Rekenproject: Cijferen en gecijferdheid
Ben Wilbrink
‘Cijferen’ is een pejoratief van de Freudenthal-groep voor de basale rekenvaardigheden, de vaardigheden waar het rekenonderwijs in de zestiger jaren nog nadrukkelijk aandacht aan besteedde. Aan basale rekenvaardigheden zal ik een afzonderlijke pagina wijden, basale_rekenvaardigheden. In deze pagina over cijferen dus vooral de opvattingen van de Freudenthal-groep, en de bezwaren die daartegenin zijn gebracht.
Met ‘cijferen’ is in de realistsch-rekenenlitertauur ook wel bedoeld het werken met standaardalgoritmen die immers werken met ‘positionele cijfers’; ik weet niet hoe ik het anders kan uitdrukken: werken met ‘cijfers&rsquo, dus niet met ‘letters’, is ene knap onzinnige aanduiding voor standaardalgoritmen. Cijferen staat dan tegenover het werken met getallen, zodat over positionele waarden niet hoeft te worden nagedacht. Maar ook dat laatste klopt weer niet. Ik vermoed dat de geschriften van de Freudenthal-groep op dit punt ronduit slordig zijn, een slordigheid die kanblijven bestaan door de weigering om behoorlijk empirisch onderzoek te doen. Ik moet hier maar eens goede vindplaatsen bij zoeken.
A. Treffers (2008). Het voorkomen van ongecijferdheid. Panama Post, 27, 15-18. pdf
W. Oonk, M. van Zanten & R. Keijzer (2007). Gecijferdheid, vier eeuwen ontwikkeling. Perspectieven voor de opleiding. Panama-Post, 26, herfst, 3-18. pdf
Een andere vraag die zich opdringt is hoe gecijferdheid zich ontwikkelt bij leerlingen en bij (aanstaande) leraren. Tot op heden is er nog weinig zicht op dergelijke processen.
Het begrip gecijferdheid ontstond, zoveel is helder, omdat de aanduiding rekenvaardigheid tekort deed aan de vaardigheden die ten aanzien van het werken met getallen en getalsmatige informatie van belang werden geacht. Naast de vaardigheid in het rekenen met (kale) getallen werd het langzaam aan ook van belang geacht dat kinderen de getallen in hun omgeving leren herkennen en een houding verwerven om op zoek te gaan naar deze getallen en aan getalsmatige informatie.
En zo gaat het maar door. Roept u maar, wij draaien. De ene obgelooflijke uitspraak na de andere. Zoals (p. 4):
Vanaf de jaren zeventig van de vorige eeuw veranderde, ook internationaal, het idee over hoe mensen rekenenwiskunde leren of, meer algemeen, hoe mensen leren.
Het is gangbaar om leren te zien als proces van kennisconstructie. Dit is ook in grote lijnen het idee achter realistisch reken-wiskundeonderwijs, dat daarom ook wel wordt aangeduid als reconstructiedidactiek. Het leren van wiskunde - in ieder geval in de basisschool - betekent het
(begeleid) heruitvinden van wat anderen lang geleden bedachten (Freudenthal, 1991). In de basisschool moeten leerlingen daarom in situaties gebracht worden die ze optimaal in staat stellen om beoogde uitvindingen te doen. Deze situaties zetten de lerenden op het spoor van exploreren van de wiskunde.
Dit is kwakzalverij.
Maatschappelijke situaties zijn essentieel anders dan enkele jaren geleden. Ze vragen om andere wiskunde en het ligt daarom voor de hand dat de gewijzigde maatschappelijke realiteit in de inhoud van het reken-wiskundeonderwijs zichtbaar wordt (Noss, 2004).
Realistisch rekenen: een nieuwe religie/ Wie is deze Noss die als steunpilaar wordt genoemd? Hij schrijft in het vakblad van het realistisch rekenen. Om iedere beschuldiging van selectief citeren voor te zijn: ik citeer de lead van het artikel. Omdat deze onzin is gepubliceerd, is het kennelijk niet voor iedereen evidente onzin. Concludeer zelf. Is Noss hier gepiepeld door de redactie van het tijdschrift, of de vertaler (Koeno Gravemeijer)? (Noss heeft gepubliceerd in de waanzinnig dure en inhoudelijk beroerde Kluwer &'lsquo;Mathematics Education Library’ waarin ook het laatste boek van Hans Feudenthal (China Lectures): ‘Windows on Mathematical Meanings. Learning Cultures and Computers’.).
R. Noss (2004). Met het oog op het leren van rekenen-wiskunde in het digitale tijdperk. Panama-Post, 23, voorjaar. pdf
Reken-wiskundige betekenissen gaan gelijk op met representaties. In dit artikel wordt ingegaan op de veranderende rollen van rekenen-wiskunde en nieuwe representaties die voortkomen uit de alomtegenwoordigheid van rekenmodellen, om ver- volgens de implicaties hiervan na te gaan voor het leren van rekenen-wiskunde. Tot de kennis die nodig is om te overleven in moderne samenlevingen hoort het ontwikkelen van een meta-epistemologische houding - dat wil zeggen het ontwikkelen van een gevoel van mechanismen voor de onderliggende modellen bij sociale en professionele communicatie. Ik laat dit zien aan de hand van recent onderzoek aan de reken-wiskundige epistemologie - kennistheorie - van bouwkundigen. Uit- eindelijk kom ik zo uit bij wat dit betekent voor het ontwerpen van een reken-wiskundige leeromgeving in de toekomst, waarbij ik inga op enkele gegevens uit het ‘Playground Project’.
Ik laat me teveel afleiden. Terug naar Oonk e.a.: gecijferdheid.
Aanleiding voor dit artikel is de maatschappelijke discussie
over gecijferdheid van pabo-studenten.
‘Mechanistisch rekenen’ is nu het koopmansrekenen van Bartjens:
Opvallend is dat het rekenen ‘Volgens Bartjens’ - we zeggen nu ‘mechanistisch rekenen’ - eeuwenlang stand
wist te houden, in feite tot in de jaren zeventig van de vorige eeuw.
Oonk, Van Zanten & Keijzer 2007, p. 5
Van Gelder wordt vriendelijk bedankt voor zijn voorwerk voor realistisch rekenen, terwijl de lezer die zijn Van Gelder kent, toch weet dat hij in 1960 een volledige en adequate rekendidactiek beschikbaar stelde aan onderwijzend Nederland.
Van Gelder brengt aldus concepten naar voren die in het latere realistische reken-wiskundeonderwijs een plek kregen.
Het artikel is nog lang, ik moet de rest nog lezen. Of?
A. Treffers & E. de Moor (1990). Proeve van een Nationaal Programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel 2. Basisvaardigheden en Cijferen. Tilburg: Zwijsen (digitaal beschikbaar via omega.library.uu.nl. Dank u, dus alleen voor medewerkers en studenten van de universiteit Utrecht. Gelukkig heb ik gewoon het boek.)
A. Treffers (2007). De kwaliteit van het rekenwiskundeonderwijs (1) een virtueel vraaggesprek. FI. doc
C. M. van Putten & M. Hickendorff (2006). Strategieën van leerlingen bij het beantwoorden van deelopgaven in de periodieke peilingen aan het eind van de basisschool van 2004 en 1997. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 25), 16-25.
J. van de Craats (2007). Rekenvaardigheden op de basisschool. Discussiestuk ten dienste van de expertgroep doorlopende leerlijnen rekenen en taal. Amsterdam. pdf
M. van den Heuvel-Panhuizen (1999). Bomen over rekenen boven 2000. In R. Keijzer & W. Uittenbogaard: Overzicht en samenhang. Leerlijnen in/en een uitdagende praktijk. Verslag van de 17e Panama najaarsconferentie. Freudenthal Instituut. (blz. 11-34).
De auteur begint met een verwijzing naar Cadot & Vroegindeweij (1984), het veelvuldig misbruikte enquê-teonderzoek (ook door de auteur in haar oratie weer misbruikt) dat ik t.z.t. toch eens goed moet bestuderen. Iedereen zou het ermee eens zijn aan het cijferen minder tijd te besteden. Hier noemt de auteur nog wel uitvoerig de bedenkingen die vele respondenten hier dan toch wel bij hebben geuit, iets dat ze in haar oratie achterwege laat hoewel ondertussen duidelijk is geworden dat deze bedenkingen terecht zijn. Ik moet hier maar eens een aardig contrast maken.
Anderen, zoals Dehaene (1997) nemen over het cijferen een veel radicaler standpunt in. Als we volgns Dehaene kijken naar de ekenvaardigheid van mensen, dan is het duidelijk dat onze hersenen niet gemaakt zijn om te cijferen. Daarom kunnen we het maar beter uit het onderwijsprogramma halen. Een gelukkige bijkomstigheid is, dat dit nu ook kan We hebben immers de rekenmachine, aldus Dehaene.
blz. 26
Ik ben geneigd Van den Heuvel-Panhuizen hier niet te geloven, al vermoed ik dat Dehaene wel al te vlot conclusies over wat verstandige didactiek trekt uit neuropsychologisch onderzoek. Ik ga dit dus natrekken.
Stanislas Dehaene (1997). The Number Sense. How the Mind Creates Mathematics. Oxford University Press.
Natrekken: wat Marja van den Heuvel-Panhuizen (1999) zegt over wat Dehaene zegt over ‘cijferen’, zie hierboven.
http://www.benwilbrink.nl/projecten/cijferen.htm