Rekenproject: Delen

Ben Wilbrink


rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden‘cijferen’
    optellenaftrekkenvermenigvuldigen — delen — breukenmeten
    meetkundealgebra en rekenen
    materialen




De sleutelpublicaties over de praktijk van het ‘realistisch rekenen’ (RR) zijn het artikel van Jan van de Craats, zoals gepubliceerd in het Nieuw Archief voor Wiskunde (NAW), 2007, en het werk van Kees van Putten over de prestaties en de strategieën van leerlingen op opgaven over delen, met daarop in Psychometrika (2009) en NAW (2010) reacties van het FI. Op het artikel van Van de Craats, althans op de daarin verwoorde kritiek op het RR, is in diverse publicaties vanuit het FI gereageerd, niet alleen in het NAW (Uittenbogaard, 2008), maar onder andere ook in de oratie van Van den Heuvel-Panhuizen (2007), en de autobiografie van Treffers (2010). In Didaktief is een samenspraak van Marja van den Heuvel-Panhuizen en Jan van de Craats gepubliceerd (Bea Ros, 2009).




“De staartdeling zoals wij docenten die leerden, leren de kinderen nu niet meer. Ze kunnen nog steeds delen, alleen op andere manieren.”

http://www.aps.nl/APSsite/Onderwijssectoren/Projecten/Exact/Agenda/Rekenen+geven+op+mijn+school.htm

Het APS — een acroniem dat niet trots meer is op waar het ooit voor stond — geneert zich niet om op de eigen website uit te dragen dat de staartdeling is overleden, en dat daar eigenlijk niets mis mee is. Kunnen de leerlingen nog steeds delen, dan? Volgens het APS: Ja. Volgens de PPON 2004: steeds meer Nee.



Adri Treffers & Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Rekenen toen en nu. Mensenkinderen, tijdschrift voor en over jenaplanonderwijs, 117, mei, 3-6. pdf of van het hele nummer, incl. het artikel van Jan van de Craats en Gerard Verhoef: pdf




R. A. de Jong (1986). Wiskobas in methoden. Vernieuwing van reken/wiskundemethoden voor het Nederlandse basisonderwijs (1965-1985). Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht.

De Jong praat hier de dogmatiek van de Freudenthal-groep na: er is geen empirische onderbouwing voor deze stelling, terwijl deze stelling wel een scharnierpunt is in de vergelijking van conventionele met realistische methoden. De Jong gebruikt puur verbaal geweld, niet ondersteund door toetsend onderzoek.



Karel Hurts (2008). Building cognitive support for the learning of long division skills using progressive schematization: Design and empirical validation. Computers & Education, Vol.50(4), p.1141-1156 abstract




Katherine M Robinson, Jo-Anne LeFevre (2011) The inverse relation between multiplication and division: Concepts, procedures, and a cognitive framework. In Educational Studies in Mathematics. pdf




Donald E. Knuth (1981 2nd). The art of computer programming. Volume 2, Seminumerical algorithms. Addison-Wesley. isbn 0201038226 Annotatie: algoritmene.htm (Random numbers - Arithmetic)


Een complexe uiteenzetting volgt dan. Ik begrijp er alleen oppervlakkig iets van (Om Knuth en detail te kunnen volgen, moet je eerst een jaar studie investeren, vermoed ik). Het lijkt me wel van belang om eens zorgvuldig te kijken naar software-routines voor delen, bijvoorbeeld in Pascal geschreven. Er is overigens een verschil tussen hardware-oplossingen, en software-matige, maar dat gaat me te ver. Over studie gesproken: Knuth geeft aan het eind van deze sectie een eerste oefening, en dat is deze:



A. Dekker, H. ter Heege & A. Treffers (1982). Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens wiskobas. Voorbeelden uit de onderwijspraktijk van geïntegreerd cijferen volgens progressieve schematisering.




Kees Hoogland (2008). Nostalgische terugblik op de staartdeling. Nieuw Archief voor de Wiskunde 5/9 nr 4 december 2008. pdf of ook pdf


Even hiervoor heeft Hoogland die vervormingen beschreven, ik vat het kort samen: 1) context is prima, maar veel contexten is teveel van het goede, 2) natuurlijk zijn er nu rekenmachines beschikbaar, maar dat betekent niet dat leren rekenen overbodig is geworden, 3) uitgaan van de strategieën die kinderen zelf spontaan gebruiken is prima, dergelijke straegieën aanbieden is dat niet, 4) iedereen leren delen is prima, maar de betere leerlingen het beste algoritme onthouden is minder.

Nuchter artikel, mooi. Herhaalt in kort bestek in feite wat Jan van de Craats (Daan en Sanne, 2007, NAW) aan de kaak stelde aan de hand van rekenboeken uit de realistische school. Van den Heuvel-Panhuizen ziet het (in haar oratie) als ondersteuning van realistisch rekenen, zoals het ook wel is bedoeld, maar het is ook een aanklacht tegen de overdrijvingen uit de hoek van de realistisch rekenaars, en de onvolmaakte uitvoering in concrete lessituaties.



Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf


Van den Heuvel begint haar oratie met het oprichten van stromannen, met aantijgingen zonder namen te noemen, met een kwaadaardige overdrijving van de positie die Jan van de Craats heeft gekozen. Deze houding is enorm problematisch, omdat het betekent dat het FI zijn werk niet ter discussie wenst te stellen.

De figuur op blz. 18 laat de verschillen zien tussen PPON 1987, 1992, 1997 en 2004; Van de Heuvel stelt dat dit precies is wat het hele onderwijsveld in 1983 of zo wilde: meer denken, minder kaal rekenen. Maar daar geloof ik niets van. Zou destijds dit als mogelijke uitkomst zijn voorgelegd, dan zou er een enorme discussie zijn ontstaan. De afname van basale rekenvaardigheid wordt natuurlijk niet goedgemaakt door een beetje handiger hoofdrekenen, en om kunnen gaan met wat rijkere rekenopgaven, hoe waardevol op zich ook. Van den Heuvel realiseert zich dat ook, en gaat op zoek naar een verklaring. Ze komt er niet uit.

Marja claimt in haar oratie de feiten te geven. Zo’n uitspraak zet gegarandeerd al mijn haren overeind. Laten we eens kijken. Ze zet het pleidooi van Jan van de Craats weg als nostalgie naar opa’s methoden, naar mechanistisch rekenen. Wie zijn artikel ‘Daan en Sanne’ behoorlijk leest, ziet dat Van de Craats het nadrukkelijk heeft over wat hij feitelijk aantreft in de rekenboekjes in de realistische rekenentraditie, en dat zijn voorstel voor een betere didactiek dan die welke het ‘handig rekenen’ vooropstelt, zeker geen terugkeer is naar het rekenen van de zestiger jaren.

Marja van den Heuvel-Panhuizen geeft in haar oratie blijk zich niet bewust te zijn van een enorme zwaai in de filosofie van het realistisch rekenen: het ‘handig’ rekenen is nu een wondermiddel geworden, doel van het rekenonderwijs, waar dat oorspronkelijk toch bepaald anders werd gezien. Het oorspronkelijke idee is geweest om uit te gaan van de oplosmethoden waar leerlingen zelf spontaan mee komen, om vandaaruit te komen tot verkorting van die ‘handige’ methoden en uiteindelijk tot de beste algoritmen zoals daar zijn de staartdeling voor het delen. [noot: ik maak hier geen onderscheid tussen ‘hapmethoden’ en ‘handig’ rekenen. Ik weet ook nog niet of daar echt wel onderscheid tussen valt te maken]

De toonzetting van de oratie:



9 febr: P. Teule-Sensacq & G. Vinrich (1982). Résolution de problèmes de division au cycle élémentaire dans deux types de situations didactiques. Educational Studies in Mathematics, 13, 177-203. abstract [pdf in KB via JSTOR downloaden]


(Happend) Staartdelen in het Frans. Een typisch Franse situatie, die iets weg heeft van de wiskobas-situatie, in Frans jargon beschreven. Beetje lastig. Happend delen. Berust kennelijk op Brousseau, en op Franse wetgeving. In de gaten houden.



9 febr: Twila Slesnick (1982). Algorithmic skill vs. conceptual understanding. Educational Studies in Mathematics, 13, 143-154. abstract [pdf in KB via JSTOR downloaden]


De staartdeling beheersen versus begrijpen. Onafhankelijk van de ontwikkelingen in Wiskobas. Geen happend delen. Gaat verstandig in op het dilemma: oefenen versus leren begrijpen. Gepubliceerd in 1982, in 1982 dus bekend in Utrecht. Is die kennis benut?



Dagmar Neuman (1999). Early learning and awareness of division: A phenomenographic approach. Educational Studies in Mathematics, 40, 101-128. http://www.springerlink.com/content/v482648156w710r0/


Wat zijn eigen naïeve manieren om een deling te maken? Niet onafhankelijk van RME-gedachtengoed



C. M. van Putten (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). Cito. pdf




C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27, nr 1. pdf


Hickendorff, Van Putten, Verhelst & Heiser (2010) is een ware hulp. De auteurs geven een korte en heldere beschrijving van het realistisch rekenen en zijn uitgangspunten, in termen die ik als psycholoog meteen begrijp. Heerlijk, niet meer dat zelf uitgevonden jargon van de realistisch rekenaars. Zie voor samenvattingen en annotaties de blog over de promotie van Marian Hickendorff, 25 okber 2011: ‘Marian Hickendorff promoveert 25 oktober in Leiden op onderzoek van rekenonderwijs’ blog 7954.



Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract




Marja van den Heuvel-Panhuizen, Alexander Robitzsch, Adri Treffers and Olaf Köller (2009). Large-Scale Assessment of Change in Student Achievement: Dutch Primary School Students’ Results on Written Division in 1997 and 2004 as an Example. Psychometrika, 74, 367-374. pdf


Read also the rejoinder, by Hickendorff, Heiser, Van Putten & Verhelst:



Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). How to Measure and Explain Achievement Change in Large-Scale Assessments: A Rejoinder. Psychometrika, 74, 367-374. free access pdf ophalen




Bea Ros (2009). Staartdelen of happen? Een pittig tweegesprek over rekenen. Didaktief, 39 nr. 1-2, p. 4-8. pdf




Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.




Alan Bell, Efraim Fischbein & Brian Greer (1984). Choice of operation in verbal arithmetic problems: The effect of number size, problem structure and context. Educational Studies in Mathematics, 15, 129-147. abstract


Een klein maar goed ingericht onderzoek met 12- en 13-jarigen, met woordproblemen die vermenigvuldigen of delen betreffen. In het bestek van dit artikeltje komt alle mogelijke trammelant met deze woordproblemen aan de orde, en wat een en ander betekent voor het onderwijs. Sluit mooi aan op het eerdere artikel van Carpenter cs (1981) dat op optellen en aftrekken is gericht. Het onderzoek is inventariserend van karakter. De informatiedichtheid van dit artikel is groot, ik zal het niet samenvatten, behalve in de volgende zin. ‘Realistische’ situaties stellen deze leerlingen al gauw voor enorme problemen, waar ze niet altijd goed mee uit te voeten kunnen, ook niet in de zin dat ze onder woorden kunnen brengen waar hun moeilijkheden bij het aanpakken van het gegeven probleem in zitten. Het is dus wederom de boodschap dat contexten al gauw complex zijn, en weinig behulpzaam om inzicht in rekenoperaties te verwerven. Of zoiets, lees het artikel. P.m.: er is natuurlijk na 1984 door deze onderzoekers veel werk verzet op hetzelfde gebied. Dit werk moet voor de Utrechtse groep enorm inspirerend zijn geweest, toch? Waar kan ik dat zien, in het proefschrift van De Jong? Ik kom het nog wel tegen.



Adriaan Treffers (Red.) (1979). Cijferend vermenigvuldigen en delen: (1) : overzicht en achtergronden. IOWO. Leerplanpublikatie 10. Bijvoegsel bij Wiskobas-bulletin (jrg. 8, nr 5/6).


Zes hoofdstukken: Progressief schematiseren (Treffers), Wijder verband (Treffers), Fundering (Treffers), Peiling (Ter Heege en Treffers), Historisch perspektief (Streefland), Overzicht van praktische aanwizjingen (Treffers). Let op het iets latere boek: A. Dekker, H. ter Heege, A. Treffers (1982). Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens Wiskobas. OW&OC. zie hier Ik zal met het laatste beginnen op mijn speurtocht naar de bronnen van wiskobas, en empirische gegevens over wiskobas.



Julia Anghileri, Meindert Beishuizen & Kees van Putten (2002). From informal strategies to structured procedures: Mind the gap! Educational Studies in Mathematics, 49, 149-170. http://www.springerlink.com/content/5xjgwg0xcqea7x62/


Van happend delen tot staartdeling? Vergelijkt grade 5 (Engeland) en groep 6 (Nederland) leerlingen: de Nederlandertjes winnen. Voorbeeld van empirisch toetsend onderzoek.



Willem Uittenbogaard (2008). Geen catechismus leren, maar nadenken. Nieuw Archief voor Wiskunde 5/9 nr 1 pdf


Uit zijn lead:



A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel I. Overzicht einddoelen. Zwijsen. isbn 9027613982


Tikje aanmatigende benaming voor dit project.



J. A. van Maanen (2012). Oud licht op het delen van gehele getallen. Panama Post, 31, 3-9. pdf


Zie ook hoe Fibonacci deelt tweet.



Marije Fagginger Auer (2016). Solving multiplication and division problems. Latent variable modeling of students' solution strategies and performance. Dissertation Leiden University. isbn 9789462993433 partly open access [Supervisor: W.J. Heiser Co-Supervisor: C.M. van Putten, M. Hickendorff, A. A. B&eacte;guin]




Gerard Reijn (14-2-2009) De staartdeling rekent lekkerder — of toch niet? De Volkskrant, Kennis. p. 3. [om onbekende reden niet in archeif van de Vk te vinden. Onderstaande tekst is van een krantenknipsel dat ik had bewaarde.




Grade-related differences in strategy use in multidigit division in two instructional settings Marian Hickendorff, Joke Torbeyns and Lieven Verschaffel (2017). open access













27 november 2017 \ contact ben at at at benwilbrink.nl    

Valid HTML 4.01!   http://www.benwilbrink.nl/projecten/delen.htm