Rekenproject: Delen

Ben Wilbrink

rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden — ‘cijferen’
    optellen — aftrekken — vermenigvuldigen — delen — breuken — meten
    meetkunde — algebra en rekenen
    materialen

De sleutelpublicaties over de praktijk van het ‘realistisch rekenen’ (RR) zijn het artikel van Jan van de Craats, zoals gepubliceerd in het Nieuw Archief voor Wiskunde (NAW), 2007, en het werk van Kees van Putten over de prestaties en de strategieën van leerlingen op opgaven over delen, met daarop in Psychometrika (2009) en NAW (2010) reacties van het FI. Op het artikel van Van de Craats, althans op de daarin verwoorde kritiek op het RR, is in diverse publicaties vanuit het FI gereageerd, niet alleen in het NAW (Uittenbogaard, 2008), maar onder andere ook in de oratie van Van den Heuvel-Panhuizen (2007), en de autobiografie van Treffers (2010). In Didaktief is een samenspraak van Marja van den Heuvel-Panhuizen en Jan van de Craats gepubliceerd (Bea Ros, 2009).

Het APS — een acroniem dat niet trots meer is op waar het ooit voor stond — geneert zich niet om op de eigen website uit te dragen dat de staartdeling is overleden, en dat daar eigenlijk niets mis mee is. Kunnen de leerlingen nog steeds delen, dan? Volgens het APS: Ja. Volgens de PPON 2004: steeds meer Nee.

Adri Treffers & Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Rekenen toen en nu. Mensenkinderen, tijdschrift voor en over jenaplanonderwijs, 117, mei, 3-6. pdf of van het hele nummer, incl. het artikel van Jan van de Craats en Gerard Verhoef: pdf

• “De rekendidactische fundering van de genoemde ‘hoofdrekenmethoden’ [onduidelijk is aan welke hoofdrekenmethoden de auteurs refereren. b.w.] is behalve aan de methode van Diels en Nauta ontleend aan Gelder, L. van (1959) die niet alleen talrijke voorbeelden van hoofdrekenstrategieën geeft, maar ook het kolomsgewijze staartdelen behandelt. In de methoden Boeiend Rekenen en Nieuw Rekenen wordt deze ‘nieuwe’ staartdeling praktisch uitgewerkt. Trouwens ook in het buitenland is deze kolomsgewijze staartdeling al sinds jaar en dag in gebruik.”

R. A. de Jong (1986). Wiskobas in methoden. Vernieuwing van reken/wiskundemethoden voor het Nederlandse basisonderwijs (1965-1985). Vakgroep Onderzoek Wiskundeonderwijs en Onderwijscomputercentrum, Rijksuniversiteit Utrecht. Proefschrift Rijksuniversiteit Utrecht.

• Bijlage II Algemene typering van de Wiskobas-aanpak. Par. 3. uitgangspunten wiskundeonderwijs. Hierin als voorbeeld een uitwerking van het delen. De Jong (blz. 380 e.v.) geeft materiaal uit een traditionele leergang (zoals hij dat noemt): Naar zelfstandig rekenen (Kuipers, 1978), en contrasteert dat met een voorbeeld uit de Wsikobas-aanpak.

• “Bij het traditionele cijferen is het uitvoeren van de staartdeling veelal een blinde procedure. Het structureren betekent hier: het strikt volgen van regels voor uitvoeringsprocedures. Er is geen sprake van een structureringsproces, waarin de herhalingsstructuur en de tienstructuur zelf ontdekt worden [volgens de realistische methode, b.w.]”

  blz. 387

De Jong praat hier de dogmatiek van de Freudenthal-groep na: er is geen empirische onderbouwing voor deze stelling, terwijl deze stelling wel een scharnierpunt is in de vergelijking van conventionele met realistische methoden. De Jong gebruikt puur verbaal geweld, niet ondersteund door toetsend onderzoek.

Karel Hurts (2008). Building cognitive support for the learning of long division skills using progressive schematization: Design and empirical validation. Computers & Education, Vol.50(4), p.1141-1156 abstract

Katherine M Robinson, Jo-Anne LeFevre (2011) The inverse relation between multiplication and division: Concepts, procedures, and a cognitive framework. In Educational Studies in Mathematics. pdf

Donald E. Knuth (1981 2nd). The art of computer programming. Volume 2, Seminumerical algorithms. Addison-Wesley. isbn 0201038226 Annotatie: algoritmene.htm (Random numbers - Arithmetic)

• The final algorithm of concern to us in this section is long division, in which we want to divide (n + m)-place integers bij n-place integers. Here the ordinary pencil-and-paper method involves a certain amount of guesswork and ingenuity on the part of the person doing the division; we must either eliminate this guesswork from algorithm or develop some theory to explain it more carefully.

  blz. 255

Een complexe uiteenzetting volgt dan. Ik begrijp er alleen oppervlakkig iets van (Om Knuth en detail te kunnen volgen, moet je eerst een jaar studie investeren, vermoed ik). Het lijkt me wel van belang om eens zorgvuldig te kijken naar software-routines voor delen, bijvoorbeeld in Pascal geschreven. Er is overigens een verschil tussen hardware-oplossingen, en software-matige, maar dat gaat me te ver. Over studie gesproken: Knuth geeft aan het eind van deze sectie een eerste oefening, en dat is deze:

• Study the early history of the classical algorithms for arithmetic by looking up the writing of, say, Sun Tzu, al-Khwârizmî, al-Uqlîdisî, Fibonacci, and Robert Recorde, and by translating their methods as faithfully as possible into precise algorithmic notation.

  blz. 265

• The techniques we have been studying apply in a natural way to many different types of mathematical quantities, not simply to numbers. In this section we shall deal with polynomials, which are the next step up from numbers.

  blz. 399 e.v.

• It is possible to divide one polynomial by another in essentially the same way that we divide one multiple-precision integer by another, when arithmetic is being done on polynomials over a “field”.

  Zie Knuth 4.6.1. Division of polynomials (401-420).

A. Dekker, H. ter Heege & A. Treffers (1982). Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens wiskobas. Voorbeelden uit de onderwijspraktijk van geïntegreerd cijferen volgens progressieve schematisering.

• • Deel A: Vermenigvuldigen
  • I. Vermenigvuldigen volgens het herhaald-optel-model
  • II. Vermenigvuldigen volgens het kruispunten-model
  • Deel B: Delen
  • III. De staartdeling volgens herhaald aftrekken
  • Deel C: Nabeschouwing en discussie
  • IV. Nabeschouwing
  • V. Nadere toelichting
  • VI. Overzicht onderzoek cijferen

Kees Hoogland (2008). Nostalgische terugblik op de staartdeling. Nieuw Archief voor de Wiskunde 5/9 nr 4 december 2008. pdf of ook pdf

• “Ben ik op de middelbare school de staartdeling wel eens tegengekomen? O ja, één keertje: bij het delen van een eerstegraadspolynoom op een hogeregraadspolynoom, waarschijnlijk om bij een gebroken functie de primitieve te berekenen.”
• “Om het rekenonderwijs op een hoger plan te brengen moeten de kwaliteiten van realistisch rekenen benadrukt en gepraktiseerd worden. Maar op dit moment is het minstens zo belangrijk de vervormingen stevig aan te pakken. Opleiding en professionalisering van leerkrachten die zich daar expliciet op richt, is cruciaal. In de rekenverbetertrajecten die nu op 375 scholen starten, staat dit centraal.”

Even hiervoor heeft Hoogland die vervormingen beschreven, ik vat het kort samen: 1) context is prima, maar veel contexten is teveel van het goede, 2) natuurlijk zijn er nu rekenmachines beschikbaar, maar dat betekent niet dat leren rekenen overbodig is geworden, 3) uitgaan van de strategieën die kinderen zelf spontaan gebruiken is prima, dergelijke straegieën aanbieden is dat niet, 4) iedereen leren delen is prima, maar de betere leerlingen het beste algoritme onthouden is minder.

Nuchter artikel, mooi. Herhaalt in kort bestek in feite wat Jan van de Craats (Daan en Sanne, 2007, NAW) aan de kaak stelde aan de hand van rekenboeken uit de realistische school. Van den Heuvel-Panhuizen ziet het (in haar oratie) als ondersteuning van realistisch rekenen, zoals het ook wel is bedoeld, maar het is ook een aanklacht tegen de overdrijvingen uit de hoek van de realistisch rekenaars, en de onvolmaakte uitvoering in concrete lessituaties.

Marja van den Heuvel-Panhuizen (2009). Hoe rekent Nederland? Inaugurele rede. pdf

Van den Heuvel begint haar oratie met het oprichten van stromannen, met aantijgingen zonder namen te noemen, met een kwaadaardige overdrijving van de positie die Jan van de Craats heeft gekozen. Deze houding is enorm problematisch, omdat het betekent dat het FI zijn werk niet ter discussie wenst te stellen.

De figuur op blz. 18 laat de verschillen zien tussen PPON 1987, 1992, 1997 en 2004; Van de Heuvel stelt dat dit precies is wat het hele onderwijsveld in 1983 of zo wilde: meer denken, minder kaal rekenen. Maar daar geloof ik niets van. Zou destijds dit als mogelijke uitkomst zijn voorgelegd, dan zou er een enorme discussie zijn ontstaan. De afname van basale rekenvaardigheid wordt natuurlijk niet goedgemaakt door een beetje handiger hoofdrekenen, en om kunnen gaan met wat rijkere rekenopgaven, hoe waardevol op zich ook. Van den Heuvel realiseert zich dat ook, en gaat op zoek naar een verklaring. Ze komt er niet uit.

Marja claimt in haar oratie de feiten te geven. Zo’n uitspraak zet gegarandeerd al mijn haren overeind. Laten we eens kijken. Ze zet het pleidooi van Jan van de Craats weg als nostalgie naar opa’s methoden, naar mechanistisch rekenen. Wie zijn artikel ‘Daan en Sanne’ behoorlijk leest, ziet dat Van de Craats het nadrukkelijk heeft over wat hij feitelijk aantreft in de rekenboekjes in de realistische rekenentraditie, en dat zijn voorstel voor een betere didactiek dan die welke het ‘handig rekenen’ vooropstelt, zeker geen terugkeer is naar het rekenen van de zestiger jaren.

Marja van den Heuvel-Panhuizen geeft in haar oratie blijk zich niet bewust te zijn van een enorme zwaai in de filosofie van het realistisch rekenen: het ‘handig’ rekenen is nu een wondermiddel geworden, doel van het rekenonderwijs, waar dat oorspronkelijk toch bepaald anders werd gezien. Het oorspronkelijke idee is geweest om uit te gaan van de oplosmethoden waar leerlingen zelf spontaan mee komen, om vandaaruit te komen tot verkorting van die ‘handige’ methoden en uiteindelijk tot de beste algoritmen zoals daar zijn de staartdeling voor het delen. [noot: ik maak hier geen onderscheid tussen ‘hapmethoden’ en ‘handig’ rekenen. Ik weet ook nog niet of daar echt wel onderscheid tussen valt te maken]

• “Dit wordt een rede over de staartdeling, want of de Nederlandse basisschoolleerling vandaag de dag nog zo’n deling kan maken, is nog steeds de brandende vraag die opkomt als het gaat om hoe Nederland rekent.”

De toonzetting van de oratie:

• “Aangevoerd door degenen die terug willen naar het rekenonderwijs van veertig jaar geleden—toen de staartdeling nog een prominente plaats innam in het Nederlandse rekenprogramma—vullen krantenkolommen zich met de voor waar aangenomen ‘achteruitgang’ van de Nederlandse rekenvaardigheid.”

9 febr: P. Teule-Sensacq & G. Vinrich (1982). Résolution de problèmes de division au cycle élémentaire dans deux types de situations didactiques. Educational Studies in Mathematics, 13, 177-203. abstract [pdf in KB via JSTOR downloaden]

(Happend) Staartdelen in het Frans. Een typisch Franse situatie, die iets weg heeft van de wiskobas-situatie, in Frans jargon beschreven. Beetje lastig. Happend delen. Berust kennelijk op Brousseau, en op Franse wetgeving. In de gaten houden.

9 febr: Twila Slesnick (1982). Algorithmic skill vs. conceptual understanding. Educational Studies in Mathematics, 13, 143-154. abstract [pdf in KB via JSTOR downloaden]

De staartdeling beheersen versus begrijpen. Onafhankelijk van de ontwikkelingen in Wiskobas. Geen happend delen. Gaat verstandig in op het dilemma: oefenen versus leren begrijpen. Gepubliceerd in 1982, in 1982 dus bekend in Utrecht. Is die kennis benut?

Dagmar Neuman (1999). Early learning and awareness of division: A phenomenographic approach. Educational Studies in Mathematics, 40, 101-128. http://www.springerlink.com/content/v482648156w710r0/

Wat zijn eigen naïeve manieren om een deling te maken? Niet onafhankelijk van RME-gedachtengoed

C. M. van Putten (2005). Strategiegebruik bij het oplossen van deelsommen. In Jan Janssen, Frank van der Schoot en Bas Hemker: Balans [32] van het reken-wiskundeonderwijs aan het einde van de basisschool. 4. Uitkomsten van de vierde peiling in 2004. (125-131). Cito. pdf

C. M. van Putten (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987. Een reactie. Panama-Post, 27, nr 1. pdf

Hickendorff, Van Putten, Verhelst & Heiser (2010) is een ware hulp. De auteurs geven een korte en heldere beschrijving van het realistisch rekenen en zijn uitgangspunten, in termen die ik als psycholoog meteen begrijp. Heerlijk, niet meer dat zelf uitgevonden jargon van de realistisch rekenaars. Zie voor samenvattingen en annotaties de blog over de promotie van Marian Hickendorff, 25 okber 2011: ‘Marian Hickendorff promoveert 25 oktober in Leiden op onderzoek van rekenonderwijs’ blog 7954.

Marian Hickendorff, Cornelis van Putten, Norman D. Verhelst & Willem J. Heiser (2010). Individual Differences in Strategy Use on Division Problems: Mental Versus Written Computation Journal of Educational Psychology, 102, 438-452. abstract

Marja van den Heuvel-Panhuizen, Alexander Robitzsch, Adri Treffers and Olaf Köller (2009). Large-Scale Assessment of Change in Student Achievement: Dutch Primary School Students’ Results on Written Division in 1997 and 2004 as an Example. Psychometrika, 74, 367-374. pdf

Read also the rejoinder, by Hickendorff, Heiser, Van Putten & Verhelst:

Marian Hickendorff, Willem Heiser, Cornelis van Putten, Norman Verhelst (2009). How to Measure and Explain Achievement Change in Large-Scale Assessments: A Rejoinder. Psychometrika, 74, 367-374. free access pdf ophalen

Bea Ros (2009). Staartdelen of happen? Een pittig tweegesprek over rekenen. Didaktief, 39 nr. 1-2, p. 4-8. pdf

Jan van de Craats (2007). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. (uitgewerkte tekst van een voordracht op 18 januari 2007 tijdens de 25e Panama-conferentie te Noordwijkerhout) pdf. Ook verschenen in Nieuw Archief voor Wiskunde, 5e serie deel 8 nummer 2, 132-136 pdf, en het Tijdschrift voor Remedial Teaching, 15, nummer 5, 10-14.

Alan Bell, Efraim Fischbein & Brian Greer (1984). Choice of operation in verbal arithmetic problems: The effect of number size, problem structure and context. Educational Studies in Mathematics, 15, 129-147. abstract

Een klein maar goed ingericht onderzoek met 12- en 13-jarigen, met woordproblemen die vermenigvuldigen of delen betreffen. In het bestek van dit artikeltje komt alle mogelijke trammelant met deze woordproblemen aan de orde, en wat een en ander betekent voor het onderwijs. Sluit mooi aan op het eerdere artikel van Carpenter cs (1981) dat op optellen en aftrekken is gericht. Het onderzoek is inventariserend van karakter. De informatiedichtheid van dit artikel is groot, ik zal het niet samenvatten, behalve in de volgende zin. ‘Realistische’ situaties stellen deze leerlingen al gauw voor enorme problemen, waar ze niet altijd goed mee uit te voeten kunnen, ook niet in de zin dat ze onder woorden kunnen brengen waar hun moeilijkheden bij het aanpakken van het gegeven probleem in zitten. Het is dus wederom de boodschap dat contexten al gauw complex zijn, en weinig behulpzaam om inzicht in rekenoperaties te verwerven. Of zoiets, lees het artikel. P.m.: er is natuurlijk na 1984 door deze onderzoekers veel werk verzet op hetzelfde gebied. Dit werk moet voor de Utrechtse groep enorm inspirerend zijn geweest, toch? Waar kan ik dat zien, in het proefschrift van De Jong? Ik kom het nog wel tegen.

Adriaan Treffers (Red.) (1979). Cijferend vermenigvuldigen en delen: (1) : overzicht en achtergronden. IOWO. Leerplanpublikatie 10. Bijvoegsel bij Wiskobas-bulletin (jrg. 8, nr 5/6).

Zes hoofdstukken: Progressief schematiseren (Treffers), Wijder verband (Treffers), Fundering (Treffers), Peiling (Ter Heege en Treffers), Historisch perspektief (Streefland), Overzicht van praktische aanwizjingen (Treffers). Let op het iets latere boek: A. Dekker, H. ter Heege, A. Treffers (1982). Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens Wiskobas. OW&OC. zie hier Ik zal met het laatste beginnen op mijn speurtocht naar de bronnen van wiskobas, en empirische gegevens over wiskobas.

Julia Anghileri, Meindert Beishuizen & Kees van Putten (2002). From informal strategies to structured procedures: Mind the gap! Educational Studies in Mathematics, 49, 149-170. http://www.springerlink.com/content/5xjgwg0xcqea7x62/

Van happend delen tot staartdeling? Vergelijkt grade 5 (Engeland) en groep 6 (Nederland) leerlingen: de Nederlandertjes winnen. Voorbeeld van empirisch toetsend onderzoek.

Willem Uittenbogaard (2008). Geen catechismus leren, maar nadenken. Nieuw Archief voor Wiskunde 5/9 nr 1 pdf

Uit zijn lead:

• “In dit artikel worden enkele kanttekeningen bij het betoog van Van de Craats geplaatst: hij baseert zijn uitspraken op oppervlakkige, onvolledige en eenzijdige percepties en laat duidelijk merken geen weet te hebben van onderzoek en ontwikkelwerk van reken-wiskundeonderwijs in de afgelopen dertig jaar.”

A. Treffers, E. de Moor & E. Feijs (1989). Proeve van een nationaal programma voor het reken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Deel I. Overzicht einddoelen. Zwijsen. isbn 9027613982

Tikje aanmatigende benaming voor dit project.

• De staartdeling volgens de reproduktiemethode p. 11. De staartdeling wordt als volgt weggezet: ‘vaak meer dan vijtig lesuren onderwijs’, ‘meer dan een derde deel van de leerlingen slaagt er niet in het delingsalgoritme volledig te beheersen’, “Delingen met rest duiken pas tegen het einde van de leergang op, en dan alleen nog maar in de gedaante van kale sommen. Problemen als ‘Er worden 1128 soldaten vervoerd in bussen met 36 plaatsen, hoeveel bussen zijn nodig?’ ontbreken dus volledig. Met als gevolg dat slechte één op de drie leerlingen een dergelijke opgae aavn het einde van de basisschool goed oplost, dus 32 als uitkomst geeft en niet 31 rest 12, of 31, of 31,33 of nog iets anders antwoordt. En indien de kinderen een zakrekenmachine mogen gebruiken, zakt de goedscore zelfs onder de tien procent!” Nee, bronnen voor al deze stellingen geven de auteurs niet. Het x is goed bekend, Amerikaanse 15-jarigen doen het op een NAEP-test in de zeventiger jaren ongeveer even slecht als de auteurs hier voor 12-jarige basisscholieren aangeven. Wat is volgens de auteurs dan een dwingende conlusie: “Gelet op deze bevindingen en gezien ook het feit dat de zakrekenmachine enige ingang heeft gevonden, lijkt de hier en daar gesignaleerde trend om de staartdeling uit het onderwijs te weren alleszins begrijpelijk en verantwoord.” Dat kan ik werkelijk niet inzien,. Hier staat gewoon: Het is alleszins begrijpenlijk dat we onze kop in het zand gaan steken.’ Geen stimulerend begin voor een ‘Proevevan een nationaal programma.’ Deel I moet het zonder enige literatuurverwijzing stellen: het is een vrij zwevende tekst. Dat is met deel 3A gelukkig veranderd.

J. A. van Maanen (2012). Oud licht op het delen van gehele getallen. Panama Post, 31, 3-9. pdf

Zie ook hoe Fibonacci deelt tweet.

Marije Fagginger Auer (2016). Solving multiplication and division problems. Latent variable modeling of students' solution strategies and performance. Dissertation Leiden University. isbn 9789462993433 partly open access [Supervisor: W.J. Heiser Co-Supervisor: C.M. van Putten, M. Hickendorff, A. A. B&eacte;guin]

Gerard Reijn (14-2-2009) De staartdeling rekent lekkerder — of toch niet? De Volkskrant, Kennis. p. 3. [om onbekende reden niet in archeif van de Vk te vinden. Onderstaande tekst is van een krantenknipsel dat ik had bewaarde.

• “Hoe zit het met de tegenstanders? Daarvoor moeten we zijn bij het Freudenthal Instituut, de grootmacht in rekenend Nederland en de uitvinder van de realistische methode. Het instituut moet diep in zijn archieven duiken, maar komt uiteindelijk op de proppen met onderzoek uit 1983 van ene Jacques Rengerink. Geen grote naam in de onderwijskunde, maar met enige moeite is hij terug te vinden. Het onderzoek waarmee de staartdeling wordt afgeserveerd, blijkt zijn afstudeerscriptie. Rengerink werkte destijds al 15 jaar op een basisschol in Deventer, maar was na kweekschool en MO A onderwijskunde gaan studeren in Utrecht. Terwijl hij nog studeerde, probeerde hij in zijn eigen klas voorzichtig de realistische methode uit, en het resultaat verbaasde hem. ‘Ik had vier kinderen in de klas die de staartdeling echt niet onder de knie kregen. Toen ik met de realistische methode begon, zag je de ontspanning bij die kinderen: ze snapten het.’ Voor zijn afstudeerscriptie instrueerde hij zijn eigen vijfde klas met de kolomdeling. De vijfde klas van een naburige school fungeerde als controlegroep: die kreeg de staartdeling. Het verschil was overtuigend: de kolomdelers hadden 30 tot 40 procent vaker het goede antwoord. Zijn resultaten overtuigden het Freudenthal Instituut en daarmee een groot deel van rekenend Nederland, maar niet zijn collega’s op school. ‘Die bleven op de oude manier lesgeven. ( . . ) Twintig jaar later, in 2003, werd het onderzoek van Rengerink nog eens herhaald met 155 kinderen, maar dan door het Hong Kong Institute of Education. Conclusie: de kolomdelers deden het al na twee uur les veel beter dan de staartdelers.”

  Uit: Gerard Reijn (14-2-2009) De staartdeling rekent lekkerder — of toch niet? De Volkskrant, Kennis. p. 3. Toelichting: deze scriptie is echt de enige basis voor het happend delen van het FI. Freudenthal (in Appels en peren) schreef er wonderbaarlijke rendementswinst aan toe, zoals ook anderen deden. Goedgelovig Nederland—onderwijsland trapte erin. http://goo.gl/dGkNK4

Grade-related differences in strategy use in multidigit division in two instructional settings Marian Hickendorff, Joke Torbeyns and Lieven Verschaffel (2017). open access

  http://www.benwilbrink.nl/projecten/delen.htm