Rekenproject: Contexten

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    ’functioneel rekenen’‘mechanistisch’‘realistisch’
        trucjes
    ‘handig’ rekenenhoofdrekenenschattend rekenenkolomrekenen
    contexten
    reflecteren
    rekenmachine




Dit is een container-pagina over contexten. Het brede thema bestaat ook uit af te bakenen subthema’s, zoals het opstellen van een rekenmodel of een wiskundig model bij een gegeven probleemsituatie. Voor dit laatste onderwerp zie model.htm. Een afzonderlijke webpagna voor contextopgaven waar onderzoekgegevens over bekend zijn: .

Een serieuze thematiek is wat gebrekkige rekenvaardigheid of gebrekkig getalbegrip doet met mensen in hun dagelijks leven (bijvoorbeeld in hun beroepsleven maar zeker niet alleen daar). Dit is een onderzoekterrein dat weinig of geen dwarsverbindingen lijkt te hebben met onderzoekliteratuur over rekenonderwijs, des te meer reden dus om er ier nadrukkelijk aan dacht aan te besteden. Dat vergt wel enig sprokkelwerk, en geluk bij het vinden van bronnen. Begin bijvoorbeeld met Ancker & Kaufman (2007), en zie de onderzoeksartikelen waarin hiernaar wordt terugverwezen (op de sciencedirect.com abstract page).



Jessica Ancker & David Kaufman (2007). Rethinking Health Numeracy: A Multidisciplinary Literature Review. Journal of the American Medical Informatics Association, 14, 713-721. abstract




Over contexten de volgende korte gedachte, waarop ik patent ga aanvragen.


In wetenschappelijk onderzoek proberen we altijd zoveel mogelijk omgevingsinvloeden uit te schakelen of tenminste te controleren, om zo een maximum aan informatie uit ons experiment te kunnen krijgen, dus een zo groot mogelijke leeropbrengst, zeg maar.


Beschouw de basisscholier als een wetenschappertje die onderzoekt wat rekenen is, in de omgeving die hem door school en leerkrachten wordt geboden.


Zo is dat.

juli 2011, emailwisseling


Contexten zijn nauw gebonden aan stromingen zoals het constructivisme — waartoe ook het realistisch rekenen behoort — en situated learning. Aanpalende percelen zijn er ook, zoals die van ‘authentiek’ onderwijs en toetsing. De aanhalingstekens wijzen op de dubieuze claim dat er zoiets bestaat als authenticiteit. Het omstreden karakter van heel dit cluster van nieuwlichterij is uitstekend uit de doeken gedaan door John Anderson, Lynn Reder en Herbert Simon in artikelen gepubliceerd in 1996, 1998 en 2000, zie ook mijn pagina’s over transfer, en over de motie Dijkgraaf - Van der Ham om gebruik van rekenmachines in het onderwijs terug te dringen.



Anderson, J. R., Reder, L. M. & Simon, H. (1996). Situated learning and education. Educational Researcher, 25: 5, 5-11. http://goo.gl/12hnpD



John R. Anderson, Lynne Reder & Herbert A. Simon (1997). Situative versus cognitive perspectives: Form versus substance. Educational Researcher, 26(1), 18-21.pdf ophalen


Dit is een rejoinder op een reactie van James Greeno op het voorgaande artikel in Educational Researcher.



Anderson, J. R., Reder, L. M. & Simon, H. (1998). Radical constructivism and cognitive psychology. In D. Ravitch (Ed.) Brookings papers on education policy 1998 (227-278). Washington, DC: Brookings Institute Press. pdf [Ook beschikbaar via JSTOR, registratie vereist om free online te kunnen lezen] Een betere versie in pdf : http://goo.gl/6ULfY4



Anderson, J. R., Reder, L. M., & Simon, H. A. (2000). Applications and misapplications of cognitive psychology to mathematics education. Texas Educational Review, 1, 29-49. http://goo.gl/VdJp3z


Ik moet zeker in deze context ook de nodige aandacht schenken aan de beweging van authentiek leren. Ik noem dat een beweging, omdat hier weer een veel te makkelijk onderscheid wordt gemaakt tussen de gebruikelijke schoolse teksten en toetsen, en alternatieven die er als ‘authentiek’ uitzien maar dat natuurlijk bij nog eens drie keer kijken op veel punten helemaal niet zijn. Deze beweging van ‘authentiek leren’ moet zijn critici hebben en voorvechters hebben, waarbij de strijd precies gaat over het soort gebruik van contexten zoals dat ook in de reformdidactiek (van het rekenen in het bijzonder) wordt voorgestaan. (Een van mijn laatste sollicitatiegesprekken is mislukt omdat ik althans in de ogen van mijn gesprekspartner al te luchthartig deed over authentiek onderwijs, de benadering van de patiënt als een whole person.)


Ben Wilbrink, Joost Hulshof & Henk Pfaltzgraff (in druk). De rekentoetsen-3F zijn niet valide. Dat wordt nog wat, met die rekentoetsen! Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk, 9, #3, 26-31.


Contexten zijn om tal van redenen belangrijk voor het programma van realistisch rekenen. De GGD is waarschijnlijk het begrip ‘transfer’, zie bijvoorbeeld Carraher & Schliemann (2002).



David Carraher & Analúcia D. Schliemann (2002). The Transfer Dilemma. The Journal of the Learning Sciences, 11, 1-24. abstract


Een interessant terrein is dat van onderwijs aan volwassenen: immers, zij staan volop in het dagelijks leven, dus de pretentie van relevante contexten in rekenopgaven kan hier eenvoudig worden getoetst. Zou je denken.



Helen Oughton (2009). A willing suspension of disbelief? ‘Contexts’ and recontextualisation in adult numeracy classrooms. Adults Learning Mathematics—An International Journal, 4, 16-31.


( . . . ) one of the issues our newly trained teachers are going to face in their schools: ‘seasoned’ teachers who have always done it the ‘old’ way and who believe that it is still the best way despite mounting evidence that the three significant aspects of mathematics education: coherence, reasoning and precision are woefully missing from the standard math textbooks and curricula that teachers are using everyday (Wu, 2007).

blz. 38


Bij de eindexamens havo en vwo zien we de merkwaardige figuur dat wiskunde wordt geëxamineerd met contextopgaven, terwijl in andere examenonderdelen er wiskunde bij de zaakvakken moet worden gebruikt. Dat laatste lijkt me precies de bedoeling: wiskunde gebruiken voor probleemstellingen in een vakgebied waar de kandidaat mee vertrouwd moet zijn, zoals natuurkunde. Het eerste, wiskunde examineren met in het wilde weg bij elkaar gesprokkelde contexten, of toch stiekem ontleend aan de zaakvakken, lijkt mij van de gekke. In het basisonderwijs zien we hetzelfde fenomeen: rekenen wordt gegeven en getoetst in contexten, terwijl bij de zaakvakken het rekenen op een natuurlijke wijze zker ook aan de orde komt: alles wat getalsmatig is, verbanden tussen of tenminste reeksen van getallen, benoemde getallen,. en ga zo maar door. Dat laatste hoort, en is een prima gelegenheid om te laten zien waar rekenvaardigheid nuttig voor is behalve voor rekenen zelf. Een zaakvak is een ideale context, zou je kunnen zeggen. Terwijl de typische contextopgave in het rekenonderwijs en de rekentoets van een ongekende armzaligheid is: een context van super korte duur, een snipper wereldkennis waar ook nog eens de eis aan gesteld mag en moet worden dat álle leerlingen voldoende van dat nievau van wereldkennis hebben (als zaakvak zou het dus geen donder voorstellen!). Ongelooflijk. Nog daargelaten de twijfelachtigheid van het vooronderstelde transfer-probleem waarvoor dat hele leren-in-contexten een oplossing zou moeten bieden.





John Dossey (2010). Review of Werner Blum, Peter Galbraith, Hans-Wolfgang Henn & Mogens Niss (Eds) (2007). Modelling and applications in mathematics education. The 14th ICMI Study. Springer . Journal for Research in Mathematics Education, 41, 88-95 preview of book


Let op: ‘modeling’ staat voor contexten! Een heel congres gewijd aan contexten!



Meindert Beishuizen, Koeno Gravemeijer & Ernest van Lieshout (1997). The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedure. Utrecht: Freudenthal Institute.

Dit is een interessant congres geweest, waar constructivisten zoals Cobb en Gravemeijer optraden naast bevriende buitenstaanders zoals Beishuizen en Verschaffel, en mogelijk enkele verklaarde opponenten van dat realistisch gedachtengoed. Nog interessanter is dat de discussies na iedere voordracht zijn geregistreerd, en een compilatie daarvan is opgenomen als laatste hoofdstuk. Ik heb er wat in zitten lezen, en sta dan toch weer verbaasd van de flauwekul die de dames en heren beweren, op enkele uitzonderingen na (zoals Verschaffel, maar ik begrijp nog steeds niet wat hem in die jaren zo aantrok in de activiteiten van de Freudenthal-groep). Uit dat laatste hoofdstuk wil ik uitvoerig citeren, omdat het de beste demonstratie is die ik ken, en wel van de verregaande knulligheid van de verdedigers van het gebruik van contexten in het rekenonderwijs. Vandaar ook de opname op deze pagina over contexten. Absoluut een sleutelpublicatie, lijkt me, en helaas behoorlijk ontoegankelijk (zijn er zo weinig exemplaren gedrukt? Geen digitale versie beschikbaar).

A first theme in the discussion is the role of realistic problems and contexts. Tom Carpenter suggests that younger students tend to be more successful with realistic problems thbecause they are still working in the reality of the situation. Erik de Corte agrees that younger students probably are less vulnerable to what you might call “misbeliefs”, because they have not yet been subjected to a kind of mathematics teaching that does not pay attention to real world knowledge. Many teachers accept answers to maths problems as (formally) correct although they are wrong (impossible) fron a realistic point of view. [De Corte refereert hier ongetwijfeld aan zoeits als het bus-probleem: dat je voor het vervoeren van een groep mensen wel met hele bussen moet werken, geen decimale. b.w.] Such classroom culture can indeed push the students in a direction of avoiding or neglecting real world knowledge as a result of traditional mathematics teaching. According to Lieven Verschaffel this question is a complex issue, because there will always be a gap between solving a mathematical problem in a real life situation outside school and solving context problems in a mathematical classroon lesson. Of course this has to do with socio-math norms, but how aware must we maken our students of this problematic tension between reality and mathematics? On the other hand, some people will say the very essence of mathematics is in abstracting, even in neglecting in a mindful way certain aspects of reality. [Lieven makes perfect sense. b.w.]

( . . )

Tom Carpenter adds that in reality it often happens that experts have to solve problems which have been abstracted from the context. They then have to negotiate over meaning as well. In mathematics teaching you get to a point where you can not go go on with realistic problems, when it comes to abstract calculus or algebra, etc. The ability to deal with that kind of abstractions is a goal of mathematics too. Koeno Gravemeijer does not agree. He would not separate mathematics that much from from the real world. He prefers the notion of ‘experientially real’ and he thinks part of the everyday world may not be experientially real for the a student, while on the other hand mathematics itself can become experientially real for a student [warhoofderij. b.w.] Ernest van Lieshout and hans van Luit mentio examolles from research, where students reacted not realistically in a classroom situation, although they knew these problems from reality. [Koeno zegt dit, niet Van Lieshout en Van Luit op dit moment in de discussie? b.w.]

Koeno Gravemeijer and Paul Cobb immediately add that it is a matter of different expectations or different socio-math norms. In a given situation a person reacts as he is supposed to do. Marja van den Heuvel, however, comments that it also depends on the kind of problems and the way they are presented to the students. For instance in the case of problems such as people to be transported by buses or balloons to be divided among children, it is rather unrealistic to come up with answers including a remainder or a decimal. Koeno Gravemeijer has an example the other way round with a problem like at a party, where there were 24 bottles of coke for 36 people. He remembers students reacting: ‘Some people do not drink coke!’. So, these students were not willing to solve the problem the way you want it to be solved (by proportional reasoning). Here Lieven Verschaffel cuts in with the remark that this latter example exactly illustrates the point he wanted to make earlier. At certain moments in the teaching/learning process you can appreciate such comments from students. However, in a next lesson you want to model multiplication or division as such and then you do not like such comments. How can we make this distinction clear to students? In addition Tom Carpenter remarks that what we want students to do is: to examine the assumptions and to negotiate about the meaning of a problem situation. Sometimes, it is ahrd indeed to convince students what the rules of the game are in a given situation. The notion of shifting between sort of artificial situations to ones that are more realistic. ( . . )


Paul Cobb makes the remark that for him it makes a big difference whether you look at the pattern in a task as we see it, or whether you try to anticipate how kids might interpret the task. He thinks that also in the RME-view the source of instructional design is not the problem per se but the problem in relation to the child’s interpretation. So, it is important to look at how problems or materials are used rather than what patterns we want to get out of it. [Dit is de bekende constructivistische nonsens. b.w.] Karen Fuson reacts that she had already started a conversation on this matter with Paul Cobb, because the other day he made the inference that she in her classification of conceptual structures (fig. 2 in Karen Fuson & Steven Smith, this volume) was not necessarily thinking in studnets’ interpretations. To Karen Fuson this is a foreground-background problem, but also a communication problem because we sometimes get confused by our different use of the same terminology. We need a language that differentiates between description and analysis on different levels: the level of students’ thinking and the level of instructional sequence design. Jens Lorenz then makes the remark that we also need a language in which students can communicate about their strategies. In his epxerience the explanations of students can be rather unclear. According to Koeno Gravemeijer such a language develops in a natural way along maths practices in the classroom. When certain things and procedures get acceptes in the group there is no need for explanation any more. [Wat zegt Koeno hier precies? b.w.] Karen Fuson agrees that it it is very important that students are discussing things in classroom. The teacher could assist by writing things as a referent on the blackboard for helping all studdents to clarify explanations. [Fuson bedoelt hier kennelijk dat de leraar wel het gesprek op gang houdt maar inhoudelijk daarin niet ingrijpt. Constructivistische logica is dat.]

( . . )

Jens Lorenz responds that we may be again at the point where we attach different meanings to the concept of reality. Patterns indeed are not part of reality. We impose patterns on reality. It is a way to look at reality. Mathematics does not emerge out of reality. Not that just by looking at it will one see a pattern.

( . . )

Jens Lorenz reacts [to Cobb] that you (and students) always think in terms of something: quentities, distances, measurements or whatever. But the inside numer patterns are not so onvious. For instance you do not get the idea of ‘Fibonacci’ numbers by just looking at a sunflower — although they are there. So, form a certain point it is easier for students to study the number walls. You are looking for regularities within numbers and not within some reality. So there seems to be a paradox. One constructs realistic situations to make something clear to a student, which would be more clear if you did it with numbers! According to Jens Lorenz some realistic problems bring yopu in unrealistic situations like dividing sandwichesby tables or people, which are ridiculous questions we would not solve ourselves. Paul Cobb reacts that it is crucial in what stage children are [Piaget steekt hier zijn hoofd op]: do numbers immediately signify an experientially reality of numbers for them, then you can go on to the level of number patterns. But here you have to be careful too ( . . ) Ian Thompson interjects: do we not also want to get students to appreciate that not all mathematics has to be related to reality; that there are many people — mathematicians — who enjoy mathematics for its own sake? Mathematics as a collection of different ways and different tools to analyze complexities in reality, which we should teach them to use? Karen Fuson thinks this is true for older students, but for younger students numbers are not yet experientially real and that is the focus of this conference.

Koeno Gravemeijer wants to make a dsitiction between the concept ‘realistic’ in the RME-approach and ‘realistic’ in the sense of everyday reality. In his opinion this difference gets confounded all the time, and he admits: ‘that, of course, it is our fault by choosing this name’. The centralRME-concept is that the starting point should be informal solution strategies. Working with young children you will use familiar situations which often will be real life context situations. Later the numbers and number relations itself will become experientially real. Then you can do the things from the Dortmund program and you can go even further and start doing algebra based on experientially real familiaruty with numbers [begrijp ik hier ook maar iets van?]. So, it is just a matter of growth. At the same time, Koeno Gravemeijer thinks, the other argument for real life problems has to do with your goals of mathematics education. Do you want to develop a kind of pure mathematics or do you think it is more important to promote a kind of mathematical literacy. If the latter is your goal, you have to foster the relations with everyday life reality. Summarizing, Koeno Gravemeijer thinks there is not so much a difference in viewpoint with Christoph Selter in the starting points, but more in the long-term goals of mathematics teaching. Jens Lorenz and Ian Thompson both ask why RME does not stress both aspects? In Dutch realistic textbooks, they mainly have seen the second aspect of practical mathematics, but for instance not much investigative work related to the first aspect. Christoph Selter comments that in his opinion the distinction made by Koene Gravemeijer is too suggestive: both aspects belong to mathematics and he also wants to stress them both. Lieven Verschaffel is surprised to hear about this difference between the RME and Dortmund approach. Koeno Gravemeijer is putting his remarks in a more relative perspective by saying that it is a matter of choice, a matter of goals more than a matter of didactics: ‘it is a matter of how and when . . ’. [Een man zonder wetenschappelijke ruggegraat: bij Koeno valt nooit iets te falsificeren?]

At the end of the discussion, Julia Anghileri wants to come back to the role of the teacher. According to her, the teacher is to expose the patterns and to explore the connections, not to teach the strategies. How teachers should do this using classroom discourse is in her opinion more important than discussing whether tasks should be more or less realistic. Koeno Gravemeijer reacts that this description of the role of a teacher sounds very much like the so-called Socratic discourse (questions and answers). He would prefer a greater role for the students starting with real life problems as described earlier. When Julia Anghileri asks what the role of the teacher is in this scenario, he refers to what Paul Cobb said about pro-active facilitating the learning process of students. The teacher also creates a classroom atmosphere with socio-math norms, where students can develop their own solutions. The teacher may bring in models like the empty number line at the moment this fits in the informal strategies of the students. A teacher can also bring in the mathematical conventions, after all kind of (informal) notations have been explored in the classroom. So, the role of the teacher is a mixture of bottom-up and top-down. Paul Cobb relates the question to the paper of Christoph Selter (this volume) about the development of teachers in a bottom-up way. He found the paper helpful, because in the U.S. there is an idea of what reform-teachers should be dooing, but until now, not much thinking about how to build up such a teaching attitude has been done. The teacher has to create a classroom climate which is different from pure guidance leaving much to the studnets. It is important that the teacher clearly values certain types of answers more than others, so that te students get a sense of directionality. On the other hand, the teacher also has to vreate an ecouraging atmosphere and opportunities for every student to participate at its own level. For instance in a first grade accept all counting strategies given as solutions to a problem, but at the same time valuing more the grouping startegies given by some more advaced students. According to Karen Fuson that is what is also what Japanese teachers are doing a lot in their classrooms: highlighting or forgrounding some higher-level solutions and strategies. With this remark from an international perspective the discussion on the second day of the experts meeting is closed.

Meindert Beishuizen & Koeno Gravemeijer (1997). Discussions at the experts meeting. In Meindert Beishuizen, Koeno Gravemeijer & Ernest van Lieshout (1997). The role of contexts and models in the development of mathematical strategies and procedure. Utrecht: Freudenthal Institute. p. 306-312

Ik prefereer boeken over kabouters en bomen-fluisteraars: die ehbben het voordeel dat de totel al duidelijk maakt dat de auteur niet helemaal meer met beide benen op de wereld staat. Wat Gravemeijer en Cobb in deze conferentie bijelkaar kletsen is werkelijk ongelooflijk. De redelijke deelnemers zoals Verschaffel en waarschijnlijk ook Lorenz, krijgen er geen greep op. Waar Fuson thusihoort, weet ik nog niet, maar haar opmerking over het Japanse onderwijs lijkt me volkomen misplaatst. Brrrrr.



Fien Depaepe, Erik de Corte & Lieven Verschaffel (2010). Teachers’ approaches towards word problem solving: Elaborating or restricting the problem context. Teaching and Teacher Education, 26, 152-160. abstract

a b s t r a c t

This contribution reports about a seven-month long video-based study in two regular Flemish sixthgrade mathematics classrooms. The focus is on teachers’ approaches towards problem solving. In our analysis we distinguished between a paradigmatic-oriented (focus on the mathematical structure) and a narrative-oriented (focus on the contextual aspects of a problem) perspective on the problem-solving process. The findings have highlighted that the word problem-solving lessons were more dominated by a paradigmatic than a narrative approach and that interventions in which the relation between the mathematics structure and the realistic constraints of the problem context is addressed, were rare.

Dit lijkt me weer een mooi voorbeeld van een empirische toets op een rekengeloof.



Barry Cooper & Máiréad Dunne (2000). Assessing Children’s Mathematical Knowledge. Social class, sex and problem-solving. Open University Press. Ch 1 Overview pdf



K. P. E. Gravemeijer, G. Bruin-Muurling & M. van Eijck (2009). Aansluitingsproblemen tussen primair en voortgezet onderwijs — geen doorgaande lijn voor het vermenigvuldigen van breuken. Panam-Post pdf.

Het blijkt dat opgaven en voorbeelden in de basisschoolmethoden aansturen op verschillende rekenprocedures voor verschillende getalcombinaties, terwijl de havo/vwomethoden al snel starten met één algemene regel voor alle mogelijke gevallen (‘teller keer teller en noemer keer noemer’). Bovendien blijken de basisschoolprocedures sterk gebonden aan contexten, waardoor de leerlingen in het algemeen niet met breuken als onbenoemde, op zichzelf staande, getallen rekenen, maar met benoemde contextgebonden getallen. In het voortgezet onderwijs wordt echter al snel op het niveau van de onbenoemde getallen gerekend.



Ayesha Ahmed & Alastair Pollitt (2007): Improving the quality of contextualized questions: an experimental investigation of focus, Assessment in Education: Principles, Policy & Practice, 14, 201-232. abstract



Saskia van Dantzig, Antonino Raffone & Bernhard Hommel (2011). Acquiring contextualized concepts: A connectionist approach. Cognitive Science, 35, 1162-1189. concept, abstract

Een mooie gelegenheid voor wie eens out-of-the-box wil denken over contexten en hun mogelijke betekenis. Ik heb er even oppervlakkig naar gekeken. Mijn eerste associatie is dat dit werk van Van Dantzig wijst op de mogelijkheid dat rekenen-in-contexten kan leiden tot begrip van rekenen dat gebonden is aan contexten, daar dus niet vrij van kan komen. Het terrein waarop rekenonderzoekers hier direct mee te maken hebben, is dat van onderzoek naar zin en nut van het gebruiken van concrete materialen (blokken, staafjes, telramen, bussen en passagiers) in aanvangend rekenonderwijs. Maar daar houdt het dus niet op: ook de contextopgaven voor eindexamenkandidaten zouden wel eens in deze gevarenzone kunnen liggen.



A. Susan Jurow, Rogers Hall & Jasmine Y. Ma (2008). Expanding the disciplinary expertise of a middle school mathematics classroom: Re-contextualizing student models in conversation with visiting specialists. The Journal of the Learning Sciences, 17, 338-380. abstract



Dave Pratt & Richard Noss (2002). The microevolution of mathematical knowledge: The case of randomness.. The Journal of the Learning Sciences, 11, 453-488. abstract

Kenneth R. Koedinger & Mitchell J. Nathan (2004). The Real Story Behind Story Problems: Effects of Representations on Quantitative Reasoning. The Journal of the Learning Sciences, 13, 129-164. abstract

Mika Munakata (2011). Context-based exercises in logic: to park or not to park, ’tis the question. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 42, 649-657.

Amusant. Nee, geen empirisch onderzoek (behalve het verzamelen van fotomateriaal . . . ). Het zal best goede oefening met waarheidstabellen geven, vermoed ik.

In this article, ambiguous street and park signs are analysed and deciphered using symbolic logic. These examples showcase the ways in which instructors of undergraduate mathematics courses can blend their students’ everyday exposure to logical reasoning with classroom experiences.


Jean Lave (1988). Cognition in practice. Mind, mathematics and culture in everyday life. Cambridge University Press.

J. Joy Cumming & Graham S. Maxwell (1997). Contextualizing authentic assessment. Assessment in Education, 6, 177-194. pdf

Pauline Vos & Klaas Bos (2001). Nederlandse leerlingen scoren opvallend goed op internationale toets. Nieuwe Wiskrant. Tijdschrift voor Nederlands Wiskundeonderwijs, 20(3), pp. 29-37.pdf

“ Aan de leerlingen werd ook gevraagd in hoeverre zij aspecten uit het dagelijks leven in het wiskundeonderwijs ontmoetten. De activiteit was: ‘bij het oplossen van wiskundige vraagstukken gaan we uit van voorbeelden van dingen uit het dagelijks leven’. Op een vierpuntsschaal moesten zij de frequentie hiervan aangeven (bijna altijd — altijd — soms — nooit).

( . . . ) Nederland staat bijna onderaan in tabel 3, direct onder Vlaanderen, waar het wiskundeleerplan veel minder contextrijk is. Hiermee geven veel van onze leerlingen dus aan dat ze weinig alledaagse zaken in hun onderwijs herkennen, zowel voor wiskunde als voor natuur/scheikunde. Het is mogelijk dat de realistische contexten voor de leerlingen geen dagelijkse praktijkvoorbeelden zijn. Wellicht ook blijven de contextrijke opgaven uit de schoolmethodes op zekere afstand en ontstijgen de kleurrijke foto’s van bijvoorbeeld verpakkingsmaterialen het boek niet. Dat de meeste Nederlandse wiskundeleraren bij dergelijke hoofdstukken niet snel aan de leerlingen vragen om zelf doosjes van huis mee te nemen, heeft hier waarschijnlijk mee te maken. Gevraagd naar commentaar, zei een leraar hierover: ‘Als je van som naar som gaat, wie denkt er dan diep na over elke context, dat kost maar tijd.’”

Adri Dierdorp, Arthur Bakker, Harrie Eijkelhof & Jan van Maanen (2011). Authentic Practices as Contexts for Learning to Draw Inferences Beyond Correlated Data. Mathematical Thinking and Learning, 13, 132-151. abstract

Dit is onderzoek met 12 leerlingen van 16 en 17 jaar, dus waarschijnlijk niet iets dat onderzoek mag heten. Ik heb het diagonaal doorgenomen: mogelijk is het een mooi prototype van het ontwikkelingsonderzoek dat de Freudenthal-groep graag doet (de auteurs presenteren het nadrukkelijk als design research). Ik vind het idee van authentiek materiaal voor gebruik in de les altijd wel aantrekkelijk, en ben dan benieuwd wat ervan komt. Op voorhand heb ik het idee dat zoiets alleen kan slagen wanneer de leerlingen al redelijk zijn voorbereid, zodat het werken aan een authentiek probleem, of iets dat daar dicht bij in de buurt komt, kan dienen om de beheersing van de stof te bevestigen en te verdiepen. Ik krijg niet de indruk dat iets dergelijks in dit onderzoekje aan de orde was: zoals bij de Freudnethal-groep gebruikelijk zal het ingewikkelde begrip correlatie in feite tegelijk met het onderzoekje zijn geïntroduceerd, evenals dat van regressie. Even checken: de paragraaf over voorkennis van de studenten lijkt mijn vermoeden te bevestigen, anders hadden de auteurs wel geschreven dat de jongelui al een stevige zij het abstracte greep op correlatie en regressie hadden.

Katie Makar & Dani Ben-Zvi (2011): The Role of Context in Developing Reasoning about Informal Statistical Inference, Mathematical Thinking and Learning, 13:1-2, 1-4. (Inleiding op het themanummer over contexten en statistiekonderwijs, met daarin o.a. het art. van Dierdorp e.a.)

Nicole M. McNeil, Aaron Weinberg, Shanta Hattikudur, Ana C. Stephens, Pamela Asquith, Eric J. Knuth & Martha W. Alibali (2010). A Is for Apple : Mnemonic Symbols Hinder the Interpretation of Algebraic ExpressionsJournal of Educational Psychology, 102, 625-634.



Ola Halldén, Liza Haglund & Helge Strömdahl (2007): Conceptions and Contexts: On the Interpretation of Interview and Observational Data, Educational Psychologist, 42:1, 25-40. abstract



Lynley H. Anderman & Eric M. Anderman (2000): Considering Contexts in Educational Psychology: Introduction to the Special Issue, Educational Psychologist, 35:2, 67-68abstract



Kees Buys (1991). Telactiviteiten voor kleuters. Bekadidact.


Zolang die kleuters maar lekker bezig zijn, met elkaar, vind ik het al prachtig. Of dat dan langs de lijnen van het realistisch rekenen wordt georganiseerd, uitgelegd en verklaard, daar heb ik geen probleem mee. Het is wel boeiend om te zien hoe in korte passages het gedachtengoed van het relistisch rekenen wordt geformuleerd. Zoals naar aanleiding van de vele manieren waarop kleuters het aantal kamers in het huis van kabouter Puntmuts (drie lagen van twee blokken) tellen:

In deze veelheid aan strategieën ligt een belangrijk aangrijpingspunt besloten voor het creëren van telsituaties die een aanvulling kunnen vormen op de eerder genoemde, meer spontane situaties. Door namelijk situaties te creëren waarin de kinderen elkaar laten zien hoe ze bij het tellen te werk gaan, kan bereikt worden dat ze van elkaar leren: dat ze zich nader bewust worden van een eigen werkwijze, dat ze aan het denken gezet worden over het eigen handelen, dat ze gerpikkeld worden om het op een handige(re) manier aan te pakken. De ontwikkeling van het tellen kan door dergelijke uitwisselingen in belangrijke mate gestimuleerd worden.

blz. 12

Doe maar gewoon, is mijn eerste gedachte dan.

De uitgewerkte contexten zijn van het type zoals te vinden in het proefschrift van Adri Treffers, maar dan op het niveau van groep 1 en 2. Zoals de knopendoos (45-54), kabouterhuisjes (55-62), de piratenschat (63-73), wintervoorraad (74-82). Ik vind het allemaal schitterend voor de kleuters, maar dat is geen professioneel oordeel. Ik merk op dat iedere vorm van toetsing van voortgang van de kleuters in telvaardigheden in dit boek afwezig is, wat mij op het eerste gezicht zeer sympathiek overkomt. Op het tweede gezicht ook, trouwens.

Ik ben geneigd om op contexten van dit type inderdaad het kenmerk ‘voor kleuters’ te plakken, met de waarschuwing erbij: voor de oudere leerlingen in de basisschool zijn dit soort gekunseldheden ongetwijfeld leuk en boeiend, maar voor de doelen van het onderwijs niet vanzelfsprekend adequaat.



Lieven Verschaffel (1998). Vaardig oplossen van contextgebonden wiskudneproblemen in de bovenbouw van de basisschool. Tijdschrift voor Onderwijsresearch, 242-260. pdf van hele jaargang



Na’ilah Suad Nasir, Victoria Hand & Edd V. Taylor (2008). Culture and Mathematics in School: Boundaries Between ''Cultural'' and ''Domain'' Knowledge in the Mathematics Classroom and Beyond. Review of Research in Education, 32, 187 Chapter 6.



A. Mattarella-Micke & S. L. Beilock (2010). Situating math problems: The story matters. Psychonomic Bulletin & Review, 17, 106-111.



W. J. Osburn (1930). Two recent books on arithmetic. Educational Research Bulletin, 9 #3, [nog niet binnengehaald via JSTOR eerste bladzijde ] 66-73.



Patricia D. Mautone & Richard E. Mayer (2007). Cognitive Aids for Guiding Graph Comprehension Journal of Educational Psychology, 99, 640-652. abstract

“This study sought to improve students’ comprehension of scientific graphs by adapting scaffolding techniques used to aid text comprehension. ( .. ) Results are consistent with a cognitive model of graph comprehension.”

Tabellen en grafieken vormen een gewild onderwerp als het gaat om reken- en wiskundeprogramma’s, dus ook examenprogramma’s. Het is waarschijnlijk nog knap lastig om hier een theoretische kader bij te construeren. Daarom is dit onderzoek van Mautone en Mayer een klein geschenkje uit de hemel. Het legt meteen een dwarsverbinding met tekstbegrip, en dat is natuurlijk de allereerste lijn om hier te volgen. Dat is opvallend, nietwaar: dat voor een typisch reken- en wiskundeonderwerp — althans typisch in de reformdidactiek van het constructivisme, van de Freudenthal-groep — aansluiting voor de hand ligt bij een onderwerp geheel buiten rekenen en wiskunde. Maar dat probleem speelt natuurlijk in algemene zin bij in het realistisch rekenen, vandaar oo een vermelding op deze webpagina.



Patricia D. Mautone & Richard E. Mayer (2006). Cognitive Aids for Guiding Graph Comprehension Journal of Educational Psychology, 98, 182-197. abstract


Je hoort wel eens de stelling verkondigen dat contextopgaven zo realistisch mogelijk moeten zijn. Bijvoorbeeld het College voor Examens beweert dat. Hier is een onderzoek dat wijst op iets andres: dat de context — in dit geval een ondersteunende afbeelding — beter schematisch kan zijn, dan in vol detail.

”Protocol analyses indicated that both types of diagrams supported inference generation and reduced comprehension errors, but simplified diagrams most strongly supported information integration during learning. Visual representations appear to be most effective when they are designed to support the cognitive processes necessary for deep comprehension.”



Keith S. Taber (2003). Examining structure and context - questioning the nature and purpose of summative assessment. Seminar presentation to
Cambridge International Examinations, University of Cambridge Local Examinations Syndicate, July 2003. html



Evers-Vermeul, J., & Land, J. (2012). Slecht gelezen of slecht geleerd? 2. Examens, Tijdschrift voor de Toetspraktijk, 9 #2, 25-29.



Sanne Schaap, Pauline Vos, Ton Ellermeijer en Martin Goedhart (2011). De vertaalslag van een situatie naar een wiskundige formule; een studie naar vraagstellingen en leerlingprestaties op het centraal examen wiskunde B1. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 28, 3-31. model, tekstbegrip-->



Lesley de Putter-Smits, Ruurd Taconis & Wim Jochems (2011). De emphasisvoorkeur van docenten biologie, natuurkunde en scheikunde en de gevolgen voor curriculumvernieuwingen. Tijdschrift voor Didactiek der β-wetenschappen, 28, 33-48.


“De vernieuwingscommissies voor de bètavakken biologie, natuurkunde en scheikunde hebben gezamenlijk gekozen voor het gebruik van de concept-in-contextbenadering bij het ontwikkelen van de conceptexamen-programma’s (Michels, Boersma, & Gommers, 2009).”


B. Michels, K. Boersma & J. Gommers (2009). Didactiek, examenprogramma’s en vakvernieuwing. [de opgegeven URL klopt voor geen meter meer: de website betanova.nl is kennelijk amateuristisch vernieuwd? Deze werkt wel: http://goo.gl/fynic ]



Stuart Katz, Richard L. Marsh, Christopher Johnson, and Erika Pohl (2001). Answering Quasi-Randomized Reading Items Without the Passages on the SAT-I. Journal of Educational Psychology, 98, 182-197. abstract


Hoe maken leerlingen eigenlijk gebruik van aangeboden contexten? Daar geeft oa onderzoek van Lieven Verschaffel (onderzoek naar word problems) antwoord op. In dit onderzoek gaat het om iets anders: leerlingen kunnen vragen ook vaak goed beantwoorden wanneer ze de bijbehorende context niet tot hun beschikking hebben. Dat is nog iets anders dan dat de context wel beschikbaar is maar niet of nauwelijks wordt gelezen. Ik vind het experiment met weglaten van contexten wel een interessante mogelijkheid om de kwaliteit van toetsvragen op voorhand te onderzoeken. In ieder geval hoop ik in dit artikel aanwijzingen te vinden voor out of the box denkende onderzoekers die met het probleem van contexten bezig zijn geweest.



Jennifer A. Kaminski, Vladimir M. Sloutsky, Andrew F. Heckler. The Advantage of Abstract Examples in Learning Math. Science 25 apr 08, pp 454-455 pdf zie ook deze draad van Willem Smit



Wolff-Michael Roth & Gervase Michael Bowen (2003): When Are Graphs Worth Ten Thousand Words? An Expert-Expert Study. Cognition and Instruction, 21, 429-473. (over het interpreteren van grafieken, hoeveel moeite het experts kost om hen onbekende typen grafieken te interpreteren) grafieken



Perkins, D. N., & Salomon, G. (1989). Are cognitive skills context-bound? Educational Researcher, february 16-25.



Bert van Oers (2004). From context to contextualization. Learning and Instruction. 8, 473-488. pdf




L. C. Spijkerboer (1994). Contexten in proefwerken. Nieuwe Wiskrant, 14 #1, 9-13. pdf ophalen


Dit is een geschikt artikel om te laten zien hoe het geloof in contexten wordt uitgedragen, dit keer door een medewerker van het APS, het Algemeen Pedagogisch Studiecentrum. (Het APS blijkt dus al vroeg het geloof in het realistisch wiskundeonderwijs uit te dragen . . . . ) (Spijkerboer is in 2012 medewerker van het Fisme). Mij gaat het erom dat Spijkerboer hier het nodige beweert waar iedere lezer en ook Spijkerboer zelf onmiddellijk al vraagtekens bij kan en moet zetten: ‘is dat wel zo? ’, ‘waar berust dat op?’ ‘is daar dan de nodige empirische basis voor?’ Bij de volgende citaten kan de lezer zelf de kritische vragen wel bedenken. Ik geef hier en daar een hint.



P. Robert-Jan Simons (2007). Leren en instructie: in de ban van het nieuwe leren. Tijdschrift voor Hoger Onderwijs, 187-197. abstract


Robert-Jan legt de nadruk op contextrijk leren. Verder probeert hij hier zes misstanden over het nieuwe leren uit de weg te ruimen.



Jan Elen (2007). Leren en instructie: stilletjes op zoek naar sterke theorieën. Tijdschrift voor Hoger Onderwijs, 187-197. abstract




Leo J. Brueckner, C. J. Anderson, G. O. Banting & Elda L. Merton (1928). The triangle arithmetics. Book three, part one. Grades seven and eight. The John C. Winston Company. [niet online]


De auteurs claimen een basis in (ook eigen) wetenschappelijk onderzoek, maar geven er geen bronnen voor.



Means, M. L., & Voss, J. F. (1996). Who reasons well? Two studies of informal reasoning among children of different grade, ability, and knowledge levels. Cognition and Instruction, 14, 139-178. abstract


Dit gaat niet direct over redeneren in contexten. Zijdelings is dit wel van belang, als poging om een paar vermogens uit elkaar te halen: verschillen in leeftijd, intelligentie, domeinkennis, kwaliteit van informeel redeneren.



Marian Hickendorff & Jan Janssen (2009). Het LOVS rekenen-wiskunde van het Cito - de invloed van contexten in groep 3, 4 en 5. In M. van Zanten (red.). Leren van evalueren, de lerende in beeld bij reken-wiskundeonderwijs (131-138. Universiteit Utrecht, Freudenthal Instituut. pdf




Jana Holsanova, Nils Holmberg & Kenneth Holmqvist (2009). Reading information graphics: The role of spatial contiguity and dual attentional guidance. Applied Cognitive Psychology, 23, 1215-1226. abstract concept version




James Naidich (1942). Mathematics for the aviation trades. New York and London: McGraw-Hill Book Company.




Stephen K. Reed (2006). Does unit analysis help students construct equations? Cognition and Instruction, 24, 341-366. abstract



David Eugene Smith (1917). On the origins of certain typical problems. The American Mathematical Monthly, 24, 64-71. [Gevonden in A. J. E. M. Smeur (1965). As I was going to St. Ives. Euclides, 40, #5, 129-136. ] pdf




Arthur Engel (1968). Systematic use of applications in mathematics teaching. Euclides, 44, 65-85. pdf


It seems applications are quite something else (than contexts).



Daniel G. Campos (2010). Peirce's philosophy of mathematical education: Fostering reasoning abilities for mathematical inquiy. Stud Philos Educ, 29, 421–439. pdf


Zie ook deze discussie op Twitter. Zie ook deze discussie bij redactioneel commentaar van de Telegraaf op de rekentoetsen, op Twitter.



Jeanette Lubbers & Jan Muthert (1991). Cijferen of ontcijferen. Wiskunde A of tekstverklaring? Euclides, 66, 275-284. pdf




Don Metz (2015). Understanding contextual teaching in mathematics. The MERN Journal, 7, 54-60. pdf




Ayesha Ahmed & Alastair Pollitt (). Improving the quality of contextualized questions: an experimental investigation of focus. Assessment in Education: Principles, Policy and Practice. [full-text requested] abstract



Monica Wijers, Vincent Jonker & Sieb Kemme (2004). Authentieke contexten in het vmbo. Verslag van een onderzoek. Euclides, 79, 308-13. #7




Bertrand ussell (1923). Read before the Jowett Society, Oxford, 25 November 1922. First published in The Australasian Journal of Psychology and Philosophy, 1 (June 1923): 84--92. This text taken from Collected Papers, vol. 9, pp. 147--154. Reprinted in Rosanna Keefe, & Peter Smith (Eds.) (1996). Vagueness: A reader (61-68). The M.I.T. Press. isbn 0262112256

[€10 Gaemers 8-2009] webpage


https://twitter.com/benwilbrink/status/659021772415737856 Vagueness is implied in contextual math problems (like those in PISA Math): translating knowledge of the world into arithmetical symbolism. Every translation of world language into symbolism is strenuous. Russell smuggles some precision in (see his next to last paragraph) by incorporating in his language some symbolism: 6 ft. 2. Naughty trick ;-) Designing unambiguous contextual math questions: is it possible?



Nadine Faulkner (2003). Russell and vagueness. russell: the Journal of Bertrand Russell Studies, n.s. 23 (summer 2003) 43-63. The Bertrand Russell Research Centre, McMaster U. pdf




David R. Mandel (2015). Communicating Numeric Quantities in Context: Implications for Decision Science and Rationality Claims. Frontiers in Psychology open access


Might be elevant to issues in the use of word problems and other context problems in eduction and in tests.



Marjolein Kool & Ed de Moor (2016). Alledaags rekenen. We zullen het nog één keer uitleggen. Uitgeverij Bert Bakker. isbn 9789035143883


Mooi verzorgde uitgave. Honderd uitgewerkte contexten. Ik heb er geen enkel bezwaar tegen. Maar ik vrees wel met groten vreze dat ontwikkelaars in dienst van het Cito dit boekje als inspiratiebron gaan gebruiken voor nog meer onzinnige contextvragen in de eindexamen-rekentoetsen. Gelukkig staat er weinig of geen didactische flauwekul in dit boek, maar ook geen waarschuwing tegen veel te snelle conclusies over wat inhoud en didactiek van rekenonderwijs moet zijn. Naturulijk is het leuk en leerzaam af en toe eens zo’n context in het onderwijs mee te nemen, maar rekenonderwijs hoort te zijn wat de naam belooft: rekenonderwijs. En niet een vruchteloze poging leerlingen te oefenen in alledaagse situaties waarin er gerekend zou kunnen worden. Het springende punt is hier de transfer-problematiek: het realistisch rekenen neemt maar aan dat je (latere) ‘rekensituaties’ in je onderwijs moet opnemen omdat je anders leerlingen wel leert rekenen, maar niet hoe ze dat later kunnen gebruiken. Mijn god, wat een onzin. Afijn, zie mijn bladzijde over transfer.



Fermi and the Problem Solved. blog




Uncanny Sums and Products May Prompt “Wise Choices”: Semantic Misalignment and Numerical Judgments. Ethan C. Brown, Michèle M. M. Mazzocco, Luke F. Rinne, Noah S. Scanlon (2016). Journal of Numerical Cognition free access abstract




Shawn Cole, Anna Paulson and Gauri Kartini Shastry (2016). High School Curriculum and Financial Outcomes: The Impact of Mandated Personal Finance and Mathematics Courses. The Journal of Human Resources abstract




Bryan Maddox (2014). Globalising assessment: an ethnography of literacy assessment, camels and fast food in the Mongolian Gobi. Comparative Education, 50, open access




K. KOTOVSKY, J. R. HAYES AND H. A. SIMON (1985). Why Are Some Problems Hard? Evidence from Tower of Hanoi. Cognitive Psychology, 17, 248-294. pdf [via Singley & Anderson ‘The transfer of cognitive skills’, p. 229]



Candace Walkington & Carole A. Hayata (2017). Designing learning personalized to students’ interests: balancing rich experiences with mathematical goals. ZDM Volume 49, Issue 4, pp 519–530 abstract




Hugh Burkhardt (2017). Ways to teach modelling—a 50 year study ZDM open access


Is teaching modeling even possible? Yet another attempt to bring Polya in the classroom. How many years does it take for one researcher to learn that there are no such generic skills? https://twitter.com/benwilbrink/status/945243335953997824












27 december 2017 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/contexten.htm http://goo.gl/j3vjy