Rekenproject: Woordproblemen

Ben Wilbrink

rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden — ‘cijferen’
    optellen — aftrekken — vermenigvuldigen — delen — breuken — meten
    meetkunde — algebra en rekenen
    materialen
    woordproblemen

Ik onderhoud al enige tijd een pagina over woordproblemen wordproblems. Dat blijft een algemene pagina op het thema. In contrast daarmee wil ik op deze rekenproject-pagina publicaties bijeenbrengen die direct de didactiek van het rekenonderwijs raken, zoals Verschaffel e.a. 1994 (zie hierbeneden).

Eveneens direct van belang de literatuur-pagina understanding_problems, en natuurlijk hoofdstuk 7 in Toetsvragen ontwerpen: over problemen. Specifiek van belang is uiteraard hypothese 4 in dit rekenproject: contextopgaven testen intelligentie.

Er is waarschijnlijk een subtiel onderscheid te maken tussen typische contextproblemen uit de Freudenthal-school, en woordproblemen zoals die buiten de invloedssfeer van het realistisch rekenen voorkomen. Het zou een hele prestatie zijn wanneer het lukt om dat onderscheid vast te pinnen op een scherpe beschrijving, een beschrijving die als criterium kan dienen om contextproblemen (zie ook de contexten.htm pagina) te onderscheiden van woordproblemen. De poging is zeker de moeite waard, omdat bijvoorbeeld de PISA-toetsen relatief veel contextopgaven bevatten. En de Cito Eindtoets Basisonderwijs. De PPON? TIMSS?

• Dit is een belangrijk onderzoek, omdat het glashelder uit laat komen dat de manier waarop het basisonderwijs omgaat met redactiesommen niet OK is. Typisch is dat die sommen 'rekenkundig' moeten worden opgelost, niet algebraisch. Dat heeft tot gevolg dat allerlei trucjes en bi specifieke typen redactiesommen passende methoden worden geleerd, in plaats van die ene glasheldere methode die overal op past: de algebraïsche. Het is een oude discussie, die bijvoorbeeld n.a.v. het rapport Bolkestein in de dertiger jaren is gevoerd, en in Rusland in de zestiger en zeventiger jaren (werk van Davydov). Ik heb er (nog) geen zicht op in hoeverre het een actueel thema, ik weet zelfs niet op welke manier redactiesommen in het basisonderwijs anno 2008 typisch worden behandeld. Een oud argument ten gunste van rekenkundige oplossingen is dat dat leerlingen er logisch mee leren denken, maar dat argument sneuvelt bij empirisch onderzoek waaruit blijkt dat leerlingen typisch niet in staat zijn om de oplossing voor een nieuw type redactiesom zelf te vinden (algebraïsch zou dat geen probleem opleveren!). Dus dat logisch leren denken is wensdenken van opvoeders. Een ander argument is dat kinderen in de leeftijd voor de basisschool nog niet abstract kunnen denken; dat is typsch een empirisch arguemtn, dat valt dus uit te zoeken, en het blijkt onzin te zijn. Bijvoorbeeld blijkt het mogelijk, en ook Miriam Wolters heef een stukje experimenteel curriculum in de praktijk onderzocht, om leerlingen abstract te laten werken. Per saldo is de conclusie dat het basisonderwijs met zijn redactiesommen de leerlingen en de samenleving lastigvalt met Babylonische methoden, die diezelfde leerlingen in het vhmo met veel moeite moeten afleren ten gunste van algebraïe. Kortom, dit werk is heel belangrijk voor de ontwerper van toetsvragen, ik ga er stevig mee aan de slag. (maar daar schijnt iets tussen te zijn gekomen ;-) Alsnog, augustus 2016, aan de slag ermee. Jan van de Craats heeft een rekentoets gemaakt, evenals Henk Pfaltzgraff, is in hun aanpak een algebraische aanpak herkenbaar? En als dat niet het geval zou zijn, is daar dan een goede reden voor? Denk aan: gekunstelde contextvragen die zich aan iedere vorm van abstractie lijken te onttrekken. Vergelijk dan ook de antwoordanalyse die het Cito eens heeft gegeven, en de toelichting in Euclides door de vz van de vaststellingscommissie-2F).
• uit de samenvatting Het project 'rekensommen' had tot doel om vanuit ontwikkelingspsychologische theorieën de moeilijkheden die leerkrachten hebben met het onderwijzen van redactieopgaven en leerlingen met het oplossen ervan, te analyseren en experimenteel te onderzoeken. (...). Uit de analyse van de oplossingsmethoden bleek dat er naast een rekenkundige (de meest gebruikte op de lagere school) oplossingsmethode een algebraïsche te onderscheiden is en dat de algebraïsche oplossingsmethode zowel logisch als psychologisch verre de voorkeur verdient boven een rekenkundige oplossingsmethode. (....) ... volgens Piaget zou een kind pas in het formele stadum van zijn ontwikkeling in staat zijn redactieopgaven algebraïsch op te lossen, dit wil zeggen vanaf ±12 jaar. Ph. Kohnstamm, Vygotskij en Davydov zijn van mening dat kinderen op veel vroegere leeftijd dan Piaget en vele anderen tot nu toe dachten, in staat zijn redactieopgaven algebraïsch op te lossen. In het onderzoek hebben we aan leerlingen van 9 à 10 jaar een oplossingsmethode onderwezen dvoor redactieopgaven die berusten op de deel-geheel relatie. Essentieel onderdeel van het experimentele programma was het schematisch leren weergeven van de deel-geheel relatie en dit schema te leren gebruiken voor het oplossen van redactieopgaven. (...) Bij nadere analyse van de onderzoeksgegevens kwam er nog een belangrijk resultaat naar voren.Indien er namelijk wiskundig gezien oneigenlijk gebruik gemaakt werd van het deel-geheel schema om bepaalde redactieopgaven op te lossen resulteerde dit in een achteruitgang in score op die opgaven van de experimentele groep ten opzichte van de controlegroep. Dit impliceert dat samenwerking met wiskundigen bij het samenstellen van dergelijke experimentele onderwijsprogramma's absoluut noodzakelijk is.

D. Boswijk & J. G. Zijlstra (ca 1883). Het rekenen in de lagere school. 1e, 2e en 3e stukje. Groningen: J. B. Wolters. Besproken door J.S., blz 72-76 in J. P. Schaberg e.a. (1883). Paedagogische bijdragen. 11e jaargang. Amsterdam: B. van der Land.

Er is van het 1e stukje geen versie online beschikbaar (schoolmuseum.nl, google.nl, Delpher). De boekbespreker citeert echter het volledige voorbericht, als ik het goed heb. Omdat hier inzichten in zijn verwoord die ook vandaag de dag telkens weer opduiken, is het niet oninteressant om dit voorbericht over te nemen.

• Wij achten het onnoodig, uit te weiden over ’t groote belang van het rekenen als leervak der lagereschool, maar wenschen alleen op te merken, dat het in den vooruitgang der laatste tijden, op elk gebied van onderwijs waar te nemen, zeker niet het minst heeft gedeeld. Aanschouwelijk rekenen is terecht de grondslag van ’t verdere rekenonderwijs geworden; aan het rekenen uit het hoofd wordt veel meer tijd besteed dan vroeger, en ’t gedachteloos cijferen wordt veroordeeld als eene tijdroovende en niet ontwikkelende bezigheid. Geheel daarmede instemmende, hebben wij in onze reeks van opgaven en oefeningen getracht het cijferen te doen steunen op het rekenen uit het hoofd, dit laatste als grondslag te leggen voor het eerste. Het hooge belang van beredeneerd op te lossen vraagstukken erkennende voor de hoogere klassen, is het naar onze mening verkeerd gezien, in de lagere schoolklassen opgaven te geven, die beredeneerd (schriftelijk) moeten worden opgelost. Het juist opvatten en uitdrukken der gedachetn, zoomede het opschrijven der oplossingen is veelal te moeilijk in verhoduing tot de getalbewerking, waarom het bij de rekenopgaven in de lagere klassen toch vooral te doen moet zijn. ’t Is daarom, dat wij de getalbewerkingen alleen geven en aan den gebruiker wenschen over te laten, nu en dan bij de mondelinge behandeling vraagstukjes te maken naar aanleiding daarvan. We achten het niet overbodig, hier nog nader aan te wijzen, waarom wij ons op dit standpunt stellen, en hoe we de verhouding wenschen tusschen onze opgaven en de vraagstukken voor het beredeneerd oplossen.

  Het rekenen als rekenen stellen we op den voorgrond. Wij meenen, dat niets natuurlijker is, dan dat men er in de eerste plaats voor zorge, dat bij het rekenonderwijs de rekenkundige bewerking (het rekenen) worde begrepen. Het opsporen van betrekkingen, die met d egetalbewerking niets te maken hebben, zij eene uitstekende oefening, zij is bij jongere leerlingen beter op hare plaats bij de lees- of taalles. Maar er is meer. Het opsporen van betrekkingen is niet het eenige bij het oplossen van te beredeneeren vraagstukken. Daarbij komt het teruggeven van den gedachtengang, die aanwijst, hoe uit het gegevene het gevraagde wordt afgeleid, en — de jeugdige leerling heeft over te weinig woorden en vormen te beschikken, om dat ook maar ‘vrij wel’ te kunnen: niemand zal toch een slordige wijze van uitdrukken of het schrijven van taalfouten in de hand willen werken! En, bij het geven van vraagstukken, die beredeneerd (schriftelijk) moeten worden opgelost, zal dit het geval worden, tenzij men eens zeer groote plaats inruimt aan het rekenonderwijs. Wij meenen, dat die meerdere tijd besteed hoort te worden aan lees- en taalonderwijs; dan bereikt men zijn doel rechtstreeks en langs meer natuurlijken weg.Het beredeneerd oplossen van vraagstukken geschiedt dan gedurende de eerste vier leerjaren alleen mondeling, maar ook dan niet ten koste van het eigenlijke rekenen. Wanneer de leerlingen gedurende de eerste vier leerjaren vlug leeren werken met getallen en met inzicht de bewerkingen uitvoeren, dan zullen zij in de laatste twee jaren nog genoeg kunnen doen aan het oplossen van vraagstukken en dan — dan hebben zij genoeg denkkracht en taalvormen ter beschikking om dit van hen te kunnen eischen. En bovendien, is het beredeneerd oplossen van vraagstukken als zoodanig zoo belangrijk voor ’t leven? De ervaring leert, dat bij voorkomende gevallen een oudere dikwijls de betrekkingen wel weet op te sporen, de goede redeneering wel kan geven, maar dat het hem ontbreekt aan inzicht in- en vaardigheid bij het uitvoeren der bewerkingen, welke de redeneering eischt.

  Wij hebben weleens hooren vragen, of de leerlingen der lagereschool wel zoover te brengen zijn, dat zij de bewekringen begrijpen; ook wel, met een ontkennend antwoord op die vraag, den raad vernomen: ‘leer ze maar de bewerking, hoe komt er niet op aan.’ Dus als een kunstje, veroorloven we ons te vragen? — Wij vleine ons, door onze reeks van opgaven en oefeningen te hebben bewezen, dat de gesteld evraag bevestigend moet worden beantwoord. Met veel zorg zijn ze zóó gekozen, dat de leerling bijna aanhouden moet redeneeren, zonder die redeneering op te schrijven, zoodat machinaal werken voorkomen wordt,en de formeele waarde van de bewerking zeker niet gering is te schatten. Alzoo — zeiden we reeds: ’t begrijpen der bewerking is de natuurlijke eisch bij ’t rekenonderwijs, we voegen er bij: in ’t begrijpen der bewerking is de ontwikkelende waarde van ’t rekenonderwijs gelegen, en gemis aan inzicht in de schooljaren veroorzaakt vaak gemis aan vaardigheid op latere leeftijd.Van deze beginselen uitgaande, bieden we aan:

  1. Voor de aanvangsklass: een geregeld stel oefeningen voor de getalbewerkingen; (1e deeltje: getallen van 1—10; 2e deeltje:: getallen van 10—20; 3e deeltje: getallen van 1—100 en Helften, Vierde- en Derdedeelen);
  2. Voor de middelklasse: twee deeltjes voor de getalbewerkingen, en
  3. Voor de hoogste klasse: twee deeltjes, de eene helft van elk stukje voor opgaven als boven, en de andere voor vraagstukken, die mondeling en schriftelijk beredeneerd moeten worden opgelost.

  Wat de te beredeneeren vraagstukken betreft, zijn wij zoo vrij op te merken, dat er zooveel mogelijk gezocht is naar typische. Vergissen we ons niet, dan zijn de meeste ervan geschikte denkoefeningen; sommige zijn gevolgd door eene reeks van vragen, waardoor de oplossing wordt voorbereid. We deden dit vooral, om erop te wijzen, dat een vraagstuk van verschillende zijden moet worden bekeken en op verschillende manieren moet worden opgelost, teneinde ook hierbij het gedachteloos gebruik van vaste termen te doen vermijden en met inzicht te leeren werken.

Minna Kyttälä & Piia M. Björn (2014). The role of literacy skills in adolescents' mathematics word problem performance: Controlling for visuo-spatial ability and mathematics anxiety. Learning and Individual Differences, 29, 59-66. abstract or see here

Lieven Verschaffel, Brian Greer and Erik de Corte (2000). Making sense of word problems. Lisse: Swets & Zeitlinger.

• This is a key publication, summarizing research by the authors, while integrating the research of others on the subject of word problems.

Seethaler, P. M., Fuchs, L. S., Fuchs, D., & Compton, D. L. (2011, August 22). Predicting First Graders' Development of Calculation Versus Word-Problem Performance: The Role of Dynamic Assessment. Journal of Educational Psychology. Advance online publication. doi:10.1037/a0024968

Brian Greer (1997). Modelling reality in mathematics classrooms: the case of word problems. Learning and Instruction, 7, 293-307. abstract

Kurt Reusser & Rita Stebler (1997). Every word problem has a solution — The social rationality of mathematical modeling in schools. Learning and Instruction, 7, 309-327.

Hajime Yoshida, Lieven Verschaffel & Erik de Corte (1997). Realistic considerations in solving problematic word problems: Do Japanese and Belgian children have the same difficulties? Learning and Instruction, 7, . abstract

L. Verschaffel, E. de Corte & I. Borghart (1997). Pre-service teachers’ conceptions and beliefs about the role of real-world knowledge in mathematical modelling of school word problems. Learning and Instruction, 7, 339-359. abstract

Jan Wyndhamn & Toger Säljö (1997). Word problems and mathematical reasoning — a study of children’s mastery of reference and meaning in contextual realities. Learning and Instruction, 7, 361-382. abstract

(1997). Learning and Instruction, 7, . abstract

Giyoo Hatano (1997). Commentary. Cost and benefit of modeling activity. Learning and Instruction, 7, 383-387.

Koeno Gravemeijer (1997). Commentary. Solving word problems" A case of modelling? Learning and Instruction, 7, 389-397. Koeno houdt hier een ideologisch verhaal over realistisch rekenen, out of character in dit tijdschrift. Dit is dus een uitstekend artikel om de opvattingen binnen de Freudenthal-groep over woordproblemen gekarakteriseerd te zien. The par. ‘Stereotyped problems’ is een wonderlijk allegaartje van pseudo-psychologische observaties, met de haren gesleept bij de problematiek van de woordproblemen. Koeno overschat zijn psychologische kennis een tikje, zullen we maar zeggen. De volgende paragrafen bevatten aanvankelijk geen onzin, maar dragen ook weinig bij: herhaling van de zetten van anderen, gemeenplaatsen. In de par. 'Modelling' wordt moeiteloos het gedachtengoed van Freudenthal en RME gekoppeld aan het werken met woordproblemen. Natuurlijk, zo deed Freud dat ook met het duiden van dromen (zie Linschoten Idolen van de psycholoog). Empirisch onderzoek komt er helemaal niet aan te pas, en dat is in de context van dit artikel toch wel boeiend: de voorgaande artikelen in dit nummer van Learning and Instruction betreffen empirisch onderzoek. In de spanning tussen een becommentariërend artikel, en de becommentariëerde empirische onderzoeken, is het toch een wat wonderlijke spagaat om er de hele theorie van RME in te gooien, een theorie die zelf nul komma nul relevante empirische onderbouwing kent. Koeno presteert het zelfs om de staartdeling erbij te halen, toch echt iets anders dan een woordprobleem, dunkt me. Volop verwijzingen naar zijn proefschrift, dat evenmin een empirisch proefschrift is. Afijn, de redactie van dit nummer/tijdschrift heeft het stuk van Koeno voor publicatie geaccepteerd, en dat feit zal Koeno vervolgens weer gebruiken om de wetenschappelijkheid van RME op te poetsen. So it goes (vrij naar Vonnnegut). Hoe absurd dit afloopt, bewijst de concluderende paragraaf. Het is wel van enig belang om dit pleidooi van Gravemeijer te arresteren: het is tamelijk ongehoord, behalve dan in kringen van de Freudenthal-groep.

Basta.

Verschaffel, L., De Corte, E., & Lasure, S. (1994). Realistic considerations in mathematical modelling of school arithmetic word problems. Learning and Instruction, 4, 273–294. [nog niet opgehaald]

Sylvie Gamo, Emmanuel Sander & Jean Francois Richard (2010). Transfer of strategy use by semantic recoding in arithmetic problems. Learning and Instruction, 20, 400-410. abstract

Inez E. Berends & Ernest C. D. M. van Lieshout (2009). The effect of illustrations in arithmetic problem-solving: Effects of increased cognitive load. Learning and Instruction, 19, 345-353. abstract

Tolar, T. D., Fuchs, L., Cirino, P. T., Fuchs, D., Hamlett, C. L., & Fletcher, J. M. (2012, June 18). Predicting Development of Mathematical Word Problem Solving Across the Intermediate Grades. Journal of Educational Psychology. Advance online publication. doi: 10.1037/a0029020

E. de Corte & L. Verschaffel: De complexe relatie tussen redactie- en formule-opgaven. Enkele resultaten van een empirisch onderzoek in de aanvangsklas van het basisonderwijs. In G. de Zeeuw, W. Hofstee & J. Vastenhouw (Red.) (1983). Funderend onderzoek van het onderwijs en onderwijsleerprocessen (5-14). Onderwijs Research Dagen 1983. Swets & Zeitlinger.

lustighe Vraghen heten redactiesommen in de rekenboekjes in de 16e en 17e eeuw.

lees-rekenvraagstukken is een term die sinds 1937 door Kohnstamm wordt gebruikt voor het nieuwe type redactiesommen dat door het Rapport-Bolkestein is ingevoerd.

• "Op twee manieren heeft het Rapport-Bolkestein verbetering van het rekenonderwijs nagestreefd. In de eerste plaats door toe te staan dat bij de oplossing van rekenvraagstukken in de wiskunde gangbare of soortgelijke afkortingen en verkorte schijfwijzen worden gebruikt, in de twee plaats door een tot dusver ongebruikelijk type redactieopgaven te introduceren. Dit type redactieopgaven is zo opgebouwd dat de eigenlijke denkactiviteiten verlegd worden naar de fase die aan het rekenen (cijferen) voorafgaat. De opgave is een verhaal met een reeks kwantitatieve gegevens waarbij een aantal vragen gesteld worden. Om een vraag te beantwoorden moet de leerling uit de reeks kwantitatieve gegevens, die kiezen, welke voor het antwoord op de vraag nodig zijn. (...)
  In Proeve van een leerplan voor het basisonderwijs (1967) komt men terug op het eerste advies uit het rapport Bolkestein. Bij een aantal redactieopgaven is het commentaar in de Proeve: 'In wezen zijn dit meer algebrasommen, die beter opgelost kunnen worden met gebruik van lettergetallen en derhalve beter kunnen blijven rusten tot men in het voortgezet onderwijs zover is' (1967, p. 48). Dit betekent dat Kohnstamms idee om het gebruik van lettersymbolen in het lager onderwijs te bevorderen niet doorgezet wordt."

  Wolters, 1978 p. 15

Proeve van een leerplan (1967). Uitgave: Nutsseminarium.

• Wolters (1978, p. 17) hierover: "Het C.I.T.O. (Centraal Instituut voor Toestontwikkeling) bijvoorbeeld baseert zich wat de rekenopgaven betreft op dit leerplan. In dit leerplan vinden we de vraagstukjes (redactieopgaven) al vanaf het tweede leerjaar."

P. M. van Hiele (1956). Richtlijnen voor een nieuw leerplan rekenen op de lagere school. Purmerend.

• "Wanneer de leerlingen op de middelbare school komen, dan kunnen zij tal van rekenkundige operaties feilloos uitvoeren; in een groot aantal gevallen blijkt echter dat zij niet weten, wat zij uitrekenen, omdat vrijwel ieder begrip van wat ze doen ontbreekt. De zo geleerde vaardigheden zijn voor een deel spoedig weer verleerd. Door hun onjuiste instelling ten opzichte van de leerstof zijn de leerlingen bovendien weinig geneigd tot verbetering van hun begripsbasis, terwijl zij bij het behandelen van nieuwe leerstof hun onjuiste houding voortzetten, steeds maar weer vragen naar het kunstje, dat zij menen dat van hen verlangd wordt."

  zoals geciteerd in Wolters, 1978 p. 16

Ph. Kohnstamm (1934). De aansluiting tussen lager en middelbaar onderwijs. G. Het rekenen. Pedagogische Studiën. Ook afgedrukt in Keur uit het didactisch werk van Prof. Dr. Ph. Kohnstamm, 1952, p. 235

• Bij de redactiesom in bovenstaande box: (p. 386-387) "Nu leert de 'rekenkunde' dat men moet gaan 'stellen', maar zo dat men vooral niet 'stelkundig' stelt. Stel Jan heeft 5 knikker dan heeft Klaas er 9, samen veertien, dus Piet 2. Dan zou Piet echter slechts 3 minder hebben dan Jan. Dus (!) moet Klaas 36, Jan 20 en Piet 8 knikkers hebben.
  Naar een heel ander recept dient echter gewerkt te worden als gegeven is, in stede van Klaas heeft 1 4/5 zoveel als Jan, dat Klaas 16 meer heeft dan Jan. Dan kan men niet meer 'stellen', want dan loopt men vast. Stel Jan heeft 6 knikkers, dan heeft Klaas er 22, dus Piet 4. Maar nu gaat de regel niet door. Waarom niet? Dat kan alleen duidelijk gemaakt worden aan iemand die de bouw van een stel van n kineaire vergelijkingen met n onbekenden volkomen doorziet. Haar het recept luidt nu, dat ik het totaal der knikkers moet uitdrukken in dat van één der spelers. Jan en Klaas hebben 7 maal zoveel knikkers als Piet; Jan, Piet en Klaas hebben dus 8 maal zoveel knikkers als Piet. Jan heeft 12 knikkers meer dan Piet. Klaas nog 16 meer dus 28 knikkers meer dan Piet. Met zijn drieën hebben ze dus 3 maal zoveel als Piet en daarbij nog 40 knikkers. Ook hebben ze 8 maal Piets knikkers. 5 maal Piets knikkers is dus 40 knikkers. Het moet voor onbevooroordeelde duidelijk zijn, dat hier in wezen niets anders geschiedt dan in een lange omhaal, van woorden neer te schrijven, wat de wiskundige kort en kernachtig, met vermijding van iedere overtolligheid aldus uitdrukt.
  
      J + K = 7P     K = J + 16     P = J - 12, dus
      J + (J + 16) = 7(J - 12) = 7J - 84
      5J = 100
      J = 20
  
  Behalve door haar kortheid en nauwkeurigheid onderscheidt zich deze notatie ook door haar toepasselijkheid in alle gevallen, waarover onze rekenboekjes handelen. Welke logische vorming kan er nu in schuilen, dat men de blik van het kind niet op deze algemeenheid richt, maar het verwart door een onoverzichtelijke veelheid van 'oplossingsmethoden' terwijl één overal toereikend is?" [zoals geciteerd in Wolters, 1978, p. 75-76]

redactiesom, ook bekend onder tal van andere benamingen voor het genre of voor specifieke typen opgaven. Van Gelder (1969, p. 89) noemt: rekenvraagstuk 'd.w.z. opdrachten in taalvorm, die aanleiding geven tot rekenkundige bewerkingen;' kapitaalsom, wegsom, verdeelsom, etcetera.

contextopgave is een rekensom die wordt aangeboden als een 'realistische' situatie, en die situatie kan als afbeelding gegeven zijn, of in tekst beschreven. Het idee en de term context voor rekenopgaven hoort bij realistisch rekenen zoals gepropageerd door het Freudenthal Instituut.

redactiesommen is een term die in de 21e eeuw niet meer zo wordt gebruikt. Een typische redactiesom laat de bovenstaande box zien: uit de dertiger jaren. In de zeventiger jaren nog volop in gebruik in het onderwijs, de vakgroep ontwikkelingspsychologie in Utrecht had het project redactiesommen waaruit o.a. het proefschrift van Miriam Wolters zie hier uit is voortgekomen.

Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift.

• Promotor: C. F. van Parreren, coreferent: P. Span.

• De korte doch heldere discussies die ik met prof. dr. H. Freudenthal heb mogen voeren naar aanleiding van het manuscript hebben mij meer inzicht gegeven in de stokpaardjes van Davydov als het over wiskundige zaken gaat en in de wiskundige kant van het redactierekenen.

  p. 9

  Op deze wijze is uit oude en recente literatuur, onderzoek en ontelbare gesprekken [o.a. samen met Jo Nelissen, b.w.] een proefschrift ontstaan dat aangeeft in welke richting het rekenonderwijs moet veranderen om algebra-onderwijs te worden.

  p. 9

• uit de samenvatting Het project ‘rekensommen'’had tot doel om vanuit ontwikkelingspsychologische theorieën de moeilijkheden die leerkrachten hebben met het onderwijzen van redactieopgaven en leerlingen met het oplossen ervan, te analyseren en experimenteel te onderzoeken. (...). Uit de analyse van de oplossingsmethoden bleek dat er naast een rekenkundige (de meest gebruikte op de lagere school) oplossingsmethode een algebraïsche te onderscheiden is en dat de algebraïsche oplossingsmethode zowel logisch als psychologisch verre de voorkeur verdient boven een rekenkundige oplossingsmethode. (....) ... volgens Piaget zou een kind pas in het formele stadum van zijn ontwikkeling in staat zijn redactieopgaven algebraïsch op te lossen, dit wil zeggen vanaf ±12 jaar. Ph. Kohnstamm, Vygotskij en Davydov zijn van mening dat kinderen op veel vroegere leeftijd dan Piaget en vele anderen tot nu toe dachten, in staat zijn redactieopgaven algebraïsch op te lossen. In het onderzoek hebben we aan leerlingen van 9 à 10 jaar een oplossingsmethode onderwezen voor redactieopgaven die berusten op de deel-geheel relatie. Essentieel onderdeel van het experimentele programma was het schematisch leren weergeven van de deel-geheel relatie en dit schema te leren gebruiken voor het oplossen van redactieopgaven. (...)
• Jammer dat zij de door Freudenthal geredigeerde uitgave (1962) Report on the Relations between Arithmetic and Algebra, J. B. Wolters, niet heeft meegenomen, evenmin als de wiskundedidactiek van Wansink.
• Dit is een belangrijk onderzoek, omdat het glashelder uit laat komen dat de manier waarop het basisonderwijs omgaat met redactiesommen niet OK is. Typisch is dat die sommen 'rekenkundig' moeten worden opgelost, niet algebraisch. Dat heeft tot gevolg dat allerlei trucjes en bi specifieke typen redactiesommen passende methoden worden geleerd, in plaats van die ene glasheldere methode die overal op past: de algebraïsche. Het is een oude discussie, die bijvoorbeeld n.a.v. het rapport Bolkestein in de dertiger jaren is gevoerd, en in Rusland in de zestiger en zeventiger jaren (werk van Davydov). Ik heb er (nog) geen zicht op in hoeverre het een actueel thema, ik weet zelfs niet op welke manier redactiesommen in het basisonderwijs anno 2008 typisch worden behandeld. Een oud argument ten gunste van rekenkundige oplossingen is dat dat leerlingen er logisch mee leren denken, maar dat argument sneuvelt bij empirisch onderzoek waaruit blijkt dat leerlingen typisch niet in staat zijn om de oplossing voor een nieuw type redactiesom zelf te vinden (algebraïsch zou dat geen probleem opleveren!). Dus dat logisch leren denken is wensdenken van opvoeders. Een ander argument is dat kinderen in de leeftijd voor de basisschool nog niet abstract kunnen denken; dat is typsch een empirisch arguemtn, dat valt dus uit te zoeken, en het blijkt onzin te zijn. Bijvoorbeeld blijkt het mogelijk, en ook Miriam Wolters heef een stukje experimenteel curriculum in de praktijk onderzocht, om leerlingen abstract te laten werken. Per saldo is de conclusie dat het basisonderwijs met zijn redactiesommen de leerlingen en de samenleving lastigvalt met Babylonische methoden, die diezelfde leerlingen in het vhmo met veel moeite moeten afleren ten gunste van algebraïe. Kortom, dit werk is heel belangrijk voor de ontwerper van toetsvragen, ik ga er stevig mee aan de slag. (maar daar schijnt iets tussen te zijn gekomen ;-) Alsnog, augustus 2016, aan de slag ermee. Jan van de Craats heeft een rekentoets gemaakt, evenals Henk Pfaltzgraff, is in hun aanpak een algebraische aanpak herkenbaar? En als dat niet het geval zou zijn, is daar dan een goede reden voor? Denk aan: gekunstelde contextvragen die zich aan iedere vorm van abstractie lijken te onttrekken. Vergelijk dan ook de antwoordanalyse die het Cito eens heeft gegeven, en de toelichting in Euclides door de vz van de vaststellingscommissie-2F).
• uit de samenvatting Het project 'rekensommen' had tot doel om vanuit ontwikkelingspsychologische theorieën de moeilijkheden die leerkrachten hebben met het onderwijzen van redactieopgaven en leerlingen met het oplossen ervan, te analyseren en experimenteel te onderzoeken. (...). Uit de analyse van de oplossingsmethoden bleek dat er naast een rekenkundige (de meest gebruikte op de lagere school) oplossingsmethode een algebraïsche te onderscheiden is en dat de algebraïsche oplossingsmethode zowel logisch als psychologisch verre de voorkeur verdient boven een rekenkundige oplossingsmethode. (....) ... volgens Piaget zou een kind pas in het formele stadum van zijn ontwikkeling in staat zijn redactieopgaven algebraïsch op te lossen, dit wil zeggen vanaf ±12 jaar. Ph. Kohnstamm, Vygotskij en Davydov zijn van mening dat kinderen op veel vroegere leeftijd dan Piaget en vele anderen tot nu toe dachten, in staat zijn redactieopgaven algebraïsch op te lossen. In het onderzoek hebben we aan leerlingen van 9 à 10 jaar een oplossingsmethode onderwezen dvoor redactieopgaven die berusten op de deel-geheel relatie. Essentieel onderdeel van het experimentele programma was het schematisch leren weergeven van de deel-geheel relatie en dit schema te leren gebruiken voor het oplossen van redactieopgaven. (...) Bij nadere analyse van de onderzoeksgegevens kwam er nog een belangrijk resultaat naar voren.Indien er namelijk wiskundig gezien oneigenlijk gebruik gemaakt werd van het deel-geheel schema om bepaalde redactieopgaven op te lossen resulteerde dit in een achteruitgang in score op die opgaven van de experimentele groep ten opzichte van de controlegroep. Dit impliceert dat samenwerking met wiskundigen bij het samenstellen van dergelijke experimentele onderwijsprogramma's absoluut noodzakelijk is.

N. W. J. Mascini (1976). Oplossingsmethoden bij het rekenonderwijs in de basisschool. Pedagogische Studiën, 53, 49-56.

Een sleutelpublicatie. Chapeau. Onderdeel van het onderzoek van Miriam Wolters (1978). Van rekenen naar algebra. Een ontwikkelingspsychologische analyse. R.U. Utrecht proefschrift. L. van Gelder (1969). Grondslagen van de rekendidactiek. Een theoretische en practisch-didactische beschouwing over het rekenen in het basisonderwijs. Vijfde druk. Groningen: Wolters-Noordhoff.

• rekenvraagstukje
  
  Moeder gaat naar de kruidenier. Zij moet f 7,84 betalen. Zij betaalt met een biljet van f 10,--. Zij krijgt terug f ....... .
  p. 89: "De moeilijkheden die de leerlingen ondervinden bij het oplossen van vraagstukjes, kunnen ontstaan doordat:
  
  
  1. de kinderen geen verband zien tussen de kwantitatieve gegevens;
  2. de bewerking niet logisch uit de gegevens volgt;
  3. de taal waarin het vraagstuk geredigeerd is, onvoldoende wordt begrepen;
  4. de 'onderwerpen' te ver buiten de belangstelling en de ervaringswereld van de kinderen liggen.
  
  
  Deze moeilijkheden worden niet opgeheven door vroegtijdig oplossingsschema's aan te leren. Dan gaan leerlingen de gewoonten aanleren, die het zelfstandig doordenken van de gegevens belemmeren:
  
  
  • winst: 'dan moet je optellen'
  • verlies: 'dan moet je aftrekken'
  • prijs: 'dan moet je vermenigvuldigen'
  "
• p. 90 het vraagloze vraagstukje
  
  Frans is jarig. Hij trakteert de hele klas op snoepjes en hij mag van zijn moeder zelf de snoepjes kopen." In het vraagloze vraagstukje wordt een bepaalde situatie aangegeven, waarin gerekend kan worden. In tegenstelling tot de rekenvraagstukjes, wordt de gestelde opdracht achterwege gelaten, zodat de kinderen zelf het probleem kunnen uitwerken."

Frank Kok (1988). Vraagpartijdigheid. Methodologische verkenningen. proefschrift Universiteit van Amsterdam.

• Hfdst 4: Onderzoek naar bias tegen leerlingen van buitenlandse afkomst. Onder andere voor de rekentoets in de Cito Basistoets.

K. Bügel en P. F. Sanders (1998). Richtlijnen voor de ontwikkeling van onpartijdige toetsen.. Arnhem: Cito. pdf

• Het Cito staat overname van teksten uit deze richtlijnen toe bij volledige vermelding van de bron. Prima, Cito.
• p. 1: "Onderzoek naar de vraag of de geringere toetsprestaties van allochtone en vrouwelijke leerlingen wellicht het gevolg zijn van onbedoelde kenmerken van de items of opgaven heeft ook in Nederland plaatsgevonden. Uit dat onderzoek bleek dat sommige opgaven moeilijker waren voor allochtone dan voor autochtone leerlingen als gevolg van hun andere culturele en linguïstische achtergrond. Ook bleek dat sommige opgaven moeilijker waren voor meisjes dan voor jongens als gevolg van hun andere interesses en achtergrondkennis. Het verschijnsel dat een verschil in moeilijkheidsgraad van een opgave voor verschillende groepen leerlingen veroorzaakt wordt door aspecten van de opgave die niet relevant zijn voor wat de opgave beoogt te meten, wordt in de testliteratuur 'itembias' genoemd." In Nederland: vraagpartijdigheid, of gewoon partijdigheid.
• p. 3: "Er is sprake van itembias als verschillen in prestaties op een item of opgave veroorzaakt worden door kenmerken van de opgave die niet relevant zijn voor wat de opgave beoogt te meten. Itembias impliceert dat de opgave niet dezelfde vaardigheid bij de onderscheiden groepen leerlingen meet."
• p. 7: Wanneer 'talige' contexten worden gebruikt, blijkt een grotere kans op bias te bestaan. Niet alleen vanwege de verschillen in kennis en interesse van de leerlingen ten aanzien van die contexten, maar ook door verschillen in taalkennis en leesvaardigheid van de kandidaten. In dat geval kan bias optreden, wanneer taalkennis of leesvaardigheid niet het onderwerp van de toets is. Wees daarom zeer kritisch bij het gebruik van talige contexten wanneer geen taalvaardigheid getoetst moet worden."
• p. 8: "Functie van contexten
  Men dient zich bij alle toetsen af te vragen wat de functie is en wat het effect zou kunnen zijn van de zinnen of de tekstjes die worden gebruikt of die worden toegevoegd aan de eigenlijke vraagstelling. Zijn de contexten nodig en zijn ze functioneel? Wanneer men context- of uitgangsmateriaal gebruikt bij de vraagstelling, heeft men minder controle over de vaardigheden die men toetst. Alleen al bij tekstbegrip spelen verschillende vaardigheden een rol, zoals achtergrondkennis, eigen opvattingen en taalkennis."
• p. 9: "Aanbeveling
  Bij vakken als rekenen of aardrijkskunde, doet men er goed aan zoveel mogelijk dezelfde termen te gebruiken als in schoolboeken en examenprogramma's. Bij de vraagstelling dient men te streven naar uniformiteit en duidelijkheid. Probeer het woordgebruik in de vraagstelling zoveel mogelijk te standaardiseren. Dus niet bij rekenopgaven woorden als uitkomst, oplossing, resultaat, antwoord e.d. door elkaar gebruiken, als men er hetzelfde begrip mee bedoelt. Dit kan voor iemand die niet alle nuances van het Nederlands beheerst, zeer verwarrend zijn. Vermijd variatie om stijlredenen."
• p. 9 en 10 een lijst hinderpalen voor mnder taalvaardige leerlingen, zie de Richtijnen.
• p. 10-11 een aantal voorbeelden van items die Turkse en Marokkaanse leerlingen benadelen (uit Uiterwijk, 1994).

Uiterwijk H. (1994). De bruikbaarheid van de Eindtoets Basisonderwijs voor allochtone leerlingen.Proefschrift KUB. Cito. pdf

Uiterwijk, H., & Vallen, T. (1992). Een toets mag moeilijk zijn, maar niet onbedoeld moeilijk. De toetsesultaten van allochtone leerlingen en de 'itembias'. Tijdschrift voor Onderwijs en Opvoeding, 51, 7, 15-21. Volgens Picarta ook in In: VERNIEUWING; vol. 51 (1992), afl. 7, pag. 15-18 / 1992??? (Allochtone leerlingen scoren gemiddeld slechter op toetsen dan autochtone. Door alert te zijn op het taalgebruik in toetsen, kan dit scoreverschil kleiner worden.)

Uiterwijk, H.; Vallen, T. Onderzoek naar bias voor allochtone leerlingen in de Cito-Eindtoets Basisonderwijs / In: PEDAGOGISCHE STUDIëN; vol. 74 (1997), afl. 1, pag. 21-32 / 1997

Uiterwijk, H.; Vallen, T. Talige bronnen van itembias voor allochtone leerlingen in de eindtoest basisonderwijs / In: Spiegel; vol. 12 (1994), afl. 2, pag. 9-29 / 1994

Uiterwijk, H. , & Vallen, T. (1996). Hoe worden toetsen minder partijdig voor allochtonen? MOER, I 75-84. Over Eindtoets Basisonderwijs begrijp ik i. h. b. eq bias - Zie dan ook het proefschrift van Henny Uiterwijk

L. Mulder, J. Roeleveld en H. Vlerke (2007). Onderbenutting van capaciteiten in basis- en voortgezet onderwijs. Den Haag: Onderwijsraad. Studie. pdf

P. P. M. Leseman (2007). Achterstandenbeleid: Voorbij de voor- en vroegschoolse periode. In P. A. H. van Lieshout, M. S. S. van der Meij en J. C. I. de Pree: Bouwstenen voor betrokken jeugdbeleid (p. 113-130). WRR Wetenschappelijke Raad voor het Regeringsbeleid. Amsterdam University Press. De pdf is beschikbaar op de site van de WRR.

• p. 124: "Een tweede kanttekening is dat de meest gebruikte meetinstrumenten voor advisering en toelating tot het voortgezet onderwijs, zoals de Cito Eindtoetsen Basisonderwijs die op 80 procent van de basisscholen gebruikt worden, een groot beroep doen op taal- en leesvaardigheid, ook als het gaat om de leerstofgebieden rekenen-wiskunde en wereldoriëntatie. Dit is vooral nadelig voor leerlingen met een andere thuistaal. Onderzoek laat zien dat de scores van allochtone tweetalige leerlingen op rekenen-wiskunde-toetsen van het Cito voor ongeveer de helft afhangen van hun taal- en leesvaardigheid in het Nederlands (veel opgaven zijn conform de methodiek van realistisch rekenen redactie- en contextsommen - sommen die ingebed zijn in een verhaal) en voor de andere helft van specifieke vaardigheid in rekenen-wiskunde (Prenger 2005). Wanneer voor verschillen in taal- en leesvaardigheid wordt gecorrigeerd, doet de gemiddelde Turkse of Marokkaanse leerling het eerder beter dan slechter in rekenen-wiskunde dan zijn of haar Nederlandse klasgenoot (Van Weegh 2005). Het is wenselijk selectie- en toewijzingsprocedures voor vervolgonderwijs te bieden die meer recht doen aan de sterke punten van achterstandsleerlingen.3 Ook de selectie in het brugjaar van het voortgezet onderwijs op basis van het gemiddelde rapportcijfer voor de kernvakken is vertekend naar taal- en leesvaardigheid, vanwege de dominantie van alfa- en gamma-kernvakken in het brugjaar. Een andere balans tussen vakken - meer natuur en techniek - en beoordeling van de capaciteiten van leerlingen met behulp van toetsen die cultuur-eerlijk zijn, is ook hier gewenst.
  

  Prenger, J. (2005) Taal telt! Een onderzoek naar de rol van taalvaardigheid en tekstbegrip in het realistisch wiskunde onderwijs, Groningen: proefschrift rug.
  

  Weegh, J. van (2005) Schooltaal en realistisch rekenen, Utrecht: Universiteit Utrecht, Masterthesis Orthopedagogiek."

Een snellere oplossing van dit absurde probleem is gewoon twee of drie aantallen proberen. De opgave vertelt ook heel wat over de samenleving van die tijd, overigens. Het boek van Van Bemmelen bestaat voor een groot deel uit dit abjecte type opgaven, en zal daarin ongetwijfeld niet echt afwijken van wat elders aan tienerpesterijen werd bedacht en gedrukt. Maar ja, de filosofie was dat die pesterij juist vormend werkte, en wie er niet tegen kon moest vooral liever weggaan.

A. van Bemmelen (1817/1818). Lessen over de algebra of stelkunst, ten gebruike der Latijnsche scholen. 's-Gravenhage, bij de Erven J. Allart.

Een el kost 10 schellingen. Hoeveel kost 12½ el? Antw. 6 pond Vlaams 5 schelling [er gaan 20 schellingen in een pond, Bartjens p. 77]

Vlas kost 6 stuivers per pond. Hoeveel kost 80½ pond? Antw. 24 gulden 3 stuivers.

Bartjens, 1779, p. 69. Voor de hele bladzijde, klik hier.

Kijk eens naar een bladzijde redactiesommen in Bartjens (1604/1779), een rekenboekje gericht op wat kooplieden nodig hebben: natuurlijk hebben al die redactiesommen over hoeveelheden en prijzen eenduidige antwoorden, en zijn het eenvoudige bewerkingen van de gegeven getallen. Sterker nog: bijna alle opgaven in Bartjens, en dat geldt ook voor de oudere rekenboekjes uit de 15e en 16e eeuw (Kool, 1999), zijn van dit type redactiesom. In de twintigste eeuw is er niet meer zo'n directe koppeling tussen leren rekenen en rekenen in het beroep, maar het fantastische is dat de redactiesommen nog steeds gevierd zijn.

Willem Bartjens (1604/1779). De vernieuwde cyfferinge van Mr. Willem Bartjens, waar uyt men meest alle de grond-regulen van de reeken-konst leeren kan. By Joannes Kannewet. Het boek is gescand beschikbaarop books.google.nl.

• page 68-69 shows the Rule of Three for fractions, a solved example (= prescription how to solve this specific type of problem), and another series of problesm for the reader to solve (the much older Treviso Arithmetic, see Swetz (1987), has only the prescriptions for solving the example problems, no problems to exercise!). The word problems in Bartjens typically are vocational, have a straightforward solution, and always a clear answer. The didactics are restricted to exercising the prescriptions given on new examples of the same type of word problem. There is no attemp whatsoever to discern sheer arithmetical skill from the skill to translate word problems into arithmetics.

Theo Thijssen (1929). De examen-idioot of De kinderexamens van 1928. Overdruk uit De Bode. orgaan van de Bond van Ned. Onderwijzers. Bondsdrukkerij "De Volharding". scan 24 Mb.

Theo Thijssen was a Dutch writer and schoolteacher. In a series of articles in the journal De Bode he made a mockery of the admissions tests developed and used at the local level by secondary school teachers. Thijssen’s analysis of the poor quality of the test items is still relevant today. A Dutch committee chaired by Roel Bosker (May 2014, report to the ministers of education Bussemaker and Dekker) showed math tests developed bij Cito, under responsibility of the College for Examininations, to be of unacceptable quality, much like the 1929 arithmetics items ridiculed by Thijssen. What to do? Well, order the culprits to better their life. The opposition in Parliament is not happy: why would Cito and CvE be able to produce quality tests in a few months time, having used many years to develop the tests now admittedly being unacceptable?

• Het lijkt ons niet goed, zo droevig dit hoofdstuk te eindigen. En daarom tot slot een mededeling die menigeen goed zal doen: er zijn nog H.B.S.-leraren met ontembare moed, die lak hebben aan de gunst der tijden, en dit jaar rekenkundige vraagstukken aan de orde durfden stellen, waarvan iedereen meende dat ze behoorden tot een verdwenen beschaving: de kranensommen!

  Ja zeker, de kranensommen zijn er weer geweest, en wij willen, vóór onze artikelen zoveel ruimte hebben geëist dat we onszelf drasties gaan beperken, zorgen dat tenminste deze in-eer-herstellers van het goede oude op de voorgrond komen zoals zij verdienen. Immers, het blijft maar al te waar, wat de H.B.S. te Nijmegen schreef: “De geschiktste lui waardeert men het meest”.

  
  

  De wiskunde-specialist van de Chr. H.B.S. te Rotterdam dan komponeerde:

  Met kraan A kan een vat in 15¹⁄₄ minuut worden gevuld; met kraan B duurt dit 6 minuten, en met kraan C 7⁵⁄₈ minuut. Hoelang duurt het vullen van het vat, als A, B en C gelijktijdig worden opengezet?

  Men moet eens het antwoord uitrekenen en daarna zich de chronometer voorstellen waarmee eventueel het geval te kontroleren is!

  Zijn kollega in dezelfde stad aan het Erasmiaans Gymnasium deed het nog sjeuiger:

  Kraan A kan een leeg vat in 30 minuten en kraan B kan dit vat in 40 minuten vullen, terwijl kraan C het volle vat in 15 minuten kan ledigen. Wanneer het vat leeg is, zet men eerst kraan B gedurende 10 minuten open, waarna men kraan A en C ook opent. Na hoeveel minuten zal het vat ledig zijn.

  De Examenidioot, 1929, p. 12 (De Bode)

  Met de woorden van het algemene Utrechtse examen zouden wij de Chr. H.B.S.-er op het werk van de Erasmiaan willen wijzen:

  
  Vinden (o. verl. t.) je dan eigenlijk / eigelijk zelf jou / jouw thema (meerv.) beter dan de zijn—?

  
  

  Maar misschien zou hij met de woorden van de R.H.B.S. te Winterswijk antwoorden: “Die flauwiteiten zou ik liever vermijden: die staan op laag peil.”

• Het is het werk van de examen-idioot, dat we te signaleren hebben.

  Nemen wij bij voorbeeld die som, welke de examen-idioot voor toelating tot de R.H.B.S. te Oud-Beijerland uitvond. Daar wou die arme imbeciel nou ’es geen kranensom, en geen ouderwets raadseltje opgeven — daar wou-ie nou ’es een prakties vraagstuk komponeren, zo echt iets uit het leven-zelf. En hij voerde de kinderen in gedachte naar een smederij, waar gaten geponst moesten worden in een ijzeren plaat.

  Het is min-of-meer primitief gedacht, maar men kan zich nog een soort logiese gedachtengang denken: ik wil eens onderzoeken, of de rekenvaardigheid welke het kind bezit, voldoende is voor eenvoudig ambachtswerk. En men meent dan al te vermoeden, welk vraagstuk er volgt, als men leest:

  “In een machinale smederij wil men een vierkante ijzeren plaat, welke 1 c.M. dik is, voorzien van een groot aantal vierkante gaten van 1 c.M².”

  Waartoe de vermelding dient, dat die smederij een ‘machinale’ is, blijft raadselachtig, evenals die nadruk op het grote aantal gaten. Maar enfin, we maken ons tot ponsen, in gedachte, gereed.

  “Als ge weet, dat de oppervlakte van het bovenvlak 0,81 M² is, hoeveel c.M. is dan die plaat lang en breed?”

  Wat heeft dat met ponserij te maken? Dit vraagstuk kan men veel beter stellen, door te vragen naar de lengte en de breedte van een vierkant van 0,81 M² oppervlak.

  En als dan een kind op de lagere school enige keren het geval gehad heeft, dat het met zulk een som geen raad wist, en dat de onderwijzer door er op te wijzen: het is een vierkant, de weg wees — dan zal het kind, wanneer het op ’t examen bij z’n positieven is, ook nu de ‘wortel uit de oppervlakte’ trekken.

  Maar nu gaat, na de éérste zin, een normaal kind zich al instellen op iets wat met de gaten te maken heeft, dáárdoor is de kans groot, dat het vierkante van de ijzeren plaat z’n aandacht ontsnapt — ook al door de vierkante gaten, waar hij overheen heeft moeten lezen. Bovendien is het zeer te hopen, dat het kind niet iets zoekt (het zit op een examen) achter het feit, dat niet de oppervlakte van de plaat, maar van het bovenvlak van die plaat gegeven is. De dit vraagstuk opstellende examen-idioot was echter wel gedwongen, zo nadrukkelijk te zetten: de oppervlakte van het bovenvlak, omdat anders een snugger kind het recht zou hebben gehad te denken aan de oppervlakte van boven- en ondervlak en de zijkantjes. Immers, waarom zou anders de dikte van de plaat gegeven zijn.

  We zien dus, dat we met de eerste twee zinnetjes al aangeland zijn in een kleverige chaos van gekke mogelikheden, tengevolge van het onvermogen van de examen-idioot, welke hier aan ’t werk was.

  Maar enfin, laat ons hopen, dat het kind-slachtoffer zover komt, dat het lengte en breedte van de plaat (eigenlik: van het bovenvlak van de plaat) uitgerekend heeft. Hoe vreemd moet het dan niet opkijken, dat de ponserij al afgelopen is. De eerste zin blijkt n.l. een leugen: men wil niet die gaten maken, men heeft ze al gemaakt:

  “De stukjes ijzer, die eruitgedrukt worden, wegen evenveel en tezamen 3,14 K.G.”

  Het woordje ‘evenveel’ is weer examen-idioten-specialiteit. Waarom zouden die stukjes niet allemaal evenveel wegen? Laat ons echter vol hoop blijven, dat het kind ook hier overheen leest, dan arriveert het bij dit toppunt van examen-idioterie:

  “Als een stuk ijzer van 1 L. inhoud 7,85 K.G. weegt, vraagt men hoeveel gaten in die plaat geslagen zijn?”

  Een stuk ijzer ‘van 1 L. inhoud’. Hoe kan iemand, zelfs als-ie van de examen-idioot bezeten is, hoe kan iemand ter wereld praten van een stuk ijzer van 1 Liter! Stel dat zo iemand los liep, en ergens een liter ijzer wou gaan kopen! Zou men de ongelukkige niet aan de praat houden, over kubieke centimeters stroop en een halve kan steenkool, totdat de inmiddels opgebelde Geneeskundige Dienst met een gewatteerde auto voorkwam?

  Enfin: altijd-maar-weer: enfin:

  Letten wij ondanks alles op het eigenlijke vraagstuk. Dan blijkt dat de examen-idioot dit wilde vragen: Als 1 dM³ ijzer 7,85 K.G. weegt, hoeveel cM³ van datzelfde ijzer (men ziet we gunnen de idioot zekere portie akkuratesse) wegen dan 3,14 K.G.

  Wat blijkt dus? Voor het stukje rekenvaardigheid en toepassing van die rekenvaardigheid, dat onze examen-idioot wilde onderzoeken:

  1. de lengte en breedte uitrekenen van een vierkant, wanneer de oppervlakte gegeven is;
  2. een inhoud uitrekenen, wanneer gewicht en soortelijk gewicht gegeven zijn;

  dat daar nóch het machinale van die smederij, nóch die hele smederij, nóch de gaatjesponserij ook maar iets mee te maken hebben.

  Wat hier onderzocht wordt is:

  In hoeverre kan een kind een vraag lezen, trots de volslagen onbekwaamheid van de examen-idioot in het stellen van vragen.

  De Examenidioot, 1929, p. 14-15 (De Bode)

• Het ‘rekenen in situaties uit het dagelijks leven’ was ook Theo Thijssen niet onbekend.
  Wat de rekenkundige vraagstukken betreft, heb ik grootse plannen. Ik zal modern zijn, en rondgrijpen in het praktische leven. Ik zal bijv. een lijstje geven van de golflengten der diverse radiostations, en die getallen laten optellen zonder ‘onder elkaar stelling’.

  Er komt een rantsoensom over een Zeppelin, die langer in de lucht blijft dan gedacht werd; maar twee leden der bemanning sterven.

  Er komt een buitengewoon probleem over de honden van Sjef van Dongen, eerst waren er driemaal zoveel als Sjefs jaren, later was er één minder dan het vijftiende deel van het aantal maanden dat Sjef telde, en twee weer iets anders — wat weet ik nog niet precies. Maar de slotvraag zal luiden: Uit hoeveel honden bestond Sjefs span toen hij vertrok?

  Een som over een zwembassin komt er ook, maar nu over een overdekt, waarin het water een dM. bóven de rand staat.

  Ook ben ik bezig met een kubieke K.M. platina, waarvan ik sierhangertjes laat maken die alle even zwaar zijn, en ten slotte vraag ik, hoeveel meisjes daarmede gelukkig kunnen worden gemaakt, wanneer er door de bewerking 0.01 percent verloren gaat.

  Er zal ook weer vlees indrogen door het roken, vermoedelijk 17 percent; de koopman zal vervolgens evenveel jaren tellen als zijn winst guldens bedraagt.

  En dan heb ik me een breuk, mijne heren, zo’n breuk is er nog nooot in één vraagstuk opgetreden. Mirakelen zullen we beleven met díe breuk. Alleen wat er met de noemer gebeurt, is al kompleet een roman; en dàn de teller nog! En toch verandert die breuk niet van waarde, hè, ofschoon iedereen zo op ’t eerste gezicht zal zeggen, dat er door al die operaties niets van overblijft.

  En nu iets over m’n plannen voor 1932 . . . .

  ‘Meneer,’ vielen wij de ongelukkige in de rede, ‘in uw plaats zouden we niet al te veel plannen voor zo lang vooruit maken. Wie waarborgt u, dat u in 1932 nóg vrij rondloopt?’

  Hij keek ons aan met een zalige glimlach.

  ‘Denken jullie dan, dat ze me voor niets hebben losgelaten? Nee mijne heren, ik heb één roeping . . .’

  En terwijl dat laatste woord verklonk, nevelde hij weg, een stank achterlatend van bedorven vis en beschimmelde ouwe schoenen. Waar-ie gestaan had, schoten paddestoelen uit het vloerkleed op. Maar op onze redaktie-tafel lagen de dokumenten, die we ter waarschuwing en wapening onzer lezers in dit verslag hebben opgenomen.

  De Examenidioot, 1929, p. 23-24 (De Bode)

• In Leeuwarden, voor de H.B.S., wilde men onderzoeken of de kinderen de volgende berekeningen konden maken:

       3.25 M.       1.30 M.
   2 × ——————— + 2 × ———————  =
       0.65 M.       0.65 M.

  
  

  Maar de examen-idioot fluisterde het arme kommissie-lid in: Ben je gek, als de kinderen cijferen met tiendelige breuken hebben geleerd, dan is daar niets aan. Neen, het moet aangekleed worden; doe het zo:

  Een tafel is lang 3.25 M. en breed 1.30 M. Hoeveel personen kunnen om die tafel zitten, als voor ieder 0.65 M. ruimte gerekend wordt?

  
  

  En ziedaar nu weer de zuivere examen-idioterij. Wanneer zal een kind deze som fout maken? Als het door de gekke aankleding van de som zodanig in de war wordt gebracht, dat het niet voldoende meer bij z’n positieven is, om de eenvoudige becijfering te maken. Of . . . wanneer het zich niet goed de situatie voorstelt, en daardoor de mensen maar aan één lengte- en één breedte-kant zet. Maar als een kind zich werkelik de situatie indenkt, dan moet het zich afvragen: hoe gaat dat aan de hoeken? Zitten daar de mensen elkaar niet in de weg met hun benen? En een pienter kind zal dan denken: zo iets moet d’r achter zitten, want anders zou d’r helemaal niets aan zijn! En het zet aan de korte tafeleinden maar één persoon . . . Of . . . gaat twijfelen, of de tafel wel rechthoekig is — alleen bij een ovale tafel is het vraagstuk niet idioot.

  Verder is een foutieve oplossing mogelijk, die goedgekeurd zal worden: dat het kind de omtrek van de tafel uitrekent, en daar eenvoudig 0.65 M. op deelt. Dan komt er het ‘goede’ antwoord uit, doordat de komponist van de som (bezield door de examen-idioot) z’n hersenen op non-aktief had gezet. Want als die tafel nu eens 0.50 M. langer en 0.50 M. breder was geweest, dan zou het kind dat de omtrek door 0.65 deelt, gekomen zijn tot 3 personen meer, terwijl men er toch werkelik geen 3 personen meer zetten kan. Tenzij men iemand aan twee zijden tegelijk mag zetten, zo om ’n hoekje heen . . .

  En laat het kind ook vooral niet het ongeluk hebben, te denken om de poten van de tafel. Want dan zou het voor sekuriteit ook aan de lengtezijde wel eens één persoon minder kunnen rekenen . . .

  
  Wat blijkt dus de voorwaarde, die vervuld moet worden, opdat het kind het ‘goede’ antwoord vindt? Dat het maar helemaal niet z’n verstand gebruikt, zich géén rekenschap geeft van de situatie, doch er aan gewend is, dat een dergelijke opgave enkel en alleen maar een gekke, ondoordachte manier is om de becijfering die men bedoelt, op te geven. Dat het kind de korrektie aanbrengt: Nou ja, er is natuurlijk bedoeld: . . . .

  We hebben hier z.g. ‘denkoefeningen’ met het motto: ‘vooral niet werkelik denken!’

  De Examenidioot, 1929, p. 35-36 (De Bode)

• Intussen, wanneer er ‘denken’, zich voorstellen van de situatie of zo iets gevraagd wordt, dan is het óók weer bar. Dan wordt er geknikkerd. Zoals in Veendam:

  Een jongen speelt om knikkers. Bij het eerste spel verliest hij ⁵⁄₄ van zijn bezit. Bij het tweede spel verliest hij ¹⁄₉ van wat hij nog over heeft. Bij het laatste spel wint hij weer evenveel als hij aan het eind van het tweede spel nog over had. Hoeveel knikkers had hij eerst als hij aan het eind 72 knikkers heeft?

  
  

  Weliswaar kún je deze som ook oplossen door als een idioot te zeggen: Als de jongen eens met één knikker begon. En dan met al die kapotte knikkers te rekenen, tot hij aan ’t eind een bezit van ²⁄₃ knikkers heeft. Maar dat moeten er 72 zijn, of 108 × ²⁄₃ knikker; nou, dan had-ie er ‘eerst’ ook niet 1, maar 108. Doch de ware manier is ‘terugrekenen’. Hoe zou je anders raad weten met het Leidse vraagstuk voor meisjes:

  Bij het knikkeren verliest A. ¹⁄₆ van zijne (sic) knikkers en B. verliest ¹⁄₈ van de zijne. Als B. nu na het spel ²⁄₃ bezit van hetgeen A. over heeft en zij samen 75 knikkers over hebben, hoeveel had ieder dan vóór het spel?

  
  

  Het moge dan waar zijn, dat het erg raar aandoet, dat B. een gedeelte bezit van wat A. over heeft — een welgedresseerd rekenkind weet, wat een idioot met zulk een uitdrukking bedoelt, en wanneer zo’n kind nu maar bijtijds in de gaten heeft, dat de jongens niet met elkaar-alleen knikkeren (wat ànders het meest-geliefde geval is) — dan is er de kans dat het, terugrekenend, d’r uit komt.

  Maar daarmee is een kind niet gewapend tegen sommen over ’t hebben van knikkers. Die zijn nog veel erger dan sommen over ’t winnen en verliezen. De examen-idioot heeft deze sommen over ’t hebben van knikkers uitgevonden, in de hoop de aan winst en verlies gewende jongelui d’r in te laten vliegen, en tot wanhopend geknoei te krijgen.

  De lagere school moet dus óók dresseren op vraagstukjes als dit, Helderse:

  Drie jongens hebben knikkers. A. en B. hebben samen 53 knikkers, B. en C. samen 67 knikkers, A. en C. hebben samen ²⁄₃ van al de knikkers. Hoeveel heeft elk?

  
  

  En het echte knikkeren, dat doen ze daar in Den Helder met guldens, die anders gewoonlik alleen voor heb-sommen dienen:

  A. en B. bezitten samen 160 gulden, A. geeft aan B. zooveel als B. Heeft. Daarna geeft B. zooveel aan A. als deze had overgehouden. Nu hebben zij evenveel. Hoeveel had elk eerst?

  
  

  Deze laatste som is het aardige voorbeeld van een ‘zuivere denksom’; het eigenlike ‘rekenen’ dat er aan zit, is de moeite niet waard. Maar er is geen sprake van, dat het vraagstuk dienen kan om te ‘testen’, of het kind het vermogen heeft, zich de beschreven situatie in te dneken: het kind zou, wanneer het dàt ging doen, om sommen op te lossen, met die àndere Helderse som vastlopen; het kind denkt niet, begint er niet aan, zich iets voor te stellen, het probeert zich te herinneren: ‘Hoe moest zo’n som ook weer?’ Knoeit dan op z’n herinnering af, wat met de getalletjes, totdat het ‘uitkomt’; komt het niet uit, dan knoeit het kind, weer op z’n herinnering af, ’n beetje anders — en zo voort — totdat het wel ‘uitkomt’. En de arme ‘opleider’ zorgt in vredesnaam maar voor ’n genoegzaam aantal sommen, die ’t kind al ‘gehad’ heeft — je reinste dressuur als zelf-doel.

  Nog één Veendammertje:

  A., B. en C. kunnen samen een werk in 4 dagen voltooien. A. doet per dag 2 mal zooveel als B., terwijl C. per dag evenveel doet als A. en B. samen. In hoeveel dagen kan ieder het werk alleen doen?

  
  

  Er is geen sprake van, dat een kind, dat niet vooraf gedresseerd is in malle sommen over gekke abstrakties ‘werk’ met gealfabetiseerde werkers van de grilligst-uiteenlopende prestaties, zulk een som maakt. En wie zulke sommen als test gebruikt, die onderzoekt: in hoeverre is dit kind te dresseren in onwerkelike malligheden. En alleen wie er heilig van overtuigd is, dat de taak van het kind op de middelbare school zal zijn: malligheden en nog eens malligheden uit te halen — alleen die kan in de uitzoekerij door middel van zulke ‘rekenopgaven’ iets doelmatigs zien.

  De Examenidioot, 1929, p. 36-37 (De Bode)

• Het slotwoord, een boodschap van Theo Thijssen uit 1929 voor de Tweede Kamer anno 2014, plenair debat over zin en onzin van toetsen, en over rekentoetsen:
  Welnu, de kinderexamens van 1928 hebben de fout gehad, dat er veel te veel, en steriele, onnutte kennis is gevraagd; maar bovendien, en dat is de àllergrootste fout geweest, de vorm der opgaven was in doorsnee zodanig, dat alleen een imbecil er zich niet voor schamen zou.

  Te negéren is dit werk niet: het bepaalt onverbiddelik, wat er bij de ‘opleiding’ moet geschieden — hoe het onderwijs op de lagere school moet zijn.

  Alle gepraat over de ‘aansluiting’ — alle debat over de ‘Auslese’, alle theorie over de mogelikheid van wèl-behoorlike examens voor kinderen laat ons koud — op dit moment. Want we staan voor deze schrikkelike realiteit: er is dit kinder-examen, en afgescheiden van z’n al-of-niet-doelmatig-zijn als selektiemethode — het veridiotiseert binnen een paar jaar de lagere school.

  De afschaffing van dit examen kàn niet wachten, tot de ideale selektiemethode gevonden is, kàn niet wachten totdat L.O. en M.O. werkelik ‘overleg’ gaan plegen — elk jaar, dat dit examen blijft bestaan, is een jaar pedagogiese schande voor ons land.

  Het moet, kort en goed, verboden worden, bij wijze van spoedmaatregel; en bij alle verdere zoeken: wat dan? — moet voorop staan: zó iets nooit meer!

  De Examenidioot, 1929, p. 44 (De Bode). Het hele boekje beschikbaar als
  http://www.ben-wilbrink.nl/Thijssen_De_Examenidioot_1929.pdf

C. Alan Riedesel & Paul C. Burns (1973). Research on teaching elementary-school mathematics. In Robert M. W. Travers (Ed.) (1973). Second handbook of research on teaching (1149-1176). Rand McNally. isbn 0528618245 Aad van Leeuwen

Onder andere met een afstamming tot Leonardo van Pisa (Fibonacci), Bachet sieur de Méziriac (1626), Ozanam (1692).

Kurt VanLehn (1989). Problem solving and cognitive skill acquisition. pp 527-579 in Posner, M. I. Posner (ed.) (1989). Foundations of cognitive science. The MIT Press. isbn 0262161125 the report

Of special interest: Section Schema-driven problem. Eord problems in physics, mathematics and engineering; non-routine solving of word problems; expert problem solving in other task domains; relationship to the standard theory.

  http://www.benwilbrink.nl/projecten/woordproblemen.htm http://goo.gl/9riOIa