina

Boeser, A.L. Tweede verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen . Amsterdam: A. Hoogenboom, 1877 12e dr webpagina

Boeser, A.L. Derde verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1877 10e dr webpagina

Boeser, A.L. Rekenboek voor meisjesscholen. Eerste stukje, geheele, benoemde getallen. Amsterdam: Schalekamp, Van de Grampel en Bakker, 1873 8e dr webpagina

Boeser, A.L. Rekenboek voor meisjesscholen. Eerste stukje, geheele, benoemde getallen. Amsterdam: Schalekamp, Van de Grampel en Bakker, 1874 9e dr webpagina

Boeser, A.L. Eerste verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen. Zutphen: W.J. Thieme & Cie, eind 19e eeuw * 24e dr webpagina

Boeser, A.L. Tweede verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1868 7e dr webpagina

Boeser, A.L. Derde verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1875 9e dr webpagina

Boeser, A.L. Eerste rekenboekje: verzameling van voorstellen, ter toepassing van de hoofdregels met geheele, benoemde getallen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1853 3e dr; 1e dr.: 1850 webpagina

Boeser, A.L. Eerste rekenboekje: verzameling van voorstellen ter toepassing van de hoofdregels met geheele, benoemde getallen . Amsterdam: A. Hoogenboom, 1865 13e dr; 1e dr.: 1850 webpagina

Boeser, A.L. Eerste rekenboekje: verzameling van voorstellen, ter toepassing van de hoofdregels met geheele, benoemde getallen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1872 22e dr; 1e dr.: 1850 webpagina

Boeser, A.L. Tweede rekenboekje: verzameling van voorstellen, ter toepassing van de leer der tiendeelige breuken en van ons maten-, gewigten- en muntenstelsel. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1856 4e verm. dr; 1e dr.: 1853 webpagina

Boeser, A.L. Derde rekenboekje: verzameling van voorstellen, ter toepassing van de leer der gewone breuken. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1859 3e dr; 1e dr.: 1855 webpagina

Boeser, A.L. Derde rekenboekje: verzameling van voorstellen ter toepassing van de leer der gewone breuken . Amsterdam: A. Hoogenboom, 1895 27e dr; 1e dr.: 1855 webpagina

Boeser, A.L. Vierde rekenboekje: regel van drieën met tiendeelige en gewone breuken . Amsterdam: A. Hoogenboom, 1861 webpagina

Boeser, A.L. Vijfde rekenboekje: verzameling van voorstellen ter verdere toepassing van den regel van drieën. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1863 3e dr; 1e dr.: 1861 webpagina

Boeser, A.L. Eerste verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1870 10e dr webpagina

Brugsma, Berend Allereerste oefeningen in het rekenen voor jonge kinderen, in scholen en de eerste klasse van lagere scholen. Groningen: R.J. Schierbeek, 1872 2e dr webpagina

Eenvoudig rekenboekje voor de land-jeugd: bevattende eene reeks van opgaven en voorstellen uit het dagelijksche leven, landhuishoudkunde enz . Groningen: P. van Zweeden, 1853 webpagina

Folkers, S. Folkers' Nieuw practisch rekenboek voor kinderen van den landelijken stand. Brummen: S. Folkers, 1867 Amsterdam: Schalekamp, Van de Crampel en Bakker webpagina

Goedhart, J.P.; Tempelaar, H. Vijf honderd nieuwe voorstellen, tot toepassing der hoofd-regelen, in geheele getallen, gewone en tiendeelige breuken . Dordrecht: Blussé en Van Braam, 1861 webpagina

Greidanus, Tjardus Antwoorden op de rekenvoorstellen voor theorie en practijk . Groningen: J.B. Wolters, 1882 3e dr webpagina

Griendt, A. van de Beknopte handleiding voor het rekenonderwijs in de lagere school . Gidsen (vorm). Rotterdam: G.W. van Belle, 1896 webpagina

Heeswijk, J. van Eerste rekenboekje, bevattende de vijf hoofdregelen in onbenoemde, gewone en decimale getallen. 's Hertogenbosch: J.J. Arkesteyn en zoon, 1852 3e verb. dr webpagina

Hansen, J.A. Rekenkunstige werkzaamheden voor de tweede klasse eener lagere school. Deventer: J. de Lange, 1849 webpagina

Handleiding bij het rekenonderwijs op de lagere school. Tilburg: stoomdrukkerij van het R.K. jongensweeshuis Amsterdam: F.H.J. Bekker, 1899 webpagina

Hemkes, H. Rekenboek voor meisjes . Tweede stukje. Groningen: J. Oomkens, 1844 webpagina

Hemkes, H. De kleine rekenvriend, of Gemakkelijk rekenboekje voor weiniggevorderden: tiendeelige breuken. Serie:  Tien cents rekenboekjes, 2 Groningen: M. Smit, 1859b 7e dr webpagina

Hemkes, H. Antwoorden op de opgaven, voorkomende in den kleinen rekenvriend. Gemakkelijk rekenboekje voor weiniggevorderden: tiendeelige breuken. Serie: Tien cents rekenboekjes, 2 (Antwoorden) Groningen: M. Smit, 1874 5e dr webpagina

Hemkes, H. De kleine rekenmeester, of gemakkelijk rekenboekje voor meergevorderden: stelsel van munten, maten en gewichten . Serie:  Tien cents rekenboekjes, 3 Groningen: M. Smit, 1859 6e dr webpagina

Hiele, P. van Praktische leergang voor het onderwijs in het rekenen: eene proeve ter verbinding van het rekenen uit 't hoofd en het cijferen . Breda: J. Hermans & zoon, 1865 webpagina

Hogerland, J. Getallen boven 1000 en tiendeelige getallen. Rekenboekje bevattende opgaven ter schriftelijke bewerking, tot toepassing van het geleerde bij het gebruik van het rekenbord. Schoonhoven: S.E. van Nooten & zoon, 1879 Nijmegen: H.C.A. Thieme webpagina

Hogerland, J. De eerste trappen van het rekenonderwijs in aanschouwingsoefeningen: handleiding bij het gebruik van eene nieuwe rekenmachine. Schoonhoven: S.E. van Nooten & zoon, 1879 Nijmegen: H.C.A. Thieme webpagina

Hoonaard, Willem van den Rekenboekje voor eerstbeginnenden, of Inleiding tot het rekenboek voor de scholen in het Koningrijk der Nederlanden . Rotterdam: Mensing en Van Westreenen, 1839 4e dr webpagina

Hoonaard, Willem van den Rekenboek voor de scholen in het Koningrijk der Nederlanden: ingerigt overeenkomstig het nieuwe stelsel van maten, gewigten en muntspecien. Eerste stukje. Amsterdam: Schalekamp en Van de Grampel, 1817 webpagina

Hoonaard, Willem van den Rekenboek voor de scholen in het Koningrijk der Nederlanden: ingerigt overeenkomstig het nieuwe stelsel van maten, gewigten en muntspecien. Tweede stukje. Amsterdam: Schalekamp en Van de Grampel, 1817 webpagina

Hoonaard, Willem van den Rekenboek voor de scholen in het Koningrijk der Nederlanden: ingerigt overeenkomstig het nieuwe stelsel van maten, gewigten en muntspeciën. 3e stukje, 2e gedeelte Amsterdam: Schalekamp en Van de Grampel, 1837 2e verm. dr webpagina

Hopbergen, J.W. van; Willes, N. van Rekenboek voor de leerlingen op de bataillonsscholen. Hoorn: gebroeders Vermande, 1851 [S.l.]: Spin & Zoon 2e dr webpagina

Ising, Jan C.W. Vraagstukken en vormen voor de voorbereidende klasse tot de hoogere burgerschool . Zutphen: W.J. Thieme & Cie, 1896 webpagina

Koenen, M.J. Rekenboek der aanvangsklasse, of Vervolg der praktische handleiding bij het rekenen op rekenraam of baltelier. Groningen: J.B. Wolters, 1876 webpagina

Rotterdam: Mensing en Van Westreenen, 1831 Korte handleiding tot de bewerking der tiendeelige breuken en de kennis van het Nederlandse maten- en gewigtenstelsel . webpagina

Kors, Jan Inleiding tot de praktijk en de theorie van het rekenen. Groningen: P. Noordhoff, 1892 webpagina

Kramers, H.W.; Posthumus, S. Kramers' gemakkelijk rekenboekje bevattende driehonderd vraagstukken ter toepassing van de hoofdregelen met gewone breuken . derde stukje Gouda: G.B. van Goor zonen, eind 19e eeuw * 2e dr. webpagina

Kramers, H.W.; Posthumus, S. Kramers' gemakkelijk rekenboekje bevattende driehonderd vraagstukken ter toepassing van de hoofdregelen met geheele getallen.eerste stukje Gouda: G.B. van Goor zonen, ca. 1893 * 5e dr. webpagina

Lagerwey, J.; Harrebomée, P.J. J. Lagerwey's Allereerste gronden der cijferkunst. Derde stukje, bevattende de vier hoofdregelen in gewone breuken, zoowel benoemde als onbenoemde Gorinchem: J. Noorduyn en zoon, 1873 7e dr. webpagina

Lagerwey, J.; Harrebomée, P.J. J. Lagerwey's Allereerste gronden der cijferkunst. Tweede stukje, bevattende de vier hoofdregelen in tiendeelige breuken, zoowel benoemde als onbenoemde Gorinchem: J. Noorduyn & zoon, 1870 8e dr. webpagina

Lagerwey, J.; Witlage, H.G. J. Lagerwey's Allereerste gronden der cijferkunst. Eerste stukje, bevattende de vier hoofdregelen in geheele, onbenoemde getallen Gorinchem: J. Noorduyn & zoon, 1882 14e dr. webpagina

Laan, R.C.; Pelt, D. van Het reken-onderwijs in de laagste en middelste afdeelingen der volksschool: eene nieuwe methode. Schiedam: H.A.M. Roelants, 1875 webpagina

Loghem, J. van Vijftienhonderd gemengde oefeningen, ter toepassing van de beginselen der reken-, stel- en meetkunde . Deventer: A.J. van den Sigtenhorst, 1862 webpagina

Mater, B.E. Eerste rekenboekje ter oplossing van voorstellen met benoemde getallen, voor de scholen. Haarlem: H.J. Otto, 1894 [4e dr] 13e-16e duizend webpagina

Mater, B.E. Tweede rekenboekje, ter oplossing van voorstellen met benoemde getallen, voor de scholen . Haarlem: H.J. Otto, 1888 2e d webpagina

Moll, H.J. Drie honderd theoretische en practische vraagstukken over de rekenkunde: zijnde een vervolg op de "Drie honderd rek. voorst., die allen beredeneerd moeten worden opgelost". Schoonhoven: S.E. van Nooten & zoon, 1882 2e dr webpagina

Nieuwe, gemaklyke, eigenaartige, en volstrekt zekere proef op het optellen . Haarlem: A. Loosjes, Pz., eind 18e, begin 19e eeuw webpagina

Nieuw practisch rekenboek voor de lagere scholen. I: Geheele getallen. II. Tiendeelige breuken. III. Gewone breuken. IV. Evenredigheden. V. Interest-rekening. VI. Winst- en verlies-, gezelschaps- en rabatrekening, korting voor kontante betaling, provisie- en effecten-rekening. VII. Menging- en ruiling-rekening, ketting-regel, zamengestelde evenredigheden en gemengde voorstellen Meppel: H. ten Brink, 1872 2e dr webpagina

Oven, A. van; Rivière, P.M.V. van de Praktisch rekenboek voor de lagere klassen der middelbare scholen. Dordrecht: Blussé en Van Braam, 1874 webpagina

Prinsen, P.J. Beschouwend en beoefenend rekenboek. 2e stukje. Haarlem: J. Goteling Vinnis, 1847 4e dr webpagina

Posthumus, S. Rekenkunstige opgaven voor kweekelingen en hulponderwijzers. Gouda: G.B. van Goor zonen, 1878 webpagina

Prinsen, P.J. Rekenboek, ingerigt naar de tegenwoordige behoefte der scholen. Tweede deeltje. Haarlem: A. Loosjes, Pz., 1813 webpagina

Everdingen, E. van Rekenkundige vraagstukken . Purmerend: J. Muusses & Co, 1883 webpagina

Rekenboek voor stad- en landscholen. Ie stukje, bevattende de hoofdregelen in onbenoemde getallen Franeker: E. Ippius Fockens, 1853 webpagina

Rekenboek voor mijne leerlingen: tiendeelige breuken. Leyden: C.C. van der Hoek, 1852 webpagina

Reinders, Derk W. Toetssteen "Kennis en vaardigheid" of een middel, om zich te onderzoeken in het vak "rekenen", alvorens zich te onderwerpen aan het onderwijzers-examen, met sleutels en antwoorden. Rotterdam: S. Zwart jr., 1898 2e dr webpagina

Ouwersloot, D. Handleiding bij het onderwijs in de theorie der rekenkunst . Haarlem: A.C. Kruseman, 1852 2e dr webpagina

Rijnink, L. Beginselen der cijferkunst voor de lagere school. Zaandam: P.N. Sombeek, eind 19e eeuw webpagina

Strabbe, Arnoldus Bastiaan Oplossingen van de laatste 200 vraagstukken uit de arithmetica. Breda: Broese & Comp, 1834 webpagina

Sluijters, Hendrik Praktisch cijferboek voor de scholen ten platten lande . 1e stukje Zalt-Bommel: Joh. Noman en Zoon, 1841 3e dr webpagina

Strootman, H. Antwoorden op de vraagstukken, voorkomende in het tweede gedeelte van de beginselen der cijferkunst. [S.l.]: [s.n.], ca. 1861 6e dr webpagina

Swartwolt, R.; Schmal, J. Rekenboekje voor lagere scholen. I: Hoofdregels in geheele getallen. II: Uitbreiding, toepassing en herleiding. III: Tiendeelige breuken en munten, maten en gewichten. IV: Gewone breuken. V: Gemengde voorstellen Amsterdam: S. Folkers, 1870 3e dr. webpagina

Stamkart, Johannes Adrianus; Rank, Ph.; Nes, W. van Stamkart en Rank's Rekenboek voor de lagere scholen . Amsterdam: G.L. Funke, 1876-... 2e dr. webpagina

Strabbe, Arnoldus Bastiaan Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst, ten gebruike der scholen: opgedragen aan het Genootschap der Mathematische Wetenschappen, onder de spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven. 4e dl. Amsterdam: J.B. Elwe, 1814 2e dr; 1e uitg.: 1790 webpagina

Zesde rekenboek: 500 voorstellen tot herhaling van het geleerde . Utrecht: Kemink en zoon, 1862 webpagina

Tweede rekenboek: opgaven ter oefening in de hoofdregels, toegepast op benoemde geheele getallen. Utrecht: Kemink en zoon, 1868 2e, verb. dr webpagina

Strabbe, Arnoldus Bastiaan Inleiding tot de mathematische weetenschappen. Of gemeenzaame leerwyze der arithmetica en algebra. Dl. 1 Amsterdam: J.B. Elwe, 1804 2e dr. doorgaans veel verm. en verb webpagina

Veenstra, B. Gemengde opgaven: verzameling rekenkunstige voorstellen ten dienste van het lager en meer uitgebreid lager onderwijs. 's Hage: Joh. ijkema, 1874 webpagina

Veenstra, B. Denkoefeningen: verzameling van rekenkundige voorstellen voor volks- en burgerscholen. Sneek: Van Druten & Bleeker, 1867 2e dr webpagina

Verzameling van rekenkundige voorstellen: ten dienste van dorpscholen . Tiel: wed. D.R. Wermeskerken, 1843 webpagina

Versluys, J. De eigenschappen der rekenkunde en theoretische vragen. Amsterdam: W. Versluys, 1883 webpagina

Verzameling van rekenkundige voorstellen, bestemd om redeneerkundig, of uit het hoofd opgelost te worden. Doesborgh: A.F.H. van Tr. de Bruijn, 1840 webpagina

Voorbeelden tot oefening in de hoofdregelen der cijferkunst: met geheele en onbenoemde getallen . Rotterdam: Mensing en Van Westreenen, 1846 webpagina

Voorbeelden tot oefening in de hoofdregelen der rekenkunde, met geheele en onbepaalde getallen: benevens eene korte verklaring van dezelve, ten dienste der scholen. 's Gravenhage: Gebroeders Giunta D'Albani en wordt uitgegeven, bij de erve Thierry en Mensing en zoon, 1814 webpagina

Versluys, J. Rekenkundige vraagstukken . Amsterdam: W. Versluys, 1893 2e dr webpagina

Woltering, F.A.R.; Grinten, A.H. van der Rekenboek voor de volksschool . I,1: Onbenoemde getallen van 1 tot 10. I,2: Benoemde getallen van 1 tot 10. II,1: Onbenoemde getallen van 1 tot 100. II,2: Benoemde getallen van 1 tot 100. III,1: Onbenoemde getallen van 1 tot 1000000. III,2: Benoemde getallen van 1 tot 1000000. IV: Lengtematen, gewichten en inhoudsmaten. V,1: Tiendelige breuken. V,2: Tiendelige breuken: vraagstukken. VI: Gewone breuken. VII: Vlakte- en ruimtematen. VIII: De voornaamste berekeningen, die in den handel voorkomen. IX: Vraagstukken in verband met de theorie van 't rekenen 's Hertogenbosch: C.N. Teulings, 1899 5e dr webpagina

Woltering, F.A.R.; Grinten, A.H. van der Rekenboek voor de volksschool: verzameling van opgaven ter herhaling en uitbreiding van het behandelde in het 4e, 5e, 6e, en 7e stukje . 2e stukje 's Hertogenbosch: Teulings, 1895 2e dr webpagina

Woltering, F.A.R.; Grinten, A.H. van der Rekenboek voor de volksschool: verzameling van opgaven ter herhaling en uitbreiding van het behandelde in het 4e, 5e, 6e, en 7e stukje . 1e stukje 's Hertogenbosch: Teulings, 1895 3e dr webpagina

Wuyster, J. De vier hoofdregelen: oefeningen voor eerstbeginnenden. Schoonhoven: S.E. van Nooten, 1869 webpagina

Callegoed, N. van; Witlage, H.G. Rekenboek ten dienste der scholen, in het Koningrijk der Nederlanden . Tweede stukje. (Tiendeelige breuken) Amsterdam: C.J. Borleffs, 1854 9e verb. dr webpagina

Callegoed, N. van; Witlage, H.G. Rekenboek ten dienste der scholen, in het Koningrijk der Nederlanden. Derde stukje. (Gewone breuken)Amsterdam: C.J. Borleffs, 1855 4e verb. dr webpagina

Zanten, L. van Leiddraad voor de theorie en de practijk van het rekenen . Tiel: D. Mijs, 1881 2e verb. en verm. dr webpagina

Benthem, Arent; Nijenhuis, T. Rekenkundige vraagstukken: derde verzameling, zijnde 500 voorstellen ten dienste van hen, die het examen volgens art. 56b der wet van 1878 ... wenschen af te leggen. 2e stukje 's-Gravenhage: Joh. IJkema, 1884 webpagina

Beuningen, H.A. van Tafels ten dienste van leerlingen der H.B.S., gymnasia, kweek- en normaalscholen, van de hoogste klassen der scholen voor M.U.L.O. e.a. Leiden: J.M.N. Kapteijn, 1896 webpagina

Baarschers, H. Vierde rekenboekje voor de Lagere Scholen. Zwolle: W.E.J. Tjeenk Willink, 1868 webpagina

Bouman, H. Het rekenonderwijs in het eerste leerjaar: handleiding bij van Pelts rekenrek. Voor het eerste leerjaar . Gidsen (vorm) Amsterdam: gebrs. Ebert, 1904 3e dr webpagina

Claessen, J. Allereerste gronden der rekenkunde. Zalt-bommel: Joh. Noman en zoon, 1854 webpagina

Bouwman, L. Zesde rekenboekje . VI. Gezelschaps- en menging-rekening, omgekeerde en zamengestelde regel van drieën Groningen: F. Folkers, 1864 5e dr webpagina

Bouwman, L. Tweede rekenboekje. II. Tiendeelige breuken Groningen: Wed. J. Doesburg, 1869 8e dr webpagina

Bouwman, L. Rekenvoorstellen van de acte-examens voor hulponderwijzers en hulponderwijzeressen te Groningen, 1870-1876. Examenopgaven Groningen: J.B. Wolters, 1877 Groningen: M. de Waal webpagina

Jong, S. de Rekenopgaven van acte- en vergelijkende examens: verzameld en met antwoorden voorzien . Examenopgaven III. Rekenvoorstellen van vergelijkende examens. 1874-1877 Maassluis: J. van der Endt & Zoon, 1877-1880webpagina

Jagt, Manus van der Korte schets van de eerste beginselen der rekenkunde, of Handboekje tot de verschillende rekenboeken; voor schoolgebruik. Zierikzee: J. van de Velde Olivier, 1838 webpagina

Kramers, H.W. Kramers' rekenboekje voor meisjes, bevattende driehonderd vraagstukken, ter toepassing van de hoofregelen met geheele getallen. 1e stukje Gouda: G.B. van Goor zonen, 1879 2e dr webpagina

Kramers, H.W. Kramers' Rekenvragen, bevattende 700 vragen ter herhaling en toepassing van het geleerde in de theorie der rekenkunde . 1e stukje Schoonhoven: S. & W.N. van Nooten, 1882 2e dr webpagina

Kruijtbosch, D.J. Practisch rekenboek ten dienste der lagere scholen. Derde stukje Kampen: K. van Hulst, 1852 webpagina

Kruijtbosch, D.J. Praktisch rekenboek ten dienste der lagere scholen. Eerste stukje Kampen: K. van Hulst, 1855 5e dr webpagina

Kruijtbosch, D.J. Beantwoording van eenige theoretische vragen; voorkomende in het derde stukje Practisch rekenboek voor de scholen. Kampen: K. van Hulst, 1852 webpagina

Mulder, J. Schriftelijk rekenen (1-100), Getalbewerkingen: in aansluiting met het aanschouwelijk rekenen en 't rekenen uit 't hoofd . Groningen: J.B. Wolters, 1878 webpagina

Olm, Jan van; Olm, M. van Rekenboek van Jan van Olm . Groningen: N. Veenkamp en J. Groenewolt, 1808 13e dr. verm. in vele regelen webpagina

Veenendaal, J.H. De sollicitant: verzameling van 500 arithmethische en algebraïsche voorstellen . 's Gravenhage: Gebroeders Belinfante, 1868 webpagina

Wisselink, W.H. Eerste verzameling van vraagstukken ter oefening in het practisch rekenen . Groningen: P. Noordhoff, 1892 8e, herz. dr webpagina

Lockhart, James Nieuwe oplossing van cubiek-vergelykingen door juiste uitdrukkingen, en ook bij nadering, zonder beproeving of gissing . Haarlem: erven François Bohn, 1825 webpagina

Hoonaard, Willem van den Rekenboek voor de scholen in het Koningrijk der Nederlanden: ingerigt overeenkomstig het nieuwe stelsel van maten, gewigten en muntspeciën. Tweede stukje Amsterdam: Schalekamp en Van de Grampel, 1819 2e dr; 1e uitg.: 1817 webpagina

Hoonaard, Willem van den Rekenboek voor de scholen in het Koningrijk der Nederlanden: ingerigt overeenkomstig het nieuwe stelsel van maten, gewigten en muntspeciën. 3e stukje, 2e gedeelte Amsterdam: Schalekamp, Van de Grampel en Hanssen, 1824 webpagina

Strabbe, Arnoldus Bastiaan; Prinsen, P.J. Arnoldus Bastiaan Strabbe's Eerste beginselen van de arithmetica of rekenkunst, ten gebruik der scholen: opgedragen aan 't Genootschap der Mathematische Wetenschappen, onder de spreuk: Een onvermoeide arbeid komt alles te boven . Amsterdam: Schalekamp, Van de Grampel en Hanssen, 1824 3e dr; 1e uitg.: 1790 4e dl webpagina

Bartjens, Willem; Görlitz, P.K. Willem Bartjens rekenkunst, vervangen door eene andere ingerigt naar het nieuwe maten- en gewigten-stelsel, en meer overeenkomstig de tegenwoordige behoefte van het lager onderwijs . Rotterdam: T.J. Wijnhoven Hendriksen, 1848- . . . 5e, geheel omgewerkte dr. webpagina

Backer, H.G. de Rekenboekje voor eerstbeginnenden: bevattende de vijf hoofdregelen in ongenoemde gewone en decimale getallen . Zalt-Bommel: Joh. Noman en zoon, 1842 webpagina

Benthem, Arent; Nijenhuis, T. Rekenboek voor de lagere school: rekenkundige opgaven, voor zooveel noodig naar typen gerangschikt. 's-Gravenhage: Joh. IJkema, 1892-1894 3e dr; 1e dr.: 1886 I. (1892.) II. (1893.) III. (1894) webpagina

Benthem, Arent; Nijenhuis, T. Rekenkundige vraagstukken voor zooveel nodig naar typen gerangschikt. Derde verzameling, zijnde 500 voorstellen ten dienste van hen, die het examen volgens Art.56b der wet van 1878, Staatsblad No.127, wenschen af te leggen. Tweede stukje 's-Gravenhage: Joh. Ykema, 1894-1897 3e dr I, II webpagina

Backer, H.G. de Handboekje voor leerlingen van de tweede en derde klasse. Zalt-Bommel: Joh. Noman en zoon, 1839 2e, verm. en verb. dr; 1e dr.: 1831 webpagina

Bok, J. Het cijferen in de lagere school: handleiding. Amsterdam: W. Versluys, 1895 webpagina

Bouman, L. Practisch rekenboek voor het uitgebreid lager en middelbaar onderwijs. Haarlem: H.D. Tjeenk Willing, 1890 webpagina

Boeser, A.L. Rekenboek voor meisjesscholen . Amsterdam: Schalekamp, Van de Grampel en Bakker, 1866-1878 4e dr II: Tiendeelige breuken. - 1866. IV: Toepassing van den regel van drieën. - 1878 webpagina

Boeser, A.L. Vijfde rekenboekje: verzameling van voorstellen ter verdere toepassing van den regel van drieën . Zutphen: W.J. Thieme & Cie, 1899 * 19e dr; 1e dr.: Amsterdam : Hoogenboom, 1861 webpagina

Boeser, A.L. Derde rekenboekje: verzameling van voorstellen ter toepassing van de leer der gewone breuken. Zutphen: W.J. Thieme & Cie, 1901 28e dr; 1e dr.: Amsterdam, Hoogenboom 1855 webpagina

Boeser, A.L. Derde verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1899 15e dr webpagina

Lagerwey, J.; Witlage, H.G. J. Lagerwey's Allereerste gronden der cijferkunst. Amsterdam: Weijtingh & Brave, 1863 6e dr. Derde stukje, bevattende de vier hoofdregelen in gewone breuken, zoowel benoemde als onbenoemde webpagina

Cromjongh, A.A.C. Keur van reken-, stel-, meet-, natuur- en aardrijkskundige voorstellen: ingerigt naar de eischen van den tegenwoordigen tijd voor kweekelingen en hulp-onderwijzers. Gorinchem: C. Schook, 1865 webpagina

Eger, J.C. Rekenkunstig allerlei: een vervolg op de meeste theoretische en praktische leerboeken over de rekenkunde. Sneek: Van Druten & Bleeker, 1866 * 2e, verm. dr webpagina

Huisman, T. Handleiding bij het onderwijs in het rekenen in de lagere school . Arnhem: M. van den Berge (voorh. H.A. Tjeenk Willink), 1891 webpagina

Kooiman Az., K. Driehonderdtal eenvoudige voorstellen, ter beoefening van gewone breuken, vergelijkingen en evenredigheden: en ter inleiding tot het vierde honderdtal. Medemblik: K.H. Idema, 1859 webpagina

Hemkes, H. Rekenboek voor gevorderde leerlingen: hoofdzakelijk dienende om op eene korte, gemakkelijke en zekere wijze te leeren rekenen. Groningen: J. Oomkens, 1836 webpagina

Hemkes, H. De beminnaar van het rekenen: gemakkelijk rekenboekje voor verdergevorderden: evenredigheden. Serie: Tien cents rekenboekjes, 4 Groningen: Noordhoff & Smit, 1875 8e dr webpagina

Hemkes, H. De kleine rekenaar: gemakkelijk rekenboekje voor eerstbeginnenden: geheele getallen. Serie:  Tien cents rekenboekjes, 1 Groningen: P. Noordhoff en M. Smit, 1876 15e dr webpagina

Hemkes, H. De kleine rekenvriend, of Gemakkelijk rekenboekje voor weiniggevorderden: tiendeelige breuken. Serie: Tien cents rekenboekjes, 2 Groningen: M. Smit, 1854 6e dr webpagina

Kramers, H.W. Kramers' gemakkelijk rekenboekje, bevattende driehonderd vraagstukken, ter toepassing van de hoofdregelen met gewone breuken . 3e stukje Gouda: G.B. van Goor zonen, 1874 webpagina

Jong, S. de; Roest, A.L. 250 rekenkunstige voorstellen, opgegeven bij acte-examens voor hulp-onderwijzers. Examenopgaven Amsterdam: A. Hoogenboom, 1869 webpagina

Boeser, A.L. Derde verzameling van rekenkundige voorstellen voor de hoogste klasse der lagere scholen. Amsterdam: A. Hoogenboom, 1868 4e dr webpagina

Gravelaar, A.W. Rekenkundige vraagstukken. Groningen: J.B. Wolters, 1888 webpagina

Huizinga, J. Eerste rekenoefeningen voor hen, die zich op practisch rekenen wenschen toe te leggen: uitsluitend ingerigt naar het tegenwoordige Nederlandsche stelsel van munten, maten en gewigten. Groningen: R.J. Schierbeek, 1856 webpagina

Klinkert, P. Hoeveel is het?: rekenkundige opgaven voor leerlingen van middelbare scholen en voor kweekelingen en hulponderwijzers . Purmerende: L.G. Post, 1865-1866 webpagina

Klinkert, P. Klassikaal rekenen . [I.] Tellen. II. Telling Purmerende: J. Schuitemaker, 1864-1866 webpagina

Kolff, A. van der Eerste rekenboek voor de scholen: (geheel overeenkomstig het tegenwoordige stelsel). Rotterdam: Mensing & De Koning, 1855 4e verb. en verm. dr webpagina

Kruijtbosch, D.J. Praktisch rekenboek ten dienste der lagere scholen. Kampen: K. van Hulst, 1855 3e dr Tweede stukje webpagina

Hinrichs, L.E.; Cappelle, H.C. van Wenken betreffende wiskundige vakken, voor hen, die zich wenschen te onderwerpen aan het examen voor de Cadettenschool, het instituut voor de marine en aan daarmede gelijkgestelde examens . Alkmaar: P. Kluitman, 1898 webpagina

Eenvoudig rekenboekje voor eerstbeginnenden: bevattende de hoofdregelen in onbenoemde getallen. Tiel: wed. D.R. van Wermeskerken, ca. 1820 webpagina

Sluijters, Hendrik Oplossingen der Verzameling van rekenkundige opgaven, ten dienste van gevorderde leerlingen en aankomende onderwijzers: in vier tweehonderdtallen. Delft: J. de Rooy, 1842 webpagina

Hemkes, H. De kleine rekenmeester: gemakkelijk rekenboekje voor meergevorderden: stelsel van munten, maten en gewichten . Serie:  Tien cents rekenboekjes, 3 Groningen: P. Noordhoff & M. Smit, 1873 9e, omgew. dr webpagina

Holst, A.A. Kleine rekenkunst . Amsterdam: Ten Brink & De Vries, 1879 6e dr; 1e dr.: 1860 webpagina

Bouwman, L. Derde rekenboekje. Groningen: Wed. J. Doesburg, ca. 1863 6e dr III. Stelsel van munten, maten en gewigten. Regel van drieën webpagina

Görlitz, P.K. Praktisch rekenboek voor de scholen. Amsterdam: Schalekamp en Van de Grampel, 1826-1827 webpagina

G. Bosch Morisson, schoolonderwijzer te Z. Boemel (1823). Rekenboek, bijzonderlijk geschikt, om bij de jeugd het denkvermogen te oefenen en het oordeel op te scherpen. Eerste stukje. Zaltbommel: Johannes Noman, 1823 webpagina

• Hoewel de rekenkunde uit haren aard bijzonderlijk geschikt is, om bij de jeugd het denkvermogen te oefenen en het oordeel op te scherpen, leert echter de ondervinding, dat, schoon bij het beste onderwijs, de kinderen veelal deze voortreffelijke wetenschap werktuigelijk beoefenen. Met de uitgave dezer voorstellen heb ik getracht, zoveel mogelijk, dit gebrek voortekomen. Mijn voornemen is geenszins geweest een koopmans rekenboek of eene rekenkundige theorie te leveren; neen, in beiden is genoegzaam en op eene wijze voorzien, dat desaangaande niets meer te wenschen overblijft. Het eenigste, wat er naar mijn inzien ontbrak, was eene verzameling van voorstellen, naar eene geleidelijke opklimming geordend en stof behelzende, niet alleen ter toepassing der geleerde theoretische lessen, maar tevens tot oefening van het denk vermogen; en eene verzameling van dezen aard bestaat, voor zoo verre mij bekend is, nog niet. ( . . ) — Wanneer men de voorstellen met eenige oplettendheid nagaat, zal men bespeuren, dat elk derzelve een bijzonder nadenken vereischt, en de leerling er een gemaakt hebbende, het volgende niet werktuigelijk daarnaar maken kan: hier komen omstandigheden en gevallen voor, die tot de oplossing niets doen; dáár komen zij allen te pas, en dezelve niet in aanmerking nemende, zou men een onjuist antwoord bekomen; in één woord, meest al de hier voorkomende voorstellen vorderen eenige redenering, eer men tot de oplossing kan overgaan, en strekken alzoo, om de jeugd te leeren vergelijken en onderscheiden.

  Voorberigt van G. Bosch Morisson, schoolonderwijzer te Z. Boemel (1823). Rekenboek, bijzonderlijk geschikt, om bij de jeugd het denkvermogen te oefenen en het oordeel op te scherpen. Eerste stukje. Online: http://goo.gl/WMx3Lz

• Een letterzetter, die vlug zijn werk verstaat, kan in iedere sekunde eene letter zetten. Wanneer nu zoodanig iemand 216000 sekunden lang dien arbeid verrigt, en alzoo eene week bezig is, hoeveel letters zal hij dan ten einde van eene week gezet hebben?

  blz 2

  Gij weet, dat een dozijn 12 is, maar kunt gij nu ook berekenen hoeveel cents Maria uitgeven moet, als zij 12 dozijn appelen koopt en het dozijn voor 15 cents bedongen heeft? Zeg mij ook, hoeveel appelen zij koopt!

  blz 9

Pestalozzi, Johann Heinrich; Prinsen, P.J. Aanvankelijk onderwijs in het kennen der getalen, of Het leeren tellen van 1. tot 20.: zijnde de zevende brief van Pestalozzi's Leerwijze in de kennis der getalen. Leyden: D. du Mortier en zoon, 1825 webpagina

Prinsen, P.J. Beschouwend en beoefenend rekenboek . Haarlem: J. Goteling Vinnis, 1830-1831 webpagina

Krol, J.G. Theoretisch en practisch rekenboek voor de Nederlandsche jeugd: bijzonderlijk toegepast op voorbeelden, getrokken uit den koophandel en het dagelijksche leven, naar de nieuwe munten, maten en gewigten . Zutphen: H.C.A. Thieme, 1819-1822 webpagina

Bartjens, Willem; Schoolonderwijzer binnen Rotterdam Een De vernieuwde rekenkunst van Mr. Willem Bartjens, uit welke men de voornaamste regelen dier wetenschap leeren kan: op nieuw ieder voorstel nagezien, en elke regel met eene definitie van dezelven vermeerderd. Rotterdam: J. Hendriksen, 1816 2e verb. en verm. dr webpagina

Daalen, G.H. van De talstelsels in de eerste schooljaren: nieuwe rekenmethode . Zaandijk: J. Heijnis Tsz, 1886 webpagina

Hentschel, E.; Rijkens, R.R. Handleiding voor het rekenen uit het hoofd en het cijferen. webpagina

Labberton, Alb. Vragen en opgaven over meetkundig rekenen: repetitie-boekje ter voorbereiding voor het examen Art. 56a, wet L.O.. 's-Gravenhage: gebroeders Van Cleef, 1898 webpagina

Hentschel, E.; Rijkens, R.R. Handleiding voor het rekenen uit het hoofd en het cijferen. Groningen: A.L. Scholtens, 1875 2e dr webpagina

Versluys, J. De akten-examens voor wiskunde lager onderwijs in 1892: verslag der examen-commissie en oplossing der vraagstukken. [Examenopgaven Onderwijsbevoegdheid] Amsterdam: W. Versluys, 1893 webpagina

Verzameling van voorstellen ten dienste van hun, die zich wenschen toe te leggen op het meetkundig rekenen. Groningen: J. Oomkens, 1823 webpagina

Versluys, J. Rekenkundige eigenschappen en bewerkingen in verschillende talstelsels: vooral ten dienste van het uitgebreid lager onderwijs . Groningen: W. Versluys, 1880 2e dr webpagina

Versluys, J. Rekenkundige eigenschappen en bewerkingen in verschillende talstelsels. Amsterdam: W. Versluys, 1883 3e dr webpagina

Woltering, F.A.R. Vragen en opgaven over verschillende talstelsels: ten dienste van hen, die zich voorbereiden voor de examens. 's-Hertogenbosch: C.N. Teulings, 1884 webpagina

Woltering, F.A.R. Opgaven over vergelijkingen van den eersten graad met ééne onbekende; rekenkundige en meetkundige evenredigheden en gezelschaps-rekening: ten dienste van het onderwijs aan kweek- en normaalscholen. 's-Hertogenbosch: C.N. Teulings, 1884 webpagina

Jong, Cornelia H. de; Goudsmit, H. Handleiding bij De Jong's telraam. [S.l.]: [s.n.], eind 19e eeuw Amsterdam: Ellerman, Harms & Co webpagina

Jong, S. de Rekenen en vormleer: verzameling van voorstellen, opgegeven op de acte-examens voor onderwijzers en onderwijzeressen, in april 1884. Rotterdam: Nijgh & Van Ditmar, 1884 webpagina

Nieuwmeijer, A.E. De kleine rekenaar zonder lei: rekenkundige spelen, raadsels en andere oefeningen: een handleiding voor onderwijzers en onderwijzeressen op de lagere en scholen. Amsterdam: G.Theod. Bom, 1864 [S.l.]: Erven H. van Munster & zoon webpagina

Hirsch, Meier; Ramakers, Gerrit Verzameling van voorbeelden, formulen en vraagstukken uit de letterrekening en stelkunst. Breda: Broese & comp, 1834 [algebra] webpagina

Beer, W.J. de Vragen en voorstellen ter toepassing van de oefeningen met de tafel der eenheden van Pestalozzi . Amsterdam: Meijer, 1853 webpagina

Cleeff, J. van Verzameling van voorstellen, ten dienste van hun, die zich wenschen toe te leggen op het meetkundig rekenen. Groningen: J. Oomkens, 1827 2e dr webpagina

Everdingen, E. van De gewone en tiendeelige breuken: eenvoudige leergang met practische toepassingen. Purmerend: J. Muusses, 1883 webpagina

Ramakers, Gerrit; Gelder, J. de Antwoorden op de rekenkundige vragen, voorkomende in de Allereerste gronden der cijferkunst, door Jacob de Gelder, hoogleeraar te Leijden. Amsterdam: Gebroeders Van Cleef, 1839 3e dr; 1e uitg.: 1825 webpagina

Keuning, J. Handleiding bij het gebruik der rekenkast: een hulpmiddel bij het aanschouwelijk rekenonderwijs . Tiel: D. Mijs, 1896 2e dr webpagina

Hofland, H.J. Verzameling van verstandsoefeningen voor mondeling onderwijs en zelfwerkzaamheid, ten dienste der lagere scholen. Weesp: G.G. Brugman, 1859 webpagina

Hofland, H.J. Verstandsoefeningen: opgaven voor geregelde en nuttige werkzaamheden in school en huis. Weesp: G.G. Brugman, 1868 2e, omgew. dr webpagina

Sluijters, Hendrik Opgaven tot nuttige zelfoefeningen, voor de middelste klasse eener school ten platten lande. Tholen: C.A.E. van Rhee, 1837-1844 Dordrecht: J. de Vos & Comp webpagina

Prinsen, P. J. Pestalozzi's leerwijze in de kennis der getallen. Te Leyden: bij D. du Mortier en zoon, 1820 webpagina

Hollander, L.A. den; Critas het metriekstelsel ten dienste der vier hoogste leerjaren der lagere school . Tiel: D. Mijs, 1895 webpagina

Kolb, C.F.A.; Pimentel, M. Henriquez Aanschouwelijk onderwijs in de allereerste beginselen van het tellen. Amsterdam: Gebroeders Binger, 1863 webpagina

Nathan and David A. Daboll (1836). Daboll’s complete schoolmaster’s assistant: Being a plain, comprehensive system of practical arithmetick, adapted to the use of schools in the United States. [meerdere edities op archive.org, maar deze editie niet] webpagina

Nathan Daboll (1802). Daboll's schoolmaster's assistant. Being a plain practical system of arithmetic; adapted to the United States. By Nathan Daboll.. 3rd edition. Samuel Green. webpagina & 1817 edition

Matthijs Hendricus Sitters (2008). Sybrandt Hansz Cardinael. Rekenmeester & wiskundige 1578-1647. Zijn leven en zijn werk Verloren. isbn 9789087040024 info

Gaat vooral over zijn werk. Boeiend werk van hem zijn de Hondert Geometrische questien die als oefeningenboek grote invloed hebben gehad in de 17e eeuw. Sitters geeft volledige transcripties en uitgebreide analyses van veel/ieder? van deze honderd opgaven, als ik het goed heb, naast ander werk, naast biografische zaken (het boek telt 650 blz.)

Hij heeft rekenboekjes op de markt gebracht: 4.3 Arithmetica 447-453.

• Matthijs H. Sitters (2003). Sybrandt Hansz Cardinael (1578-1647). Meester in de meetkunde. NAW 5/4 nr 4. december, 309-316 pdf
• M.H. Sitters (2004). Sybrandt Hansz Cardinael (1578-1647). Een eigenzinnig meetkundige tussen Stevin en Huygens. Gewina 27 (2004) 14-32pdf

Harry C. Barber (1924). Teaching junior high school mathematics. Boston: Houghton Mifflin Company. online ook: tweet . webpagina

Fascinating to see the progressivist issues turn up in the Introduction by Barber (pp 6-7).

J. J. C. Donck (1879, 1882 3e druk). Theorie der cijferkunst. Haarlem: De Erven Loosjes. In twee delen, plus antwoordenboekjes (bij deel I); 352 + 335 blz Eerste druk 1868.

online beschikbaar: http://schoolmuseum.uba.uva.nl/view?docId=LCSM_203125/ocr.xml;query=;brand=default#page/4/mode/2up

Voor aankomende onderwijzers. Dock is leraar aan de Rijkskweekschool voor Onderwijzers te Haarlem.

• Een uitvoerige lijst van oude rekenboekjes, die ik dus niet in eigen bezit heb, is opgesteld door Hessel Pot http://www.fi.uu.nl/hkrwo/Archief/Collectie_Hessel.doc
• Jan Hogendijk: Bibliografie van boeken en artikelen in het Nederlands over geschiedenis van de wiskunde tot ca. 1900 html, waaronder Geschiedenis van de wiskunde en onderwijs

Dupin, le baron Charles Dupin (1826). Géométrie et méchanique des arts et métiers et des beaux-arts. Cours normal a l'usage des artistes et des ouvriers, des sous-chefs et des chefs d'ateliers et de manufactures. Tome premier. Géométrie. Bruxelles, Aug. Wahlen. tome 1e Paris 1825; tome 2e, tome 3me

Jacob de Gelder (1808/1823). Wiskundige Lessen, eerste cursus, bevattende de gronden der telkunst, benevens de eerst beginselen der stelkunst. Dienende ten gebruike van onderwijzers en ter nadere opheldering van de allereerste gronden der cijferkunst. . Tweede geheel op nieuw bearbeide uitgave. 's Gravenhage, Gebroeders Van Cleef full view

Jacob de Gelder (1809). Wiskundige lessen. Tweede cursus, bevattende de volledige gronden der stelkunst, en, onder anderen, de theorie der logarithmen, de combinatorische analysis, en de meest merkwaardige reeksen. Den Haag, bij de gebroeders Van Cleef en B. Scheurleer, Junior.

Marjolein Kool (1999). "Die conste van de getale". Een studie over Nederlandstalige rekenboeken uit de vijftiende en zestiende eeuw, met een glossarium van rekenkundige termen. Hilversum: Verloren. isbn 9065500502 (tevens verschenen als proefschrift) info

Lambert Lincoln Jackson (1906). The educational significance of sixteenth century arithmetic from the point of view of the present time.. New York: Printed for the author. archive.org

C. M. Waller Zeper (1937). De oudste intresttafels in Italié, Frankrijk en Nederland met een herdruk van Stevins ‘Tafelen van interest.’ Proefschrift Rijksuniversiteit Leiden. Noord-Hollandsche Uitgeversmaatschappij.

Mijn leraar Grieks had zich ook op dit terrein begeven: p. 2 noot 1 J. Korver (1934). De terminologie van het credietwezen in het Grieksch. Paris. Dat moet dan zijn proefschrift zijn.

Hfdst 1. begint met een aardig voorbeeld uit het Liber Abaci van Leonardo Pisano (Fibonacci). Waller Zeper vermoedt dat de renteberekingen in het Liber Abaci ontleend zijn aan de praktijk van de handel, Fibonacci uitstekend bekend.

• 1. De oudste geschreven Italiaansche intrest 7
  2. Oude boeken over Koopmansrekenen 16
  3. De Arithmetique van Jean Trenchant 25
  4. De geschiedenis van de intrestrekening 38
  5. Martinus Wentsel 66
  6. Ludolf van Coelen 76
  7. Abraham Verkammen en Ezechiel 87

  • Simon Stevin Brugghelinck (MDLXXXII). Tafelen van Interest, midtsgaders derseluer, ghecalculeert door Simon Stevin Brugghelinck. t'Antwerpen, Bij Christoffel Plantijn in den gulden Passer. [92 blz. transcriptie]

Marijke Gumbert-Hepp (1987). Computus magistri Jacobi. Een schoolboek voor tijdrekenkunde uit 1436. Hilversum: Verloren. isbn 9065502130 Ook verschenen als proefschrift RU Utrecht. Middeleeuwse Studies en Bronnen VII. De volledige tekst is beschikbaar op dbnl

Jacobus heeft als bronnen gebruikt: de Computus chirometralis van Johannes van Erfurt, de Computus ecclesiastus (of philosophicus) van Johannes de Sacrobosco, en de Massa compoti van Alexander de Villadei. Van die laatste, uit ca. 1200, bestaat een moderne editie, door Van Wijk (zie daar), van de beide andere, 1e helft 14e eeuw, bestaan geen moderne edities. Er is nog een veel gebruikte computus uit dezelfde tijd als die van Jacobus, de Computus Nurembergensis, van Martinus van Neurenberg.

• p. 32: “De methode die Jacobus gebruikt om de tijdrekenkunde te onderwijzen is de volgende: Er worden voor ieder onderdeel mnemotechnische verzen gegeven (...), en die worden vervolgens in proza uitgelegd (...), en met behulp van tekeningen (...), meestal cirkelfiguren, verduidelijkt. Het is de bedoeling dat de leerlingen de verzen uit het hoofd leren en gebruiken om de nodige berekeningen te maken. Door de uitleg in proza weten de leerlingen dan ook op welke manier en om welke reden ze deze verzen moeten gebruiken en in de tekeningen wordt alles nog eens samengevat.”

Danny Beckers (2003) 'Het despotisme der mathesis.' Opkomst van de propaedeutische functie van de wiskunde in Nederland 1750-1850. Ook verschenen als proefschrift. Met stellingen. Verloren. isbn 9065507620,

info

Rijke literauurlijst.

H. Strootman (1855, 1848). Beginselen der cijferkunst, bepaaldelijk ten dienste van hen, die zich verder op de wiskunst willen toeleggen. Eerste gedeelte. Vierde vermeerderde druk 1855, zonder de antwoorden daarop. Tweede gedeelte. Tweede vermeerderde druk 1848, zonder de antwoorden daarop. Te Breda: ter Boekdrukkerij van J. Hermans. Gescand (maar latere drukken) onder Beginselen: webpagina

F. A. Yeldham (1936). The Teaching of Arithmetic through Four Hundred Years. George G. Harrap. . webpagina

• The reason for studying arithmetic - Tonstall - Recorde - Hylles, Wingate, Oughtred, and Jager - Cocker - Ward and Malcolm - Vyse and Chapell - Bonnycastle, De Morgan, Sang, and others - The exercise book - Arithmetic in recent years

  contents

Willem Wiltschut (1927). Denk en doe. Serie eenvoudige rekenboekjes voor de lagere school. No 2. No 3. G. B. Van Goor Zonen. webpagina

P. Wijdenes (5e druk 1951). Beknopte stereometrie. P. Noordhoff.

Dit is het soort meetkunde dat ik voor mijn eindexamen heb gedaan.

• . . . ook heb ik in vele vraagstukken niet het antwoord gelegd, maar aangezet tot eigen onderzoek; de leraar zal bemerken, hoe de leerlingen zich door de verwerking der vraagstukken voelen groeien in het vak.

  Voorwoord

Joh. H. Wansink (1957 8e). Reken- en stelkunde. Leerboek der algebra voor het middelbaar en voorbereidend hoger onderwijs. J. B. Wolters. <--hist_rekendidactiek.htm-->

• In dit leerboek is ernaar gestreefd de vakken rekenkunde en algebra zoveel mogelijk tot één geheel te verenigen.

  < . . . )
  De ontwikkeling van het getalbegrip èn de ontwikkeling van het functiebegrip vormen de pijlers waarop de Reken- en Stelkunde komt te rusten.

  ( . . . )
  Bij de behandeling der stof is uitgegaan van de gedachte dat bevordeing van het theoretisch inzicht en van de technische vaardigheid hand in hand dienen te gaan. Er zijn ongeveer 4000 opgaven opgenomen, waarbij de eenvoudige typen op de voorgrond treden. De vele herhalingen (ongeveer 40) zijn niet slechts bedoeld als verzamelplaatsen van vraagstukken waaruit de leraar bij proefwerken wel eens kan putten; ze bedoelen tevens aan te geven wat een leerling m.i. in het gunstigste geval in de tijd van één lesuur moet kunnen presteren. Een algemene herhaling van 400 opgaven aan het eidn van deel III geeft, zoveel mogelijk naar typen gerangschikte vraagstukken voor mondelinge en schriftelijke examens. Aan hoofdrekenen en ‘praktisch rekenen’ is in Deel I een extra hoofdstuk gewijd.

  Voorbericht 1939

Joh. H. Wansink (1939, 1940, 1941). Reken- en stelkunde. voor het middelbaar en voorbereidend hoger onderwijs. Wolters. 3 delen.

P. J. Bouman & J. C. van Zelm (????). Het eerste rekenboek. Onderwijzersboekje I. bevattende een gedeelte van Een rekenmethode voor de Lagere School als proeve van toegepaste logica. W. Versluys. - - paginering loopt van 81 (Een rekenmethode enz.) tot 116, en dan het Eerste rekenboekje (48 blz.)en dan het Tweede rekenboekje (48 blz., dan een deel antwoorden van 16 blz, beginnend met: Algemene opmerkingen omtrent de methode)

• De ontwikkeling der rekenkundige denkbaarheden is tevens ontwikkeling van de menselijke geest, wijl het denken van een om zo te zeggen arme denkbaarheid — arm aan inhoud nl. — geleidelijk en stelselmatig komt tot een denkbaarheid, die rijk aan inhoud is en betrekkelijk volledig heeft te heten, daar al de daaraan voorafgaande denkbaarheden in haar zijn verondersteld.

  De wijze om de kinderen te leren rekenen heeft zich niet te richten naar willekeurige bedenksels, zoals deze in vele rekenmethoden doorlopend tot uiting komen, maar naar de eisen, die door een kinderlijke geest worden gesteld.

  Het willekeurig ordenen der stof verzwaart in hoge mate het rekenonderwijs en vordert, ter bereiking van dragelijke resultaten, buitengewone inspanning van de zijde der onderwijzeressen en onderwijzers.

  Wordt daarentegen stelselmatig het kinderlijke denken ontwikkeld en is de oefenstof in overeenstemming met de graad dier ontwikkeling, dan zijn zelfs zwakke leerlingen — we weten dit uit ondervinding — in staat zelfstandig vraagstukjes op te lossen, zonder dat daaraan het eindeloze verklaren heeft vooraf te gaan.

  Het rekenonderwijs, dat op bewuste wijze de ontwikkeling van het kinderlijke denken beoogt, brengt de rekenkundige denkbaarheden zo als ’t ware een elementaire reken‘kunde’ tot bewustzijn, die haar toepassing vindt in het nauwgezet uitvoeren der bewerkingen, d.i. in de rekenkunst. Rekenkunde en rekenkunst, het weten en het toepassen van het weten, het denken en het doen, zijn de tegendelen, die in een rekenmethode, welke gelden wil als proeve van toegepaste logica, verenigd tot uiting hebben te komen.

  Getallen 1—10

  Door tellen komt de geest tot het denken van getallen. Getallen zijn als denkbaarheden geen bestaande zaken en niet voorhanden. Ze zijn dan ook niet gebonden aan een bepaalde figuur, waarom het afkeuring verdient, kinderen in de mening te brengen, dat zij b.v. bij het getal 5 aan een figuurtje als [vijf stippen zoals op een dobbelsteen, b.w.] moeten denken. Er zijn immers verschillende wijzen mogelijk om een vijftal objecten te groeperen. Eacute;en dezer groeperingen als een voorstelling of een beeld van het getal 5 te willen propageren is een opvatting, welke bij nader doordenken als een misvatting moet worden gequalificeerd.

  Aanschouwing doet in het onderwijs slechts mede, inzoverre het kind moet leren beseffen, dat het ’t getal op het aanschouwde heeft toe te passen.

  ( .. )De mening, dat het rekenonderwijs zich moet baseren op op getalvoorstelling en getalbeeld wil eigenlijk zeggen, dat men het baseert op een ondeugdelijk fundament met het uiteindelijke resultaat, dat het gehele rekenonderwijs op een dwaalweg geraakt.

  Zolang het in het begin nog te doen is om de namen der getallen, is er geen bezwaar, allerlei eenvoudige voorwerpen te laten tellen. Doch wordt er met de getallen gerekend, dan gebruike men objecten als stippen, streepjes, kringetjes, de balletjes van het telraam enz., die als zodanig voor het kind weinig belangwekkend zijn.

P. J. Bouman & J. C. van Zelm (????). Het tweede rekenboek. Onderwijzersboekje II. bevattende een gedeelte van Een rekenmethode voor de Lagere School als proeve van toegepaste logica. W. Versluys.

H. Weinreich & W. Lietzmann (1915). Berichte und Mitteilungen, veranlasst durch die internationale mathematische Unterrichtskommission, X. Enthaltend: H. Weinreich: Die Fortschritte der mathematischen Unterrichtsreform in Deutschland seit 1910; W. Lietzmann: Der Pariser Kongress der internationalen mathematischen Unterrichtskommission vom 1. bis 4. April 1914. Leipzig und Berlin: Druck und Verlag von B. G. Teubner.

Danny Beckers & Harm Jan Smid (1828/2003). Grondbeginselen der rekenkunde. Uitgegeven door het wiskundig genootschap, Onder de Zinspreuk Mathesis Scientiarum Genitrix, te Leyden. isbn 9065507442 met facsimile van deel 2 uit een vierdelig rekenboek door het genootschap begin 19e eeuw uitgegeven

Echt een schoolboekje. Opgaven, voorbeeldige uitwerkingen. Schitterend facsimile.

• Het Verlichtingsdenken had echter ook zijn weerslag op de wiskunde. Exactheid werd verheven tot norm voor wiskundige redering. Dat betekende dat empirische resultaten of gewoontes niet langer meer in de wiskunde thuishoorden. De nieuwe wiskunde zuiverde deze 'minder exacte' elementen uit.

  p. 33

Harm J. Smid (1997). Een onbekookte nieuwigheid. Invoering, omvang, inhoud en betekenis van het wiskundeonderwijs op de Franse en Latijnse scholen 1815-1863. isbn 9040714428 full download bespreking R. H. Vermij; Kemme, S.L. (1997). Het wiskundeonderwijs door de jaren heen 1 13 https://www.fi.uu.nl/wiskrant/artikelen/artikelen11-20/171/171_kemme.pdf

H. Hemkes, Kz. (1844/1862). Handleiding voor kweekelingen, aankomende en jeugdige onderwijzers en onderwijzeressen. Delft, W. N. C. Roldanus. Vierde, naar de Wet op het Lager Onderwijs van 13 augustus 1857 gewijzigde en vermeerderde druk. 257 blz in origineel ingenaaid slap kaft. Online schoolmuseum.uba.uva

online

• TWAALFDE HOOFDSTUK. Rekenen. Getalleer. Tafel van Vermenigvuldiging. Rekenboeken. Gewone en tiendeelige breuken. Stelsel van maten en gewigten. Regel van drieën. Gronden en uitgebreidheid. Opmerkingen

H. Scheepstra & W. Walstra (1897/1900 2e herzien). Beknopte geschiedenis van de opvoeding en het onderwijs, vooral in Nederland. (punt D van het programma voor de hoofdakte). Wolters . 388 blz linnen

• Hoofdstuk VII: Rekenen. 185-220

J. Koonings (1890/1908 11e). De school. Practische paedagogiek ten dienste van onderwijzers. Zutphen: W. J. Thieme & Cie scans 4e en 6e druk

Het rekenen p. 196-229. In de zesde druk die online staat: Het rekenen p. 156-176

• Koonings behandelt kort de beschikbare handleidingen en rekenboekjes
  • de rekenboeken (1e: 1876) van J. Versluys; de handleidingen van J. Versluys (5 delen) (1e: 1875)
  • Boeser rekenboekjes (1e: 1850)
  • Wisseling: De rekenschool
  • Woltering van v. d. Grinen: De ekenboeken voor de volksschool
  • Boswijk en Zijlstra: Het rekenen in de lagere school; ook: Rekenonderwijs.
  • Bottema: De practische rekenschool
  • Van Pelt:De nieuwe ekencursus
  • Scholte Hoeveel en waarom
  • Boosman en Bos: Nieuwe rekenschool
  • Rosier en De Vries: Praktisch rekenonderwijs
  • Schoonbrood
  • Pluim
  • Spaan
  • Voor de verdere studie der methodiek van het rekenonderwijs wordt den onderwijzer bijzonder aanbevolen: Het rekenonderwijs in de lagere school. Een methodische schets ten dienste van kweekelingen en jonge onderwijzers, door Zijlstra en de vroeger genoemde handleiding van Moll, die zich niet tot grepen uit het rekenonderwijs bepaalt, maar meer een volledig overzicht geeft, ook van de behandeling van het metriek stelsel [p. 225]
  Tevens moet enige vaardigheid worden verkregen in het oplossen van eenvoudige vraagstukken, die in het werkelijke leven voorkomen.

  Zoowel over den leergang

  p. 197-8

Bernhard Overberg (1825 6e) Anweisung zum zweckmässigen Schulunterricht für die Schullehrer im Fürstenthum Münster. Münster: Aschenforff'sche Buchhandlung, Een scan van 1844 (8e): archive.org

Vom Rechnen 498-592 (in my own book, the 6th edition of 1825).

• • Warum soll die Landjugend das Rechnen lernen?
  • Erinnerungen über die Methode, das Rechnen zu lehren
  • Zum Rechnen in ganzen Zahlen [Zählen - Uebung in den 4 Species im Kopfe - Numeriren - Uebnung in den 4 Species an der Tafel]
  • Von den Brücken [Begriff, Zeichnung - Die 4 Species in Brücken - Regel de Tri in Brücken]
  • Anwendung der Rechenkunst

Alexander Karp, Fulvia Furinghetti (2016). History of mathematics teaching and learning. Achievements, problems, prospects. Springer. open access

James K. Bidwell (Ed.) (1970). Readings in the History of Mathematics Education. National Council of Teachers of Mathematics. lccc 74-113172

• This book was prepared as a complementary and a companion volume to the 32nd Yearbook of the National Council of Teachers of Mathematics. It offers a view of the evolution of mathematics education in the public schools in the United States, grades K-12. Major committee and commission reports describing existing conditions and recommendations for improvement are included. The most notable among these reports is "The Reorganization of Mathematics in Secondary Education", known as "The 1923 Report". Modern developments in mathematics education are de-emphasized in favor of sources that are less likely to be currently available. Also, less-well known sources are included in an attempt to illustrate the methods of teaching mathematics used during various periods. The inclusion of materials such as photographic reproductions of parts of reports, biographical sketches, and editorial comments offer the reader an historical perspective which would otherwise not be possible. (FL)
• • William Slocomb: The Americn calculator (1831) 3-12
  • Warren Colburn: First lessons in arithmetic (1825) 14-23
  • Charles Davies: The logic and utility of mathematics (1850) 39-61 [book: archive.org; University arithmetic (1870) 62-68
  • Edward Brooks: The philosophy of arithmetic (1880) 70-75; Mental science and methods of mental culture (1883) 76-90
  • Wentworth [Mathematical Series]: How to teach number (1885) 93-99
  • William James: The principles of psychology (1890) 118-125
  • James McLellan & John Dewey: The psychology of number (1895) 152-162
  • James McLellan & A. F. Ames: The public school arithmetic for grammar grades (1902) 164-167
  • William W. Speer: Primary arithmetic (1897) 169-188
  • National Education Association: Report of Committee on College-Entrance Requirements (1899) 189-194
  • David Eugene Smith: The teaching of elementary mathematics (1900) 211-219
  • John Perry: Discussion on the teaching of mathematics (1901) 220-245
  • J. W. A. Young: The teaching of mathematics in the elementary and the secondary school (1906) 274-278
  • International Commission on the teaching of Mathematics: Mathematics in the elementary schools of the United States (1911) 280-327; Mathematics in the public and private secondary schools of the Unitesd States(1911) 328-359
  • National Education Association: The problem of mathematics in secondary education (1920) 363-381
  • Mathematical Association pf America: The reorgsanization of mathematics in secondary education 382-459
  • Edward L. Thorndike: The psychology of arithmetic (1924) 461-477 https://archive.org/details/psychologyofarit00thoruoft
  • William A. Brownell: Psychological considerations in the learning and the teaching of arithmetic (1935) 504-529
  • Progressive Education Association: Mathematics in general education (1938) 534-566
  • Mathematical Association of America and National Council of Teachers of Mathematics: The place of mathematics in secondary education (1940) 586-617
  • National Council of Teachers of Mathematics: The second report of the Commission on Post-War Plans (1945) 618-654

Philip S. Jones (Ed.) (1970). A History of Mathematics Education in the United States and Canada. Thirty-second Yearbook.  National Council of Teachers of Mathematics. lccc 71-105864   review: review

H. B. Griffiths & A. G. Howson (1974). Mathematics: Society and curricula. Cambridge University Press. isbn 0521098920 met manuscript van bespreking door Sieb Kemme

Quite interesting.

• Ch. 19 Appllied mathematics

  • Why teach applications of mathematics
  • The field of applications: criteria for selection
  • models: some examples
  • A choice of models
  • Teaching applications of mathematics: primary schools
  • Teaching applications of mathematics: secondary schools
  • Mathematical physics
  • Approximation, idealisation and structural stability
  • Needs and criticisms
• https://eprints.soton.ac.uk/63455/1/Jones%252BRowland_Brian_Griffiths_tribute_math_ed_2008.pdf
  from this obituary: In 1968 another significant development in the field of mathematics education took place – the journal Educational Studies in Mathematics (ESM) was founded by the then president of the International Commission on Mathematical Instruction (ICMI), Hans Freudenthal (see Hanna and Sidoli, 2002). Brian was a member of the founding editorial board, serving from 1968-78. As well as having an article in the very first issue of ESM (see Griffiths, 1968), Brian was a regular contributor. He proposed ideas about the need for mathematics curricula to value and develop mathematical insight (Griffiths, 1971; 1978), arguing that while it is intuition that allows us to see that something may be (or is), it is insight that allows us to see why it is so. Later, in a major funded project, Brian reported on a study of university-level examinations in mathematics (Griffiths and McLone, 1984a; 1984b). Of Brian’s contributions to mathematics education, the most profound grew from an undergraduate course in mathematics curriculum studies taught and developed by Brian, together with Geoffrey Howson, beginning in 1966. The resulting book (Griffiths and Howson, 1974) remains a key moment in mathematics education, cementing, as the authors state on the first page, the new discipline of mathematics education and the new specialist mathematics educator. The book, as the authors say, is “an attempt to establish an intellectual framework for mathematics education, which we view as a subject sufficiently specialised in its own right to be distinct from other disciplines” (p340). This is achieved through setting out the relationship between four factors – “the nature of society, the nature of its children, the nature of its teachers, and the nature of mathematics” (p1). Brian continued to work on these themes in his later writing (see, for example, Griffiths 1998; 1999).

Fred Goffree, Martinus van Hoorn en Bert Zwaneveld (Red.) (2000). Honderd jaar wiskundeonderwijs. Een jubileumboek. Leusden: Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren. isbn 9001659586 Jan van de Craats bespreekt het: pdf

• Interessante bijdragen:
  ul>
• Klaske Blom: Van de acten van bekwaamheid 89-104
• Fred Goffree: Wiskundeleraren over hun didactiek 105-120
• Harm Jan Smid: Wiskundeonderwijs op bijna vergeten scholen. Wiskunde op de (m)ulo 121-138
• Henk Schuring: Examens door de jaren heen 139-148
• Jan van Maanen: Het Nederlandse wiskundeonderwijs en de geschiedenis van de wiskunde 181-192
• Ed de Moor: Didactische pioniers. De Wiskunde Werkgroep 1936-1974 193-206
• Wim Groen: Honderd jaar leerplanwijzigingen 223-238
• Gert Groenendijk: Beroepsonderwijs en wiskunde. Wiskundeonderwijs op ambachtsscholen en in ander nijverheidsonderwijs 259-270
• Henk Schuring: Examens door de jaren heen 2 315-324
• Wijdeveld, Verhage & Schoemaker: Van CMLW tot Freudenthal Instituut 355-374

<

Ed de Moor (2009). Zonder verleden geen toekomst. p. 85-100 in M. van Zanten (red.) (2009). Leren van evalueren - de lerende in beeld bij reken-wiskundeonderwijs - Verslag van de 27ste Panama-conferentie gehouden op 21, 22 & 23 januari 2009 te Noordwijkerhout. Fisme. isbn 9789074684330

A. J. E. M. Smeur (1960). De zestiende-eeuwse Nederlandse rekenboeken. 's-Gravenhage: Nijhoff.

Danny Beckers (februari 2015). Getuigen: Rekenstaafjes. Euclides 6-7

Jenneke Krüger (november 2015). Onderwijs voor de toekomst. Kijk eens achterom. Euclides, 91 , 4-6

Danny Beckers (december 2015). Getuigen: Rekenhulpmiddelen. Euclides, 91 29-30

Marjolein Kool (september 1998). Waarom kort als het ook lang kan? Wiskundige notaties in zestiende-eeuwse rekenboeken. Nieuwe Wiskrant, 18, 5-9. pdf

Beckers, D. (1996). Meetkunde-onderwijs in achttiende-eeuws Nederland 3 18 pdf

Jenneke Krüger, Jan Guichelaar, Harm Jan Smid (2018). Verspreiding van wiskundige kennis. Nieuw Archief Wiskunde pdf

  http://www.benwilbrink.nl/projecten/hist_rekendidactiek.htm http://goo.gl/ipKhk