http://www.benwilbrink.nl/projecten/begrijpen.htm
http://goo.gl/mmxn8
I had this strong experience of ‘understanding’ in preparation for my analytical geometry on the very last day before for my matriculation exam. This geometry has some peculiar features that obstructed my understanding, even while my technical mastery was pretty good. I knew perfectly well that I did not have what it takes to ‘understand’ this geometry, so I rehearsed pretty much the whole stuff on that day. And yes, it resulted in that peculiar moment that one realizes: Now I understand! The viva voce exam was a fast conversation on analytical geometry, thoroughly enjoyed bij all three participants, and resulted in the highest possible grade.
What happened? I had all geometrical knowledge available already, yet there was something still lacking. I guess my knowledge was still not sufficiently ‘connected’ to give me the feeling to really master the subject. The one day rehearsal established full connectivity, enabling me to outsmart my teacher and external assessor. No, I am kidding. The feeling was there, though.
Understanding is somewhat more than just knowing things. It is the connectivity of that knowledge. Or something. I guess.
Key publication:
K. KOTOVSKY, J. R. HAYES AND H. A. SIMON (1985). Why Are Some Problems Hard? Evidence from Tower of Hanoi. Cognitive Psychology, 17, 248-294. pdf [via Singley & Anderson ‘The transfer of cognitive skills’, p. 229]
An important psychological approach to the question of understanding in math education is:
Stellan Ohlsson & Ernest Rees (1988). The Function of Conceptual Understanding in the Learning of Arithmetic Procedures. Cognition and Instruction, 8, 103-179. http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1207/s1532690xci0802_1?journalCode=hcgi20 The article is based on this report, available online: http://files.eric.ed.gov/fulltext/ED302410.pdf
Anthony Radic (August 2, 2015). The dangerous fantasy of generalised understanding. blog
Michael Fordham (31 July 2015). Is ‘understanding’ a thing? blog
Wat is het om iets te begrijpen? Wanneer hebben we voldoende begrepen om van begrijpen te kunnen spreken? We hebben hier hetzelfde probleem als met verklaren — ook een vorm van begrijpen, tenslotte — ‘welke verklaring is de ultieme verklaring, de volledige verklaring?’ In andere woorden: een beetje begrijpen is mooi, iets meer begrijpen is beter, maar waar ligt de grens voor volledig begrijpen? Is het misschien het geval dat de meeste onderwijsadviseurs en didactici die het begrijpen van de stof hoog in het vaandel hebben staan, zelf ook niet aan kunnen geven wat het precies is dat we begrijpen noemen, respectievelijk niet begrijpen?
Een heel andere reeks problemen doemt op wanneer we ons realiseren dat we het dagelijks leven heel erg ver door komen op de automatische piloot, zonder te begrijpen wat we doen, maar toch handelingsbekwaam, en ons wel bewust van een doel waarnaar we op weg zijn (de keuken, voor de koffiemelk; Amsterdam, over de A2; deze staartdeling). Mijn formulering blijkt wonderwel te passen bij dit literatuuroverzicht van Dijksterhuis en Aarts (2010): zie op deze pagina.
De klassieke misvatting bij het toetsen of iets begrepen is: het begrijpen van gisteren is de kennis van vandaag. Begrijpen is een moment, daarna is het kennis. Dit alles in de termen die Bloom c.s. in 1956 gebruikten voor hun cognitieve taxonomie van doelen in het onderwijs (en dus van toetsvragen, in hun optiek). info on this taxonomy
Dit betekent niet dat het onmogelijk is om het begrijpen van iets te testen, maar het is een normatieve of zelfs ethische kwestie of je zoiets in niet-triviale zin mag doen in afsluitende toetsen en examens. Job Cohen (Studierechten, 1981) is daar dieper op ingegaan in zijn proefschrift over behoorlijke beginselen van onderwijs. Het komt erop neer dat je leerlingen uiteraard nieuwe opgaven, die ze nog niet eerder hebben gezien, mag voorleggen; de voorwaarde is dat die opgaven van een bekend type zijn, waarop leerlingen in het eraan voorafgaande onderwijs zijn voorbereid en geoefend. Zo niet, dan test het examen verschillen in intellectuele capaciteiten — en doet dat natuurlijk beroerder dan een behoorlijk ontwikkelde en genormeerde intelligentietest zou doen. Dat laatste kan ook heel zinvol zijn, maar heeft weinig te maken met examineren, en moet daar strikt van worden onderscheiden.
De laatste thematiek is actueel bij de rekentoetsen die aan de eindexamens in vo en (v)mbo zijn toegevoegd: deze testen veeleer op verschillen in intellectuele capaciteiten, dan op het bereikt hebben van een behoorlijke rekenvaardigheid. Zie ook mijn werkdocument capaciteiten_in_contexten.htm
BON forum: 1_1_2010: Begrijpen of niet begrijpen, is dat de vraag? html
1_1_2010 (pseudoniem)
Jan van de Craats
BON forum: Ben Wilbrink: Standards-based mathematics in VS middle schools html
BON forum: Ben Wilbrink: Freudenthal 1968: “vrijwel niemand gebruikt later die rekenvaardigheid in de praktijk” [1] html
BON forum: Mark Peletier: Nrc: Rekenonderwijs moet weer terug naar veel oefenen. html
Ellen de Bruin (26 januari 2008). Strijd om de staartdeling. Twee hoogleraren in debat over optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. NRC blz. 36.
artikel
“Hij niet, ik wel”, zegt Van de Craats. “En het werkt altijd. Die trucjes van hun niet. De ene keer is het ‘naar een mooi getal toewerken’, dan weer iets anders. En delen door een breuk leren kinderen bijvoorbeeld helemaal niet meer, alleen maar omdat er geen ‘verhaaltje’ met taarten of bakjes vla te verzinnen valt bij drievierde gedeeld door zevennegende. Maar als je leert dat delen door een breuk gelijk is aan vermenigvuldigen met het omgekeerde, kom je er altijd uit.”
Treffers zucht. “Ze noemen die verhaaltjes wel ‘babbelrekenen’ . . . Maar ik vind dat een ongelooflijke miskenning van de wereld van de kinderen. Delen door een breuk behoort trouwens al 35, 40 jaar niet meer tot het standaardprogramma. Heb jij het wel op de basisschool gehad? Weet je nog welk boek je gebruikte? Nee . . . ? Ach, als men vindt dat het weer tot de kerndoelen moet gaan behoren, dan moet het maar. Maar dat betwijfel ik.”
Anna Sierpinska (1994). Understanding in Mathematics. Falmer. [nu ook als eBook in KB] preview
p. xi
Jonathan St. B. T. Evans (2008). Dual-Processing Accounts of Reasoning, Judgment, and Social Cognition. Annual Review of Psychology, 59, 255-278. abstract
Ap Dijksterhuis & Henk Aarts (2010). Goals, Attention, and (Un)Consciousness. Annual Review of Psychology, 61, 467-490. pdf
Hoewel een literatuuroverzicht, is het toch een sleutelpublicatie voor de thematiek van begrijpen in de discussie over de reformrekendidactiek waarin dat begrijpen zo omhoog wordt getild: de leerling moet altijd begrijpen wat hij of zij aan het doen is. Dit is amateurpsychologie die nog lastig als onzinnig is te ontmaskeren, al is het op het eerste gezicht toch evident dat vrijwel iedere vaardigheid stilvalt zodra je probeert te begrijpen wat je aan het doen bent. Maar hier dus een ingang op een lijn van wetenschappelijk onderzoek die dat stilvallen tot onderwerp heeft! Als het topsport betreft, dan heet het choking: doelschoppen zijn berucht. Sven Kramer die de kluts kwijt is wanneer zijn coach een onverwachte verkeerde aanwijzing geeft. Maar daar gaat het niet om bij de rekendidactiek, natuurlijk niet: hier is van belang hoe interruptie van een vaardig uitgevoerde berekening kan leiden tot verwarring en op zijn minst tijdverlies. Een didactiek die juist voortdurend interrumpeert, verpilt dus heel wat tijd van leerlingen. Is deze stelling hard te maken aan de hand van beschikbaar onderzoek?
p. 483
Baumeister R. F. (1984). Choking under pressure: self-consciousness and paradoxical effects on incentives on skillful performance. J. Personal. Soc. Psychol. 46:610-20. abstract
Beilock S. L., Carr T. H. (2001). On the fragility of skilled performance: What governs choking under pressure? J. Exp. Psychol. Gen. 130:701-25 pdf
Lewis B. P., Linder D. E. (1997). Thinking about choking? Attentional processes and paradoxical performance. Personal. Soc. Psychol. Bull. 23:937-44 abstract
Vikram S. Chik, Benedetto De Martino, Shinsuke Shimojo & John P. O'Doherty (2012). Neural Mechanisms Underlying Paradoxical Performance for Monetary Incentives Are Driven by Loss Aversion. Neuron, 74, 582-594. pdf
Marlene Schommer, Amy Crouse, and Nancy Rhodes (1992). Epistemological Beliefs and Mathematical Text Comprehension: Believing It Is Simple Does Not Make It So. Journal of Educational Psychology, 84, 435-443. abstract
Walter C. Okshevsky (1992). Epistemological and hermeneutic conceptions of the nature of understanding: the cases of Paul H. Hirst and Martin Heidegger. Educational Theory, 42, 5-23. abstract
Bert Zwaneveld & Joop van Dormolen (1977). Handelen om te begrijpen. Een werkwijze om leerlingen naar goede vaardigheden te wijzen. IOWO. geen isbn
Edward A. Silver, Vilma M. Mesa, Katherine A. Morris, Jon R. Star & Babette M. Benken (2009). Teaching mathematics for understanding: an analysis of lessons submitted by teachers seeking NBPTS certification. American Educational Research Journal, 46, 501-531. abstract
Analyses of key pedagogical features of the lesson materials showed that tasks involved hands-on activities or real-world contexts and technology but rarely required students to provide explanations or demonstrate mathematical reasoning. The findings suggest that, even in lessons that teachers selected for display as best practice examples of teaching for understanding, innovative pedagogical approaches were not systematically used in ways that supported students’ engagement with cognitively demanding mathematical tasks.
Mary E. Brenner, Richard E. Mayer, Bryan Moseley, Theresa Brar, Richard Duran, Barbara Smith Reed, and David Webb (1997). Learning by Understanding: The Role of Multiple Representations in Learning Algebra. American Educational Research Journal, 34, 663-689. abstract
Deanna Kuhn & Seung-Ho Park (2005). Epistemological understanding and the development of intellectual values. International Journal of Educational Research, 43, 111-124. abstract [geen online versie beschikbaar]
Richard E. Mayer (1989). Models for understanding. Review of Educational Research, 59, 43-64. abstract
McNeil, N. M., Chesney, D. L., Matthews, P. G., Fyfe, E. R., Petersen, L. A., Dunwiddie, A. E., & Wheeler, M. C. (2012, June 25). It Pays to be Organized: Organizing Arithmetic Practice Around Equivalent Values Facilitates Understanding of Math Equivalence. Journal of Educational Psychology. Advance online publication. doi: 10.1037/a0028997abstract (ERIC)
Twila Slesnick (1982). Algorithmic skill vs. conceptual understanding. Educational Studies in Mathematics, 13, 143-154. abstract
Copeland, Richard: 1970, How Children Learn Mathematics, The MacMillanC ompany, London.
Fuller, Kenneth: 1949, An Experimental Study of Two Methods of Long Division, Teachers College, Columbia.
Grafft, William: 1966, 'Cognitive outcomes of the SMSG-Mathematics Program in grades four, five and six', Unpublished doctoral dissertation, U .C. Berkeley.
Izzo, Ruth Kelley: 1960, 'Division is understandable', Arithmetic Teacher 7, 32 -34.
Kofsky, Elin: 1968, 'A scalogram study of classificatory development', in Irving Sigel and Frank Hooper (eds.), Logical Thinking in Children, Holt, Rinehart, and Winston, Inc.
Kratzer, Richard and Willoughby, Stephen: November 1973, 'A comparison of initially teaching division employing the distributive and Greenwood algorithms with the aid of a manipulative m aterial', Journalf or Research in Mathematica Education, p . 197.
Kurtz, Ray: January 1973, 'Fourth-grade division: How much is retained in grade five', Arithmetic Teacher, p. 65.
Lowery, Lawrence F.: 1973, Learning About Learning Series, University of California, Berkeley.
Lovell, Kenneth: 1971, The Growth of Understanding in Mathematics: Kindergarten Through Grade Three, Early Education Series, Holt, Rinehart and Winston.
Pascual-Leone, Juan: September 1977, 'Stages and decalages: a neo-Piagetian view', Paper delivered to the International Society for the Study of Behavioral Development.
Piaget, Jean: 1973, 'Comments on Mathematical Education', in A. G. Howson (ed.), Developments in Mathematical Education, Cambridge University Press,p . 79.
Van Engen, Henry and Gibb, Glenadine: 1956, General Mental Functions Associated with Division, Iowa State Teachers College.
Witkin, H. A., Ohman, P., Raskin, E. and Karp, S.: 1971, A Manual for the Embedded Figures Test, Consulting Psychologists Press, Inc.
James Moore & Allen Newell (1974). How can Merlin understand? In Lee W. Gregg (Ed.) (1974). Knowledge and Cognition (201-252). Erlbaum. [the whole book is about understanding understanding, in fact] pdf
201
Lee W. Gregg (Ed.) (1974). Knowledge and Cognition. Erlbaum.
201
Robert W. Lawler & Masoud Yazdani (Eds.) (1987). Artificial Intelligence and Education. Volume 1. Learning Environments and Tutoring Systems. Ablex Publishing. isbn 089391438X
http://www.benwilbrink.nl/projecten/begrijpen.htm
http://goo.gl/mmxn8