Oorspronkelijke uitgave 'Toetsvragen schrijven' 1983 Utrecht: Het Spectrum, Aula 809, Onderwijskundige Reeks voor het Hoger Onderwijs ISBN 90-274-6674-0, nu in publiek domein, auteursrechten B. Wilbrink. Onderstaande tekst is een sinds 2006 in bewerking zijnde versie. Voor de oorspronkelijke 1983 tekst zie www.benwilbrink.nl/publicaties/83ToetsvragenAula.pdf.

Toetsvragen ontwerpen

Handreiking bij het maken van toetsvragen over de leerstof

7. Problemen stellen

Ben Wilbrink






onderstaande tekst van dit hoofdstuk is nog niet volledig herzien


En die herziening zal waarschijnlijk toch wel ingrijpend worden. Het gaat hier om een buitengewoon lastig onderwerp, dat ik in 1983 in veel te kort bestek op te abstracte wijze heb behandeld. Voor de herziening ga ik waarschijnlijk ook gebruik maken van probleemoplossen zoals dat in het bo en vo wel plaatsvindt, en dan zowel de terechte als de onterechte vormen. Dat wordt nog spannend. Wie mijn strijd tegen contextopgaven in het rekenonderwijs kent, zal zich nog wel eens achter de oren krabben bij de tekst van 1983 van dit hoofdstuk. Ik zal dus beter duidelijk moeten maken waarin probleemoplossen moet verschillen van de context-waan in toetsen en eindexamens van het Cito/CvE.

Geloof het of niet, maar de beruchte rekentoetsen die aan de examens 2016 in vo en mbo zijn toegevoegd, berusten vooral op een probleemoplos-filofie: plan opstellen, uitvoeren, toetsen. Ik zal voor een veldraadpleging op 24 maart 2015 daar een gedetailleerde analyse van maken. Dat werk zal zeker leiden tot ingrijpende uitbreiding van het huidige hoofdstuk 7, een uitbreiding met behandeling van misvattingen, en een uitbreiding met behandeling van de meer eenvoudige problemen waarmee bijvoorbeeld 14-jarigen worden getoetst in TIMSS en PISA, of 12-jarigen met eindtoetsen basisonderwijs.

Er is in het onderwijsveld grote verwarring over probleemoplossen als een generieke vaardigheid. Mijn waarschuwing is dan ook: probleemoplossen is geen generieke vaardigheid. Pogingen om probleemoplossen als zodanig te toetsen, beschadigen onderwijs en vooral leerlingen en studenten. Zie Tricot & Sweller, 2014.

Een belangrijke aanvulling op de tekst van 1983 zal worden dat voor het opstellen van oplossingsplannen niet alleen de wat starre methodiek vanuit de Kunstmatige Intelligentie van belang is (zoals voor de 1983-tekst gebruikt; maar Herbert Simon (1978) gebruikt dat schema van producties even makkelijk voor ongestructureerde problemen), maar dat de heuristische benadering van George Pólya (1957) voor niet-routinematige probleemstellingen een belangrijker instrumentarium lijkt te zijn. Het lastige met het werk van Pólya is dat het zich niet goed laat inpassen in bekende theorieën, maar daar heeft Allen Newell (1983) een heel goede bijdrage geleverd. Het vinden van hulpproblemen speelt een hoofdrol, en Pólya's aanwijzingen om geschikte hulpproblemen te vinden zijn enorme eye-openers voor de probleemoplosser (en de ontwerper van probleemstellingen, natuurlijk). Eye-opener's, yes, maar tegelijk ook heel herkenbaar. De moeilijkheid, of eigenlijk het interessante, bij het vinden van geschikte hulpproblemen is dat dat niet een kwestie is van slim zijn, maar van een rijke kennis hebben, bijvoorbeeld kennis verkegen door het eerder opgelost hebben van andere problemen. Newell, die samen met Simon baanbrekend werk verrichtte over probleemoplossen in Kunstmatige Intelligentie, heeft het alom bekende en al meer dan een halve eeuw veelgebruikte werk van Pólya van geschikte handvatten voorzien om het in te passen in instructietheorie, ook voor andere vakken dan wiskunde.


Uitgangspunt voor dit hoofdstuk zou de stelling kunnen zijn dat probleemoplossen, in de context van het onderwijs, een demonstratie is van het beschikbaar hebben van goed verbonden kennis, kennis bestaande uit methoden en technieken die specifieke deelproblemen oplossen. Handig om te weten is dan dat in de psychologische literatuur, zoals het onderzoek van Newell & Simon 1972, maar ook Stellan Ohlsson 2011, dergelijke koppelingen van methoden en technieken aan deelproblemen producties heten. Ter onderscheiding van allerlei modieuze praat over probleemoplossen als een belangrijke vaardigheid voor de 21e eeuw mag dienen dat in de psychologie het vermogen om bijvoorbeeld wiskundige problemen op te lossen zwaar contingent is op kennis verkregen op een lange weg van oefening en praktijk, terwijl de goeroes van de 21e eeuw het vermogen om problemen op te lossen zien als een niet direct aan kennis gebonden te trainen persoonlijkheidseigenschap, alsof het om ‘denkspieren’ gaat.


Bij die herziening zal ook een rol spelen dat het oplossen van redactiesommen in beginsel een vorm van probleemoplossen is. En over redactiesommen—word problems—is fraai onderzoek verricht, dat een hoop inzicht verschaft in wat er zoal mis kan gaan bij zo op het eerste gezicht eenvoudige vormen van probleemoplossen, en hoe dat in beginsel ontwerptechnisch beter is aan te pakken. Een sterke kritiek op veel redactiesommen is dat ze gezocht zijn bij een gegeven rekenkundige opdracht; de juiste benadering, vanuit de doelen van wiskundeonderwijs etcetera, is om leerlingen van een gegeven situatie een rekenkundige vertaling te laten maken (en die som dan op te lossen, maar dat is dan ineens minder interessant, niet?) (zie o.a. Lenné 1969). Ook Verschaffel e.a. (2000) komen na hun overzicht tot de slotsom dat het opstellen van het rekenkundige/wiskundige model de crux hoort te zijn.

Een belangrijk probleem, dat evenwel zelden als zodanig wordt herkend, is dat ontwerpers van word problems vaak een mix gebruiken van realistische en formele ingrediënten. U raadt het al: wat leerlingen de ene keer realistisch moeten opvatten, moeten ze de volgende keer formeel opvatten. En omgekeerd. Zuiver willekeur dus. Onder leerlingen en leraren staat dit fenomeen ook wel bekend als: ‘je moet niet je eigen goede antwoord geven, maar proberen de bedoeling van de ontwerper van de opgave te begrijpen’. Zo kan het dus gebeuren dat zelfs winnaars van wiskundeolympiades niet in staat blijken de ‘rekentoets’ voor hun eindexamen foutloos te maken.


In het rekenproject is een pagina gewijd aan probleemoplossen (hoe de Freudenthal-groep ermee omgaat, wat vanuit de cognitieve psychologie gezien de plaats van probleemoplossen zou kunnen zijn in rekenonderwijs).


Een belangrijke verrijking van de theorie is het overzicht dat Stellan Ohlsson 2011 geeft van zijn werk, voortbouwend op dat van onder andere Allen Newell. Dit boek is zowel een overzicht van de cognitieve psychologie, als de presentatie van een nieuwe, overkoepelende theorie over probleemoplossen in zowel zijn analytische vormen (recht-toe-recht-aan) als zijn creatieve varianten (daar waar de analytische benadering leidt tot impasses). Fantastisch. Maar wel onleesbaar voor wie niet enigszins is ingevoerd in de cognitief-psychologische literatuur. Wie de moeite wil nemen, en in dit boek vastloopt: mail mij.

Ohlsson noemt zijn theorie wel de derde generatie cognitieve theorie, waarin nu ook niet-monotone denkprocessen een theoretische grondslag krijgen. Wie dit hoofdstuk 7 heeft doorgewerkt, heeft in de gaten gekregen dat in deze tekst creatieve oplossingen (van geheel nieuwe problemen) buiten beschouwing blijven. Dat laatste is ook iets dat niet in summatieve toetsen of examens thuishoort, al is het studenten natuurlijk niet verboden om met creatieve oplossingen te komen (en als dat gebeurt, is het nog knap lastig om dat een goede plaats te geven bij de beoordeling van gemaakt werk; reden temeer om vraagtekens te zetten bij het werken met modelantwoorden zoals bij centraal schriftelijke eindexamens gebruikelijk, zie ook hoofdstuk 8). Ik zal in dit hoofdstuk 7 niet veel aandacht schenken aan creatief probleemoplossen, behalve om beter te markeren welke vormen van probleemoplossen dan wel geschikt zijn voor summatieve toetsing. Typische plekken waar creatief probleemoplossen aan de orde is: promotieonderzoek. Misschien ook de scriptie.




Een bekend schema voor probleemoplossen—wiskundige opgaven— is dat van George Pólya (1945/1957). Zijn vier globale stappen zijn

De checklist van aanbevelingen, over deze vier stappen verdeeld, staat in de literatuur bekend als Pólya's list, het origineel staat op p. xvii van zijn boekje uit 1945, in talloze prints en talen sindsdien over de wereld verspreid.

Zijn schema is beter dan het mijne uit 1983, omdat het in zijn eerste stap het belang benadrukt om de opgave goed te begrijpen in al zijn details en gegevens, voordat er een begin van een zinvol plan valt te ontwerpen.

Een charmant leerboek wiskunde—zoiets blijkt mogelijk—dat geheel volgens Pólya's lijst is opgezet, is geschreven door Daepp en Gorkin (2003).


George Pólya legt in zijn studie over het oplossen van (wiskundige) problemen nadruk op het begrijpen van de probleemstelling. Dat is een mooi bruggetje tussen het begrijpen van tekst, in het voorgaande hoofdstuk, en het oplossen van problemen. Het ligt dan voor de hand een directe koppeling te maken tussen het werk van Randi, Grigorenko en Sternberg (2005) over wat het is om tekst te begrijpen, Deanna Kuhn (2005) over onderzoekend leren, en George Pólya's didactische uitwerking van het oplossen van (wiskundige) problemen langs de weg van het eerst begrijpen van de probleemstelling. Dat 'wiskundig' tussen haakjes staat heeft als reden dat Pólya het weliswaar concreet over wiskundige problemen heeft, maar zijn didactiek desondanks niet specifiek is voor wiskunde. Bij Pólya is het begrijpen van een probleemstelling een speelse mix van in eigen woorden weergeven, symbolen invoeren, deelproblemen onderkennen, mogelijk verwante al bekende problemen erbij halen, fantaseren over hoe een oplossing eruit kan zien, en meer van dergelijke activiteiten die ook bij Randi en anderen figureren. Kijken naar bijzondere kenmerken hoort daar ook bij, kenmerken die mogelijkheden suggereren voor een aanpak van (een deel van) het probleem: dat is waar sinds Het denken van den schaker (De Groot, 1946) in de cognitieve psychologie van onder andere Herbert Simon zo'n sterk nadruk op is gelegd. Of anders gezegd: voor het begrijpen van een probleemstelling is het hele arsenaal van instrumenten voor het begrijpen van tekst, zoals analyse en inferentie, bruikbaar.

Een directe conclusie uit deze korte beschouwing-vooraf is dan het volgende. Het stellen van problemen gebeurt meestal, en zeker in examens, met de bedoeling dat de kandidaat een oplossing vindt of construeert. Het is niet onwaarschijnlijk dat het begrijpen van de probleemstelling belangrijker is dan het vervolgens opstellen van een plan voor de oplossing, en de uitwerking van dat plan. Zeker in die gevallen waar de concrete uitwerking een ambachtelijk karakter heeft en relatief veel tijd kost—zoals bij wiskundige problemen het geval kan zijn—kan de ontwerper van toetsvragen mogelijk doeltreffender zich richten op het toetsen van het begrijpen van de probleemstelling, in plaats van op de concrete uitwerking. Ik hoop hier in de literatuur mooie voorbeelden van te vinden; Pólya geeft er voorbeelden van in zijn gestileerde dialogen tussen docent en studenten.

Het oplossen van een probleem valt uiteen in twee scènes: de eerste scène is het zoeken van een oplossing, en de tweede is het uitwerken en presenteren van de gevonden oplossing. Deze tweedeling is mogelijk fundamenteler—wezenlijker voor een goed begrip van probleemoplossen—dan ze er op het eerste gezicht uitziet. Ik presenteer dit onderscheid op dit moment wat aarzelend, alsof het een intuïtieve vondst van een mogelijke oplossing is, en zal er in de loop van de tijd—met het vinden van relevante literatuur—een gelikte oplossing van maken. Afijn, voor het probleem als examenopgave is de impliciete suggestie dat de gevraagde oplossing die presentabele oplossing is, de ingrijpende bewerking van de oplossing zoals die allereerst tastenderwijs is gevonden. Het tasten wordt weggemoffeld, de oplossing wordt gepresenteerd alsof het een vanzelfsprekende rationele constructie is. Daar zit iets Popperiaans in, de opvatting van Karl Popper dat het bij een wetenschappelijke ontdekking gaat om de strenge onderbouwing ervan, niet om de mogelijk frivole gedachtensprongen, of serendipiteit, die in feite tot de ontdekking hebben geleid. Excuus, ik heb een lange aanloop gebruikt om tot een nogal platte constatering te komen, en wel deze. In de wetenschap, en in navolging daarvan ook in het onderwijs, is het gebruikelijk om ontdekkingen te presenteren als noodzakelijk volgend uit een aantal logische of op zijn minst rationele overwegingen, gegeven de beschikbare feiten. Dat is vrijwel altijd een bewuste verdraaiing van de werkelijkheid van het ontdekken. Een wiskundig bewijs is daar het prototypische voorbeeld van: het vinden van de mogelijkheid voor een bewijs voor een gegeven stelling is totaal iets anders dan het netjes uitwerken en eventueel daarna ook nog weer eens heel anders opschrijven van het eerder tastenderwijs gevonden bewijs. Het is een fictie dat de wetenschap een rationeel bedrijf is: de presentatie van de resultaten van wetenschappelijk zwoegen is een rationele constructie. Newton's bewegingswetten zijn daar een goed voorbeeld van, niet het minste onderwerp uit de wetenschapsgeschiedenis.

Het interessante verband tussen het begrijpen van tekst (hoofdstuk 6) en het oplossen van problemen (dit hoofdstuk 7) is dan ook als volgt. De te begrijpen tekst is al een afgerond werkstuk van een schrijver, de oplossing van het gestelde probleem moet nog zo'n afgerond werkstuk worden. Toch hebben het begrijpen van een gegeven tekst, en het begrijpen van een probleemstelling, vrijwel alles met elkaar gemeen. Is het voor het begrijpen van tekst voldoende om het begrip als zodanig te verwoorden, bij het oplossen van een probleem komen daar nog enkele slagen overheen: het zien van mogelijke oplossingen of wegen ernaartoe, het uitwerken van een oplossing, en tenslotte het presenteren van die oplossing in de vorm van tenminste een serie rationele stappen. Prachtig vinden we dat, die rationele constructies, we hebben er ons onderwijs mee volgepropt, daarmee veel leerlingen vervreemdend van de verwondering en de intellectuele uitdaging die nu schuilgaan achter die rationele façade. Die rationaliteit is kunstmatig, zo zijn de ontdekkingen niet gedaan, zo werken onze hersenen niet, en zo werken ze ook niet tijdens proefwerken en examens. Goed omgaan met het oplossen van problemen, en op een adequate manier omgaan met de oplossingen die studenten aandragen, zal nog een grote uitdaging blijken te zijn. Voor inspiratie: George Pólya (1954), scherp observator zonder de hulp van de toen nog nauwelijks van de grond gekomen cognitieve psychologie (maar kende hij de Duitse denkpsychologie?).


Probleemoplossen is het glanzende hoogtepunt van het onderwijs, de gelegenheid bij uitstek voor het consolideren van kennis door deze intensief te gebruiken. En hoe geweldig motiverend kan het zijn. Natuurlijk, probleemoplossen kan vanaf dag één beginnen, op basis van de kennis die leerlingen de school binnenbrengen, en is niet het zalige toetje dat alleen vlak voor het examen valt te genieten. Het gaat hier dus niet om probleemstellingen die alleen in toetsen voorkomen, maar om probleemstellingen die het hart van het onderwijs, van het leren, vormen. Zoals in de experimentele didactiek van Deanna Kuhn (2005), en wie goed kijkt zal het terugzien in de didactiek van de meeste grote onderwijshervormers. En o ja, dat probleemoplossen is niet iets dat leerlingen—studenten—individueel doen met alleen hun docent als coach: dat is toevallig het model van toetsen en examens waar we de gewoonte hebben individueel te toetsen.


7.1 Over problemen gesproken


Probleemoplossen is complexer dan het begrijpen van tekst. De probleemoplosser die het eigen denken probeert te volgen is het niet altijd duidelijk waar de ideeën voor een oplossing vandaan komen, of waarom ze er precies op dit moment zijn. Hoe het oplossen mentaal verloopt is vaak verborgen. Dat is ook wel begrijpelijk: mentale processen verlopen in enkelvoud, er is geen dubbele set van aanwezig—geen homunculus in ons hoofd—die de activiteiten van de eerste kan zien, laat staan aansturen. Voor de ontwerper van probleemstellingen maakt deze ongrijpbaarheid van oplosprocessen het er niet eenvoudiger op. In de literatuur zijn er geen makkelijke oplossingen voorhanden, omdat de verborgenheid van mentale processen een universeel fenomeen is waar ook auteurs als Pólya, die zich decennia lang intensief in probleemoplossen hebben verdiept, niet doorheen kunnen breken. Een sleutel tot het raadsel ligt in de cognitieve psychologie, en dan vooral die tak die intensief theoretiserend en experimenterend het probleemoplossen heeft aangepakt: zoals Adriaan de Groot (1946) ‘Het denken van den schaker’; Allen Newell and Herbert Simon 1972 ‘Human problem solving’ en Stellan Ohlsson 2011 ‘Deep learning: How the mind overrides experience’. Het gaat dan om de koppeling tussen kenmerken van de probleemsituatie—bijvoorbeeld leidende kenmerken in de schaakstelling— en acties die bij zo’n kenmerk vaak succes hebben. Die koppeling heet met een technische term productie, en is als het ware het mechaniek waar het probleemoplossen op draait, en dat de ontwerper van probleemstellingen (en van onderwijs) moet begrijpen om het goed in te kunnen zetten. Dit is de theoretische positie op basis waarvan de uitwerking in 1983 is gemaakt, en wat ook in deze herziening het theoretisch kader blijft.


Deze en de volgende paragrafen hebben nog vooral de vorm en de inhoud van 1983. De behandeling is nogal schematisch, wat het voordeel heeft dat het een lastig en makkelijk oeverloos uitdijend onderwerp hanteerbaar houdt. Merk op dat deze tekst uit 1983 weinig aandacht besteedt aan de fase van verkenning, van grondig leren begrijpen van de probleemstelling. Ik wil dat voorlopig zo houden, en de inleidende paragraaf op dit hoofdstuk vooral zien als een aansporing om dit hoofdstuk zeven toch vooral in nauwe samenhang te zien met hoofdstuk zes, het begrijpen van tekst en dus ook van probleemstellingen.

Wilbrink (1998) ‘Inzicht doorzichtig toetsen’ presenteert een modelmatige aanpak om de moeilijkheid te kwantificeren van toetsopgaven — dus ook van probleemopgaven. Ik zou eens een poging moeten doen om de moeilijkheid van contextopgaven in de ‘rekentoets’ te kwantificeren!


De vuistregels voor het stellen van problemen (in paragraaf 7.3) sluiten aan op de verschillende stappen waarin het aanpakken en oplossen van problemen is uiteen te leggen. Figuur 7.1 geeft die stappen met hun onderlinge verbanden schematisch aan. Bij de meeste problemen laat deze cyclus van stappen zich in een of andere vorm in de oplossing herkennen. Dit schema geeft aanknopingspunten om over een gegeven probleem en zijn oplossing te kunnen spreken, zoals over welke specifieke vaardigheden het gaat bij het oplossen van problemen in het eigen vakgebied. Op dat laatste sluiten de inventarisatie (in 7.2) en daarop weer de vuistregels (in 7.3) aan. De terminologie krijgt hieronder een verdere toelichting. Let daarbij vooral op de ongewone invulling van wat zoal een ‘plan’ kan zijn.

Figuur 7.1

Figuur 1 De probleemaanpak in schema

Belangrijker dan de terminologie zijn de relaties zoals in fig. 7.1 met pijlen aangeduid: het gaat er in het onderwijs niet zozeer om dat de student beseft dat hij een bepaalde stap moet maken als wel dat hij ertoe staat is. Vooral de stap van expliciet opgemerkte kenmerken van de probleemsituatie naar mogelijke plannen voor de oplossing is wezenlijk bij het oplossen van problemen. Dit schema is nadrukkelijk geen dogmatiek: in de praktijk vloeien onderscheiden stappen min of meer in elkaar overvloei en staan ze in onderlinge wisselwerking.


Problemen Er zijn algemene typen van problemen te onderscheiden, bijvoorbeeld gesloten problemen waarbij een heel specifiek antwoord verlangd wordt (bewijzen en berekenen) en open problemen waarbij het antwoord grote individuele vrijheid toelaat (essay, constructieproblemen). Dergelijke typeringen zijn op talrijke manieren te maken; ik zie er in dit hoofdstuk van af om expliciet in te gaan op verschillende typen en benadruk wat in grote lijnen het gemeenschappelijke is in probleemaanpak.


In het volgende neem ik de aanpak van schaakproblemen als voorbeeld. Niet omdat er nogal wat denkpsychologisch onderzoek op dit gebied is gedaan (bijv. De Groot, 1978), maar gewoon omdat deze problemen voor de meeste lezers inzichtelijk zijn en omdat de afzonderlijke punten uit fig. 7.1 er goed in uitkomen.


Kenmerken. Bestudeer dat aangeboden probleem eerst maar eens zorgvuldig: analyseer de probleemstelling (zie 6.3), maak mogelijk al enkele inferenties (zie zie 6.4), breng het probleem in een andere, meer toegankelijke vorm (vertaal, teken, zet om tot een formule; zie 5.1). Deze activiteiten brengen die kenmerken van de probleemsituatie naar voren, waarop plannen kunnen aansluiten. Bij het schaken gaat het om het vinden van de belangrijkste kenmerken van de stelling; bij juridische problemen (casus) om het aanwijzen van het centrale probleem. Het identificeren van belangrijke kenmerken in een probleemsituatie is een te onderwijzen, te oefenen en te toetsen vaardigheid (zie 5.1, 6.3 en 6.4). Of de zo gevonden kenmerken een oplossing mogelijk maken, zal dan wel nog moeten blijken; het is altijd mogelijk dat in een later stadium deze analyse uitgebreid of over moet.


SCHAKEN


Relevante kenmerken van een schaakstelling kunnen bijvoorbeeld zijn: de open of halfopen verticale lijn, de goede en de slechte loper, kenmerken betreffende de pionnenstelling of de bouw van de koningsvleugel. Het zijn die kenmerken waarvan de ervaring heeft uitgewezen dat ze van strategisch belang zijn; de theorie is de systematische neerslag van deze ervaring.


“In het algemeen zal niet één kenmerk de situatie beheersen; er zullen meer kenmerken aanwezig zijn, waarvan nu eens het ene en dan weer het andere overweegt. Wij moeten dus álle belangrijke kenmerken der stelling opsporen en ook hun onderlinge waarde taxeren alvorens een plan te gaan vormen.” En: “De opsporing van het belangrijkste of beter gezegd het ‘leidende kenmerk’ is derhalve de eerste taak van de speler.”

Euwe 1966


JURIDISCH CASUS

“Persoon A leent een kostbaar boek aan persoon B. Door een misverstand verkeert B in de mening dat A hem het boek ten geschenke heeft gegeven. Enige tijd later geeft B het boek op zijn beurt als verjaardagsgeschenk aan C, A bezoekt C en treft daar zijn boek aan. A vraagt C hem het boek terug te geven. C weigert, omdat hij naar zijn zeggen het boek gekregen heeft van een betrouwbare vriend, die een boek dat niet van hem was niet zou weggeven.
A wil nu zijn boek in rechte terugvorderen.”

Crombag c.s., 1972


Het centrale probleem, dat wat het casus kenmerkt, is dat A zijn boek terug wil hebben van C.


WISKUNDE


Evalueer de onbepaalde integraal:

y = 1 / (0,5 + x ) dx

Leidend kenmerk van dit probleem is x, of 1 + x; het aangrijpingspunt is om de integraal met behulp van de substitutiemethode op te lossen.


Het laatste voorbeeld illustreert nog eens dat probleemstellingen niet altijd hoeven te verschillen van bepaalde soorten opgaven die in voorgaande hoofdstukken behandeld zijn. De kern van dit probleem is immers de keuze van de juiste techniek (hier de substitutiemethode) uit een klein aantal mogelijk bruikbare technieken.

Hoewel het in dit boek niet over didactiek gaat, is deze opmerking van Euwe hier toch wel interessant:

“Hij, die de partij volgens vaste regels behandelt en zich voortdurend rekenschap geeft van de aanwezige kenmerken, zal zijn spel veel gemakkelijker kunnen perfectioneren dan iemand die zuiver op gevoel of berekening afgaat en nooit vraagt naar het waarom.”

De opgespoorde kenmerken in de probleemsituatie dienen als springplank voor het opstellen van plannen, zodat de betekenis van deze kenmerken pas duidelijk wordt in samenhang tot die plannen. Over opsporen gesproken: dat is precies wat de student expliciet moet doen en waar de ervaren probleemoplosser misschien in het geheel niet bewust bij stilstaat. Dat verschil tussen ervaren en onervaren probleemoplossers komen we hierna bij het toetsen van opgeworpen plannen weer tegen.


Plannen. Hoewel de andere stappen uit het aanpakschema niet gemist kunnen worden, zit de crux van het oplossen van een probleem toch wel in het weten op te stellen van plannen. Omdat de probleemoplosser niet ergens tussen de grijze hersencellen een klein mannetje heeft zitten dat via de zintuigen aangereikte problemen van plannen voorziet, is het de vraag hoe plannen dan wel tot stand komen. Twee overwegingen zijn van belang:

1. Gevraagd is het mechanisme om van kenmerken naar plannen te komen, en hoe van voorlopige plannen via toetsen tot uitvoerbare plannen te geraken.

2. Het gaat hier niet om creatief oplossen van problemen, maar om vaardigheden in aanpakken en oplossen die zijn onderwezen. De student moet nogal wat vakkenkennis hebben, en geoefend zijn in het toepassen van die kennis in bepaalde klassen van problemen. Denk daarbij aan de beheersing van begrippen en relaties, zoals in de hoofdstukken 4 en 5 behandeld.


Hiermee is nog niet aangegeven wat hier zoal onder de term ‘plannen’ kan vallen. Eerst maar een voorbeeld:


SCHAKEN


Bij de halfopen verticale lijn is een gevolgsregel of plan:


Bezetting met torens en/of dame. Bezet het eerste veld van deze lijn, liefst met een paard, en marcheer met de pionnen zodanig naar voren, dat de tegenpartij op de half open lijn of naburige lijnen één of meer zwakke pionnen krijgt (geïsoleerde of achtergebleven pionnen)

Euwe 1966


De schaaktheorie voor gevorderde spelers bevat een klein aantal gevolgsregels: er zijn niet veel meer dan een tiental van deze stellingskenmerken, met bij ieder kenmerk een of meer bijbehorende spelstrategieën.

Het behoeft geen toelichting dat het voor de schaakspeler niet voldoende is om deze algemene regels uit het hoofd te leren: hij krijgt er pas enige beheersing over wanneer hij de regels heeft (zien en) leren toepassen. Er is volgens Euwe kennis van zaken, oefening en techniek voor vereist, maar die liggen binnen het bereik van de gevorderde speler.

“Is men eenmaal op de hoogte van een sluitende theorie, dan kan men op grond van bepaalde stellingskenmerken vaststellen, welke gedragslijn vereist is. De strategie kan worden uitgestippeld en aldus biedt de theorie voor de praktische partij een flink houvast.”

Euwe 1966


Dat houvast op het probleem is belangrijk, en dat zit hem voornamelijk in de drastische en rationele inperking van het aantal speelmogelijkheden.

Het plan maakt lange-termijn-ontwikkelingen mogelijk; het geeft de speler greep op de stelling; de veelheid van mogelijkheden wordt er door georganiseerd en ingeperkt; en het verengt het aantal te bestuderen zetten. Alleen dat wat in het plan past, hoeft overwogen te worden.

De Groot 1978


Een belangrijk verschil tussen de gevorderde schaker en de schaakmeester zit in het zeer veel grotere aantal stellingskenmerken dat de schaakmeester weet te onderscheiden, mede omdat hij op de hoogte is van wat bij ieder van die spelsituaties een geschikt plan is voor spelvoortzetting. Docenten zijn zich doorgaans bewust van de analoge situatie bij de problemen in het eigen vakgebied: voor behandeling in het onderwijs doen zij daar een geschikte maar beperkte keuze uit, zodat studenten in enkele maanden tijds een redelijke beheersing over die klasse van problemen verwerven; voor echt meesterschap zijn immers veeleer jaren van studie en ervaring nodig. Een en ander betekent niet dat de student onmachtig zou zijn om problemen uit een nieuwe klasse aan te pakken: dat zal alleen erg veel moeite kosten en met vallen en opstaan gepaard gaan, omdat nu alles nog is uit te zoeken wat de ervaren probleemoplosser bijna onbewust paraat heeft. Dat is zo bij schaken, en dat zien we in al die vakken waar het oplossen van problemen een prominente plaats in het onderwijs inneemt.


Is na analyse op kenmerken het type probleem herkend en zijn de daarbij vanuit de theorie bekende mogelijke plannen aangegeven, dan is nu te toetsen of welk plannen uitvoerbaar zijn en dan verder uit te werken. In het schaakspel krijgt een gekozen strategie zo een verdere uitwerking tot een te volgen tactiek:


“We onderscheiden in het schaakspel strategie en tactiek. De strategie behelst de doelstelling en het vormen der plannen. De tactiek omvat de uitvoering der plannen. Populair gezegd komt het bij de strategie op denken aan, bij de tactiek op kijken”.

Euwe 1966


‘Kijken’ staat natuurlijk toch voor redeneren, en daar zit bij het schaken een visuele component in. Uit de strategie, het globale plan, volgt de tactiek. Anders dan Euwe, wil ik eraan vasthouden dat een gekozen tactiek een gedetailleerd plan is. Zo gebeurt de vorming van een uitvoerbaar plan in fasen waarin een eerste globaal plan (strategie), na toetsing, een uitwerking krijgt tot een meer gedetailleerd plan (tactiek). Zo kan het, en zo hoeft het dus niet altijd te gaan. Een omvangrijk probleem laat zich splitsen in deelproblemen. Of er is een gedetailleerd plan nodig zonder dat een globaal plan al beschikbaar is. Een voorbeeld van het laatste is de schaakstelling die zich niet voor een strategische benadering leent, maar waarin ‘een nauwkeurige berekening van de mogelijkheden van het ogenblik vereist is (tactische methode).’ Euwe: “Men spreekt in deze gevallen van combinatiespel, in tegenstelling met het positiespel waar de kenmerken van de stelling de hoofdrol spelen.”


Bij het schaken kan een 'plan' een strategie zijn (globaal plan) of een tactiek (gedetailleerd plan), waarbij de strategie aansluit op de kenmerken van de stelling en de tactiek een uitwerking van de strategie is. Zo is het aanpakken van problemen in wiskunde, geneeskunde, enzovoort, ook te beschrijven: er is een te overzien aantal probleemtypen, waarbij het type is te herkennen aan bepaalde kenmerken of een configuratie van kenmerken, en waarbij een of enkele passende strategieën (globale plannen) horen. Een eenvoudig voorbeeld zijn problemen waarvoor bij een gegeven onderzoekopzet en resultaten daarvan een statistische methode voor het toetsen van de onderzoekhypothese gevonden moet worden (vergelijk 5.2). Plannen kunnen echter nog in tal van andere gedaanten voorkomen, hier zijn er enkele.


De voorlopige of hypothetische oplossing. Een goed voorbeeld daarvan zijn diagnostische problemen, waarbij aan de hand van de geanalyseerde kenmerken van de probleemsituatie een of meer mogelijke diagnoses aan de orde zijn. De verdere aanpak bestaat dan uit het toetsenderwijs komen tot een definitieve diagnose of toetsenderwijs een globaal gestelde diagnose verder verfijnen.

De koppeling van geanalyseerde kenmerken naar deze voorlopige diagnoses is een directe, als zodanig meestal geleerde en geoefende: denk bij kenmerk A, of configuratie van kenmerken B en C, aan de (globale) diagnoses X en Y. Voor diagnostische problemen is in fig. 7.1 de diagnose of differentiaaldiagnose het plan.


Het metaplan. Het kan gebeuren dat een compleet plan, dus tot en met de oplossing, niet binnen handbereik ligt. We zagen dat al bij diagnostische problemen, waarbij de bedoeling — het metaplan — is om door toetsen en met extra informatie een steeds betere diagnose te stellen en rivaliserende diagnoses uit te schakelen.

Een metaplan gaat voor de oplossing van het probleem door eerst deelproblemen te formuleren en op te lossen. Een voorbeeld is de hint bij problemen in de thermodynamica om eerst te proberen een of meer geldige wetten (Mettes en Pilot, 1980: kernbetrekkingen) te vinden waarin de gevraagde grootheid voorkomt. Het metaplan is om zodoende een aantal wetten, kernbetrekkingen of vergelijkingen te vinden, waarmee het in beginsel mogelijk is om de gevraagde onbekende uit te drukken in termen van de gegevens en aannamen. De volgende stap in dit metaplan is het vinden van de wiskundige bewerkingen die tot dat verlangde resultaat kunnen leiden. Ieder van deze deelproblemen laat zich afzonderlijk in het schema van fig. 7.1 afbeelden. De oplossing ontstaat geleidelijk uit de oplossing van de achtereenvolgens aangepakte deelproblemen.

Andere metaplannen zijn: bij een nieuw type probleem eerst nagaan of er analoge of verwante problemen bekend zijn waarvoor een oplossingsroute al bekend is; proberen een complex probleem te versimpelen, bijvoorbeeld eerst een speciale variant of een extreem geval aan te pakken en vandaaruit terug te keren naar het meer algemene of complexe probleem; eerst een model maken en daarmee experimenteren of eerst een simulatie uitvoeren. Het zal duidelijk zijn dat metaplannen gemakkelijk de vorm kunnen aannemen van specifieke methoden voor het aanpakken van problemen, bijvoorbeeld voor bewijsproblemen de techniek ‘bewijzen vanuit het ongerijmde’.


De koppeling van kenmerken naar plannen heeft als basisvorm: ‘als dit, doe of zoek dan dat’, ‘als je dit symptoom tegenkomt, check dan altijd deze mogelijke diagnose’. De psychologische literatuur over probleemoplossen duidt deze conditie-actie-paren aan met de technische term ‘producties’. Deze producties zijn de bouwstenen van computerprogramma’s voor het oplossen van problemen met hulp van een groot kennisbestand, bijvoorbeeld voor het stellen van diagnoses (zie Buchanan en Duda, 1982 voor een overzicht).

Het komt vaak voor dat de leerstof de student hier juist op het verkeerde been zet. Het maakt veel verschil om te leren om bij een bepaald symptoom altijd aan een bepaalde mogelijke diagnose te denken of om te leren dat die bepaalde diagnose past bij kenmerken zus en zo. Immers, wie leert bij een bepaald kenmerk altijd diagnose X te overwegen, hoeft bij ieder nieuw geval waarin zich dat kenmerk voordoet niet eerst te zoeken onder alle mogelijke ziektebeelden om de passende diagnose X te vinden. Wie leert bij ieder ziektebeeld op te sommen in welke gevallen dat als diagnose geopperd kan worden en niet het omgekeerde, zal in ieder nieuw geval alle ziektebeelden langs moeten om een mogelijk passende te vinden.

Hier ligt een van de oorzaken waarom studenten onverwacht veel moeite kunnen hebben met het toepassen van hun kennis bij het oplossen van problemen (zie ook Simon, 1980).


Toetsen. Een geopperd plan hoeft nog geen goed plan te zijn en om daar achter te komen is het doorgaans niet nodig om te proberen het plan uit te voeren. Of een voorlopige diagnose juist is toetsen we niet bij voorkeur door te kijken of de patiënt goed reageert op de bijbehorende medische behandeling. Nee, het algemene stramien is dit: bepaalde kenmerken leiden tot een of meer globale plannen, en of een globaal plan 'past' bij het onderhavige probleem blijkt hieruit of in de probleemsituatie ook specifieke andere kenmerken voorkomen. Bijvoorbeeld: wil deze voorlopige diagnose mogelijk juist zijn, dan moet een bepaald laboratoriumonderzoek leiden tot dit specifieke resultaat. Een juridisch voorbeeld:


“Een cruciale passage in een juridische casus is 'Jansen overhandigt een boek aan Pietersen', wat zich in juridische termen zou kunnen laten vertalen als ofwel 'levering', 'schenking', of 'het aangaan van een overeenkomst van bruikleen'. De te kiezen vertaling leidt meteen tot een bepaald programma voor de verdere uitwerking van de casus, en is dus een voorlopig 'plan'. Welnu, de voorwaarden waaronder er gesproken kan worden van 'levering' enz. liggen vast in rechtsregels (o.a. in wetsartikelen, maar ook in jurisprudentie), en getoetst moet worden of het voorliggende probleem die voorwaarden bevat.”

Crombag c.s., 1972


Een voorbeeld van een natuurkundig probleem:


“Zo kan de deskundige bij het zoeken naar een plan voor de oplossing besluiten het eerst eens met "momenten" te proberen. Hij is dan in staat om alle momenten die in het probleem voorkomen te ‘zien’ en weet dan automatisch welke informatie wel en welke niet te verkrijgen is. Hij kan dan eenvoudig deze benadering verwerpen of voortzetten met een vrij grote zekerheid over het eventueel welslagen ervan. Zonder dit vermogen om automatisch informatie te genereren zou het ontwerpen van plannen een heel omslachtige werkwijze zijn die misschien nauwelijks te onderscheiden is van het simpelweg uitwerken van probeersels.”

(mijn vertaling) Larkin (1981)


Wat de deskundige hier automatisch en onbewust doet is het toetsen van het voorlopige plan. De nog niet zo goed ingevoerde student zal dat niet automatisch kunnen. Larkin:


“( . . . ) onervaren oplossers opperen bij een overwogen regel enkele algemene uitspraken over de toepasbaarheidsvoorwaarden, en die vergelijken zij expliciet met de gemaakte afbeelding van het probleem.”


Wat de ervaren oplosser automatisch en pijlsnel doet, moet de onervaren oplosser expliciet en moeizaam doen. Dat is vaak ook het verschil tussen de docent en zijn studenten, en dat kan het onderwijzen van het aanpakken en oplossen van problemen bemoeilijken. In stappenschema’s voor het aanpakken van juridische casus (Crombag c.s., 1972) of problemen in de thermodynamica (Mettes en Pilot, 1980) is er dan ook veel aandacht voor expliciet uit te voeren toetsen.

Wanneer de probleemstelling onvoldoende informatie geeft om de toets uit te kunnen voeren, vraagt dat om het doen van aannames over ontbrekende gegevens:

THERMODYNAMICA


“Omdat betrekkingen slechts onder bepaalde voorwaarden geldig zijn, en in de praktisch voorkomende gevallen daar zelden aan is voldaan, moet men veelvuldig aannamen doen (dat iets verwaarloosbaar is) c.q. vereenvoudigingen uitvoeren, ( . . . ) Het is daarbij bovendien van belang dat de oplosser in staat is vast te stellen welke aannamen wèl en niet zijn toegestaan. Daarvoor moet hij een indruk zien te krijgen van de fout die mogelijk wordt gemaakt bij het doen van de aanname. Bovendien zal hij eerst na moeten gaan of de aanname noodzakelijk is, en de redenen voor de aanname expliciet moeten maken.”

Mettes en Pilot, 1980


Het expliciet uitvoeren van de stappen: analyse op kenmerken — plan opperen — toetsen, is van buitengewoon belang bij het aanpakken van problemen. Want het is een veel voorkomende beginnersfout om na het lezen van de probleemstelling meteen een oplossing te gaan uitwerken. In de thermodynamica uit zich dat in het te snel overgaan tot het manipuleren van formules en reduceren van het aantal onbekende grootheden (en zonder een geschikt plan mislukt dat meestal).


Uitvoeren—antwoord—toetsen. Is er een voldoende gedetailleerd plan opgesteld, dan is het uitvoeren van het plan, eventueel het formuleren van het antwoord, en het toetsen of het antwoord voldoet als antwoord op het gegeven probleem niet 'problematisch' meer. Mettes en Pilot (over problemen in de thermodynamica) spreken over het ‘uitvoeren van standaardbewerkingen’.


7.2 Inventarisatie


Neem dit idee van inventariseren met de nodige korrels zout. Waar het om gaat is dat probleemoplossen altijd lastiger blijkt dan docenten op voorhand denken: voor de docent als expert-probleemoplosser zijn cruciale stappen in de aanpak soms zo vanzelfsprekend dat ze niet meer bewust zijn; de student daarentegen is een nieuweling in dit terrein. Het kan dan absoluut geen kwaad om expliciet te maken welke kennis de student op welke manier beschikbaar moet hebben om alle, echt alle, stappen in de aanpak van de problemen met goed gevolg te maken. Voor u als docent is dit dus een oefening in nederigheid. Afijn, aan de slag.

3 maart 2015. Op voorhand excuus: ik heb nog geen concrete voorbeelden bij deze paragraaf 7.2. Ik herinner mij dat hoofdstuk 7 destijds het sluitstuk was bij het uitwerken van dit boek, en mede daarom ook is blijven steken op een te hoog niveau van abstractie. Omdat aan de UvA in 1983 het reorganisatievirus epidemisch huishield, werd verdere uitwerking en onderhoud van het boek definitief onmogelijk.


Het ligt voor de hand om te inventariseren naar de verschillende onderdelen in het schema van fig. 7.1. Inventariseren hoeft niet hetzelfde te zijn als het verzamelen en ordenen van ‘oude’problemen, maar dat laatste kan wel een zinnige aanvulling van en controle op de inventarisatie zijn.

Analyseer bijvoorbeeld eerst oude problemen op relevante kenmerken, plannen, toetsen enz. Beter lijkt het om die oude problemen te gebruiken als controle achteraf op de eerst alleen op grond van analyse van de leerstof te verrichten inventarisatie. Zo is een logische of a-priori-inventarisatie aan te vullen met zinvol materiaal uit de oude problemen.


Kenmerken. Analyseer het gegeven probleem op de relevante kenmerken, en maak daar zo nodig tekeningen, schema's of vertalingen van. Zie voor deze zaken wat in voorgaande hoofdstukken behandeld is (vooral 5.1, 6.3 en 6.4). Probeer nu een opsomming te maken van alle mogelijk voorkomende kenmerken die van belang kunnen zijn bij het kiezen van plannen. Zo geeft bijvoorbeeld Euwe (1966) een opsomming van stellingskenmerken waar de gevorderde schaakspeler op aan moet sluiten om een strategie te kunnen kiezen, een plan voor de voortzetting van de partij.

Maak onderscheid tussen kenmerken met daar direct op aansluitende plannen, en kenmerken die het mogelijk maken om allereerst het type of de klasse van het voorgelegde probleem te bepalen. Dit onderscheid is bijvoorbeeld te vinden bij Mettes en Pilot:

‘mogelijk bruikbare kernbetrekkingen [= deelplannen] kunnen gekozen worden vanuit één of enkele thermodynamische kenmerken (type systeem, proces, enz,)’ of ‘vanuit een typering van het vraagstuk als geheel (bijvoorbeeld een ‘typisch Eerste Hoofdwet probleem’, een evenwichtsvraagstuk)’.

Mettes en Pilot, 1980


Sluit bij het inventariseren aan op de aard van de betreffende klasse van problemen. Bijvoorbeeld: thermodynamicaproblemen, althans in de analyse van Mettes en Pilot, zijn beter aan te pakken door te werken vanuit het gevraagde dan door te werken vanuit de gegevens, zodat vaak het gevraagde het eerste kenmerk is dat als ingang voor het zoeken naar een bruikbaar plan (kernbetrekking) dient. De kenmerken van de gegevens dienen dan om overwogen plannen (kernbetrekkingen) te toetsen op hun geldigheid en bruikbaarheid.


Plannen. Een eerste lijst van mogelijke plannen is te krijgen door er de theorie van het betreffende vak op door te nemen. Dat levert bijvoorbeeld alle mogelijke globale diagnoses op of alle belangrijke wetten, technieken en instrumenten. Kijk dan of er enige ordening in die lijst van plannen is aan te brengen, zoals een logische structuur of taxonomie. Bij een vak dat rijk is aan wetten kan het zijn dat een deel van die wetten is af te leiden uit enkele hoofdwetten. Zie voor dit soort overwegingen ook Mettes en Pilot (1980, blz. 100 e.v.). Maak eventueel een kruistabel van bijvoorbeeld kenmerken tegen plannen (wetten, technieken, ziektebeelden enz.).

Ontdek zodoende misschien ook dat het onderwijsprogramma een te rijke inhoud heeft om voor studenten nog overzichtelijk te zijn. Het zou zomaar kunnen dat ons rekenonderwijs anno 2015 aan dit euvel lijdt, zie de referentieniveaus rekenen van de commissie-Meijerink, en de politieke ramp van de rekentoetsen bij de eindexamens vo en mbo.

Toetsen. Toets plannen op hun geldigheid of bruikbaarheid.


“Vele thermodynamische betrekkingen zijn slechts geldig als het proces aan bepaalde voorwaarden voldoet. We onderscheiden vier kenmerken:
  1. reversibiliteit,
  2. wel of geen chemische reactie,
  3. procesgrootheden die nul zijn, en
  4. toestandsgrootheden die constant zijn.”

Mettes en Pilot, 1980


Het toetsen van plannen gebeurt tegen bepaalde kenmerken van de probleemsituatie; dat kunnen dus andere kenmerken zijn dan welke van belang zijn bij het kiezen van plannen. Voor een en ander is mogelijk een verdere analyse van de probleemstelling nodig.


“Het vaststellen van de kenmerken van de toestanden waarin het systeem voorkomt. ( . . . ) Een systematische analyse omvat minstens een nagaan van volume, druk, temperatuur, massa (aantal molen) en energetische gegevens als de thermodynamische potentiaal, enthalpie, entropie, e.d.”

Mettes en Pilot, 1980


Lastiger is het toetsen van de geldigheid van plannen wanneer de daartoe benodigde informatie niet gegeven is: om die informatie te verkrijgen is verder navragenof onderzoek nodig. Denk bijvoorbeeld aan het extra (laboratorium)onderzoek als toets op een geopperde diagnose.

Sommige voorwaarden zijn binnen een gegeven probleemstelling niet te toetsen, eenvoudig omdat de nodige gegevens ervoor definitief ontbreken of omdat een onderzoek veel te kostbaar, tijdrovend, pijnlijk of iets dergelijks zou zijn. Meestal zal de student er dan een bepaalde aanname over moeten doen, eventueel ondersteund door argumentatie of door een onderzoekje naar tenminste de globale aanvaardbaarheid van die aanname in die situatie. Neem een en ander mee in de inventarisatie.


Uitvoeren, antwoord en toetsen. Het gaat hier om het opsommen van de technieken of vaardigheden die nodig zijn bij het uitvoeren van uiteindelijk gekozen en uitgewerkte plannen. Soms is zo'n plan tevens het antwoord op het gestelde probleem, zoals een definitieve diagnose dat is (de behandeling die aansluit op de diagnose wordt meestal als een afzonderlijk probleem gezien). Meestal vraagt de uitvoering om vaardigheid in het hanteren van speciale technieken, zoals wiskundige routine.


'Oude' problemen. Verzamel 'oude' problemen, orden deze op onderwerp, type of iets dergelijks. Analyseer problemen en oplossingen in de termen van fig. 7.1 en leg de resultaten van deze analyses naast de al gemaakte inventarisatie.


7.3 Vuistregels


De uiteenzetting over problemen, hun aanpak en oplossing in 7.1 en de daarop aansluitende inventarisatie, bieden veel nieuwe handvatten bij het bedenken en stellen (formuleren) van nieuwe problemen. Deze paragraaf geeft een aantal vuistregels die het stellen van problemen vergemakkelijken en richting geven. Dat gaat zowel over ideeën voor nieuwe problemen, als over een techniek om nieuwe problemen te construeren.


Een idee voor een probleem. Een idee voor een probleemstelling is bijvoorbeeld een concrete probleemsituatie of een bepaalde combinatie van een situatie met een bepaald kenmerk en een bruikbaar plan. Het zoeken naar een idee voor een nieuw te stellen probleem is dan het zoeken naar een dergelijke nieuwe situatie of een aardige combinatie. Probeer in ieder geval te omschrijven wat in termen van fig. 7.1 een idee voor een nieuw probleem is, omdat daardoor het zoekproces in de literatuur enz. richting krijgt.

Een altijd bruikbare bron voor ideeën zijn andere studieboeken dan die voor de eigen studenten. Niet alleen eigentijdse, maar ook verouderde studieboeken zijn bruikbaar.

Artikelen in de vakliteratuur vormen een onuitputtelijke bron voor ideeën. Voor sommige vakken, zoals rechten, levert zelfs de dagbladpers talrijke bruikbare thema's. Problemen uit de vakliteratuur zijn natuurlijk niet zonder meer geschikt om studenten in een toetssituatie voor te leggen, maar het aanbrengen van vereenvoudigingen, het aanreiken van extra gegevens en het geven van aanwijzingen kunnen daar veel aan veranderen. De beroepspraktijk, indien van toepassing, is een voor de hand liggende bron van ideeën. Het zal vaak mogelijk zijn om enigszins stelselmatig te inventariseren welke verschillende typen problemen zich voordoen, welke varianten er binnen ieder type te verwachten zijn en in welk scala van concrete situaties die problemen zich kunnen voordoen. Vakken waarin zo'n stelselmatige benadering mogelijk is (denk aan geneeskunde), zullen de leerstof in niet geringe mate al op deze wijze geordend hebben.

Eind 19e eeuw verzamelde onderwijzer Van Lent allerlei rekenproblemen uit situaties in beroepsuitoefening en dagelijks leven, en behandelde die in zijn onderwijs aan de hoogste klassen. Leerlingen schreven uitwerkingen op in een schrift dat zij bij het verlaten van de school meenamen om als naslag te kunnen gebruiken. Eind 19e eeuw: dit was in de context van die tijd heel zinvol, maar is dat vandaag de dag echt niet meer, wat voorstanders van ‘realistisch rekenen’ ook beweren. Dit is dus een mooi voorbeeld van verzamelen van mogelijke problemen, wat het rekenen betreft niet geschikt voor deze tijd, maar in grote lijn is de aanpak van Van Lent in de testpsychologie nog steeds de manier om een assessmentcenter te bouwen.


Een aardige bron voor nieuwe ideeën is te vinden in de geschiedenis van het betreffende vak. En dan niet alleen de experimenten en theorieën die deze 'geschiedenis gemaakt hebben', maar ook de minder bekende, meer alledaagse worsteling met de problemen van het vak. Wanneer enige historische verdieping tot de onderwijsdoelen behoort, is dat fraai met het aanpakken en oplossen van problemen te combineren. Overigens is er verrassend vaak overeenkomst tussen de problemen waarmee vakgenoten in een grijs verleden dagelijks bezig waren en de problemen waar studenten zich nu vertrouwd mee moeten maken; ook dat is uit te buit en bij het zoeken naar ideeën voor nieuw te stellen problemen.

Studenten kunnen zelf nieuwe problemen, of ten minste nieuwe probleemsituaties aandragen. Bewaar die om er voor studenten in latere jaren nieuwe problemen uit te construeren.

Een andere ingang voor het vinden van ideeën is niet in de inhoud van problemen gelegen, maar in de aard ervan. Dit is verwant aan de nog te behandelen mogelijkheid tot het stellen van deelproblemen. Een illustratieve opsomming:



Nieuwe problemen construeren. De wetenschap verlegt grenzen: voor ieder opgelost probleem komen er wel enkele nieuwe in de plaats. Maar dit zijn niet de problemen die studenten in een afsluitende toets moeten kunnen oplossen. Integendeel, in het onderwijs gaat het erom studenten door oefening vertrouwd te maken met bepaalde typen problemen. Een nieuw probleem kan dan nog wel moeilijk blijken voor de goed geoefende student, maar het mag hem niet meer voor verrassingen plaatsen.

Neem bijvoorbeeld diagnostische problemen. In beginsel zijn alle mogelijke plannen of diagnoses op te sommen, in ieder geval die welke in de lesstof aan de orde zijn. Bij iedere diagnose is aan te geven bij welke symptomen enz. deze diagnose in ieder geval geopperd en overwogen moet worden. Bij ieder koppel van kenmerk (symptoom) met plan (diagnose) passen een aantal problemen uit (denkbare) concrete of denkbeeldige situaties. Omdat er bij een gegeven plan (diagnose) meerdere kenmerken aanknopingspunt kunnen zijn, ontstaat bij het construeren van concrete probleemsituaties een uitwaaiering zoals in fig. 7.2.


Volgens het schema van fig. 7.2 geconstrueerde problemen zijn niet zonder meer bruikbaar. De richting van de constructie is precies omgekeerd aan de richting waarin de student het probleem moet aanpakken. Analyseer het geconstrueerde probleem op het voorkomen van andere kenmerken die voor het zoeken naar plannen van belang kunnen zijn, plannen die daar bij passen en de wijze waarop de onbruikbaarheid van die plannen is te toetsen, en dergelijke. Ook wanneer de constructie van nieuwe problemen vertrekt vanuit een inventarisatie van concrete situaties, horen de voor de hand liggende, maar onbruikbaar blijkende plannen bij de complete analyse. Constructie en analyse verlopen zodoende tegengesteld, ze geven aanleiding tot verschillende waaiers van mogelijkheden zoals vergelijking van Figuur 2 met Figuur 3 laat zien.


Figuur 1

Figuur 2. Constructie van een probleemstelling.


Het belang van een analyse zoals die welke in Figuur 3 abstract is aangegeven, is duidelijk. Het geeft een beeld van hoe complex het probleem voor de student is, welke plannen de student door middel van de bijbehorende toetsen moet weten uit te sluiten voor het geval hij niet meteen het 'juiste' kenmerk met het geschikte plan kiest. Op professioneel niveau is dit exact uitgewerkt te vinden in de literatuur over diagnostiek met hulp van expert systemen (zie Olaf Schröder e.a. (1996) als ingang tot de literatuur).


Figuur 2

Figuur 3. Analyse van een ontworpen probleemstelling.


De analyse geeft aanwijzingen voor de definitieve inkleding van een probleemstelling. De analyse moet duidelijk maken dat noodzakelijke informatie voor het toetsen van alle mogelijke plausibele plannen in de probleemstelling of anderszins beschikbaar is, ook voor plausibele plannen die bij toetsing onbruikbaar blijken.

Deze methode voor het construeren van problemen is voor het ene vakgebied zinvoller dan voor het andere. Maar ook wanneer deze wijze van construeren minder handig is, is de analyse uit fig. 7.3 onmisbaar. Het contrast tussen fig. 7.2 en fig. 7.3 maakt duidelijk dat het onderschatten van de moeilijkheid van een probleem anders onontkoombaar is. Hier doet zich hetzelfde gezichtsbedrog voor als bij het kennisnemen van de oplossing van een gegeven probleem: wie eenmaal de oplossing heeft gezien, is vaak op stel en sprong vergeten welke doodlopende wegen de student te gaan heeft voordat hij het juiste plan geïdentificeerd heeft.

In het bovenstaande is aan het uitvoeren geen afzonderlijke aandacht besteed. Wanneer het uitvoeren van plannen zijn eigen problematische aspecten heeft, zijn uitvoeringsproblemen op dezelfde wijze te construeren als hiervoor beschreven is voor problemen in het algemeen. Met uitzondering van moeilijkheden die liggen in het vinden van de juiste combinatie (tactieken!) of in het opzetten van een juiste redenering.


Deze constructieve benadering is een variant op de methode van de rompvragen (zie 2.5). Een koppel van een kenmerk met een passend plan kan men opvatten als een rompprobleem, een abstract probleem dat vraagt om verdere invulling of concretisering. De constructieve methode doet dan ook enige aanspraak op het vermogen van de docent-deskundige om bij zo'n abstract rompprobleem concrete probleemsituaties te bedenken of verzamelen.

Het concrete karakter van probleemsituaties is van groot belang, maar is ook een bron van moeilijkheden voor de student. De wetten, regels, mogelijke diagnoses en behandelingen uit het tekstboek zien er overzichtelijk uit, zijn gemakkelijk te leren, maar zeer moeilijk onder de knie te krijgen in die zin dat de student ze ook op uiteenlopende concrete situaties weet toe te passen.


“De principes die fundamenteel zijn omdat ze zo algemeen toepasselijk zijn in heel uiteenlopende situaties, zijn in het algemeen ook precies de principes die voor studenten moeilijk te leren zijn omdat ze daartoe moeten leren de betreffende symbolen in zoveel verschillende situaties te interpreteren. Die moeilijkheid wordt nog eens extra aangezet doordat deze wetten met hun algemene symbolen eruit zien als iedere andere gewone vergelijking met symbolen die je mag interpreteren louter met behulp van je kennis van wat dat symbool betekent.”

(mijn vertaling) Larkin 1981


Het feit dat bij het aanpakken van problemen de student 'spontaan' een concrete situatie moet weten te vertalen naar de relevante symbolen, maakt het er voor hem niet gemakkelijker op.


Modelantwoord.

Lees deze passage niet als een aansporing tot bureaucratie.


Voor het nakijken van gemaakt werk is het soms handig een globaal modelantwoord te maken, bijvoorbeeld volgens het schema in fig. 7.1. Hoe ziet een juiste aanpak en oplossing eruitziet, uitgesplitst naar kenmerken, plan, toets op het plan, uitvoering en controle op het antwoord. Eventueel dus meerdere oplossingen. Zie over zin en onzin van modelantwoorden ook hoofdstuk 8.


Beoordelingsvoorschrift. Het beoordelingsvoorschrift legt vast hoe het nagekeken antwoord gescoord wordt, zoals dat bijvoorbeeld bij eindexamenwerk gebeurt. Ga hier niet stug en star mee om. Deze puntentoekenning heeft een subjectief karakter, gebruik daarom dezelfde methode als die in hoofdstuk 8 voor de controle op toetsvragen gegeven: laat collega’s niet alleen de problemen beantwoorden, maar daarbij ook de volgens hen meest gewenste puntentoekenning voor onderdelen van het antwoord aangeven. De resultaten van dit experiment zullen in ieder geval stof tot overleg geven en soms reden tot bezinning over de lesstof. Stelregel moet natuurlijk zijn dat de student het voordeel van de twijfel moet krijgen bij meningsverschillen tussen deskundige beoordelaars; de toets gaat nu eenmaal niet over het vermogen van de student om in de ziel van beoordelaars te kijken.

Een speciaal aandachtspunt vormt de doodgelopen probleemaanpak: de student heeft bijvoorbeeld geen bruikbaar plan kunnen opstellen en daardoor ook geen oplossing kunnen geven. Enige waardering voor het weten te genereren en toetsen van plausibele maar weliswaar onbruikbare plannen kan wel gegeven worden, maar daar houdt het dan wel mee op. Komt het vaak voor dat studenten al in het begin van de probleemaanpak blokkeren, dan is te overwegen of het niet beter is van deelproblemen (zie hieronder) gebruik te maken, want dan zijn de gevolgen voor de student minder rampzalig. Minder ernstige varianten zijn die waarbij de student al vroeg een fout maakt, maar daarna toch op correcte wijze verder naar een oplossing heeft toegewerkt (een oplossing die op zich natuurlijk niet goed is); of waarbij de student de waarde van een bepaalde onbekende niet heeft kunnen vinden en deze onbekende verder als algebraïsche variabele in zijn berekeningen heeft meegenomen.

Wilbrink (1998) gaat in op de problematische kant van het toekennen van punten wanneer het probleem niet is opgelost, maar de student wel van enige kennis heeft blijk gegeven. Grondgedachte is: een beetje kennis hebben maar niet in staat zijn een gegeven probleem op te lossen is niet beter dan helemaal geen kennis hebben.


Deelproblemen. Het is altijd aardiger om te werken met problemen die van de eerste analyse af tot en met de controle op het resultaat beantwoord moeten worden. Maar het is vaak efficiënter om in plaats daarvan te werken met deelproblemen waarin maar een of twee kritische stappen aan de orde zijn. Is het een belangrijk onderwijsdoel dat in concrete probleemsituaties de kenmerken goed worden onderscheiden, dan is het redelijk om in de toets die problemen op te nemen met alleen de vraag naar die bepaalde kenmerken, met weglaten van plannen, toetsen, uitvoeren en controleren. Het weglaten van veel tijd vragende berekeningen is al gebruikelijk in de vorm waarbij de berekening gebeurt met ‘gemakkelijke'’ getallen, maar waarom zou men dan niet volstaan met alleen een goed plan voor de oplossing te vragen? De toets is dan scherper toe te snijden op de onderwijsdoelen.

In onderwijsland heerst een ideologie volgens welke rekenproblemen juist met ‘realistische’ getallen werken: een pond zalm kost alleen vandaag € 12,98. Een volgende stap in gekkigheid is dan: natuurlijke mag de leerling dan een rekenmachine gebruiken voor het rekenwerk [College voor Examens, in advies aan de minister van OCW over gebruik van de rekenmachine). En zo verliest Nederland zijn wiskundig talent in de zompige moerassen van het ‘realistisch rekenen’.


Moeilijkheidsvarianten. Naast het opsplitsen tot deelproblemen zijn er talrijke andere mogelijkheden om de moeilijkheid van (deel)problemen te manipuleren: geven van extra aanwijzingen, verwerken van irrelevante informatie in de probleemstelling, beschikbaar stellen van naslagwerken, concrete probleemsituaties die meer dan wel minder gewoon of kenmerkend zijn, en dergelijke. Wees altijd bedacht op het gemak waarmee de moeilijkheid van een bepaald probleem onderschat kan worden en houd daarbij fig. 7.2 en fig. 7.3 voor ogen.

3 maart 2015. Ik zal nog in een aparte paragraaf aandacht besteden aan kwalitatieve en kwantitatieve modellen voor de moeilijkheid van probleemstellingen. Kwalitatief: begrijpend lezen, beroep op werkgeheugen, wereldkennis, beschikbaarheid van kennis die voor oplossing nodig is, kortom de cognitieve psychologie die hier aan de orde is (Ohlsson). Kwantitatief: Wilbrink 1998 als grondmodel. Een eerste uitwerking zal ik proberen te geven voor de probleemstellingen in de rekentoets-3F bij de eindexamens havo, vwo en mbo. Dat generaliseert dan waarschijnlijk eenvoudig naar probleemstellingen in andere disciplines.


7.4 Literatuur


In 1982 is dit hoofdstuk geschreven op basis van een kleine set onderliggende publicaties, en goede kennis van het psychologisch onderzoek over probleemoplossen, waaronder veelbelovend onderzoek van collega's in Leiden en Twente. Voor de herziening is het nodig de literatuurbasis te actualiseren en uit te breiden. Nieuwe sleutelpublicatie is Stellan Ohlsson (2011).

Voor annotaties bij de hier gegeven literatuur zie annotaties, voor meer literatuuropgaven zie meer literatuur en het literatuurbestand dat ik met het oog op het reken- en wiskundeonderwijs aanleg hier.


Bruce G. Buchanan and Richard O. Duda (1982). Principles of rule-based expert systems. Heuristic Programming Projec Report no. HPP-82-14. pdf

H. F. M. Crombag, J. L. de Wijkerslooth, & E. H. Tuyll van Serooskerken (1972). Over het oplossen van casusposities. Tjeenk Willink. [brochure]

Ulrich Daepp and Pamela Gorkin (2003). Reading, writing, and proving. A closer look at mathematics. Springer. preview

Adriaan D. de Groot (1946). Het denken van den schaker. Een experimenteel psychologische studie. Amsterdam: Noord-Hollandsche Uitgevers maatschappij. dbnl p class='lit'> Adriaan D. Groot (1978). Thought and choice in chess. Den Haag: Mouton, 1978. [als eBook te leen van KB]

Mac Euwe (1966). Handboek voor de gevorderde schaker. Den Haag: Van Stockum. recente herdruk in pb

Deanna Kuhn (2005). Education for thinking. Harvard University Press. Education for Thinking Project

J. H. Larkin (1981). Enriching formal knowledge: a model for learning to solve textbook physics problems. In J. R. Anderson Cognitive skills and their acquisition. Hillsdale, New Jersey, Erlbaum, 1981.

Helge Lenné (1969). Analyse der Mathematikdidaktik in Deutschland. Nach dem Nachlass hrsg. von Walter Jung. Stuttgart: Ernst Klett Verlag.

Kees Mettes en Albert Pilot (1980). Over het leren oplossen van natuurwetenschappelijke problemen; een methode voor ontwikkeling en evaluatie van onderwijs, toegepast op een cursus thermodynamica. Proefschrift T.H. Twente. Enschede: Onderwijskundig Centrum.

Allen Newell (1983). The heuristic of George Polya and its relation to artificial intelligence. In Rudolf Groner, Maria Groner and Walter F. Bischof: Methods of heuristics (195-244). Erlbaum. [als eBook te leen van de KB] Technical Report version is free access; scan 21 Mb of the book chapter. Een voorloper in de vorm van een artikel in 1970: pdf.

Allen Newell and Herbert A. Simon (1972). Human problem solving. Prentice Hall.

Stellan Ohlsson (2011). Deep learning. How the mind overrides experience. Cambridge University Press. zie ook hier

André Tricot & John Sweller (2014). Domain-specific knowledge and why teaching generic skills does not work. Educational Psychology Review preview & concept


George Pólya (1945/1957). How to solve it. Princeton University Press. info

George Pólya (1954/68). Mathematics and plausible reasoning. Volume I: Induction and analogy in mathematics. Volume II: Patterns of plausible inference. Princeton University Press.

Judi Randi, Elena L. Grigorenko, R. J. Sternberg: Revisiting definitions of reading comprehension: Just what is reading comprehension anyway? In Susan E. Israel, Cathy Collins Block, Kathryn L. Bauserman, Kathryn Kinnucan-Welsch (Eds) (2005). Metacognition in literacy learning : theory, assessment, instruction, and professional development. Erlbaum. [als eBook te leen in KB]

Olaf Schröder, Claus Möbus, Jörg Folckers, Heinz-Jürgen Thole (1996). Supporting the Construction of Explanation Models and Diagnostic Reasoning in Probabilistic Domains. pdf

Herbert A. Simon (1978). Information-processing theory of human problem solving. In W. K. Estes (Ed.) (1978). Handbook of learning and cognitive processes, volume 5, Human information processing (271-295). Hillsdale, New Jersey: Lawrence Erlbaum. pdf (van beroerde scan) [het boek is als eBook in de KB te leen]

Herbert A. Simon (1980). Problem solving and education. In D. T. Tuma and F. Reif (Eds.) (1980). Problem solving and education: issues in teaching and research. Erlbaum. [Ik zal hier nog een geschikte vervanging voor zoeken, een artikel dat online beschikbaar is]

Lieven Verschaffel, Brian Greer and Erik de Corte (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets & Zeitlinger.




Overige



Janet E. Davidson & Robert J. Sternberg (Eds.) (2003). The Psychology of Problem Solving. Cambridge University Press. pdf van hele boek



Jacob Sake van den Berg (1983). Natuurkunde - vraagstukken - oplossen. Een vakdidactische studie van het leren oplossen van natuurkundevraagstukken in klas vier vwo. Proefschrift T.H. Eindhoven, rector Stan Ackermans, promotoren De Raat en Kieviet. pdf



John R. Hayes (1989 2nd). The Complete Problem Solver. Erlbaum.


Hayes heeft een serieuze poging ondernomen om probleemoplossen als vaardigheid te onderwijzen. Mijns inziens is hem dat niet gelukt, maar het is leerzaam om te zien wat hij dan wél als leerstof voor probleemoplosen presenteert. Zie voor (nog te maken) aantekeningen hier.



David H. Jonassen (2011). Learning to Solve Problems: A Handbook for Designing Problem-Solving Learning Environments. Routledge. [nog niet gezien, waarschijnlijk als eBook beschikbaar in de KB] site


Jonassen doet de oefening van John Hayes nog maar eens over, dertig jaar later. Een eerste blik in dit boek doet vermoeden dat Jonassen het probleemoplossen als losgekoppeld van enige vakinhoudelijke expertise behandelt. Daar wordt waarschijnlijk niemand echt wijzer van, maar het zou velen op het verkeerde been kunnen zetten. Ik moet hier nog naar kijken, zie voor links en aantekeningen: hier.



Lieven Verschaffel, Erik de Corte, Ton de Jong & Jan Elen (Eds.) (2010). Use of external representations in reasoning and problem solving. Routledge. [in KB als eBook] [nog niet goed gezien] abstract




Links


Voor wiskundig probleemoplossen zie ook matheducation.htm, onder andere het werk van George Polya, Alan Schoenfeld


Ik heb een afzonderlijke projectpagina met literatuur en aantekeningen over probleemoplossen probleemoplossen.htm, tenslotte is dat een bredere thematiek dan het stellen van problemen in toetsen en tests.


Probleemoplossen is een liefdeskindje van protagonisten van vaardigheden die specifiek voor de 21e eeuw van belang zouden zijn. Grotelijkse flauwekul, omdat in dit circuit iedereen elkaar napraat en niemand weet waar ze het eigenlijk over hebben. Zie mijn aantekeningen bij deze academische schandvlek van de SLO toekomst_telt.htm.




Applets


Toren-van-Hanoi probleem html. Verplaats de toren naar een andere staak, grotere stukken mogen niet op kleinere. In de literatuur over kunstmatige intelligentie is dit een veel gebruikt probleem.
Dit probleem is een prachtig casus in intelligentieonderzoek. Zie over het Toren-van-Hanoi probleem bijvoorbeeld Herbert A. Simon: Identifying basic abilities underlying intelligent performance of complex tasks (pp. 76-79). In Lauren B. Resnick (Ed.) (1976). The nature of intelligence (pp. 65-98). Erlbaum. preview




Software



Stuur eens enkele toetsvragen voor commentaar!
Deze versie is in ontwikkeling. Maakt u er gebruik van, dan vraag ik als wederdienst om daar eens iets over terug te melden.


20 augustus 2015 \ contact ben apenstaartje benwilbrink.nl

Valid HTML 4.01!       http://www.benwilbrink.nl/projecten/toetsvragen.7.htm http://goo.gl/e0LzJ