Centrum voor Onderzoek van het Wetenschappelijk Onderwijs

Universiteit van Amsterdam

Gewogen loting

Ben Wilbrink
mei 1975

2-1-2010. De timing van deze oefening was niet echt handig. Op 12 mei 1975 stuurt staatssecretaris Klein aan de TK de precieze regeling van de gewogen loting. Deze komt neer op de proportie-interpretatie, interpretatie 2 in het volgende. De brief van Klein geeft tal van details. Van belang is ook de uitvoeringssystematiek: de notaris komt er natuurlijk aan te pas, maar de loting is niet iets dat vergelijkbaar is met het trekken van namen uit een trommel. De loting en het toekennen van plaatsen zijn uit elkaar gehaald: de notaris plaatst alle gegadigden in een willekeurige volgorde, later worden dan beschikbare plaatsen per lotingscategorie gevuld door kandidaten met de laagste volgnummers te plaatsen. De kandidaten krijgen meteen het toegewezen volgnummer te horen, en kunnen daaruit al enigszins afleiden of zij vrijwel zeker een plaats krijgen, of niet, danwel mogelijk lang op het definitieve besluit moeten wachten. De toewijzingsprocedure zelf vindt in een aantal tranches plaats, waarvan de eerste is na het bekend worden van de eindexamencijfers voor wie niet hoeft te herkansen. De brief van Klein is op deze pagina goeddeels overgenomen.

Wanneer er, schipperend tussen de oude 7,5 regeling en het voorstel van integrale loting, gezocht wordt naar procedures voor een gewogen loting, dan is het aantal keuzemogelijkheden in principe onbeperkt. In het wetsontwerp numerus fixus zijn bij de behandeling in de Tweede Kamer lotingsklassen en verhoudingsgetallen vastgelegd. In het bijzonder is in besprekingen van de vaste kamercommissie vastgelegd dat met verhoudingsgetallen bedoeld wordt aan te geven de verhoudingen tussen proporties toegelatenen per lotingsklasse (d.i. groep met een bepaald eindexamencijfergemiddelde). Een geheel andere interpretatie, die bij toekomstige beslissingen over de toelating bij studentenstops overwogen zou kunnen worden, en die 'prettiger eigenschappen' heeft dan de dit en komend jaar uit te voeren procedure, is dat de gespecificeerde verhoudingsgetallen inderdaad kansverhoudingen zijn. Van belang is dan vooral de vergelijking van de resultaten van beide interpretaties. De beide interpretaties, voortaan resp. interpretatie 1 en interpretatie 2 genoemd, zijn:

Interpretatie 1.

Als de inlotingskans voor iemand in een bepaalde lotingsklasse zeg 2 keer zo groot moet zijn als de lotingskans p voor iemand in een andere lotingsklasse, dan wordt daarmee bedoeld dat eerstgenoemde persoon twee keer mag meeloten met deze kans p. Zijn inlotingskans is dan te berekenen als één min de kans om geen van beide keren in te loten:

1 - ( 1 - p ) ( 1 - p ).

Dit is enigszins vergelijkbaar met de inlotingskans van iemand die besloten heeft maar een keer mee te loten tegenover de inlotingskans van iemand die besloten heeft eventueel ook volgend jaar nog mee te loten. Als de kans beide jaren p is, is de inlotingskans voor degene die eventueel ook een volgend jaar meeloot:

p + ( 1 - p ) p, en dat is gelijk aan

1 - ( 1 - p ) ( 1 - p ).

Interpretatie 2 .

De verhoudingsgetallen schrijven voor hoe de proporties ingelotenen per lotingsklasse zich tot elkaar moeten verhouden. Een wegingsfactor twee betekent dan dat de proportie toe te laten kandidaten voor deze klasse twee keer zo groot moet zijn als voor de lotingsklasse met verhoudingsgetal 1.

Uitwerking.

Stel ik geef kandidaat Jan een kans van 0,5 op inloten. Een goede notariële procedure om die kans te realiseren zou kunnen zijn: de notaris doet twee briefjes in een trommel, op het ene briefje staat ingeloot, op het andere briefje staat (nog) niet ingeloot, en hij trekt één briefje waarbij hij Jan toelaat als er ingeloot op staat.

Jan had een zes gemiddeld op zijn eindlijst vwo, terwijl zijn beste vriend Klaas een negen gemiddeld had. Als Jan een kans p krijgt, zou Klaas een 'drie keer zo grote' kans moeten hebben (althans, wanneer men dezelfde verhoudingsgetallen als nu in de wet staan zou willen handhaven). Een goede interpretatie van deze 'drie keer zo grote' kans is dat de notaris voor Klaas tot drie keer toe een trekking verricht uit dezelfde trommel met twee briefjes als in de laatste alinea beschreven. (Na iedere trekking wordt het getrokken briefje in de trommel teruggelegd, en wordt de trommel gedraaid). De kans dat geen van de drie trekkingen het begeerde briefje ingeloot oplevert is 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8, de kans dat Klaas inloot is dan: 1 - 1/8 = 7/8. Deze werkwijze is volgens interpretatie 1.

Volgens interpretatie 2 zou de kans van Klaas, gegeven de kans van ½ voor Jan, drie maal ½ moeten zijn, en omdat dat een getal groter dan 1 oplevert, wordt Klaas zonder meer toegelaten. Klaas hoeft dus niet mee te loten. Merk op dat volgens deze interpretatie zich kansen groter dan 1 kunnen voordoen, een absurde consequentie van een onjuiste redenering. De bespreking van de gewogen loting in de Tweede Kamer heeft laten zien dat het heel wel mogelijk is om met elkaar af te spreken een onjuiste argumentatie consequent te hanteren, en de brokstukken door andere afspraken weg te werken: kansen of proporties groter dan 1 worden aan 1 gelijk gesteld.

In de eerste tabel, zie volgende bladzijde, een eerste cijfervoorbeeld, voor een situatie waarin er 300 kandidaten zijn, verdeeld over de lotingsklassen zoals in de tabel aangegeven, en 100 beschikbare plaatsen. De in dit rapport gehanteerde verhouding van aantallen kandidaten in de diverse lotingsklassen is geïnspireerd op het gemiddeld cijfer voor de eindexamenvakken dat door Hofstee geënquêteerde studenten zeggen te hebben gehad bij de overgang van klas 5 naar klas 6. Zie Hofstee, in Onderzoek van Onderwijs, april 1975.

In Bijlage 1 een uitvoeriger beschrijving van de berekeningswijze.


TABEL 1. 300 kandidaten, 100 plaatsen.

_____________________________________________________________
lotingsklasse   aantal kandidaten   inlotingskansen (interpr. 1)
______________________________________________________________
    1             87            0,269
    2            112            0,313
    3             61            0,374
    4             28            0,443
    5              8            0,505
    6              4            0,608
_____________________________________________________________

Berekening van inlotingskansen volgens interpretatie 2 (uitvoerig beschreven in een brief aan de Kamer van de staatssecretaris van 13 mei jl.) gebeurt door de onbekende p op te lossen uit een soort vergelijking zoals we hier voor het in TABEL I gehanteerde cijfervoorbeeld hebben:

0,67 p x 87 + 0,80 p x 112 + 1,00 p x 61 + 1,25 p x 28 + 1,50 p x 8 + 2,00 p x 4 = 100.

Doorrekenen levert op: p = 0,379, zodat de kansen voor de diverse lotingsklassen resp. zijn: 0,254; 0,303; 0,379; 0,474; 0,568; 0,758.

In tabel 2 staan resultaten vermeld voor diverse selectieverhoudingen. De uitkomsten van beide interpretaties zijn niet gelijk, en zijn zelfs sterk ongelijk in de vaak te verwachten situatie dat het aantal beschikbare plaatsen niet zo erg veel kleiner is dan het aantal kandidaten. Het principiële verschil tussen beide interpretaties is dat in de ene interpretatie sommige kandidaten direct toegelaten kunnen worden (waarbij wederom evenals bij de 7,5-regeling een scherpe cesuur ontstaat tussen behandeling van bepaalde groepen kandidaten tegenover andere), terwijl in de andere interpretatie iedereen altijd de kans heeft om uitgeloot te worden (zij het dat dit, door de ingebrachte weging voor sommigen minder waarschijnlijk is dan voor anderen).

De tweede interpretatie brengt in bepaalde omstandigheden (waar de waarde voor p groter wordt of gelijk is aan 1/2), dezelfde nadelen die verbonden waren aan de oude 7,5-regeling, dezelfde nadelen bovendien die geleid hebben tot de voorstellen van gewogen of van integrale loting.

De gewogen loting is in de discussie gepresenteerd als een aanvaardbaar compromis tussen de oude 7,5-regeling enerzijds, en de voorstellen voor integrale loting anderzijds. Van deze bedoeling komt in bepaalde situaties weinig of niets terecht wanneer de tweede interpretatie, zoals ook in de brief aan de Kamer van de staatssecretaris, gehanteerd wordt. Uit figuur 1. blijkt dat, paradoxaal genoeg, juist in situaties waarin het plaatsgebrek gering is, interpretatie 2 eigenschappen vertoont die een verscherping betekenen t.o.v. de vroegere 7,5-regeling (waarbij kandidaten met een cijfergemiddelde van 7,5 of hoger direct geplaatst werden).

TABEL 2. Inlotingskansen, verschillende capaciteit, beide interpretaties. (inlotingskansen zijn gelijk aan de verwachting van het relatieve aantal kandidaten dat ingeloot wordt per lotingsklasse).

__________________________________________________________________________

lotings-  berekeningen interpretatie 1    berekeningen interpretatie 2.
klasse
         50/. 100/. 150/. 200/. 250/300   50/. 100/. 150/. 200/. 250/300
__________________________________________________________________________

 1        0,131 0,269 0,418 0,581 0,764   0,127 0,254 0,382 0,516 0,675
 2        0,154 0,313 0,476 0,646 0,822   0,152 0,303 0,456 0,617 0,806
 3        0,189 0,374 0,554 0,727 0,884   0,189 0,379 0,571 0,771 (1,0)
 4        0.232 0,443 0,636 0,803 0,932   0,237 0,474 0,713 0,964 (1,0)
 5        0,270 0,505 0,702 0,857 0,960   0,284 0,568 0,856 (1,0) (1,0)
 6        0,342 0,608 0,801 0,925 0,987   0,379 0,758 (1,0) (1,0) (1,0)
__________________________________________________________________________

Noot. De data zijn geplot in Figuur 1.


[Noot bij Figuur 1. Ook de 7,5-regeling is voor verhouding 250/300 ingetekend (oranje). [Telkens 300 kandidaten, voor respectievelijk van boven naar beneden 250, 200, 150, 100 en 50 beschikbare plaatsen, dus voor toenemende selectiviteit. Let op het plafond-effect, en de nivellering bij scherpere selectieratio's. De figuur is opnieuw geplot, de originele plot nabootsend, maart 2003. b.w. ]

Voor een goed begrip van het verschil tussen beide interpretaties zal nog een getallen voorbeeld gegeven worden. Nog steeds uitgaand van dezelfde uitgangsgegevens als in tabellen 1 en 2 gehanteerd, voor een situatie waarin 100 plaatsen voor 300 kandidaten beschikbaar zijn, hebben we de inlotingskans voor een kandidaat in de eerste inlotingsklasse berekend op 0,269. Stel dat de notaris besluit om deze inlotingskans te realiseren door voor kandidaten in deze lotingsklasse telkens één keer te trekken uit een trommel met 1000 briefjes, waarvan er 269 met het opschrift ingeloot. Volgens interpretatie 1 zou iemand in lotingsklasse zes, die volgens het verhoudingsgetal drie mee moeten doen (zolang althans we dezelfde verhoudingsgetallen aanhouden als nu in de wet vastgelegd), drie maal uit deze zelfde trommel mogen trekken (met na iedere trekking teruglegging van het getrokken briefje). Drie maal mogen trekken levert een inlotingskans die gelijk is aan 1 min de kans om geen van de drie keren een briefje ingeloot te trekken, ofwel:

1 - (731/1000) × (731/1000) × (731/1000) = 1 - 0,391 = 0,609, een waarde die op afrondingsfouten na gelijk is aan de eerder berekende 0,608.

Volgens de tweede interpretatie zou een kandidaat uit lotingsklasse zes mogen trekken uit een trommel met 3 x 269 = 807 briefjes ingeloot.

Het verschil is dat deze kandidaat volgens interpretatie 1 een kans 0,609, volgens interpretatie 2 een kans 0,807 heeft. Je zou de vraag kunnen stellen hoe vaak we iemand mogen laten trekken uit een trommel met 269 briefjes ingeloot om hem of haar een inlotingskans 0,807 te geven. Daartoe moeten we n oplossen uit

1 - (731/1000) ⁿ = 0,807.

Het antwoord is dat we deze kandidaat dan meer dan vijf keer uit dezelfde trommel moeten laten trekken waaruit een kandidaat in de eerste lotingsklasse maar één keer mag trekken.

Misschien geheel ten overvloede merken we nog op dat er niets in de aard der dingen is dat een indeling in zes lotingsklassen dwingend voorschrijft, of wegingsfactoren zoals die op dit moment in de wet zijn vastgelegd. Hoewel de keuze die in de wet gedaan is, in dit rapport niet ter discussie wordt gesteld, zal dat wel moeten gebeuren bij een volgende algemene discussie over toelating onder numerus fixus regelingen.

BIJLAGE 1. BEREKENING VAN INLOTINGSKANSEN.

We gebruiken de volgende afkortingen:

C: de capaciteit, d.w.z. het aantal beschikbare plaatsen.

F_i: het aantal kandidaten in lotingsklasse i: i = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

p, q, u: parameters die voor de berekening nodig zijn.

v_i: het verhoudingsgetal voor lotingsklasse i. De verhoudingsgetallen zoals in de wet voorgeschreven zijn respectievelijk: 0,67; 0,80; 1,00; 1,25; 1,50; 2,00.

Berekening van inlotingskansen onder de dit en komend jaar te hanteren interpretatie 2, de interpretatie Vermaat:
(a)       Σ⁶_i=1 p F_i v_i = C,

Eerder werd een concreet voorbeeld gegeven.

Berekening van inlotingskansen in interpretatie 1, de in dit rapport voorgestelde interpretatie, gaat volgens basisformule b), een formule die vervangen mag worden door formules waarin de v_i met een constante vermenigvuldigd zijn (immers, de verhoudingen worden dan niet aangetast). Voorbeeld daarvan is vermenigvuldiging met 100, als in formule c).

(b)       Σ⁶_i=1 p F_i ( 1 - u^v_i ) = C,

(c)       Σ⁶_i=1 p F_i ( 1 - q^{100 v_i} ) = C,

Deze formules, ingevuld met de gegevens zoals vermeld in TABEL 1, worden dan:

(b) 87 (1 - u^0,67) + 112 (1 - u^0,80) + 61 (1 - u^1,00) + 28 (1 - u^1,25) + 8 (1 - u^1,50) + 4 (l - u^2,00) = 100

u = 0,626

kansen resp. 0,269; 0,313; 0,374; 0,443; 0,505; 0,608.

(c) 87 (1 - q⁶⁷) + 112 (1 - q⁸⁰) + 61 (1 - q¹⁰⁰) + 28 (1 - q¹²⁵) + 8 (1 - q¹⁵⁰) + 4 (l - q²⁰⁰) = 100

q = 0,99533.

kansen resp. 0,269; 0,312; 0,374; 0,443; 0,504; 0,608.



Toelichting op formules b) en c):

formule b

Stel de kans voor een kandidaat in lotingsklasse 3 om in te loten is p, een waarde die we nog niet kennen, maar straks hopen te kunnen berekenen. Een kandidaat in lotingsklasse zes moet dan een toelatingskans krijgen, gebaseerd op het in de wet genoemde verhoudingsgetal 2 (lotingsklasse 3 heeft verhoudingsgetal 1).

Als de kans voor een kandidaat in lotingsklasse 3 om in te loten gelijk is aan p, dan berekenen we de kans voor iemand in lotingsklasse 6 om in te loten als volgt:

• hij (of zij) krijgt twee maal een kans p om in te loten, er worden a.h.w. twee trekkingen voor hem gedaan met telkens een kans p om. in te loten;
  
  
• de kans om bij de eerste trekking niet in te loten is 1 - p, we noemen die uitlotinsgkans u. Dus u = 1 - p.
  
  
• de kans om de tweede keer uit te loten is eveneens u;
  
  
• de kans om beide keren uit te loten is u × u = u²;
  
  
• de kans om in te loten is het complement daarvan, dus 1 - u² (je loot in wanneer de eerste, de tweede, of beide trekkingen een gunstig resultaat opleveren).

Als we de inlotingskans voor iemand in lotingsklasse 3 schrijven als 1 - u, kunnen we de kans voor iemand in lotingsklasse 6 schrijven als 1 - u². Op dezelfde wijze kunnen we de inlotingsklassen voor de overige inlotingsklassen schrijven door als exponent voor u het in de wet gegeven verhoudingsgetal te schrijven. Voor alle klassen dus resp. 1 - u^0,67; 1 - u^0,80; 1 - u^1,00; 1 - u^1,25; 1 - u^1,50; l - u^2,00.

We kunnen de waarde van u berekenen zodra we weten hoeveel kandidaten er in iedere lotingsklasse zijn, en hoeveel plaatsen er beschikbaar zijn. Voor iedere lotingsklasse vermenigvuldigen we de kans met het aantal kandidaten in die klasse, we sommeren deze verkregen getallen en stellen dit totaal gelijk aan de capaciteit C. Dit levert een vergelijking met één onbekende (dat is u) op, die zij het ook met enig proberen, oplosbaar is. Als de waarde van u bekend is, zijn de kansen vervolgens ook te berekenen.

De kansen zoals we die berekenen zijn waarden die we kunnen verwachten als we proporties ingelotenen over een zeer groot aantal herhaalde loterijen gaan middelen. Iedere afzonderlijke loterij zal waarden opleveren die meer of minder van de theoretische verwachte waarden afwijken.

formule c

Stel dat de notaris de inloting verricht door voor iedere kandidaat een aantal keren een briefje te trekken (met iedere keer teruglegging) uit een trommel waarin in totaal 100.000 briefjes, waarvan er een aantal k met de tekst ingeloot, en h met de tekst (nog) niet ingeloot ( k = 100.000 - h ).

Stel dat de notaris voor iemand uit lotingsklasse 3 honderd trekkingen uit deze trommel verricht (waarbij na iedere trekking terug gelegd wordt). De kans dat bij een bepaalde trekking geen briefje ingeloot getrokken wordt, is h/100.000, noem deze kans q. De kans dat bij geen enkele van honderd trekkingen een briefje ingeloot getrokken wordt is q¹⁰⁰, waaruit dan weer volgt dat de kans dat onze kandidaat inloot het complement is, nl.: 1 - q¹⁰⁰. Als iemand in lotingsklasse 3 voor honderd trekkingen mee doet, dan doet iemand in lotingsklasse 2 volgens de in de wet gegeven verhoudingsgetallen 80 keer mee, en is zijn inlotingskans volgens dezelfde redenering 1 - q⁸⁰. Voor alle zes lotingsklassen vinden we de respectieve kansen:

1 - q⁶⁷; 1 - q⁸⁰; 1 - q¹⁰⁰; 1 - q¹²⁵;1 q¹⁵⁰; 1 - q²⁰⁰.

We willen de waarde van q kunnen berekenen, dan moeten we wederom het aantal kandidaten in iedere lotingsklasse weten, en het aantal beschikbare plaatsen. Kansen en aantallen worden met elkaar per lotingsklasse vermenigvuldigd, en moeten gesommeerd gelijk zijn aan de capaciteit C. Uit de zo verkregen vergelijking met als enige onbekende q kunnen we de laatste met enig proberen weer uitrekenen, waarna de kansen voor iedere lotingsklasse snel becijferd kunnen worden.

Aan het bovenstaande kan toegevoegd worden dat voor het geval we 0,67 gelijk willen stellen aan 2/3, we met iets kleinere exponenten ook uit kunnen gaan van de volgende kansen:

1 - q⁴⁰; 1 - q⁴⁸; 1 - q⁶⁰; 1 - q⁷⁵;1 q⁹⁰; 1 - q¹²⁰, met dezelfde resultaten.

Verdere toelichting. Er kan niet genoeg de nadruk op gelegd worden dat de berekening van verwachte kansen of proporties ingelotenen en het door een notaris uitvoeren van de lotingsprocedure te onderscheiden zaken zijn. De kansen zoals we die berekenen zijn waarden die we kunnen verwachten als we proporties ingelotenen over een zeer groot aantal herhaalde loterijen gaan middelen. Iedere afzonderlijke loterij zal waarden opleveren die meer of minder van de theoretisch verwachte waarden afwijken.

In de praktijk kunnen we toetsen of de resultaten van de door een notaris uitgevoerde loterij voldoende in overeenstemming zijn met de theoretisch verwachte waarden, waarbij we er ook op letten of de overeenstemming niet wat aan de onverwacht grote kant is.

In het voorgaande zijn door elkaar heen gebruikt de termen kansen en proporties toegelatenen. Daar past eveneens een toelichting bij. Een inlotingskans zoals we die met behulp van de gegeven formules kunnen berekenen moet ongeveer als volgt geïnterpreteerd worden: stel onze notaris heeft plezier in het verrichten van deze loterij, en doet het niet één keer, maar zeg 1000 keer. Statistisch gezien mag ik verwachten bij die 1000 loterijen gemiddeld 374 keer in te loten wanneer ik een gemiddeld eindcijfer van iets meer dan 7 heb, en de lotingssituatie is zoals in TABEL 1 beschreven ('gemiddeld 374' is slordig uitgedrukt: als de notaris een aantal series van 1000 loterijen zou doen, is het gemiddelde van het aantal keren dat ik per 1000 loterijen ingeloot wordt gelijk aan 374). We kunnen ook zeggen: stel dat er 1000 kandidaten in mijn lotingsklasse zijn, dan is het waarschijnlijk dat van deze 1000 er bij een bepaalde loterij een aantal ingeloot wordt dat niet veel afwijkt van 174. Preciezer: over een groot aantal van dergelijke loterijen vinden we dat het gemiddelde van het aantal ingelotenen de waarde van 374 benadert.

De theoretische waarden voor proportie ingelotenen en voor de kans voor een bepaalde persoon om in te loten zijn in de geschetste situatie hetzelfde. Dat beide waarden gelijk zijn, is iets dat in het algemeen zeker niet zo hoeft te zijn. Dat er veel situaties zijn waarin beide waarden aantoonbaar gelijk en in zekere zin voor elkaar inwisselbaar zijn, is misschien een verklaring waarom degenen, o.a. staatssecretaris Klein, die een juiste kans interpretatie verdedigden, gedwongen zijn tot een afspraak die volledig tegemoet komt aan een op misvattingen gebaseerde kansconceptie.

BIJLAGE 2. Een onjuiste formule

Stel we geven iedere kandidaat in lotingsklasse 1 67 lotjes met zijn of haar naam er op; iedere kandidaat in lotingsklasse 2 krijgt 80 lotjes, etc. voor de volgende lotingsklassen resp. 100, 125, 150 en 200 persoonlijke lotjes. Alle lotjes gaan in een grote trommel, waaruit de notaris telkens een lotje trekt, de naam noteert die erop staat, en het lotje in de trommel teruglegt (die daarna nog eens goed gedraaid wordt voordat de volgende trekking plaatsvindt). Ingeloot zijn al degenen van wie de naam op deze wijze tenminste éénmaal wordt opgeschreven. De notaris gaat door met de trekkingen totdat evenveel verschillende namen zijn opgeschreven als er plaatsen beschikbaar zijn. Als de aantallen kandidaten per lotingsklasse bekend zijn, en het aantal beschikbare plaatsen is ook bekend, dan zou men kunnen denken dat een formule voor de berekening van inlotingskansen als volgt opgesteld kan worden:

Het totale aantal lotjes in de trommel is bekend, noem dit aantal T. Dit aantal blijft ook constant omdat alle lotjes telkens terug gelegd worden (een procedure die voor het berekenen van kansen erg handig is, maar in de praktijk best achterwege gelaten kan worden omdat het al of niet terugleggen in geen enkel opzicht de kansen beïnvloedt). De kans dat voor onze kandidaat bij een bepaalde trekking een lotje van hem of haar getrokken wordt is 67/T, dat er géén lotje van hem of haar getrokken wordt is dan 1 - 67/T. Dan weten we dat de kans dat bij n trekkingen er géén lotje van hem of haar getrokken wordt gelijk is aan (1 - 67/T) ⁿ , waaruit weer volgt dat de kans dat er tenminste één lotje van hem of haar getrokken wordt gelijk is aan het complement: 1 - (1 - 67/T) ⁿ.

Op dezelfde wijze berekenen we de inlotingsklassen bij n trekkingen voor kandidaten in alle zes inlotingsklassen als resp.:

1 - (1 - 67/T) ⁿ; 1 - (1-80/T) ⁿ; 1 - (1 - 100/T) ⁿ; 1 - (1 - 125/T)< ⁿ;1 - (1 - 150/T) ⁿ;1 - (1 - 150/T) ⁿ.

Omdat n, het aantal trekkingen dat nodig is om precies het aantal beschikbare plaatsen te vullen, zélf een stochastische variabele is, een variabele die een kansverdeling heeft, kunnen we nu niet zomaar de genoemde kansen vermenigvuldigen met de aantallen kandidaten in de betreffende lotingsklasse, en de som. gelijk stellen aan C, om zo vervolgens n uit te rekenen. Aan G. Hooghiemstra, verbonden aan het Instituut voor Mathematische Statistiek R.U., dank ik de volgende correcte, maar helaas niet tot een oplossing leidende, procedure:


Zij f (n) = Σ⁶_i=1 p F_i ( 1 - (1 - 100 v_i / T ) ⁿ ).


Het aantal trekkingen n varieert van m (gelijk aan het aantal beschikbare plaatsen), naar oneindig. De kans dat de stochastische variabele n een bepaalde waarde n aanneemt noemen we P(n = n).

Jammer genoeg is P(n = n) niet uit te rekenen, anders zouden de inlotingskansen berekend kunnen worden uit:

Σ⁶_i=1 f (n) × P(n=n) = m.

Wanneer het om kleine aantallen zou gaan, zou de verdeling van n wel uitgerekend kunnen worden.

Toch is het zo, dat de in tabel 2 (linker deel) gegeven kansen heel goed benaderd worden door de kansen uit te rekenen na n opgelost te hebben uit f(n) = m (waarbij n onterecht als een constante beschouwd wordt).

Hooghiemstra heeft een benadering voor de individuele termen uit f(n) gegeven die de vergelijking f(n) = m herleidt tot een vergelijking van dezelfde soort als in bijlage 1 gegeven onder b) en c).

De termen in f(n) kunnen als volgt benaderd worden (stel A = T/n):

Dan: (1 - 100 v_i /T) ⁿ = ( 1 - 100 v_i /nA) ⁿ = (bij benadering) e^{-100v_i /A}.

(Noot: Het getal e is het grondtal van de natuurlijke logaritmen, e = 2,718.... .)

Herschrijven we nu f(n) = m met behulp van dit resultaat:

f (n) = F ₁(1 - e ^{-67v_i /A)} + F ₂ (1 - e ^{-80v_i /A)} + ...... + F ₆ (1 - e ^{-200v_i /A)} = m.

Zoals te zien is, een formule die uit formule c) in bijlage 1 te verkrijgen is door de exponenten van q alle te vermenigvuldigen met een constante -1/A, die zo gekozen is dat q gelijk wordt aan e.

Er is ook nog een andere reden waarom een formule zoals in deze bijlage besproken niet zonder meer ingewisseld mag worden met de in bijlage 1 besproken formules b) of c). De uitgangspunten zijn principiëel verschillend. Het geven van lotjes in aantallen die zich verhouden als de gegeven verhoudingsgetallen is iets geheel anders als de in bijlage 1 en in de rest van dit rapport gevolgde methode.

Een simpel en extreem voorbeeld kan dit verduidelijken. Stel er zijn twee kandidaten, Ger met een ruime zeven op zijn eindlijst, en Joop met een negen gemiddeld, die beide solliciteren naar één beschikbare plaats. wanneer als uitgangspunt genomen wordt dat kansen bepaald worden door verschillende aantallen uit te geven lotjes, dan zou Ger 1 lotje en Joop 2 lotjes krijgen. Inlotingskans van Ger is dan 1/3 en van Joop 2/3. Volgens het in dit rapport in interpretatie 1 gekozen uitgangspunt zou Joop echter, uitgaande van een kans voor Ger van 1/3, en ervan uitgaand dat de kans van Joop met een factor twee gewogen wordt t.o.v. de kans van Ger, de kans van Joop worden: 1 - (2/3) ² = 1 - 4/9 = 5/9, en dat is zeker geen 2/3.

(willen we precies die éne beschikbare plaats vullen, dan hanteren we natuurlijk de formule 1(1 - q) × 1 + 1(1 - q ² ) × i = 1, waaruit q = 0,5 √5 - 0,5 = 0,6180, en dus de inlotingskansen van Ger en Joop respectievelijk 0,3820 en 0,6180.)

Voor grote aantallen kandidaten, en een grote capaciteit, leiden de verschillende uitgangspunten tot vrijwel dezelfde resultaten. De lotingssimulaties in bijlage 3 zijn met name op het lotjes uitgangspunt gebaseerd, en geven (zie tabel 3) voor de gegeven situaties een zeer goede benadering voor de waarden berekend met behulp van formule b) in bijlage 1. Gaat het simuleren van een loting het eenvoudigst via lotjes, een kansberekening op basis van een lotjesprocedure lijkt vooralsnog alleen mogelijk wanneer alle mogelijkheden expliciet uitgeschreven kunnen worden (wat bij reële aantallen kandidaten niet doenlijk lijkt). Merk op dat in het gegeven voorbeeld van Ger en Joop het lotjesuitgangspunt dezelfde resultaten geeft als interpretatie 2.

BIJLAGE 3. Gesimuleerde lotingen.

Een mogelijkheid om de gegeven formules op hun juistheid te controleren, is het uitvoeren van een groot aantal lotingen en de gemiddelde resultaten te vergelijken met de theoretisch berekende waarden. Middel bij uitstek daarvoor is de computer. Dankzij een door Willem van der Avoird geschreven programma konden een aantal series van 999 simulaties worden uitgevoerd. Kandidaten in de verschillende lotingsklassen kregen resp. de volgende aantallen lotjes: 67, 80, 100, 125, 150 en 200 *). Na doornummering van alle lotjes werden uit dit bestand trekkingen verricht door via een random getallen generator lotnummers aan te wijzen. Lotjes van getrokken kandidaten werden gemerkt, maar bleven in het bestand zodat zij nog bij volgende trekkingen getrokken konden worden.

Op deze wijze werd een loting met teruglegging gesimuleerd (een voorbeeld daarvan op de volgende bladzijde).

Voor ieder van de in tabel twee voorkomende lotingen werden 999 gesimuleerde lotingen verricht, waarvan de resultaten op blz. 18 gegeven worden. Vergelijking van de laatste twee kolommen laat zien dat gesimuleerde kansen en theoretische kansen (of proporties) elkaar zeer dicht benaderen.

*) Zie echter het in bijlage 2 gestelde over de lotjes procedure.

40 GESIMULEERDE TREKKINGEN VAN 100 UIT 100 KANDIDATEN
_________________________________________________________________________
GROEPEN:	1	2	 2	 4	  5	 6    TREKKINGEN
AANGEMELD:	4	8	28	61	112	87
_________________________________________________________________________
INGELOOT:

SIM.  1:	3	3	 9	26	30	29	115
SIM.  2:	3	4	17	29	26	21	125
SIM.  3:	a	3	 9	27	29	30	123
SIM.  4:	4	6	11	21	33	25	134
SIM.  5:	4	2	12	21	38	23	123
SIM.  6:	2	5	 9	22	42	20	120
SIM.  7.	3	2	12	27	35	21	130
SIM.  8:	3	6	11	20	33	27	123
SIM.  9:	2	3	 9	23	41	22	124
SIM. 10:	2	6	10	24	35	23	138
SIM. 11:	1	5	15	15	38	24	116
SIM. 12:	2	1	 5	12	22	22	129
SIM. 12:	2	4	13	26	28	27	126
SIM. 14:	4	4	11	22	36	23	118
SIM. 15:	1	4	12	29	29	23	121
SIM. 16,	3	4	16	18	37	22	120
SIM. 17:	4	3	13	23	34	23	120
SIM. 18:	3	2	13	24	32	26	128
SIM. 19:	0	4	15	26	33	22	115
SIM. 20:	1	5	12	30	28	24	135
SIM. 21:	1	4	 9	28	31	26	123
SIM. 22:	1	6	16	22	39	16	133
SIM. 23:	3	5	15	22	32	23	131
SIM. 24:	2	7	14	21	38	18	122
SIM. 25:	2	6	 9	22	41	20	127
SIM. 26:	2	2	14	29	35	19	127
SIM. 27:	4	3	 9	23	39	22	129
SIM. 28:	2	6	 8	29	33	22	132
SIM. 29:	1	5	12	27	33	19	121
SIM. 30:	4	2	11	22	34	27	126
TIM. 31:	2	4	15	20	36	23	126
SIM. 32:	1	4	17	24	34	20	113
SIM. 33:	3	4	16	22	11	24	121
SIM. 34:	3	2	 9	19	40	27	119
SIM. 35.	2	6	12	23	41	16	133
SIM. 36:	3	0	 8	28	37	21	119
SIM. 37:	3	4	13	24	32	24	123
SIM. 38:	3	2	14	23	27	26	128
SIM. 39:	2	5	15	20	36	22	118
SIM. 40:	4	5	 9	23	31	28	122

GROEP 1 =    4     INL.GEMIDD.   2.575	ST.AFW.   .972  INL.PERC.  64.3
GROEP 2 =    0     INL.GEMIDD.   4.125	ST.AFW.  1.400  INL.PERC.  51.5
GROEP 1 =   28     INL.GEMIDD.  12.175	ST.AFW.  2.645  INL.PERC.  43.4
GPOEP 4 =   61     INL.GEMIDD.  23.750	ST.AFW.  0.411  INL.PERC.  38.9
GROEP 5 =  112     INL.GEMIDD.  34.375	ST.AFW.  4.133  INL.PERC.  30.6
GROEP 6 =   87     INL.GEMIDD.  23.000	ST.AFW.  3.202  INL.PERC.  26.4

TABEL 3. Vijf maal 999 gesimuleerde lotingen

 
________________________________________________________________________________
Capaciteit inlotings- gemiddeld  standaard  gemiddelde  theoretisch
           klasse     aantal     deviatie   proportie   berekende
                      ingeloot              ingeloot    kans
________________________________________________________________________________
               1      11,328      2,695      0,130      0,131
               2      17,232      3,062      0,154      0,154
               3      11,525      2,770      0,188      0,189
50/300         4       6,409      2,060      0,228      0,232
               5       2,181      1,239      0,272      0,270
               6       1,324      0,934      0,332      0,342
________________________________________________________________________________
               1      23,302      3,582      0,267      0,269
               2      35,048      3,996      0,312      0,313
               3      22,731      3,359      0,372      0,374
100/300        4      12,438      2,433      0,444      0,443
               5       4,054      1,349      0,507      0,505
               6       2,426      0,967      0,606      0,608
________________________________________________________________________________
               1      36,133      3,825      0,415      0,418
               2      53,401      4,114      0,476      0,476
               3      33,841      3,433      0,555      0,554
150/300        4      17,846      2,399      0,638      0,636
               5       5,585      1,255      0,699      0,702
               6       3,194      0,803      0,798      0,801
________________________________________________________________________________
               1      50,369      3,784      0,579      0,581
               2      72,309      4,134      0,645      0,646
               3      44,355      3,221      0,727      0,727
200/300        4      22,394      2,071      0,799      0,803
               5       6,870      0,982      0,858      0,857
               6       3,702      0,521      0,925      0,925
________________________________________________________________________________
               1      66,200      3,137      0,760      0,764
               2      92,024      3,299      0,821      0,822
               3      54,054      2,346      0,886      0,884
250/300        4      26,071      1,370      0,931      0,932
               5       7,705      0,531      0,964      0,960
               6       3,946      0,226      0,987      0,987
________________________________________________________________________________

BIJLAGE 4

Uit het voorlopig verslag van de Vaste Commissie voor Onderwijs en Wetenschappen en voor Wetenschapsbeleid en Wetenschappelijk Onderwijs omtrent het ontwerp van wet Verlenging en wijziging van de machtigingswet inschrijving studenten: (Eerste Kamer, zitting 1974- 75, 12 929, nr. 874):

De leden van de fractie van D'66 hadden voorts begrepen, dat de bedoeling van het gewogen toelatingssysteem is geweest om de cesuur tussen hen, die op grond van behaalde cijfers zonder meer worden toegelaten, en hen, die moeten loten, weg te nemen (zie het betoog van de heer Vermaat, Handelingen Tweede Kamer, zitting 1974-75, blz. 3493). Echter uit artikel 4, lid 2, sub a, van het wetsontwerp, zoals nader toegelicht en geïnterpreteerd door de heer Vermaat en de Staatssecretaris (Handelingen Tweede Kamer, zitting 1974-75, blz. 3577) blijkt, dat in bepaalde gevallen een of meer lotingsklassen automatisch worden toegelaten, namelijk als de totale plaatsingskans maal het gewicht van de lotingsklasse groter is dan het gewogen gemiddelde van alle gewichten. In feite geschiedt de loting dan door een aparte trekking voor iedere lotingsklasse. De cesuur waar zoveel bezwaren tegen bestonden, wordt daarbij dus toch gehandhaafd. Laat de wet ook een andere uitvoering toe, waarbij men voor iedere kandidaat een aantal balletjes maakt in de verhouding van de gewenste gewichten (te weten 200, 150, 125, 100, 80, 67) en dan door een aantal trekkingen uit de gehele verzameling bepaalt wie er is toegelaten? In dat geval zullen ook zij met de hoogste gewichtsfactor een kans hebben niet getrokken te worden en de ongewenste cesuur wordt daardoor vermeden. De praktische uitvoering van dit systeem zal uiteraard met de computer geschieden en niet met balletjes.

De loting zoals die in werkelijkheid zal plaats vinden, gebeurt door per lotingsklasse een aantal plaatsen te reserveren dat overeenstemt met de theoretisch verwachte waarde van de bij loting over alle klassen samen toe te laten proporties. Een dergelijke procedure is nogal ingrijpend anders dan alles wat in dit rapport besproken is aan lotingsprocedures. Waar het in dit geval echter om, gaat, is of de kansen voordat de loting begint, onder de praktische procedure gelijk zijn aan de kansen zoals die in de ideale procedure zouden zijn. Wanneer de per lotingsklasse te reserveren aantallen plaatsen bepaald worden op basis van de proporties zoals berekend met de formules b) of c) in bijlage 1, bestaat er m.i. geen bezwaar tegen een dergelijke praktische aanpak. Men kan de kansen berekenen zoals in dit rapport aangegeven, en een notariële procedure volgen waarbij in feite voor iedere lotingsklasse een afzonderlijke loting verricht wordt, met binnen die lotingsklasse gelijke kansen voor de betrokken kandidaten. De variabiliteit in uitkomsten van de loting wordt door deze praktische handelwijze nogal ingeperkt, maar zonder de kansen van de kandidaten zoals die aan het begin van de loting zijn, aan te tasten.

Tenslotte nog een opmerking betreffende een observatie die niet van enig belang ontbloot lijkt te zijn. Een bezwaar dat in sterke mate geldt tegen de dit en komend jaar gehanteerde interpretatie 2, en in gevallen waarin de capaciteit groot is ook geldt tegen de in dit rapport uitgewerkte interpretatie 1 (in dergelijke gevallen dus een bezwaar tegen de gewogen loting als zodanig), is dat uitlotingskansen voor de diverse lotingsklassen zich nogal extreem tot elkaar kunnen gaan verhouden.

Zo is het nog maar de vraag of het de bedoeling van de indieners van het nu in de wet opgenomen amendement Vermaat geweest kan zijn dat in de situatie waarin de toelatingskansen voor twee kandidaten resp. 0,30 en 0,90 zijn (volgens interpretatie 2 mogelijk), de uitlotingskansen voor beide kandidaten resp. 0,70 en 0,10 zijn. Dus een factor zeven verschillen als we in de geest van interpretatie 2 redeneren, en aanzienlijk veel meer wanneer we de situatie behoorlijk in termen van de voor beide kandidaten bestaande kansen analyseren.

CONCLUSIES EN SAMENVATTING.

Gewogen lotingsprocedures zijn op velerlei wijze op te zetten. Het in de wet opgenomen amendement Vermaat is uit de vele mogelijkheden een heel bepaalde keuze, een keuze bovendien die nogal extreem is, en de minder wenselijke eigenschap heeft dat naarmate het relatieve tekort aan beschikbare plaatsen kleiner is, de verschillen in behandeling van kandidaten met verschillende gemiddelde eindexamencijfers groter worden. Gedemonstreerd wordt, waar de staatssecretaris tijdens de behandeling in de Tweede Kamer ook op gewezen heeft, dat in bepaalde niet zeldzame situaties deze gewogen loting harder is dan de oude 7,5-regeling.

Aanleiding tot het schrijven van dit rapport was het vermoeden dat een alternatieve procedure, uitgaande van dezelfde wegingsfactoren, binnen dit wetsartikel zou passen. In besprekingen van de vaste kamercommissie met de staatssecretaris, voorafgaand aan de behandeling in de Kamer, blijkt echter duidelijk afgesproken te zijn dat de wegingsfactoren geïnterpreteerd zullen worden zoals door de staatssecretaris in zijn brief aan de Kamer van 13 mei jl. beschreven werd.

Berekeningsprocedures, en resultaten in termen van inlotingskansen, voor bedoelde alternatieve interpretatie worden hier desondanks gerapporteerd. De hier gepresenteerde benadering lijkt van belang bij het nemen van hernieuwde beslissingen over toelatingsprocedures zoals dat waarschijnlijk binnen het door de Kamer gestelde tijdsbestek van twee jaar zal gebeuren.

De regeling zoals hier uitgewerkt, heeft, in tegenstelling tot de gewogen loting zoals die dit en komend jaar zal worden uitgevoerd, wél de eigenschap dat zij in alle voorkomende gevallen een compromis is tussen de oude 7,5-regeling (door een grote meerderheid in de Tweede Kamer als minder gewenst ervaren) en de integrale loting zoals voorgesteld door de staatssecretaris (daarin gesteund door een grote minderheid in de Kamer). Hoewel vastgehouden is aan de wegingsfactoren en klassenindeling zoals nu in de wet opgenomen, zal bij toekomstig overleg met name ook de keuze van wegingsfactoren en klassenindeling weer ter discussie gesteld moeten worden.

Bij de digitale publicatie van een rapport uit 1975.

Dit rapport gaat over een dubbelzinnigheid in de betekenis van de wegingsfactoren voor de gewogen loting bij de toelating tot numerus-fixusstudies. Al naar gelang de gekozen interpretatie kunnen feitelijke toelatingskansen voor een gegeven kandidaat nogal verschillen. Staatssecretaris Klein bleek echter de dubbelzinnigheid weggenomen te hebben. Aan de tekst van het oorspronkelijke rapport is correspondentie toegevoegd van de staatssecretaris, en van de heer Vermaat, die als lid van de Tweede Kamerfractie voor de AR Partij destijds het amendement voor de gewoging loting indiende, als compromis tussen de onverzoenlijke standpunten van 'links' en 'rechts' in de TK. Voor een samenvatting van de parlementaire behandeling, ook in de EK, in 1975, zie mijn bijdrage in de bijlage bij het rapport van de commissie Drenth (1997).

Voor het precieze gedrag van de gewogen loting, onder verschillende omstandigheden zoals de verhouding van aantal beschikbare plaatsen tot het aantal kandidaten, is bij het publiek altijd weinig belangstelling geweest. Destijds heeft Ger Klein ten behoeve van de kamerbehandeling berekeningen gerapporteerd. Hofstee is altijd bijzonder geïnteresseerd geweest in compromisregelingen, en heeft alternatieve voorstellen gedaan. Latere commissies hebben onnodig in het duister getast bij de gedachtevorming over beheersing van toelatingskansen, door deze niet zorgvuldig te kwantificeren voor de uiteenlopende omstandigheden van de kandidaten (zie mijn 2003).

CRWO (1979). Loot om oud ijzer. CRWO-commentaar op het rapport van de werkgroep selectie i.v.m. de machtigingswet inschrijving studenten. Holleman, J.W., B. Wilbrink, H. van der Vleugel, J. Cohen-Schotanus, & C. van Dorp. Voorburg: CRWO, 1979.html

Hill, Theodore P. (2000). Mathematical devices for getting a fair share. Scientific American, July-August, 325-331. (Whether the problem involves an estate, a cake or an opportunity for regency, solutions now exist for obtaining an equitable division) (esp/ the last paragraph: Super-Fair Lotteries. Selection by lottery might be treated as (a special case of) a super-fair lottery. A weighted lottery (admission chances weighted by grades obtained), however, is not a case of a super-fair lottery ) (Ted Hill makes a pdf-version of the article (text and illustrations in separate files) available at http://www.math.gatech.edu/~hill/publications/cv.dir/cv.html#publ)

Hofstee, W. K. B. (1983). The case for compromise in educational selection and grading. In Anderson, S. B., & Helmick, J. S.: On educational testing. San Francisco: Jossey-Bass. 109-127. html

Hofstee, W. K. B. (1990). Allocation by lot: a conceptual and empirical analysis. Social Science Information, 29, 745-763.pdf

Hofstee, W. K. B., & Kiers, H. A. L. (1997). Een algemeen model voor loting en selectie bij numerus clausus. Tijdschrift voor Onderwijsresearch, 22, 81-85

Wilbrink, Ben (1997). Opsomming van de discussie over toelating bij numerus fixusstudies. In: Drenth, P. J. D. (Voorz.). Gewogen loting gewogen. Advies van de Commissie Toelating Numerus Fixusopleidingen (p. 82-89, en Bijlage, 121-203). Zoetermeer: Ministerie van Onderwijs en Wetenschappen. Den Haag: Sdu. html

Wilbrink, Ben (1999). Rechtvaardigheid en selectie voor numerus fixusstudies. Tijdschrift voor Hoger Onderwijs, 17, 136-152 html concept-versie

(2003). Decentrale toelating, eerste stap naar selectieve toelating HO? Tijdschrift voor Hoger Onderwijs, 21, nummer 1, 47-57. html concept-versie

Wilbrink, Ben (2004, ongepubliceerd). Meer permanente selectie kan onze economie niet gebruiken. concept. Voordracht Studium Generale Tilburg, 30-9-2004. html

Wilbrink, Ben (2004). Extra selectie aan de poort: wanneer is genoeg genoeg?. Onderzoek van Onderwijs, 33 nummer 3, 37-40. html concept-versie

BIJLAGE: Stukken bij GEWOGEN LOTING

Ben Wilbrink
Mei 1975

Bevat:

- Staatssecretaris Ger Klein aan Ben Wilbrink
- Ben Wilbrink aan Prof. Dr. G.J. Leppink
- Ben Wilbrink aan Wim Hofstee, doorgezonden aan Ger Klein
- Ben Wilbrink aan Ger Klein
- Ger Klein aan Wim Hofstee, kopie aan Ben Wilbrink
- oud lid van de Tweede Kamer A. J. Vermaat aan Ben Wilbrink
- Ben Wilbrink aan A. J. Vermaat
- voorafgaande notitie van Ben Wilbrink, waarschijnlijk verzonden aan Wim Hofstee, Dato de Gruyter, Hans van der Vleugel.
- voorbeeld 7.2 uit Kendaal & Stuart
- Bij de digitale publicatie van een rapport uit 1975 (zie hierboven)
- Brief 12-5-1975 van staatssecretaris Klein aan de TK, met de gewogen loting voor het studiejaar 1975-1976. [de belangrijke onderdelen hieruit overgenomen]

[Na uitbrengen van het rapport ontvangen correspondentie]
MINISTER VAN ONDERWIJS EN WETENSCHAPPEN
SW-196's-Gravenhage, 18 juni 1975
Drs. B. Wilbrink,
Centrum voor Onderzoek
van het Wetenschappelijk Onderwijs,
Universiteit van Amsterdam,
Spui 21,
AMSTERDAM

Geachte Heer Wilbrink,
Hartelijk dank voor de toezending van Uw rapport "Gewogen Loting" waarin, mi op compacte wijze, de consekwenties van de gewogen loting worden aangegeven. Mocht U dit nog niet hebben gedaan dan wil ik U in overweging geven dit rapport ook te zenden naar de leden van de Vaste Kamer Commissie voor Onderwijs van de Tweede Kamer, daar op betrekkelijk korte termijn het overleg m.b.t. deze materie opnieuw zal dienen te beginnen, in verband met de verlenging van de huidige wet.
Hoogachtend

(Dr. G. Klein)




P.S.Mij viel op de, naar ik aanneem op arbitraire wijze tot stand gekomen, combinatie van twee jongensnamen.* De toegedachte examenresultaten leken mij een goede afspiegeling van wat ik experimenteel, als gemiddelde bij dragers van de namen aan talenten heb waargenomen.

* op blz. 15

Ben Wilbrink.



      Prof. Dr. G.J. Leppink
      Mathematisch Instituut,
      Budapestlaan
      De Uithof
      UTRECHT.



6 mei. 1975



Zeer geachte heer Leppink,



Heel kort twee oplossingen voor het gewogen lotingsprobleem zoals gesteld in mijn brief van 1 mei jl.

1) De inlotingskansen voor de zes lotingsklassen zijn

(1-p^.67); (1-p^.8); (1-p); (1-p^1.25); (1-p^1.5); (1-p²).

De waarde van p kan gevonden worden door de kans voor iedere lotingsklasse te vermenigvuldigen met het aantal personen in die lotingeklasse, en de som van deze producten gelijk te stellen aan het aantal beschikbare plaatsen. (Deze oplossing is analoog aan het gooien van een dobbelsteen. De kans op een zes bij één keer gooien is 1/6. De kans op minstens één zes bij drie keer gooien (een 'drie keer zo 'wegingsfactor drie') is 1 - (1 - 1/6) ³ )).

2) Voer een trekkingsprocedure uit, waarbij kandidaten in de verschillende lotingsklassen van laag naar hoog de volgende aantallen loten krijgen:

12 - 40 - 48 - 60 - 75 - 90 - 120.

Getrokken loten worden weer terug gelegd. De kans om in te loten bij iedere trekking is voor iemand met 120 loten gelijk aan 120 gedeeld door het totale aantal uitgegeven loten, noem deze kans p1.

Het aantal trekkingen dat nodig is om precies zoveel verschillende kandidaten te trokken als er beschikbare plaatsen zijn, zij n. De kans dat iemand met 120 loten bij die n trekkingen niet voorkomt is

f₁(0) = (n boven 0) p₁⁰ (1-p₁) ^{n - 0} = (1-p₁) ⁿ .



Zoals we de loterij gedefinieerd hebben, gaat het om gelijke kansen (onafhankelijke gebeurtenissen) en is f₁(0) tevens de proportie personen in lotingsklasse 1 die niet inloten, en is 1-f₁(0) de proportie die inloot. Als het aantal personen in iedere klasse bekend is, en de beschikbare capaciteit is bekend, dan kan n berekend (of iteratief benaderd) worden, waarna de bij iedere lotingsklasse behorende inlotingskans eenvoudig te berekenen is.

Mogelijk kan de hele berekening vereenvoudigd worden door i.p.v. de binomiaal verdeling de poisson verdeling te hanteren.

Voor het numerieke voorbeeld zoals door mij gegeven in het conceptrapport van 8 april, blz 26, vinden we voor de inlotingskansen van boven naar beneden (volgens beide procedures berekend, de resultaten zijn exact gelijk):

aantal benodigde trekkingen met teruglegging ongeveer 870; de kansen zijn resp.

.815; .718; .651; .570; .491; .430.

Met vriendelijke groet,

[Wim Hofstee heeft deze brief doorgezonden aan Ger Klein, de staatssecretaris van O en W]
Ben Wilbrink.

      W.K.B. Hofstee
      Duinstraat45
      IDE(Dr.)

6 mei 1975

Beste Wim,

Er zijn twee verschillende oplossingen voor de gewogen loting, met uiteraard dezelfde uitkomsten.

Eerste oplossing. Stel iemand met een 7 gem. heeft een inlotingskans p. Iemand met een 9 gem. heeft diezelfde kans p, maar gewogen met een factor twee, d,w.z. zijn inlotingskans wordt:

1 - (1 - p) ², ofwel in gewoon Nederlands:

hij mag twee keer meeloten met een kans p om in te loten; de kans dat hij geen van beide keren inloot is

(1-p)²,

zijn kans om ten minste één van beide keren in te loten is dus

1 - (1-p)².

De kansen voor de verschillende inlotingsklassen kunnen we dan verbluffend eenvoudig als volgt schrijven (waarbij q = 1-p, dat vereenvoudigt de zaak):

(1-q^.67); (1-q ^.8 ); (1-q); (1-q^1.25 ); (1-q ^1.5 ); (1-q ² ).

conform de in het wetsontwerp voorgeschreven wegingsfactoren. De grootte van q kan berekend worden zodra bekend is hoeveel personen iedere lotingsklasse telt, en hoe groot het aantal beschikbare plaatsen is. Omdat het om onafhankelijke gebeurtenissen gaat geven de inlotingskansen in dit geval ook de proporties ingelotenen per lotingsklasse (althans, de verwachte waarden daarvan; het mag natuurlijk niet zo zijn dat aantallen in te lotenen per categorie van te voren op basis van dit soort berekeningen vastgesteld wordt, een gedachte waarmee nogal eens gespeeld wordt.)

Na presentatie van de tweede oplossing geef ik wat resultaten.

Tweede oplossing.Deze is iets omslachtiger, maar waarschijnlijk een stuk inzichtelijker dan de eerste oplossing.

Stel we gaan de loterij letterlijk uitvoeren, en geven iedere kandidaat een geheel aantal lotjes. Door de ongelukkige keuze van wegingsfactoren zijn de aantallen lotjes per kandidaat in de diverse lotingsklassen resp.;

120 90 75 60 48 40.

We noemen het totaal aantal loten (afhankelijk van het aantal kandidaten) L.

Om iedere trekking opnieuw tot een onafhankelijke gebeurtenis te maken spreken we af dat ieder getrokken lot weer terug gelegd wordt.

De kans om bij een bepaalde trekking ingeloot te worden is voor iemand in de hoogste lotingsklasse 120/L, noem deze kans p ₁.

Veronderstel dat we n keer moeten trekken om precies evenveel verschillende kandidaten te trekken als er plaatsen beschikbaar zijn.

De verdeling van het aantal lotjes dat van een willekeurige persoon,getrokken wordt is de binomiaal verdeling

f ₁ (x)= (n boven x) p ₁ x (1-p ₁ ) ^n-x.

De kans om in te loten is het complement van de kans om uit te loten. De kans om uit te loten is de kans dat geen enkel lotje getrokken wordt:

f ₁ (0) = (n boven 0) p ₁ 0 (1-p ₁ ) ^n-0 = (1-p ₁ ) ⁿ .

Stel het aantal kandidaten in lotingsklasse 1 is K ₁ , dan is de verwachte waarde van het aantal kandidaten in lotingsklasse 1 dat inloot gelijk

K ₁ (1 - f ₁ (0)) = K ₁ (1 - (1 - p ₁ ) ⁿ .

De verwachte waarde van het totale aantal kandidaten dat inloot is

Σ K _i (1 - (1 - p _i ) ⁿ . i = 0, 1, ... , 6.

We kunnen n berekenen of iteratief benaderen door de laatste som gelijk te stellen aan het beschikbare aantal plaatsen. Daarna is het berekenen van de inlotingskansen voor iedere inlotingsklasse een peuleschil.

We hebben ook hier weer inlotingskans voor een bepaalde persoon in een bepaalde latingsklasse gelijk kunnen stellen aan de verwachte waarde van de proportie personen in die lotingsklasse die inloot, omdat we te maken hebben met onafhankelijke gebeurtenissen binnen iedere lotingsklasse. Voor verschillende lotingsklassen zijn de kansen niet gelijk, maar we hoeven onze probleemstelling daardoor niet te laten vertroebelen: we hebben een probleem dat in de literatuur behandeld wordt onder trefwoorden 'mixtures' (Zie Kendall & Stuart) of 'compound distributions.' Een aardig voorbeeld is tabel 5.3 in Kendall & Stuart Advanced Theory of Statistics volume I (derde editie blz 129), aantallen ongelukken bij arbeidsters. Het voorbeeld is gesteld in termen van de Poisson verdeling, en dus perfect vergelijkbaar met onze tweede oplossing (waarvoor we immers i.p.v. de binomiaal verdeling ook uitstekend de Poisson als benadering kunnen gebruiken, misschien maakt dat de berekeningen ook wat eenvoudiger).

Resultaten.Op blz. 26 in mijn concept rapport ga ik uit van de volgende aantallen kandidaten in de lotingsklassen (van hoog naar laag):

18, 36, 68, 229, 359, 512, en beschikbaar aantal plaatsen 611.

De verwachte waarde van het aantal benodigde trekkingen (oplossing twee) is n=870. Dan geeft berekening van de inlotingskansen per lotingsklasse:

.8149.7177 .6514 .5696 .4905 .4299.

Controleren we vervolgens door in de eerste oplossingsprocedure 1-q = .5696 te stellen, dan vinden we als inlotingskansen:

.8147 ; .7176 ; .6514 ; .5696 ; .4905 ; .4299 ; .
Hier wil ik het maar bij laten,

vriendelijke groet,

Ben Wilbrink.
      Dr. G. Klein
      staatssecretaris van onderwijs en
      Wetenschappen
      Nieuwe Uitleg 1
      Den Haag.



19 juni 1975.



Geachte Heer Klein,



Hartelijk dank voor uw reactie op het rapport 'Gewogen Loting'.

Het rapport is uiteraard volledig openbaar, en kan op bovenstaand adres aangevraagd worden. Ik heb Kolthoff een exemplaar toegestuurd, en neem aan dat hij het in de Vaste Kamer Commissie voor Onderwijs zal inbrengen.

met vriendelijke groet,

Ben Wilbrink.

STAATSSECRETARIS VAN ONDERWIJS EN WETENSCHAPPEN

SW/186s-Gravenhage, 14 mei 1975


  Aan de Heer Prof. Dr. W.K.B. Hofstee,
  Rijksuniversiteit Groningen
  Subfaculteit der Psychologie,
  Oude Boteringestraat 34,
  Groningen.


Amice,

Hartelijk dank voor Uw brief van 9 mei jl.

Ik moet U helaas teleurstellen. De beschouwing van de heer Wilbrink is volledig juist maar niet meer relevant. Vorig jaar, bij de problematiek van de verhoogde kansen voor uitgelotenen, heb ik vrijwel hetzelfde betoog in een overleg met de vaste- kamercommissie gehouden. Bij de behandeling van de novelle vorig jaar heb ik er ook nog eens uitdrukkelijk op gewezen dat het een zeer groot verschil maakt of je aan "twee lootjes" denkt of over een tweemaal grotere kans spreekt en dat het zeer merkwaardig wordt in wetsformuleringen over kansen groter dan 1 te spreken. Ik heb toen ook nog getracht de kans op uitloting te introduceren en de formulerinq hierop te baseren. Om één en ander bespreekbaar te houden voor een gemengd gezelschap is toen uitdrukkelijk afgesproken dat wij uitsluitend nog zouden praten over kans in de definitie aantal beschikbare plaatsen: aantal kandidaten, met dien verstande dat zodra deze

- verhouding -

2 -

verhouding voor enige categorie groter dan 1 wordt dit automatische plaatsing voor alle kandidaten betekent.

Uit de "handelingen" blijkt duidelijk dat alle sprekers en ook ik hier onze betogen op gebaseerd hebben. Vandaar ook de diverse opmerkingen van mij over de automatische plaatsing die zonder meer voor categorieën zullen optreden en de hardheid van het amendement.

Ik wil er voorts viel op wijzen dat de gehele procedure van de loting door deze afspraak aanmerkelijk is vereenvoudigd: er behoeven dan ook geen computerprogramma's voor te worden ontwikkeld.

Bijgaand zend ik U een kopie van de brief aan de Kamer waarin de lotingsprocedure is aangegeven.

Kortom: de door U aangeduide problematiek is wel degelijk door de Kamer en mij onderkend maar op een op zich eenvoudige wijze opgelost.

Juist vanwege de afspraak heb ik mij tamelijk hardnekkig tegen de faktor drie verzet. Het heeft helaas niet mogen baten.

Ik hoop dat U de heer Wilbrink ook in kennis wilt stellen van deze achtergrond: ik zou het namelijk niet alleen voor enkele kamerleden maar ook voor mijzelf enigszins teleurstellend vinden niet te worden aangezien voor deskundige op het gebied van de kansberekening: tot voor kort hield ik mij er in mijn vak namelijk dagelijks mee bezig.

Met vriendelijke groeten,

(Dr. G. Klein)

A. J. Vermaat Voorthuizen, 10-10-1975

Geachte heer Wilbrink,

terecht veronderstelt u dat ook na mijn kamerlidmaatschap de "gewogen loting" mijn interesse zal behouden. Met belangstelling heb ik uw paper dan ook doorgeneusd. Terecht vermeldt u dat in de kamer duidelijk is afgesproken dat de 2e interpretatie zou worden gebruikt. Het is misschien goed om van mijn kant nog eens te wijzen op het waarom ervan. Naast duidelijkheid en aanspreekbaarheid voor niet-statistici in de kamer, heeft een rol gespeeld de tijdnood in de behandeling. Verder speelde een rol het psychologisch averechtse effekt van de eerdere uitvoering van de motie Van Leijenhorst tav. herloters. Bovendien maakte het antwoord van Klein in eerste termijn een vrij rigide vastlegging per amendement ipv. per motie noodzakelijk.

Vervolgens nog een kommentaar mijnerzijds op uw konklusies, die ontleend wordt aan de becijferingen annex grafieken op pp 6/7 van uw stuk. In de eerste plaats is bij de door ons gekozen methodiek - en in dat verband zijn de vastgelegde ratio's NIET totaal arbitrair ! - een zekere asymmetrie ingebouwd voor het kansverloop bij relatief weinig versus relatief veel plaatsen, althans voor de groep met hoge cijfers. Naarmate er meer ruimte zou zijn, wilden wij in mindere mate van het 7 1/2 stelsel afwijken. Dit verklaart de grotere parallellie in de ONDERSTE lijnen in de grafiek. In de tweede plaats is de 7 1/2 lijn inkorrekt getekend, er moet nl. een strikt vertikale tak zijn. In de eerste plaats is het logisch dat bij gewogen loting binnen de (< 7 1/2) groep grotere verschillen qua inlotingskans ontstaan dan bij de 7 1/2 -systematiek. Dat deze verschillen wat forser doorwerken bij de bovenste lijnen, hangt vanzelfsprekend samen met mijn eerste punt.

Met het bovenstaande wil ik zeker NIET zeggen dat het huidige stelsel persé het beste is. Een verdere diskussie is noodzakelijk. In dat opzicht heb ik veel waardering voor uw bijdrage.

Hoogachtend, A. J. Vermaat.

Universiteit van Amsterdam
cowo
Centrum voor Onderzoek van het Wetenschappelijk Onderwijs
Voetboogstraat 1 Tel.: 525 2835

Ben Wilbrink

      De Heer A. J. Vermaat
      Tromplaan 36
      VOORTHUIZEN,

AMSTERDAM,21 oktober 1975.

Geachte heer Vermaat,

hartelijk dank voor uw reactie, i.h.b. ook uw opmerkingen over de achtergronden van de indiening van het amendement.

Een enkele opwerking over uw opmerkingen. Hoewel ik geen voorstander ben van gewogen lotingsproceduren, heb ik geprobeerd mijn bevindingen m.b.t. twee verschillende wegingsmodellen zo nuchter mogelijk weer te geven. Ik ben daar kennelijk niet helemaal in geslaagd. Het gebruik van het woord 'willekeurig' in verband met de keuze voor bepaalde verhoudingen van inlotingskansen bedoelt niet meer dan aan te geven dat de keuze niet op een dwingende argumentatie gebaseerd is; desondanks kan een bepaalde keuze nog best redelijk zijn. Interessanter is dat wat mij nou bij uitstek een groot nadeel van de in het amendement Vermaat vastgelegde procedure leek, een nadeel bovendien waarvan ik meende dat de indieners van het amendement zich niet bewust waren, nu juist een bedoeld effekt blijkt te zijn. ("Naarmate er meer ruimte zou zijn, wilden wij in mindere mate van het 7,5 stelsel afwijken.").

De '7,5 lijn' is inderdaad inkorrekt getekend, maar dat geldt voor alle lijnen in de figuur, strikt genomen zouden er slechts vertikale lijnen in mogen staan, maar dan had ik 6 figuren moeten tekenen. De gehanteerde grafische weergave is echter niet ongebruikelijk bij dit soort data, en hoeft niet tot minverstanden te leiden.

Ik heb een aantal publikaties over beoordelings- en selektie problematiek" m.b.t. het hoger onderwijs in voorbereiding (o.a. een systematisch literatuuroverzicht), Bent u daarin geïnteresseerd, stuurt u mij dan een berichtje. en ik zal u (concept)rapporten toesturen.

[[Notitie voorafgaand aan het schrijven van het rapport Gewogen loting]
Universiteit van Amsterdam
COWO
Centrum voor Onderzoek van het Wetenschappelijk Onderwijs
Voetboogstraat 1 Tel.: 525 2835

AMSTERDAM,1 mei 1975

L.S.

Ten aanzien van de interpretatie van het amendement Vermaat is een misverstand aan het licht getreden, dat belangrijke gevolgen kan hebben. Ik wil er in dat verband op wijzen dat de illustratie van gewogen loting zoals ik die in een onlangs toegestuurd concept rapport over toelatingsprocedures bij numerus fixus studies, blz 26, geheel en al bezijden de realiteit is.

De interpretatie die naïevelijk door mij van het amendement, dat in het definitieve wetsontwerp is opgenomen, is gemaakt is weliswaar gelijk aan de tijdens de kamerbehandeling gemaakte interpretaties (waaruit ik straks zal citeren), doch ook de daar door Vermaat, Klein en anderen gegeven interpretatie is onjuist.

Men ging er van uit dat een a keer zo grote kans als p eenvoudig een kans ap oplevert. Ofwel, een twee keer zo grote kans als E' is 1. Voor iemand in de laagste cijfercategorie zou in een bepaalde situatie kunnen gelden dat zijn inlotingskans volgens deze onjuiste interpretatie .30 zou kunnen zijn tegenover een kans van .90 voor iemand met een 8½ of hoger. De onjuistheid is onmiddellijk duidelijk door de redenering om te draaien: Als A een inlotingskans p heeft, en B zou dan een inlotingskans 3p moeten krijgen, dan zou omgekeerd wanneer B een uitlotingskans (1-3p)=q heeft, A een uitlotingskans moeten hebben die drie keer zo groot is, d.w.z. volgens dezelfde redenering 3q, en dat is gelijk 3(1-3p). De laatste kans moet het complement zijn van de inlotingskans die A heeft, en dat was p. Welnu, de enige waarde van p waarvoor dit opgaat is p=.25.

(immers, dan moet p = 1 - 3q = 1 - 3(1 - 3p) = 9p - 2, waaruit p = 1/4)

Merk op dat we bij die afleiding van p=1/4 niets hebben gezegd over het aantal kandidaten en het aantal beschikbare plaatsen.

Meer in het algemeen zou volgens deze foutieve interpretatie van wat n maal zo grote kansen zijn, voor lotingsklassen met wegingsfactor 1 respectievelijk k moeten gelden dat de inlotingskans p=l/(k-1). Het is eenvoudig na te gaan dat voor drie lotingsklassen op deze wijze strijdige resultaten verkregen worden, waarmee bewezen is dat deze interpretatie onhoudbaar is.

(voor lotingsklassen met weegfactoren 1, k en 2k vinden we immers p=l/(k-1) ≠ l/(2-1) ≠ 1/(2k-1) ).

Enig juiste interpretatie van wat een twee keer zo grote kans om ingeloot te worden kan zijn, is dat je twee keer zoveel lootjes in de trommel waaruit getrokken gaat worden krijgt.

Volgens de wegingsfactoren van het in het wetsvoorstel, opgenomen amendement Vermaat zouden de aantallen lotjes die personen in de diverse categorieën krijgen, zich verhouden als (van lage naar hoge gemiddelde cijfers)

40, 48, 60, 75, 90 en respectievelijk 120 lootjes.

Helaas is het in deze situatie erg moeilijk of onmogelijk om te schatten wat de kans voor een bepaalde kandidaat is om ingeloot te worden, of wat de verwachting van de proporties ingelotenen in ieder van de inlotingsklassen zal zijn, of wat de verhouding van de inlotingskansen voor willekeurige personen in ieder van de diverse inlotingsklassen t.o.v. elkaar zal zijn. Dit is o.a. een gevolg van de regel dat zodra van een bepaalde persoon een lootje getrokken is, hij ingeloot is, en daarmee zijn overige lootjes niet meer in de trekkingen meedoen. Bij iedere trekking verandert de trekkingssituatie dus, en wel afhankelijk van de inlotingsklasse waarin de getrokken persoon zich bevindt.

Als we als voorbeeld nemen het op blz 26 van mijn concept rapport van 8 april gegeven getallenvoorbeeld, en we gaan er gemakshalve even van uit dat er 860 trekkingen nodig zijn om het beschikbare aantal plaatsen van 611 te vullen ( maar hoe bepaal je de verwachte waarde van het aantal trekkingen dat nodig is om die 611 plaatsen precies te vullen? ), dan zou je met een beetje goede wil kunnen schatten dat uit de hoogste categorie, waarin 18 kandidaten die ieder 120 lotjes hebben, er 30 lotjes getrokken zijn. (op grond van de redenering dat in die 860 trekkingen ieder van de 61952 lotjes een even grote kans heeft om getrokken te worden, en er in de hoogste categorie 2160 lotjes zijn. Helemaal correct lijkt het niet te zijn, maar het is de beste gok die ik op dit moment weet te maken).

Dan is de kans onder die omstandigheid voor een bepaalde aangewezen kandidaat in die categorie, zeg kandidaat nr. 15, om uitgeloot te worden, d.w.z. dat er geen van zijn lotjes getrokken wordt, onafhankelijk van hoe de lotjes over de overige kandidaten verdeeld zijn,

(120 boven 0)(2160-120 boven 30)/(2160 boven 30) = 2040!.2130!.30!/ (2010! 30! 2160!)

Met behulp van de formule van Stirling voor het benaderen van n!, na natuurlijke logaritmen genomen te hebben, krijgen we als uitkomst de kans voor die bepaalde student om uit te loten is ongeveer 1/6, ofwel zijn kans om in te loten is ongeveer 5/6 (.82).

Voor de overige vijf categoriëen vinden we op dezelfde wijze voor de inlotingskansen voor een bepaalde student (niet voor een willekeurige student!):

.72.65.57.49.43 respectievelijk.

Het vervelende is dat we niet zonder meer hier de interpretatie mogen maken dat dan ook 82% van de groep boven 8,5 in deze situatie toegelaten zou worden, omdat de kansen om toegelaten te worden voor de diverse kandidaten binnen en tussen lotingsklassen niet van elkaar onafhankelijk zijn. Om aan een uitleg van deze uitspraak te ontkomen sluit ik een copie bij van voorbeeld 7.2 uit de derde editie van Advanced Theory of Statistics van Kendall & Stuart, een voorbeeld dat op maat gesneden lijkt voor ons inlotingsprobleem, zij het dat het in de praktijk niet bruikbaar is omdat de zaak op deze combinatorische wijze vrijwel niet of helemaal niet meer te berekenen is.

Ik wil nog nagaan of met behulp van de chikwadraat verdeling ( die een benadering is van de multinomiaal die in ons probleem gebruikt zou kunnen worden wanneer ieder getrokken lootje weer teruggelegd wordt) niet tot bruikbare schattingen van verwachte waarde van inlotingskansen gekomen kan worden.

Ik houd mij van harte aanbevolen voor ideeën die tot een oplossing van dit statistische probleem kunnen leiden. Van der Vleugel heeft het probleem aan een statisticus voorgelegd, die bezig is te proberen de noot te kraken, zo mogelijk met behulp van een computer simulatie van de trekkingsprocedure.

Bij de behandeling in de Eerste Kamer van het wetsontwerp zal het probleem ongetwijfeld aan de orde komen, omdat naar ik meen zowel staatssecretaris Klein als de kamercommissie zich intussen ook van dit interpretatie probleem bewust zijn. Dat dit bij de behandeling in de Tweede Kamer niet het geval was, kunnen de volgende citaten (Handelingen Maart 1975) illustreren:

Vermaat (blz 3495): Wanneer men dan het totale aantal open plaatsen aan de universiteiten kent, is het heel eenvoudig om de kans per deelgroep te bepalen en ook de loting te verrichten, niet op een zodanige manier dat men 1 2/3 lot of iets dergelijks krijgt, maar zodanig dat de lotingsselectie per deelgroep als zodanig wordt uitgevoerd. (Dit is geen toelichting op het uiteindelijk geaccepteerde amendement Vermaat, b.w.)

Klein (blz 3535) " ... wil ik er op wijzen, dat dit voorstel, met uitzondering van de medische studie, automatische toelating voor de hoogste categorie betekent en dan ook nauwelijks van het huidige stelsel afwijkt."

"Een technische, neutrale opmerking: men moet zich natuurlijk heel goed realiseren dat het verhogen van het aantal plaatsen dat beschikbaar is voor een groot aantal numerus fixus studierichtingen, waarbij de verhouding tussen de vraag naar onderwijs en het aanbod bijvoorbeeld de factor 2 heeft, betekent dat de hoogste categorie automatisch wordt toegelaten." (blz. 3536)

Klein (blz 3577) In de eerste plaats is het duidelijk, dat bij de in de praktijk voorkomende verhouding tussen vraag en aanbod het voor bijna alle studierichtingen zo is, dat de hoogste categorie respectievelijk categorieën automatisch zullen worden geplaatst. Ik neem aan, dat de meesten die dit voorstel steunen dat onderschrijven.

Klein (blz 3579) Stel nu: de mensen uit de hoogste categorie hebben bij loting volgens het voorstel van de heer Vermaat 90% kans en de mensen uit de onderste categorie 30%. (waarna een illustratie van consequenties van een motie Leyenhorst - Ginjaar-Baars). (...) In de laatste categorie heeft men een uitlotingskans van 70% en in de hoogste categorie 10%. (bedoeld wordt dus het omgekeerde, b.w.)

We zien dat Klein op een gegeven moment erg 'warm' was, hij had slechts 6én stapje extra hoeven doen, nl. concluderen dat het van de gekke is dat een dergelijke interpretatie van een driemaal zo grote inlotingskans zou betekenen dat de ene groep een zeven maal zo grote uitlotingskans heeft als de andere. En dan was dit toevallig nog een voorbeeld waarbij die hoogste categorie niet 'direct toegelaten' zou worden.

Op dit moment ziet het er niet naar uit dat de aankomende student op tijd zal kunnen beschikken over de nodige gegevens om zijn beste strategie bij de studiekeuze op te kunnen baseren. Bovendien, wat overheid en de betrokken faculteiten betreft, zij zitten met de moeilijkheid dat bij een gewogen lotingsprocedure het te verwachten rendement moeilik te schatten is (hoewel er in dit geval natuurlijk wel grenzen voor aan te geven zijn), wat de afweging van waarde van deze toelatingsprocedure tegenover alternatieven er niet eenvoudiger op maakt.

Tot zover voorlopig. Als ik over meer gegevens beschik zal ik die eveneens toesturen.

Met vriendelijke groet,Ben Wilbrink

P. S. 1.

Pas vandaag kom ik er achter dat er waarschijnlijk een precedent bestaat t.a.v. de onjuiste hantering van het begrip 'vergrote inlotingskans.' Het schijnt dat bij de behandeling van een noodwetje in 1974 een motie Leyenhorst is aangenomen, die kandidaten die voor de tweede of derde keer aan de loting deelnemen een vergrote inlotingskans wil geven ('30 % groter'). Volgens kamerstuk 12958 nr 6, Brief van de staatssecretaris 26 juni 1974, blz 2 t/m 4: 'Ver Loting met een voor 'herhalers' grotere kans om in te loten', moet een 30 % grotere kans zó geinterpreteerd worden dat de proportie ingelotenen voor de groep herhalers 30% groter moet zijn, 1,3 maal zo groot dus, als de proportie ingelotenen onder de eerste aanmelders. Deze berekeningswijze is echter niet het resultaat van een uitvoerige en degelijke beschouwing over wat bedoeld zou kunnen zijn met '30 % grotere inlotingskans', hoewel nog wel even wordt gesignaleerd dat in theorie maar waarschijnlijk niet in de praktijk zich de absurditeit zou kunnen voordoen (bij deze interpretatie) dat een proportie groter dan 1 van een bepaalde groep zou moeten worden ingeloot.

P.S. 2.

Het uitvoeren van de lotingsprocedure voor iedere inlotingsklasseafzonderlijk, een idee dat ook in het juist genoemde kamerstuk wordt omhelsd, lijkt moeilijk verenigbaar met de intentie dat beschikbare plaatsen door een lotingsprocedure verdeeld worden. Neem bijv. de hoogste inlotingsklasse, waarin zich best eens slechts één student zou kunnen bevinden. Als zijn inlotingskans .9 zou moeten zijn, zou niettemin deze kandidaat zonder het uitvoeren van die loting toegelaten worden. In geval er bijv. 18 kandidaten zijn, en er moeten er 15 van ingeloot worden, dan kunnen de uitgelotenen altijd nog protest tegen deze procedure aantekenen omdat bij een procedure waarbij iedereen een bepaald aantal lotjes krijgt, die voor alle lotingsklassen tesamen in een trommel gaan, het theoretisch en praktisch mogelijk is dat dan álle 18 uit de hoogste inlotingsklasse inloten, of ook dat er meer dan 3 uitloten. Het hanteren van 'proportionele formules' op afzonderlijke lotingsklassen leidt tot ongelijke behandeling van kandidaten in verschillende lotingsklassen.

P.S. 3.

Het gevoerde betoog ziet er, mede door het tot nog toe ontbreken van analytische of gesimuleerde oplossingen voor het waarschijnlijkheidsprobleem, onnodig duister uit.

Wanneer men zich echter voorstelt hoeveel lootjes kandidaten in de diverse lotingsklassen zouden moeten hebben om hun inlotingskansen onder een werkelijk met trommel en al uitgevoerde loting (trekking) gelijk te maken aan de kansen zoals die aangegeven worden onder de onjuiste veronderstelling dat proporties gelijk zijn aan inlotingskansen, dan zou men kunnen constateren dat het verschil zeer groot is. Stel men vindt dat dan de hoogste klasse niet 3 maal, maar zesmaal zoveel lootjes zou krijgen als de laagste klasse (even onder de veronderstelling dat die hoogste inlotingsklasse niet een proportie 'groter dan l' toebedeeld zou krijgen). Het zou dan een ieder duidelijk zijn dat hier iets aan de hand is dat niet in het ongewisse kan en mag blijven.

Ook voor dit probleem geldt, althans op dit moment, dat een analytische oplossing voor de dan benodigde verhouding in toekenning van lootjes niet beschikbaar is.

[p. 184 THE ADVANCED THEORY OF STATISTICS Kendall & Stuart 3rd edition]

Example 7.2

In a hand at bridge, what is the probability that a player has at least two aces in his hand ? The question as posed is not unambiguous, and there are in fact four distinct probabilities, in any of which we may be interested:

(a)The probability that a spccified player (say, South) has at least two aces, irrespective of the other players' hands.

(b)'I'he probability that some one player of the four has at least two aces, irrespective of the other three players' hands.

(c) The probability that South and no other player has at least two aces.

(d) The probability that exactly one player of the four has at least two aces.

We proceed to evaluate these in turn.

(a) South may have 0, 1, 2, 3 or 4 aces. The pack of 52 cards may be regarded as consisting of a pack of 4 aces and a pack of 48 other cards. The probability that South gets no ace is

p(0) = (4 boven 1) (48 boven 13) / (52 boven 13),(7.9)

and the probability of his getting exactly one ace is

p(1) = (4 boven 1) (48 boven 12) / (52 boven 13),

The probability we require is

p(a) = 1 - (p(0) + p(1)) = 1 - 38 . 37 . 11/49 . 25 . 17 = 0.257.(7.10)

(b) It is tempting to imagine that the second of our probabilities is simply four times the first, but the four players' probabilities are not mutually exclusive. This is otherwise clear from the fact that 4p(a)>1. In fact, the probability we now seek is simply the complement of the probability that each player has one ace, and is

p(b) = 1 - (4 boven 1)(48 boven 12) . (3 boven 1)(36 boven 12)

. (2 boven 1)(24 boven 12) . (1 boven 1)(12 boven 12)

/ (52 boven 13) (39 boven 13)(26 boven 13)(13 boven 13)

whence

p(b) = 1 - 133 / 49.25.17 = 0.895.(7.11)

(c) The third probability is less than p(a) by the probabilities that (South, North), (South, East) or (South, West) each have two aces. These three events are mutually exclusive, and each has probability equal to

p(2, 2) = (4 boven 2)(48 boven 11)

. (2 boven 2)(37 boven 11)

/ (52 boven 13)(39 boven 13) = 0,02248.

The probability we require is

p(c) = p(a) - 3p(2, 2) = 0.190.(7.12)

(d) The fourth probability is the sum of the probabilities of four mutually exclusive events, each with probability p(c). Thus

p(d) = 4p(c) = 0.759.(7.13)


Leiden, maart 2003.

Leg hier het artikel van Petersen en Novick, 1976, eens naast. Is het misschien zo dat de gewogen loting, zoals in de wet vastgelegd, en in het parlement besproken, is vormgegeven op een wat onhandige wijze, en is het misschien mogelijk te laten zien dat de methode leidt tot logische tegenstrijdigheden zoals Petersen en Novick die voor een aantal methoden voor onpartijdige selectie aandragen? Bijvoorbeeld gewogen inlotingskansen .3 resp. .9 voor Jan resp. Marie, waar UITlotingskansen van .7 resp. .1 bij horen: is die verhouding van UITlotingskansen iets dat bij Vermaat aandacht heeft gehad? Dan zou een opnieuw doordenken van de wegeningssystematiek in een poging om er een besliskundige vorm aan te geven, misschien tot een betere methode kunnen leiden. Een spannende gedachte, en voorzover ik me nu even kan herinneren, niet eerder geopperd, laat staan opgevolgd met een goede poging tot uitwerking. Zie ook mijn annotatie van Borsboom, Romeijn en Wicherts, 2008 html Een eerste intuïtief antwoord is dat de gewogen loting inherent een group parity model is, zoals Petersen en Novick (p. 9-10) dat noemen, en dan als het ware per definitie incoherent is. Maar als deze conclusie juist is, wat betekent zoiets dan, bijvoorbeeld in politieke besluitvorming? Het blijft dan toch nog spannend hoe politici en meedenkers de tegenstrijdigheden dan politiek oplossen.

Petersen, Nancy S., & Melvin R. Novick (1976). An evaluation of some models for culture-fair selection. Journal of Educational Measurement, 13, 3-30.

Leiden, maart 2009.

Bijlage.

De staatssecretaris van Onderwijs en Wetenschappen, dr G. Klein, aan de Voorzitter van de Tweede Kamer der Staten Generaal. 13 mei1975. Onderwerp: Toelatingscriteria numerus fixus-studierichtingen voor het studiejaar 1975-1976. <[>
(...)
[blad 1-1] De aanstaande eerstejaarsstudenten worden in de volgende categorieën ingedeeld.

1. Bezitters van een vereist diploma met een gemiddeld eindexamencijfer groter of gelijk aan 8½
2. Bezitters van een vereist diploma met een gemiddeld eindexamencijfer kleiner dan 8½ maar groter of gelijk aan 8.
3. Bezitters van een vereist diploma met een gemiddeld eindexamencijfer kleiner dan 8 maar groter of gelijk aan 7½
4. Bezitters van een vereist diploma met een gemiddeld eindexamencijfer kleiner dan 7½ maar groter of gelijk aan 7
5. Bezitters van een vereist diploma met een gemiddeld eindexamencijfer kleiner dan 7 maar groter of gelijk aan 6½
6. Bezitters van een vereist diploma met een gemiddeld eindexamencijfer kleiner dan 6½
7. [anderen, wel bevoegd, maar gemiddeld eindcijfer kan daarop niet worden bepaald]
8. [na eindexamen 1974 in militaire dienst gegaan]
9. [in 1973 of daarvoor eindexamen gedaan met in aansluiting daarop militaire dienst]
10. [12 kandidaten uit Suriname en Ned. Antillen]

(...) De categorieën a t/m h nemen deel aan een in de eerste helft van mei a.s. ten overtsaan van een notaris te houden loting.

Na het toekennen van de lotnummers zal het totaal aantal vastgestelde plaatsen per numerus fixus-studierichting (...) op een zodanige wijze worden verdeeld over de categorie¶euml;n a t/m h dat voor het aantal beschikbae plaatsen gedeeld dor het aantal gegadigden per categorie de volgende verhoudingen zullen gelden:
a:b:c:d:e:f:g:h= 2,00 : 1,50 : 1,25 : 1,00 : 0,80 : 0,67 : 1,00 : 2,00

Indien het aantal beschikbae plaatsen in één of meer categorieën groter is dan het aantal gegadigden in deze categorieën, zal (zullen) deze categoe(ën) in haar geheel worden geplaatst. (...)
(...)
Voor de administratieve uitwerking van dit lotingsstelsel moge ik verwijzen naar de bijlage.

BIJLAGE

[A is het aantal gegadigden in categorie a, n_a is het aantal voor die categorie beschikbare plaatsen. Etc. voor de overige categorieën]

[p. 5] 2. Berekening van het aantal plaatsen per categorie

De inlotingskansen p per categorie (p_a, p_b, enz.) — voorzover beneden de 100% — dienen zich te verhouden als :

p_a:p_b:p_c:p_d:p_e:p_f:p_g:p_h = 2,00 : 1,50 : 1,25 : 1,00 : 0,80 : 0,67 : 1,00 : 2,00

Ten behoeve van de administratieve uitwerking worden deze verhoudingen geïnterpreteerd als verhoudingen tussen de quotiënten van het aantal beschikbare plaatsen en het aantal gegadigden per categorie, voor zover de quotiënten niet groter zijn dan 1, dus:

(n_a/A) : (n_b/B) : (n_c/C) : (n_d/D) : (n_e/E) : (n_f/F) : (n_g/G) : (n_h/H) = 2,00 : 1,50 : 1,25 : 1,00 : 0,80 : 0,67 : 1,00 : 2,00
als n_a ≤ A en n_h ≤ H,
waarbij ≤ staat voor “kleiner of gelijk aan” [Als een quotiënt ≤ 1 is dan wordt deze categorie in zijn geheel geplaatst De bijlage schrijft dan de zes bijzondee gevallen in deatl uit (p. 5-10)]

[p. 11] 3. De lotingsprocedure.

Per studierichting wordt voor alle eggadigden door de notaris op de gebruikelijke wijze één lotingslijst opgesteld, zodanig dat aan iedere gegadigde ¶eacute;én en slechts één lotnummer wordt toegewezen en dat de volgorde van de gegadigden op deze lijst volstrekt willekeurig tot stand komt.

Vervolgens worden de bij voorrang te plaatsen gegadigden geplaatst en van de lotingslijst geschrapt.

Daarna wordt de lotingslijst gesplitst in de categorieën a tot en met h, met behoud van de volgorde binnen deze categorieën. De volgorde binnen iedere categorie is dan ook willekeurig.

Op de in 2. beschreven wijze worden de aantallen per categorie toe te wijzen plaatsen bepaald. Deze plaatsen woden dan per categorie toegekend, beginnend met het laagste lotnummer in die categorie, en vervolgens in opklimmende volgorde.

In de categorie a wordt derhalve aan de n_a gegadigden met de laagste lotnummers (binnen categorie a) een plaats toegewezen, in categorie b aan de n_b laagste lotnummers, enz.

4. Inlotingskansen

Omdat de volgorde binnen de veschillende categorieën willekeurig tot stand komt is de kans dat een gegadigde behorende tot een bepaalde categorie inloot, gelijk aan het aantal plaatsen voor deze categorie gedeeld door het aantal gegadigden in deze categorie of in formule:

p_a = n_a / A, p_b = n_b / B ........... , p_h = n_h / H, als n_a ≤ A en n_h ≤ H.

De verhoudingen tussen de inlotingskansen per categorie zijn daarmee gelijk aan de verhoudingen tussen de quotiënten van het aantal beschikbare plaatsen en het aantal gegadigden per categorie.

Het verloop van de inlotingskansen als functie van de selectieverhouding wordt geïllustreerd in grafiek I. De selectieverhouding is gedefinieerd als de verhouding tussen het totaal aantal beschikbare plaatsen en het totaal aantal gegadigden over alle categorieën die aan de loting meedoen. (...)

5. uitvoering in fasen

Bij de uitvoering van de plaatsing wordt er naar gestreefd om de gegadigden op een zo vroeg mogelijk tijdstip in te lichten over hun plaatsing danwel uitloting. De gegevens van sommige groepen gegadigden zoals die met een herexamen, worden echter pas op een laat tijdstip bekend en in een laat stadium van de plaatsingsprocedure blijken naar de ervaring leert velen niet van een toegekend plaatsingsbewijs gebruik te maken. De plaatsing zal daarom in verschillende fasen plaatsvinden.

5.1 de loting
Voordat de eindexamencijfers bekend zijn, kan de loting reeds plaatsvinden. De lijst van gegadigden zoals die op het moment van de loting is samengesteld, wordt bij het verdere verloop van de procedure als vast uitgangspunt genomen. Dit betekent dat latere terugtrekkingen en eventuele korrekties de lotnummers zoals die bij de loting worden toegekend niet meer beïnvloeden.

Het resultaat van de loting is dat aan iedere gegadigde een lotnummer is toegekend, waarbij de rangorde volstrekt willekeurig is.

5.2 De eerste plaatsingsronde
Zodra de eindexamencijfers van de meeste gegadigden bekend zijn worden volgens de in 3 beschreven procedure de verschillende categorieën gevormd en de aantallen per categorie toe te wijzen plaatsen berekend. Daarbij wordt in iedere categorie een marge in acht genomen ten behoeve van de gegadigden die, howel hun reeds een lotnummer is toegewezen, pas later in een categorie kunnen worden ingedeeld in verband met herexamens, op een later tijdstip af te leggen colloquium doctum, buitenlandse studenten en dergelijke. Hiermede en met de te verwachten terugtrekkingen rekening houdend wordt een zo groot mogelijk aantal plaatsen in de eerste ronde toegekend.

5.3 Volgende plaatsingsronden
Na de eerste ronde worden nog enkele plaatsingsronden gehouden. Daarbij wordt rekening gehouden met terugtekkingen, later bekend geworden gegevens van gegadigden en dergelijke. De aantallen per categorie toe te wijzen plaatsen wordn opnieuw berekend aan de hand van de meest recente aantallen gegadigden per categorie.

Een probleem dat zich hierbij voordoet is dat het aantal gegadigden per categorie niet exact is vast te stellen omdat sommige gegadigden die niet in de eerste ronde zijn geplaatst kunnen afzien van hun eerste voorkeur voor de betrokken studierichting. Totdat het tegendeel blijkt, zal iedere gegadigde als zodanig beschouwd blijven worden.

Indien op een zeker, waarschijnlijk laat, tijdstip blijkt dat alle gegadigden zijn geplaatst, worden aan degenen die de betrokken studierichting als tweede voorkeur hebben opgegeven door een nieuwe tekking lotnummers toegekend, in een volstrekt willekeurige volgorde. De resterende plaatsen worden verdeeld over de verschillende categorieën, waarbij de aantallen per categorie analoog aan 2. worden berekend, en per categorie vanaf het laagste lotnummer toegekend aan degenen die in dit stadium nog n de betrokken studierichting willen gaan studeren.

pm 6. correctieprocedure
pm 6.1 fouten in de indeling in categorieën
pm 6.2 Gegadigden die ten onrechte niet meelootten
pm 6.3 Gegadigden die zich door overmacht te laat aanmeldden
pm 6.4 Gegadigden die door overmacht niet tijdig de benodigde informatie verschaften
-=======================================-

Verlenging en wijziging van de machtigingswet inschrijving studenten. Tweede kamer der Staten-Generaal, zitting 1974-1975, 12929, nr 8 Bijlagen bij de memorie van antwoord. pdf Bijlage 2 Enkele kwantitatieve gevolgen bij verschillende toelatingsstelsels. Zie de bijgaande figuur, aan het eind van deze bijlage in nr 8.

  http://www.benwilbrink.nl/publicaties/75GewogenLotingCOWO.htm

• thuis
• sitemap
• publicaties
• projecten
• loten bij nf
• beleid
• mail