Rekenproject: Meetkunde

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden — ‘cijferen’
    optellen — aftrekken — vermenigvuldigen — delen — breuken — meten
    meetkunde — algebra en rekenen — kans (en combinaties)
    materialen
    woordproblemen

Hans Freudenthal vindt het zijn belangrijkste verdienste dat hij de meetkunde heeft ingebracht (in de 70er jaren) in het basisonderwijs.

Hans Freudenthal (1955/1956). De ruimteopvatting in de exacte wetenschappen van Kant tot heden. Euclides, 31, 165-182. [Heb ik daar een exemplaar van?]

• Zou Freudenthal het werk van Jammer — Space — kennen? Of was dat toen nog niet uit?
• J. J. W. Berghuys (1957). De intuïtie der meetkunde. Euclides, 32, 173-183. Berghuys reageert op het artikel van Freudenthal. Berghuys is auteru van (1952). Grondslagen der aanschouwelijke meetkunde. Het stuk van Berghuys is beschouwend van aard. Maar wat schieten we op met dergelijke individuele ontboezemingen van intellectuele strijd? Dat peinst maar een eind weg, zonder ooit ergens met de voeten in empirisch onderzoek te staan, of het eigen gedachtengoed tenminste aan dat van anderen te relateren (behalve dan de drie verwijzingen: naar het rapport van de leerlplan-commissie-1954 van WIMECOS, het artikel van Freud, en zijn boek).

Voorlopig breng ik publicaties over ruimtelijk inzicht — spatal ability — ook op deze pagina onder. De reden is dat in de reformdidactiek van het realistisch rekenen, en misschien in het constructivisme in het algemeen, te makkelijk persoonlijkheidseigenschappen in het domein van het reken- en wiskundeonderwijs worden getrokken.

Joost Wegman (2013). Objects in space. The neural basis of landmark-based navigation and individual differences in navigational ability. Proefschrift Radboud Universiteit Nijmegen. pdf

• The computational subprocesses required for efficient spatial cognition are quite complex and prone to errors. Therefore, the way our brain stores, retrieves and manipulates spatial information leads to inter-individual differences in our spatial abilities and preferences. This thesis is aimed at providing insight into the neural underpinnings of how the brain stores and retrieves information about objects that are relevant for navigation. Furthermore, it investigates how individual differences can influence the way the brain processes spatial information and how structural changes relate to navigational abilities.

  p. 12

Wim Groen en Ed de Moor (2013). Geschiedenis meetkundeonderwijs aanschaf 1990 en 2007. Nieuw Archief voor Wiskunde, 14, 117-122. inhoudsopgave aflevering juni

• Wat me opviel bij vluchtig doorkijken: de nadruk op het bijbrengen van ruimtelijk inzicht! Dat houd je toch niet voor mogelijk! Ah, en ook weer dat bronloos ophemelen van contextrijke opgaven:
  Tot vreugde van de leerplanontwikkelaars kwam in het havo het streven naar een koppeling tussen pratische situaties en meetkunde ook in de eindexamens van meet af aan beter tot zijn recht. Kennelijk waren de ontwerpers van de examens inmiddels meer gewend geraakt aan contextrijke opgaven ( . . ).

  p. 118 kolom links

Björn Gottfried (2012). Using space to represent data: diagrammatic reasoning. Cognitive Processing, 13, 371-373

Scott R. Hinze ao. (2013). When do spatial abilities support student comprehension of STEM visualizations? Cognitive Processing, 14, 129-142. abstract

• STEM: science, technology, engineering, and math
  Spatial abilities can be recruited in effective or ineffective ways depending on alignments between the demands of a task and the approaches individuals adopt for completing that task.

Thomas F. Shipley & Dedre Gentner (2013). Introduction to the special issue on spatial learning and reasoning processes. Cognitive Processing, 14, 103-104. pdf

Tim N. Höffler(2010). Spatial Ability: Its Influence on Learning with Visualizations—a Meta-Analytic Review. Educational Psychology Review, 22, 245-269. abstract

Daniel L. Shea, David Lubinsky & Camilla P. Benbow (2001). Importance of Assessing Spatial Ability in Intellectually Talented Young Adolescents: A 20-Year Longitudinal Study. Journal of Educational Psychology, 93, 604-614. pdf

Jonathan Wai, David Lubinsky & Camilla P. Benbow (2009). Spatial Ability for STEM Domains: Aligning Over 50 Years of Cumulative Psychological Knowledge Solidifies Its Importance. Journal of Educational Psychology, 101, 817-835. pdf

Sang Ah Lee, Valeria A. Sovrano & Elizabeth S. Spelke (2011). Navigation as a source of geometric knowledge: Young children’s use of length, angle, distance, and direction in a reorientation task. Cognition, 123, 144-161. abstract

Tatjana Hilbert, Alexander Renkl, Stephan Kessler & Kristina Reiss (2008). Learning to prove in geometry: Learning from heuristic examles and how it can be supported. Learning and Instruction, 18, 54-65.

Andrew Iszak (2005). “You Have to Count the Squares”: Applying Knowledge in Pieces to Learning Rectangular Area. The Journal of the Learning Sciences, 14, 361-403. abstract

Julie Sarama & Douglas H. Clements (2009). Early Childhood Mathematics Education Research. Learning Trajectories for Young Children. Routledge.

• Part III: Geometry and spatial thinking.
• Part IV: Geometric measurement.

Elizabeth Spelke, Sang Ah Lee, Ve´ronique Izard (2010). Beyond Core Knowledge: Natural Geometry. Cognitive Science, 34, 863-884. abstract

Alexandra D. Twyman & Nora S. Newcombe (2010). Five Reasons to Doubt the Existence of a Geometric Module. Cognitive Science, 34, 1315-1356. abstract

Stanislas Dehaene and Elizabeth Brannon (Eds.) (2011). Space, Time and Number in the Brain: Searching for the Foundations of Mathematical Thought. Oxford University Press Elsevier/Academic Press / Elsevier/Academic Press

Koeno Gravemeijer en Jean-Marie Kraemer (1984). Met het oog op ruimte. Een meetkundige wereldoriëntatie. Onderwijskundige Brochuren Reeks.

• In hoofdstuk 3 richten we ons op de meetkundige ervaringen van kinderen. Het blijkt dan dat kinderen een meetkundige taal ontwikkelen bij het verkennen van hun wereld. Daar steken de formele activiteiten in de schoolboekjes die we in hoofdstuk vier beschrijven, schraal bij af. De schoolboekjes-meetkunde is niet van vandaag of gisteren. De benadering van meetkunde in talloze Wiskobas-publikaties lijkt daarentegen helemaal nieuw. Maar ook deze benadering heeft zijn wortels in het verleden. In hoofdstuk vier proberen we deze wortels bloot te leggen. Daarmee kan tevens een verband worden gelegd tussen de bekende meetkundeschoolboekjes en een meetkundige wereldoriëntatie. De les die de geschiedenis ons leert, is een didactische les. In het tweede deel van het boek geven we aan hoe de gevonden didactische principes in de praktijk toegepast kunnen worden. (..) Samenvattend zou je kunnen stellen dat het gaat om het opbouwen van ‘meetkunde’ vanuit eigen ervaringen van kinderen in een opbouw gericht op begrip, gebruikmakend van een wiskundige benaderingswijze die tot uitdrukking komt in het visualiseren. Tegelijkertijd wordt het ruimtelijk inzicht ontwikkeld dat nodig is voor de meetkundige activiteiten in het vervolgonderwijs.

  blz. 8

  Hoofdstuk 1 is een beschouwing over schaduw, van Leonardo da Vinci tot zonsverduistering. Het idee van projectonderwijs: wat valt er zoal over schaduw te ontdekken.

  Hoofdstuk 2. Meetkunde in de werkelijkheid.

  Die meetkunde is niet een losstaand iets, maar is met de werkelijkheid en onze perceptie daarvan verweven. In deze verwevenheid onderscheiden we drie aspecten:

  • ervaren/beleven, impliciete kennis
  • bewust gebrik van meetkundige kennis/toepassen
  • reflecteren, uitleggen en bewijzen (leidend tot formele kennis).

  blz. 20

  Het hoofdstuk geeft daar dan ‘meetkundige voorbeelden’ van. Contexten dus. Idioot ingewikkeld, voor wie schrijven Gravemeijer en Kraemer eigenlijk? Dit hoofdstuk is ook weer meer natuurkunde dan meetkunde. En psychologie:

  De stap van onbewuste kennis naar bewust gebruik is soms maar erg klein. De mate van bewustheid kan verschillen..

  blz. 20

  Ik ben bang dat het boek wemelt van dit soort lekenpsychologie. Er worden probleempjes opgelost ‘gebruikmakend van de wetenschap dat licht zich rechtlijnig voortplant’ (blz. 21). Werkelijk fantastisch. Daar past de dwerg Barribal dan ook goed bij. Maar wat heeft dit met (didactiek van) meten en meetkunde te maken?

  Ik heb het wel even gehad met dit boekje, ik scan het, en breng het terug. Want dit kleine boekje lijkt me wel een sleutelpublicatie toe, wat betreft het denken binnen de Freudenthal-groep over meetkundeonderwijs.

Rose Mary Webb, David Lubinski and Camilla Persson Benbow (2007). Spatial Ability: A Neglected Dimension in Talent Searches for Intellectually Precocious Youth. Journal of Educational Psychology, 99, 397-420. abstract

Hubert D. Zimmer (2004). The Construction of Mental Maps Based on a Fragmentary View of Physical Maps. Journal of Educational Psychology, 96, 603-610. abstract

Alan J. Bishop (1980). Spatial abilities and mathematics education — a review. Educational Studies in Mathematics, 11, 257-269. Reprinted in Philip Clarkson & Norma Presmeg (Eds.) (2008). Critical Issues in Mathematics Education Major Contributions of Alan Bishop. (71-81).

Norma Presmeg (2008). Spatial abilities research as a foundation for visualization in teaching and learning mathematics. In Philip Clarkson & Norma Presmeg (Eds.) (2008). Critical Issues in Mathematics Education Major Contributions of Alan Bishop. (83-95).

• Norma Presmeg studied with Alan Bishop.
• The literature mentioned in this review chapter seems to be restricted to a small circle of researchers in math education. Ulric Neisser seems to be the only cognitive psychologist mentioned. For researchers claiming an interest in spatial abilities and vosualization, this worries me. Having seen this list of references, already I have to conclude that the research program of Bishop and Presmeg is not connected in any way to what is happening in the meantime in te field of cognitive psychology and neuropsychology.

David F. Lohman (1993). Spatial ability and g. Paper presented at the first Spearman Seminar, University of Plymouth, July 21, 1993. pdf

• website David F. Lohman

David F. Lohman (1994). Spatially Gifted, Verbally Inconvenienced. Proceedings from The 1993 Henry B. and Jocelyn Wallace National Research Symposium on Talent Development. pdf

David F. Lohman (1979). Spatial ability: A review and reanalysis of the correlational literature. Technical Report no. 8 Aptitude Research Project. School of Education, Stanford University.. pdf

M. Just & P. Carpenter (1985). Cognitive coordinate systems: Accounts of mental rotation and individual differences in spatial ability. Psychological Review, 92, 137-172.

Timothy P. McNamara (1986). Mental Representations of Spatial Relations. Cognitive Psychology, 18, 87-121. abstract

Susan E. Whitely & Lisa M. Schneider (1981). Information Structure for Geometric Analogies: A Test Theory Approach. Applied Psychological Measurement 5, 383-397.abstract

Jan van de Craats (2005). Vlakke meetkunde met coördinaten. pdf

• Jan begint met een aanhaling uit Van der Waerden (1937)
• Toch is het interessant dat Van der Waerdens citaat duidelijk maakt dat de euclidische, axiomatische behandeling van de vlakke meetkunde ook toen al niet meer behoorde tot de hoofdstroom van de wiskunde, en dat er dus in feite een einde was gekomen aan een tijdperk van meer dan twintig eeuwen waarin deze opbouw als het fundament van de wiskunde zelf was gezien.

B. L. van der Waerden (1937). De logische grondslagen der Euklidische meetkunde. P. Noordhoff.

Robin Hartshorne (1997/2000). Geometry: Eucid and beyond. Springer.

<

• This text will be my standard, as far as mathematics is concerned. Geometry is the discipline of choice, because of its visual aspects, 'diagrammatc reasoning.' A further argument is that Euclid's work more or less has made it into the hearts and minds of ordinary people, it might just be very close to what nowadays is 'folk geometry.' These are my remarks, of course, not those of the author of the book.

Bottema, O. Bottema (1938). De elementaire meetkunde van het platte vlak. Groningen: Noordhoff.

Heinrich Stumpf (1983). Performance factors and gender-related differences in spatial ability: Another assessment. Memory & Cognition, 21, 828-836. abstract

Met informatie over 15 tests voor ruimtelijk inzicht. Een mooi begin voor wie wil inventariseren welk type opgaven eigenlijk wordt gebruikt door psychologen, en of die wel verschillen van wat realistisch rekenaars (het Freudenthal-Instituut) voorstaan.

David H. Uttal, Nathaniel G. Meadow, Elizabeth Tipton, Linda L. Hand, Alison R. Alden, Christopher Warren & Nora S. Newcombe (2013). The malleability of spatial skills: A meta-analysis of training studies. Psychological Bulletin, 139, 352-402. abstract and/or concept

Van enig belang:

• This work was supported by the Spatial Intelligence and Learning Center (NSF Grant SBE0541957) and by the Institute for Education Sciences (Department of Education Grant R305H020088).
• Terminologie wekt argwaan: abilities en skills worden als synoniem beschouwd:
  This paper develops this theme further, by focusing on the degree of malleability of a specific class of cognitive abilities: spatial skills.

A.D. de Groot en medewerlers (1968). Bewegingsmeetkunde. Verslag van een gecontroleerd innovatie-experiment. Wolters-Noordhoff. Met geijkte testjes en uitslagen. Interessante theoretische beschouwingen, o.a. over ‘algemene denk-training’ p. 94, denk-vaardigheden ook (helaas). Geen index op de inhoud.

  http://www.benwilbrink.nl/projecten/meetkunde.htm http://goo.gl/zM9MG