Rekenproject: Abstraheren

Ben Wilbrink

rekenproject thuis
psychologie
    wiskundig denken
        human activity: wiskunde als menselijke activiteit
        abstraheren
        model opstellen

rekenproject thuis
rekendidactiek
    algoritmen
    getalbegrip
    basale rekenvaardigheden — ‘cijferen’
    optellen — aftrekken — vermenigvuldigen — delen — breuken — meten
    meetkunde — algebra en rekenen — kans (en combinaties)
    materialen
    woordproblemen

Zie ook de pagina over concrete materialen (telramen, contexten): manipulatives.htm

Tot de kernissues van iedere rekendidactiek hoort hoe deze omgaat met abstracties, het abstraheren van de concrete wereld en zijn vele manifestaties in het bijzonder. Het onderhouden van malle ideeën die niet in empirisch onderzoek worden getoetst, kan ieder rekenonderwijs op dit punt te gronde richtinen. Vandaar.

Over de serieuze ideeën valt te melden dat er twee richtingen diametraal tegenover elkaar staan: de algemene opvatting dat leren zich afwikkelt van concreet naar abstract, tegenover de o.a. door Ohlsson (Deep Learning, 2011) geponeerde theorie dat het leren juist begint met algemeenheden — abstracties dus — die steeds verder verbijzonderd worden naar de specifieke situaties die zich voordoen — de concrete voorbeelden waar de algemene regel misschien niet goed of althans niet goed genoeg bij past.

Chi-hau Chen (1973). Statistical pattern recognition. Rochester Park: Hayden Book Company. isbn 0876711778

I bought the book (in 1976) because of my interest in multiple discriminant analysis — a kind of pattern detection technique, isn't it? However, the Chen book also demonstrates how difficult ‘abstracting patterns’ really is, quite contrary to the opinion of math educators thinking that presenting concrete examples is sufficient to help children ‘discover’ patterns / abstractions.

Stellan Ohlsson & Erno Lehtinen (Eds.) (1997). Abstraction: Current research and theoretical developments. International Journal of Educational Research, 27, 1-88. contents

• Stellan Ohlsson & Erno Lehtinen: Introduction 3-4

• 
  

  ---

  William J. Clancey (1997). Conceptual coordination: abstraction without description. In Stellan Ohlsson & Erno Lehtinen: Abtraction: Current reserach and theoretical developments International Journal of Educational Research, 27, 5-20. html

• 
  

  ---

  Graeme S. Halford, William H. Wilson & Steven Phillips (1997). Abstraction: Nature, costs and benefits. In Stellan Ohlsson & Erno Lehtinen: Abtraction: Current reserach and theoretical developments International Journal of Educational Research, 27, 21-36. abstract

• 
  

  ---

  Stellan Ohlsson & Erno Lehtinen (1997). Abstraction and the acquisition of complex ideas. In Stellan Ohlsson & Erno Lehtinen: Abtraction: Current research and theoretical developments International Journal of Educational Research, 27, 37-48. pdf

  • abstract
    “The relation between generality and specificity in cognition is poorly understood. The history of science and mathematics shows that generality is not achieved by extracting similarities from particulars. To make a fresh start, we propose that objects and events are seen as similar to the extent that they fit the same abstraction and that abstractions are constructed by assembling available ideas into new structures. The function of abstraction is not to provide generality but to facilitate the assembly process and to provide a different categorization of the world than the one suggestedby perceptual similarities. This view is exemplified with respect to central ideas in science, mathematics and other disciplines.

    “In summary, important examples of higher-order knowledge in science, mathematics, and other fields were not, in fact, created by extracting commonalities across particular objects or events. In case after case, key ideas -- gravitation, natural selection, the derivative of a function, representational democracy -- were not, as a matter of historical fact, discovered via generalization and could not, even in principle, have been discovered that way. The classical view is radically incorrect. A fresh start is needed.”

    Ohlsson & Lehtinen p. 40

• 
  

  ---

  David N. Perkins (1997). Epistemic games. International Journal of Educational Research, 27, 49-62. abstract

  • abstract This article profiles an important class of generic cognitive structures, “epistemic games.” These are general patterns of characterization (e.g., verbal description, algebraic notation), explanation (e.g., covering-rule explanation, analogical explanation), and justification (e.g., deduction, statistical justification) that inform inquiry within and across disciplines. They are necessary although not sufficient for effective inquiry, and learners often have trouble with them. Their importance challenges a highly situated view of cognition, but with qualifications. Epistemic games often constitute areas of expertise in themselves, and often assume distinctive styles within disciplines.

• 
  

  ---

  Fritz C. Staub & Elsbeth Stern (1997). Abstract reasoning with mathematical constructs. International Journal of Educational Research, 27, 63-75. pdf

• Andrew Brook: Approaches to abstraction: A commentary abstract
  We conclude by briefly setting the relationship of language to abstract cognition into the context of the current debate over folk psychology, the so-called “theory of mind”.

  from the abstract

Nicole M. McNeil & Emily R. Fyfe (2012). "Concreteness fading" promotes transfer of mathematical knowledge. Learning and Instruction, 22, 440-448. abstract

De kwestie is deze: is het beter om te leren aan de hand van concrete materialen (contexten, of op basis van de abstracte regels, danwel op basis van concrete materialen die worden vervangen door steeds minder concrete, meer abstracte materialen/regels? Dit speelt natuurlijk heel direct in het aanvankelijk rekenonderwijs, maar daar gaat dit onderzoek niet over: de proefperonen zijn excellente studenten die het hen onbekende concept van de algebraïsche groep van drie leren.

Dit onderzoekartikel is van belang vanwege zijn theoretisch kader, niet vanwege zijn resultaten.

P. M. van Hiele (1981). Struktuur. Muusses.

Een merkwaardig boek, over het wezen van het menselijk denken. Een wiskundige op psychologisch terrein. Geen literatuuropgaven. Ik noem het boek onder dit thema ‘abstraheren’, omdat ik hoop dat Van Hiele zich heeft laten verleiden om hier uitspraken over te doen. Ik heb er wel enkele vragen bij: is een structuur hetzelfde als een abstractie? Zo nee, waarin verschillen die twee? Hoe denkt Van Hiele dat wij aan onze structuren en abstracties zijn gekomen? En hoe leerlingen zich die verwerven? Werpt dit boek een nieuw licht op zijn promotieonderzoek?

  http://www.benwilbrink.nl/projecten/abstraheren.htm