http://www.benwilbrink.nl/projecten/optellen.htm
http://goo.gl/rgGv8
Optellen lijkt het begin van alle rekenen, maar dat is niet zo. Het verwerven van een juist getalbegrip gaat er tenminste deels aan vooraf.
Waar het mij om gaat: empirisch onderzoek dat relevant is voor dit deel van het rekenonderwijs: optellen. Omdat in veel onderzoek optellen zowel als aftrekken aan de orde is, dus ook veel aftrekken op deze pagina, terwijl specifiek op aftrekken gericht onderzoek aan de orde is op aftrekken.htm.
Daarnaast is het van belang een goed overzicht te krijgen van wat er door diverse stakeholders over deze basale vaardigheden wordt gedacht en beweerd (zie Van Mulken, 1992, voor dat overzicht).
Joke Torbeyns, Lieven Verschaffel & Pol Ghesquière (2004). Efficiency and adaptiveness of multiple school-taught strategies in the domain of simple addition. Proceedings of the 28th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, vol 4 pp 321–328. [pdf download van https://www.researchgate.net/ ]
O. Zur & Rochel Gelman (2004). Young children can add and substract by predicting and checking. Early Childhood Quarterly Review, 19, 121-137. pdf
Anke W. Blöte, Eeke Van der Burg & Anton S. Klein (2001). Students' Flexibility in Solving Two-Digit Addition and Subtraction Problems: Instruction Effects. Journal of Educational Psychology, 93, 627-638. abstract
Dit Nederlandse onderzoekje vergelijkt een conventionele methodiek met een realistische. De resultaten zijn gunstiger, althans op de criteria die deze onderzoekers aanleggen, voor de realistische methode. Marian Hickendorff heeft voor de commissie-Lenstra het onderzoek besproken, en geeft er de volgende samenvatting van
“De effecten op het gebied van prestaties waren verwaarloosbaar tot klein in het voordeel van het RPD voor de gehele groep leerlingen. De zwakke rekenaars hadden een klein tot groot voordeel bij het RPD, bij de sterke rekenaars liep dit uiteen van een matig voordeel voor het RPD tot een licht nadeel voor het RPD. Het RPD leidde ook tot meer flexibel strategiegebruik dan het GPD en tot verwaarloosbare tot iets betere effecten op affectief en motivationeel gebied, zowel bij sterke als bij zwakke rekenaars.”
Het onderzoek staat niet op zichzelf, maar past kennelijk binnen het Leidse onderzoekprogramma. De literatuurlijst noemt:
Michel Fayol & Catherine Thevenot (2012). The use of procedural knowledge in simple addition and subtraction problems. Cognition, 123, 392-403. abstract
uit het abstract
Ineke Imbo & Jo-Anne LeFevre (2009). Cultural differences in complex addition: Efficient Chinese versus adaptive Belgians and Canadians. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 35, 1465-1476. abstract en pdf
Valerie J. Henry & Richard S. Brown (2008). First-grade basic facts: An investigation into teaching and learning of an accelerated high-demand memorization standard. Journal for Research in Mathematics Education, 39, 153-183. abstract
Thomas P. Carpenter & James M. Moser: The acquisition of addition and subtraction concepts. In Richard Lesh & Marsha Landau (Eds.) (1983). Acquisition of Mathematics Concepts and Processes. Academic Press. 7-44.
“The purpose of this chapter is to review recent developments in research on young children’s acquisition of basic addition and subtraction concepts and skills. In order to provide a context for this analysis and to demonstrate how the current research extends earlier work, some background is needed.”
Dit lijkt me een heel goed overzicht van de stand van zaken in het onderzoek anno 1983, inclusief de voorgaande ontwikkelingen. In de discussie geven de auteurs uitvoerig op welke gebieden het huidige onderzoek nog weinig tot niets heeft te vertellen. Ik maak een scan.
Arthur J. Baroody & Sirpa H. Tiilikainen (2003). Two perspectives on addition development. In Arthur J. Baroody & Ann Dowker (Eds.) (2003). The development of arithmetic concepts and skills (75-125). Erlbaum.
Karen C. Fuson & Birch H. Burghardt (2003). Multidigit addition and subtraction methods invented in small groups and teacher support of problem solving and reflection. In Arthur J. Baroody & Ann Dowker (Eds.) (2003). The development of arithmetic concepts and skills (267-304). Erlbaum.
Richard Cowan (2003). Does it all add up? Changes in children’s knowledge of addition combinations, strategies, and principles. In Arthur J. Baroody & Ann Dowker (Eds.) (2003). The development of arithmetic concepts and skills (35-74). Erlbaum.
Richard Cowan, Chris Donlan, Donna-Lynn Shepherd, Rachel Cole-Fletcher, Matthew Saxton & Jane Hurry (2011 in press). Basic Calculation Proficiency and Mathematics Achievement in Elementary School Children. Journal of Educational Psychology. abstract, persbericht
[vertaald:]
[Baroody] merkt op dat het gaat om drie onderscheiden ontwikkelingsfasen. Eerst doen ze de elementaire rekenopgaven door te tellen en met de vingers. In de tweede fase gebruiken ze rekenkundige principes en kennis van andere combinaties, zoals het berekenen van 12 – 6 door gebruik te maken van het inzicht dat aftrekken het omgekeerde is van optellen en kennis van het relevante optelfeit dat 6 + 6 = 12. De verzameling van strategieën genaamd ontleding [decomposition] zijn berekeningen waarbij principes, verwante feiten of het ontleden van getallen in samenstellende delen een rol spelen. Tenslotte is het kind in staat het antwoord gewoon op te halen ( . . . ).
De verwijzing naar Askew, en naar Reys c.s. Het eerste, evenals het tweede,is een boek voor leerkrachten, dus geen primaire onderzoekbron. Vergeet het. Cowan c.s. noemen dit kennelijk als voorbeelden van de opvatting. Ik vind dat wel irritant, moet ik zeggen. Beter zou zijn geweest wanneer Cowan c.s. gewoon hadden opgeschreven dat het gaat om opvattingen van enkele tekstboekschrijvers., maar dan nog: wat moet de lezer met deze informatie? Cowan c.s. richten hier een pseudo-classificatie op. Nee, dan is beter om alleen te weten dat The English National Curriculum deze gebruikelijke opvatting volgt. Zie de tekst van Cowan c.s.
Since the introduction of the National Curriculum, England has made the greatest advance in math achievement by fourth grade pupils of any country sampled by the Trends in International Mathematics and Science Study (TIMSS; Mullis, Martin, & Foy, 2009). [fourth grade in Engeland: groep vier, als ik het goed begrijp]
Hilary Barth, Kristen La Mont, Jennifer Lipton, Stanislas Dehaene, Nancy Kanwisher, Elizabeth Spelke (2006). Non-symbolic arithmetic in adults and young children. Cognition, 98, 199-222. abstract
Joke Torbeyns, Lieven Verschaffel & Pol Ghesquière (2006). The development of children’s adaptive expertise in the number domain 20 to 100. Cognition and Instruction, 24, 439-465. abstract
Bert De Smedt, Joke Torbeyns, Nick Stassens, Pol Ghesquière & Lieven Verschaffel (2010). Frequency, efficiency and flexibility of indirect addition in two learning environments. Learning and Instruction, 20, 205-215. abstract
Joke Torbeyns & Lieven Verschaffel (ORD 2011). Cijferen of hoofdrekenen? Strategiekeuzen van Vlaamse leerlingen bij het optellen en aftrekken tot 1000. Een samenvatting is opgenomen in het congresboek, p. 124-125: www.ord2011.nl= pdf (bijna 600 blz!)
Concluderend kan worden gezegd dat Vlaamse leerlingen, na één jaar intensieve oefening van de cijferalgoritmen, deze zeer frequent en ook verrassend efficiënt en flexibel toepassen. Deze onverwachte resultaten kunnen vermoedelijk worden verklaard door de sterke focus op de cijferalgoritmen vanaf het derde leerjaar en de daarmee gepaard gaande daling in aandacht voor hoofdrekenen en flexibel strategiegebruik. Deze resultaten moeten worden gerepliceerd in toekomstig onderzoek, en kunnen nieuw licht werpen op de actuele discussies over de plaats van cijferen in reken/wiskundecurricula.
Het is een onderzoekje van niks, als je kijkt naar de omvang ervan (een handvol leerlingen, een handvol opgaven), maar het was genoeg om tot verrassende resultaten te kunnen leiden, en verrassenderwijs deed het dat ook. De resultaten gaan in tegen de rekenromantiek van de Freudenthal-groep en verwante vernieuwers. Een inspiratie voor meer empirisch toetsend onderzoek op de lievelingsideeën van het realistisch rekenen. Let op: het gaat hier om Vlaamse leerlingen, niet onderworpen aan de realistische overkill van handig rekenen en hoofdrekenen. Maar ja, het MORE-onderzoek (Gravemeijer en anderen) heeft laten zien dat de Vlaamse resultaten bij een Nederlandse leerlinggroep wel eens versterkt terug zouden kunnen komen. Ik ben benieuwd.
Catherine Sophian (2007). The origins of mathematical knowledge in childhood. Lawrence Erlbaum.
Chapter 5: Relations among quantities in arithmetic: Additive and multiplicative reasoning. pp. 84-105.
Frans van Mulken (1992). Hoofdrekenen en strategisch handelen. Het gevarieerd gebruik van twee grondvormen van optellen en aftrekken tot honderd. Proefschrift Universiteit Leiden.
Het gaat hier om basisvaardigheden van het rekenen, zoals Van Mulken ook zegt (p. 16). Als vakdidactici voor dit gebied noemt hij slechts Treffers (1991) ‘Hoofdrekenen toen en nu’ en Woestenenk (1973) ‘Reken/wiskunde op de basisschool’ (zie hier). Waarom? Onderwijspsychologen zouden dit onderwerp nog maar recent hebben ontdekt (nog steeds blz. 16), en dan noemt hij: Fuson (1990); Resnick (1983); Steffe, Cobbe & Von Glasersfeld (1988). Van Mulken vindt dus nauwelijks enige literatuur waarmee een theoretisch kader is te omlijnen, althans specifiek voor hoofdrekenen (tot 100).
Het gaat in dit onderzoek om twee vormen van ‘gestileerd’ hoofdrekenen: de splitsmethode en de sprongmethode. Opmerkelijk is dat in de rekendidactiek eigenlijk alleen de sprongmethode voorkomt, terwijl de splitsmethode vaak spontaan wordt gebruikt door leerlingen.
L. B. Resnick (1983). A developmental theory of number understanding. In H. P. Ginsburg: The development of mathematical thinking. Academic Press.
Karen C. Fuson (1990). Conceptual Structures for Multiunit Numbers: Implications for Learning and Teaching Multidigit Addition, Subtraction, and Place Value. Cognition and Instruction,7, 343-403.
Julie Sarama & Douglas H. Clements (2009). Early Childhood Mathematics Education Research. Learning Trajectories for Young Children. Routledeg.
Mirte S. van Galen & Pieter Reitsma (2010). Learning basic facts from choosing between alternative answers. Learning and Instruction, 20, 47-60. abstract
Katherine H. Canobi & Narelle E. Bethune (2008). Number words in young children’s conceptual and procedural knowledge of addition, subtraction and inversion. Cognition, 108, 675-686. abstract
T. P. Carpenter, J. M. Moser & T. A. Romberg (Eds) (1982). Addition and subtraction: A cognitive perspective. Erlbaum.
Vicente Bermejo & Juan José Díaz (2007). The Spanish Journal of Psychology, 10, 285-293. pdf
( . . . )
Considering the numerical level, the question about the starting point to teach addition and subtraction is frequently posed: Should learning addition and subtraction start with the algorithm (numbers and symbolic operation) or with concrete representations? This question is not a confrontation of the concrete versus the abstract, but an epistemological question. Cai (2000) examined 232 American children and 310 Chinese children from sixth grade in solving mathematical tasks with algorithm and concrete and visual material. The results indicated that the Chinese participants preferred to use algorithms and symbolic representations, whereas the American students chose concrete, visual representations. Likewise, Selva and Brandao (2000) investigated children from 4 to 6 years of age about how they used written numbers to solve verbal problems, finding, among other things, that the numbers help perform the calculus and represent the verbal problems to oneself.
Een interessant resultaat in de zijlijn, voor de ontwerper van rekenopgaven: “There were significant
differences in student’s mathematical achievement as a
function of the location of the unknown, with the problem
being easier when the unknown was located in the result.”; Dat ligtvoor de hand; als de onbekende in het begin staat, dan moet je altijd teruglezen om te kunnen oplossen. Ik weet nog niet of deze onderzoekers daar op ingaan.
Dolly van Eerde & Leonard Verhoef (1978). Analyse van het optellen en aftrekken op de basisschool. Pedagogische Studiën, 55, 354-367. deels (zonder literatuuropgaven) html
Kwantiwijzer (SVO 0327)
Willemsen 1994 blz. 1: “Zo stelden Van Eerde & Verhoef (1978) vast dat vrijwel alle leerlingen met rekenproblemen uit groep 3 en 4 tellen als oplossingsmethode gebruikten.”
Randolph M. Jones & Kurt VanLehn (1994). Acquisition of children’s addition strategies: A model of impasse-free, knowledge-level learning. Machine Learning, 16, 11-16. pdf
Michael W. Faust, Mark H. Ashcraft & David E. Fleck (1996). Mathematics anxiety effects in simple and complex addition. Mathematical Cognition, 2, 25-62. abstract
Michelle Stephan & Didem Akyuz (2012). A proposed instructional theory for integer addition and subtraction. Journal for Research in Mathematics Education, 43, 428-464. preview
Oppervlakkig gezien lijkt er met dit artikel (insteek: RME) ongeveer alles verkeerd te gaan wat naar verwachting bij een constructivistische opvatting van onderwijs en onderzoek verkeerd kan gaan. Het ‘experiment’ schendt waarschijnlijk ieder redelijk methodologisch voorschrift, en het theoretisch kader lijkt bijeengescharreld uit de radicaal-constructivistische literatuur. Als dit allemaal waar blijkt, dan hebben we hier een prototypische publicatie uit de school van het realistisch rekenen (RME in het Engelse taalgebied). Een sleutelpublicatie dus.
John R. Bergan, Clement A. Stone, and Jason K. Feld (1984). Rule Replacement in the Development of Basic Number Skills. Journal of Education Psychology, 76, 289-299. abstract
Dit is heel verrassend: leren gaat van eenvoudige abstracte regels (tellen altijd vanaf 1) naar meer complexe (verwijzing naar Bergan, Towstopiat, Gancelli, & Karp, 1982). Althans, dit is wat de auteurs hebben onderzocht. Wat Stellan Ohlsson dus ook benadrukt: niet van complex concreet naar eenvoudig abstract, maar dus precies omgekeerd. Dit moet een sleutelpublicatie zijn, dat kan bijna niet anders. Hoe is het met dit type onderzoek verder gegaan?
Arthur J. Baroody, Michael D. Eiland, David J. Puprpura & Erin E. Reid (2013). Can Computer-Assisted Discovery Learning Foster First Graders’ Fluency With the Most Basic Addition Combinations? American Educational Research Journal, June 2013, Vol. 50, No. 3, pp. 533–573. abstract
Catherine Thevenot, Pierre Barrouillet, Caroline Castel & Kim Uittenhove (2016). Ten-year-old children strategies in mental addition: A counting model account. Cognition, 146, 48-57. abstract & research.net
Kim Uittenhove, Catherine Thevenot, Pierre Barrouillet (2016). Fast automated counting procedures in addition problem solving: When are they used and why are they mistaken for retrieval? Cognition, 146, 289-303. abstract & research.net
Iro Xenidou-Dervou (2015). Setting the foundations for math achievement. Working memory, nonsymbolic and numerosity processing. Dissertation, Free University of Amsterdam. parts available online
J. C. van Bruggen (1975). Het leren en onderwijzen van vier rekenalgoritmen volgens het konsept van de progressieve schematisering. ORD 1975
constructivisme - realistisch rekenen - Wiskobas - zelf-ontdekkend leren - guided discovery learning
De grondstelling van onderwijskundige aard is nu, dat:
Kinderen de gelegenheid geven zelfstandig verdergaande schematiseringen te ontdekken. Dit gedrag is een operationalisering van de doelstelling leren schematiseren.
Robert S. Siegler (1997). Unities across domains in children's strategy choices. In Marion Perlmutter (Ed.) (1986). Perspectives on intellectual development. The Minnesota Symposia on Child Psychology (1-48). LEA. 0898597846
http://www.benwilbrink.nl/projecten/optellen.htm
http://goo.gl/rgGv8