http://www.benwilbrink.nl/projecten/hoofdrekenen.htm
Onder hoofdrekenen wordt niet altijd hetzelfde verstaan. Het is dus opletten wat bepaalde auteurs precies bedoelen met hoofdrekenen. Zo heeft er bijvoorbeeld binnen de Freudenthal-groep een verschuiving in de betekenis van hoofdrekenen plaatsgevonden: tegenwoordig is dat rekenen waarbij ook schriftelijke aantekeningen gemaakt kunnen worden. Verdere betekenisverschuiving ligt in het verschiet, nu uit analyses van de PPON 2004 is gebleken dat leerlingen al gauw geneigd zijn opgaven uit het hoofd te doen waardoor ze heel veel fouten maken die ze niet zouden maken bij een gewone schriftelijke uitwerking.
Als buitenstaander/nieuwkomer in het rekenveld ben ik verbaasd over de vanzelfsprekendheid waarmee er over dat hoofdrekenen wordt geschreven. In de hoek van de Freudenthal-groep vooral losgezongen van empirisch onderzoek. In Leuven (Verschaffel en anderen) hopelijk juist wel met volop aandacht voor theoretisch onderbouwd empirisch toetsend onderzoek.
In januari (2012) heeft het Cito gerapporteerd over de PPON 2010 voor leerlingen in groep 4 en 5 (klopt dat?), met een speciaal onderzoek naar hoofdrekenen. Naar aanleiding daarvan zijn er bij mij een hoop vragen gerezen, die ik heb geformuleerd op het forum van BON: zie hier, mijn reacties op de blog van Wiskundejuf..
Fred Goffree (1982/1994). Wiskunde & didactiek 1. Wolters-Noordhoff.
In de didactiek van Fred Goffree is er natuurlijk uitgebreid aandacht voor. Al bladerend in dat boek (deel 1) begint het bij mij te dagen dat het wel eens zo zou kunnen zijn dat in de realistische rekendidactiek er een enorme nadruk op dat hoofdrekenen wordt gelegd, en wel VOORDAT de gewone rekenalgoritmen zijn behandeld en beheerst. Klopt die indruk? Wordt dat hoofdrekenen (een en al handig rekenen bovendien) gebruikt als voorbereiding op het gewonen rekenen? Is dat niet alleen bij de realisten zo?
Ofwel: is er goede reden voor de volgende stelling:
Ik ben benieuwd of ik aanwijzingen kan vinden voor de onjuistheid van de stelling. En wat de argumenten van rekendidactici zijn.
Van Mulken (1992, p. 38) geeft een eerste aanwijzing: wat bij het hoofdrekenen is geleerd, wordt zelden benut bij het algoritmisch rekenen (hij noemt dat cijferen). Kennelijk is inderdaad de dominante volgorde: eerst leren hoofdrekenen, daarna pas algoritmisch rekenen. Als er dan ook nog geen didactische brug tussen die twee wordt gelegd, waar zijn we dan in het rekenonderwijs mee bezig?
Ik begin te vermoeden dat ik voor nog veel meer verrassingen kom te staan.
Ik moet de terminologie helder krijgen. Een eerste poging gaat als volgt:
P. Pauli, L. E. Bourne, Jr., & N. Birbaumer (1998). Extensive practice in mental arithmetic and practice transfer over a ten-month retention interval. Mathematical Cognition, 4, 21-46. pdf
dat ‘unit of knowing’ intrigeert me: ik heb zoiets in abstracte vorm gebruikt voor mijn primitieve tentamenmodel met inzicht-parameter (1998).
John R. Anderson (1978). Arguments concerning representations for mental imagery. Psychological Review, 85, 249-277. pdf dupliek Werk van Campbell kom ik nog wel tegen, o.a. in 1995 in Mathematical Cognition. Ryle staat in de boekenkast, maar ik ken het natuurlijk al lang niet meer. Zou daar die unit of knowing in voorkomen?
Ik kijk even snel welke publicaties teruggrijpen op Pauli, Bourne & Nirbaumer (1998):
Tom Verguts & Wim Fias (2005). Interacting neighbors: A connectionist model of retrieval in single-digit multiplication. Memory & Cognition, 33, 1-16. abstract
De auteurs zoeken een model dat de bekende empirische data kan verklaren.
Loel N. Tronsky (2005). Strategy use, the development of automaticity, and working memory involvement in complex multiplication. Memory & Cognition, 33, 927-940. abstract
Complex vermenigvuldigen is bv. 3 × 18, dus dat is ongeveer wat in het realistisch hoofdrekenen is. Dit onderzoek zou kunnen verhelderen hoe dat nu zit met belasting van het werkgeheugen en het geautomatiseerd hebben van rekenfeiten.
G. Morgan onderhoudt een webpagina met literatuur over mental computation, maar heeft dat de laatste jaren niet meer geupdate. Afijn, tot 2009 is dit dan toch wel handig. Ik moet de lijst met 444 publicaties eens een keer doornemen, op verrassende items. Ik verwacht er overigens niet veel van: een handvol hits misschien. Marian Hickendorff wordt genoemd, dat is leuk, maar die kennen we al.
SLO: De kerndoelen basisonderwijs, rekenen/wiskunde webpagina
SLO: Kerndoel 29, handig rekenen, leerlijn webpagina
De leerlingen leren handig optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.
Dit ‘handig’ rekenen is een uitwas van het hoofdrekenen, dat op zich al een veel centraler plaats in de realistische rekendidactiek heeft gekregen dan het in de conventionele rekendidactiek hefet. Bij die laatste is het hoofdrekenen een tussenfase in de lagere groepen, in de realistische rekendidactiek is het een einddoel van het rekenonderwijs, zoals het helaas ook in de kerndoelen basisonderwijs is terechtgekomen.
SLO: Kerndoel 27, leerlijn webpagina
De leerlingen leren de basisbewerkingen met gehele getallen in elk geval tot 100 snel uit het hoofd uitvoeren, waarbij optellen en aftrekken tot 20 en de tafels van buiten gekend zijn..
Maar dat is nog niet het hele verhaal: iemand heeft bedacht dat ‘schattend’ rekenen eveneens belangrijk genoeg is om als kerndoel voor het basisonderwijs te kunnen gelden. Natuurlijk, schattend rekenen is niet onbelangrijk: leerlingen doen er verstandig aan om het te gebruiken om de uitkomsten van hun rekenwerk van een eerste toets te voorzien. Maar waarom een zelfstandig kerndoel?
SLO: Kerndoel 28, leerlijn webpagina
De leerlingen leren schattend tellen en rekenen.
De Wet op de referentieniveaus taal en rekenen heeft de werkstukken van de commissie-Meijerink op in ieder geval niet door de commissie-Meijerink voorziene wijze tot wet gebombaardeerd, met alle details en trivialiteiten. Destijds minister van onderwijs Rouvoet heeft in de Tweede Kamer vastgelegd dat deze referentieniveaus opgevat moeten wworden als een nadere uitwerking van de kerndoelen basisonderwijs, niet als iets dat naast die kerndoelen een eigenstandige betekenis heeft.
Frans van Mulken (1992). Hoofdrekenen en strategisch handelen. Het gevarieerd gebruik van twee grondvormen van optellen en aftrekken tot honderd. Proefschrift Universiteit Leiden. Zie ook hier, en op de pagina optellen.htm.
M. Beishuizen, C. M. van Putten & F. van Mulken (1997). Mental arithmetic and strategy use with indirect number problems up to one hundred. Learning and Instruction, 7, 87-106. abstract
“The article is based on the doctoral thesis of Van Mulken (1992), and an EARLI paper on the same subject by Beishuizen, Van Mulken and Van Putten (1993).”
abstract Until recently mental arithmetic with two-digit numbers up to 100 has been a rather unexplored topic in research. Not only the units but even more the tens play a central role in this number domain, which results in two different computation procedures both widely in use: (1) decomposition or splitting off the tens and units in both numbers (1010), and (2) counting by tens up or down from the first unsplit number (N10). The purpose of this study is an exploration of these two different procedures, when used at a higher level of strategic problem solving. Third-graders were selected as consistent users of either 1010 or N10 procedures, and they were confronted with indirect number problems of the type 27 + . . . = 65. To achieve correct solutions one needs to engage in adaptation of computation procedure or in strategy change. In this context, five aspects of numerical restructuring and transformation could be discriminated. Results revealed two types of flexibility in strategy use: flexibility between strategies, especially strategy change from 1010 to N10, and b) flexibility within strategies, especially numerical adaptation within N10.
Ik stipte al even aan dat uit de PPON 2004 is gebleken dat de beheersing van basale vaardigheden dramatisch is gedaald vergeleken met eerdere afnamen. Mogelijk speelt hier een belangrijke rol dat in het realistisch rekenonderwijs het rekenen zelf niet meer als belangrijk wordt beschouwd — dat doe je met je rekenmachine — en de aandacht is verlegd naar hoofdrekenen, handig rekenen, schattend rekenen, en en je eigen individuele rekenmethoden ontdekken en gebruiken. Het kan bijna niet anders, of leerlingen lezen in dit rekenonderwijs de boodschap dat het vlot en nauwkeurig kunnen rekenen er in deze wereld eigenlijk niet toe doet. Ik zou graag eens onderzoek zien waaruit de juistheid van dit vermoeden kan blijken. Het gaat om de attitude van de leerlingen egenover het rekenen. Als er geen onderzoek onder leerlingen bekend is, dan is onderzoek onder leerkrachten natuurlijk ook prima om mijn vermoeden onderuit te halen, of niet. Leerkrachten laten zich in woord en gschrift uit over het rekenonderwijs, en ik ben daar al vele uitlatingen tegengekomen die erop wijze dat niet alle leerkrachten nog begrijpen wat het is om te kunnen rekenen. Dat kan nog interessant worden.
M. K. van der Heijden (1993). Consistentie van aanpakgedrag. Een procesdiagnostisch onderzoek naar acht aspecten van hoofdrekenen. ProefschriftLeiden. Handelseditie: Swets & Zeitlinger. pdf van Voorwoord - Inhoud - Samenvatting - 8.Discussie en conclusies - 9.Epiloog, pdf summary
Zie ook promotieonderzoek.htm#Heijden, en handig_rekenen.htm#Heijden.
P. Woestenenk (1973/1976). Rekenen/wiskunde op de basisschool. Tjeenk Willink/Noorduijn.
Over hoofdrekenen met getallen tot 100 is Woestenenk kort: blz. 33-35.
De optellingen en aftrekkingen beneden 100 zijn behoorlijk onder de knie te krijgen als diezelfde bewerkingen er goed in zitten voor het getallenbereik van 1 tot 20.
Woestenenk vertrouwt hier zijn eigen nuchterheid niet, en gaat het alsnog ietsje ingewikkeld maken.
Nu riekt deze aanpak sterk naar de metoden die we bij het cijferend optellen en atrekken (met ‘onthouden’ en ‘lenen’) toepassen. We draven daar rechtsstreeks op af. Maar eenzijdig is het wel. En idere eenvormige, eksklusieve aanpak van een probleem werkt die starheid in de hand, die fnuikend is voor het inzicht. We haasten ons dus nog een andere aanpak voor te stellen, met name voor die z.g. moeilijke gevallen.
Wat is toch met die bezweringsformules over starheid en inzicht? Woestenenk roept hier wat. Dat deed hij twee bladzijden ervoor ook al, in de slotalinea van par. ‘aftrekken over de 10 heen’:
Wij pennen onze leerlingen zo licht vast op die ene aanpak die we zelf (dikwijls kritiekloos) hanteren. Dat werkt er dan toe mee, het rekenonderwijs die starheid, dat robotkarakter te geven, dat iedere verdere ontwikkeling in de weg zit, alle interesse doodt, en geen ruimte laat voor experiment en kreativiteit.
Hier krijgt de ontboezeming dus voorrang op de nuchtere analyse. Over die creativiteit valt meer te zeggen, maar een voorwaarde voor creativiteit is toch een zekere beheersing van de stof: wie het omdraait, is niet professioneel didactisch bezig.
L. Bouwman (1871). Het rekenen uit het hoofd in de lagere school. De Schoolbode. Tijdschrift voor Onderwijs en Opvoeding, 308-320. Voor een annotatie zie hist_rekendidactiek.htm.
Carol Murphy (2011): Comparing the use of the empty number line in England and the Netherlands, British Educational Research Journal, 37:1, 147-161 abstract
A. W. Bouman (2011). Hoofdrekenen. Euclides, 87 #2, 63-64.
De kruismethode is een oude Indische methode om uit het hoofd te vermenigvuldigen. Bouman doet 58 × 93. De eenheden is simpel: 3 × 8, 4 opschrijven, 2 onthouden. De tientallen: vermenigvuldigen met de eenheden, dus 8 × 9 + 3 × 5 + 2 (onthouden) levert op 9 opschrijven, acht onthouden. Tenslotte de tientallen met de tientallen vermenigvuldigen: 5 × 9 + 8 (onthouden): opschrijven 53. Oké. Mooi algoritme. 789 × 456 is wat ingewikkelder :-), zie het schema blz. 64. Maar goed, het gaat er niet om dat leerlingen dit soort gevorderd hoofdrekenen zouden moeten leren.
Ineke Imbo & Jo-Anne LeFevre (2010). The role of phonological and visual working memory in complex arithmetic for Chinese- and Canadian-educated adults. Memory & Cognition, 38, 176-185. pdf
Bij Van Gelder (1969) heeft hoofdrekenen een andere betekenis dan later bij Treffers en De Moor (1990). Opvallend is wel dat Van Gelder zomaar de bron zou kunnen zijn van een aantal kroonjuwelen/drogredenen van de Freudenthal-groep, wat de tegenstelling hoofdrekenen - cijferen betreft (blz. 73-75 ‘Cijferen en hoofdrekenen’). Maar eerst de volgende referentie van Van Gelder, naar een boekje dat ik niet bezit en waarschijnlijk niet kan lenen (de KB heeft het niet). Het is van lokaal (Arnhems) belang, en inderdaad was de overgang van lager naar middelbaar onderwijs in die tijd een ongeregelde bende waarin heel wat geadviseerd, getoetst, getest, en geproefklast werd, naar lokale regels.
aantekening 30, blz. 146. Tweehonderd voorbeelden van hoofdrekenopgaven voor het toelatingsexamen voor het v.h.m.o. vindt men in: Gids voor de Toelating tot gymnasium, H.B.S. en Lyceum, samengesteld door een Arnhemse commissie van Onderwijzers en Leraren bij het Openbaar en Bijzonder Onderwijs, Groningen, 1956.
http://www.benwilbrink.nl/projecten/hoofdrekenen.htm