Rekenproject: Algoritmen

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden — ‘cijferen’
    optellen — aftrekken — vermenigvuldigen — delen — breuken — meten
    meetkunde — algebra en rekenen — kans (en combinaties)
    materialen
    woordproblemen

algemeen

WISE Math (n.d.). The Harmful Effects of Kamii and Dominick's study "The Harmful Effects of Algorithms in Grades 1-4" webpage. The article by Kamii & Dominck https://ccgpsmathematicsk-5.wikispaces.com/file/view/HArmful+Effects+of+Teaching+Algorithms.pdf

• Articles: https://sites.google.com/site/constancekamii/articles-available-for-printing thanks to Barry Garelick.

Robert Craigen (02-13-2014). [Standard algorithms, conventional algorithms if you like, but not ‘traditional’ algorithms] comment

Ben Wilbrink: Stappenschema's, algoritmen, routines, procedures. Paragraaf 5.4 in Toetsvragen ontwerpen. (herziening van 1983

Toetsvragen schrijven, Aula 809) abstract

L. N. Landa (1976). Algorithmization in learning and instruction. Englewood Cliffs, N.J.: Educational Technology Publications.

L. de Leeuw (1981). Leeralgoritmen, heuristieken en instructie-algoritmen. Pedagogische Studiën, 58, 123-130.

rekenen

In de rekenliteratuur worden opvattingen over het belang van de standaardalgoritmen al gauw gezien als de lakmoesproef voor het behoren tot de reform-didactiek, danwel de traditionele didactici of de mechanistisch rekenaars. De benaming ‘reformdidactiek’ is adequaat, want deze didactiek zet zich doorgaans juist af tegen de bestaande didactiek, laten we dat de conventionele didactiek noemen. Spreken over ‘traditionele rekendidactiek’, zoals zelfs de commissie-Lenstra doet, is mijns inziens misleidend omdat het een impliciet oordeel bevat dat deze rekendidactiek zijn langste tijd gehad moet hebben, wat natuurlijk onzin is.

Fred Goffree & Huub Jansen (1975). Professor Freudenthal op de Pedagogische Academie. In Freudenthal 100, 114-122. pdf

In het Voorwoord zetten de redacteuren het verkrijgen van routine en het leren van algoritmen veel te dicht bij elkaar. De meeste stukken zijn overgenomen uit Wiskobas Bulletin. Verbijsterend (maar overbekend) voorbeeld van 29124 gedeeld door 36 op blz. 129-130.

• 1. Algoritmiseren
  2. De abakus
  3. Cijferend vermenigvuldigen
  4. Vermenigvuldigen onder elkaar; hoe leer je dat?
  5. Staartdelen; een konstruktieve analyse
  6. Didaktisch werkstuk

Huub Jansen, Jan Keijnemans & Fred Goffree (Red.) (1975). Algoritmiek Instituut voor de ontwikkeling van het Wiskunde-Onderwijs.

In het Voorwoord zetten de redacteuren het verkrijgen van routine en het leren van algoritmen veel te dicht bij elkaar. De meeste stukken zijn overgenomen uit Wiskobas Bulletin. Verbijsterend (maar overbekend, het bus-probleem) voorbeeld van 29124 gedeeld door 36 op blz. 144-145.

• 1. Algoritmische voorschriften
  2. Reken Vaardig
  3. De abakus
  4. Cijferend vermenigvuldigen
  5. Vermenigvuldigen leren
  6. Staartdelen

Er is een belangrijke en vroege standpuntbepaling over algoritmen in het proefschrift van Adri Treffers. Opmerkelijk, want deze verstandige positie zal geleidelijk in de ontwikkeling van het realistisch onderwijs worden verlaten, en uiteindelijk resulteren in extreme opvattingen (Uittenbogaard, 2007) dat algoritmen geen wiskunde zijn, en eigenlijk helemaal uit het onderwijs moeten worden geweerd.

Willem Uittenbogaard (2008). Geen catechismus leren, maar nadenken. Nieuw Archief voor Wiskunde 5/9 nr 1 pdf

A. Treffers (1978). Wiskobas doelgericht. Een metode van doelbeschrijving van het wiskundeonderwijs volgens wiskobas.. Instituut voor Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs.

• “Kortom: we zijn van mening, dat het aanleren van een algoritme kán (lees niet: moet) gebeuren via een matematiseringsproces. Waarmee we tevens willen betogen, dat enerzijds het beheersen van een algoritme een belangrijk hulpmiddel kan zijn om te matematiseren (...), en dat anderzijds een matematiseringsproces kan leiden tot het ontdekken van een algoritme (i.c. de vermenigvuldigingsalgoritme). Het is dan ook niet juist het matematiseren en het algoritmiseren (het aanleren van een algoritme), als zijnde strijdige elementen in het wiskundeonderwijs [lees: rekenonderwijs, b.w.] tegenover elkaar te stellen. Er is immers sprake van een wederzijdse zingeving.

  Het wiskundeonderwijs zal zowel het inventieve als het receptmatige element dienen te bevatten en niet als strijdige elementen, maar als elkaar ondersteunende noodzakelijkheden. Wat eerst het resultaat is van een vondst, kan later als een versteend roetinemiddel worden gebruikt om het oplossen van problemen op een hoger niveau te vergemakkelijken.”

  blz. 50

Donald E. Knuth (1973 2nd). Fundamental algorithms. The art of computer programming volume 1, fundamental algorithms. Addison-Wesley.

Donald E. Knuth (1981 2nd). The art of computer programming. Volume 2, Seminumerical algorithms. Addison-Wesley. isbn 0201038226 (Random numbers - Arithmetic)

• Positional number system
  The way we do arithmetic is intimately related to the way we represent the numvbers we deal with, so it is appropriate to begin our study of the subject with a discussion of the principal means for representing numbers.

  In kort bestek. De decimale komma is een speciaal geval van het radix-punt (wortel-punt?)

  The historical development of number representations is a fascinating story, since it parallels the development of civilization itself. We would be going far afield if we were to examine this history in minute detal, but it will be instructive to look at its main features here.

  En dat gebeurt dan van blz. 179 tot en met 197.

• Floating-point arithmetic
  • Deze rekenkunde is benaderend van aard, niet exact. Knuth geeft dat aan door een cirkeltje om ‘+, -, ×, /’
• Multiple-precision arithmetic
• Radix conversion
• Rational arithmetic
  • Fractions
  • The greatest common divisor
  • Analysis of Euclid’s algorithm
  • Factoring into primes
• Polnomial arithmetic
  The techniques we have been studying apply in a natural way to many different types of mathematical quantities, not simply to numbers. In this section we shall deal with polynomials, which are the next step up from numbers.

  blz. 399 e.v.

  • Division of polynomials(zie delen.htm)
  • Facorixation of polynomials
  • Evaluation of powers
  • Evaluation of polynomials

Cornelia S. Grosse & Alexander Renkl (2006). Effects of multiple solution methods in mathematics learning. Learning and Instruction, 16, 122-138. abstract

• Uit het theoretisch kader (section 1):
  Learning mathematics with multiple solutions, perspectives, or representations has been discussed by a variety of authors (e.g., Schoenfeld, 1992; Stigler, Gallimore, & Hiebert, 2000 ). However, there are comparatively few controlled studies on this issue. Therefore, we conducted two experiments in which multiple solution methods were provided to the learners by means of worked-out examples.

  (...)

  Although learning with multiple representations (or multiple solutions) may foster understanding, it also presents certain challenges. The learners not only have to understand every single representation, but they also have to integrate them in order to establish coherence. As learners rarely map different representations onto each other, the positive effects that are intended by the use of multiple representations often do not occur to the expected extent (see De Jong et al., 1998 ). Further, as learners typically do not discern interrelations between different representations on their own, Van Someren, Boshuizen, De Jong, and Reimann (1998) point out the importance of teaching them these interrelations (see also Bodemer, Plo¨tzner, Feuerlein, & Spada, 2004; De Jong et al., 1998 ). Similarly, learners typically do not compare analogical problems spontaneously (Reeves & Weisberg, 1994 ). They only profit from multiple analogical examples when they are encouraged to compare them. Thus, when dealing with multiple solutions, it seems highly advisable to support learners in order to optimise their true learning potential. This can be achieved either by prompting self-explanations that focus on comparing different solutions or by corresponding instructional explanations.

  Although the employment of multiple solution methods is promising, their effects may depend on the type of learning outcomes considered. In teaching procedural skills for solving ‘‘standard problems’’ in a mathematical sub-domain, multiple solutions might not be important. As long as procedural skills can be algorithmically applied (maybe with minor changes) without the need to generate ‘‘new’’ solution procedures, a deep understanding of different solution methods remains unnecessary. However, if the higher-order learning goal of obtaining conceptual knowledge (i.e., understanding solutions as well as their application and their advantages) is to be achieved, multiple solutions should become quite useful. They help the learner understand the appropriateness of different solution methods and appreciate their relative advantages and disadvantages. In a nutshell, learning with multiple solutions would seem to be particularly beneficial in fostering conceptual knowledge, as opposed to procedural skills which might not be as enhanced.

• Uit de General discussion:
  With respect to ‘‘enriching’’ traditional worked-out examples with features such as multiple solutions, the present findings warn against overly simplistic assumptions. Although the ‘‘enriching’’ features might actually enhance learning in some respect, they obviously do so at the cost of other aspects (e.g., the reduction of certain self-explanations). Given this trade-off, whether or not the net effect on learning outcomes is actually positive may depend on the contextual conditions such as the specific learning goals.

H.G.B. Broekman, L.C. Spijkerboer & J.J.M. Terlingen (red.). Algoritmen en heuristieken in contextrijk reken-wiskundeonderwijs OW & OC. geen isbn

• H. G. B. Broekman: Algoritmen, heuristieken en contexten 1-16
• A. Treffers: Algoritmen in didactisch perspectief 17-28
• A. van Streun: Het onderwijs in de know-how van de wiskunde 29-46
  • Stellingen:
    1. De leerling moet ervaren dat over een opgave of probleemsituatie kan worden nagedacht, dat het mogelijk en de moeite waard is om jezelf systematisch vragen te stellen naar betekenissen, naar middelen en gevolgen.
    2. Volgens veel leerlingen gaat het bij wiskunde niet om het denken, maar om het onthouden van regels en toepassen van regels in sommen. Dat beeld van wiskunde leren is het voornaamste obstakel op de weg naar zinvol wiskundeonderwijs voor iedereen.
    3. Het regel- en imitatieleren past uitstekend bij de algemene schoolcultuur.
    4. Het flexibel leren gebruiken van wiskundige kennis en methoden in verschillende contexten vereist een sterke samenhang in het cognitieve schema en (omvang)rijke chunks. Training op geïsoleerde rijtjes analoge opgaven versterkt de verbrokkeling in het lange termijn geheugen.
    5. Start met de meest algemene werkwijzen en pas daarbij later de meer specifieke methoden aan. Eerst de heuristische methoden, daarna eventueel algoritmische.
    6. Het banen van een leerweg door middel van een geschikte rij van problemen/taken/opdrachetn is een optimale onderwijsstrategie, mits we erin slagen de mathematisch-didactische kernen op te sporen.
    7. Het denken in termen van een zich ontwikkelende mentale voorstelling van een (probleem-)situatie is didactisch bijzonder vruchtbaar. Blokkades in die ontwikkeling zijn goede aanknopingspunten voor onderwijs in probleem oplossen.
    8. De rol van de herkenning op basis van al aanwezige kennis bij het oplossen van problemen is groot. Met heuristische overzichten en methoden kan bewust naar die herkenning worden toegewerkt.
    9. Optimalisering van contextrijk wiskundeonderwijs is niet gebaat bij algemene uitspraken over onderwijseffecten, maar vereist nauwgezette analyse van leerprocessen en effecten in onderwerpgebonden onderzoek.
• L. Streefland: Denkstrategieën toetsen in het wiskundeonderwijs. Kan dat? En hoe? 47-74
• H. Boertien: Algoritmen, wiskunde en toetsen 75-88
• A. Lagerwerf: Beeldvorming en schematisering
• S. L. Kemme: Effecten van computergebruik in de wiskundeles 101-120
• L. C. Spijkerboer: Wat hebben leerlingen aan realistisch wiskundeonderwijs? 121-142
• A. I. J. M. Konings: Probleemaanpak als onderwerp op de lerarenopleiding 143-154
• Standaardalgoritmen in het W12-16-project 155-166
• A. Roodhardt: Enkele aspecten van het gebruik van contexten. Een opsomming met voorbeelden uit havo wiskunde-A 167-186
• H. van der Kooij: Toegepaste analyse: probleemaanpak en contextgebruik 187-206

Stephen Norton (2012). The Use of Alternative Algorithms in Whole Number Computation. pdf

Bert Jonsson, Mathias Norqvist, Yvonne Liljekvist, Johan Lithner (2014). Learning mathematics through algorithmic and creative reasoning. The Journal of Mathematical Behavior, 36, 20-32. free access

tweet Is it essential in math education for students to struggle with important mathematics? To struggle in order to learn sounds like bulshit in my psychological ears. What, then, does the above research show? To call bad instruction or no instruction at all ‘adidactical’ is disingenuous. At the very least, providing no instruction in situations where students are struggling with the tasks set, will result in inefficiënt use of study time.

J. C. van Bruggen (1975). Het leren en onderwijzen van vier rekenalgoritmen volgens het konsept van de progressieve schematisering. ORD 1975

constructivisme - realistisch rekenen - Wiskobas - zelf-ontdekkend leren - guided discovery learning

• . . . zijn we binnen Wiskobas ook bij de ontwikkeling van de leergangen voor de vier hoofdalgoritmen uitgegaan van een matematisch-didaktische analyse van deze algoritmen. ( . . . ) De analyse heeft gevoerd tot de konseptie van het begrip 'progressieve schematisering'. Hierin wordt het algoritme beschouwd als het resultaat van een langdurig matematiseringsproces, dat zich in de ontwikkeling van de wiskunde heeft voltrokken en waaraan vele kulturen hebben bijgedragen, in het bijzonder de Hindoe-Arabische kultuur uit de vroege middeleeuwen (zelfs de term 'algoritme' is van Arabische oorsprong).

  De grondstelling van onderwijskundige aard is nu, dat:

  1. het uit een oogpunt van algemene doelstellingen (wiskunde leren als een menselijke activiteit, waarin schematiseren, symboliseren, formaliseren, belangrijke matematiseringsprocessen zijn) wenselijk is om kinderen van de basisschool de vier hoofdalgoritmen te laten leren via een geleidhet vanuit onderwijspsychologische overwegingen ook het beste is om de vier hoofdalgoritmen zelfstandig te laten ontwikkelen, teneinde zowel de algemeen-matematische doelstellingen te kunnen bereiken als de meer resultaat-gerichte beheersingsdoelstellingen.
• Voor elk van de vier hoofdbewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen) zijn leergangen ontwikkeld, berustend op het konsept 'progressieve schematisering'.
• Waar h=gaat het om in deze leergangen?

  
  Kinderen de gelegenheid geven zelfstandig verdergaande schematiseringen te ontdekken. Dit gedrag is een operationalisering van de doelstelling leren schematiseren.