http://www.benwilbrink.nl/projecten/vermenigvuldigen.htm
http://goo.gl/AdPPp
Gérard Vergnaud (1988). Multiplicative structures. In J. Hiebert and M. Behr: Number Concepts and Operations in the Middle Grades (pp. 141–61). National Council of Teachers of Mathematics. Reprinted in Thomas P. Carpenter, John A. Dossey & Julie L. Koehler (Ed.) (2004). Classics in Mathematics Education Research (84-97). National Council of Teachers of Mathematics.
A. Dekker, H. ter Heege & A. Treffers (1982). Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens wiskobas. Voorbeelden uit de onderwijspraktijk van geïntegreerd cijferen volgens progressieve schematisering.
Arthur J. Baroody (1999). The roles of estimation and the commutativity principle in the development of third graders’ mental multiplication. Journal of Experimental Child Psychology, 74, 157-193.
How children learn to quickly and accurately state the answer of (master) single-digit (basic) multiplication combinations such as 4 × 9 and 8 × 3 has long been debated. Thorndike (1922) argued that they did so by strengthening an association with the correct answer through repetitive practice. In his associative learning view, mental-arithmetic errors are basically the by-product of associative confusion (e.g., responding to 8 × 3 with 21, because a child had previously practiced and learned the closely related fact 7 × 3 = 21). Brownell (1935), on the other hand, argued that mastery was facilitated by discovering relationships among combinations and devising reasoning strategies, such as “If 8 × 3 = 24 and 8 × 3 = 3 × 8 (because multiplication is commutative), then 3 × 8 must be 24 also.” In his relational-learning view, mental-arithmetic errors can reflect inaccurate or incomplete reasoning processes. Although a considerable amount of research has been done on the topic of mental multiplication (see, e.g., reviews by Ashcraft, 1992, and by Baroody, 1994), important issues remain unresolved or in dispute. The aim of this study was to examine children’s mental multiplication in the earliest phase of development and over time in order to evaluate Siegler’s (1988) influential distribution-of-associations model and to provide a clearer picture of mental-arithmetic learning in general.
E. L. Thorndike (1922. The Psychology of Arithmetic. Macmillan. full text here
W. A. Brownell (1935). Psychological considerations in the learning and the teaching of arithmetic. In D. W. Reeve (Ed.), The teaching of arithmetic (pp. 1-50). Teachers College, Columbia University. pdf
M. H. Ashcraft, 1992. Cognitive arithmetic: A review of data and theory. Cognition, 44, 75-106.abstract
A. J. Baroody, 1994). An evaluation of evidence supporting fact-retrieval models. Learning and Individual Differences, 6, 1-36. abstract
R. S. Siegler (1988). Strategy choice procedures and the development of multiplication skill. Journal of Experimental Psychology: General, 117, 258-275. pdf
p. 157-158
Summation ( . . . ) The results of this study do indicate that nonretrieval processes play an important role in mental-arithmetic development and that their role needs further elucidation. ( . . . ) Finally, the results underscore that in order to obtain a clearer picture of mental-arithmetic development, including changes in the mental representation and processing of basic number combinations, researchers will need to devise methods that disentangle retrieved and nonretrieved responses.
p. 191
Met andere woorden: er is harde cognitieve theorie nodig, zoals het ACT-R model van John Anderson, met experimenten waar MRI-scans kunnen worden gemaakt. Die experimenten zijn gedaan, zie de website van ACT-R, met name werk van John Lebiere.
Koleen McCrink & Elizabeth S. Spelke (2010). Core multiplication in childhood. Cognition, 116, 204-216. pdf
Kees Buijs (2008). Leren vermenigvuldigen met meercijferige getallen. Proefschrift. pdf
Kent Buijs het werk van de hierboven vermelde Baroody? Hij noemt in zijn literatuurlijst een boek geredigeerd door Baroody en Dowker (2003) The Development of Arithmetic Concepts and Skills: Constructing Adaptive Expertise.. Erlbaum. Daar draagt Baroody wel hoofdstukken aan bij, maar niet over vermenigvuldigen. De sleutelpublicaties genoemd door Baroody (1988) hierboven, komen niet in de literatuurlijst van Buijs voor. De belangstelling van Buijs is kennelijk anders gericht dan die van cognitief psychologen die onderzoek doen naar rekenen in schoolse situaties. Dat kan. Maar zo beschouwd is het dan toch opvallend hoe topzwaar zijn literatuurlijst is met publicaties uit de Freudenthal-groep.
Merlyn J. Behr, Guershon Harel, Thomas Post & Richard Lesh (1994). Units of Quantity; A Conceptual Basis Common to Additive and Multiplicative Structures. pdf In G. Harel & J. Confrey (Eds.), The development of multiplicative reasoning in the learning of mathematics (pp. 123-180). Albany, NY: SUNY Press.
Guershon Harel & Jere Confrey (Eds.) (). The Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics.
Patrick Lemaire & Robert S. Siegler (1995). Four aspects of strategic change: Contributions to childrens’ learning of multiplication. Journal of Experimental Psychology: General, 124, 83-97. pdf
With experience, learning becomes faster and more accurate. Underlying these global changes, however, are a host of more specific changes involving which strategies are used, how often they are used, how they are executed, and how they are chosen.”
Anna O. Graeber, Dina Torosh & Roseanne Glover (1989). Preservice teachers' misconceptions in solving verbal problems in multiplication and division. Journal for Research in Mathematics Education, 20, 95-102. http://www.jstor.org/pss/749100 [Nog geen volledige pdf gevonden,. Besproken in 'Assessing teachers' mathematical knowledge, p. 128. Van belang: goede vraagvorm met doorvragen naar rechtvaardiging.]
M. Lampert (1986). Knowing, doing, and teaching multiplication. Cognition and Instruction, 3, 305-399. get free pdf of concept via ERIC The text of the report probably differs from that of the published article.
abstract (as published) This investigation analyzes the structure and process of multidigit multiplication. It includes a review of recent theories of mathematical knowledge and a description of several fourth-grade math lessons conducted in a regular classroom setting. Four types of mathematical knowledge are identified: intuitive, concrete, computational, and principled knowledge. The author considers each type in terms of its relation to instructional issues and suggests that instruction should focus on strengthening the connections among the four types. Illustrations from instructional sessions show children generating and testing hypotheses when salient connections are made between concrete materials and principled, computational practices. Implications for teaching are discussed along with suggestions for future research.
G. Lemoyne & C. Tremblay (1986). Addition and multiplication: Problem-solving and interpretation of relevant data. Educational Studies in Mathematics, 17, 97-123. abstract Onverwachte manieren waarop bekende typen woordproblemen toch moeilijk kunnen zijn. Het gaat om die spanning tussen wat eigenlijk bekend zou moeten zijn, en hoe dat in de praktijk toch niet zo blijkt te zijn; hoe complex eenvoudige contexten kunnen zijn. Het past bij de systematiek in mijn eigen hoofdstuk over problemen stellen (hfst 7 in Toetsvragen ontwerpen). Dit zou zomaar een artikel kunnen zijn dat tips oplevert voor wie leerlingen een crash-course voorbereiding op de Cito Eindtoets Basisonderwijs wil aanbieden. Ik ben benieuwd.
Although the solving of concrete and routine mathematical problems is based on the recall of known strategies and the number of possible strategies is limited, this task is nonetheless seen by students as a complex operation. This is mainly because of the diversity of the problem-solving contexts, the varied forms of expressing mathematical relationships, the actual structure of these relationships and, lastly, the varied measures that the numbers represent. These factors affect strategy recall processes and are frequently instrumental in transforming a routine problem into a creative problem, at least in the eyes of the student who has to solve it.
Floyd R. Vest (1971). A catalog of models for the operations of multiplication and division of whole numbers. Educational Studies in Mathematics, 3 220-229. [ook in de literatuurlijst van ‘Three dimensions’ Wat heeft Treffers ermee gedaan?] http://www.springerlink.com/content/j386t24662310x86/
“Module 11. ‘Calculating sticks’ (see figure 1.6). Topic Numbers and their properties: the algorith of multiplication b ‘calculating sticks’ is presented here as elaborated by John Napier in the 17th century (often called‘Napier’s rods’ or ‘Napier’s bones’ to make multiplying numbers an easier process. Pupils are asked to discover how this works, and to analyse and understand the algorithms of multiplication. Then they consider contemporary algorithms for multiplication and choose the most suitable for them.”
Ewa Lakoma, in Fauvel & Van Maanen (2000). History in Mathematics Education. The ICMI Study. Kluwer Academic Publishers, p. 22-23
Evertje Helena Kroesbergen (2002). Mathematics education for low-achieving students. Effects of different instructional principles on multiplication learning. Dissertation Universiteit Utrecht. pdf (niet genoemd in rapport-Lenstra, wel een later onderzoek samen met Van Luit en Maas, 2004, abstract)
Christian Lebiere and John R. Anderson (1998). Cognitive arithmetic. In John R. Anderson, Christian Lebiere, and others: The atomic components of thought (297-342). Lawrence Erlbaum. questia
Hans Freudenthal (1991). Revisiting Mathematics Education. China Lectures Kluwer. pdf van het hele boek
“In realistic instruction the learner is given tasks that proceed from reality, that is, from within the learner’s ever expanding living world, which in the first instance require horizontal mathematising. (..) One example: If, in the course of progressive algorithmising, column multiplication is first carried out as successive addition, in order to gradually be shortened (by using the tables of multiplication and the positional system), individual learners-- in the social context perhaps the whole group --- will eventually acquire the standard algorithm.”
par. 3.1.6 [China Lectures]
Hans Ter Heege (1985). The acquisition of basic multiplication skills. Educational Studies in Mathematics, 16 375-388. abstract “The research which my colleagues Dekker and Treffers and I performed during the late 1970’s concerned multiplication and division in column arithmetic. Among the things which struck us most was the observation that one of children’s most significant problems in column arithmetic is their insufficient memorisation of the basic skills. Why is it, was the question that arose, that some children easily learn the multiplication facts by heart, while for others it is a matter of extreme effort? ” Ter Heege heeft wel 15 kinderen kunnen interviewen, en doet daar verslag van. Kom op zeg, dat heeft niets met wetenschappelijk onderzoek te maken. Oké, laten we het houden op verkennend onderzoek. Heeft Ter Heege nog belangrijke theoretische of andere informatie? Hij zet een uitvoerig theoretisch kader op. Ik ga niet uitzoeken of de literatuur die hij noemt toevallig bij elkaar is geraapt, of niet. Geen vermelding van Gal’perin, wel Van Parreren (1971). (Van Parreren, mijn Utrechtse leermeester, heeft zich geworpen op Russische psychologie, maar de referentie is naar ‘Psychologie van het leren’ en daar komt geen Rus in voor, ook geen wiskunde, als ik alleen op mijn geheugen afga. Het is heel goed mogelijk dat het werk van Gal’perin via Van Parreren bij het team van het IOWO bekend is geworden. NB: Treffers zegt in 2005 dat het kolomrekenen berust op Gal’perin). Een uitvoerige beschouwing over kinderen die de eenvoudige tafels van vermenigvuldiging niet zouden kunnen leren. Opmerkelijk, omdat Begle in ditzelfde tijdschrift een aantal keren heeft gewezen op experimenteel werk van John Carroll dat laat zien dat vrijwel alle kinderen alles kunnen leren, mits er voldoende tijd voor is. Nee, Ter Heege noemt noch Carroll, noch Begle. Ter Heege laat zich op een dwaalspoor zetten door het opdreunen van de tafels als serieuze didactiek te behandelen (stroman). Het is een warrig betoog, ik kap ermee. RR-protagonisten beweren nergens dat het beheersen van de eenvoudige vermenigvuldigingen niet belangrijk is, dus het artikel gaat eigenlijk nergens over.
Hans Ter Heege (1983). The Multiplication Algorithm: An Integrated Approach. For the Learning of Mathematics, 3, 29-34. http://www.jstor.org/pss/40247833 Eerste zin: “The usual approach to the multiplication algorithm in the Netherlands consists of calculation devoid of understanding. ” Dan doet wiskobas het beter: “To develop a better approach to multiplication we ex-perimented with some new ideas, starting in a Grade 3 class in 1979. Our aim was to develop the algorithm in harmony with the children’s natural way of thinking. thinking. This article is a summary of the research. A full report with a detailed description of the results and procedures is avail-able (in Dutch). ” (p. 29) Pas in 1979? Ik geloof er niets van. Ter Heege heeft in 1978 in Educational Studies in Mathematics een artikeltje over vermenigvuldigen! Het rapport: A. Dekker, H. ter Heege, A. Treffers (1982). Cijferend vermenigvuldigen en delen volgens Wiskobas. OW&OC. Daar is online geen tekst van beschikbaar ((ik heb in de KB een kopie kunnen maken; via WWF een exemplaar kunnen bemachtigen). Ter Heege geeft in dit artikel toch wel een paar snippers kwantitatieve informatie. Ik heb ze uitgezeefd. Hij beschrijft de lessen nodig om te leren vermenigvuldigen. Zo beschrijft hij wat de leerlingen na vijftien lessen (hoe lang duurt zo’n les??) terecht brengen 62 × 45. Na 30 lessen is er een begin van een algoritmisch oplossen van 127 × 81. Is dit nu echt ‘beter’ dan wat een ervaren onderwijzer met een traditionele methode voor elkaar krijgt?
Hans ter Heege (1978). Testing the maturity for learning the algorithm of multiplication. Educational Studies in Mathematics, 9 75-83. Het is toch wel heel bijzonder dat een serieus tijdschrift een artikel zoals dit publiceert. Kopieer wat werkjes van leerlingen, plak er drie alinea’ conclusies aan vast, en nog een bladzijde frustratie wegschrijven. Klaar is Kees. “In our observations we noticed differences between the pupils. Fortunately we were not obliged to interpret these differences with a view to grading and prognosis. Observation and analysis provide more information than tests in general can do. ” Dat weten we dan ook weer. Geen enkel kwantitatief gegeven in dit artikeltje. Kwalitatieve gegevens zijn vrij-zwevend, want hoe heeft Hans zijn voorbeelden gekozen? Hans voegt op geheel eigen wijze een bibliografie van vijf titels toe, geen van alle in de tekst van het artikel genoemd. Wat moeten we hiermee? Is dit een toevallige misser in het werk van het IOWO? Hans volgt het stramien van een artikel van andere Hans (Freudenthal) even eerder: Hans Freudenthal (1977). Bastiaan’s experiments on Archimedes’ principle. Educational Studies in Mathematics, 8 3-16. Daar kan ik evenmin een badkuip mee vol laten lopen. Ter Heege krijgt een verwijzing in: Constance Kamil & Ann Dominic (2002). To teach or not to teach algorithms. The Journal of Mathematical Behavior, 16, 51-61. Gezien het abstract is dit een leuk onderzoekje over effecten van geleerd hebben te algoritmiseren, versus dat juist niet geleerd hebben. De eerste groep leerlingen (klas 2, 3, 4) rekent beroerder. (12 klassen, leerlingen individueel ondervraagd). Helaas zit dit tijdschrift niet in het JSTOR-bestand. Ik wil wel graag precies weten hoe dit onderzoekje in elkaar zit. Heeft iemand een pdf voor me?
Hans ter Heege (2005). Over memoriseren — ontwikkelingen in het onderwijs in vermenigvuldigen —. In: H. ter Heege, T. Goris, R. Keijzer & L. Wesker (Red.) (2005). Freudenthal 100. Freudenthal Instituut, Universiteit Utrecht. pdf
A. W. Bouman (2011). Hoofdrekenen. Euclides, 87 #2, 63-64.
De kruismethode is een oude Indische methode om uit het hoofd te vermenigvuldigen. Bouman doet 58 × 93. De eenheden is simpel: 3 × 8, 4 opschrijven, 2 onthouden. De tientallen: vermenigvuldigen met de eenheden, dus 8 × 9 + 3 × 5 + 2 (onthouden) levert op 9 opschrijven, acht onthouden. Tenslotte de tientallen met de tientallen vermenigvuldigen: 5 × 9 + 8 (onthouden): opschrijven 53. Oké. Mooi algoritme. 789 × 456 is wat ingewikkelder :-), zie het schema blz. 64. Maar goed, het gaat er niet om dat leerlingen dit soort gevorderd hoofdrekenen zouden moeten leren.
Donald E. Knuth (1981 2nd). The art of computer programming. Volume 2, Seminumerical algorithms. Addison-Wesley. isbn 0201038226 Annotatie: algoritmen.htm (Random numbers - Arithmetic)
Over handig vermenigvuldigen, in dit geval zo snel mogelijk vermenigvuldigen van grote getallen op de computer, zie paragraaf 4.3.3. How fast can we nultiply? (278-301).
Miriam Rosenberg-Lee, Marsha C. Lovett & John R. Anderson (2009). Neural correlates of arithmetic calculation strategies. Cognitive, Affective, & Behavioral Neuroscience, 9(3), 270-285. get pdf
Marije Fagginger Auer (2016). Solving multiplication and division problems. Latent variable modeling of students' solution strategies and performance. Dissertation Leiden University. isbn 9789462993433 partly open access [Supervisor: W.J. Heiser Co-Supervisor: C.M. van Putten, M. Hickendorff, A. A. B&eacte;guin]
Loel Nicholas Tronsky (2016). The Obligatory Activation of Practiced Complex Multiplication Facts and What it Tells Us About Models of Arithmetic Processing. Journal of Numerical Cognition jnc.psychopen.eu
pdf
Grade-related differences in strategy use in multidigit division in two instructional settings Marian Hickendorff, Joke Torbeyns and Lieven Verschaffel (2017). researchgate
http://www.benwilbrink.nl/projecten/vermenigvuldigen.htm
http://goo.gl/AdPPp