Rekenproject: Rekenpublicaties in de (Nieuwe) Wiskrant

De redactie.

Hier is dan de eerste Wiskrant.

Een informatieblad over het werk van de mensen binnen het IOWO en hun medewerkers daarbuiten.
( .. )
Voor wie? Voor alle wiskundeleraren van het voortgezet onderwijs in Nederland.
Met welk doel? Begrip voor de tijd die met sommige ontwikkelingen gemoeid is.
Begrip voor ons werk en voor voor Uw onderwijs problemen.

#1 blz 1

In zijn publicatie “De kiekkas van Wiskobas” (wiskobasbulletin okt. 1975; leerplanpublicatie 1) heeft Adri Treffers een achttal kenmerken van wiskundeonderwijs geformuleerd. Tesamen geven deze een goed beeld van wat men binnen Wiskobas met wiskunde-onderwijs bedoelt.

Kenmerken van wiskunde onderwijs

De wiskunde is geen gesloten, geprefabriceerd systeem, dat binnen de wiskudnelessen van de leerlingen wordt overgedragen. Wiskunde is een proces, een activiteit, een gebeuren. Dit impliceert dat de wiskunde een echt doe-vak is. Dat activiteiten binnen een les een motiverende werking hebben, is pas in tweede instantie van belang.

De wiskundeproblemen moeten zodanig gekozen worden dat de leerling deze op gedifferentieerde wijze kan benaderen. Problemen moeten op een kwalitatief verschillend niveau oplosbaar zijn. Deze vorm van differentiatie hangt niet zozeer samen met de wijze waarop een probleem wordt aangeboden, als wel met de verwerkingsmogelijkheden.

Het wiskunde-onderwijs moet een duidelijke vertcale planning vertonen. Die punt is zeker niet “nieuw”, maar de onderzoekingen en opvattingen van Piaget, Bruner en Dienes hebben een nieuw licht geworpen op de mogelijkheden van zo’n verticale planning.

De leerlingen moeten gevoelig gemaakt worden voor het structuurkarakter van de wiskunde. Ze sporen regelmatigheden, patronen en verbanden op, ze leren dat bij twee ogenschijnlijk verschillende problemen een structurele overeenkomst bestaat.

Belangrijk uitgangspunt is verder het taalaspect. Langs een geleidelijk reductieproces komen de leerlingen tot een begrijpelijke, beknopte en exacte (wiskunde) taal.

De te leren wiskunde moet toepasbaar zijn. Dat betekent: bruikbaar in een verwante, niet-identieke situatie. Deze bruikbaarheid geldt niet alleen binnen het specifieke terrein van de wiskunde, maar strekt zich ook uit buiten dit gebied: de sociale wetenschappen, de fysica, enz. De wiskunde mag niet bestaan uit geisoleerde “stukjes” kennis.

De leerling moet aan den lijve ervaren dat wiskunde een dynamisch proces is. Bij het wiskunde-leren treden momenten op van analytisch denken, maar ook van een intuitief denken. De eerste benadering wordt gekenmerkt door strakheid, een duidelijke gerichtheid; analytisch denken verloopt ook geleideker en bewuster dan het intuitieve denken. Dit laatste verloopt meer sprongsgewijs.

Bij het onderwijs moet duidelijk worden wat de specifieke wiskundige benadering is. De leerlingen moeten de beschikking krijgen over middelen om een probleem dat iin feite buiten de wiskunde ligt, te “verwiskundigen”. te “matematiseren”, zodat het binnen deze wiskunde aangepakt kan worden. Ook dit acht men een wezenlijk aspect van wiskunde-onderwijs.

#2 blz 9

Binnen een school kan met de natuurlijke gedifferentieerdheid rekening worden gehouden door laten zittenblijven en door het vormen van meer homogene deelgroepen. Het kan ook geschieden door geïndividualiseerd onderwijs of door niveaugroepen binnen klasverband. Het zijn allemaal oplossingen waarbij men de natuurlijke gedifferentieerdheid als onderwijsstorend element behandelt en onschadelijk tracht te maken: de zwakke leerling is een blok aan het been van de knappe, de knappe leerling is een demotiverend voorbeeld voor de zwakke, dus laten we ze zo gauw mogelijk uit elkaar halen.

Men kan de natuurlijke gedifferentieerdheid echter ook positief trachten te benaderen. In de maatschappij en op het werk is de uiteenlopende geaardheid der mensen een positieve factyor, die we niet zouden willen missen. Zou de natuurlijke gedifferentieerdheid van de leerlingen niet ook als positieve factor in de afloop van de leerprocessen geëxploiteerd kunnen worden? Zou de heterogene leergroep niet mogelijkheden kunnen bieden die de homogene leergroep niet kent? ( .. ) Als ik van heterogene leergroepen spreek, dan denk ik aan kleine groepen van, zeg, vier leerlingen, door hun grootte geschikt voor intenre communicatuie en door hun klein aantal toegankelijk voor de observerende en bijsturende invloed van de leerkracht.
(..)
Het komt me voor dat juist de wiskunde een geschikt terrein voor de geïntegreerde heterogene leergroep is. Ik haal dit uit mijn opvattuingen omtrent het mathematisch leerproces, die ik vaker heb uiteengezet. Vigerende theoriën en practijken zien en bevorderen leerprocessen als continue aflopen. Daartegenover is het míj te doen om de discontinuïteiten in de leerprocessen, de sprongen, — Aha-Erlebnisse — welbekend aan ieder die ooit mathematische leerprocessen, vreemde of eigene, heeft geobserveerd.
( .. )
In een leergroep zal het veelal één zijn, die de sprong doet en daarbij de anderen meeneemt; ik heb echter ook collectief beleefde disconituïtoeten gezien. Aarzelen anderen de sprong mee te maken, dan begint voor hem, die het wel lukte, een typisch mathematische taak van hoog niveau: te begrijpen wat hij gedaan heeft en hoe een ander het na zou kunnen doen.

Een tweede term na disconituïteit is hier vanzelf in het geding gekomen: niveaus in leerprocessen. De sprong in het leerproces kan een hoger niveau betekenen, in een die ik, uitgaande van het werk van de Van Hieles, verder heb ontwikkeld: een activiteit op het lager niveau beoefend, wordt op het hoger niveau bewust een onderwerp van beschouwing; ordeningsmiddelen van lager niveau worden op hoger niveau onderwerp van het ordenen. Voor de niveaustructuur van mathematische leerprocessen heb ik tal van voorbeelden gegeven; ik voeg er hier één aan toe: Het langdurige leerproces dat tenslotte tot de beheersing van het cijferen leidt, kan als progressieve algoritmisering van inzichtelijke mentale handelingen worden opgevat. Hoewel het om leren rekenen gaat, zijn hoeveelheden alleen in het prilste begin onderwerp van deze transformaties.

#2 blz 2

Die breuken toch!
Tegenwoordig kennen ze niet eens meer breuken — akkoord, maar die kreet werd een halve eeuw geleden even ahrd geslaakt, en de vormsommen op de toelatingsexamens dienden alleen maar om dit te bevestigen.

Niet alleen de wiskundeleraar klaagt erover, ook de natuurkundeleraar laat zich niet onbetuigd.

“Waar hebt U die breuken dan voor nodig?” Het antwoord is steevast:

1   1   1
— + — = —
v   b   f

1   1   1
- + - = - 
v   b   f  

“En als v = 23,4 cm en b = 16,9 cm is, hoe doet U het dan?”.

“Met rekenlineaal, rekenmachientje of nomogram”, is dan het antwoord.

Als argument voor de noodzaak van breukrekenen is dit voorbeeld dus niet geschikt.

In bovenstaande formule uit de optica dienen breuken er toe om een formule op te schrijven, niet om ermee te rekenen.

Breuken zijn algebraïsch, niet numerisch operationeel.

Dit betekent uiteraard niet, dat numerieke breuken moeten verdwijnen, evenmin als in het tijdperk van de rekenmachientjes het cijferen gemist kan worden.

Begrip voor numerieke breuken hoort in het wiskunde-onderwijs en als uit dit begrip zich een algoritmische vaardigheid ontwikkelt, is het meegenomen.

De fout van het breuken-onderwijs zoals het reilt en zeilt, is — afgezien van voor de hand liggende absurditeiten — de uiterst povere context, het rechtlijnig afsturen op de algoritmische beheersing.

#3 blz 2

Onderwijs is een collectief spel van individuen met individuen. Hoe kom je uit dit dilemma? Hoe reageren leerlingen en leerkrachten op leerstof die je ontwikkelt? Je kunt het niet voorspellen, maar je kunt de mogelijkheden verkennen en dat doe je je door in speciale gevallen reacties te observeren. “Intelligent observeren” heb ik het een keer genoemd, en dat betekent: niet zomaar registreren. Of als je registreert, dan moet je die ervaringen ook meteen in de juiste registers plaatsen. En je kunt eigenlijk pas met je ogen en oren observeren als je in je achterhoofd registers hebt. Maar waar vind je die registers? Zeker niet in boeken en handleidingen. Zo’n systeem groeit met de ervaringen mee die je opdoet.

#7 blz 13

Voor elk wiskundig begrip lijkt me een veelvuldigheid van benaderingen een didactische noodzaak. Je moet voorkomen, dat een leerling die er één gemist heeft, alles gemist heeft.

#10 blz 14

Ik heb de indruk dat een groot aantal misslagen te verklaren zijn doordat veel leerlingen
a. niet kunnen rekenen met negatieve getallen,
b. niet kunnen rekenen met vierkantswortels,
c. de eenvoudigste algebraïsche bewerkingen niet kunnen uitvoeren.

Eerder merkte ik al op dat vele leerlingen
d. geen eenvoudige goniometrie beheersen.
Met zekerheid vlt het beweerde bij a. helaas niet te constateren, omdat deze bekwaamheden nergens expliciet worden getoetst. Met grote zekerheid zou ik aan die lijst nog als gemis willen toevoegen:
e. niet kunnen rekenen met gewone breuken,
f. niet kunnen rekenen met tiendelige breuken,
g. niet beheersen van het metrieke stelsel
d.w.z. bekwaamheden die op de basisschool ten behoeve van het voortgezte onderwijs worden nagestreefd, maar die dan niet meer aan de orde komen (behalve in natuurkundige en andere toepassingen).
Misschien vinden de voor de toetsen verantwoordelijke personen het beneden de waardigheid van een leerling MAVO-3 — LTO-C, om getoetst te worden op onderwerpen van de basisschool en de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Als dit zo is, vind ik het stommetje spelen. Waarom worden dergelijke bekwaamheden — althans a, b en c — dan wel verstopt getoetst? Zijn de ontwerpers van de toetsen echt van mening, dat ze hoogdravende wiskunde toetsen, terwijl de kans bestaat, dat de foutenbronnen veel lager zitten?

Het kwalijke in deze toetsen:
— taal omwille van taal;
— toetsen van pure terminologie;
— volgepakte toetsen;
— foutief geconstrueerde toetsen.

#12 blz 3

Rekenen in het voortgezet onderwijs komt ter sprake bij wiskunde, natuurkunde, bedrijfsrekenen en scheikunde. Het tijdstip dat er werkelijk weer een appèl gedaan wordt op de rekenvaardigheid ligt 1 à 2 jaar na het afnemen van de CITO- (of andere) toets. Alleen bij natuurkunde in het LTO wordt direkt enige aandact aan rekenen besteed.

Het rekenaspect wordt plotseling in een heel andere context aangeboden (denk bijvoorbeeld aan lineaire vergelijkingen met gebroken coëfficiënten).

In het algemeen is men van beide “kanten” — basisonderwijs enerzijds, voortgezet onderwijs anderzijds — weinig op de hoogte van elkaars boeken, eisen, werkmethoden etc.

Het zou aanbeveling verdienen om in de brugklas van meet af aan enkele malen per week (een minuut of tien) aandacht aan de rekenvaardigheid te besteden,.Gevariëerde oefenvormen, zoals het werken met tabellen, sommen met een verrassingskarakter, aktuele berichten uit de krant e.d. kunnen hierbij zeker motiverend zijn.

Werkgroepen bestaande uit brugklasdocenten en onderwijzers van de hoogste klas basisschool zouden reken- en wiskundemethoden van basis- en voortgezet onderwijs kunnen analyseren en discussiëren over gehanteerde en te hanteren rekenmethoden.

Verbanden tussen wiskunde en rekenen zouden veel vaker aangegrepen kunnen worden, opdat inzicht en vaardigheid elkaar ondersteunen.

    3    1        3    1
3 + - = 4- en 3 x - = 4- versus 
    2    2        2    2

     n     n^2
n + --- = --- en
    n-1   n-1

     n     n^2
n x --- = --- en
    n-1   n-1

#12 blz 3

4.2.1 cijferen
Het onderzoek over een niuewe methode van het aanleren van de basisalgoritmen heeft in eerste ronde belangwekkende resultaten opgeleverd. Ten eerste blijkt dat via deze methode van de zogenaamde progressieve schematisering een aanzienlijke tijdwinst geboekt kan worden ten opzichte van de gangbare aanpak van het leren cijferen. Ten tweede zijn er binnen deze aanpak vrijwel geen achterblijvers of afhakers, wat wil zeggen dat ook de hele zwakke rekenaars de cijferalgoritmen leren, zij het dat ze de bewerkingen op een wat lager niveau van schematisering — zeg: omslachtiger — uitvoeren.

Er dient echter aan toegevoegd te worden dat de praktische uitvoering van dit algoritmeprogramma een grote bekwaamheid van de onderwijsgevenden vergt, zowel wat de organisatie van onderwijs, als het observeren van leerprocessen betreft.

De laatste opmerking over de praktische voorwaarden van uitvoering van het algoritmeprogramma markeert de overgang van het onderzoeksdeel dat bijna afgesloten is naar nog lopend onderzoek. Want thans is nog niet voldoende algemeen onderzocht op welke wijze en onder welke voorwaarden schoolteams het nieuwe cijferprogramma verantwoord zullen kunnen uitvoeren, dus hoe daartoe de vereiste vakbekwaamheid verworven kan worden en welke begeleiding eventueel noodzakelijk is. En evenmin is duidelijk welke aangrijpingspunten studenten geboden moeten worden teneinde het zicht te kunnen geven op dergelijke lnglopende onderwijsleerprocessen.

Gezien de grote belangstelling uit het onderwijs voor deze nieuwe aanpak van het cijferen is dit vervolgonderzoek van groot belang.

#22 blz 10