Rekenproject: Algebra en rekenen

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden — ‘cijferen’
    optellen — aftrekken — vermenigvuldigen — delen — breuken — meten
    meetkunde — algebra en rekenen — kans (en combinaties)
    materialen
    woordproblemen


Ik heb hier nog geen afgebakende ideeën bij. De reden dat algebra relevant is voor het rekenproject: rekenen is als het ware een onderdeel van de algebra, zoals in veel wiskundemethoden ook nadrukkelijk gepresenteerd. Maar er is ook discussie over de relatie tussen rekenen en algebra waar het gaat over opgaven die eenvoudig algebraïsch zijn te behandelen, terwijl ze als rekensom ingewikkeld zijn: wat is didactische wijsheid bij de keuze tussen beide? En ja, dan is er de gedachte van protagonisten van het realistisch rekenen dat basisscholieren al jong wiskundig moeten leren denken. Afijn, er is dus iets aan de hand in de relatie tussen rekenen en algebra.



abstract


abstract


Peter Frejd (2013). Old algebra textbooks: a resource for modern teaching. BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics, 28, 25-36. abstract


Anderson, J. R., Betts, S. A., Ferris, J. L., & Fincham, J. M. (2010). Cognitive and metacognitive activity in mathematical problem solving: Prefrontal and parietal patterns. Cognitive, Affective, and Behavioral Neuroscience, 11, 52-67. pdf


Anderson, J. R. (2007). The Algebraic Brain. In Gluck, M. A., Anderson, J. R , & Kosslyn, S. M. (Eds.). Memory and Mind: A Festschrift for Gordon H. Bower. New Jersey: Lawrence Erlbaum Associates. pdf

I am going to describe a formal information-processing model of how children learn to solve linear equations and test prdictions of this model for activation patterns in five brain regions.


Danker, J. F. & Anderson, J. R. (2007). The roles of prefrontal and posterior parietal cortex in algebra problem-solving: A case of using cognitive modeling to inform neuroimaging data. Neuroimage, 35, 1365-1377. pdf

As noted in the introduction the essence of mathematical reasoning involves an interaction between representation and knowledge. It may not be possible to isolate one from the other in any task that maintains its identity as an instance of mathematical reasoning.


Anderson, J. R., Betts, S. A., Ferris, J. L., & Fincham, J. M. (in press) (2011?). Tracking children's mental states while solving algebra equations. Human Brain Mapping . pdf


Mary Ky Stein, Julia Heath Kaufman, Milan Sherman & Amy F. Hillen (2011). Algebra: A challenge at the crossroads of policy and practice. Review of Educational Research, 81, 453-492. abstract

Uit de samenvatting: “Historically, algebra has served as a gatekeeper to advanced mathematics and science course taking and entry into high-paying, technical careers. Increased recognition of this phenomenon has led to a growing trend, documented in Part 1, for more students to take algebra in eighth grade. Although universal algebra policies reduce the possibility of prepared students being denied access to algebra, those policies have created another problem: more underprepared students enrolled in algebra classes. Moreover, an implicit assumption of policies or initiatives that encourage all students to take algebra is that the benefit of taking algebra is universal, that is, students will achieve at high levels and/or have access to more advanced courses and careers as a direct result of taking algebra.”


Christopher R. Rakes, Jeffrey C. Valentine, Maggie B. McGatha & Robert N. Ronau (2011). Methods of Instructional Improvement in Algebra: A Systematic Review and Meta-Analysis Review of Educational Research, 80, 372-400. abstract

“This systematic review of algebra instructional improvement strategies identified 82 relevant studies with 109 independent effect sizes representing a sample of 22,424 students. Five categories of improvement strategies emerged: technology curricula, nontechnology curricula, instructional strategies, manipulatives, and technology tools. All five of these strategies yielded positive, statistically significant results. Furthermore, the learning focus of these strategies moderated their effects on student achievement. Interventions focusing on the development of conceptual understanding produced an average effect size almost double that of interventions focusing on procedural understanding.”

De tekst van het abstract is verbazingwekkend: het gaat uitsluitend over onderzoeken waarin de inhoud van het algebraonderwijs buiten beschouwing blijft? Een ander opmerkelijk punt is dat deze onderzoekers erin zijn geslaagd om een heldere scheidslijn aan te brengen tussen onderwijs dat is gericht op begripsmatig begrijpen, en dat op procedureel begrijpen. Ik ben heel benieuwd hoe ze deze trick hebben kunnen uithalen. Een derde opmerkelijk punt: dat het begripsmatige het zoveel beter zou doen dan het procedurele (even aangenomen dat het onderscheid zo eenvoudig is te maken) maakt mij achterdochtig; ik heb het afgelopen jaar geleerd dat er hele volksstammen onderzoekers zijn die het niet zo nauw nemen met de methodologie van wetenschappelijk onderzoek, en dat die volksstammen vooral in de hoek van het constructivisme, van de reform-didactieken, zijn te vinden, dus juist ook die onderwijsideologieën die hoog opgeven over dat begripsmatig begrijpen. Dit moet dus een razend interessante overzichtsstudie zijn. Ik ben benieuwd, ik heb het nog niet kunnen lezen.


Judi Humberstone & Robert A. Reeve (2008). Profiles of algebraic competence. Learning and Instruction, 18, 354-367. abstract


Henk Pfaltzgraff (2009). Over investeren en bezuinigen. Een reactie op het artikel in Euclides van de voorzitter van onze vereniging. Euclides maart 2009).

De logische opbouw in de doorlopende lijn rekenen-algebra-trigonometrie-analyse-goniometrie moet terug. De analyse is al een paar eeuwen de basis van alle toegepaste wiskunde. Meer verlangt het hoger onderwijs niet (naast de statistiek voor de gamma richtingen).

Gecijferdheid beschouw ik als het vermogen om gehele getallen en decimale getallen van meer dan twee cijfers en breuken zonder hulp van een rekenmachine te kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen.

Mijn vmbo collega’s weten het: iemand met een diploma vmbo(T) en een hoog CE cijfer voor wiskunde valt niet onder deze definitie. En evenmin een groot deel van de havisten (denk aan de PABO’s) en het VWO (de maatschappijprofielen). Inmiddels is onder onze verantwoording een generatie van ongecijferden opgegroeid. Ik schat dat er zo’n vier miljoen ongecijferden onder de 25 jaar rondlopen in Nederland. Jonge mensen die ernstig in hun toekomstmogelijkheden zijn gefrustreerd. En elk jaar komen er 200.000 jonge ongecijferden bij. Er is crisis in het onderwijs. Er is één ding dat we missen in de onderwijsdebatten, aldus Marc Chavannes in het NRC (19 december 2008): een gevoel van urgentie, een blijk van crisisbewustzijn. Ieder jaar dat het zo doorgaat, is er één te veel. En zo is het.

Een schrijnende, maar onontkoombare conclusie dringt zich op: algebra is niet over te dragen aan ongecijferden. Eerst moet het rekenen bijgespijkerd worden. Die ervaring heb ik opgedaan op de VAVO, waar ik mijn examenklas VWO wiskunde B1 (en B12) ieder jaar opstart met een introductiecursus rekenen+algebra van 20 slu om een klein jaar later te constateren dat de helft van mijn leerlingen (helaas ook nogal wat geslaagden) nog steeds slecht rekent. Voor het voortgezet onderwijs (inclusief het vmbo-T), in alle eerste klassen, is een cursus van minstens 30 lessen nodig om de rekenvaardigheden van de kinderen op peil te brengen. Daarna pas kan een reparatiemodule algebra en gonio aangeboden worden.

Met die cursus brugklasrekenen zijn we er nog niet. In alle derde klassen (en de vierde klas vmbo-T) moet een vergelijkbaar programma algebra komen. Eerstegraads vergelijkingen en gebroken vergelijkingen. Wat rekenwerk in rechthoekige driehoeken (sinus, cosinus en tangens). De machtsregels. En voor het havo/vwo ook nog wat elementaire vergelijkingen met kwadraten en wortels. De rekenmachine en de context zullen in de tas moeten blijven. De uitgave van een boek (of boekjes) in die sfeer is een fluitje van een cent: de uitgevers stonden onlangs in de rij voor de uitgave van een niet-realistische rekenmethode. Met slechts twee auteurs, meer zijn er niet voor nodig. Ik herinner mij van een decennium geleden, dat Wim Groen vrijwel in zijn eentje beide bovenbouwdelen van Netwerk (HAVO wiskunde B) voor zijn rekening nam.


Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift.