Hatano creëeert meteen in de eerste alinea een valse tegenstelling tussen adaptive expertise en routine expertise. Weinig vertrouwenwekkend, ook al erkent Hatano dat voor zijn adaptive expertise uitgebreide domeinkennis een voorwaarde is.
Toch is hier iets merkwaardigs aan de hand. Baroody begint zijn hoofdstuk met twee contrasterende vignetten, 1. ‘A case of inflexible mechanical learning’, en 2. ‘A case of flexibly applied learning.’ De vignetten richten de aandacht op wat de leerlingen doen of niet kunnen doen, maar hebben geen aandacht voor de betreffende leraar. Terwijl ik nu juist vermoed dat de kunstmatige tegenstelling tussen mechanistisch leren en begrijpend leren wel eens een direct gevolg zou kunnen zijn van wat de leraar aan het doen is. Begrijp me goed: ik heb het dan niet over een methode A of B zoals de leraar die volgt, maar ik heb het over de mate waarin de leraar zelf de stof overziet, en inzicht heeft in de verschillende manieren waarop zijn leerlingen met die stof om kunnen gaan. De stelling die ik zou willen verdedigen: de leraar die zijn rekenstof uitstekend beheerst, is in staat daar al de mooie dingen mee te doen zoals in de reform-rekendidactiek beschreven; de leraar die zelf moeite heeft met rekenen, zal er geen bal van terechtbrengen en terugvallen op routinematig leren. Ook dit is natuurlijk een kunstmatig contrast, maar het gaat mij om de kern van de zaak: wil je greep krijgen op rekendidactische kwesties zoals die zich afspelen in de klas, dan zul daar op de juiste wijze empirische data over moeten verzamelen: de mate waarin de leraar adequaat met de stof omgaat, waarvan het gedrag van de leerlingen dan weer een afgeleide moet zijn. In reform-didactische literatuur, zoals van de Freudenthal-groep, zien we eigenlijk alleen maar aandacht voor de letterlijke inhoud van de rekenmethode, en het concrete gedrag van individuele leerlingen. Dat is in onderzoektechnisch opzicht werkelijk larmoyant, om te huilen dus. Ondezoek van Heather Hill en de haren, laat precies de kant van de leraar zien.
Arthur J. Baroody (2003). The development of adaptive expertise and flexibility: The integration of conceptual and procedural knowledge. In Arthur J. Baroody &Ann Dowker (Eds.) (2003). The Development of Arithmetic Concepts and Skills. Constructing Adaptive Expertise. (1-34) Erlbaum. contents of the book
Bethany Rittle-Johnson & Robert S. Siegler (1998). The relation between conceptual and procedural knowledge in learning mathematics: A review. In Chris Donlan: The Development of Mathematical Skills. Psychology Press. Conclusion
Children’s understanding of mathematical concepts is positively correlated with their ability to execute procedures. In some tasks, conceptual understanding precedes procedural competence; in other tasks, the order is reversed. Four general principles can be used to predict when children will understand key concepts first and when they will use the relevant procedure first. These predictions are primarily based on the relative timing and frequency of children’s exposure to procedures and concepts. Our review also suggests a resolution for the paradox of young children so often being depicted as competent in mathematics whereas older ones are depicted as incompetent: Young children appear competent in early mathematics because they have extensive experience with the procedures and concepts they are learning, whereas older children appear incompetent in later mathematics because they do not have much experience with the procedures and concepts they are learning. The general lesson seems to be that the structure of the environment has a large impact on the developmental relation between conceptual and procedural knowledge.
H. Wu (1999). Basic skills versus conceptual understanding. A bogus dichotomy in mathematics education. Educational Researcher pdf American Educator/American Federation of Teachers.
- Met dank aan Christian Bokhove voor dit artkel
Steven A. Hecht & Kevin J. Vagi (2010). Sources of Group and Individual Differences in Emerging Fraction Skills. Journal of Educational Psychology, 102, 843-859.
- Breuken. Dit artikel kan beslissende informatie bevatten voor de juistheid van de stelling dat inzicht komt na de oefening. Benieuwd.
Darcy Hallett, Terezinha Nunes & Peter Bryant (2010). Individual Differences in Conceptual and Procedural Knowledge When Learning Fractions. Journal of Educational Psychology, 102, 395-406.
- Dit is een verdraaid aardig artikel omdat het op een verhelderende manier belicht hoe dat nu zit met procedurele versus conceptuele kennis (van breuken, in dit geval): dat hangt van de betreffende leerlingen af!
A. Treffers (1982). Basisalgoritmen in het wiskunde-onderwijs op de basisschool. Pedagogische Studiën, 59, 471-483.
Dit artikel is een sleutelpublicatie voor het omgekeerde cijferen van Freudenthal c.s.: eerst begrijpen, dan oefenen met begrijpen, en meteen in context etcetera. In rekenblog 3 op het forum van BON heb ik het samenvattende overzicht in zijn geheel geciteerd:
Samenvattend overzicht
De nadruk die bij het wiskundige cijferen op inzicht in de cijferprocedures gelegd wordt, alsmede het vanzelfsprekende volgen van de logische leerstofordening leidend naar de standaard-algoritmen, en het veronachtzamen van in de cijferleergang geïntegreerde contextproblemen (toepassingen), zijn geheel conform de onderwijs-leertheoretische en vakdidactische opvattingen omtrent het wiskundige cijferen volgens de concepten van Dienes (Bruner, Piaget), Gal’perin en (ten dele) Resnick.
Onderzoek heeft uitgewezen dat de nadruk op inzicht (o.a. vanuit optimaliseringsoverwegingen) wel terecht is, maar de zeer lichte toets op toepassingen niet. En de ‘volgzaamheid’ ten aanzien van de standaard-algoritmen en de leerstofordening is mede vanuit andere overwegingen discutabel te noemen. Deze betreffen ten dele de doelstellingen van het cijferonderwijs in het tijdsgewricht waarin kinderen de beschikking over allerhande rekenautomaten (zullen) hebben.
Traditioneel cijferen kan kort gekarakteriseerd worden als rekenen-zonder-hoofd. Dat kan van het wiskundige cijferen zeker niet gezegd worden. In zoverre is er sprake van vooruitgang. Maar ook het wiskundig cijferen heeft z’n beperkingen. De gerichtheid op inzicht is namelijk te zeer tot het besloten terrein van het cijferen bepaald. Aldus kan dit cijferen het beste gekenschetst worden als rekenen-zonder-vleugels: het biedt de (zwakke) leerlingen weinig gelegenheid om boven het cijferen uit te stijgen en een vlucht naar toepassingsgebieden mogelijk te maken.
Treffers 1982 p. 481
Jo Nelissen (2008). Gaat oefenen vooraf aan begrip? Het Onderwijsblad, nr 2, 26 januari 2008, 46-47. Als bijlage 8 opgenomen in: Frans Ballering, Harry van Helden, Ton Konings, Hans Krabbendam, Henk Staal Shirley van der Steene (2008). Rekenen voor de lerarenopleiding. Wiskunde voor leerlingen van 12 - 16. APS — derde geheel herziene editie abstract
Hiebert, James Hiebert (Ed.) (1986). Conceptual and Procedural Knowledge: The Case of Mathematics. Erlbaum
-
James Hiebert & Patricia Lefevre: Conceptual and procedural knowledge in mathematics: An introductory analysis. 3-28
The procedures we are describing can be characterized as production systems (Anderson, 1983; Newell & Simon, 1972) in that they require some sort of recognizable input for firing. For the completion of a task, the initial procedure operates on the the input and produces an outcome that is recognized by the next procedure in the sequence. In this way, the sequence of procedures moves the given state (the statement of the problem) to a goal state (the answer).
It is useful to distinguish between two kinds of procedures by noticing the objects upon which they operate. A basic distinction can be drawn between objects that are standard written symbols (e.g., 3, +, √) and objects that are nonsymbolic (e.g., concrete objects or mental images). After students have been in school for a few years, the objects often are symbols.
( . . . )
Examples of school tasks that require nonsymbol procedures are straightedge and compass constructions in geometry (Schoenfeld, this volume) The important point here is that procedures, like concepts, are not all of one kind. Some procedures manipulate written mathematical symbols, whereas others operate on concrete objects, visual diagrams, or other entities.
( . . . )
Perhaps the biggest difference between procedural knowledge and conceptual knowledge is that the primary relationship in procedural knowledge is “after”, which is used to sequence subprocedures and superprocedures linearly. In contrast, conceptual kniowledge is saturated with relationships of many kinds.
p. 6-8
- Rachel Gelman and Elizabeth Meck: The notion of principle: the case of counting 29-58
- Hermine Sinclair and Anne Sinclair: Children's mastery of written numerals and the construction of basic number concepts 59-74
- Arthur J. Baroody and Herbert P. Ginsburg: The relationship between initial meaningful and mechanical knowledge of arithmetic 75-112
- Thomas P. Carpenter: Conceptual knowledge as a foundation for procedural knowledge: implications from research on the initial learning of arithmetic113-132
- Kurt VanLehn: Arithmetic procedures are induced from examples133-180
- Edward A. Silver: Using conceptual and procedural knowledge: a focus on relationships 181-198
- James Hiebert and Diana Wearne: Procedures over concepts: the acquisition of decimal number knowledge199-224
- Alan H. Schoenfeld: On having and using geometric knowledge225-264
- Robert B. Davis: Conceptual and procedural knowledge in mathematics: a summary analysis 265-300
Miriam Rosenberg-Lee & Marsha Lovett (2005?). Practice makes perfect? The effects of procedural practice on concept learning. paper doc
- Lovett, M. C. & Anderson, J. R. (2005) Thinking as a production system. In K. Holyoak & R. Morrison (Eds.) Cambridge Handbook of Thinking and Reasoning (pp. 401-430). Cambridge University Press; NY.
Rittle-Johnson, B., Siegler, R. S., & Alibali, M. W. (2001). Developing conceptual understanding and procedural skill in mathematics: An iterative process. Journal of Educational Psychology, 93, 346-362. pdf
Sweller, J., Cognitive load during problem solving: Effects on learning, Cognitive Science, 12, 257-285 (1988).
Mitchell J. Nathan (2012): Rethinking Formalisms in Formal Education, Educational Psychologist, 47, 125-148. abstract
Jon R. Star (2000). On the relationship between knowing and doing in procedural learning. In B. Fishman & S. O'Connor-Divelbiss (Eds.), Fourth International Conference of the Learning Sciences (pp. 80-86). Mahwah, NJ: Erlbaum pdf
Laatste zinnen in dit artikel.
Siegler, R. S. & Lortie-Forgues, H. (in press 2015) Conceptual knowledge of fraction arithmetic. Journal of Educational Psychology. http://dx.doi.org/10.1037/edu0000025 concept
Daniel Willingham blogged Computational Competence Doesn't Guarantee Conceptual Understanding in Math (interesting discussion following). No, of course it doesn’t. What, then, is the point of the Siegler & Lortie-Forgues article?
Robert Siegler, of course, is a prolific reseacher on things mathematical in education: se his publications mentioned in the references. Especially interesting this one, on predicting high school math achievement see here
Michael Fordham (31 July 2015). Is 'understanding' a thing? blog
Katharine Beals and Barry Garelick (Nov. 11, 2015). Explaining Your Math: Unnecessary at Best, Encumbering at Worst. post
Katarine Beals & Barry Garelick (Nov. 11, 2015). Explaining Your Math: Unnecessary at Best, Encumbering at Worst. The Atlantic article [see also a follow-up blog March 12, 2017 blog
Bethany Rittle-Johnson, Michael Schneider & Jon R. Star (2015). Not a One-Way Street: Bidirectional Relations Between Procedural and Conceptual Knowledge of Mathematics. Educ Psychol Rev DOI 10.1007/s10648-015-9302-x abstract
Greg Ashman (June 13, 2015). Teaching for Understanding. blog
Michael Fordham (31 July, 2015). Is 'understanding' a thing? blog
Daniel Willingham & Daniel Ansari On fidget spinners & speeded math practice 7/2/2017 blog
Barry Garelick (July 5, 2017). Drilling "Rote Understanding" blog
Robert W. Lawler & Masoud Yazdani (Eds.) (1987). Artificial Intelligence and Education. Volume 1. Learning Environments and Tutoring Systems. Ablex Publishing. isbn 089391438X
- Andrea diSessa: Artificial worlds and real experience.
- Seymout Papert: Microworlds: Transforming Education http://stager.org/articles/papert_microWorlds_chapter.pdf http://learning.media.mit.edu/publications_papert.html
- John Self: The application of machine learning to student modelling.
- Stellan Ohlsson: Some principles of intelligent tutoring. 203-237
- Stellan Ohlsson: Sense and reference in the design of interactive illustrations for rational numbers 307-344 goo.gl/pSVeKy abstract: It is a common tactic in the teaching of arithmetic to provide the learner with pictures and embodiments of various kinds. However, the pedagogy of illustrations is not well understood. Analysis of the concept of meaning in relation to arithmetic shows that full understanding of arithmetic implies intellectual possession of a number of different intellectual constructions, among them a teleological, an analytical, and a referential semantics for arithmetic. It is argued that the primary purpose of illustrations for elementary arithmetic is to clarify the semantics of the language of arithmetic. An informal analytic semantics for rational number concepts is presented, revealing a rather complex system of concepts. Construction of a referential semantics for the concept of ratio leads to the conjecture that illustrations for rational numbers are necessarily incomplete in the sense that they can, in principle, only illustrate some aspects of rational numbers but not others. The results of these analyses are summarized in a prescriptive theory of illustration design.
http://www.benwilbrink.nl/projecten/begrijpen_vs_oefenen.htm
http://goo.gl/SJnXBs