Rekenproject: Getalbegrip

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden — ‘cijferen’
    optellen — aftrekken — vermenigvuldigen — delen — breuken — meten
    meetkunde — algebra en rekenen — kans (en combinaties)
    materialen
    woordproblemen

A big problem in discourse on math education is its shallowness. An extreme yet important example is the notion that basic arithmetic is not that crucial anymore since the arrival of the Japanese pocket calculator. This notion denies the importance of a good number sense in daily life, in taking care of one’s health, also one’s financial health, as well as in participating in one’s community (vocational as well as in other communities) (see research by Reyna, below). Yes, it is more difficult to imagine the predicaments of people with a lack numeracy, yet the problem is the same as that with straigh or functional analphabetism: people feel and really are shut out from participating fully in their communities. The economic costs of lack of number sense might easily be staggering (as percentage of GNP).

Most of the research publications (mentioned on this page) are on the development of number sense in youg children. That is not exactly the notion of number sense that I am aiming at in the exposition above, yet they might be relevant in developing a broader conception of number sense, number sense as one important goal of math education, number sense in adult life.

Valerie F. Reyna, Wendy L. Nelson, Paul K. Han & Nathan F. Dieckmann (2009). How Numeracy Influences Risk Comprehension and Medical Decision Making. Psychological Bulletin, 135, 943-973. Open access http://goo.gl/JuJ1zD

Anders dan de goeroes van de 21e eeuw ons willen doen geloven, gaat het dus niet om creativiteit en probleemoplossen, maar om zoiets eenvoudigs als getalbegrip. Dan ligt het ook voor de hand om te opperen dat wat slecht is voor de eigen gezondheid, dat ook is voor de eigen economie, en voor de economie van ons allen.

Waar gaat het over, over contextproblemen? Jawel, en tamelijk ingewikkelde ook nog (wie het laatste boek van Kahneman [Thinking fast and slow] heeft gelezen, zal een en ander herkennen), maar daarnaast ook over eenvoudiger zaken, bijvoorbeeld of 0,001 kleiner is dan een kans van een op honderd.

Een probleem dat ik in dit artikel zie is het volgende: er worden veel onderzoekresultaten aangehaald die laten zien dat volwassenen met gering getalbegrip kwetsbaarder zijn voor allerlei vormen van misduiding van situaties en getallen. Hier is een andere verklaring uiteraard dat die grotere kwetsbaarheid samengaat met geringere intellectuele capaciteiten; ik heb bij het diagonaal doornemen niet gezien dat de auteurs dit probleem bespreken. Hoe dat ook zij: geringere intellectuele capaciteiten hoeven het onderwijs niet te beletten ook deze leerlingen tot een behoorlijk niveau van getalbegrip te brengen.

Een ander probleem dat ik bij herhaling tegenkom: de testjes en toetsen op getalbegrip gebruiken vooral contextopgaven, of op zijn minst benoemde getallen. Ik ben bang dat in de meeste van deze tests geen onderscheid is gemaakt tussen het testen op getalbegrip als zodanig, en het aanpakken van contextopgaven. Ik ben benieuwd of ik in de literatuur bij dit artikel daar uitzonderingen op tegenkom. Ik wil dolgraag weten of onderwijs dat gericht is op getalbegrip als zodanig, als nevenopbrangst heeft dat dan ook contextopgaven op eenvoudige wijze kunnen worden aangepakt omdat het werken met de getallen zelf geen bijzondere aandacht behoeft.

Bij lezing van dit artikel weten we weer waar we het allemaal voor doen. Dit lijkt me absoluut een sleutelpublicatie voor de vraag waar het makkelijk om kunnen gaan met getallen en hun eenvoudige bewerkingen eigenlijk nuttig voor is. Want deze auteurs halen het echt niet in hun hoofd om de rekenmachine als oplossing in stelling te brengen!

Het is hiermee nog een open vraag of basis- en voortgezet onderwijs dat is ingericht naar de dogmatiek van het realistisch rekenen, de leerlingen beter toerust op hun volwassen leven dan rekenonderwijs dat is gericht op rekenvaardigheid als zodanig, los van toepassingen. Dit is natuurlijk het transfer-probleem. In de filosofie van het constructivisme, en van Adri Treffers, zou het transferprobleem kwijt zijn te spelen door van meet af aan het rekenonderwijs in contexten te plaatsen. Wie daar ook maar even verder op doordenkt, zal moeten constateren dat het onzin is. Waarschijnlijk is het transferprobleem onoplosbaar zolang het als transferprobleem, en niet als leerprobleem wordt beschouwd. Dat klinkt raadselachtig, maar er is niet meer mee bedoeld dan dat leren bijna per definitie leren in nieuwe situaties is. Om transferproblemen te begrijpen, is inzicht in leerprocessen nodig. Zie verder het boek van Stellan Ohlsson (2011) ‘Deep Learning’ aantekeningen daarbij.

• To minimize the damaging effects of low numeracy, research on how people process numerical information, and how such processing can be improved, is essential. These questions—about how information is processed and can be improved—are fundamentally causal. However, most work on health numeracy has been descriptive rather than concerned with causal mechanisms, and we therefore lack sufficient understanding of how to improve numeracy in people facing various medical decisions. Thus, to resolve the dilemma of health numeracy—that people are swamped with numerical information that they do not understand, and yet they have to make life-and-death decisions that depend on understanding it—theory-driven research that tests causal hypotheses is of the first importance. Therefore, a major goal of this review is to spur interest in conducting such research.

• Over de rol van verschillen in intelligentie bij verschillen in gezondheid valt wel meer te onderzoeken, bijv. Deary:
• I. J. Deary (2012). Looking for 'system integrity' in cognitive epidemiology. Gerontology, 58, 545-553. free access
  Background: In the last decade, an increasing body of empirical evidence has gathered to establish an association between higher cognitive ability in youth and later mortality, less morbidity and better health. This field of research is known as cognitive epidemiology. The causes of these associations are not understood. Objective: Among the possible explanations for the associations is the suggestion that they might, in part, be accounted for by general bodily ‘system integrity’. That is, scoring well on cognitive ability tests might be an indicator of a more general tendency for complex systems in the body to be efficient. The construct of system integrity is critically assessed.

  from the abstract

• See also Morsanyi et al (2014)
• Silvia H. Barcellos,a,1 Leandro S. Carvalho,a and Patrick Turley (2018). Education can reduce health differences related to genetic risk of obesity. Proc Natl Acad Sci U S A. 2018 Oct 16; 115(42): E9765–E9772.Published online 2018 Oct 2. doi: 10.1073/pnas.1802909115 open "Our results challenge the notion of genetic determinism and underscore the role that social policy can have in mitigating possible health differences arising from genetic background."

Kinga Morsanyi, Chiara Busdraghi and Caterina Primi (2014). Mathematical anxiety is linked to reduced cognitive reflection: a potential road from discomfort in the mathematics classroom to susceptibility to biases. Behavioral and Brain Functions 2014, 10:31 doi:10.1186/1744-9081-10-31 open access

• It is known that, at the population level, low numeracy is associated with reduced economic productivity [6], higher rates of unemployment, mental and physical illness, as well as higher rates of arrest and incarceration [7]. Low numeracy also impairs risk comprehension, and leads to biases in judgment and decision making (see [8,9] for reviews).

  from the Background

  [6] Williams J, Clemens S, Oleinikova K, Tarvin K: The Skills For Life Survey. A National Needs And Impact Survey Of Literacy, Numeracy And ICT Skills. London: Department for Education and Skills (UK); 2003. OpenURL

  [7] Gross J, Hudson C, Price D: The Long Term Costs Of Numeracy Difficulties. London, UK: Every Child a Chance Trust and KPMG; 2009. OpenURL

  [8] Gigerenzer G, Gaissmaier W, Kurz-Milcke E, Schwartz LM, Woloshin S: Helping doctors and patients make sense of health statistics. https://www.stat.berkeley.edu/~aldous/157/Papers/health_stats.pdf Psychol Sci Public Interest 2008, 8:53-96. OpenURL

  [9] Reyna VF, Nelson W, Han P, Dieckmann NF: How numeracy influences risk comprehension and medical decision making. Psychol Bull 2009, 135:943-973. PubMed Abstract | Publisher Full Text | PubMed Central Full Text OpenURL

Sleutelpublicaties zijn o.a. van Susan Carey, zie haar pdf.

Carmen Brankaer , Pol Ghesquière & Bert DeSmedt (2014). Numerical magnitude processing deficits in children with mathematical difficulties are independent of intelligence. Research in Developmental Abilities, 35, 2603-2613. abstract [researchgate.net for the article itself]

M. G. Tosto cs. (2014). Why do we differ in number sense? Evidence from a genetically sensitive investigation. Intelligence, 42, 35-46. free access

Magda Praet & Annemie Desoete (2014). Enhancing young children’s arithmetic skills through non-intensive, computerised kindergarten interventions: A randomised controlled study. Teaching and Teacher Education, 39, 56-65. open access en abstract

Lance J. Rips (2013). How many is a zillion? Sources of number distortion. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 39, 1257-1264. concept

Pui-Wa Lei, Qiong Wu, James C. DiPerna and Paul L. Morgan (2009). Developing Short Forms of the EARLI Numeracy Measures : Comparison of Item Selection Methods. Educational and Psychological Measurement, 69, 825-842. abstract

Altijd interessant om te bestuderen hoe getalbegrip wordt geoperationaliseerd en testbaar gemaakt. Ik moet dit wel eens bestuderen, maar nu even niet.

Purpura, D. J., Baroody, A. J., & Lonigan, C. J. (2013, March 18). The Transition From Informal to Formal Mathematical Knowledge: Mediation by Numeral Knowledge. Journal of Educational Psychology. Advance online publication. doi: 10.1037/a0031753 researchgate.net

Andreas Obersteiner, Kristina Reiss & Stefan Ufer (2013). How training on exact or approximate mental representations of number can enhance first-grade students' basic number processing and arithmetic skills. Learning and Instruction, 23, 125-135. abstract

Meijke E. Kolkman, Evelyn H. Kroesbergen & Paul P.M. Leseman (2013). Early numerical development and the role of non-symbolic and symbolic skills. Learning and Instruction, 25, 95-103. abstract

Dit onderzoek is van belang voor de didactiek van het rekenonderwijs in groep twee en drie. Mijn werkhypothese is dat het rekenonderwijs in groep drie bepalend is voor de kwaliteit van het rekenonderwijs, en vooral ook voor de eerlijkheid van dat rekenonderwijs. Krijgen alle leerlingen de gelegenheid hun rekenvaardigheid goed te ontwikkelen, of maakt de school al vroeg onderscheid tussen goudhaantjes en lelijke eendjes (als de school dat doet, dan valt te vrezen dat het niets wordt met die lelijke eendjes, die anders prachtige zwanen hadden worden).

Meijke E. Kolkman (2013). Numerical development and the role of working memory. Reken erop! Ontwikkeling van numerieke vaardigheden en de rol van werkgeheugen (met een samenvatting in het Nederlands). Proefschrift Utrecht. ophalen pdf

Booth, J. L., & Siegler, R. S. (2008). Numerical magnitude representations influence arithmetic learning. Child Development, 79, 1016e1031. http://dx.doi.org/ 10.1111/j.1467-8624.2008.01173.x researchgate.net Grade 1. "Thus, representations of numerical magnitude are both correlationally and causally related to arithmetic learning."

Gilmore, C. K., McCarthy, S. E., & Spelke, E. S. (2010). Non-symbolic arithmetic abilities and mathematics achievement in the first year of formal schooling. Cognition, 115, 394e406. http://dx.doi.org/10.1016/j.cognition.2010.02.002 info

Daniel C. Hyde, Saeeda Khanum & Elizabeth S. Spelke (2014). Brief non-symbolic, approximate number practice enhances subsequent exact symbolic arithmetic in children. Cognition, 131, 92-107. doi:10.1016/j.cognition.2013.12.007 free access

Jordan, N. C., Glutting, J., & Ramineni, C. (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grade. Learning and Individual Differences, 20, 82e88. http://dx.doi.org/10.1016/j.lindif.2009.07.004.

Mundy, E., & Gilmore, C. K. (2009). Children’s mapping between symbolic and nonsymbolic representations of number. Journal of Experimental Child Psychology, 103, 490e502. http://dx.doi.org/10.1016/j.jecp.2009.02.003

Inglis, M., Attridge, N., Batchelor, S., & Gilmore, C. (2011). Non-verbal number acuity correlates with symbolic mathematics achievement: but only in children. Psychonomic Bulletin & Review, 18, 1222e1229. http://dx.doi.org/10.1016/j.neuron.2006.11.022.

Alex Hebra (2003). Measure for measure. The story of imperial, metric, and other units. The Johns Hopkins University Press. books.google isbn 0801870720

Benoemde getallen! Ik heb nog geen tijd genomen om er wat beter in te kijken. Bladerend viel me de behandeling op van dimensieloze formules, zeg maar werken met benoemde getallen zonder ze noodzakelijk ook te hoeven benoemen. Voor het rekenonderwijs niet oninteressant. Een gedachte die mij ook al snel bekroop bij het doorbladeren: er zijn nogal wat onderscheiden eenheden, dus wat is eigenlijk nut en noodzaak van het behandelen van de meest voorkomende eenheden in het rekenonderwijs? Dat is dus de klassieke vraag of leerlingen niet eerst het rekenen tot op grote hoogte zouden moeten beheersen, voordat zij worden ingeleid in het werken met benoemde getallen? Zie overigens voor het thema van meten mijn webpagina hier.

Ellen Peters & Par Bjalkebring (2014). Multiple Numeric Competencies: When a Number Is Not Just a Number. Journal of Personality and Social Psychology, Oct 6 , 2014, No Pagination Specified. abstract

• form the abstract: We conclude that numeric competencies should be used in a more targeted fashion to understand their multiple mechanisms in people’s evaluations, choices, and life outcomes.

Sonia L. J. White, Dénes Szücs & Fruzsina Soltész (2012). Symbolic number: The integration of magnitude and spatial representations in children agd 6 to 8 years. Frontiers in Psychology, pdf.

A. M. Leslie, Rochel Gelman & C. R. Gallistel (2008). The generative basis of natural number concepts Trends in Cognitive Sciences, 12, 213-218. pdf

C. R. Gallistel & Rochel Gelman (2005) Mathematical Cognition In K Holyoak & R. Morrison The Cambridge handbook of thinking and reasoning (559-588). Cambridge University Press. pdf

Steven T. Piantadosi, Joshua B. Tenenbaum & Noah D. Goodman (2012). Bootstrapping in a language of thought: A formal model of numerical concept learning. Cognition, 123 199-217. pdf

Kathryn Davidson, Kortney Eng & David Barner (2012). Does learning to count involve a semantic induction? Cognition, 123 162-173. pdf

Sashank Varma & Daniel L. Schwartz (2011). The mental representation of integers: An abstract-to-concrete shift in the understanding of mathematical concepts. Cognition, 121 363-385. abstract

Robert S. Siegler, Clarissa A. Thompson & Michael Schneider (2011 accepted). An integrated theory of whole number and fractions development. Cognitive Psychology. pdf

• Het onderzoek gaat over breuken, maar maakt gebruik van wat over getalbeheersing van gehele getallen uit onderzoek bekend is. Wat ik eruit wil halen: 1) van wie en wat is dat onderzoek over getalbeheersing van gehele getallen? 2) kennelijk is getalbegrip een belangrijke onderliggende ‘vaardigheid’ die bepalend is voor wat de leerling klaar krijgt met rekenen. Idem breukbegrip.
• Waar het specifiek om gaat: getalgrootte, plaats op de getallenlijn. Hoe zit dat precies?
• Hoe sterk is dit een voorwaarde voor rekenen, inclusief breukrekenen?
• Op welke manier is breukrekenen voorwaardelijk voor algebra etc.?
• Hoe beroerd is het breukbegrip bij 12- en 18-jarigen?

Ian M. Lyons & Sian L. Beilock (2011). Numerical ordering ability mediates the relation between number-sense and arithmetic competence. Cognition, 121, 256-261. pdf

Julie Sarama & Douglas H. Clements (2009). Early Childhood Mathematics Education Research. Learning Trajectories for Young Children. Routledge.

• Hoofdstuk 2: Quantity, number, and subitizing.
• Chapter 3: Verbal and object counting

Nancy C. Jordan, Joseph Glutting & Chaitanya Ramineni (2010). The importance of number sense to mathematics achievement in first and third grades. Learning and Individual Differences, 20, 82-88.

Susan D. Nickerson & Ian Whitacre (2010): A Local Instruction Theory for the Development of Number Sense, Mathematical Thinking and Learning, 12:3, 227-252. abstract

• De auteurs behoren tot de fanclub van Koeno Gravemeijer, design research en al. Dat maakt het interessant om de theoretische noties in dit artikel te vergelijken met die van Siegler, bijvoorbeeld.

Mary K. Hoard, David C. Geary & Carmen O. Hamson (1999). Numerical and arithmetical cognition: Performance of low- and average-IQ children. Mathematical Coognition, 5, 65-91. pdf

Ian M. Lyons & Sian L. Beilock (2011). Numerical ordering ability mediates the relation between number-sense and arithmetic competence. Cognition, 121, 256-261 pdf

David Barner & Jesse Snedeker (2005). Cognition, 97, 41-66. pdf

Jennifer S. Lipton & Elizabeth Spelke (2006). Preschool children master the logic of number word meanings. Cognition, 98, B57-B66. abstract

Catherine Sophian & Yun Chu (2008). How do people apprehend large numerosities? Cognition, 197, 460-478. abstract

Alexis Palmer & Arthur J. Baroody (2011). Blake’s development of the number words “one”, “two” and “three”. Cognition and Instruction, 29, 265-296. abstract

Ian M. Lyons & Sian L. Beilock (2011 in press). Numerical ordering ability mediates the relation between number-sense and arithmetic competence. Cognition, 121. abstract

Gavin R. Price, Michèle M. M. Mazzocco & Daniel Ansari (2013). Why Mental Arithmetic Counts: Brain Activation during Single Digit Arithmetic Predicts High School Math Scores. The Journal of Neuroscience, 33, 156 –163. pdf

Might be kind of proof that losing automaticity in basic arithmetics might harm further mathematical work.

Stephanie Bugden & Daniel Ansari (2011). Individual differences in children's mathematical competence are related to the intentional but not automatic processing of Arabic numerals. Cognition, 118, 32-44. abstract, Numerical Cognition Laboratory : publications

Misschien is er wel een verband met dit onderzoek html [via De Bruyckere, 30-1-2014].

Stanislas Dehaene (1997). The Number Sense. How the Mind Creates Mathematics. Oxford University Press. isbn 0195110048 info newer revised edition

Jean Piaget, Kurt Resag, Arnold Fricke, P. M. van Hiele & Karl Odenbach (1970/1973). Rekenonderwijs en getalbegrip. Bosch & Leuning. Vertaling en bewerking door J. Snijders. Oorspronkelijke titel: Rechenunterricht und Zahlbegriff. Westermann Verlag.

Karl Odenbach: Ter inleiding.

Kurt Resag: De vorming van het getalbegrip bij het kind.

Jean Piaget: De ontwikkeling van het getalbegrip bij het kind.

Arnold Fricke: Operatief denken in het rekenonderwijs als toepassing van de psychologie van Piaget.

P. M. van Hiele: Piagets bijdrage tot ons inzicht in de kinderlijke vorming van het getalbegrip.

Arnold Fricke: Operatief getalbegrip.

Kristin Krajewski & Wolfgang Schneider (2009). Early development of quantity to number-word linkage as a precursor of, mathematical school achievement and mathematical difficulties: Findings, from a four-year longitudinal study. Learning and Instruction, 19, 513-526 abstract

Kristen P. Blair, Miriam Rosenberg-Lee, Jessica M. Tsang, Daniel L. Schwartz & Vinod Menon (2012). Beyond Natural Numbers: Negative Number Representation in Parietal Cortex. Frontiers in Human Neuroscience, volume 6 html

Getallenlijn

Paul Ernest (1985). The number line as a teaching aid. Educational Studies in Mathematics, 16, 411-424. abstract

Over de getallenlijn. Paul Ernest is een sociaal constructivist, dat is dan weer minder. . Nuttig kader.

• “In view of the widespread use of number line diagrams and models in school mathematics, the area needs further investigation and research. This necessity is underlined by some of the problems and controversy reported above.”

Michael Schnieder, Roland H. Grabner & Jennifer Paetsch (2009). Mental Number Line, Number Line Estimation, and Mathematical Achievement: Their Interrelations in Grades 5 and 6Journal of Educational Psychology, 101, 359-372. (getallenlijn)

Véronique Izard & Stanislas Dehaene (2008). Calibrating the mental number line. Cogniiton, 106, 1221-1247. pdf of online first - abstract

Rafael Núñez, D. Doan & Anastasia Nikoulina (2011). Squeezing, striking, and vocalizing: Is number representation fundamentally spatial? Cogniiton, 120, 225-235. pdf

McCrink, K., Dehaene, S., & Dehaene-Lambertz, G. (2007) Moving along the number line: The case for operational momentum. Perception and Psychophysics, 69(8), pp. 1324-1333. pdf download

Tellen

I. Lyons & S. L. Beilock (2009). Beyond quantity: Individual differences in working memory and the ordinal understanding of numerical symbols. Cognition, 113, 189-204.

Henry Railo, Mika Koivisto, Antti Revonsuo & Minna M. Hannula (2008). The role of attention in subitizing. Cogniiton, 107, 82-104. abstract

Sharon Sui Ngan Ng & Nirmalo Rao (2010). Chinese number words, culture, and mathematics learning. Review of Educational Research, 80, 180-206. abstract

Kees Buys (1991). Telactiviteiten voor kleuters. Bekadidact.

Dit is een boek voor leerkrachten. Het wordt waarschijnlijk ook op een aanta pabo’s gebruikt. Het boek kan waarschijnlijk dienen als voorbeeld van rekenactiviteiten in de eerste twee groepen van het basisonderwijs in Nederland. Een interessant aspect van de didactische uitwerkingen van Kees Buijs (zijn naam komt alleen op kaft en titelblad voor, gespeld met Griekse y) zijn de uitbundige contexten die hij construeert.

Barbara W. Senecka & Susan Carey (2008). How counting represents number: what children must learn and when they learn it. Cognition, 108, 662-674. abstract

Catherine Sophian (2007). The origins of mathematical knowledge in childhood. Lawrence Erlbaum.

Chapter 2: Children's counting. pp. 15-41.

Chapter 3: Quantitative comparison without numbers. pp. 42-63.

Chapter 4: Understanding units. pp. 64-83.

Sophian, C. (2004). A prospective developmental perspective on early mathematics instruction. In Clements, D. H., Sarama, J., &.DiBiase, A.-M. (Eds.) Engaging young children in mathematics: Findings of the 2000 national conference on standards for preschool and kindergarten mathematics education. Erlbaum. [nog niet gezien, googel op de tekst van het abstract om het hoofdstuk in google.books te kunnen lezen] abstract A prospective developmental perspective is concerned with the impact of early mathematics instruction on aspects of mathematics learning that become important later in development. The modes of instruction that produce the greatest immediate learning may not always be the ones that are best for the long term. Accordingly, instructional standards should be directed toward maximizing the long-term as well as the short-term effectiveness of early mathematics instruction. I will focus on the arena of fraction learning to develop this idea. I will suggest that much of the difficulty in fraction learning stems from conceptual issues that are not unique to fractions, but that have their origins in the way very young children think about counting and whole-number quantities.

Camilla K. Gilmore, Shannon E. McCarthy & Elizabeth S. Spelke (2010). Non-symbolic arithmetic abilities and mathematics achievement in the first year of formal schooling. Cognition, 115, 394-406. abstract

Bonawitz, EB, Shafto P, Gweon H, Goodman N, Spelke E, Schulz LE. In Press.  The double-edged sword of pedagogy: Teaching limits children?s spontaneous exploration and discovery. Cognition. mention

Hyde, DC, Spelke ES. 2011.  Neural signatures of number processing in human infants: Evidence for two core systems underlying numerical cognition. Developmental Science. 14(2):360-371. abstract

Jean-Philippe van Dijck, Wim Gevers & Wim Fias (2009). Cognition, 113, 248-253 abstract

Maria-Dolores de Hevia & Elizabeth S. Spelke (2009). Spontaneous mapping of number and space in adults and young children. Cognition, 110, 198-207. abstract

Jordan, N. C., Glutting, J., Dyson, N., Hassinger-Das, B., & Irwin, C. (2012, June 18). Building Kindergartners' Number Sense: A Randomized Controlled Study. Journal of Educational Psychology. Advance online publication. doi: 10.1037/a0029018

Wim Fias, Marc Brysbaert, Frank Geypens, and Géry d’Ydewalle (1996). The Importance of Magnitude Information in Numerical Processing: Evidence from the SNARC Effect. Mathematical Cognition, 1, 95-110. pdf

Tijdschrift: Numeracy. http://scholarcommons.usf.edu/numeracy/

Valérie Camos & Pierre Barrouillet (2004). Adult counting is resource demanding. British Journal of Psychology, 95, 19-30. abstract

Verschillende theorieën over de mentale belasting bij het tellen. Ik heb geen afzonderlijke webpagina voor tellen, vandaar de plaatsing bij getalbegrip. Interessante literatuurlijst. Zal ik die maar eens hier plaatsen?

Anderson, J. R. (1993). The rules of the mind. Hillsdale, NJ: Erlbaum. 
Anderson, J. R., & Lebiere, C. (1998). The atomic components of thought. Mahwah, NJ: Erlbaum.
Anderson, J. R., Reder, L. M., & Lebiere, C. (1996). Working memory: Activation limitations on
retrieval. Cognitive Psychology, 30, 221-256.
Baddeley, A. D. (1990). Human memory, theory and practice. Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Beckwith, M., & Restle, F. (1966). Process of enumeration. Psychological Review, 73, 437-444.
Camos, V. (1998). La gestion d’une activité complexe: L’exemple du dénombrement. Approche
développementale [Managing a complex activity: The example of counting. Developmental
approach]. Unpublished doctoral dissertation, Université de Bourgogne.
Camos, V. (2003). Coordination process in counting. International Journal of Psychology, 38,
24-36.
Camos, V., Barrouillet, P., & Fayol, M. (2001). Does the coordination of verbal and motor
information explain the development of counting in children? Journal of Experimental
Child Psychology, 78(3), 240-262.
Camos, V., Fayol, M., & Barrouillet, P. (1999). Le dénombrement chez l’enfant: Double-tâche ou
procédure? [Counting in children: Dual-task or procedure?]. L’Année Psychologique, 99,
623-645 [in French].
Case, R. (1985). Intellectual development: Birth to adulthood. New York: Academic Press.
Case, R. (1992). The mind’s staircase: Exploring the conceptual underpinnings of children’s
thought and knowledge. Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Case, R., Kurland, M., & Goldberg, J. (1982). Operational efficiency and the growth of short-term
memory span. Journal of Experimental Child Psychology, 33, 386-404.
Cowan, N. (1988). Evolving conceptions of memory storage, selective attention, and their mutual
constraints within the human information processing system. Psychological Bulletin, 104,
163-191.
Cowan, N. (1995). Attention and memory: An integrated framework. Oxford: Oxford University
Press.
Crannel, C.W., & Parrish, J. M. (1957). A comparison of immediate memory span for digits, letters,
and words. The Journal of Psychology, 44, 319-327.
Dempster, F. N. (1981). Memory span: Sources of individual and developmental differences.
Psychological Bulletin, 89, 63-100.
Fuson, K. C. (1988). Children’s counting and concepts of number. New York: Springer.
Halford, G. S. (1993). Children’s understanding. Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Halford, G. S. (1999). The properties of representations used in higher cognitive processes:
Developmental implications. In Sigel, I. E. (Ed.). Development of mental representation:
Theories and applications (pp. 147-168). Mahwah, NJ: Erlbaum.
Lovett, M. C., Reder, L. M., & Lebiere, C. (1999). Modeling working memory in a united architecture: An ACT-R perspective. In A. Miyake & P. Shah (Eds.). Models of working memory: Mechanisms of active maintenance and executive control (pp. 135-182). Cambridge: Cambridge University Press.[PSYCHO C3.0.-159]
Potter, M. C., & Levy, E. I. (1968). Spatial enumeration without counting. Child Development, 39,
265-272.
Towse, J. N. (1993). Cognitive processes in object counting. Unpublished doctoral dissertation,
University of Manchester.
Towse, J. N., & Hitch, G. J. (1995). Is there a relationship between task demand and storage space
in tests of working memory capacity? Quarterly Journal of Experimental Psychology, 48A,
108-124.
Towse, J. N., & Hitch, G. J. (1997). Integrating information in object counting: A role for a central
coordination process? Cognitive Development, 12, 393-422.
Towse, J. N., Hitch, G. J., & Hutton, U. (1998). A reevaluation of working memory capacity in
children. Journal of Memory and Language, 39, 195-217.
Towse, J. N., Hitch, G. J., & Hutton, U. (2000). On the interpretation of working memory span in
adults. Memory and Cognition, 28, 341-348.
Tuholski, S. W., Engle, R. W., & Baylis, G. C. (2001). Individual differences in working memory
capacity and enumeration. Memory and Cognition, 29, 484-492.

Kevin F. Miller & James W. Stigler (1991). Meanings of Skill: Effects of Abacus Expertise on Number Representation. Cognition and Instruction, 8, 29-67. abstract: http://www.jstor.org/discover/10.2307/3233509

Kucian K, Grond U, Rotzer S, Henzi B, Schönmann C, Plangger F, Gälli M, Martin E, von Aster M (2011). Mental number line training in children with developmental dyscalculia. NeuroImage, 57, 782-795. abstract

T. Käser, K. Kucian, M. Ringwald, G. Baschera, M. von Aster, M. Gross (2011?). Therapy software for enhancing numerical cognition. pdf

• abstract We present a novel software for the acquisition of central components of number processing and representation as well as mathematical understanding. The software is based on current neurocognitive concepts and insights. The learning process is supported through multimodal cues encoding different properties of numbers. The learning environment features 3D graphics and interaction components and thus allows immersion in a playful 3D world. To offer optimal learning conditions, a Bayes net user model completes the software and allows adaptation to a specific user. A first version of the software will be tested with normally achieving and dyscalculic children within a multi-center study in Zurich, Berlin, and Potsdam starting in 2011.

Samantha Bouwmeester & Peter P. J. L. Verkoeijen (2012): Multiple Representations in Number Line Estimation: A Developmental Shift or Classes of Representations? Cognition and Instruction, 30, 246-260. abstract

Geary DC, Hoard MK, Nugent L, Bailey DH (2013) Adolescents’ Functional Numeracy Is Predicted by Their School Entry Number System Knowledge. PLoS ONE 8(1): e54651. doi:10.1371/journal.pone.0054651 article

• Dit artikel gaat over strategiegebruik, en sluit zodoende mooi aan bij de analyse van Kees van Putten en Marian Hickendorff op PPON-data
• Ik heb het artikel een keer doorgelezen. Het enige probleem waar ik op stuitte was de allerlaatste zin:
  "For now, the implication is that interventions to improve children’s early understanding of the relations among numerals need to be implemented before the start of schooling or in first grade, and fortunately such interventions are being developed [Clements DH, Sarama J, Spitler ME, Lange AA, Wolfe CB (2011), Dyson, N, Jordan, N.C, & Glutting, J. (in press) (beide: zie hierbeneden)]."

  Dat kunnen de auteurs niet weten. De onderzoeken waar ze naar verwijzen moet ik nog ophalen.

  Het probleem met te dit type te snelle conclusies is dat ze vaak niet juist blijken. Zo zijn er in de zestiger jaren grote compensatieprogramma’s geweest, met winst op IQ-tests als criterium. En ja hoor: die winst was aantoonbaar. Jammer alleen dat die winst niet bleek te beklijven: bij hertesten na meerdere jaren bleek de winst verdampt te zijn.

  Zo vermoed ik ook in dit geval dat het idee om de aanvangsniveaus te verhogen, in de hand gewerkt door afbeeldingen zoals figuur 2 in het artikel, geen goed idee is.

  Ik zou het veeleer zoeken in de hoek van de intellectueel stimulerende omgeving van de leerlingen: voor leerlingen uit achterstandssituaties ontbreekt die thuis veelal, zodat in het bijzonder tijdens de vacanties een deel van de leerwinst van het voorgaande jaar verdampt voor specifiek die groep leerlingen.

• Ik blijf nog zitten met een aantal verbanden waar ik meer duidelijkheid over wil krijgen, ook aan de hand van de literatuur waar Geary c.s. naar verwijzen. Onder andere ben ik heel benieuwd naar de onderzoekliteratuur waar is gekeken naar de kwantitatieve vaardigheden die in de dagelijkse beroepspraktijk nodig zijn. Ik sta al een tijd op de uitkijk naar onderzoekgegevens daarover, en tot nu toe heb ik die niet langs zien komen. Realistisch rekenaars doen allerlei claims over het rekenen dat volwassenen nodig zouden hebben, zonder daar enige empirische onderbouwing bij te geven. Welnu, dat probleempje moet echt een keer worden opgelost (heeft ook weer alles te maken met al dan niet gebruiken van de rekenmachine, vermoed ik).
• Ian M. Lyons & Sian L. Beilock (2011). Numerical ordering ability mediates the relation between number-sense and arithmetic competence. Cognition, 121, 256-261. pdf
• Clements DH, Sarama J, Spitler ME, Lange AA, Wolfe CB (2011) Mathematics learned by young children in an intervention based on learning trajectories: A large-scale cluster randomized trial. J Res Math Educ 42: 127–166. pdf
• Dyson, N, Jordan, N.C, & Glutting, J. (in press). A number sense intervention for low-income kindergartners at risk for mathematics difficulties. Journal of Learning Disabilities. handout
  • Een experiment dat aantoont dat de number sense van kinderen met ouders met een laag inkomen valt op te krikken, en dat de winst tenminste acht weken stand houdt. Maar dat is een resultaat waar ik niet bepaald van opkijk. Het is natuurlijk wel van groot belang, want het houdt de belofte in dat met gepaste inspanningen ALLE kinderen op een behoorlijk niveau van getalbegrip zijn te brengen, doorheen het basisonderwijs.

Madhubalan Viswanathan (1993). Measurement of Individual Differences in Preference for Numerical Information. Journal of Applied Psychology, 78, 741-752. tekst

• In this article, I develop and validate a measure of preference for numerical information, a construct that taps a proclivity toward using numerical information and engaging in thinking involving numerical information, and study its relationship with several constructs. Many authors have documented the importance of numerical information in several spheres of everyday life (cf. Paolos, 1988; Steen, 1990). Although past research has focused on ability in using numerical information on the one hand and on attitudes toward domains involving numerical information, such as statistics and mathematics, on the other, a basic attitude or proclivity toward numerical information has not been isolated and studied. I emphasize here the importance of studying attitude toward numerical information as a separate and distinct domain and argue that the construct has applications in several settings.

Paolos, J. A. (1988). Innumeracy: Mathematical illiteracy and its consequences. New Ybrk: Hill & Wang.

• nog opzoeken, genoemd in Viswanathan; Leiden: 1900 A 37 opvragen; & Math Computer Science Library WISINF; het lijkt me op voorhand een kletspraatjesboek; was een bestseller in de VS

Lynn Arthur Steen (1999). Numeracy: The new literacy for a data-drenched society. Educational Leadership, 57, 8-13.pdf

• Quantitative literacy—or numeracy, as it is known in British English—means different things to different people. Although quantitative literacy is often confused with its close relatives, such as basic skills, elementary statistics, logical reasoning, or advanced mathematics, none of these by itself offers a complete or balanced view of numeracy (Steen, 1990, 1997). Rarely mentioned in national standards or state frameworks, numeracy nonetheless nourishes the entire school curriculum, including not only the natural, social, and applied sciences, but also language, history, and fine arts. Unfortunately, little numeracy is taught anywhere except in mathematics classes, and not as much as one might expect is taught (much less learned) even there.
  Yet despite widespread evidence that numeracy is more than mathematics and that practical wisdom is not the same as classroom learning, anxious parents and politicians push students into the narrow gorge of early algebra and high school calculus in the misguided belief that these courses provide the quantitative skills appropriate for educated citizens. By and large, they do not. Even individuals who have studied calculus remain largely ignorant of common abuses of data and all too often find themselves unable to comprehend (much less to articulate) the nuances of quantitative inferences (Cohen, 1989; Huff, 1954/1993; Paulos, 1996). Numeracy, not calculus, is the key to understanding our data-drenched society.
  In 1989, the National Council of Teachers of Mathematics published national standards for school mathematics (NCTM, 1989) that present a significantly enhanced vision of mathematical skills and advanced problem solving intended for all high school graduates. These standards are being revised for republication in April 2000; a draft (NCTM, 1998) is currently under public review. Ironically, these standards—still much debated and largely unimplemented—exceed what most colleges and universities dare require even of their graduates.

  Valuable as the NCTM standards document may be in prodding schools to improve their mathematics curriculum, it does not provide definitive guidance on the numeracy needs of tomorrow's students and citizens. Examples of the latter—of quantitative methods used in other areas of education and work—can be found in the standards for other subjects, notably in science (NRC, 1998; Project 2061, 1993), history (NCHS, 1996), geography (NGS, 1994), and social studies (NCSS, 1994), as well as in recently published occupational skill standards (NSSB, 1998) in such areas as bioscience (EDC, 1995), electronics (AEA, 1994), health care (FarWest Laboratory, 1995), and photonics (CORD, 1995). For those who are prepared to detect hidden evidence of the need for quantitative literacy, these reports abound with relevant footprints.

Steen, L. A. (1990). Numeracy. Daedalus, 119, 211-231.abstract

International Numeracy Survey. A Comparison of the Basic Numeracy Skills of Adults 16-60 in Seven Countries. pdf [nog ophalen]. ERIV tijdelijk niet beschikbaar

James D. Eyring, Debra Steele Johnson, and David J. Francis (1993). A Cross-Level Units-of-Analysis Approach to Individual Differences in Skill Acquisition. Journal of Applied Psychology, 78, 805-814. abstract

Mark H. Ashcarft & Alex M. Moore (2012). Cognitive processes of numerical estimation in children. Journal of Experimental Child Psychology, 111, 246-267. researchgate

Elida Laski & Qingyi Yu (2014). Number line estimation and mental addition: Examining the potential roles of language and education. Journal of Experimental Child Psychology, 117, 29-44. [geen pdf tot mijn beschikking] abstract

Dimona Bartelet, Anniek Vaessen, Leo Blomert & Daniel Ansaric (2014). What basic number processing measures in kindergarten explain unique variability in first-grade arithmetic proficiency? Journal of Experimental Child Psychology, 117, 12-28. [geen pdf tot mijn beschikking] abstract

Iro Xenidou-Dervou, Bert De Smedt, Menno van der Schoot & Ernest C.D.M. van Lieshout (2013). Individual differences in kindergarten math achievement: The integrative roles of approximation skills and working memory. Learning and Individual Differences, 28, 119-129. [geen pdf tot mijn beschikking] abstract

Ilona Friso-van den Bos, Sanne H.G. van der Ven, Evelyn H. Kroesbergen & Johannes E.H. van Luit (2013). Working memory and mathematics in primary school children: A meta-analysis. Educational Research Review, 10, 29-44. [geen pdf tot mijn beschikking] abstract

Ik heb geen pdf van dit artikel, maar er is wel een lijst beschikbaar van publicaties (alleen van Elsevier) op dit thema: zie hier 84 Skills underlying mathematics: The role of executive function in the development of mathematics proficiency Review Article Trends in Neuroscience and Education, In Press, Corrected Proof, Available online 9 January 2014 Lucy Cragg, Camilla Gilmore  Open Access 85 A New Dimension to Teaching Mathematics Using iPads Procedia - Social and Behavioral Sciences, Volume 103, 26 November 2013, Pages 51-54 Diana Audi, Rim Gouia-Zarrad  Open Access     91 The Impact of Web Sites on Teaching and Learning Mathematics Procedia - Social and Behavioral Sciences, Volume 93, 21 October 2013, Pages 631-635 Jarmila Robová  Open Access 93 Domain-general mediators of the relation between kindergarten number sense and first-grade mathematics achievement Journal of Experimental Child Psychology, Volume 118, February 2014, Pages 78-92 Brenna Hassinger-Das, Nancy C. Jordan, Joseph Glutting, Casey Irwin, Nancy Dyson   96 The dual processes hypothesis in mathematics performance: Beliefs, cognitive reflection, working memory and reasoning Learning and Individual Differences, Volume 29, January 2014, Pages 67-73 Inés Mª Gómez-Chacón, Juan A. García-Madruga, José Óscar Vila, Mª Rosa Elosúa, Raquel Rodríguez   100 Measuring Efficiency of Teaching Mathematics Online: Experiences with WeBWorK Procedia - Social and Behavioral Sciences, Volume 89, 10 October 2013, Pages 276-282 Peter Fejes Toth  Open Access -->

Barbara W. Sarnecka (2014). On the relation between grammatical number and cardinal numbers in development. Frontiers in Psychology. Developmental Psychology. free access html or pdf

Wim Van Dooren, Erno Lehtinen & Lieven Verschaffel (2015). Unraveling the gap between natural and rational numbers. Learning and Instruction, in press

Sarah Linsen, Lieven Verschaffel, Bert Reynvoet, Bert De Smedt (2015). The association between numerical magnitude processing and mental versus algorithmic multi-digit subtraction in children. Learning and Instruction, 35, 42-50.

Ian M. Lyons, Daniel Ansari & Sian L. Beilock (2015). Qualitatively Different Coding of Symbolic and Nonsymbolic Numbers in the Human Brain. Human Brain Mappng, 36, 475-488. pdf

• We provide the first neural evidence that symbolic and nonsymbolic numbers are coded in fundamentally different ways in the human IPS [intraparietal sulci]