COWO-rapport 1980

Kansberekeningen bij Pais' voorontwerp van wet toelating tot numerus fixus studies in het w.o.

Ben Wilbrink

Universiteit van Amsterdam
COWO
Centrum voor Onderzoek van het Wetenschappelijk Onderwijs

augustus 1980

voorwoord

Op 15 juli 1980 presenteerde de minister van O. en W. zijn voorontwerp van wet toelating tot numerus fixus studies, met het verzoek aan de Academische Raad om voor 1 september daarover haar advies te geven. De minister heeft in het voorontwerp belangrijke wijzigingen en toevoegingen aangebracht, vergeleken met een eerdere regeling zoals door de Werkgroep selectie van ondersteunende argumenten werd voorzien. Een kwantificerende uitwerking van een en ander werd in de toelichting op het voorontwerp echter niet gegeven. De bedoeling van dit rapport is om het nodige cijfermateriaal te verschaffen op basis waarvan een behoorlijke inhoudelijke bespreking van de voorstellen mogelijk wordt. In verband met de korte beschikbare tijd zijn de berekeningen verricht op grond van sterk vereenvoudigende aannamen, die echter de algemene lijnen in de werking van deze voorstellen goed kunnen demonstreren. De voorgestelde regeling is buitengewoon ingewikkeld, met vele (amendeerbare) varianten, waarvan de positieve discriminatie van vrouwelijke gegadigden wel een heel opmerkelijke is. Vandaar dat de berekeningen ook omvangrijk zijn, en de resultaten ervan moeilijk in een korte samenvatting weer te geven zijn. De tabellen geven de belangrijkste resultaten weer voor met name genoemde specifieke gevallen en situaties. In het algemeen kan op grond van de berekeningsresultaten gesteld worden dat voor de scholier in zijn of haar laatste jaar, en voor de gegadigde die juist examen heeft gedaan, de situatie erg ondoorzichtig is. Voor een deel van de gegadigden is er een reële plaatsingskans, geen zekerheid; voor een ander deel is er een zo geringe kans dat het vrijwel zeker is niet geplaatst te zullen worden, met name voor mannelijke gegadigden die geen hoge eindexamencijfers hebben behaald of zullen kunnen behalen. Geringe puntenverschillen in behaald examenresultaat beslissen over plaatsing, waarmee het voorstel dat nu voor ligt sterk lijkt op de 7,5 - regeling die eerder in discussie is geweest en algemeen verworpen.

inleiding

De minister van onderwijs en wetenschappen legde begin 1978 een aantal vragen voor aan de Werkgroep selectie i.v.m. de Machtigingswet inschrijving studenten. De voorzitter van de Werkgroep, S. Wiegersma, omschreef deze vragen in zijn brief aan de minister van 31 mei 1978 als volgt:

"De werkgroep heeft daarbij overeenkomstig Uw verzoek de volgende uitgangspunten in acht genomen:

1. een bepaald percentage van de beschikbare plaatsen toewijzen aan degenen, die een hoog gemiddeld eindexamencijfer hebben behaald voor het schriftelijk gedeelte van het eindexamen v.w.o.;
2. een bepaald percentage van de beschikbare plaatsen toewijzen op grond van de resultaten verkregen bij een landelijk vergelijkende studietoets;
3. nader te bezien welke methode kan worden gehanteerd voor de verdeling van de resterende plaatsen."

De minister ging in zijn verzoek volstrekt voorbij aan de discussie die in de zeventiger jaren al gevoerd was over de verschillende varianten van toelating tot numerus fixus studies, en de Werkgroep selectie is hem daarin gevolgd. Dat houdt met name in dat er geen vergelijkend cijfermateriaal beschikbaar is waarin de uitwerking van een regeling zoals de huidige minister zich die voorstelt, vergeleken wordt met alternatieven als de gewogen loting volgens de huidige Machtigingswet, en met de integrale loting.

Omdat voor een behoorlijke besluitvorming dergelijke gegevens onmisbaar zijn, wordt in dit rapport een poging gedaan de leemte daarin op te vullen. Een methode voor het inschatten van de werking van een toelatingstoets werd in 1978 al aangereikt, zie de bijlage van het standpunt van de Universiteitsraad van de Universiteit van Amsterdam, december 1978, en de bijlage van het standpunt van de Contactgroep Research Wetenschappelijk Onderwijs: Loot om oud ijzer, december 1978 html. Een verbeterde methode zal hier gepresenteerd worden, en toegepast op drie verschillende situaties zoals die kenmerkend zijn voor de studies geneeskunde, diergeneeskunde, en tandheelkunde.

Het is de bedoeling schattingen te leveren voor de toelatingskans die de individuele gegadigde heeft. Die kans verschilt wanneer de eindexamenresultaten al bekend zijn (dat is de situatie waar de Werkgroep selectie bij uitsluiting over spreekt),met wanneer de leerling zijn studiekeuze bepaalt, uiterlijk het begin van het laatste schooljaar. Voor beide momenten zullen de schattingen van de toelatingskans gemaakt worden. Deze zullen uiteraard vergeleken worden met de toelatingskansen zoals die er onder integrale loting of de huidige gewogen loting uit zien.

toelatingskansen onder de gewogen loting

De gewogen loting (Machtigingswet inschrijving studenten) werkt met zes lotingsklassen: resp. degenen met gemiddeld (centraal schriftelijk) eindexamencijfer tot 6,5, van 6,5 tot 7, van 7 tot 7,7, van 7,5 tot 8, van 8 tot 8,5 en 8,5 of hoger. Een speciale lotingsklasse (klasse g) is ingesteld voor een aantal bijzondere categorieën gegadigden die wel de vereiste examenbevoegdheid bezitten.

De inlotingskansen van gegadigden uit deze respectievelijke lotingsklassen moeten zo groot zijn dat de proporties ingelotenen per lotingsklasse zich verhouden als resp.:

0,67 : 0,8 : 1 : 1,25 : 1,5 : 2, en voor klasse g: 1.

Voor details zie kamerstuk 16132 Toelatingscriteria numerus fixus studierichtingen voor het studiejaar 1980/1981, Tweede Kamer, zitting 1979-1980. De verhoudingsgetallen geven niet de verhouding van de inlotingskansen zélf aan: in de wettelijke regeling is het mogelijk dat gegadigden uit de hoogste lotingsklasse(n) direct geplaatst worden, dus in het geheel niet hoeven te loten. Voor een gedetailleerde studie van de werking van deze gewogen loting zie Wilbrink (1975).

De inlotingskansen kv_i kunnen berekend worden nadat in formule (1) de parameter k berekend is.

(1)           C / Σ k F_i v_i,

waar

          Σ: de sommering is over  i = 1 tot en met 7

          C = het beschikbare aantal plaatsen

          (minus 4% gereserveerd voor de hardheidsclausule)

v _i = verhoudingsgetal voor lotingsklasse  i

          F _i = aantal gegadigden in lotingsklasse  i

          k = constante

          kv_i = inlotingskans voor lotingsklasse  i

Wordt voor een lotingsklasse gevonden dat de plaatsingskans groter of gelijk 1 is, dan worden alle kandidaten uit deze klasse direct geplaatst, en wordt in de door deze plaatsing nieuw ontstane situatie voor de overigen opnieuw de berekening volgens de nu aangepaste formule (1) gedaan (waarvoor met name C verminderd wordt met het aantal al vergeven plaatsen). In dit rapport wordt gewerkt met de aanname over aantallen gegadigden in de diverse lotingsklassen, studierichtingen, zoals aangegeven in tabel 1. De numerus fixus voor geneeskunde, diergeneeskunde en tandheelkunde wordt voor de berekeningen gesteld op resp. 1500, 150 en 400.

Tabel 1. Aanname over aantallen kandidaten in de diverse lotingsklassen, en over de numerus fixus voor drie studierichtingen, waarmee in dit rapport de berekeningen uitgevoerd zullen worden.

De getalsmatige aanname in tabel 1 is tamelijk ruw, maar dat is voldoende om de grote lijnen van de werking van een regeling zoals door de minister voorgestaan, te kunnen uitzetten. Het staat eenieder vrij om dezelfde berekeningen, die met geringe hulpmiddelen in beperkte tijd uit te voeren zijn, met andere getalsverhoudingen door te voeren. Voor geneeskunde wordt dan, na invullen van de getallen uit tabel 1 in formule 1, gevonden dat

k = 1440 / (1038+1040+1150+500+210+120+50) =1440 / 1410 = .35

Omdat .35 × v₆ = .35 × 2 = .70 kleiner dan 1 is, worden ook uit de hoogste lotingsklasse geen gegadigden direct geplaatst.

De inlotingskansen kv_i zijn nu eenvoudig te brekenen als

resp. .23, .28, .35, .44, .53, .70, en klasse g .35.

Dit zijn inlotingskansen zoals die in de aangenomen situatie gelden bij één keer meeloten. Heeft een gegadigde zich vast voorgenomen om bij uitloting nog maximaal 4 keer in de volgende jaren mee te loten, dan komen de uiteindelijke plaatsingskansen er heel anders uit te zien.

Voor een gegadigde in lotingsklasse 2 is de kans om de eerste keer in te loten .28, de kans om 2e tweede keer in te loten is gelijk aan de kans om de eerste keer uit te loten maal de kans om in te loten die ook in volgende jaren ongeveer gelijk blijft aan .28 tenzij de situatie zich wijzigt. En zo verder voor de volgende jaren:

Op dezelfde wijze is deze kans voor de overige inlotingsklassen te berekenen. Merk op dat daarbij aangenomen wordt dat de getalsmatige situatie door de jaren heen ongeveer gelijk blijft, wat met name impliceert dat maar weinigen deze vijf-keer-meedoen strategie volgen(anders zouden de aantallen gegadigden zeer veel groter zijn dan in feite het geval is, terwijl het aantal beschikbare plaatsen uiteraard niet toeneemt). Tabel 2 geeft de berekeningsresultaten, waarbij voor tandheelkunde, gezien de milde beperking die daar geldt, geen berekeningen zijn uitgevoerd.

De 'vijf keer meedingen' kansen moeten zorgvuldig gelinterpreteerd worden: iemand die al 4 keer is uitgeloot heeft de vijfde keer een even grote inlotingskans als iemand anders in zijn lotingsklasse die voor de eerste keer meedingt.

Tabel 2. Inlotingskansen bij verschillende varianten.

In het voorontwerp wordt voorgesteld dat iedere gegadigde maar éénmaal mee mag dingen naar een plaats in een bepaalde studierichting. Het effect van die regeling, als hij tot gelding gebracht zou worden bij de huidige gewogen loting, uit zich in een forse verhoging van de inlotingskans t.o.v. de inlotingskans bij-eerste-mededinging. Immers, de numerus fixus blijft gelijk, terwijl het aantal gegadigden kleiner is. Tabel 2 geeft die kansen. Degenen die, om welke motieven dan ook, meerdere malen bereid zijn mee te loten, kunnen zich onder de huidige regeling verzekeren van een relatief hoge plaatsingskans. Dat is echter slechts mogelijk omdat zeer vele andere uitgelote gegadigden, die zeker niet minder gemotiveerd voor de betrokken studie hoeven te zijn, na een of twee keer meedingen definitief een andere studie of beroep kiezen. Een regeling die geen beperking stelt aan het aantal keren dat er meegedongen kan worden, werkt selectief op een onbekende en ongecontroleerde wijze: er zijn heel bepaalde persoonlijkheids eigenschappen voor nodig om herhaaldelijk mee te blijven dingen. De regeling werkt feitelijk als een verborgen persoonlijkheidstest, en dat is in vele opzichten een onwenselijke situatie (zie in dit verband de behartenswaardige opmerkingen van de Werkgroep selectie over een eventueel gebruik van persoonlijkheidstests bij selectie). Bedenk ook dat degenen die een tweede en derde keer meedingen daardoor de eerste inlotingskans voor anderen verkleinen, omdat het beschikbare aantal plaatsen gelijk blijft maar het aantal gegadigden groter wordt.

geschatte toelatingskansen bij nog onbekend examenresultaat

De inlotingskansen in de voorgaande paragraaf hebben betrekking op de situatie waarin het gemiddeld eindexamenresultaat al bekend is. Nu is dat niet het moment waarop de leerlingen hun studiekeuze plegen te bepalen: laten we zeggen dat de studiekeuze uiterlijk aan het begin van het laatste schooljaar gedaan is. Voor wie een numerus fixus studie kiest is het van belang om op dat moment al enig zicht te hebben op de plaatsingskans. Dat betekent dat de leerling aan het begin van zijn of haar laatste schooljaar al een schatting moet maken van het te verwachten eindexamenresultaat (alleen bij integrale loting is dat niet nodig). Er is geen reden om te verwachten dat zo'n schatting erg nauwkeurig kan zijn (in de betekenis van 'overeenkomend met het later feitelijk verkregen resultaat'). Er kan zo'n laatste jaar nog van alles gebeuren, er wordt nog nieuwe leerstof gepresenteerd van een karakter dat af kan wijken van wat de leerling uit eerdere schooljaren gewend was. ook het examen zélf is een toetsing die een tamelijk grote onbetrouwbaarheid heeft, d.w.z. dat door toevallige invloeden het resultaat sterk beïnvloed wordt. Dergelijke toevallige invloeden zijn bijv. de lichamelijke en geestelijke conditie op de beslissende momenten, de mate waarin gestelde vragen ook in het straatje van de leerling liggen, of de onderwerpen van opstel en vertalingen hem of haar liggen of niet, etc. Ter wille van de uit te voeren berekeningen zullen alleen kwart cijfergemiddelden bekeken worden, dus 6, 6¼, 6½, 6¾ etc. De aanname over de schatting die een (gemiddelde) individuele leerling kan maken over zijn of haar gemiddeld examenresultaat ziet er als volgt uit:

De leerling kan het meest waarschijnlijke cijfer aangeven, met een waarschijnlijkheidsverdeling daaromheen over de naastliggende cijfers:

• kans .10 op een afwijking naar beneden of naar boven van 1/2e punt en van 3/4e punt

• kans .20 op een afwijking naar beneden of naar boven van 1/4e punt

• kans .20 op realiseren van het aangegeven meest waarschijnlijke gemiddelde cijfer.

Berekening van de plaatsingskansen gegeven deze schatting van het gemiddeld eindexamencijfer levert dan iets hogere kansen op dan in tabel 2 werden vermeld. Dat komt omdat door de onzekerheid van de leerling niet uitgesloten kan worden dat het werkelijke cijfer in een iets hogere lotingsklasse valt, terwijl het daaruit volgende voordeel niet helemaal teniet gedaan wordt door de corresponderende kans dat het werkelijke cijfer in een iets lagere lotingsklasse uitkomt. (Het effect wordt veroorzaakt door de progressiviteit in de inlotingskansen per lotingsklasse). Voor de gewogen loting is het van weinig belang om een onderscheid te maken tussen de situatie voor en ná het bekend worden van de eindexamencijfers. Dat ligt bij de voorstellen van Pais echter heel anders: of je nog vóór of al na het eindexamen zit kan het verschil tussen grote onzekerheid en zekerheid (van al geplaatst te zijn) uitmaken. Dat de Werkgroep selectie de situatie vóór het examen niet heeft geanalyseerd wil dan ook niet zeggen dat zo'n analyse geen belang zou hebben. Het volgende zal het tegendeel demonstreren.

directe toelating volgens Pais' voorontwerp

Kortheidshalve zal in het volgende het voorontwerp van wet aangeduid worden als Pais' voorontwerp, gezien het feit dat de idee die er aan ten grondslag ligt van deze minister afkomstig is. Volgens Pais' voorontwerp zal 1/3e van de beschikbare plaatsen worden

De toelating gebeurt dus op basis van de volgende stappen:

• het gemiddelde cijfer voor het centraal schriftelijk gedeelte wordt berekend

• evenzo het gemiddelde cijfer voor het schoolonderzoek

• van beide gemiddelden wordt het gemiddelde berekend (dat is: de beide gemiddelden worden opgeteld en door 2 gedeeld)

• 1/3e deel van de beschikbare plaatsen wordt gevuld door telkens de deelgroep met het hoogste gemiddelde toe te laten, tot en met de groep waarmee bij toelating het 1/3e deel juist gevuld, of overschreden wordt.

In de praktijk zal de mate waarin dat 1/3e deel overschreden wordt niet groot hoeven zijn, omdat het examenresultaat een getal met enkele decimalen achter de komma zal zijn.

Het verrassende en overheersende kenmerk van de voorgestelde regeling is dat van tevoren niet bekend is welk examenresultaat voldoende zal zijn voor directe plaatsing.

De minister heeft expliciet voor deze regeling gekozen, en niet voor een regeling waarbij van tevoren de grens, bijv. 7,5, bekend gemaakt wordt. Het directe gevolg van de voorgestelde regeling is dat er enige tijd na het afleggen van het laatste examenonderdeel, en na het bekend worden van de examencijfers, zal verstrijken voordat bekend gemaakt kan worden wie wél en wie niet direct geplaatst zijn. Dat is uitermate vervelend voor al die " gegadigden die wél direct geplaatst worden, maar zich in de inmiddels verstreken weken toch hebben moeten voorbereiden op de toelatingstoets.

De minister stelt voor om iedere gegadigde maar één keer mee te laten dingen naar een plaats in een bepaalde studierichting. Dat is dan ook de conditie waaronder de volgende berekeningen worden verricht: er wordt gewerkt met de aantallen gegadigden in tabel 1 vermeld in de kolom 1e deelname. Bij de voorgestelde regeling kan opgemerkt worden dat ook niet goed in te zien is hoe gegadigden de gelegenheid tot meerdere keren meedingen geboden kan worden, zonder dat dat leidt tot grove onrechtvaardigheden tegenover degenen die voor de eerste keer meedingen: herhaald meedingen betekent herhaald meedoen op de toelatingstoets, waarbij er op gerekend kan worden dat de herkansers zich heel specifiek op die toetsing zullen voorbereiden, en herhaald meeloten, waardoor de toch al kleine inlotingskansen die bij eenmalige mededingen bestaan nog verder verkleind zullen worden. De hardheidsclausule in het voorstel van Pais bedraagt 5% van de beschikbare plaatsen, ten koste van het laatste 1/3e deel (bestemd voor inloting). De optelsom is dan eenvoudig te maken voor de drie verschillende numerus fixus studies, en is in tabel 3 weergegeven.

Tabel 3. Directe plaatsing volgens Pais' voorontwerp.

Het resultaat in tabel 4 wijst erop dat Pais' voorontwerp nog ongunstiger uitwerkt dan wat begin van de zeventiger jaren in discussie stond als de 7,5egeling, waarbij gegadigden met 7,5 of hoger gemiddeld eindcijfer direct geplaatst zouden worden en de overigen zouden moeten loten. De huidige gewogen loting is een compromis tussen deze 7,5 regeling en de integrale loting, een compromis bedoeld om de algemeen erkende onrechtvaardigheid in de 7,5 regeling te ondervangen zonder direct op de integrale loting uit te komen. Die onrechtvaardigheid zit hem in de scherpe grens: een miniem verschil kan uitmaken of een gegadigde direct geplaatst wordt, dan wel met een tamelijk geringe kans moet loten. Hetzelfde bezwaar kan opnieuw ingebracht worden, nu tegen Pais' voorontwerp. De discussie van jaren her kan nu weer herhaald worden. Zie bijv. de Handelingen van de Tweede Kamer 13-3-1975 p. 3486-3519, 18-3-1975 p. 3523-3572, en 19-3-1975 p. 3575-3588, de behandeling van het wetsontwerp Verlenging en wijziging van de Machtigingswet inschrijving studenten (12 929). Merk op dat rond de grens van directe toelating zich nogal grote groepen leerlingen bevinden. Sommigen hebben net voldoende punten om direct geplaatst te worden, anderen hebben er net te weinig. Voor leerlingen die in hun eindexamen heel scherp op een 7,5 gemiddeld denken af te koersen geldt dat zij in voortdurende onzekerheid over die directe plaatsing zullen zitten, omdat hun kans daarop immers ongeveer .5 is. Maar ook leerlingen die ruim boven de 7,5 denken te zullen eindigen hebben toch altijd de niet uit te sluiten kans dat hun eindexamenresultaat tegenvalt. Ofwel: vrijwel geen enkele student kan zeker van directe plaatsing zijn, totdat die directe plaatsing voor hem of haar een feit is. Een en ander geldt zeker aan het begin van het laatste schooljaar, wanneer er nog forse onzekerheden zijn over het eindexamenresultaat dat behaald zal kunnen worden. Er is dan ook geen sprake van dat het mogelijk zou zijn onder Pais' voorontwerp regeling 'met zekerheid' op directe plaatsing af te koersen, ofwel: een bijna bovenmenselijke prestatie te leveren en er dan van verzekerd kunnen zijn ook geplaatst te zullen worden is een illusie. Verhoogde inspanning leidt tot een verhoogde plaatsingskans, zoals dat ook bij de huidige gewogen loting het geval is. De andere kant van deze medaille is dat een heel grote groep, ongeveer 1 van alle leerlingen, er vrij zeker van kan zijn niet direct geplaatst te zullen worden. (Een aantal van hen is zelfs nog niet zeker voor het examen te zullen slagen, vandaar de schatting van 1, en niet van 2/3e zoals de cijfers in tabel 3 doen vermoeden). In de toelichting op het voorontwerp wordt het niet met name genoemd, maar te vermoeden valt dat de minister deze omstandigheid dat een groot aantal leerlingen zeker weet niet voor directe plaatsing in aanmerking ook al signaleerde, en daarom zijn aanvankelijke voorstel (zoals voorgelegd aan de Werkgroep selectie) wijzigde: het toelatingstoets resultaat wordt gewogen met het eindexamenresultaat, zodat er toch op een aanzienlijk deel van deze groep leerlingen druk wordt uitgeoefend tot het behalen van hogere eindexamenresultaten. Daarover nu meer.

de toelatingstoets

Onder de niet direct toegelatenen wordt 1/3e deel van de beschikbare plaatsen verdeeld

Deze toelating gebeurt dus op grond van de volgende stappen:

• het gemiddelde van het centraal schriftelijk eindexamen wordt berekend
• evenzo het gemiddelde van het schoolonderzoek
• van beide gemiddelden wordt het gemiddelde berekend
• volgens een niet nader in het voorontwerp aangegeven procedure worden ruwe toetsresultaten omgezet op een cijferschaal
• het gemiddeld eindexamenresultaat wordt opgeteld bij het toetscijfer (de som wordt door 2 gedeeld). Dit levert de score op die beslissend is voor toelating, verder de vergelijkende score genoemd.

Het omzetten van toetsscores tot toetscijfers is een heel belangrijke stap, omdat de spreiding die aan deze toetscijfers gegeven wordt in feite het gewicht gaat bepalen dat de toetscijfers krijgen in de plaatsingsbeslissing. Hoe groter deze spreiding, des te zwaarder wegen deze toetscijfers in die beslissing mee, ongeacht wat de minister daarover met de verhouding 1 : 1 van eindexamenresultaat en toetscijfer heeft willen vastleggen. Hetzelfde verband tussen spreiding en gewicht in de beslissing geldt overigens bij het betrekken van de cijfers van het schoolonderzoek bij de beslissing tot directe plaatsing, en ook weer bij de beslissing tot plaatsing via de toelatingstoets: hoe groter de spreiding in cijfers van het schoolonderzoek, hoe groter het gewicht dat die cijfers in de schaal leggen. Het vervelende daarbij is dat scholen onderling zullen verschillen in de mate waarin schoolonderzoek cijfers over de hele cijferschaal gespreid worden, zoals zij ook van elkaar zullen verschillen in gemiddeld gegeven schoolonderzoekcijfer, waardoor gegadigden van sommige scholen in het voordeel zullen zijn t.o.v. gegadigden van andere scholen. In beginsel zijn maatregelen denkbaar om in dit opzicht correcties aan te brengen, maar de minister heeft aan dergelijke maatregelen geen behoefte, blijkens een expliciete uitspraak daarover in de toelichting op het voorontwerp. Hoewel de bedoelde toelatingstoets nog nimmer is afgenomen, en zelfs nog niet bekend is hoe de toets er precies uit gaat zien, hoeveel vragen er in zullen komen, en hoe moeilijk de toets zal zijn, kan er op voorhand toch al het nodige over berekend en gezegd worden. Zeker ook waar het gaat om de relatieve scores die gegadigden op de toets zullen behalen. Bij de berekeningen in de volgende paragrafen zal aangenomen worden dat de toets uit 100 vragen bestaat, dat de cijferverdeling ongeveer overeen zal stemmen met de verdeling van eindexamencijfers, dat het toetscijfer gelijk is aan 1/10e van het aantal vragen goed (zonder correctie voor raden). Aangenomen wordt, om de berekeningen overzichtelijk en hanteerbaar te houden, dat het om één toets gaat, hoewel in feite de vragen opgesplitst zullen zijn over twee te toetsen 'kernvakken', in het geval van medische numerus fixus studies zullen dat natuurkunde en scheikunde zijn. Aangenomen wordt dat de vragen in de toets beschouwd kunnen worden als random getrokken uit een grote (denkbare) verzameling van voor deze toetsing in aanmerking komende vragen. Aan deze aanname is voldaan wanneer er geen vragen uitlekken. Omdat het hier gaat om voorspellende scoreverdelingen voor de toets, voor de individuele deelnemer, maakt het voor de te maken berekeningen geen verschil of iedere deelnemer een individueel random getrokken toets krijgt, of dat de toets voor alle deelnemers gelijk is. De techniek voor de individuele schatting zal hier summier aangeduid worden. Voor een meer volledige behandeling van deze wel als 'beta-binomiaal model' aangeduide techniek wordt verwezen naar Lord & Novick 1968 (hoofdstuk 23), Wilbrink (1980 b) (toepassing bij criterium gerefereerde toetsen), of Wilbrink (1978, bijlage A) waarvan een deel als bijlage aan dit rapport is toegevoegd. Met nadruk moet er hier op gewezen worden dat iedere toetsing, de toelatingstoets van Pais niet uitgezonderd, een belangrijk kanselement bevat. Een eenvoudig voorbeeld kan dat verduidelijken. Veronderstel dat een leerling van alle vragen in de (denkbare) verzameling waaruit de toets wordt samengesteld er 70 % goed kan beantwoorden. Dat betekent dat voor iedere vraag in de toets de kans dat het een vraag is waarop de leerling het antwoord weet (of raadt) .7 is. Gezien de ware beheersing van 70 % zou deze leerling op de toets van 100 vragen een score van 70 'verdienen'.

Maar al naar gelang het draaien van deze toetsroulette zal zijn of haar score hoger of lager uit kunnen vallen. Hoeveel hoger of lager wordt precies uitgedrukt door de binomiaal verdeling die het aantal successen uit 100 aangeeft voor een (ware beheersing) parameter waarde van .70 of 70 %. De kans op een score van 80 of hoger is te berekenen of op te slaan uit tabellen voor de cumulatieve binomiaal verdeling, en is gelijk .0165. De kans op een score kleiner of gelijk 65 uit 100 is .2207. Etcetera. Het toevallige karakter van toetsscores wordt nog versterkt omdat de leerling zijn ware beheersing natuurlijk niet kent, die slechts kan schatten door er een kansverdeling over te specificeren (ongeveer zoals eerder een kansverdeling over eindexamenresultaat werd gespecificeerd voor de leerling die nog maar aan het begin van zijn of haar laatste schooljaar staat). En daarmee zitten we midden in de techniek van het voorspellen.

Techniek voor het voorspellen van de te behalen toetsscore

Tot aan tabel 5 is deze paragraaf nogal technisch van aard; wie niet in de techniek geïnteresseerd is kan zonder bezwaar verder gaan bij de resultaten zoals in tabel 5 weergegeven, en de daarna volgende bespreking van die resultaten. In technische termen gaat de voorspelling van de individuele toetsscore als volgt in zijn werk. Gegeven de ware beheersing van de deelnemer volgt zijn of haar toetsscore de binomiaal verdeling Bi(p, 100). Over de beheersingsparameter p in deze verdeling wordt vervolgens ook een kansverdeling gespecificeerd door de deelnemer, op grond van wat hij of zij denkt dat de eigen beheersing binnen bepaalde grenzen is. Meestal zal een Beta(a, b) gevonden kunnen worden die goed past bij de ideeën van de leerling (zie Novick & Jackson 1974 of Wilbrink 1978 voor een gedetailleerde beschrijving van deze techniek). De voorspellende toetsscore verdeling kan dan gevonden worden, door de ware beheersing p uit te integreren, als de beta-binomiale verdeling BeBi(a, b, 100). Deze verdeling kan uitstekend benaderd worden met een normaal verdeling, wat bijzonder handig is omdat voor deze verdeling een eenvoudige tabel beschikbaar is, in de meeste statistiek boeken afgedrukt. De normaal verdeling past minder goed bij extreme waarden van de beta-binomiaal verdeling, wat in de toepassing waar het hier om gaat minder bezwaarlijk is omdat daardoor de rangorde van leerlingen niet of nauwelijks aangetast zal worden, en het gaat bij de quotaselectie volgens Pais' voorontwerp om de rangorde en niet om de absolute scores of cijfers. Voor géén van deze verdelingen is de wiskundige uitdrukking nodig. Wél zijn de formules voor gemiddelde en variantie van BeBi(a, b, 100) nodig, omdat, in de momentenmethode de best passende normaal verdeling gemiddelde en variantie daaraan gelijk moet hebben:

(2) gemiddelde BeBi(a, b, 100): 100 × a/(a + b)

3) variantie BeBi(a, b, 100): 100 × ab(a + b + 100)/((a + b)(a + b)(a + b + 1)).

Voor de beta verdeling wordt aangenomen dat a + b = 50, wat gelijk geacht kan worden aan de informatie die een proeftoets van 50 vragen levert over de mate van stofbeheersing. Dat is waarschijnlijk een onderschatting van de nauwkeurigheid waarmee leerlingen kunnen schatten wanneer het gemiddeld eindexamenresultaat al bekend is. Voor de te presenteren plaatsingskansen betekent dat dat verschillen tussen gegadigden uit verschillende eindexamencijferklassen waarschijnlijk iets minder scherp uit de berekeningen komen dan ze in werkelijkheid zullen blijken te zijn. Je zou kunnen zeggen dat de onderschatting van de nauwkeurigheid in het voordeel van Pais' wetsontwerp uitkomt. Een verdere vereenvoudiging wordt verkregen door het gemiddelde van de betaverdeling a/(a + b) gelijk te nemen aan het verwachte (of verkregen eindexamenresultaat (gedeeld door 10), waarbij weer de waarden op 1/4 punt verschil van elkaar gebruikt zullen worden. Tabel 4 geeft dan voor de verwachte of verkregen eindexamenresultaten de parameters van de bijbehorende beta verdeling, en de daarop gepaste normaalverdelingen.

Tabel 4. Voorspellende toetsscore verdelingen (normaal verdelingen), gekoppeld aan verwacht of verkregen examenresultaat.

De normaalverdelingen leveren, na standaardisatie, door aflezen uit de tabel voor de cumulatieve gestandaardiseerde normaal verdeling, de kansen op een bepaalde toetsscore of een hogere toetsscore.

Zou de plaatsing gebeuren uitsluitend op basis van het toelatingstoets resultaat, dus zonder meewegen van het eindexamenresultaat, dan resulteert een en ander uiteindelijk in de plaatsingskansen zoals weergegeven in tabel 5. Dat zijn dan wel de plaatsingskansen zoals die er ná het bekend worden van het eindexamenresultaat uitzien. Voor het berekenen van de tabelwaarden zijn de individuele kansen op een bepaalde score of beter eerst omgezet in verwachte proporties uit de hele cijfergroep die die bepaalde score of beter behaalt.

Tabel 5. Plaatsingskans, na het eindexamen, op basis van het resultaat op de toelatingstoets, ongewogen met het eindexamenresultaat.

Merk op dat het in de praktijk best kan gebeuren dat het 1/3e deel fors overschreden wordt door de laatst toegelaten scoregroep. De cijfers voor het geneeskunde voorbeeld laten zien dat er 50 plaatsen méér direct bezet worden dan het eigenlijk beschikbare contingent van 500. Die extra 50 gaan ten koste van het laatste derde deel dat voor verdeling beschikbaar is onder alle niet direct geplaatsten. Omdat aan dat laatste derde deel ook op andere manieren al beknibbeld wordt in het voorontwerp van Pais, en misschien ook nog de overschrijding van het 1/3e contingent op basis van eindexamenresultaat direct geplaatsten daarop in mindering gebracht wordt (daar spreekt de toelichting van het voorontwerp zich niet duidelijk over uit), lijkt het minder aanvaardbaar het voordeel van plaatsing te geven aan de laatste scoregroep op de toelatingstoets. Het alternatief voor geneeskunde komt dan uit op plaatsing van gegadigden met een toetsresultaat van 75 of beter, en 26 plaatsen die niet bezet worden, worden toegevoegd aan het laatste 1/3e deel. Het meest opmerkelijke van de plaatsingskansen zoals in tabel 5 weergegeven is

• dat ook de hoogste cijfercategorie (7,5 omdat de nog hogere al direct geplaatst zijn) de toelatingstoets als een geweldige gok op zich af ziet komen, met een plaatsingskans van ongeveer .4, bepaald door het loutere toeval of de vragen in de toets toevallig in het straatje van de leerling liggen of niet, en of de eigen beheersing van de stof meer dan wel minder onderschat is.
• dat de plaatsingskans heel snel afneemt tot een bijna verwaarloosbare 1 op 20 voor de laagste cijfercategorie. Het gaat hier om een ijzeren wetmatigheid wanneer een klein aantal beschikbare plaatsen verdeeld wordt onder de hoogst scorenden uit verschillende groepen die van elkaar gemiddeld slechts gering verschillen: in de bovenste staart van de verdelingen zijn personen uit de groep die gemiddeld iets beter scoort, sterk in het voordeel.

Plaatsingskans op toetsscores gewogen met eindexamenresultaat

Het voorstel om het toetsresultaat samen met het eindexamenresultaat te wegen bij de plaatsingsbeslissing, is in meer dan één opzicht erg ongelukkig. Allereerst verscherpt het aanzienlijk het verschil in plaatsingskans tussen leerlingen die maar weinig van elkaar verschillen in capaciteiten, zoals in deze paragraaf gedemonstreerd zal worden. Maar ook komt het voorontwerp voorstel in feite neer op een dubbele meeweging van het eindexamenresultaat, omdat immers de toelatingstoets voor een heel groot deel hetzelfde zal toetsen wat ook al in enkele belangrijke eindexamenvakken getoetst is. De regeling die Pais voorstelt is zo ingewikkeld dat het met de doorzichtigheid van de procedure voor de betrokken leerlingen erg slecht gesteld is, en het ook moeilijk wordt om berekeningen er op uit te voeren zonder ingewikkelde modellen op te stellen en zonder de computer te moeten gebruiken. Het laatste zal toch geprobeerd worden, en daar zijn sterk vereenvoudigende aannamen voor nodig. Aangenomen wordt dat de verwachtingen voor de te verkrijgen toetsscore nauw gekoppeld zijn aan het feitelijk behaalde eindexamenresultaat. In werkelijkheid zal dat natuurlijk niet het geval zijn, omdat bijv. voor natuurkunde en scheikunde de cijfers beter waren dan het over-all gemiddelde van de leerling, of omdat de leerling vermoedt dat zijn verkregen cijfers zijn ware beheersing geen recht hebben gedaan Toch kan met deze aanname gewerkt worden, zolang gemiddeld over de cijfergroepen de werkelijkheid in de buurt van die aannamen ligt. Samen met de eerder gedane aannamen over de wijze waarop toetsscores in cijfers omgezet worden, levert dat voor de beide voorbeelden geneeskunde en diergeneeskunde de resultaten op zoals in tabel 6 vermeld. Ook die resultaten zijn weer verkregen door eerst de cumulatieve normaal verdelingen op te zetten die de voorspelling van de minimaal te behalen toetsscores voorstellen, berekeningen die hier niet weergegeven zullen worden.

Tabel 6.Plaatsingskans, na het eindexamen, op basis van de combinatie van toelatingstoetscijfer en eindexamenresultaat.

plaatsingskans, direct of via toets, bij begin schooljaar

Staat de leerling nog maar aan het begin van het laatste schooljaar, en moet hij of zij definitief de studiekeuze bepalen, dan zijn de kansen om via die toelatingstoets toegelaten te worden tot de numerus fixus studie van eerste keuze nog lastiger te overzien. De eerder gemaakte aanname over het voorspelde eindexamenresultaat hanterend, en aannemend dat de voorspellende toelatingstoetsscore verdeling dezelfde koppeling met feitelijk behaald eindexamenresultaat behoudt als in de voorgaande paragraaf gehanteerd, resulteren de berekeningen dan in de plaatsingskansen zoals gegeven in tabel 7, waarbij aangetekend moet worden dat in de plaatsingskans via de toets al verdisconteerd is dat de leerling die direct geplaatst wordt op basis van behaald eindexamenresultaat die toets in het geheel niet meer hoeft af te leggen. Vandaar de aflopende kans, voor de hogere cijfergroepen, om via de toelatingstoets geplaatst te worden.

Tabel 7. Plaatsingskans zoals gezien aan het begin van het schooljaar, door ofwel directe plaatsing, ofwel via de toelatingstoets.

het lotingsgedeelte in Pais' voorontwerp

Een deel van de niet direct of via de toelatingstoets toegewezen plaatsen wordt door loting toegewezen. Verschillende categorieën personen krijgen daarbij verschillende inlotingskansen. Het voorontwerp geeft een bijzonder ingewikkelde regeling, die hier aan de hand van het cijfervoorbeeld voor geneeskunde besproken zal worden.

In beginsel worden 1000 van de 1500 beschikbare plaatsen rechtstreeks of via de toelatingstoetsing toegewezen. In feite zullen meestal iets meer dan 1000 plaatsen op deze wijze toegewezen worden, laten we zeggen gemiddeld zo'n 1020.

blijft: 480 plaatsen, ofwel 32 %, voor 2030 gegadigden.

blijft: 27 %, ofwel 405 plaatsen, voor 2030 gegadigden (onder wie 75 die straks via die hardheidsclausule geplaatst kunnen worden).

Hierbij valt aan te tekenen dat in feite veel meer dan 5 % van de plaatsen voor hardheidsclausule gevallen ingeruimd wordt, omdat pas na afwikkeling van de hele toelatingsregeling, inclusief de loting, alleen de dan nog niet geplaatste personen die aanspraak kunnen maken op deze clausule zich aan zullen melden. Dat bergt het risico in zich dat de normen bij de toepassing van deze uitzonderingsregeling gaan verschuiven in een richting die ze heel dicht brengt bij de hardheid waarmee de 'gewone' uitgelote gegadigde geconfronteerd wordt.

Voorgesteld wordt hen

De minister spreekt uit dat het om "kleine absolute aantallen gaat", maar geeft geen cijfers. Neem aan dat het voor geneeskunde jaarlijks om 50 gegadigden gaat. Zij komen niet voor directe plaatsing in aanmerking, en zullen doorgaans via de toelatingstoets een niet reële kans hebben geplaatst te worden. De selectieratio voor geneeskunde is in het voorbeeld gelijk aan 1500/3050 = .49. Afrondend ten gunste van deze bijzondere groep betekent dat een reservering van 25 plaatsen, die via loting onder hen te verdelen zijn.

blijft: 380 plaatsen, ofwel 25.3 %, voor 1980 gegadigden.

De minister stelt voor:

Aangenomen wordt dat onder de 1980 gegadigden 500 vrouwen zijn.

blijft: voor vrouwen 190 plaatsen, voor 500 gegadigden.
blijft: voor mannen 190 plaatsen, voor 1480 gegadigden.

Neem aan dat onder de 1480 mannelijke gegadigden zich 100 gegadigden bevinden die hun militaire dienst verricht hebben. In het geneeskunde voorbeeld blijkt het aan hen beschikbaar stellen van 25 plaatsen, waardoor hun inlotingskans .25 is, aan de eis gesteld in de toelichting op het wetsontwerp, te voldoen.

blijft: 165 plaatsen voor 1380 mannelijke gegadigden, inlotingskans .12.

Tabel 8. Inlotingskansen.

Merk op dat de lotingsregeling Pais tot gevolg kan hebben dat bepaalde deelgroepen direct geplaatst worden, zoals in het tandheelkunde voorbeeld geldt voor vrouwelijke gegadigden en voor ex-dienstplichtigen. In zo'n situatie zouden individuele gegadigden er op kunnen gokken dat zij in ieder geval op deze wijze rechtstreeks geplaatst zullen worden, in welk geval zij in de bevoorrechte positie verkeren in alle gemoedsrust het laatste schooljaar te kunnen doorlopen en examen af te leggen.

Tabel 9. Totale plaatsingskans volgens Pais' voorontwerp en volgens gewogen loting met eenmalige deelneming, na het eindexamen, en aan het begin van het laatste schooljaar (verwacht examenresultaat).

effecten op studierendement

Selectie voor numerus fixus studies kan onder andere opgevat worden als een probleem in rendementsverbetering van het wetenschappelijk onderwijs, hoewel voor een praktische doorvoering van eventuele beleidsmogelijkheden iedere wettelijke basis ontbreekt, en een Machtigingswet voor de numerus fixus problematiek niet het geëigende middel is om zaken te regelen die op zich niets met de numerus fixus van doen hebben. Theoretisch kan het interessant zijn om naar de rendementsproblematiek te kijken. Wordt er echter slechts voor een enkele speciale studierichting geselecteerd, en niet voor de overige, dan is het buitengewoon nalef om te kijken naar mogelijke rendementsverbeteringen in die numerus fixus studie, zonder te kijken naar wat er met het rendement van de overige studierichtingen gebeurt wanneer daar de afgewezen gegadigden terecht komen. Gebeurt immers de selectie op basis van gegevens die een bepaalde algemene voorspellende geldigheid bezitten, zoals goede examencijfers ongetwijfeld een bepaalde samenhang zullen hebben met verder studiesucces in het w.o. in een breed scala van studierichtingen, dan zou eenzijdige selectie op dergelijke gegevens resulteren in een (gematigde) rendementsverbetering voor de numerus fixus studie, ten koste van een (gematigde) rendements verslechtering in overige studierichtingen waar afgewezen gegadigden terecht komen (de studies biologie en natuurkunde bijvoorbeeld, om de gedachten te bepalen). Rendementsverbeteringen in samenhang met de toelating tot numerus fixus studies zijn alleen dan te verwachten wanneer er aanwijzingen -zijn . op grond waarvan gezegd kan worden dat een bepaalde gegadigde het in een bepaalde studie 'beter' zal doen dan in een bepaalde andere studie. Dan kan de gegadigde, wanneer er tenminste geen tegenargumenten op maatschappelijke, juridische, of technische gronden zijn, bij voorkeur geplaatst worden in de studie met de 'betere' verwachting, of dat nu toevallig een numerus fixus studie is of niet.

Bijvoorbeeld: het is niet ondenkbaar dat er een groep kandidaten is voor wie geldt dat zij met enige moeite de studie geneeskunde aankunnen, uitstekende huisartsen worden, terwijl zij voor iedere andere wetenschappelijke opleiding een heel groot mislukkingsrisico hebben. Welnu, dergelijke gegadigden zouden bij voorkeur geplaatst worden, ondanks hun gemiddeld weinig indrukwekkend eindexamenresultaat. Dat het bij numerus fixus toelatingsproblemen om een goed verdelings of plaatsingsbeleid gaat, en niet om een selectiebeleid gericht op rendementsverbeteringen eenzijdig in de numerus fixus studies, werd eerder beschreven door Wilbrink (1980 a). Daar is één uitzondering op denkbaar: wanneer het mogelijk zou zijn om gegadigden met een bijzonder groot mislukkingsrisico te identificeren, zou je hen misschien bij voorkeur niet toelaten. Voor de geneeskunde studie zou dat echter alleen daarom al weinig regel zijn, omdat de capaciteitsproblematiek niet in de allereerste jaren van de studie zit, en juist deze risico gevallen vrijwel geen beslag op de beschikbare capaciteit leggen. Een andere reden waarom in het geval van geneeskunde het illusoir is te denken deze risicogevallen met voldoende zekerheid aan te kunnen wijzen is het loutere feit dat er in deze studie slechts een geringe uitval is, van hooguit 20 %, die bovendien voor een aanzienlijk deel zal bestaan uit

• gevallen die volstrekt onvoorspelbaar zijn (ziekte, ongeval, emigratie)
• gevallen van spijtoptanten die een andere studie kiezen zonder overigens voor hun geneeskunde studie slechte resultaten gehaald te hebben
• personen met deficiënte vooropleidingen, die alleen om die reden echter niet de toelating ontzegd zou kunnen worden.

De weinige gevallen die overblijven, zeg zo'n 10 %, zullen voornamelijk te vinden zijn in de groep met lage eindexamencijfers. Maar zij gaan volledig ten onder in een veel grotere groep andere kandidaten met dezelfde eindexamencijfers die hun studie wél goed afmaken. Dat betekent dat er in deze situatie op dergelijke risico gevallen eenvoudig niet te selecteren valt zonder een veel te groot aantal anderen onrechtvaardig en ten onrechte eveneens de toelating te ontzeggen, zoals in feite met de grote groep gewone mannelijke gegadigden met de weinig briljante examenresultaten zal gaan gebeuren mocht het voorontwerp van wet tot wet gepromoveerd worden. Een en ander is voldoende reden om in dit rapport geen aandacht te besteden aan welke rendementsberekeningen dan ook.

[overgenomen uit bijlage A van Studiestrategieën, 1978]

bijlage. Voorspellende kansverdeling voor de toetsscore van de student

Voor de student die een efficiënte studiestrategie wil volgen, is het van belang dat hij tenminste enige tijd voor de toetsafname geïnformeerd is over de kansverdeling voor zijn toetsscore. Met name gaat het dan om de kans dat hij een score behaalt die boven de (tevoren bekend gemaakte) aftestgrens ligt, of om de kans dat hij tenminste een bepaalde score X = x behaalt; in welke kans hij geïnteresseerd is hangt van de gehanteerde examenregeling af.

Aangenomen wordt dat over de te toetsen leerstof een (denkbare) verzameling van toetsvragen bestaat, waaruit vragen random getrokken zijn voor opname in de af te nemen toets. Dat random trekken mag hier zo opgevat worden dat door de betreffende student de toets opgevat kan worden als een random getrokken steekproef, d.w.z. de student heeft geen enkele voorkennis over de precieze vragen die in de toets voor zullen komen.

De ware beheersing van deze student over de leerstof wordt gedefinieerd als de proportie p van de vragen in de verzameling die hij goed zou beantwoorden wanneer hij* ze voorgelegd zou krijgen.

De kansverdeling voor de toetsscore, gegeven de ware beheersing p, is de binomiaalverdeling

(1)      f( x| p ) = ( n boven x ) p^x (1 - p )  ^{n - x}

n = aantal toetsvragen

x = 0, 1, 2, ......, n

0   ≤   p   ≤  1.

Het is echter niet de verdeling f( x |  p ), maar f( x ) die we zoeken. Wanneer de verdeling f( p ) gespecificeerd kan worden, is f( x ) te vinden. De functie f( p ) is de uitdrukking van de idee die de student heeft over zijn ware beheersing: wat hij denkt dat de meest waarschijnlijke waarde voor zijn p is, en hoe ver hij denkt dat hij er met die schatting wel eens naast zou kunnen zitten. In de Bayesiaanse statistiek zou f( p ) een prior distribution genoemd worden, en hoewel het hier niet gaat om een stukje toegepaste Bayesiaanse statistiek kan wel gebruik gemaakt worden van de methoden voor het specificeren van priors. Daarvoor verwijs ik naar Novick & Jackson (1974 ); de daar besproken interactieve programmatuur (CADA ) zal op de meeste rekencentra in ons land beschikbaar zijn. Wordt inderdaad de weg van specificatie van een prior gekozen, dan moet de betaverdeling daarvoor gekozen worden, omdat dit de natural conjugate is voor de verdeling f( x |  p ).

Wanneer kort voor het eigenlijke tentamen een proeftoets wordt gegeven, die in alle relevante opzichten gelijkwaardig is aan de definitieve toets, kan de subjectiviteit van het specificeren van een prior met behulp van CADA of de nomogrammen gegeven in Novick & Jackson (1974 ) vermeden worden: kies dan voor f( p ) de betaverdeling met parameter  a gelijk aan het aantal vragen goed op de proeftoets, en b = n -  a waarbij n = aantal vragen in de proeftoets:

(2 )      f( p  ) = B^-1   ( a,  b  )  p ^{a - 1}  ( 1 -  p )  ^{b - 1} ,      waar

        B( a, b ) = ( a - 1 )! (  b - 1 )! / (  a +  b -1 )!        a,  b > 0.

Gebruik makend van de relatie

(3 )      f( x, p ) = f( x| p ) f( p ) =

B ^{- 1}   ( a,  b  ) ( n boven x ) p ^{a +  x - 1} (1 - p ) ^{b + n - x - 1}

kan de marginale kansverdeling f( x ) voor de toetsscore verkregen worden door f( x, p ) te integreren over alle waarden van  p:

(4 )      f( x ) = ∫₀¹ f( x, p ) d p =

B ^-1   ( a,  b  ) ( n boven x )   ∫₀ ¹  p ^{a +  x - 1} (1 - p )  ^{b + n - x - 1} d p.

De integraal in het uiterste rechterlid van (3 ) is gelijk aan de incomplete beta

B( a + x, b + n - x ) = ∫₀ ¹  p ^{a +  x - 1} (1 - p )  ^{b + n - x - 1} d p.

zodat

(5 )      f( x ) = ( n boven x ) B ^-1 ( a,  b  ) B( a + x, b + n - x )

De verdeling (5 ) staat in de literatuur onder uiteenlopende benamingen bekend, en onder uiteenlopende wiskundige schrijfwijzen. [In het algemeen wordt (5 ) de negatief hypergeometrische verdeling genoemd. Bij Bosch (1963 ) heet het de Pólya verdeling, bij Johnson & Kotz (1977 ) de Pólya-Eggenberger. Raiffa & Schlaifer (1961, blz. 237 e.v. ) noemen het de beta-binomiaal verdeling.]

literatuur

Adviescommissie toelatingscriteria wetenschappelijk onderwijs (voorzitter E. Warries ) Toelatingscriteria voor de numerus fixus studierichtingen in het wetenschappelijk onderwijs. Den Haag: Ministerie van onderwijs en wetenschappen, januari 1977.

CITO Studietoetsen voor toelating tot studierichtingen met een numerus clausus. Den Haag: Staatsuitgeverij, 1979.

CRWO Loot om oud ijzer, CRWO commentaar op het rapport van de Werkgroep selectie i.v.m. de Machtigingswet inschrijving studenten. Contactgroep Research Wetenschappelijk Onderwijs, Voorburg, CBOWO, Postbus 590, december 1978. html

Lord, F. M. & Novick, M. R. Statistical theories of mental test scores. London: Addison-Wesley, 1968.

Novick, M. R., & Jackson, P.H. Statistical methods for educational and psychological research. Düsseldorf: McGraw-Hill, 1974.

Wilbrink, B. Gewogen loting. Amsterdam: COWO, Oude Turfmarkt 149, mei 1975. html

Wilbrink, B. Studiestrategieën. Amsterdam: COWO, Oude Turfmarkt 149, oktober 1978. html

Wilbrink, B. Toelatingstoets voor het wetenschappelijk onderwijs? Tijdschrift voor onderwijsresearch, 1980, 5, 39-40. a html

Wilbrink, B. Passing scores on domain referenced tests: an improved decicion-theoretic methodology for optimization. Amsterdam: COWO, Oude Turfmarkt 149, may 1980. b pdf

Werkgroep selectie in verband met de machtigingswet inschrijving studenten (voorzitter S. Wiegersma ). Rapport.

Folia (16-8-1980): 'nieuwe toelatingscriteria fataal voor middelmatig begaafde dienstweigeraar'.

Minister Pais heeft nagelaten cijfermateriaal bij zijn selectievoorontwerp te voegen. Dat is jammer, want het is interessant genoeg te bezien wat er in de praktijk staat te gebeuren als zijn systeem ook werkelijk gehanteerd zou worden. De cijfers zijn naast uitvoerige beschouwingen over het selectieplan te vinden in een zeer onlangs uitgekomen rapport van het Amsterdamse Centrum voor Wetenschappelijk Onderzoek van het Onderwijs, auteur Ben Wilbrink.

Omdat 1/3 van de beschikbare studieplaatsen wordt gereserveerd voor hen die het beste schoolonderzoek/ eindexamenresultaat hebben behaald, is nooit van tevoren zeker met welk redelijk hoog cijfergemiddelde een aspirant-student wel en met welk gemiddelde hij niet meer automatisch geplaatst wordt. Immers, al oogt het resultaat van individuele studie-inspanningen nog zo fatsoenlijk, als een grote groep VWO'ers nog hogere punten heeft gehaald gaan de beteren voor. 'Verhoogde inspanning', aldus het COWO-rapport 'leidt slechts tot een verhoogde plaatsingsKANS'.

Zeker weten of je geplaatst wordt kan men het als zesdeklasser dan ook nooit. Er is wel een andere zekerheid. Ongeveer 3/4 van de leerlingen kan er wel op rekenen zeker niet direct geplaatst te worden: van 2/3 van hen is het hoge cijfergemiddelde voor ongeclausuleerde plaatsing niet weggelegd en een deel weet uberhaupt nog niet of het het eindexamen zelf ongeschonden doorkomt. Uit een tabel over de plaatsingskansen van diegenen die deel gaan nemen aan de universitaire toelatingstoets, valt Wilbrink onmiddellijk de ijzeren wetmatigheid op, dat wanneer een klein aantal beschikbare plaatsen wordt verdeeld onder de hoogst scorenden uit verschillende groepen die van elkaar slechts weinig verschillen, dat dan diegenen die net iets beter scoren dan anderen over het algemeen onevenredig sterk in het voordeel verkeren.

Bij het lotingsgedeelte in Pais' voorontwerp zijn nog iets opvallender conclusies te trekken.

Stel, een studie geneeskunde kent 1500 beschikbare plaatsen. Iets meer dan 1000 plaatsen (1020) wordt in de praktijk toegekend op basis van een hoog eindexamenresultaat of een succesvol (dat is: beter dan anderen) afgelegde toets. Resteert: 480 plaatsen, ofwel 32% van de plaatsen. Er zijn 2030 gegadigden. Vijf procent gaat hiervan af voor de zgn. hardheidsclausule. Resteert: 27% ofwel 405 plaatsen. Daar moet nog vanaf een aantal colloquium doctum-bezitters, mensen met een buitenlands getuigschrift en HBO'ers die op grond van de wet wederzijdse doorstroming toegang kunnen krijgen tot de universiteit. Ook zij moeten mee kunnen loten. Kleine getallen, maar toch. In het rekenvoorbeeld van het COWO (dat van 50 van deze studenten uitgaat) resteert er nog 25,3% oftewel 380 plaatsen voor 1980 gegadigden.

Omdat voorgesteld wordt de voor loting beschikbare plaatsen voor de helft toe te wijzen aan vrouwen en ervan uitgaande dat er 500 vrouwelijke gegadigden zijn levert dat het volgende beeld op: vrouwen 190 plaatsen voor 500 gegadigden; mannen 190 plaatsen voor 1480 gegadigden. Inlotingskans voor vrouwen: 0,38. Omdat voor mannen echter in het voorontwerp is bedacht dat wie zijn militaire dienstplicht heeft vervuld een kans van 2:1 moet hebben ten opzichte wie 's lands wapenrok nog dragen moet, en uitgaande van een aantal afgezwaaide militairen met een medische roeping, blijven er in het voorbeeld 165 plaatsen te verdelen voor 1380 mannelijke gegadigden. Dat is dan een inlotingskans van 0,12
(t.e.).

Het rapport waaruit hier summier enkele gegevens zijn geput is - zolang de voorraad strekt verkrijgbaar bij het COO, Oude Turfmarkt 149, Amsterdam. Volgende week zal in Folia een commentariërende nieuwsanalyse over het, selectieprobleem verschijnen.

[Redactioneel commentaar uit VOR Bulletin 1980, jaargang 4, nr. 7, van Egbert Warries n.a.v. Pais' voorontwerp en o.a. mijn rapportage over de werking daarvan.]

Onderwijsresearch en universitaire selectie

Sommige onderwijsresearchers menen dat het onderwijsonderzoek weinig invloed uitoefent op het denken en doen in de scholen en universitaire instellingen in ons land. Ik ben het daarmee oneens, zeker gezien het betrekkelijk geringe bedrag dat we besteden aan probleemgericht onderwijs-onderzoek in Nederland. Nu minister Pais zijn Voorontwerp van Wet Toelating tot Numerus Fixus Studierichtingen in juli van dit jaar heeft gepresenteerd, leek het mij goed er nog eens op te wijzen dat wij onderwijsonderzoekers echt wel iets weten. De selectie voor de universiteit is daar een goed voorbeeld van. Nederlandse wetenschappers zijn er in geslaagd het probleem van de selectie voor de Numerus Fixus Studierichtingen op te lossen. Door hun goede probleemdefinities, door gestaag en vlijtig empirisch onderzoek, door onbevooroordeelde analyses en rationeel denkwerk hebben zij, geboeid door het probleem en gedreven door hun maatschappelijk verantwoordelijksbesef gaandeweg een communis opinio bereikt over de universitaire selectie, dat aardige, inzichtelijke en steeds actuele probleem.

Wat is het aardige aan het probleem van de selectie? De aardigheid is dat het hier gaat om de strijd tussen gezond verstand en wetenschap. Het gezonde verstand schrijft ons voor dat waar weinig studieplaatsen zijn alleen de besten moeten worden toegelaten en dat psychologen ons kunnen en moeten vertellen wie de besten zijn. De wetenschapper die pretenties van de te hulp geroepen selecteurs toetst, constateert daartegenover dat het probleem van de hoeveelheid studieplaatsen niet oplosbaar is door het toepassen van strengere selectie. Het gezonde verstand is aan deze constatering nog niet toe; waarschijnlijk zal dat wé ) zijn over enige jaren als de wetenschappers inmiddèls alweer hebben ontdekt dat je voor de 'tweede fase' in de universiteit prima kunt selecteren, met een hoop rendementswinst.

Wat is het inzichtelijke aan het selectieprobleem? Dat je zo mooi kunt uitrekenen wat voor rendementswinst je kunt behalen*. En ook kun je op het schoolbord zo mooi uittekenen dat begingedrag gecorreleerd is met eindgedrag**. Het selectieprobleem, dat een politiek probleem is, is voor een onderwijskundige zo inzichtelijk omdat bijna iedereen moet kunnen begrijpen dat het rendementsvraagstuk en het predictiemodel bij de universitaire selectie zo verschrikkelijk weinig met elkaar te maken hebben. Dat is in een half uur uit te leggen aan elke eerstejaars die niet zelf onderwijzer is geweest.

Het selectieprobleem is steeds een actueel probleem en zal dat ook blijven zolang de ene minister na de andere probeert het gezonde verstand te laten prevaleren boven het wetenschappelijk inzicht. Toch beschouw ik het als een overwinning, van een stuk of tien Nederlandse onderwijs-onderzoekers, dat in ons land de toelating tot de fixus-studierichtingen nog steeds door loting wordt bepaald en dat het minister Pais veel moeite zal kosten zijn voorstel voor strengere selectie aangenomen te krijgen.

Egbert Warries

* Zie vooral Ben Wilbrink: Kanttekeningen bij Pais' Voorontwerp van Wet Toelating tot numerus fixus studies in het W.O., COWO, Universiteit van Amsterdam, juli 1980.

** Zie desnoods Kath. Meerum Terwogt-Kouwenhoven: De voorspelbaarheid van studieprestaties van eerste jaars studenten aan de subfaculteit psychologie van Amsterdam, Tijdschrift voor Onderwijsresearch, 5 (1980), 4, 126-137. open / Kath. Meerum Terwogt-Kouwenhoven: Vooropleiding als voorspellen van studie-resultaat, maar niet van studiesucces, Tijdschrift voor Onderwijsresearch, 5 (1980), 4, 166 - 169. open

Baar, P. P. de (1981). Het selectieplan gaat in de ijskast, maar de ontwerpers zijn niet onthutst. Folia 21 februari 1981. Pais gaat zijn wetsontwerp niet indienen. - "De Brauw stelde de WerkgroepWiegersma in om een adequaat selectiesysteem voor de stopstudies te ontwerpen ... . De werkgroep stelde voor 'de besten' onder de leerlingen voorrang te verlenen. Een uitgesproken ideologisch standpunt, vrij van wetenschap om zo te zeggen. Nou ja, er lag geen grondige probleemanalyse aan ten grondslag, zo kan ik het ook formuleren. B.W. Opmerkelijk: Pais wilde de selectieve toets die het Cito ontwikkelde dan toch nog gebruiken in een experientele opzet. Solberg (directeur Cito) vond dat geen goed idee want daar was die toets niet voor ontwikkeld. De toets moest namelijk passen in het van de werkgroep Wegersma overgnomen idee om eerst de besten (op eindexamencijfers) toe te laten en slechts de overigen de kans op toelating via de toets te bieden.

Jos A. van Kemenade & V. Raa (5-6-1981). Positieve discriminatie bij de toelating tot het hoger onderwijs. Intermediair, 17, 43-49. [hardcopy na transcriptie niet bewaard; niet online gevonden] transcriptie, ook als blog.

• Van Kemenade en Raa laten zien dat het voorstel van Pais voor vrouwen tot minder gunstige resultaten leidt, ondanks de positieve discriminatie, dan de gewogen loting. Maar let wel op dat de berekenignen worden gedaan op de situatie eind 70er jaren. In de erop volgende decennia maken vrouwen een inhaalslag in terme van eindexamencijfers (en gaan mannen het minder goed doen), waardoor de gewogen loting voor geneeskunde gunstiger wordt voor vrouwen dan hij is voor mannen. Met als gevolg dat de balans mannen-vrouwen in de geneeskunde doorschiet ten gunste van vrouwen. Dat is maatschappelijk gezien een majeure ontwikkeling, met ook de nodige problemen omdat vrouwelijke artsen vaker in deeltijd zijn gaan werken. Dat is een wrang gegeven voor degeen die nou juist de numerus fixus voor geneeskundige opleidingen verdedigd hebben met het argument dat het om kostbare opleidingen gaat.

Arie Pais (2016). Omkijken. Een logboek. Prometheus.

• Arie Pais Over de numerus fixus een rare pagina 247, waarin hij Drenth noemt als vz van een commissie die er naar ging kijken. Pais haalt hier een aantal zaken door elkaar, en vermeldt niet dat hij het Cito opdracht had gegeven een toelatingstoets voor geneeskunde te ontwikkelen. Voor dat project was een begeleidingscommissie benoemd, voorzitter Pieter Drenth. Over eindexamencijfers: dat slaat kennelijk op het advies van de 'werkgroep-Wiegersma', in 1978 uitgebracht aan Pais, op zijn verzoek. Dat advies was vooral een herhaling van wat dezelfde werkgroep vijf jaar eerder had geadviseerd. Afijn, Pais geeft hier blijk van een onthutsend gebrek aan interesse in de problematiek van toelating bij numerus fixusstudies. Ik citeer de hele passge, p. 246-7:
  Onze regeringsnota had gesproken over hoger onderwijs 'voor velen'. Dat de toeloop die kant op zou gaan, was te verwachten. Maar het gevaar was niet denkbeeldig dat het wel eens 'te velen' zouden kunnen worden. Het aantal gesjeesden in het eerste jaar was al gevaarlijk groot en te grote toeloop vormde nu al een probleem bij opleidingen, die de capaciteit misten - of zeiden te missen om het aanbod van alle gegadigden op te vangen.

  Als oplossing voor dat probleem had in het vorige kabinet staatssecretaris Klein voor een systeem van loting gekozen: gelukkigen werden toegelaten, de anderen konden het volgend jaar nog eens proberen en begonnen intussen dan vaak maar aan een 'parkeer-studie' in de hoop op meer succes de volgende keer. Ik kreeg brieven van mensen die voor de derde keer waren uitgeloot. Over de billijkheid van het systeem kon je twisten, maar erg bevredigend was het niet.

  Naar typisch Nederlands gebruik stelde ik dus een commissie in die onder voorzitterschap van professor Drenth, hoogleraar psychologie aan de VU, van advies zou dienen. Kort gezegd is het advies erop neergekomen dat - naast andere, vaak persoonlijke factoren - vakkenkeuze in het middelbaar onderwijs en examenresultaten aldaar, belangrijk kunnen zijn voor de keuze van de verdere leerweg. In die richting zouden we het gaan zoeken.

  Opvallend was het wel weer dat veel Kamerleden bekend zeiden te zijn met jongelieden die meermaals in het voortgezet onderwijs waren blijven zitten en naderhand toch nog professor of zoiets waren geworden. Men wilde maar zeggen dat rapportcijfers en eindexamens ook niet alles zeggen. Nu op dit punt doordrukken was niet het risico waard om goedkeuring van de HOVV-wet in gevaar te brengen. Eerst de tweefasestructuur erdoor krijgen.

  We zaten in ons laatste kabinetsjaar. Als de aanstaande verkiezingen goed voor ons uitpakten zouden we - bouwend op het Drenth-rapport - de toelating tot de universiteiten gaan regelen. De plannen lagen klaar. Maar eerst nog die verkiezingen winnen.

  Arie Pais (2016). Omkijken. Een logboek. Prometheus. blz. 246-7.

  http://www.benwilbrink.nl/publicaties/80KansberekeningenCOWO.htm

• thuis
• sitemap
• publicaties
• projecten
• mail